Regularidade Lipschitziana dos Minimizantes no Cálculo das Variações e Controlo Óptimo. Delfim F. Marado Torres

(1)

Regularidade Lipschitziana

dos Minimizantes no C´

alculo das Varia¸

c˜

oes

e Controlo ´

Optimo

(2)

Estrutura da apresenta¸

c˜

ao

I Enquadramento do trabalho (Cap. 1, 2 e 3) – Exposi¸c˜ao do problema

– A condi¸c˜ao necess´aria de Euler-Lagrange

– Teorema da existˆencia de Tonelli

– O estado da arte em resultados de regularidade Lipschitziana II Contribui¸c˜ao original (Cap. 4)

– Regularidade Lipschitziana para o Problema B´asico do CV

– Reg. Lipschitziana para prob. com derivadas superiores – Casos particulares

III Conclus˜ao

– Trabalho futuro (em curso) – Resumo

(3)

Posi¸

c˜

ao do Problema. O C´

alculo das Varia¸

c˜

oes.

J [x(·)] = Z _b a L (t, x(t), ˙x(t)) dt → min , x (·) ∈ X

com condi¸c˜oes de fronteira (P)

x (a) = x_a e x (b) = x_b.

Exemplo (Braquist´ocrona, Johann Bernoulli, 1697):

J [x(·)] = Z _b 0 s 1 + ( ˙x (t))2 2 g x (t) dt → min , x (0) = 0 e x (b) = x_b.

(4)

Quest˜

oes

(Q1) Existe solu¸c˜ao para o problema?

• teorema da existˆencia de Tonelli, 1915

(Q2) Como determinar uma solu¸c˜ao?

• equa¸c˜ao de Euler-Lagrange, 1744 • condi¸c˜ao de Legendre, 1786

• primeira condi¸c˜ao de Erdmann, 1877 • condi¸c˜ao de Weierstrass, 1879

• equa¸c˜ao de Jacobi, 1804-1851

(Q3) A solu¸c˜ao ´e regular? (e.g., derivada limitada?)

• condi¸c˜ao de Bernstein, 1912-1923

(5)

Equa¸

c˜

ao de Euler-Lagrange

• Na forma diferencial d dt {Lv (t, x (t) , ˙x (t))} = Lx (t, x (t) , ˙x (t)) • Na forma integral L_v (t, x (t) , ˙x (t)) = c + Z _t 0 L_x (τ, x (τ ) , ˙x (τ )) dτ Observa¸c˜oes:

* As equa¸cões só são idênticas quando X ⊆ C1

* Está assumida à priori a existência de solu¸cão pertencente à classe

(6)

Existˆ

encia

Teorema da existˆencia de Tonelli (TET): Sob as hip´oteses:

• L ∈ C2

• L ´e coercivo: ∃ α > 0, β ∈ IR :

L (t, x, v) ≥ α kvk2 + β, ∀ (t, x, v)

• L (t, x, ·) convexa para cada (t, x)

o problema (P) tem solu¸c˜ao na classe W_{1, 1} das fun¸c˜oes absolutamente cont´ınuas. (W_{1, 1} ⊃ W_{1, ∞})

Observa¸c˜oes:

• A prova “moderna” usa conceitos da An´alise Funcional

• A prova original do Tonelli ´e apenas feita para o caso escalar • Na disserta¸c˜ao usou-se a abordagem do Lavrentiev + Tonelli

(7)

Mais quest˜

oes

(Q1) ´E mesmo necessário lidar com fun¸cões absolutamente cont´ınuas, ou a solu¸cão será sempre Lipschitziana?

• N˜ao. Ball & Mizel, 1984: L = r v2 + ¡x3 − t2¢2 v14. Solu¸c˜ao ´unica: x (t) = k t2/3 (Clarke & Vinter)

(Q2) Sob as hip´oteses do TET, a eq. E-L ´e v´alida?

• N˜ao. Ex. de Ball & Mizel n˜ao verifica a E-L, forma integral

(Q3) Poder´a o ´ınfimo de (P) quando X = W_{1, 1}, ser estritamente menor que o ´ınfimo quando X = C2 ou mesmo X = W_{1, ∞}?

• Sim. Lavrentiev, 1926: condi¸c˜oes para que

inf x(·)∈W1, 1 J [x (·)] < inf x(·)∈C2 _ou _W_{1, ∞} J [x (·)] • Manià, 1934: L = ¡x3 − t¢2 v6 (Não responde a (Q1): lagrangeano não coercivo)

(8)

Discrepˆ

ancia

Eq. Euler-Lagrange

x(·) ∈ W_{1, ∞} ¾

-Teorema da Existˆencia

x(·) ∈ W_{1, 1}

Duas linhas de investiga¸c˜ao herdadas do Tonelli:

1. Estabelecer condi¸cões necessárias para o problema com X = W_{1, 1} 2. Postular condi¸cões adicionais, de modo a garantir solu¸cões em

W_{1, ∞} – REGULARIDADE LIPSCHITZIANA

(9)

Condi¸

c˜

oes de Regularidade Lipschitziana

• Tonelli-Morrey: kLxk + kLvk ≤ c |L| + r (c > 0) • Bernstein, n = 1; Clarke & Vinter, n > 1:

°°_L−1 vv · (Lx − Lvt − Lvx · v)°° ≤ c ³ kvk3 + 1 ´ , (L_vv > 0) • Clarke & Vinter:

– (P) aut´onomo

– |Lt| ≤ c |L| + k (t), (k (·) ∈ L₁)

– kLxk ≤ c |L| + k (t) kLvk + m (t), (k (·) , m (·) ∈ L₁)

• Vinter: L (t, ·, ·) convexa para cada t

• Nesta disserta¸c˜ao: (|Lt| + kLxk) kvkµ ≤ c Lβ + r (β < 2, µ ≥ max {β − 1, −1})

(10)

Problemas de ordem superior

J [x(·)] = Z _b a L ³ t, x(t), ˙x(t), . . . , x(m)(t) ´ dt → min , x (·) ∈ W_{m, 1}

Eq. Euler-Poisson: v´alida para X ⊆ Wm, ∞

d dt {L˙x} − d2 dt2 {L¨x} + · · · + (−1) m+1 dm dtm {Lx(m)} = Lx

Existˆencia: teorema de Tonelli pode ser estendido

• ¡t, x, ˙x, . . . , x(m)¢ → L¡t, x, ˙x, . . . , x(m)¢ ∈ C1 • coercividade em x(m): L ≥ α °°x(m)°°2 + β

(11)

Regularidade para problemas de ordem superior

• Quest˜ao tratada pela 1a vez em 1990, Clarke & Vinter: condi¸c˜ao do tipo de Morrey:

kL_x(i)k ≤ c ¡L + °°x(m)°°¢ + γ (t) r ¡x, . . . , x(m−1)¢

∀ i ∈ {0, . . . , m − 1} , γ integr´avel, r localmente limitada • Nesta disserta¸c˜ao:

(|L_t| + kL_x(i)k) °°x(m)°°µ ≤ c Lβ + r, i = 0, . . . , m − 1

(12)

Parte II - Contribui¸

c˜

ao original

“The very essence of Mathematics lies in transforming a problem.”

(13)

Transforma¸

c˜

oes em problemas de Controlo ´

Optimo

J [x(·)] = Z _b a L (t, x(t), ˙x(t)) dt → min , x (a) = x_a e x (b) = x_b

• Problema de Lagrange do CO [u(t) = ˙x(t)] Z _b

a

L (t, x, u) dt → min, ˙x (t) = u (t) , x (a) = x_a, x (b) = x_b

• Problema com funcional terminal

· τ (t) = Z _t a L (θ, x, u) dθ ¸ τ (b) → min,    ˙x (t) = u (t) ˙τ (t) = L (t, x (t) , u (t)) , x (a) = xa, x (b) = xb τ (a) = 0

(14)

Transforma¸

c˜

ao num problema de tempo m´ınimo

Se ¤_£L > 0 existe t (¡_¢ ·), inversa de τ (·). Fazendo z(τ ) = x(t(τ )), v(τ ) = u(t(τ ))

podemos reescrever o problema num de tempo m´ınimo:

T → min,          ˙t(τ ) = 1 L (t(τ ), z(τ ), v(τ )) ˙z(τ ) = v(τ ) L (t(τ ), z(τ ), v(τ )) , t(0) = a, t(T ) = b z(0) = x_a, z(T ) = x_b

(15)

Compactifica¸

c˜

_{ao (`a Gamkrelidze, 50’s)}

T → min v ∈ IRn z ∈ IRn ,        ˙t = 1 L (t, z, v) ˙z = v L (t, z, v) º ¹ · ¸ L (t, z, v) ≥ θ (kvk) > 0 lim kvk→+∞ kvk θ (kvk) = 0 • Compactificamos o espa¸co IRn de controlos, adicionando o ponto

∞ e transformando-o na esfera Sn

π : Sn → IRn (projeçcão estereográfica)

• Assim garantimos que

½µ 1 L (t, z, v), v L (t, z, v) ¶ : v ∈ IRn ¾ ´e compacto

(16)

Compactifica¸

c˜

ao `

a Gamkrelidze (cont.)

Obtemos agora o problema aut´onomo de tempo m´ınimo

T → min          ˙t(τ ) = 1 L (t, z, π(w)) ˙z(τ ) = π(w) L (t, z, π(w)) , _w ∈ Sn

com conjunto compacto de controlos. ¨

§

¥ ¦ ˙x limitado ⇔ v limitado ⇔ w 6= ˆw – p´olo norte da esfera

(17)

Princ´ıpio do M´

aximo de Pontryagin

Teorema: Se (˜x, ˜u) ´e solu¸c˜ao do problema

T → min, ˙x(τ ) = ϕ (x(τ ), u(τ )) x(a) = x_a, x(T ) = x_T u(τ ) ∈ U ⊂ IRr ¶ µ ³ ´ ϕ (·, ·) ∈ C ϕ_x (·, ·) ∈ C

existe 0 6= ˜ψ (τ ) ∈ AC de tal modo que para H = hψ, ϕi se verifica: • o sistema hamiltoniano ˙˜x = ∂H ∂ψ , ˙˜ ψ = −∂H ∂x , • a condi¸c˜ao do m´aximo H ³ ˜ x(t), ˜ψ(t), ˜u(t) ´ = M ³ ˜ x (t) , ˜ψ (t) ´ =sup u∈U H ³ ˜ x(t), ˜ψ(t), u ´ • e ainda M ³ ˜ x (t) , ˜ψ (t) ´ ≡ const ≥ 0

(18)

Aplicabilidade do Princ´ıpio do M´

aximo

Para aplicar o Princ´ıpio do M´aximo ao problema de tempo m´ınimo com o espa¸co de controlos estendido (compactificado) precisamos que a respectiva extens˜ao do segundo membro seja da classe C1.

Para isso exigimos que

∃ γ > 0, β < 2, µ ≥ max {β − 1, −1} e η ∈ IR: ¨ § ¥ ¦ (|L_xi| + |Lt|) kvkµ ≤ γ Lβ + η

(19)

Aplica¸

c˜

ao do PMP e conclus˜

ao

¡ ˜ t, ˜z, ˜w¢ sol. do problema P MP=⇒ ∃ 0 6= ³ ˜ ψ_t, ˜ψ_z ´ ∈ AC: sup v∈IRn    ˜ ψ_t(τ ) + D ˜ ψ_z(τ ), v E L¡˜t(τ ), ˜z(τ ), v¢    = c ≥ 0 • c = 0 ⇒ ˜ψ_z(τ ) ≡ 0 ∧ ˜ψ_t(τ ) ≤ 0 ∧ v = ∞ (absurdo) e por conseguinte ¤_£c > 0 ¡_¢ Conclus˜ao: c L = ˜ψ_t + D ˜ ψ_z, ˜v E ≤ M + M k˜vk θ (k˜vk) k˜vk ≤ L k˜vk ≤ c−1 M 1 + k˜vk k˜vk ≤ 2 c−1M , quando k˜vk ≥ 1

(20)

Enunciado do Teorema

Teorema: Sob as hip´oteses

(H1) L (·, ·, ·) ∈ C1

(H2) L (t, x, v) ≥ θ (kvk) > ζ, lim

kvk→+∞

kvk

θ (kvk) = 0

(H3) existem constantes γ > 0, β < 2, µ ≥ max {β − 1, −1} e η:

(|L_xi| + |Lt|) kukµ ≤ γ Lβ + η

as solu¸c˜oes (caso existam) de (P) s˜ao Lipschitzianas.

Exemplo: Z ₁ 0 h¡ ˙x4 + 1¢3 e(˙x4+1) (t+π2−arctan x) i dt → min

• Nenhuma das condi¸cões conhecidas de regularidade é aplicável • O teorema acima permite concluir que a solu¸cão ∈ Lip

(21)

Esquema da demonstra¸

c˜

ao

1) Reduzir o problema a um de tempo m´ınimo.

2) Compactificar o conjunto dos controlos e o conjunto das

velocidades admiss´ıveis.

3) Verificar a aplicabilidade do Princ´ıpio do M´aximo

4) Aplicar o PMP e:

4.1) garantir que a constante dada pela condi¸c˜ao do m´aximo ´e estritamente positiva – c > 0

4.2) tirar a conclus˜ao pretendida – o controlo ´optimo deve ser limitado (consegue-se estimativa superior)

(22)

Teorema para problemas de ordem superior

Teorema: Sob as hip´oteses

(H1) L (· · ·) ∈ C1 (H2) ∃ θ (·) : L¡t, x, ˙x, . . . , x(m)¢ ≥ θ ¡°°x(m)°°¢ > ζ, e lim r→+∞ r θ (r) = 0

(H3) existem constantes γ > 0, β < 2, µ ≥ max {β − 1, −1} e η:

(kL_x(i)k + |Lt|) °°x(m)°°µ ≤ γ Lβ + η, i ∈ {0, . . . , m − 1}

as solu¸c˜oes para (P_m) ∈ a W_{m, ∞} (m-´esima derivada limitada). ¨

§

¥ ¦ Para provar c > 0 precisamos de envolver o sistema hamiltoniano

(23)

Caso particular

Corolário: Se ˜x(·) é solu¸cão de

Z _b

a

L¡x(m) (t)¢ dt → min, x (·) ∈ W_{m, 1}

ent˜ao ˜x(·) ∈ Wm, ∞, desde que L ∈ C1 e ∀ x(m) ∈ IRn

L¡x(m)¢ ≥ °°x(m)°°α + ξ, (α > 1).

Exemplo: (significado f´ısico para o minimizante – a “acelera¸c˜ao” ´e limitada) Z ₁ 0 ¨ x2p (t) dt → min (p ∈ IN) x (0) = x₀, x (1) = x₁, ˙x (0) = v₀, ˙x (1) = v₁

(24)

Parte III - Conclus˜

ao e Perspectivas

“. . .regularity theory for the optimal control problem, outside very special situations where it can be reduced to the basic problem in the calculus of variations, is, to date, a completely undeveloped area of

(25)

Panorama no Controlo ´

Optimo

• O Princ´ıpio do Máximo pode não ser válido no espa¸co onde é

formulado o teorema da existˆencia (Teorema de Filippov) – a discrepˆancia continua

• Resultados existentes (Clarke & Vinter, 1990):

Z _b

a

L (t, x, u) dt → min

˙x (t) = A x (t) + B u (t) + d (t) (sistema linear)

x (a) = x_a, x (b) = x_b

Se ∃ γ (·) integrável t.q. kL_xk + kL_uk ≤ γ (t) então ˜u é limitado

– A abordagem de Clarke & Vinter est´a baseada na passagem ao problema do CV

(26)

Trabalho futuro (em curso)

• Classe importante de prob. de controlo óptimo não lineares são:

Z _b

a

L (t, x, u) dt → min

˙x (t) = f (x (t)) + g (x (t)) · u (t) (= ϕ (x, u))

x (a) = x_a, x (b) = x_b

– modelos cinem´aticos em mecˆanica e geometria

– generaliza o problema anterior

• No seguimento da abordagem aqui proposta: se ˜u ´e

extremal de Pontryagin normal e ∀ i ∈ {1, . . . , n}

(|L_xi| + kL ϕ_xi − L_xi ϕk + |Lt| kϕk) kϕkµ ≤ γ Lβ + η

γ > 0, β < 2, µ ≥ max {β − 2, −2}

(27)

Resumo

Os pontos fortes da abordagem aqui proposta s˜ao:

• permite obter resultados para problemas n˜ao abrangidos pelas

condi¸c˜oes existentes

Exemplo: J [x (·)] = Z ₁ 0 h¡ ˙x4 + 1¢3 e(˙x4+1) (t+π2−arctan x) i dt → min

(Obs.: verifica as condi¸c˜oes do teorema da existˆencia de Tonelli)

– Nenhuma das condi¸c˜oes conhecidas de regularidade ´e

aplic´avel, enquanto o resultado apresentado permite concluir que a solu¸c˜ao ∈ Lip

• A abordagem ´e estend´ıvel a problemas mais gerais: do C´alculo