Área = 1 u 2. Exemplos: Qual é a área das figuras abaixo? Ou seja, quantos quadradinhos cobrem as figuras?

Área das figuras planas

Calcular a área de uma figura plana significa saber a medida de sua superfície. Para isso, adotamos uma medida padrão e a partir dela contamos quantas delas são necessárias para cobrir a superfície.

A medida definida como padrão é um quadrado de lado 1 unidade de medida (

1 u

u

Exemplos:

Qual é a área das figuras abaixo? Ou seja, quantos quadradinhos cobrem as figuras?

1 u

Cálculo da Área de Quadrados e Retângulos

Pelos exemplos acima vimos que para calcular a área de quadrados e retângulos basta multiplicarmos as medidas de comprimento e largura (ou base pela altura).

Cálculo da Área de Paralelogramos

O paralelogramo é um quadrilátero que possui dois pares de lados opostos e paralelos e cujas medidas dos comprimentos dos lados opostos são congruentes (tem mesmo valor).

Para entender como se calcula a área de paralelogramos, veja a sequência de figuras abaixo.

É importante entender a diferença entre medida de lado e medida de altura relativa. No paralelogramo abaixo, veja que:

Veja que a medida do lado

a

Exemplo: Utilizando a fórmula podemos calcular a medida da área do paralelogramo abaixo:

Justifique essa afirmação: Os paralelogramos abaixo têm a mesma área.

A = b . h

a: medida do lado. Que pode ser considerada uma base. h: medida da altura relativa à base b.

Cálculo da Área do Triângulo

Observe como podemos calcular a medida da área do triângulo. Vamos considerar dois triângulos idênticos. Mas de cores diferentes.

Vamos inverter um deles e formar um paralelogramo.

A área do paralelogramo já sabemos calcular: A = base x altura

A área do triângulo é a metade da área do paralelogramo. Ou seja:

_{𝑨 =}

𝒃 ∙ 𝒉

𝟐

Exemplo: Utilizando a fórmula, podemos calcular a medida da área do triângulo abaixo:

Fórmula de Herão

Também podemos calcular a medida da área de um triângulo quando desconhecemos a medida do comprimento de sua altura, mas conhecemos as medidas dos comprimentos de seus lados. Uma fórmula para esse cálculo é:

𝑨 = √𝒔 ∙ (𝒔 − 𝒂) ∙ (𝒔 − 𝒃) ∙ (𝒔 − 𝒄)

a, b e c: medidas dos comprimentos dos lados do triângulo.

s: medida do semiperímetro do triângulo, ou seja, metade da medida do perímetro do triângulo.

Essa fórmula foi deduzida por Herão de Alexandria no livro A métrica e, por isso, ficou conhecida como fórmula de Herão. 𝑠 = 5 + 12 + 13 2 = 30 2 = 15 𝑐𝑚 𝐴 = √15 ∙ (15 − 13) ∙ (15 − 12) ∙ (15 − 5) A = √15 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 10 A = √900 = 30 𝑐𝑚2

Cálculo da Área de Trapézios

O trapézio é um quadrilátero que possui apenas um par de lados opostos paralelos, chamados bases.

Observe como podemos calcular a medida da área do trapézio.

Considere dois trapézios idênticos.

Vamos dar um giro no trapézio 2 e encostar um no outro:

Veja que as duas figuras formaram um paralelogramo de base (B + b) e altura (h).

B

b

Para calcular a área do paralelogramo já sabemos: A = base x altura Nesse caso, fica: 𝑨 = (𝑩 + 𝒃) ∙ 𝒉

Como o paralelogramo foi formado por dois trapézios, a área do trapézio é calculada dividindo por 2 a área do paralelogramo. Ou seja:

Exemplo: Observe como podemos calcular a medida da área do trapézio a seguir.

Cálculo da Área de Losango

O losango é um quadrilátero que possui os quatro lados congruentes. Também sabemos que o losango é um paralelogramo que possui diagonais perpendiculares.

No losango

d é a medida do comprimento da diagonal menor e D é a medida do comprimento da diagonal maior.

Veja como é simples entender o cálculo da área de um losango. Para facilitar, vamos deixar o losango com duas cores:

Vamos pegar o losango acima cortá-lo na diagonal maior, sem descartar as partes obtidas.

Agora vamos cortar um dos triângulos acima em dois triângulo retângulos:

Com as três figuras vamos formar um retângulo.

O losango “transformou-se” em um retângulo. Cuja área é:

𝑨 = 𝑫 ∙

𝟐

=

𝑫 ∙ 𝒅 𝟐

Calculamos a medida da área de um losango dividindo por dois o produto das medidas do comprimento de suas diagonais.

Exemplo: Observe como podemos calcular a medida da área do losango a seguir:

Exercícios Múltipla escolha

uma folha de papel retangular cujos comprimentos dos lados medem 21 cm e 29,5 cm e obteve um paralelogramo. Qual é a medida da área do paralelogramo que Beatriz obteve.

a) 325,5 𝑐𝑚2

b) 294 𝑐𝑚2

c) 619,5 𝑐𝑚2 d) 3255𝑐𝑚²

2) Qual é a medida da área do triângulo?

a) 30 cm2

b) 60 cm2 c) 15 cm2 d) 16 cm2

3) Um artesão vai construir uma pirâmide reta de base quadrada utilizando chapas de vidro, como indicado no esquema. Qual será a medida da área total das faces e da base dessa pirâmide?

a) 336 cm2 b) 330 cm2

c) 144 cm2

d) 48 cm2

4) Qual a medida da área do trapézio abaixo?

a) 60,8 cm2

b) 15,2 cm2

c) 121,6 cm2 d) 70,8 cm2

5) Qual é a medida da área do losango abaixo?

a) 15,84 m2 b) 31,68 m2

Atividades dissertativas

6) A marchetaria é uma arte na qual se aplicam diferentes tipos de madeira, madrepérola e metal em peças de marcenaria, com o objetivo de obter um desenho, um mosaico etc.

Determine a medida da área da parte mais escura representada a seguir, sabendo que ela é formada por losangos congruentes.

7) Calcule a medida da área total da figura abaixo

8) Para obter uma peça com a forma de trapézio, um marceneiro cortou uma chapa de madeira retangular conforme indicado. Quantos metros quadrados foram retirados dessa chapa de madeira?

9) Calcule a medida da área do paralelogramo abaixo: