TEOREMAS EM AÇÃO MOBILIZADOS POR ALUNOS
DO 8º ANO NA COMPARAÇÃO DE ÁREAS
Jailson Cavalcante de Araújo
Valéria Aguiar dos Santos; Anderson Douglas Pereira
Rodrigues da Silva; Thiago Cavalcanti Azevedo; Maria
Manuela Figuerêdo Silva
Theorems in Action Mobilized by Students of the 8th Year in the
Comparison of Areas
Resumo
Este artigo tem por objetivo analisar como alunos do 8º ano do Ensino Fundamental lidam com
a comparação de áreas de paralelogramos (quadrados, retângulos, losangos e paralelogramos
não retângulos e não losangos). A fundamentação teórica apoia-se na Teoria dos Campos
Conceituais de Vergnaud (1990) e seus colaboradores. Adota-se o modelo de área como
grandeza autônoma, proposto por Douady e Perrin-Glorian (1989) e as situações que dão
sentido ao conceito de área, desenvolvidas por Baltar (1996), mais especificamente a situação
de comparação de áreas. Nos procedimentos metodológicos, realizou-se a aplicação de uma
questão a alunos do 8º ano de uma escola pública municipal. Como resultados, percebeu-se
uma predominância do quadro numérico quanto à utilização de materiais disponíveis e
concepções geométricas e numéricas mobilizadas isoladamente. Foram identificados teoremas
em ação verdadeiros, tais como figuras diferentes podem ter mesma área e figuras em
posições diferentes podem ter mesma área; e falsos como, por exemplo: a área é
independente do tamanho da figura, figuras diferentes têm áreas diferentes, se os lados são diferentes, a área também é diferente.
Palavras-chave:Paralelogramos. Comparação de áreas. Teoremas em ação.
Abstract
This article aims to analyze how students from the 8th year of Elementary School deal with the
comparison of areas of parallelograms (squares, rectangles, lozenges and parallelograms not
rectangles and not lozenges). The theoretical foundation is based on the Theory of Conceptual
Fields of Vergnaud (1990) and his collaborators. It adopts the area model as autonomous
magnitude, proposed by Douady and Perrin-Glorian (1989) and the situations that give meaning
to the concept of area, developed by Baltar (1996), more specifically the situation of comparison
of areas. In the methodological procedures, an issue was applied to students of the 8th year of
a municipal public school. As results, it was noticed a predominance of the numerical framework
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isolation. True theorems have been identified in action, such as different figures may have same
area and figures in different positions may have same area; and fake, such as: the area is
independent of the size of the figure, different figures have different areas, if the sides are
different, the area is also different.
Keywords: Parallelograms. Comparison of areas. Theorems in action. Introdução
Discutimos neste artigo aspectos relacionados a teoremas em ação mobilizados por alunos
brasileiros ao responder atividades de comparação de área de paralelogramos (quadrados,
retângulos, losangos e paralelogramos não retângulos e não losangos). Utilizamos a Teoria dos
Campos Conceituais elaborada por Vergnaud (1990) e seus colaboradores, bem como nos
apoiamos no modelo de área enquanto grandeza autônoma, proposto por Douady e
Perrin-Glorian (1989).
Douady e Perrin-Glorian (1989) apontam que no estudo da noção de área como uma
grandeza autônoma é preciso articular e distinguir três quadros: o geométrico, o numérico e o
das grandezas. Essas autoras consideram que um quadro é constituído por objetos de um
ramo matemática, de suas formulações eventualmente diversas, das relações entre esses
objetos, e das imagens mentais que o sujeito associa a um momento dado aos objetos e suas
relações.
Ressaltamos também a importância do estudo da noção de área, conforme os Parâmetros
na sala de aula (PERNAMBUCO, 2013, p. 138) que “é importante que o estudante diferencie
objeto, grandeza e medida dessa grandeza”.
Baltar (1996) categorizou um conjunto de situações que dão sentido ao conceito de área e
contribuem para a construção dele como uma grandeza. São elas: comparação de áreas,
medida de áreas e produção de superfícies. Neste trabalho, daremos ênfase a situação de
comparação de áreas. Segundo Bellemain (2000, p. 7), as situações de comparação estão
situadas em torno do quadro das grandezas, pois “quando comparamos duas superfícies
somos conduzidos a decidir se elas pertencem ou não a uma mesma classe de equivalência”.
E será esse tipo de situação que discutiremos nesse texto.
Adotamos a Teoria dos Campos Conceituais como marco teórico neste estudo e que
discutiremos o que vem a ser situações que dão sentido ao conceito de área na sessão
seguinte.
Enquanto escolha metodológica, optamos por trabalhar com alunos do 8º ano do Ensino
Fundamental por, muito possivelmente, já terem vivenciado diversas situações relativas ao
conteúdo escolar área de figuras planas. Nos Parâmetros para a Educação Básica do Estado
de Pernambuco – (PERNAMBUCO, 2012), esse conteúdo deve ser trabalhado a partir do 3º
ano do Ensino Fundamental. Mesmo sendo iniciado os estudos nos primeiros anos de
escolaridade, é comum surgirem dificuldades e dúvidas dos alunos ao chegarem na segunda
etapa da educação básica, os anos finais, quando se diz respeito ao trabalho com situações
envolvendo o cálculo de área de determinada figura plana, à unidade de medida mais
apropriada para expressar as áreas, às fórmulas que se deve usar, entre outras.
Diante do exposto, temos a seguinte questão de pesquisa: quais teoremas em ação são
mobilizados por alunos do 8º ano do Ensino Fundamental quando lidam com atividades de
comparação de áreas de paralelogramos? Buscando atender a questão proposta, elencamos
como objetivo geral analisar como alunos do 8º ano do Ensino Fundamental lidam com a
comparação de áreas de paralelogramos (quadrados, retângulos, losangos e paralelogramos
não retângulos e não losangos). Mais especificamente, identificar teoremas em ação
mobilizados por estudantes do 8º ano ao responderem uma situação de comparação de área
que possuem diferentes paralelogramos.
Este artigo está estruturado da seguinte forma: inicialmente temos a introdução, ora
apresentada. Depois a parte teórica, que se inicia pela Teoria dos Campos Conceituais seguida
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aos aspectos metodológicos da pesquisa. Logo após, apresentamos a análise e discussão dos
resultados, algumas considerações finais seguidas das referências.
Referencial Teórico
Alguns elementos da Teoria dos Campos Conceituais
A Teoria dos Campos Conceituais, doravante TCC, construída por Gérard Vergnaud (1990) e
seus colaboradores tem por objetivo discutir o comportamento cognitivo do sujeito diante de
situações de aprendizagem. Em nosso caso específico, essas situações se voltam para a
comparação de áreas de diferentes paralelogramos.
Segundo a TCC, o conceito (C) é visto por um tripé indissociável: C = (S, IO, R), no qual (S)
é o conjunto das Situações que dão sentido ao conceito; ( IO) o conjunto dos Invariantes
Operatórios (teoremas em ação e conceitos em ação); e (R) o conjunto das Representações
Simbólicas. Procuraremos exemplificar brevemente com o conceito de área, ou seja, não basta
apenas definir: área de uma figura plana é..., faz-se preciso considerar um conjunto: de
situações que deem sentido à noção de área (conforme mencionado: comparação, medida,
produção); de invariantes operatórios, que são os teoremas em ação (alguns desses serão
exemplificados mais adiante) e conceitos em ação mobilizados nas tarefas sobre área e, por
último e não menos importante, de representações simbólicas utilizadas no tratamento das
situações que envolvem esse conceito.
É nos invariantes operatórios, mais especificamente nos teoremas em ação, que concentraremos nossos estudos. Podem ser entendidos como uma proposição considerada
verdadeira pelo sujeito, porém pode ser falsa para o domínio da matemática, cuja solução de
um problema depende da sua ativação. De acordo com Vergnaud (1986, p. 81) “[...] um
invariante é uma propriedade ou uma relação que é conservada sobre um certo conjunto de
transformação”. Esse autor considera que há três tipos de invariantes operatórios: proposições
(teoremas em ação) que são suscetíveis de serem verdadeiros ou falsos; função proposicional
(conceitos em ação) os quais não são suscetíveis de serem verdadeiros ou falsos, podem ser
apenas pertinentes ou não; e argumento que, em matemática, pode ser números, relações,
etc., o qual se refere ao uso dos dois tipos anteriores, e ele aponta que quem diz função
proposicional e proposição, diz argumento.
Segundo Vergnaud (1998) a escolha da informação na qual iremos operar e a sequência de
cálculos a serem realizadas se baseiam em teoremas em ação. Ele enfatiza que os conceitos
em ação são relevantes, ou não relevantes, ou mais ou menos relevantes, ao identificar e
selecionar uma informação, porém isso é diferente de verdade e falsidade. Para ele não faz
sentido dizer que os conceitos matemáticos de triângulo, número, simetria, ou outros são, neles
mesmos, verdadeiros ou falsos, e ainda assim esses conceitos são relevantes para caracterizar
representação e ação em tarefas matemáticas. Já os teoremas em ação podem ser
verdadeiros ou falsos.
Os teoremas em ação falsos ajudam a compreender os erros cometidos pelos alunos. Por
exemplo, quando notamos que o aluno mobiliza que “dois paralelogramos que possuem
mesma área, possuem o mesmo perímetro”, ele está usando um teorema em ação falso para
determinada situação posta. Esse é um exemplo de um invariante operatório do tipo
proposição, para justificar as operações realizadas para resolver uma determinada atividade. É
nesse cenário que se torna importante o trabalho do professor, pois é por meio da explicitação
do conhecimento implícito que ele entra como mediador, para tornar progressivamente esses
teoremas e conceitos em ação em teoremas e conceitos científicos que serão verdadeiros para
quaisquer situações propostas.
De acordo com a TCC, existe uma relação dialética entre conceitos em ação e teoremas em
ação, já que conceitos são ingredientes dos teoremas, e teoremas são propriedades que dão
conteúdo aos conceitos. Vergnaud (1994) aponta que as ideias de teoremas em ação e
conceitos em ação são desenvolvidas para enfatizar que nós precisamos de conceitos e
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Área como grandeza autônoma
O trabalho de Douady e Perrin-Glorian (1989) propõe um modelo epistemológico para a
construção do conceito de área enquanto grandeza autônoma. Ele apresenta alguns erros e
dificuldades encontrados nos alunos franceses e propõe uma intervenção. Um fato observado
por essas pesquisadoras diz respeito aos alunos terem dificuldade em expressar a área de
uma superfície (Σ), quando uma superfície unitária (U) possui um formato que não permite
ladrilhar efetivamente a superfície ( Σ), usando uma quantidade finita inteira de superfícies
unitárias (U), por exemplo: os alunos apresentam dificuldades em admitir que a área de um
triângulo seja apresentada tomando como unidade de medida o quadrado, pelo fato de não
podermos ladrilhar completamente um triângulo em uma quantidade de quadradinhos inteiros.
Assim, com o propósito de descrever erros e dificuldades detectados, Douady e
Perrin-Glorian (1989) indicam que são provocados pelos modos como os alunos associam área
e perímetro, quando resolvem problemas relacionados a esses conteúdos. Essa associação,
ora apenas a números ora a superfícies, as autoras denominam de “concepções”, sendo,
então, apresentadas como um modelo explicativo desses erros e dificuldades dos alunos. Além
disso, as pesquisadoras propõem uma classificação das concepções de área em dois polos:
concepção forma, também chamada concepção geométrica; e concepção número ou, também
intitulada, concepção numérica.
Ao mobilizar uma concepção geométrica o aluno entende que se mudar a superfície de uma
figura então sua área também se altera. Como consequência, em uma determinada situação,
ao decompor uma figura e recompor em outra diferente, sem perda nem sobreposição, o aluno
compreende que esta nova figura possui área diferente da anterior. De acordo com a TCC,
interpretamos a proposição: superfícies diferentes devem necessariamente ter áreas diferentes,
como um teorema em ação falso.
Nas situações em que se constatam a concepção numérica, os alunos consideram apenas
os aspectos pertinentes ao número, levando-os a fazer extensões incorretas de fórmulas,
omissão e/ou utilização inadequada das unidades de medida.
Embora não tenham como marco teórico a TCC, notamos sob a ótica desta teoria, que
Régine Douady e Marie-Jeanne Perrin-Glorian (1989) perceberam alguns teoremas em ação
errôneos comuns nos alunos ao trabalharem com o conceito de área, tais como:
● a variação da área e do perímetro no mesmo sentido, ou seja, se a área de certa
figura aumenta ou diminui, seu perímetro também se altera ou vice-versa;
● superfícies de mesma área têm mesmo perímetro;
● calcular a área de um paralelogramo a partir do produto das dimensões dos seus
lados;
● multiplicar as três dimensões dos lados de um triângulo para calcular a sua área, entre
outros.
A abordagem elaborada por Douady e Perrin-Glorian (1989) corresponde a distinguir e
articular três quadros: o quadro geométrico, o quadro numérico e o das grandezas. Mais
especificamente, temos:
● Quadro Geométrico: constituído por superfícies planas.
Exemplos: as figuras planas, triângulos, quadriláteros, dentre outros.
● Quadro Numérico: consistindo nas medidas da área das
superfícies, que pertencem ao conjunto dos números reais não negativos. Exemplos: 2; 4; 7,5; dentre outros.
● Quadro das grandezas: contexto próprio da noção de área,
que integra os dois primeiros e é caracterizado formalmente como
classes de equivalência de superfícies de mesma área. Exemplos:
expressões compostas de um número e de uma unidade de medida
como 2m2, dentre outros (BELLEMAIN; LIMA, 2002, p. 28 e 29).
A proposta apresentada por Douady e Perrin-Glorian (1989) traz como exigência a
diferenciação nítida dos conceitos de área e superfície, da mesma forma que entre área e
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Figura 1 – Superfícies diferentes com áreas iguais Fonte: elaborada pelos autores
Como percebemos, as figuras são diferentes e as áreas são iguais a 9 cm 2. De forma
análoga, poderíamos pensar em dois paralelogramos, losangos por exemplo, que podem
apresentar medidas de área diferentes. A medida de área, isto é, o número associado a ela,
mudaria se quiséssemos escrevê-la, por exemplo, em milímetros quadrados, 900 mm2, ou
qualquer outra unidade de área, porém a área das figuras permaneceria a mesma. Ou seja,
poderíamos representar de maneiras diferentes, porém equivalentes, o par (número, unidade
de medida) e, mesmo assim, designariam a mesma área.
Nesse sentido, podemos considerar a área de uma figura como sendo um atributo dessa
figura, que independe da superfície, pois superfícies diferentes podem ter mesma área, bem
como do número associado a ela, pois diferentes números podem se referir a mesma área,
basta termos as unidades de medidas adequadas.
Vejamos agora um exemplo de uma situação de comparação de áreas, a qual é foco do
nosso estudo:
Figura 2 – Situação de comparação de áreas Fonte: Santos (2005, p. 92, adaptado)
Temos na figura acima um exemplo de uma situação de comparação de áreas sem dados
numéricos. Esse tipo de situação contribui para a construção do conceito de área como uma
grandeza autônoma, pois, além de evidenciar que figuras diferentes podem ter mesma área,
favorece a utilização de diversos procedimentos para compará-las, tais como decomposição e
recomposição, sobreposição, entre outros, diminuindo a força do campo numérico que
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Metodologia
Essa pesquisa apresenta uma análise de abordagem qualitativa, pela qual se trata de priorizar
a qualidade do processo abordado nos teoremas em ação mobilizados por alunos do 8º ano do
Ensino Fundamental na comparação de áreas, em uma escola pública municipal situada no Recife/PE, escolhida por conveniência. Os participantes foram 21 alunos dessa escola, com
idades de 11 a 17 anos, para os quais espera-se que já tenham vivenciado diversas situações
relativas ao conceito de área, conforme vimos nos documentos de orientação curricular
apresentados na introdução deste trabalho. Eles tiveram duas aulas, ou seja, cem minutos para
realizar a atividade proposta. Buscando preservar a identidade de cada sujeito pesquisado, os
alunos serão representados por uma letra e um número, ou seja, A1 à A21.
O instrumento de coleta de dados foi um teste contendo uma questão de comparação de área de paralelogramos em diferentes malhas quadriculadas, no qual as figuras não contemplavam dados numéricos explícitos, conforme veremos logo abaixo. Vale salientar que na questão aplicada aos alunos, todas as figuras estavam em verdadeira grandeza, ou seja,
em tamanho real, e que foram disponibilizados papel quadriculado cujos quadradinhos
possuíam um centímetro de lado, e pontilhado com a distância entre um ponto e seu sucessor
medindo também um centímetro, e régua graduada. Vejamos detalhadamente a questão aplicada:
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( ) As figuras A e B possuem mesma área.
Explicação:___________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________
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( ) As figuras A e G possuem mesma área.
Explicação:___________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ( ) As figuras A e C possuem mesma área.
Explicação:___________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ( ) As figuras E e F possuem mesma área.
Explicação:___________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ( ) As figuras F e H possuem mesma área.
Explicação:___________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ( ) As figuras A e D possuem mesma área.
Explicação:___________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________
Figura 3 - Questão aplicada aos alunos do 8º ano do Ensino Fundamental
Fonte: elaborada pelos autores
Esta é uma situação de comparação em que as medidas das áreas não são fornecidas,
portanto a ênfase está na relação de equivalência: ter mesma área. Optamos pela utilização de
figuras em malhas diferentes pela possível diversidade de respostas ao se levar em conta o
aspecto numérico e o geométrico. Nesse sentido, o aluno deverá responder seis afirmações
sobre comparação das áreas dessas figuras, sendo três comparações entre figuras dispostas
em malha de mesma dimensão (A e G), (A e C) e (F e H). Outras três com figuras dispostas em
malhas de tamanhos diferentes (A e B), (E e F) e (A e D). As comparações (A e G) e (A e C)
são na malha de um centímetro de lado de quadradinho. Enquanto que a comparação (F e H),
por exemplo, é entre figuras dispostas na malha de meio centímetro de lado de quadradinho. As figuras que estão na malha quadriculada de um centímetro de lado possuem as
seguintes áreas, cada uma: A e G possuem 8 cm 2; C e E têm 4 cm 2. Em relação às que estão
na malha de meio centímetro de lado, temos: a figura B possui área 2 cm 2; D tem 8 cm 2; F e H
com 4 cm2 cada.
As respostas corretas esperadas seriam aquelas em que o aluno assinala (V) verdadeiro
nas afirmações que apontam as figuras: A e G; E e F; F e H; A e D como figuras que possuem
mesma área. Nas demais sentenças deve assinalar (F) falso, ou seja, as figuras: A e B; A e C
não possuem mesma área.
As explicações dadas nas respostas dos alunos podem fornecer elementos importantes para identificarmos os invariantes operatórios mobilizados ao realizar as comparações.
No seguinte procedimento para comparação das áreas entre as figuras A e B, caso o aluno
responda que elas possuem mesma área, justificando pelo fato delas terem a mesma
quantidade de quadradinhos, isso pode revelar a prevalência do aspecto numérico e a não
consideração das unidades de medida diferentes. Por outro lado, caso o aluno responda que
elas possuem mesma área pelo fato de serem retângulos semelhantes, isso revela prevalência
do aspecto geométrico. Tomemos outra comparação entre as áreas das figuras F e H, o aluno
terá sucesso ao contar os quadradinhos, ao usar a fórmula, ao fazer decomposição e
recomposição e, mesmo diante dessa variedade de procedimentos que conduzem à resposta
correta, poderá cometer erros considerando a mais “comprida” ou a mais “larga” como tendo
maior área.
O fato de a comparação consistir na sentença: ter mesma área, sendo levado em
consideração o aspecto geométrico, pode emergir teoremas em ação, tais como superfícies
diferentes devem necessariamente ter áreas diferentes, como apresentado em nossa fundamentação teórica. Por outro lado, sendo evidenciadas justificativas relacionadas ao
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aspecto numérico, que podem ser por extensão indevida ou uso incorreto de fórmulas, bem como a não consideração do espaço ocupado.
Resultados
Em relação às respostas, todos os alunos tiveram acertos parciais, considerando como acerto
parcial a resolução correta de parte da questão e/ou alguns dos seus itens, ou seja, nenhum
deles errou ou acertou completamente a atividade. Dos materiais disponibilizados, a régua foi a
mais solicita, um total de nove alunos a solicitaram, enquanto que apenas um pediu papel
branco e outro pontilhado.
A partir de agora, focaremos nos invariantes operatórios mencionados e que pelo fato do
aluno ter feito menção, considera-se que ele o mobilizou, porém ele talvez não tenha sido o
único mobilizado para aquela resposta. Enfatizaremos os teoremas em ação, embora os conceitos em ação estão presentes neles.
A seguir listaremos os teoremas em ação e a quantidade de alunos que mobilizaram tal
teorema e, posteriormente, alguns protocolos para exemplificação.
Teoremas em ação Alunos
Verdadeiros
Figuras diferentes podem ter mesma área A7
Figuras em posições diferentes podem ter mesma área A8
Falsos
A área é independente do tamanho da figura A1, A7
Se os lados são diferentes, a área também é diferente A1
Figuras diferentes têm áreas diferentes A19
Figuras de mesma forma possuem mesma área, independentemente do tamanho
A3
A ampliação e/ou redução conserva a área
A13, A14, A15, A18, A19
Figuras de ângulos diferentes possuem áreas diferentes A15, A21
Para que figuras tenham mesma área é preciso ter “algo a ver” uma com a outra
A16
Quadro 1 – Resumo dos teoremas em ação identificados
Fonte: Dados da pesquisa
De acordo com o quadro acima, percebemos que um mesmo aluno mobilizou teoremas em
ação diferentes, verdadeiros e falsos, como é o caso do aluno A7, ou todos falsos, aluno A15,
por exemplo.
Vejamos os protocolos dos teoremas em ação verdadeiros.
Figura 4 – Exemplo de um teorema em ação verdadeiro: figuras diferentes podem ter mesma
área
Fonte: Protocolo A7
Notamos que o aluno acerta a comparação e mobiliza um teorema em ação verdadeiro.
Embora ele use a palavra desenho, acreditamos que esteja se referindo à figura. No modelo
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representação gráfica de uma ideia, que se diferencia do objeto geométrico por poder possuir imperfeições.
Figura 5 – Exemplo de um teorema em ação verdadeiro: figuras em posições diferentes podem
ter mesma área
Fonte: Protocolo A8
Notamos, a partir da explicação, que o aluno compreende que a área de uma figura
independe da sua posição, o que o leva a mobilizar um teorema em ação verdadeiro (figuras
em posições diferentes podem ter mesma área) e a acertar a comparação.
Vejamos alguns protocolos de teoremas em ação falsos mobilizados pelos alunos. Iniciamos
pelo de maior frequência, ou seja, aproximadamente 24% mobilizaram este teorema.
Figura 6 – Exemplo de um teorema em ação falso: a ampliação e/ou redução conserva a área Fonte: Protocolo A18
Percebemos que o aluno entende que elas possuem tamanhos diferentes, pois se refere a
maior e menor, mas pelo fato de as figuras envolvidas na comparação serem semelhantes, ele
acredita que reduzindo, no caso da figura B, ou aumentando-a, no caso da A, a área
permanece invariante, o que o leva ao erro na comparação e a mobilização desse teorema em
ação falso.
Figura 7 – Exemplo de um teorema em ação falso: figuras diferentes têm áreas diferentes
Fonte: Protocolo A19
Este fato é também observado na pesquisa de Silva (2016) e é um teorema em ação que
nos leva a pensar na sua recíproca que também é falsa, ou seja, figuras iguais possuem
mesma área. Conforme vimos na nossa fundamentação, podem possuir ou não, por isso ocorreu o erro ao comparar tais figuras.
Figura 8 – Exemplo de um teorema em ação falso: para que figuras tenham mesma área é
preciso ter “algo a ver” uma com a outra
Fonte: Protocolo A16
Além dos teoremas em ação acima apresentados, os alunos levaram em consideração
outros aspectos para comparar as figuras, tais como o numérico (contagem de quadradinhos)
alunos A2, A6, A9, A11, A12, A15, A16, A20 e o geométrico (figura “mais comprida”, “mais
larga”, formato triangular, quadrangular) alunos A3, A5, A10, A12, A13, A14, A17.
Considerações Finais
Inicialmente tínhamos o objetivo de analisar como alunos do 8º ano do Ensino Fundamental
lidam com a comparação de áreas de paralelogramos. Mais especificamente, identificar
teoremas em ação mobilizados por estudantes do 8º ano ao responderem uma situação de
comparação de área que possuem diferentes paralelogramos.
A partir da aplicação da questão e análise dos resultados percebemos concepções
geométricas e numéricas mobilizadas isoladamente, conforme apontado por Douady e
Perrin-Glorian (1989).
Sob a ótica Teoria dos Campos Conceituais foi possível identificar teoremas em ação
verdadeiros, tais como figuras diferentes podem ter mesma área e figuras em posições
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tamanho da figura, a ampliação e/ou redução conserva a área, figuras diferentes têm áreas
diferentes, entre outros.
Em alguns casos seria necessária a realização de uma entrevista para poder compreender
o raciocínio e validar ou refutar nossa interpretação sobre a possível mobilização de um
teorema em ação. Um exemplo seria entrevistar o aluno A16 para entender esse “nada a ver”
que ele se refere.
Por fim, sugerimos que sejam efetivamente realizadas intervenções que contribuam para o
processo de ensino e aprendizagem do conceito de área, no sentido de contribuir para melhor
compreensão e utilização desse conceito, e transformar progressivamente esses teoremas em
ação falsos em verdadeiros teoremas científicos.
Referências
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