MINISTÉRIO DO EXÉRCITO DEP - OPET

MINISTÉRIO DO EXÉRCITO DEP - OPET

INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA

DINÂMICA PONTUAL NSO LINEAR APLICADA A SIMULAÇÃO DE REATORES P W R

POR

FAUSTO SILVA CYSNE

TESE SUBMETIDA COMO REQUISITO PARCIAL PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE

MESTRE EM CIÊNCIAS

ASSINATURA DO^ORIENTADOR DA TESE

RIO - RJ NOVEMBRO, 1978

Ao Instituto Militar de Engenharia, particularmente ã Seção de Engenharia Nuclear, na pessoa de seu Chefe Ten Cel Otávio Âgueda pelo apoio e estTmulo indispensáveis ao desenvolvimento deste trabalho.

A" Furnas Centrais Elitricas S/A, representada na hoji rosa pessoa do Dr. Gilberto Gomes de Andrade, pelas su-gestões e prestimosa colaboração no fornecimento das ca-racterísticas ticnicas do reator Angra I e na utilização do seu Centro de Processamento de Dados.

Ao Professor Orientador Major Otto Oscar Bellas GaJ^ vão e ao Ten Cel Jorge Muniz Barreto, pela efetiva parti-cipação através de contribuições e incentivos prestados.

Â" Professora Adelina Maria pelo seu empenho no tra-balho de revisão do texto.

A minha esposa Sylvia e aos meus filhos Alexandre e Sheila pela compreensão e carinho que me dedicaram.

A todos que direta ou indiretamente contribuíram pa^ ra o desempenho e ixito do presente trabalho.

SUMARIO

Utilizando a representação do núcleo do reator pelo

formal ismo da cinitica p o n t u a l , ê" feita uma a v a l i a ç ã o com

parativa u t i l i z a n d o uma simulação que permite e s t u d a r a l

-guns tipos de a c i d e n t e s .

Os métodos de integração utilizados na simulação

s ã o : o proposto por H a n s e n , no qual é feita uma l i n e a r i

-zação do m o d e l o m a t e m á t i c o , e também um p r o c e s s o sem

li-n e a r i z a ç ã o , por C S M P , li-no qual e u t i l i z a d o o método de Ruli-n

ge K u t t a , de 4 a . ordem de intervalo v a r i á v e l .

Os resultados obtidos são s a t i s f a t ó r i o s e foram coin

parados com o código dinâmica I que utiliza um processo

de i n t e g r a ç ã o por diferenças f i n i t a s , do tipo " B a c k w a r d " .

-ABSTRACT

In order to study some kinds of nuclear r e a c t o r a c c i d e n t s , a s i m u l a t i o n i s made using the punctual kinetics mode 4-Õ- the r e a c t o r core.

The f o l l o w i n g i n t e g r a t i o n methods are used: Hansen's method i n which a l i n e a r i z a t i o n i s made and C S M P using a v a r i a b l e i n t e r v a l f o u r t h - o r d e r Runge Kutta method.

The r e s u l t s were good and were compared w i t h those obtained by the code Dinâmica I which uses a f i n i t e d i f f e r e n c e i n t e g r a t i o n method of backward k i n d .

TNDICE

Pag. SUMflRIO iii ABSTRACT iv LISTA DE ILUSTRAÇÕES vii

I - INTRODUÇÃO 1 1.1 - Resumo e Objetivo l 1.2 - Revisão da Literatura 3

II - DESENVOLVIMENTO TEÓRICO 5 2.1 - Simplificação do Modelo Matemático 5 2.2 - Equações Fundamentais 6 2.3 - Integração do Sistema de Equações

pelo Método de Hansen 12

III - RESOLUÇÃO NUMÉRICA DAS EQUAÇÕES 17 3.1 - Solução pelo Método de Hansen 17 3.2 - Solução Utilizando CSMP 24

IV - RESULTADOS E CONCLUSÕES 31 4.1 - Resultados 31 4.2 - Conclusões 55

APÊNDICE A - Determinação das Constantes da Curva Entalpia em Função da

Temperatura 59 APÊNDICE B - Principais Blocos Funcionais

Utilizados em CSMP 63

-v-APÊNDICE C - Características Técnicas do Reator

Angra I . 64

APÊNDICE D - Determinação das Condições Iniciais

para as Equações do Modelo 66

APÊNDICE E - Determinação do Coeficiente de

Transferência de Calor 69

APÊNDICE F - Determinação dos Parâmetros do Coeficiente de Reatividade do

Combustível 74

BIBLIOGRAFIA 76

-vi-LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Pag. Figura 1 - Potência nuclear (fração da nominal).

Degrau de 100 pcm. 39 Figura 2 - Temperatura do combustível (variação

em relação a nominal). Degrau de 100 pcm. 40 Figura 3 - Temperatura do moderador (variação em

relação a nominal). Degrau de 100 pcm. 41 Figura 4 - Potincia nuclear (fração da nominal).

Degrau de -100 pcm. 42 Figura 5 - Temperatura do combustível (variação

em relação a nominal). Degrau de -100 pcm. 43 Figura 6 - Temperatura do moderador (variação em

relação a nominal). Degrau de -100 pcm. 44 Figura 7 - Vazão do refrigerante (fração da

nominal). 45 Figura 8 - Potincia nuclear (fração da nominal).

Queda de vazão. 46 Figura 9 - Temperatura do combustível (variação

em relação a nominal). Queda de vazão. 47 Figura 10 - Temperatura do moderador (variação em

relação a nominal). Queda de vazão. 48 Figura 11 - Potincia nuclear (fração da nominal).

Queda de vazão limitada em 75% da

nomi-nal. 49

*

-vii-Figura 12 - Temperatura do combustível (variação em relação a nominal). Queda de vazão

limitada em 75% da nominal). 50 Figura 13 - Temperatura do moderador (variação

an relação a nominal). Queda de vazão

limitada em 75% da nominal. 51 Figura 14 - Curva de inserção de reatividade

(fração da total). 52 Figura 15 - Potincia nuclear (fração da nominal).

Perda total da vazão do refrigerante.

Curva do FSAR. 53 Figura 16 - Potência nuclear (fração da nominal).

Perda total da vazão do refrigerante. 54 Figura 17 - Aproximação da entalpia por uma curva

do 29 grau e do 19 grau. 62

-viii-CAPITULO I

INTRODUÇÃO

1.1 - Resumo e O b j e t i v o

O presente t r a b a l h o tem por o b j e t i v o s i m u l a r o com-portamento dinâmico de um r e a t o r do t i p o PWR que permita e s t u d a r alguns t i p o s de a c i d e n t e s , com velocidade de p r o -pagação subsõnica. Será u t i l i z a d a a r e p r e s e n t ? ; ã o do nú-cleo do r e a t o r pelo formalismo da c i n e t i c a p o n t u a l .

0 a c i d e n t e a ser a n a l i s a d o se enquadra na classe de velocidade de propagação subsõnica, t r a d u z i n d o - s e por uma perda t o t a l da vazão de r e f r i g e r a n t e . A simulação i ob-t i d a u ob-t i l i z a n d o um modelo s i m p l i f i c a d o a parâmeob-tros conc e n t r a d o s , no qual é mantida uma representação que e n v o l -ve a c i n e t i c a pontual com sete equações para os c á l c u l o s n e u t r õ n i c o s e mais duas equações de balanço de c a l o r , uma, descrevendo o t r a n s i t ó r i o no elemento combustível e a ou-t r a o f l u i d o no i n ou-t e r i o r do n ú c l e o .

0 sistema de nove equações não l i n e a r e s r e s u l t a n t e , e que r e l a c i o n a o comportamento n e u t r õ n i c o e termo-hidrã\j l i c o do r e a t o r , não permite o b t e r uma solução analtticapa_ ra o modelo.

2 -I s t o acontece pela variação da r e a t i v i d a d e com o tempo, que ocorre por introdução de uma r e a t i v i d a d e exte£ na ou por causa das realimentações de r e a t i v i d a d e provoca_ das pelas variações de temperatura do combustível e do nu> derador,

A solução em alguns casos t o r n a - s e possTvel pela u-t i l i z a ç ã o de méu-todos numéricos, conu-tudo, uma grande v a r i £ ção nas constantes de tempo das equações d i f i c u l t a bastar^ te a solução numérica do sistema.

0 sistema de equações do modelo sera r e s o l v i d o nu-mericamente por dois processos:

19 - a t r a v é s de uma l i n e a r i z a ç ã o do sistema de equações sendo, e n t ã o , o mesmo resolvido pelo método de

Han-1 2

-sen ' , também conhecido como método do maior auto-valor;

29 - atuando diretamente sem linearização do sistema de equações, usando um processo de integração do tipo de Runge-Kutta de 4a. ordem, através do sistema co-nhecido por CSMP ' "Continuous System Modeling Pro-gram" .

Os dados utilizados são baseados num canal típico de um reator PWR, tendo sido tomado como referência os dji dos do reator Angra I.

3

Buscase, neste trabalho, encontrar um método s u f i -cientemente preciso e rápido, se comparado aos métodos de analise existentes, mais sofisticados porém lentos, e que permita obter resultados confiáveis para uma primeira av_a liação de desempenho do reator.

1.2 - Revisão da Literatura

A l i t e r a t u r a existente sobre o pri.'ne;?*o conjunto de equações que constituem as equações da neutrõnica i bas-tante extensa. Em Nobrega encontramos descritos diver-sos métodos usados na resolução do sistema de equações,co nhecidas como equações pontuais da c i n i t i c a .

Vários métodos de integração numéricas destas e-quações também são encontrados em Hetrick entre os quais podemos enumerar os métodos de integração "Forward", . . "Backward", método de Adler e Cohen e o método de Hansen.

A junção das equações da cinetica com as equações termo-hidrãulicas e mais a equação de variação de reativj^ dade formam um sistema de equações dá dinâmica pontual que

-4-pode ser resolvido por qualquer dos mitodos de integração direta acima enumerados.

Um programa de computador que resolve numericamente este conjunto de equações é normalmente conhecido como um

n 5

código, dentre os muitos podemos citar o Dinâmica I , Sa-que são códigos Sa-que utilizam a formulação do tipo "Backward" para o processo de integração. 0 que se deseja e fazer um côdiyo semelhante aos tris acima enume-rados, usando como processo de integração o método de Haji sen, e também, simulando diretamente o sistema de equa-ções, através de um programa do tipo CSHP.

CAPITULO II

DESENVOLVIMENTO TEÓRICO

2.1 - Simplificação do Modelo Matemático

0 modelo a estudar representa um núcleo de um rea-tor PWR onde e usado o modelo de parâmetros concentrados que se adapta ao estudo de transitórios subsônicos * .0 critério de validade deste modelo de parâmetros concentra dos baseia-se no número de Biot para o combustível como sendo menor que a unidade e isto normalmente ocorre cornos elementos combustíveis de um reator PWR típico.

0 modelo a parâmetros concentrados eqüivale i simu-lação do núcleo do reator por uma análise nodal que pode ser representada por 2 nos: um para o combustível, outro para o refrigerante.

Outra importante consideração sobre o modelo i a não linearidade existente na primeira equação da cinltica, provocada pela variação da reatividade com o tempo. Esta não linearidade ocorre, mesmo sem a introdução de reativj^ dade externa, devido aos coeficientes de reatividade de temperatura do combustível e do moderador. No entanto,os coeficientes de reatividade de pressão, tanto do combust_í

-5-vel como do moderador por terem influincia muito pequena, não serão significativos para o modelo.

0 efeito do revestimento e considerado concentrado com o combustível para efeito do calculo do coeficiente total de transferência de calor. Portanto, a temperatura do revestimento não I uma variável de estado para o pro-blema.

Vamos considerar a variação lenta da taxa de escoa-mento da massa de refrigerante para tomã-la como constan-te dentro do pequeno inconstan-tervalo aonde vai ser realizada a integração da equação.

2.2 - Equações Fundamentais

Utilizando a formulação pontual, as equações neutro nicas da cinética são as seguintes:

P(t) +

j

dQ.(t) fi.

Jt = -f- . P(t) - X ^ t t ) , 1-1. 2, ... 6

(2) onde

P i a potência total do reator

Qj i a potência equivalente do igisimo grupo de neu-tros retardados

-7-A tempo de geração dos neutrons prontos

A.j constante de decaimento do igisimo grupo de neu-trons retardados

B.j fração do igesimo grupo de neutrons retardados 3 i o somatório dos 6^

p i a reatividade total.

A equação da reatividade total pode ser escrita da seguinte forma:

P(t) =Pe x t(t) + ac(Tc) 6Tc(t) + ctm 6Tm(t) (3)

onde

pext r eatividade externa inserida

57 desvio da temperatura do moderador em relação a sua temperatura de equilíbrio

67 desvio da temperatura do combustível em relação a sua temperatura de equilíbrio

am coeficiente de reatividade de temperatura do modera^ dor

a coeficiente de reatividade de temperatura do combus tTvel

onde a i uma função da temperatura do combustível dada 1 2

pela seguinte equação

onde

Tc i a temperatura do combustível (9C)

p i a probabilidade de escape a ressonância a 300 <?K

6j é uma constante que depende da forma e composição do elemento combustível.

As equações (1) e (2) formam as equações da neutrô-nica.

A equação (3) leva em conta a realimentaçao de rea-tividade do combustível e moderador que estamos supondo ser linear.

A equação (4) leva em conta o efeito doppler na de-terminação do coeficiente de temperatura do combustível.

A produção de calor no combustível e sua transferin cia ao moderador i descrita pela seguinte equação difereji d a l1 3

onde

M i a massa da vareta de combustível

C i o calor específico do combustível

9 -T_ i a temperatura do combustTvel T 5 a temperatura do moderador u 5 o c o e f i c i e n t e t o t a l de t r a n s f e r ê n c i a de c a l o r e n -t r e o combus-tTvel e o r e f r i g e r a n -t e . A equação de conservação de c a l o r no r e f r i g e r a n t e i d e s c r i t a pela seguinte equação d i f e r e n c i a l :

m m onde H i a massa do r e f r i g e r a n t e no núcleo Cm é o calor específico do r e f r i g e r a n t e M i a taxa de escoamento do r e f r i g e r a n t e h^ i a entalpia de entrada do r e f r i g e r a n t e h« i a entalpia de saída do r e f r i g e r a n t e .

As entalpias de entrada e saTda do r e f r i g e r a n t e po-14 dem ser aproximadas, tirando pontos da tabela de vapor por uma curva de 29 grau usando para isto uma aproximação por polinÕmios de Chebyshev

pressão de 2250 psia, interpoiando linearmente entre 2000 ps ia e 2500 psia.

A faixa de trabalho da temperatura do refrigerante varia entre 500 9F < T < 640 9F.

in

Sendo

T, + T, onde

T, i a temperatura de entrada do refrigerante T2 e a temperatura de saTda do refrigerante.

Teremos as entalpias de entrada e saTda aproximadas pelas seguintes curvas de 29 grau

h(l}) = Cj + C2T] + C J T J2 500 9F < T1 < 640 9F (6) h(T2) = C1 + C2T2 + C3T2 2 500 9F < T2 < 640 9F

O)

As constantes C,, C2, C, são as mesmas para as duas

entalpias porque T,, T2 estão na mesma faixa de variação

de temperatura.

Os pontos tirados da tabela de vapor, como também os valores obtidos utilizando polinomios de Chebyshev para a

-11-determinação das constantes C, , C-, C, encontram-se no apêndice A. Como h ( T2) - h < T1) = C, + C2T2 + C3T2 2 -- ( C , + C2T1 + C 3 T ,2) ( 1 0 ) Logo h ( T2) - h í T , ) = C2 ( V ^ ) + C3 ( T2 2 - T ,2) ( 1 1 ) Da e q u a ç ã o ( 7 ) temos T» = 2 T - T,

Levando este resultado na equação ( 1 1 ) , teremos h ( T2) - h (T l) - 2 C2(VT , ) + 4 C3( V T1) T1 1 ( 1 2 )

Levando o resultado de (12) na equação ( 6 ) , teremos

dV * > V N

ÕT M C t mm

TFT~

T

2

-V

+ 4 C , ( T ( t ) - T , ) T ( t ) ( 1 3 )

obtendo desta maneira a equação de calor no r e f r i g e r a n t e , na forma que será u t i l i z a d a na solução do sistema de e-quações.

2.3 - Integração do Sistema de Equações pelo Método de Hansen

As sete equações da cinética, considerando uma equa_ ção de neutrons prontos e seis equações de neutrons reta£ dados e mais as duas equações de balanço de energia tirmj_ ca levam a um sistema de 9 equações diferenciais

(1) (2) (5) (13). i = 1, 2, ... 6

Estas nove equações podem ser escritas na forma ma-trici ai *(t) = A(x) X(t) + b(t) (14) onde X ( t ) = [ P Q, Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Tc T H] T ( 1 5 )

b ( t ) = [ 0 0 0 o o o o o zA

p c 2 T

i /

M m c m

J

T ( 1 6 )

A(x) ail X, 0₁ "3 T

"IT

NM 1 c c 0 - x2 o 0 -X. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. o -; 0 0 - X , 0 0

all = [p

ex

(t)

+

a

c

(T

c

) 6T

C

• «

m

6T

m

-

6

]

-13-0 -13-0 -p uN * c ^ a99 (17) /A A99 + 2Mp(t) (C2 + 2C3 (Tjt) -(18) (19)

A equação (14) i transformada numa equação integral que para simplificação no cálculo das funções de matrizes A i decomposta em

A = D + L + U onde

D i a matriz diagonal de A

L i a matriz triangular inferior de A

-14-U i a matriz triangular superior de A

L o g o , podemos e s c r e v e r a e q u a ç ã o ( 1 4 ) da s e g u i n t e f o r m a :

X ( t ) = ( D + L + U) X ( t ) + b ( t ) ( 2 1 )

X ( t ) - D ( x ) X ( t ) = ( L + U) X ( t ) + b ( t ) ( 2 2 )

Da solução da equação diferencial linear de Ia. or-dem temos: X(t) - D(x) X(t) = H(t) (23) onde H ( t ) = (L + U) X ( t ) + b ( t ) ( 2 4 ) a i n t e g r a ç ã o desta equação i X ( t ) = - J - / P H dx + - j j - ( 2 5 ) onde P é o fator de integração

p = i/ D d t

e c é a constante de integração dada pela condição inici-al no tempo tO

c = X ( t O ) ( 2 7 )

-15-resolver cada equação como linear, utilizando a equação (25). Isto i possível, tomando um pequeno intervalo de integração h e considerando a equação como linear e es-tacionaria dentro de cada intervalo. Isto, corresponde dentro de cada intervalo de integração em desenvolver as funções em série de Taylor e tomar o primeiro termo desta serie. Feita a 1inearizaçao e a decomposição da matriz A, podemos integrar diretamente a equação. A decomposição da matriz A obriga aparecer como função exponencial de ma-triz somente a mama-triz D, que sendo diagonal pode ser ope-rada como se fosse simplesmente um escalar. Portanto,sejrç do comutativa e a inversa da matriz D, tem como elementos simplesmente os inversos dos elementos de D. Sendo assim, conhecida a condição inicial no ponto tO, X(tO) podemos obter a solução em X(tO + h ) .

Integrando a equação, temos

h .0 X(tO+h) = exp

•][

/h D(tO+S) dfill / exp (-/ D(tO+ô) dó x

0 J [0 0 x (L(tO+0) + U(tO+0)) X(tO+9) d©

Th Ifh Q I

exp / D ( t Q + 6 ) d6 / e x p ( - / D ( t O + ó ) d ó x b(tO*0)d0

[p Jlp o J

-16-Simpii f i cando

X(tO+h) = exp / D(tO+ô)dô

Lo I

X(tO) + ( / e x p ( -0 -0

x ( ( L ( t O + 0 ) + U(tO+0)) X(tO+G) + b ( t O + 0 ) ) d0 ( 2 9 )

0 sistema de equações diferenciais se transforma em um sistema de equações integrais que conhecido o vetor de estado no instante tO (potência, potência dos neutrons re tardados, temperatura do combustível, temperatura do mod£ rador) sera determinado o vetor de estado no instante ... (tO + h) e assim sucessivamente.

CAPITULO III

RESOLUÇÃO NUMÉRICA DAS EQUAÇÕES

3.1 - Solução pelo Método de Hansen

0 mitodo desenvolvido por Hansen i também conheci-do, como mitodo do maior auto-valor e consiste em tomar como contribuição para a avaliação da resposta, somente a influintia do maior auto-valor.

E um fato bastante conhecido, quando se trabalha S£ mente com as equações da cinitica pontual, que estes au-to-valores são todos reais. Um deles tem sempre o mesmo sinal da reatividade e os outros são todos negativos ten-dendo para os valores de X, X, ^3 ^4 ^5 e * R " ^ ac°P1'a" mento das equações da cinetica com as duas equações de ba lanço de calor irão produzir mais dois auto-valores, que matematicamente, não podemos provar serem todos reais. P£ rim com dados de um reator real o conjunto de auto-valo-res obtido sera sempre real. São os sete auto-valoauto-valo-res da matriz da dnitica pontual, praticamente repetidos, quan-do se adicionam as duas equações de balanço de calor. Nu-mericamente, o maior auto-vaior obtido nas equações da cj^ nética i o mesmo obtido, quando adicionamos as duas equa-ções de balanço de calor.

-17-Portanto, praticamente podemos concluir quem conduz o maior auto-valor Í o conjunto de equações da cinitica. Sendo seu valor proximo de zero e os outros restantes fo£ temente negativos, se levamos em conta somente o primeiro, estamos desprezando a influencia dos outros. 0 que não é verdade no inTcio do transitório para um acidente de per-da parcial de vazão e sim somente quando estamos atingin-do o fim atingin-do transitório, isto i, entranatingin-do no regime esta-cionario.

t

Em contra-partida o mitodo oferece uma boa aproxiina ção no inTcio do t r a n s i t ó r i o para o caso de inserção de um degrau de reatividade.

Portanto, para a equação (29) ser resolvida numeri-camente, serão f e i t a s algumas simplificações, sendo amais importante delas a substituição na equação de

w0 0

X(tO+0) = X(tO) e u (30)

onde

wQ i O maior auto-valor da matriz A tomado no instante de tempo tO.

A equação (14) representa um sistema de 9 equações diferenciais de Ia. ordem sabendo que um sistema deste ti_ po é equivalente a uma equação diferencial de 9a. ordem,

1 9

-l o g o devemos t e r 9 r a í z e s da equação c a r a c t e r í s t i c a , que são exatamente os 9 a u t o v a l o r e s da m a t r i z A. Se d e n o m i -narmos e s t e s a u t o - v a l o r e s por WQ W, W~ w3 w, Wg w, w , Wg

e c l a r o que a s o l u ç ã o da equação pode s e r p o s t a na f o r m a :

P wn3 w , 0 WQQ]

X(tO+0) > X(tO) e u + e ' + . . . + e a ( 3 1 )

No i n t e r v a l o de tempo muito pequeno, podemos despre_ zar as c o n t r i b u i ç õ e s de w, • • • w. e somente levar em con ta a c o n t r i b u i ç ã o de w«, maior a u t o - v a l o r de A. I s t o c a r a c t e r i z a a denominação do método do maior a u t o - v a l o r que nada mais i do que o estudo do modo dominante para a estimação do t r a n s i t ó r i o .

A segunda s i m p l i f i c a ç ã o I que nas matrizes L e U, os seus termos não variam com o tempo, logo podemos consj. derar

L(tO+0) = L(tO) (32) U(tO+0) = IJ(tO) (33)

Embora no vetor b, um termo diferente de zero, s ia dependente do tempo, vamos desprezar esta variação dentro do pequeno intervalo de integração.

b(tO+0) = b(tO) (34)

A terceira simplificação.consiste em considerar que na matriz 0 existem termos que variam com o tempo e que es_ ta variação seja linear dentro do intervalo de integração. Logo, podemos igualar por definição a um valor médio de D:

/QD(t0+<S)dõ = - r - / D ( t O + 5 ) d 6 0 = D0 ( 3 5 )

O n I O

Os dois termos de D que variam com o tempo são o ali e o a99. Como não estamos levando em conta uma vari£ ção da taxa de escoamento do refrigerante no intervalo de integração, não precisamos considerar a variação de a99,e somente levar em conta a variação de ali. Podemos, por-tanto, definir um valor médio para ali

, f h h

ãTT = j ~ ^ a c(T c> /«Tc(tO+O)d0 + ctm /ÔTm(tO+0)d0

/ Pe x t( t ) dt - 6h (36)

Aplicando estas tris simplificações na equação (29) obtemos: X ( t O + h ) = exp ( ü h ) X ( t O ) h + exp (flh) / e x p ( wol - ü ) 0 x ( L ( t O ) + ü ( t 0 ) ) x ( t 0 ) d0 h + exp(Uh) / e x p ( - U O ) b ( t O ) d0 ( 3 7 ) 0

-21-X(tO+h) exp(Dh) ,h exp(wnI-D)d0

°

U(tO))X(tO) (wol -exp(-DG) - D <L<t 0> x b(tO) 38)

X(tO+h) = exp(ffh) X(tO) + (wol - ü ) "1 x

x (exp(w0I-F) h - I) x

x (L(tO) + U(tO)) X(tO) - V<"1(exp(-Vh)-I)b(tO)j (39)

A equação (39) colocada em forma matricial pode ser escrita:

X(tO+h) = G(tO) X(tO) + b(tO) (40)

onde X(tO) b(tO)

[

P

t0

+

h

to

w

i to

q

z

'•• Tct0+h 'ctO

T

,nto]

T

. <

4 2

>

O O O . . exp(a99)-l 2Mp(t0) C ^ a99 m m (43)

G(tO) exp(aiih) exp(wo-À.)h 6, wQ : X exp(wo-X6)h «O +

WQ - all WQ - all wg - all

-Xjh) 0 0 0 exp(-X?h) 0 0 0 0 0 0 0 0 „ 0 0 0 0 exp(-X,h) 0 0 0 0 0 ".. 0 X6 exp(w_-a99)h w0 • exp(a99h)

-23-Na equação matricial (40) os termos ai 1 ? dado pela equação (36) e o termo a99 e dado pela equação (19).

A matriz G(tO) e a matriz geral do método de Hansen. Se o intervalo de integração for pequeno, de forma que t£ dos os termos de G > 0, teremos uma matriz não negativa. Neste caso, o método é incondicionalmente estável e a so-lução do sistema de equação existe e ê única.

Na matriz G(tO), se denominarmos o vetor de estado no instante tO, como instante zero, teremos:

X(0) - [P

Q

Q

1(J

Q

2 0

Q

3 0

Q

4 0

Q

5 0

Q

6 0

T

c 0

T

m 0

]

T

(45) e no instante h como:

X(h) - [p

h

Q

l h

... Q

6 h

T

c h

T

m h

]

T

(46)

e colocando o fator exponencial em evidência, podemos es-crever as seguintes equaçõts

P

h

= expCãTT a)

exp(wo-ãTT)h - 1 6 (47) f exp(wo+X.)h - 1 0. 1

Q

i n

- exp(^X

ih

) [Q

10

*

W Q

° /

X|

i-

P

oj

i = 1 , 2 , 3, 4, 5, 6 (48)

T_ch c c p o i y N McCc MCC wn + U r C C C C C C (49) = exp(a99 h) exp(wo-a99)h - 1 N \J C C T . exp(a99 h)

-As equações (47), (48), (49) e (50) juntamente com as equações que definem os termos all (36) e a99 (19) co-mo também a equação que define a variação de a de*vido ao efeito doppler (4) são usadas na confecção de um programa de computador em linguagem FORTRAN.

0 programa principal chama uma sub-rotina EIGSS que calcula os auto-valores e auto-vetores da matriz A, pelo método de redução de quociente, empregando-se programas do sistema Eispack

3.2 - Solução Utilizando CSMP

0 CSMP ' "Continuous System Modeling Program" foi desenvolvido, usando um grande grau de liberdade para des_

-25-crever um determinado modelo matemático, descrito por um sistema de equações diferenciais sob a forma normal, como i o caso do modelo, cuja dinâmica está sendo estudada por simulação.

0 CSMP programa diretamente sem 1inearização, o si£ tema de equações do modelo e integra diretamente as equa-ções, utilizando qualquer um dos métodos conhecidos como Runge Kutta de 4a. ordem, Adams, Milne etc.

0 CSMP inclui uma variedade de expressões alglbri-cas e lógialglbri-cas para descrever as relações entre as variá-veis.

0 conjunto de equações a ser resolvido por CSMP i o seguinte:

Equações (1) (2) (5) (13) 1 = 1 , 2 ... 6

que formam as 9 equações diferenciais do modelo que jã e£ tão escritas sob a forma normal.

Supondo que a taxa de escoamento do refrigerante e aproximada por uma exponencial e como a função exponenci-al representa a solução homogênea de uma equação diferen-cial, cuja solução particular i uma constante, podemos e^ crever a seguinte equação diferencial:

+ YMp(t) = A . Mp QY (51)

onde

M variação do fluxo de refrigerante com o tempo M - condição inicial da vazão do fluxo de refrigerante Y inverso da constante de tempo

A constante que limita o nível de queda do fluxo de refrigerante.

Da equação (51) temos

-Yt

solução homogênea C e ' (52) solução particular A . M Q (53)

Logo, a solução geral será

Fazendo t = 0 para determinação de C

M P

o -

A M P

o

+ c

i

C, = Mp Q (1 - A) (55)

Logo

V

-27-= A + (1 - A) e "Y t (56)

onde A pode assumir valores como A = 0,75 indicando que a vazão do fluido refrigerante desceu até o nível de 75% do seu valor nominal.

Desta forma ficamos com a equação (51) totalizando 10 equações diferenciais para o modelo.

Resta somente as equações (3) e (4) de reatividade e de efeito doppler. 0 modelo i portanto, representado p_e Ias 10 equações diferenciais

(1) (2) (5) (13) (51) i * 1, 2 ... 6

e mais as 2 equações de relacionamento (3) e (4) que se-rão resolvidas utilizando CSMP.

Um programa feito em linguagem de 360/CSMP i constj^ tuTdo de três tipos de declarações

INITIAL - Declaração de dados, denominados como

INCON - condições iniciais das equações do modelo mate-mático

CONST - constantes envolvidas nas equações.

As três declarações podem ser intercambiadas dentro do INITIAL.

Uma declaração *ipo PARAM pode tomar até 5 valores, como por exemplo

PARAM A = (.75, .70, .65, .60, . 5 0 ) .

Isto indica que teremos no mesmo programa uma saTda para cada A. Logo, 5 saídas ati A = .50. No presente trabalho os dados utilizados no INITIAL são os mesmos da-dos utilizada-dos no programa FORTRAN que foi feito pelo mi-todo do maior auto-valor.

Apenas tivemos que calcular as condições iniciais p£ ra que a simulação se inicie a partir de um ponto de equj[ TTbrio. Para o grupo de neutros retardados temos da e-quação (2)

0. P

—4 X. Q. = 0 i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 (57)

Logo para o instante inicial, teremos

B. P 0

0 i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 (58)

H0i Ai A

-29-ciais das equações dos grupos de neutrons retardados.

DYNAMIC - constitui a dinâmica do programa.

Portanto, ? constituído de declarações estruturais que definem o modelo matemático.

0 DYNAMIC consiste de declarações e 18 funções uti-lizadas em FORTRAN e de 34 blocos funcionais, cujos prin-cipais são apresentados no Anexo B e designados por 360 CSMP.

No nosso problema de simulação, o único bloco fun-cional usado Í o integrador no qual

Função Forma Geral

t y INTGRL (INCON, x) y = / xd t + INCON

0 y(0) = INCON

onde y e x são nomes simbólicos de duas variáveis e INCON e uma constante dado pela condição inicial.

A variável y e a integral com respeito ao tempo de x sendo tomada a partir do valor da condição inicial.

TERMINAL - região em que se pode escrever programa em F0£ TRAN, modificando parâmetros para nova

simula-ção. Não foi usada no caso presente.

Ao final das tris regiões» INITIAL, DYNAMIC, TERMI-NAL são colocadas as Declarações de Controle que fornecem especificações sobre tempos envolvidos na simulação e sa^ das desejadas. Fornecendo, o CSMP, a possibilidade de sa_T das sob a forma de tabelas e gráficos, para tantoi neces-sário especificar:

DELT - define o intervalo de integração

FINTIM - define o tempo total desejado da simulação

PROEL - intervalo de impressão dos resultados sob forma de tabela

OUTDEL - intervalo de impressão dos resultados sob a for-ma de grafico.

As instruções acima são definidas atravls do coman-do TIMER.

As saTdas sob a forma de tabelas são definidas pe-los nomes das variáveis especificadas, apôs o comando ... PRINT. As saTdas sob a forma de gráficos, são também de-finidas de forma análoga, apôs o comando PLOT.

CAPITULO IV

RESULTADOS E CONCLUSÕES

4.1 - Resultados

O modelo adotado no presente trabalho, utiliza como dados de entrada, os parâmetros do reator Angra I, cons-tantes da Tabela 1.

São estudados tris casos de transitórios para veri-ficação do comportamento dos métodos estabelecidos.

No primeiro caso é estudado a resposta do modelo a introdução de um degrau de reatividade. Foi usado um de-grau de 100 pcm e os resultados obtidos com os métodos de Hansen e CSMP foram comparados com o código Dinâmica I.

Os resultados para os tris códigos no estado esta-cionârio são os seguintes:

P/P, «T. Dinâmica I C S H P Hansen 1,07475 1,07840 1,07500 23,5998 29,6330 31,4810 1 , 4 5 4 1 3 1 , 2 6 4 4 0 1 , 4 7 2 9 0 • 3 1

-Os resultados obtidos estão representados na seguiri te ordem, Figura 1 variação da potincia nuclear, na Figu-ra 2 a variação da tempeFigu-ratuFigu-ra do combustível e na FiguFigu-ra 3 a variação da temperatura do moderador.

Os mitodos também foram testados para um degrau de reatividade de -100. pcm e os resultados obtidos no estado estacionario para os três códigos são os seguintes:

• Dinâmica I C S M P Hansen 0 0 0 P/Po ,925991 ,924800 ,922050 -28 -28 -26 6Tc ,2741 ,5930 ,6720 -1 -1 1 5Tm ,43728 ,24680 ,04550

Os resultados obtidos na mesma ordem estão nas Figjj ras 4, 5 e 6.

No segundo caso, foi estudado uma perda da vazão do refrigerante, sendo a curva da queda de vazão apresentada na Figura 7, aproximada por uma função exponenciai cujo valor da constante tirada do gráfico i de 0,0572.

Os resultados obtidos com o C S M P e o método de

-33-6T. 6T. C S H P Hansen 0 0 ,73431 ,73299 -62 -61 ,290 ,887 20 20 ,137 ,247

Os resultados obtidos estão representados nas Figu-ras 8, 9 e 10.

Os dois métodos tamBem foram testados para o caso de se limitar a perda da vazão em 75? do valor nominal e usar para constante da exponencial um valor maior igual a 0,693. Com isto temos a queda da vazão caindo mais rapi-damente.

0 caso citado tem somente a finalidade didática de tentar reproduzir as curvas existentes em Onega , na qual existe um pico negativo de potincia de 300 Mw.

Os resultados obtidos com o CSMP e o método de Han-sen para um tempo de 20 segundos, praticamente jã atingi-do o estaatingi-do estacionãrio são os seguintes:

P/P, 6T. 6T. C S M P Hansen 0 0 ,94118 ,93885 -17 -15 ,186 ,946 4 4 ,1646 ,3376

0 CSMP calcula um mínimo na potincia de 0,93665 no tempo de 4,3715 segundos correspondendo a um pico de 119 Mw, como os dados usados no trabalho citado são de outro reator verificamos que o comportamento dos códigos desen-volvidos neste trabalho são semelhantes aos resultados a-presentados por Onega.

Os resultados obtidos estão representados nas Figu-ra 11, 12 e 13.

No terceiro caso, foram estudados os dois efeitos simultaneamente: a perda da vazão do refrigerante e a in-serção de reatividade devido a queda da barra de controle, caracter4'"-^do um acidente de perda total das bombas de refrigeração.

Para este tipo de acidente a atuação do sistema de proteção pode ser prevista de três formas diferentes: por subvoltagem ou subfrequincia no sistema das bombas pelo desligamento do circuito elétrico das bombas por baixo fl£ xo de refrigerante no reator.

Vamos considerar que as bombas são desligadas por subvoltagem e que o movimento da barra de controle se inj^ cia 1,2 segundos apôs o desligamento.

-35-da barra de controle se encontra na Figura 14 e a mesma foi aproximada por um polinômio do 59 grau para ser uti 1 j_ zada no método de Hansen, Para o CSMP a curva foi aproxi-mada por pontos de 0,2 em 0,2 segundos usando para isto a função AFGEN.

Os resultados obtidos com o CSMP e o método de Han-sen para um tempo de 10 segundos são os seguintes:

P/Pf ÔT c m C S M P Hansen 0 0 ,07242 ,07293 -289 -287 ,51 ,25 - 9 - 8 ,3203 ,9937

A Figura 15 representa a variação da potência nu-18

clear existente no FSAR do Angra I

0 resultado obtido na presente simulação se encon-tra na Figura 16, sendo o comportamento da curva bem seme_ lhante ao reproduzido no FSAR.

A altura final do patamar da curva i dada pela rea-tividade total inserida, tomada nos códigos desenvolvidos neste trabalho como 4000 pcm.e por não ser um valor forne cido e sim aproximado, se obtém para o patamar um valor um pouco menor do que o existente no FSAR.

Como os resultados obtidos pelos códigos de Hansen

e CSMP foram bastante aproximados, existindo em vários

trechos das curvas coincidincia quase que total, se optou

pelos dados obtidos por CSMP na execução do traçado das

TABELA I - Valores dos Parâmetros Utilizados como Dados de Entrada 3 7 -PARÂMETROS p

o

MP Ce Cm Tl C2 C3 V N Mm Mc A 6 am ac (MW) 0(kg/seg) (J/kg9C) (J/kg9C)

(°C)

(J/kg9C) (J/kg9C) (w/PC) (kg) (kg) (seg)

(/ °c)

(/ <?C) TERMINOLOGIA P o t ê n c i a T é r m i c a Inicial Vazão do Refrigerante

Calor Específico do Combustível Calor Específico do Moderador Temperatura de Entrada do Refri-gerante

Constante Térmica Constante Térmica

Coeficiente de Transferência de Calor

Número de Varetas de Combustível Massa Total do Moderador

Massa de Combustível de uma Vareta

Tempo de Geração dos Neutrons Prontos

Fração Total de Neutrons Retardados Coeficiente de Reatividade do Moderador Coeficiente de Reatividade do Combustível VALORES 1876 8972,22 343,84 5316,70 287,50 -3031,47 13,61 179,95 28435 10020,23 1,9846 0,00001734 0.007139 -0,000126 -0,000026

PARÂMETROS TERMINOLOGIA VALORES

61 Fração de Neutros Retardados do

Grupo I . 0,000217 32 Fração de Neutros Retardados do

Grupo II 0,001463 63 Fração de Neutros Retardados do

Grupo III 0,001352 64 Fração de Neutros Retardados do

Grupo IV 0,002823 65 Fração de Neutros Retardados do

Grupo V 0,000961 66 Fração de Neutros Retardados do

Grupo VI 0,000323 XI (seg" ) Constante de Decaimento do

Gru-po I 0,0125 Constante de Decaimento do

Gru-po II 0,0308 Constante de Decaimento do

Gru-po III 0,1154 Constante de Decaimento do

Gru-po IV 0,311 Constante de Decaimento do

Gru-po V 1,246 Constante de Decaimento do

-24!_

18-i /

! /

5 TO 15 20 T e m p o ( s e q ) f i g u r a 2 - T e m p e r a t u r a do c o m b u s t T v e l ( v a r i a ç ã o em r e l a ç ã o a n o m i n a l ) . D e a r a u de 1 0 0 p c m ,

(9C) 1,30 1,24-1,18 1,12-1,06 5 10 15 Tempo (seg) Figura 3 - Temperatura do moderador (variação em relação a nominal).

Degrau de 100 pern.

0,90

-0,85

Figura 4 - Potincia nuclear (fração da nominal) Degrau de - 100 pcm.

15 20 Tempo (seg)

(9C) 0

10 15 20 Tempo (seg) Figura 5 - Temperatura do combustível (variação em relação a nominal).

Degrau de -100 pcm.

•o I

(°C) O

- 1,05 ~

-

1,10-- 1,151,10--

1,15-Tempo (seg) Figura 6 - Temperatura do moderador (variação em relação a nominal).

O 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Tempo (seg) Figura 7 - Vazão do refrigerante (fração

da nomi nal).

OI

0,925

0 , 8 5

0 , 7 7 5

-0 , 7 _{15 20}

Tempo (seg) Figura 8 - Potência nuclear (fração da nominal)

Queda de vazão.

cn

(9C) O

1 3

2 6

-5 10 1-5 20 Tempo (seg) Figura 9 - Temperatura do combustTvel (variação em relação a n o m i n a l ) .

Figura 10 - Temperatura do moderador (variação em relação a n o m i n a l ) . Queda de vazio.

•

1 0.987 0,971 0.961 0,948 0,933 \ \ - \ \ ' \ \ 1 1 1 5 10 15 20 Tempo (seg) Figura 11 - P o t i n c i a nuclear ( f r a ç ã o da n o m i n a l ) .

- 3h - 6h 5 10 15 20 Tempo ( s e g ) F i g u r a 12 - T e m p e r a t u r a do c o m b u s t í v e l ( v a r i a ç ã o em r e l a ç ã o a n o m i n a l ) . Queda de vazão l i m i t a d a em 75% da n o m i n a l . on o i

(°C)4,4 3,52 2,64 1,76 0,88 -Tempo (seg) Figura 13 - Temperatura do moderador (variação em relação a n o m i n a l ) .

Queda de vazão limitada em 75% da n o m i n a l .

cr

1,5 2,0 2,2 3,0 Tempo (seg) Figura 14 - Curva de inserção de reatividade (fração da

Figura 15 - Potência nuclear (fração da nominal). Perda total da vazão do refrigerante. Curva do FSAR.

Figura 16 - Potência nuclear (fração da nominal) Perda total da vazão do refrigerante.

8 10 Tempo (seg)

5 5 -4 . 2 - Conclusões

0 i n t e r v a l o de i n t e g r a ç ã o do D i n l m i c a I e o l i m i t e s u p e r i o r do i n t e r v a l o para o CSMP f o i de 0 , 1 s e g u n d o s . P£ ra obtermos r e s u l t a d o s c o m p a t í v e i s no i n í c i o do t r a n s i t ó -r i o com o método de Hansen, te-remos que u s a -r um i n t e -r v a l o de i n t e g r a ç ã o dez vezes menor.

No p r i m e i r o caso e s t u d a d o , a i n t r o d u ç ã o de um d e -grau de r e a t i v i d a d e para 20 segundos de tempo r e a l no coin p u t a d o r de F u r n a s , o n d e o c ó d i g o Dinâmica I se e n c o n t r a im p l a n t a d o , o mesmo l e v a 14,66 segundos de CPU e o método de Hansen g a s t a 96,46 segundos, sendo aproximadamente s e t e vezes mais l e n t o .

0 CSMP sendo u t i l i z a d o em um computador mais r á p i d o , o IBM 370/165 e por ser de i n t e r v a l o v a r i á v e l não pode se£ v i r como termo de comparação. No segundo caso estudado para 20 segundos de tempo r e a l o CSMP l e v a 12,57 segundos de CPU e o método de Hansen 33,10 s e g u n d o s , mas para o t e r c e i r o caso onde e x i s t e a l i m da queda de vazão a i n t r o -dução de r e a t i v i d a d e , para 10 segundos de tempo r e a l , o CSMP l e v a 21,96 segundos e o método de Hansen 1 7 , 2 8 s e g u ^ dos .

Dos d i v e r s o s r e s u l t a d o s o b t i d o s os casos mais d i s -c r e p a n t e s foram para um degrau de 100 p-cm, e x i s t i n d o uma

diferença de aproximadamente 3 9C entre os códigos Oinãmi^ ca I e o método de Hansen,para a diferença de temperatura do combustível, correspondendo a um erro de aproximadameji te 10%.

Porim se levarmos em conta o valor nominal da temp£ ratura, este erro é menor que 0,5$. 0 mesmo ocorre para um degrau de -100 pcm para a temperatura do moderador,daji do um erro de 40% na diferença de temperatura mais infe-rior a 0,2% na temperatura nominal.

Além disto, temos que levar em consideração que os dois modelos não são exatamente iguais, tendo em vista que o Dinâmica I e um modelo linear e o CSMP e o método de Hansen por levarem em conta a variação do coeficiente de reatividade do combustível com a temperatura e aproximar a curva de entalpia por um polinõmio do 29 grau,represen-tam um modelo de Dinâmica não linear.

Portanto, podemos concluir que para o primeiro caso estudado.não existe uma diferença muito grande entre os dois modelos, ela poderia ser maior no caso de existir uma maior variação na temperatura do combustível que leva^ ria uma maior variação no coeficiente de reatividade do combustível.

5 7 -os err-os cometid-os são bastante m e n o r e s , podendo ser atrj_ buidos exclusivamente as diferenças do métodos de solução numlri ca.

0 mitodo de Hansen embora use uma dinâmica não 1 i ne_ ar, lineariza a equação ao usar a aproximação do maior auto valor, que sõ nos levará no inTcio do transitório a resultados compatíveis se o intervalo de integração for muito pequeno, levando portanto a um tempo muito grande de m á q u i n a .

0 CSMP tem como principal vantagem em relação aos outros dois métodos,a utilização de um intervalo variável de integração podendo levar no caso de transitórios len-tos a um tempo de máquina bem menor. Alem disto ele tra-balha com um intervalo interno bem pequeno, igual a 10 do tempo total de integração e calcula os máximos e míni-mos das variáveis existentes na simulação e em termíni-mos de programação o esforço desenvolvido 5 bem menor ja que se programa diretamente as equações diferenciais do modelo matemãti co.

Em contra partida, o CSMP não i muito difundido, e-xistindo em poucos computadores o sistema implantado e p£ de existir dificuldade no caso de se querer acoplar o cõ-digo a um outro cócõ-digo já existente em linguagem FORTRAN.

Podemos concluir que os dois códigos de Dinâmica não linear levam a resultados satisfatórios podendo ser utj[ lizados indistintamente, conforme preferência pessoal e a existincia dos mesmos no computador que se está u t i l i z a n -do.

APÊNDICE A

DETERMINAÇÃO DAS CONSTANTES DA CURVA ENTALPIA EM FUNÇÃO DA TEMPERATURA.

14

Na tabela de vapor , as temperaturas estão espaça-das ds 10 op em 10 9F e a entalpia i interpolada linear-mente para 2250 psia, tomando a midia dos valores entre 2000psia e 2500 psia e é dada em BTU/lb.

Fazendo a transformação para 9C e O/kg teremos en-tre 500 9F e 640 ÇF os seguintes pontos.

TEMPERATURA (9C) ENTALPIA (J/kg) 260,00000 265,55556 271,11111 276,66667 282,22222 287,77778 293,33333 298.R8889 304,44444 310,00000 315,55556 1133380,7 1160244,2 1187456,5 1215017,6 1243160,3 1271768,1 1300841,0 1330728,1 1361312,8 1392827,9 1425273,4

-59-TEMPERATURA (<?C) ENTALPIA (J/kg) 321,11111 1459114,3 326,66667 . 1494583,3 332,22222 1532145,6 337,77778 1572615,2

Sendo estes 15 pontos os dados de entrada, para um programa FORTRAN, utilizando uma aproximação por polinõ-mios de Chebyshev no computador IBM-113O obtemos os se-guintes coeficientes.

C1 = 913230 J/kçi

C2 = 2789,8115 J/kg 9C

C3 = 14,007375 J/kg 9 C2.

Com os mesmos 15 pontos utilizando um programa de regressão polinomial na calculadora HP 9830A, obtivemos o seguinte resultado

C1 = 968579,1 J/kg

C2 = - 3151268 J/kg 9C

C3 = 14,59223 J/kg 9 C2.

-61-resultados obtidos com a calculadora HP 9830A.

Como o programa Dinâmica I, usa uma aproximação do 19 grau, usando os mesmos 15 pontos com a calculadora H P 9830A, obtivemos os seguintes coeficientes.

Cj = - 326604,5 J/kg

C2 = 5571,646 J/kg 9C.

No Dinâmica I C~ = C e o valor usado como dado de entrada i

Cm = 5316,70 J/kg 9C,

existindo um irro de apenas 5% entre a aproximação por uma curva de 19 grau e o valor de Cm.

Os resultados obtidos com a calculadora HP 9830 A são apresentados na Figura 17.

1.1

1,1

260 270 280 290 300 310 320 330 340

Temperatura (9C) Figura 17 - Aproximação da entalpia por uma curva do 29 grau e do

19 grau.

APÊNDICE B

PRINCIPAIS BLOCOS FUNCIONAIS UTILIZADOS EM CSMP,

BLOCO FUNÇÃO Y s INTGRL (Tf. X) Y(O) = IC INTEGRADOR Y = / Xdt + IC 0 Y = LIMIT (P1 , P2, X) LIMITADOR Y = STEP (P) FUNÇÃO DEGRAU l Y = Y = X Y = 0 Y = 1 v < p X > P. P ]

< x '

t < p t > p Y = EXP (X) EXPONENCIAL Y = ALOG (X) LOGARITMO NATURAL Y = t n ( X ) Y = S I M ( X ) SENO T R I G O N O M É T R I C O Y = s i n ( X ) Y = COS (X) COSSENO TRIGONOMÉTRICO Y = SQRT (X) RAIZ QUADRADA Y = ABS (X) VALOR ABSOLUTO Y = AMAX1 ( XrX2, . . . Xn) MAIOR VALOR Y = AMIM1 (X],X2 >...Xn) MENOR VALOR Y Y Y Y Y = cos(X) = X1'2

= I x |

= max (X,, X2, . = min (X,, X2, .

... x

n

)

... x

n

)

6 3

-CARACTERÍSTICAS DO REATOR ANGRA I

PARÂMETRO TERMINOLOGIA VALOR

q" ( w / c m2) As ( c m2) Tc (Ç Tm (9C) kc k r B T l J f t O BTU f t 9F Fluxo de Calor 59 ÂVea de Transferencia de

Ca-l o r da Vareta de CombustíveCa-l 1091,57 Temperatura Media do

Combus-t í v e l 648,89 Temperatura Media do

Modera-dor 306,89 Condütividade Tirmica do Combus t í v e l 1,5 Condutividade Tirmica do Revestimento 8,8 km H Dr ar a 1 . BTU (h ft (ft) (cm) (cm) (cm) (cm) of-1' Condutividade Tirmica do Moderador Altura da Vareta tível Diâmetro Externo Raio Externo da Raio da Pastilha tível Distância entre de Combus-da Vareta Vareta de Combus-Varetas 0 1 0 0 0 1 ,326 2 ,94996 ,47498 ,4095 ,2319

-64- -65-PARÂMETRO 9 (cm) h i B T U Ag ( f t2) Am ( f t2) Mp {1 b / h ) TERMINOLOGIA Espaçamento Vareta-Encamisamen t o f n n c t a n f o An ft A P Area Interna do G A P Area E f e t i v a da Agua Vazão da Aqua VALOR 0,00826 1 7fi? 2 1 , 1 5 4 5 2 6 , 4 7 1 , 1

G (lb/h f t2) Relação entre a Vazão da Sgua pela Area Efetiva da

v P r Mc ( F T t > (kg) p(g/cm3) Mm r.n Ne a b c d (kg) Vm Vc ESm ( c m ) j á t o m o s / ^ Aqua Viscosidade da Agua Número de Prandtl Massa Total de Massa Específii Uo2 :a do Uog

flassa do Moderador no Núcleo Relação Volume

para Volume do a 300 9K

do Moderador

C o m b u s t í v e l

Produto EES para a Agua a 300 <?K Átomos de UOo Constante para Constante para Constante para Constante para o C á l c u l o de I o C á l c u l o de H o C á l c u l o deSj o C á l c u l o da R, 2 0 0 .69 .26 .7 56432,2 10,412 10020,23 1 1 0 3 2 0 0 ,85 .5 ,0232x102 4 . 0 . 8 ,0061 ,0047

DETERMINAÇÃO DAS CONDIÇÕES INICIAIS PARA AS EQUAÇÕES DO M O D E L O .

Para a simulação do reator partir de um ponto de e-q u i l T b r i o , é n e c e s s á r i o pela própria definição de ponto de e q u i l í b r i o , que as derivadas em relação ao tempo de t£ das variáveis envolvidas no modelo sejam nulas no instan-te i ni ei a i .

Como

s B = Z 0. ( D. 1)

i = 1, 2 , .... 6 teremos na equação (1) que

=

°

(D

-

2)

n o i n s t a n t e i n i c i a l . As c o n d i ç õ e s i n i c i a i s p a r a as seis e q u a ç õ e s de neu-t r o n s r e neu-t a r d a d o s , s ã o c a l c u l a d a s de f o r m a q u e i = 1, 2 , .... 6 n o i n s t a n t e i n i c i a l . P a r a as e q u a ç õ e s de b a l a n ç o de c a l o r , n ã o p o d e m o s 6 6

6 7 -u s a r os v a l o r e s n o m i n a i s d a s t e m p e r a t -u r a s d o c o m b -u s t í v e l e d o m o d e r a d o r c o m o c o n d i ç õ e s i n i c i a i s e s i m v a l o r e s q u e l e v e m n o i n s t a n t e i n i c i a l a (D-4) d T m = 0 (D.5) dt P o r t a n t o i g u a l a n d o . a zero o p r i m e i r o m e m b r o das e q u a ç õ e s (3) e ( 1 3 ) , obtemos apôs s i m p l i f i c a ç õ e s o s e g u i n t e s i s t e -ma p

o

= Tc - Tm (D.6) P

0

= Mp

0 [

2 C

2Í

T r n

" V

+ 4 C

3<

T m

"

T

l )

T m

]

Vamos considerar dois casos

19) Aproximar a curva de entalpia em função da temperatu-ra por uma curva do primeiro gtemperatu-rau.

Isto corresponde a fazer

C2 = Cm

c

3

= o

Resolvendo o s i s t e m a do p r i m e i r o grau r e s u l t a n t e das equações ( D . 6 ) e ( D . 7 ) , obtemos

Tm = 307,16 9C

6829) A p r o x i m a r a curva de e n t a l p i a em função da t e m p e r a t u -ra por uma curva do segundo g r a u .

Para e s t e segundo caso usamos os c o e f i c i e n t e s o b t i d o s por r e g r e s s ã o p o l i n o m i a l

C2 = - 3151,27 J / k g 9c

C3 = 14,59 J / k g ( 9 C )2.

Resolvendo os s i s t e m a do segundo grau r e s u l t a n t e das equações ( P . 6 ) e ( D . 7 ) , obtemos

Tm = 3 0 5 , 6 3 <?C Tc = 6 7 2 , 2 6 <?c.

APÊNDICE E

CÁLCULO DO COEFICIENTE DE TRANSFERENCIA DE CALOR.

Uma maneira aproximada para o cálculo do coeficien-te de transferincia de calor da vareta de combustTvel pa-ra o refrigepa-rante pode ser obtida pela Lei de Newton, que

é

q" = - £ - (Tc - Tm) (E.l)

onde q" •+ f l u x o de c a l o r As -*• area de t r a n s f e r i n c i a de c a l o r da v a r e t a de combustT^ v e l . Levando a um c o e f i c i e n t e de t r a n s f e r i n c i a de c a l o r de n = 188,31 W/9C.

Uma forma mais correta, levando em consideração os efeitos das diversas resistincias térmicas, para o calcu-lo do coeficiente total de transferincia de cacalcu-lor é a se-guinte

p =

p = Re + Rr + Rg + Rrm onde

Re -> resistência térmica do combustível

7 0 -Rr •+ r e s i s t i n c i a térmica do revestimento

Rg •*• r e s i s t i n c i a térmica do 6 A P

Rrm -*• r e s i s t i n c i a térmica devido a t r a n s f e r i n c i a de c a l o r entra o revestimento e o r e f r i q e r a n t e .

A r e s i s t i n c i a térmica do pino de combustível é dada pela fórmula

»<= 8 kc , H <E-3>

onde

kc •*• conduti vi dade térmica do combustTvel H -»• a l t u r a da vareta de combustTvel que nos leva a um v a l o r de

hOF

Re = 0,0022105 " ; , , .

A r e s i s t ê n c i a térmica do revestimento I dada pela fõrmul a

Rr • 2 * \ kr L" ( - T1- ) onde

kr •*• conduti vi dade térmica do revestimento ár •+ r a i o externo da vareta

a •> r a i o da p a s t i l h a de combustível, que nos leva a um valor de

7 1

-Rr = 0,000224

A r e s i s t i n c i a t i r r a i c a do GA P i dada de forma apro xinada por

«*=~WW <

E

-

5

>

onde Ag + área i n t e r n a do G A P hg •+ c o n s t a n t e do G A P, que nos l e v a a um v a l o r de Rg = 0,0004915

A r e s i s t i n c i a térmica entre o revestimento e o r e -f r i g e r a n t e I dada pela -formula

R r" • 2 ir ar H hm <E'6> onde

km + é o c o e f i c i e n t e de transmissão de c a l o r e n t r e o r e -vestimento e o r e f r i g e r a n t e ,

que i dado pela fórmula

hm . _ j j E . c R e0*8 P r1 / 3 ( E . 7 )

onde

km •+ conduti vi dade térmica do r e f r i g e r a n t e Re. •*• número de Reynolds

Pr •*• número de P r a n d t l Oc •* d i â m e t r o e q u i v a l e n t e do canal C •* f a t o r de c o r r e ç ã o da c é l u l a , onde C = 0,0333 ( V m V^ V c ) + 0,0127 ( E . 8 ) onde V m •+ v o l u m e d a a n u a n a c é l u l a V c •*• v o l u m e d o c o m b u s t í v e l n a c é l u l a Vm = - 4 - (J2 - Or2) x H (E.9) Vm + Vc = - 5 - I2 H (E .10) onde 1 •*• d i s t â n c i a e n t r e v a r e t a s " r o d p i t c h " Or •+• diâmetro externo que nos l e v a a um v a l o r de C = 0 , 0 2 6 1 9 . C á l c u l o do d i â m e t r o e q u i v a l e n t e do c a n a l . De = - i - ( !2 " O r2 - Í - ) ( E . l l ) que nos l e v a a um v a l o r de Dr = 0,03616 f t .

-73-Cãlcuio do número de Reynolds

Re = JLJL. (E.12)

onde v -»• v i s c o s i d a d e da água G •+ r e l a ç ã o e n t r e a v a z ã o da água p e l a á r e a e f e t i v a da á g u a que nos l e v a a um v a l o r de Re = 0 , 8 9 2 5 5 1 x I O6. U t i l i z a n d o a f o r m u l a ( E . 7 ) o b t e m o s hm = 5 0 6 9 , 5 ^ h f r °F Levando e s t e v a l o r na f ó r m u l a ( E . 6 ) obtemos Rrm = 0,0000055 - g y { j - . Levando os r e s u l t a d o s o b t i d o s no c a l c u l o das q u a t r o r e s i s t ê n c i a s t i r m ' c a s na f ó r m u l a ( E . 2 ) obtemos , . , 1 9 BTU M = 341,12 u = 179,95 -fa

DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS DO COEFICIENTE DE REATIVIDADE DO COMBUSTTVEL.

As diversas fórmulas utilizadas são encontradas na

- 12 referencia . Determinação de gl fjl = c + d (-jj|-) ( F . l ) onde Sc •*• s u p e r f í c i e de uma v a r e t a de combustTvel

Mc •*• massa de uma v a r e t a de combustTvel.

Logo,

Sc 2 ir a H

( F . 2 )

C

T T T p

onde p i a densidade do combustTvel

-Sr • ° -

4 6 9

i r

-Utilizando as constantes c e d para o Uo^ obtemos

SI = 0,083.

74 7 5 74 -Determinação de p

onde I i a i n t e g r a l de r e s s o n â n c i a dada p e l a f ó r m u l a

I = a + b / - § § - ' (F.4)

obtemos u t i l i z a n d o as constantes a e b para o Uoo

I = 22,174 x I O "2 4 cm2.

Utilizando os outros valores em (F.3) nos leva a um valor de

p = 0,83.

0 v a l o r nominal fornecido para p a 300 °K f o i de 0,824.

1 - K.F. HANSEN, B.Y. KOEN, AND W.W. LITTLE JR., Stable Numerical Solutions of the Reactor Kinetics Equati ons

Nuclear Science and Engineering: 22, 51-59(1965).

2 - R.J. ONEGA AND K.E. KARCHER, Nonlinear Dynamics of a Pressurized Water Reactor Core

Nuclear Science and Engineering: 6 1 , 276-282 (1976).

3 - GEOFFREY GORDON, System Simulation

P r e n t i c e - H a l l , I n c . , Englewood C l i f f s , New Jersey (1969).

4 - System 1360 Continuos System Modeling Program User's Manual - F i f t h E d i t i o n (1972).

5 - J.A.W. DA NOBREGA, A New S o l u t i o n o f the Point K i n e t i c s Equations

Nuclear Science and Engineering: 46, 366-375 (1971).

6 - D.L. HETRICK, Dynamics of Nuclear Reactors The University of Chicago Press, Chicago, Illinois (1971).

-76-

-77-7 - FURNAS CENTRAIS ELÉTRICAS S.A., Departamento de Gera ção Térmica

Manual de Utilização e Descrição do Código Dinâ-mica I, Nota Ticnia DGT.O 10 Setembro (1978).

8 - A.A.R. LOBO, P.A. SOARES e W.R.A. LAVORATO

Sacy - Um Programa Digital para Analise de Tran-sientes em Central Nuclear a Água Leve Pressuri-zada

Publicação NUCLEBRAS/IPR 381, Setembro (1976).

9 - R. FIEBIG, R. KRUGER

Gendy - A General Reactor Dynamics Program GKSS, Geesthacht (1973).

10 - L.S. TONG AND J. WEISMAN

Thermal Analysis of Pressurized Water Reactors American Nuclear Society, Hinsdale, Illinois (1970).

11 - vl.B. YASINKY AND A.F. HENRY

Some Numerical Experiments Concernig Space-Time Reactor K i n e t i c s Behavior

Nuclear Science and Engineering: 22, 171-181 (1965).

12 - J . R . LAMARSH

I n t r o d u c t i o n to N u c l e a r Theory

Addison-Wesley P r u b l i s h i n g Company, I n c . Massachusetts ( 7 9 6 5 ) .

13 - M.M. EL-WAKIL

Nuclear Power Engineering Me Graw-Hill (1962).

14 - J.H. KEENAN, F.G. KEYES, P.G. HILL AND J.G. MOORE Steam Tables

Johns Wiley and Sons Inc., New York (1969).

15 - B. CARNAMAN, H.A. LUTHER AND J.O. WILKES Applied Numerical Methods

Johns Wiley and Sons Inc., New York (1969).

16 - FRANCIS B. HILDEBRAND

Advanced Calculus f o r A p p l i c a t i o n s P r e n t i c e - H a l l I n c .

Englewood C l i f f s , New Jersey ( 1 9 6 2 ) .

17 - B.T. SMITH ET AL.

Lecture Notes in Computer Science

M a t r i x Eigensystem Routines-EisPack Guide S p r i n g e r - V e r l a g ( 1 9 7 6 ) .