Geometria Analítica
Cleide Martins
DMat - UFPE - 2019.1
Turmas PF e P7
Objetivos
De nir o conceito de base
Entender a noção de coordenadas de um vetor em uma base
Rever as operações de soma e produto por escalar de vetores usando coordenadas Rever os conceitos de dependência e independência linear usando coordenadas
Bases e Coordenadas
De nição
Uma base é uma sequência (v→1, →
v2, →
v3)LI
Sabemos que 3 vetores LI geram todo o espaço. Portanto se B = (v→1, → v2, → v3)é uma base e →
u é qualquer vetor, então
→ u = av→1+b → v2+c → v3
Os números a, b e c são as coordenadas de →u na base B e escreve-se
→
u = (a, b, c)B
Bases e Coordenadas
De nição
Uma base é uma sequência (v→1, →
v2, →
v3)LI
Sabemos que 3 vetores LI geram todo o espaço.
Portanto se B = (v→1, → v2, → v3)é uma base e →
u é qualquer vetor, então
→ u = av→1+b → v2+c → v3
Os números a, b e c são as coordenadas de →u na base B e escreve-se
→
u = (a, b, c)B
Bases e Coordenadas
De nição
Uma base é uma sequência (v→1, →
v2, →
v3)LI
Sabemos que 3 vetores LI geram todo o espaço. Portanto se B = (v→1, → v2, → v3) é uma base e →
u é qualquer vetor, então
→ u = av→1+b → v2 +c → v3
Os números a, b e c são as coordenadas de →u na base B e escreve-se
→
u = (a, b, c)B
Bases e Coordenadas
De nição
Uma base é uma sequência (v→1, →
v2, →
v3)LI
Sabemos que 3 vetores LI geram todo o espaço. Portanto se B = (v→1, → v2, → v3) é uma base e →
u é qualquer vetor, então
→ u = av→1+b → v2 +c → v3
Os números a, b e c são as coordenadas de →u na base B e escreve-se
→
u = (a, b, c)B
Observações
1 →O= (0, 0, 0)em qualquer base.
2 se β = (u→1,u→2,u→3) é uma base e →w= (a, b, c)β = (x, y, z)β então a = x, b = y e c = z.
De fato, → w= au→1 +b → u2+c → u3= x → u1+y → u2+z → u3 (a − x)u→1 +(b − y) → u2+(c − z) → u3= → O a = x b = y c = z
Exemplo
Considere uma base E = (e→1, →
e2, →
e3) com a seguinte con guração:
ke→1k= 2, k → e2k= 1e k → e3k= 2 o ângulo entree→1 e → e2 é 60o o ângulo entree→1 e → e3 é 90o o ângulo entree→2 e → e3 é 90o continua...
Faça uma gura representando essa base e localize nessa gura os vetores
1 →u = (1, −1, 0)E
2 →v = (1, 1, 1)E
3 →u +→v
4 −2→u
Faça uma gura representando essa base e localize nessa gura os vetores
1 →u = (1, −1, 0)E
2 →v = (1, 1, 1)E
3 →u +→v determine as coordenadas desse vetor na base E
4 −2→u
Faça uma gura representando essa base e localize nessa gura os vetores
1 →u = (1, −1, 0)E
2 →v = (1, 1, 1)E
3 →u +→v
4 −2→u determine as coordenadas desse vetor na base E
Faça uma gura representando essa base e localize nessa gura os vetores
1 →u = (1, −1, 0)E
2 →v = (1, 1, 1)E
3 →u +→v
4 −2→u
Calcule os comprimentos desses vetores.
Pense um pouco
Como se soma vetores a partir de suas coordenadas em uma base?
Como se multiplica vetor por escalar a partir de suas coordenadas em uma base? Como se calcula o comprimento de um vetor com suas coordenadas em uma base? Como se veri ca dependência e independência linear com coordenadas em uma base?
Pense um pouco
Como se soma vetores a partir de suas coordenadas em uma base?
Como se multiplica vetor por escalar a partir de suas coordenadas em uma base?
Como se calcula o comprimento de um vetor com suas coordenadas em uma base? Como se veri ca dependência e independência linear com coordenadas em uma base?
Pense um pouco
Como se soma vetores a partir de suas coordenadas em uma base?
Como se multiplica vetor por escalar a partir de suas coordenadas em uma base? Como se calcula o comprimento de um vetor com suas coordenadas em uma base?
Como se veri ca dependência e independência linear com coordenadas em uma base?
Pense um pouco
Como se soma vetores a partir de suas coordenadas em uma base?
Como se multiplica vetor por escalar a partir de suas coordenadas em uma base? Como se calcula o comprimento de um vetor com suas coordenadas em uma base? Como se veri ca dependência e independência linear com coordenadas em uma base?
Operando com coodenadas em uma base
Considere a base E = (e→1, → e2, → e3) e os vetores → u = (a1, b1, c1)E → v = (a2, b2, c2)E → w= (a3, b3, c3)E Então → u +→v = (a1+ a2, b1+ b2, c1+ c2)E λ→u = λ(a1, b1, c1)E = (λa1, λb1, λc1)EOperando com coodenadas em uma base
Considere a base E = (e→1, → e2, → e3) e os vetores → u = (a1, b1, c1)E ou → u = a1 → e1+b1 → e2 +c1 → e3 → v = (a2, b2, c2)E ou → v = a2 → e1 +b2 → e2 +c2 → e3 → w= (a3, b3, c3)E Então → u +→v = (a1+ a2, b1+ b2, c1+ c2)E λ→u = λ(a1, b1, c1)E = (λa1, λb1, λc1)EDependência e independência linear em coodenadas (n = 1)
E = (e→1, → e2, → e3) é uma base e → u = (a1, b1, c1)E(→u ) é LI se pelo menos um dos números a1, b1, c1 é diferente de zero
Dependência e independência linear em coodenadas (n = 2)
E = (e→1, → e2, → e3) é uma base e → u = (a1, b1, c1)E, → v = (a2, b2, c2)E(→u ,→v ) é LI se e só se a única solução para a equação x→u +y →v =→O é x = y = 0
x(a1, b1, c1) + y(a2, b2, c2) = (0, 0, 0) ⇐⇒ a1x + a2y = 0 b1x + b2y = 0 c1x + c2y = 0
Dependência e independência linear em coodenadas (n = 2)
E = (e→1, → e2, → e3) é uma base e → u = (a1, b1, c1)E, → v = (a2, b2, c2)E(→u ,→v ) é LI se e só se a única solução para a equação x→u +y →v =→O é x = y = 0
x(a1, b1, c1) + y(a2, b2, c2) = (0, 0, 0) ⇐⇒ a1x + a2y = 0 b1x + b2y = 0 c1x + c2y = 0
Esse sistema linear homogêneo (3 × 2) tem solução única se e somente se algum subsistema 2 × 2 tem solução única.
Dependência e independência linear em coodenadas (n = 2)
E = (e→1, → e2, → e3) é uma base e → u = (a1, b1, c1)E, → v = (a2, b2, c2)E(→u ,→v ) é LI se e só se a única solução para a equação x→u +y →v =→O é x = y = 0
x(a1, b1, c1) + y(a2, b2, c2) = (0, 0, 0) ⇐⇒ a1x + a2y = 0 b1x + b2y = 0 c1x + c2y = 0
Esse sistema linear homogêneo (3 × 2) tem solução única se e somente se algum subsistema 2 × 2 tem solução única.
Lembre que um sistema n × n tem solução única se e somente se o determinante da matriz dos coe cientes é diferente de zero.
Dependência e independência linear em coodenadas (n = 2)
Se →u = (a1, b1, c1)E e →
v = (a2, b2, c2)E então ( →
u ,→v )é LI se e somente se algum dos
determinantes a1 a2 b1 b2 , a1 a2 c1 22 , b1 b2 c1 c2 é diferente de zero
Dependência e independência linear em coodenadas (n = 3)
E = (e→1, → e2, → e3) é uma base e → u = (a1, b1, c1)E, → v = (a2, b2, c2)E, → w= (a3, b3, c3)E(→u ,→v ,→w)é LI se a única solução para a equação x→u +y →v +z →w=→O é x = y = z = 0
x(a1, b1, c1) + y(a2, b2, c2) + z(a3, b3, c3) = (0, 0, 0) ⇐⇒
a1x + a2y + a3z = 0 b1x + b2y + b3z = 0 c1x + c2y + c3z = 0
Dependência e independência linear em coodenadas (n = 3)
E = (e→1, → e2, → e3) é uma base e → u = (a1, b1, c1)E, → v = (a2, b2, c2)E, → w= (a3, b3, c3)E(→u ,→v ,→w)é LI se a única solução para a equação x→u +y →v +z →w=→O é x = y = z = 0
x(a1, b1, c1) + y(a2, b2, c2) + z(a3, b3, c3) = (0, 0, 0) ⇐⇒
a1x + a2y + a3z = 0 b1x + b2y + b3z = 0 c1x + c2y + c3z = 0
Esse sistema tem solução única se e somente se o determinante a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 é diferente de zero.
Volte ao Exemplo e considere os vetores dados →u = (1, −1, 0) e →v = (1, 1, 1)na base E e mais
o vetor →w= (−2, −8, −5)
1 (→w)é LI ou LD?
2 (→w,→v ) é LI ou LD? 3 (→w,→v ,→u ) é LI ou LD?
Volte ao Exemplo e considere os vetores dados →u = (1, −1, 0) e →v = (1, 1, 1)na base E e mais
o vetor →w= (−2, −8, −5)
1 (→w)é LI ou LD?
2 (→w,→v ) é LI ou LD? 3 (→w,→v ,→u ) é LI ou LD?
Volte ao Exemplo e considere os vetores dados →u = (1, −1, 0) e →v = (1, 1, 1)na base E e mais
o vetor →w= (−2, −8, −5)
1 (→w)é LI ou LD?
2 (→w,→v ) é LI ou LD?
3 (→w,→v ,→u ) é LI ou LD?
Volte ao Exemplo e considere os vetores dados →u = (1, −1, 0) e →v = (1, 1, 1)na base E e mais
o vetor →w= (−2, −8, −5)
1 (→w)é LI ou LD?
2 (→w,→v ) é LI ou LD? 3 (→w,→v ,→u ) é LI ou LD?
Volte ao Exemplo e considere os vetores dados →u = (1, −1, 0) e →v = (1, 1, 1)na base E e mais
o vetor →w= (−2, −8, −5)
1 (→w)é LI ou LD? 2 (→w,→v ) é LI ou LD? 3 (→w,→v ,→u ) é LI ou LD? Respondendo à terceira pergunta
1 −1 0 1 1 1 −2 −8 −5 = −5 + 2 + 8 − 5 = 0 A sequência (→w,→v ,→u ) é LD
Exercícios
1 Considere um cubo com faces paralelas ABCD e EF GH. Dê exemplos de 3 bases
distintas com representantes sendo segmentos orientados com extremidades nos vértices desse cubo. Para cada uma dessas bases determine as coordenadas dos vetores→
AC, → DH, → BF e → EC
