Análise Combinatória. (1) Princípios de Contagem: Se A e B são dois conjuntos disjuntos, com p e q elementos, respectivamente, então

conectivo ou → princípio aditivo conectivo e → princípio multiplicativo

Análise

Combinatória

CINE AULA

01

Exemplo Introdutório: Um estudante, ao se inscrever no Concurso para Vestibular, deve escolher o Curso e a Faculdade que deseja cursar. Sabe-se que existem cinco cursos possíveis: Engenharia(E), Medicina(M), Odontologia(O), Arquitetura(A) e Direito(D). Cada curso pode ser feito em três faculdades possíveis: Estadual(E), Federal(F) e Particular(P). Qual é o número total de opções que o estudante pode fazer?

Construindo um diagrama de árvore de possibilidades encontraríamos 15 opções.

Mas poderíamos contar o número de opções usando operações matemáticas usando que para cada um dos 5 cursos existem 3 tipos de faculdades, ou seja, 5⋅3 = 15 opções.

(1)

- existem p+q maneiras de se escolher um elemento de A ou de B.

- existem p⋅q maneiras de se escolher um elemento de A e, depois, um de B.

APLICAÇÃO 1: Alice não se recorda da senha que definiu no computador. Sabe apenas que é constituída por quatro letras seguidas, com pelo menos uma consoante.

Se considerarmos o alfabeto como constituído por 23 letras, bem como que não há diferença para o uso de maiúsculas e minúsculas, quantos códigos dessa forma é possível compor? a) 234 b) 23 183⋅ c) 23 723⋅ d) 234−54 e) 184+54

APLICAÇÃO 2: Usando as letras do conjunto {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j}, quantas senhas de 4 letras podem ser formadas de modo que duas letras adjacentes, isto é, vizinhas, sejam necessariamente diferentes? a) 7 290

b) 5 040 c) 10 000 d) 6 840 e) 11 220

APLICAÇÃO 3: (Enem 2012) O designer português Miguel Neiva criou um sistema de símbolos que permite que pessoas daltônicas identifiquem cores. O sistema consiste na utilização de símbolos que identificam as cores primárias (azul, amarelo e vermelho). Além disso, a justaposição de dois desses símbolos permite identificar cores secundárias (como o verde, que é o amarelo combinado com o azul). O preto e o branco são identificados por pequenos quadrados: o que simboliza o preto é cheio, enquanto o que simboliza o branco é vazio. Os símbolos que representam preto e branco também podem ser associados aos símbolos que identificam cores, significando se estas são claras ou escuras.

De acordo com o texto, quantas cores podem ser representadas pelo sistema proposto?

a) 14 b) 18 c) 20 d) 21 e) 23 MATEMÁTICA

18

1. Príncipio

fundamental da contagem

Os problemas de Análise Combinatória são, basica -mente, problemas de contagem. A abordagem destes proble mas é baseada num fato, de fácil com prova ção, denominado Príncipio Fundamental da Contagemou, simples mente, Regra do Produto, que enunciaremos e exemplificaremos a seguir.

Enunciado

Um acontecimento é composto de dois estágios su -ces sivos e independentes. O primeiro estágio pode ocor

-rer de m modos distintos; em seguida, o segundo es tá gio

pode ocorrer de n modos distintos. Nestas condições,

dizemos que “o número de maneiras dis tin tas de ocor -rer este acontecimento é igual ao produto m . n”.

Exemplo

Um estudante, ao se inscrever no Concurso para Vestibular, deve escolher o Curso e a Faculdade que deseja cursar. Sabese que existem cinco cursos pos -síveis: Engenharia, Medicina, Odontologia, Arquite tura e Direito. Cada curso pode ser feito em três faculdades possíveis: Estadual, Federal e Particular. Qual é o número total de opções que o estudante pode fazer?

Resolução

De acordo com o Príncipio Fundamental da Conta -gem, o número total de opções que o estudante pode fazer é 5x3, ou seja, 15. Podemos ilustrar estas 15 op -ções com o auxílio da árvore de possibilidades, obser

-vando que para cada um dos cinco cursos pos síveis (E, M, O, A, D) existem três faculdades possíveis (E, F, P).

Generalizações

Quando um acontecimento for composto por k está

-gios sucessivos e in depen dentes, com, respectiva mente,

n₁, n₂, n₃, ..., n_kpossibilidades cada, o número total de ma neiras distintas de ocorrer este acontecimento é

n₁. n₂. n₃. ... . n_k.

2. Técnicas de contagem

Seja A = {a; b; c; d; ...; j} um conjunto formado por 10 elementos distintos, e consideremos os “agrupa men tos

ab, ac e ca”.

Os agrupamentos ab e ac são considerados sempre distintos, pois diferem pela natureza de um elemento.

Os agrupamentos ac e ca, que diferem apenas pela

ordem de seus elementos, podem ser considerados distintos ou não.

Se, por exemplo, os elementos do conjunto A fo

-rem pontos, A = {A₁, A₂, A₃, ..., A₁₀}, e ligando estes pontos desejarmos obter retas, então os agrupamentos

A₁A₂ e A₂A₁são iguais, pois representam a mesma reta.

Se, por outro lado, os elementos do conjunto A

forem algarismos, A = {0, 1, 2, 3, ..., 9}, e com estes

algarismos desejarmos obter números, então os agru -pamentos 12 e 21 são distintos, pois representam núme ros diferentes.

Do que foi exposto, podemos concluir que: a) Existem problemas de contagem em que os agru pa mentos, a serem contados, são considerados distin -tos, apenas quando diferem pela natureza de pelo

Escolha

do Curso da FaculdadeEscolha Resultado

E F P E F P E F P E F P E F P D A O M E E E E F E P M E M F M P O E O F O P A E A F A P D E D F D P

24

Análise combinatória –

Princípio da contagem e arranjos

(2)

elementos de um conjunto A, tomados p a p, é qualquer sequência ordenada de p elementos distintos de A.

Exemplo: Com as letras A, B, C e D quantas sequências ordenadas de duas letras distintas podemos formar?

AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC

Usando operações matemáticas devemos escolher 2 letras distintas entre 4 letras. Para escolher a primeira letra temos 4 maneiras e para escolher a segunda distinta da primeira temos 4 – 1 = 3 maneiras, ou seja, 4⋅3 = 12.

Em geral, o número de possibilidades de se escolher p elementos num conjunto de n elementos onde a ordem importa é dado por

e An,p é denominada arranjo de n elementos tomados p a p.

Exemplos:

§ A5,2 = 5⋅4 = 20 § A7,3 = 7⋅6⋅5 = 210 § A8,4 = 8⋅7⋅6⋅5 = 1680

OBSERVAÇÃO: Permutações simples de n elementos são arranjos simples de n elementos tomados n a n, ou seja,

e o produto n⋅(n – 1)⋅(n – 2)⋅ ... ⋅1 é chamado fatorial de n, representado por n!. Desta forma, Pn = n!. APLICAÇÃO 4: Durante a Copa do Mundo, que foi disputada por 24 países, as tampinhas de Coca-Cola traziam palpites sobre os países que se classificariam nos três primeiros lugares (por exemplo: 1o _lugar, Brasil; 2o _{lugar, Nigéria; 3}o _{lugar, Holanda).}

Se, em cada tampinha, os três países são distintos, quantas tampinhas diferentes poderiam existir?

a) 69 b) 2024 c) 9562 d) 12144 e) 13824

APLICAÇÃO 5: (Enem 2014) Um cliente de uma videolocadora tem o hábito de alugar dois filmes por vez. Quando os devolve, sempre pega outros dois filmes e assim sucessivamente. Ele soube que a videolocadora recebeu alguns lançamentos, sendo 8 filmes de ação, 5 de comédia e 3 de drama e, por isso, estabeleceu uma estratégia para ver todos esses 16 lançamentos. Inicialmente alugará, em cada vez, um filme de ação e um de comédia. Quando se esgotarem as possibilidades de comédia, o cliente alugará um filme de ação e um de drama, até que todos os lançamentos sejam vistos e sem que nenhum filme seja repetido.

De quantas formas distintas a estratégia desse cliente poderá ser posta em prática?

a) 20 8! (3!)× + 2 b) 8! 5! 3!× × c) 8 8! 5! 3! 2 × × d) 2 8! 5! 3! 2 × × e) 8 16! 2

Permutações com elementos repetidos: Sejam α elementos iguais a A, β elementos iguais a B, num total de α+β = n elementos.O número de permutações distintas que podemos formar com os n elementos, temos:

𝑃_!!,!= 𝑛! 𝛼! ∙ 𝛽!

APLICAÇÃO 6: Uma senha de internet é constituída de seis letras e quatro algarismos em que a ordem é levada em consideração. Eis uma senha possível:

Quantas senhas diferentes podem ser formadas com quatro letras “a”, duas letras “b” e quatro algarismos iguais a 7? a) 10! b) 2 520 c) 3 150 d) 6 300 e)

(a, a, b, 7, 7, b, a, 7, a, 7).

(3)

elementos de um conjunto A, tomados p a p, é qualquer subconjunto não-ordenado de p elementos de A.

Exemplo: Quantos subconjuntos tem o conjunto {A, B, C, D}?

{A,B} {A,C} {A,D} {B,C} {B,D} {C,D}

Usando operações matemáticas devemos ter 4⋅3/2 = 6.

Em geral, o número de possibilidades de se escolher p elementos num conjunto de n elementos é dado por

𝐶!,!= 𝐴_!,!

𝑝!

e Cn,p é denominada combinação de n elementos tomados p a p. Exemplos: 𝐶!,!= 5 ∙ 4 2! = 10 𝐶!,!= 7 ∙ 6 ∙ 5 3! = 35 𝐶!,!= 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 4! = 70

APLICAÇÃO 7: Sejam r e s duas retas distintas e paralelas.

Se fixarmos 10 pontos em r e 6 pontos em s, todos distintos, ao unirmos, com segmentos de reta, três quaisquer destes pontos não colineares, formam-se triângulos. Assinale a opção correspondente ao número de triângulos que podem ser formados. a) 360

b) 380 c) 400 d) 420 e) 450

APLICAÇÃO 8: O início da década de oitenta foi marcado por um estilo que ficou conhecido como new

wave. Um grande sucesso dessa época foi a música Safety Dance do grupo canadense Men Without Hats.

No videoclipe da música, ambientado num cenário medieval, um casal dança ao som da música e, no refrão “Oh Well the safety dance, ah yes the safety

dance”, forma com os braços a letra S, inicial de Safety. Essa representação ficou sendo a marca

registrada do sucesso alcançado. Alguns programas e séries da TV atual apresentaram a sua versão para o

Safety Dance. Nas figuras a seguir, estão

representadas a versão original, a versão da série animada Uma família da pesada e a versão da série

Glee.

Na versão da série Glee do Safety Dance, um grupo de atores dança no hall de um shopping center, enquanto os demais apenas observam. Suponha que, para a execução da cena, foi necessário escolher, dentre 6 atores e 8 atrizes, um grupo formado por 5 atores e 5 atrizes. Quantos grupos de dançarinos podem ser escolhidos dessa forma?

a) 336. b) 168. c) 70.

Exercícios Propostos

01. As novas placas dos veículos são formadas por três letras seguidas por quatro algarismos, como por exemplo GYK 0447. O número de placas diferentes que podem ser construídas é, em milhões de placas, aproximadamente igual a: a) 1 b) 25 c) 75 d) 100 e) 175

02. Hoje em dia, é possível realizar diversas operações bancárias a partir de um computador pessoal ligado à Internet. Para esse acesso, o cliente de determinado banco, após digitar o número de sua agência e conta corrente, deverá introduzir uma senha de quatro dígitos a partir de um teclado virtual como o da figura.

Para inserir um dígito da senha da sua conta corrente, o cliente deste banco deve clicar em um dos quatro botões indicados pela inscrição "clique aqui"; isto é, para inserir o dígito 4, por exemplo, pode-se clicar no botão "clique aqui" situado abaixo dos dígitos "0, 4 ou 7" ou naquele situado abaixo dos dígitos "2, 4 ou 8". Pode-se afirmar que o número total de senhas compostas por quatro dígitos distintos que estão associadas à sequência de "cliques", primeiro, no botão correspondente aos dígitos 1, 5 ou 8; depois, no botão correspondente aos dígitos 0, 4 ou 7; novamente no botão correspondente aos dígitos 1, 5 ou 8 e, por último, no botão correspondente aos dígitos 0, 4 ou 7, é igual a: a) 12 b) 24 c) 36 d) 54 e) 81

03. Por questão de segurança os bancos instalaram ao lado da maçaneta da porta, que dá acesso à área por trás dos caixas, um teclado como o da figura abaixo.

Para entrar nessa área, cada funcionário tem a sua própria senha. Suponha que esta senha seja composta por quatro dígitos distintos. Quantas senhas poderão ser criadas se forem usados apenas os números primos que aparecem no teclado?

a) 6 b) 24 c) 80 d) 120 e) 720

04. Uma pessoa vai retirar dinheiro num caixa eletrônico de um banco, mas na hora de digitar a senha, esquece-se do número. Ela lembra que o número tem 5 algarismos, começa com 6, não tem algarismos repetidos e tem o algarismo 7 em alguma posição. O número máximo de tentativas para acertar a senha é a) 1 680 b) 1 344 c) 720 d) 224 e) 136

05. Um clube resolve fazer uma Semana de Cinema. Para isso, os organizadores escolhem sete filmes, que serão exibidos um por dia. Porém, ao elaborar a programação, eles decidem que três desses filmes, que são de ficção científica, devem ser exibidos em dias consecutivos.

Nesse caso, o número de maneiras DIFERENTES de se fazer a programação dessa semana é

a) 144 b) 576 c) 720 d) 1040 e) 1200

Gabaritos

06. Maria deve criar uma senha de 4 dígitos para sua conta bancária. Nessa senha, somente os algarismos 1,2,3,4,5 podem ser usados e um mesmo algarismo pode aparecer mais de uma vez. Contudo, supersticiosa, Maria não quer que sua senha contenha o número 13, isto é, o algarismo 1 seguido imediatamente pelo algarismo 3. De quantas maneiras distintas Maria pode escolher sua senha?

a) 551 b) 552 c) 553 d) 554 e) 555

07. Um professor, ao elaborar uma prova composta de 10 questões de múltipla escolha, com 5 alternativas cada e apenas uma correta, deseja que haja um equilíbrio no número de alternativas corretas, a serem assinaladas com X na folha de respostas. Isto é, ele deseja que duas questões sejam assinaladas com a alternativa A, duas com a B, e assim por diante, como mostra o modelo.

Modelo de folha de resposta (gabarito)

A B C D E 01 X 02 X 03 X 04 X 05 X 06 X 07 X 08 X 09 X 10 X

Nessas condições, a quantidade de folha de respostas diferentes, com a letra X disposta nas alternativas corretas, será a) 302 400. b) 113 400. c) 226 800. d) 181 440. e) 604 800.

08. Para cuidar da saúde, muitas pessoas buscam atendimento em cidades maiores onde há centros médicos especializados e hospitais mais equipados. Muitas vezes, o transporte até essas cidades é feito por vans disponibilizadas pelas prefeituras.

Em uma van com 10 assentos, viajarão 9 passageiros e o motorista. De quantos modos distintos os 9 passageiros podem ocupar suas poltronas na van? a) 4.032.

b) 36.288. c) 40.320. d) 362.880. e) 403.200.

09. Na ilustração abaixo, as 52 cartas de um baralho estão agrupadas em linhas com 13 cartas de mesmo naipe e colunas com 4 cartas de mesmo valor.

Denomina-se quadra a reunião de quatro cartas de mesmo valor. Observe, em um conjunto de cinco cartas, um exemplo de quadra:

O número total de conjuntos distintos de cinco cartas desse baralho que contêm uma quadra é igual a: a) 624 b) 676 c) 715 d) 720 e) 725

10. As frutas são alimentos que não podem faltar na nossa alimentação, pelas suas vitaminas e pela energia que nos fornecem. Vera consultou um nutricionista que lhe sugeriu uma dieta que incluísse a ingestão de três frutas diariamente, dentre as seguintes opções: abacaxi, banana, caqui, laranja, maçã, pera e uva. Suponha que Vera siga rigorosamente a sugestão do nutricionista, ingerindo três frutas por dia, sendo pelo menos duas diferentes. Então, ela pode montar sua dieta diária, com as opções diferentes de frutas recomendadas, de: a) 57 maneiras. b) 50 maneiras. c) 56 maneiras. d) 77 maneiras. e) 98 maneiras. 01. [E] 06. [A] 02. [C] 07. [B] 03. [B] 08. [D] 04. [B] 09. [a] 05. [C] 10. [D]