E E F F 8 8 P P - - 1 1 4 4 - - 3 3 1 1 M M A A T T E E M M Á Á T T I I C C A A • • G G R R U U P P O O 3 3 • • E E C C O O N N O O M M I I A A E E C C O O N N S S U U M M O O
8
8
Avidad
Avidad
es 37 e
es 37 e
38 •
38 •
Ângulos, construções
Ângulos, construções
com régua e compasso
com régua e compasso
Exercícios de Aplicação
Exercícios de Aplicação
02)
02) Euclides, o famoso geômetra gregoEuclides, o famoso geômetra grego que viveu em torno do século. III a. C., que viveu em torno do século. III a. C., fa-zia uso de
zia uso de régua e compasso para construirrégua e compasso para construir inúmeras figuras geométricas, dentre elas inúmeras figuras geométricas, dentre elas os ângulos. Faça como Euclides e construa, os ângulos. Faça como Euclides e construa, com régua e compasso, um ângulo de: com régua e compasso, um ângulo de:
a. a. 60°60°
b. b. 45°45°
03)
03) Veja um gráfico que mostra o resul-Veja um gráfico que mostra o resul-tado de uma pesquisa de opinião sobre a tado de uma pesquisa de opinião sobre a preferência por três marcas de sabão em preferência por três marcas de sabão em pó: pó: P� �� P� �� 60% 60% 10% 10% 30% 30% M Maarrcca a AA MMaarrcca a BB MMaarrcca a CC 01)
01) Uma pesquisa foi realizada sobre aUma pesquisa foi realizada sobre a preferência por candidatos em uma preferência por candidatos em uma elei-ção municipal. No total, foram ção municipal. No total, foram entrevista-das 1.200 pessoas. Veja a tabela que das 1.200 pessoas. Veja a tabela que mos-tra os resultados da pesquisa:
tra os resultados da pesquisa:
Candidato
Candidato VotosVotos
JJooããoo 770000
P
Peeddrroo 330000
José
José 200200
Represente na circunferência um Represente na circunferência um gráfi-co de setores que indique o resultado da co de setores que indique o resultado da pesquisa.
pesquisa.
Pedro
Pedro
José
José JoãoJoão
210° 210° 60° 60° 90° 90°
Devemos verificar qual é o ângulo central
Devemos verificar qual é o ângulo central
referente a cada um dos setores:
referente a cada um dos setores:
= = == ⇒⇒ ⋅⋅ == = = == ⇒⇒ ⋅⋅ == = = == ⇒⇒ ⋅⋅ == João João 700700 1.200 1.200 7 7 12 12 7 7 12 12 36 360° 0° 21210°0° Pedro Pedro 300300 1.200 1.200 1 1 4 4 1 1 4 4 36 360° 0° 9090°° José José 200200 1.200 1.200 1 1 6 6 1 1 6 6 36 360° 0° 6060°° 60° 60° Traçar a bissetriz de 90°. Traçar a bissetriz de 90°. 45° 45°
E E F F 8 8 P P - - 1 1 4 4 - - 3 3 1 1
Qual deverá ser a medida do ângulo Qual deverá ser a medida do ângulo cen-tral de cada um dos setores deste gráfico? tral de cada um dos setores deste gráfico?
Exercícios Propostos
Exercícios Propostos
04)
04) Faça uso de régua e compasso e cons-Faça uso de régua e compasso e cons-trua um ângulo de 30°.
trua um ângulo de 30°.
05)
05) A professora Paula, de literatura, fezA professora Paula, de literatura, fez uma pesquisa com seus alunos de 8º ano uma pesquisa com seus alunos de 8º ano sobre o tipo de literatura preferida. sobre o tipo de literatura preferida. De-pois, organizou os dados no seguinte pois, organizou os dados no seguinte grá-fico de setores:
fico de setores:
P� P�
Romance
Romance Terror Terror Ficção
Ficção PolicialPolicial
Veja na tabela as medidas dos ângulos Veja na tabela as medidas dos ângulos centrais de cada um dos setores:
centrais de cada um dos setores:
Tipo de livro
Tipo de livro Ângulo centralÂngulo central
TTeerrrroorr 7700°° P Poolliicciiaall 113300°° FFiiccççããoo 110000°° R Roommaannccee 6600°°
Com base nessas informações, indique Com base nessas informações, indique a porcentagem aproximada de cada um a porcentagem aproximada de cada um dos itens votados.
dos itens votados.
06)
06) Silvana tentou desenhar um ânguloSilvana tentou desenhar um ângulo de 60° dividindo uma circunferência em 6 de 60° dividindo uma circunferência em 6 partes congruentes. Depois, traçou um partes congruentes. Depois, traçou um he-xágono regular unindo os pontos obtidos xágono regular unindo os pontos obtidos na circunferência e, finalmente, traçou as na circunferência e, finalmente, traçou as diagonais do polígono. Vendo que o diagonais do polígono. Vendo que o dese-nho estava bonito, aproveitou e coloriu. nho estava bonito, aproveitou e coloriu. Observe: Observe: Marca A = 30% de 360° = 0,3·360° = 108° Marca A = 30% de 360° = 0,3·360° = 108° Marca B = 60% de 360° = 0,6·360° = 216° Marca B = 60% de 360° = 0,6·360° = 216° Marca C = 10% de 360° = 0,1·360° = 36° Marca C = 10% de 360° = 0,1·360° = 36° Traçar a bissetriz de 60°. Traçar a bissetriz de 60°. 30° 30° Terror Terror Policial Policial = = = = == ≈≈ = = = = == ≈≈ 70 70 360 360 7 7 36 36 0 0 1194 94 119 9 44 130 130 360 360 13 13 36 36 0 0 3361 61 3366 , , , , %% , , ,1,111 100 100 360 360 5 5 18 18 0 0 2277 77 227 7 88 60 60 360 360 1 1 6 6 0 0 1 6 1 6 116 6 77 % % , , , , %% , , ,, Ficção Ficção Romance Romance = = = = == ≈≈ = = == == ≈≈ %%%%
Professor(a), como
Professor(a), como
su-gestão, faça essa
gestão, faça essa
pesqui-sa com seus alunos e
sa com seus alunos e
pe-ça-lhes que construam
ça-lhes que construam
o gráfico com os dados
o gráfico com os dados
obtidos nessa pesquisa.
E F 8 P - 1 4 - 3 1
Agora é com você! Inspire-se no dese-nho anterior e crie o seu desedese-nho, partin-do da divisão de um círculo em seis setores iguais.
07) Em uma pequena cidade, havia três candidatos a prefeito: Altamir, Bertoldo e Cardoso.
A tabela abaixo mostra a porcentagem de votos válidos que cada um dos candida-tos recebeu ao final das eleições.
Candidato Porcentagem dos votos válidos
Altamir 25%
Bertoldo 35%
Cardoso 40%
Se, num gráfico de setores, cada um de seus três setores representa, respectiva-mente, a porcentagem dos votos válidos dos candidatos Altamir, Bertoldo e Car-doso, a medida do ângulo central corres-pondente aos votos válidos do candidato Cardoso é:
a. 90° d. 144°
b. 126° e. 150°
c. 135°
08) O Programa de Aceleração do Cresci-mento (PAC), lançado em 28 de janeiro de 2007, é um programa do governo federal brasileiro, que engloba um conjunto de políticas econômicas, planejadas para os quatro anos seguintes, e que tem como objetivo acelerar o crescimento econômi-co do Brasil.
Na revista Veja de 26/9/2008, foi co-mentado sobre o "PAC da Mobilidade Ur-bana". Nessa reportagem, é destacada a forma como os brasileiros se deslocam em viagens feitas anualmente.
Os brasileiros fazem a maior parte de seus trajetos a pé ou de bicicleta. A constatação é do Ministério das Cidades, que analisou as formas de deslocamento da população para elaborar o “PAC da Mobilidade Urbana”.
Como os brasileiros se deslocam
A pé ou de bicicleta: 21 bilhões de viagens 29% 41% 30% De ônibus ou de metrô: 14,8 bilhões de viagens De carro ou de moto: 14,7 bilhões de viagens
Viagens feitas pelos brasileiros anualmente
Resposta pessoal Professor(a), se
jul-gar pertinente, peça aos alunos que façam o desenho em uma folha separada para expor em
um mural. Cardoso tem 40% dos votos válidos;
portan-to, no gráfico de setores, teríamos:
40 100
360 144
⋅ ° = °
E F 8 P - 1 4 - 3 1
Com base nesses dados, responda ao que se pede:
No gráfico de setores, a medida do ângulo central do setor que representa a quantidade de viagens anuais de ônibus ou de metrô é: a. 147,6° d. 108° b. 104,4° e. 90° c. 120° C O M S T O C K / T H I N K S T O C K
Avidades 39 e 40 • Tempo e grau, sistema
métrico não decimal – Sistema na base 60
Exercícios de Aplicação
01) Considere uma roda-gigante forma-da por 15 aros. Para a sua construção, é necessário que os ângulos centrais sejam muito bem medidos, para que se possa distribuir as cadeiras uniformemente. As-sim, responda ao que se pede.
a. Qual deve ser a medida de cada um dos ângulos centrais dessa ro-da-gigante?
b. Caso a roda gigante tivesse 21 aros, qual deveria ser a medida de cada ângulo central? (Utilize apenas a base 60.)
R: D
30% de 360° = 0,30·360° = 108°
360° : 15 = 24°
Cada ângulo central mede 24°.
− 360 21 357 17 8 34 ° ° ° ' "" ' ' ' " " " 3 180 168 12 720 714 6 °= − = −
E F 8 P - 1 4 - 3 1
02) A figura mostra um esboço de dois ângulos adjacentes e complementares. Considerando-se que o ângulo AÔC mede 65°52'43'', qual deve ser a medida do ân-gulo AÔB?
C
O B
A
03) Beto participa de uma prova de rally que tem 3 etapas. Ao término das três epas, os tempos são adicionados. Veja a ta-bela que mostra os 3 tempos:
Etapa Tempo
1ª 1h42min25s
2ª 1h32min17s
3ª 58min26s
Calcule o tempo total que Beto gastou nas três etapas.
04) Ângela é apaixonada por filmes. Tanto que, em um sábado, ela locou três filmes. Os tempos de duração dos filmes são de: 98 min, 117 min e 108 min. Se, entre o primeiro e o segundo filme, e entre o segundo e o ter-ceiro filme ela der uma pausa de 10 minutos, de quantas horas e de quantos minutos ela vai precisar para assistir aos três filmes?
3 3 5 5 M / S H U T T E R S T O C K AÔB + AÔC = 90° AÔB = 90° – 65°52'43" 89 5 9 60 65 5 2 43 24 7 17 ° ° ° ' " ' " ' " − AÔB = 24° 7`17`` 1 42 25 1 32 7 2 132 68 1 60 2 133 8 h s h s h s s h s min min min min min + + − 58min 26 s + + 2 −120 4 13 8 h h s min min 98 + 117 + 108 + 10 + 10 = 343 min 343 60 300 5 43 − Ela precisará de 5h43.
E F 8 P - 1 4 - 3 1
Exercícios Propostos
07) Um policial rodoviário pretende ve-rificar qual é a velocidade de um carro em certo trecho da estrada. Para isso, ele fez duas marcações no asfalto em uma longa descida. As duas marcações estão distantes 200 m entre si. Obser-vando um veículo que passava pelo lo-cal, ele verificou que o carro percorreu o trecho de 200 m em 5 segundos. Qual era a velocidade deste veículo em km/h?
08) Um trem que mantém velocidade constante saiu de uma cidade A para uma cidade B com uma velocidade de 150 km/h. Se a distância entre as duas ci-dades é de 375 km, quantas horas e quan-tos minuquan-tos deve demorar essa viagem?
S T U P O R T E R / S H U T T E R S T O C K
05) Se quisermos inscrever um polígono regular de 23 lados em uma circunferên-cia, qual deverá ser a medida de cada ân-gulo central? (Utilize a base 60, porém, nos segundos, utilize 3 casas decimais).
06) Um guepardo é um dos mamíferos mais rápidos. Há notícias de exemplares que já alcançaram 120 km/h! Nesta ve-locidade, quantos metros aproximada-mente um guepardo percorre em 1 se-gundo? 15° 39' 7,826" = = = … 120 km 1 h 120.000 m 60 min 120.000 m 3.600 s 33,3 m/s Percorrerá, aproximadamente, 33 m em 1 segundo. = = = = 200 m 5 s 40 m/s 40 m 1 s 144.000 m 3.600 s 144 km 1 h 144 km/h O veículo estava a 144 km/h. 150 1 375 2 5 2 5 2 5 , , , km h km h × × → → = 2,5 h = 2 h + 0,5 h = = 2 h + 0,5 · 60min = 2h 30. Deve demorar 2h 30.
E F 8 P - 1 4 - 3 1
Avidades 41 e 42 • Ângulos formados
por paralelas e uma transversal
Exercícios de Aplicação
02) Considere a figura seguinte, na qual as retas r, s e t são transversais.
t r s b d e f g a c
Tomando como base os ângulos desta-cados, responda ao que se pede.
a. Que pares de ângulo são alternos externos?
b. Que par de ângulos é alterno inter-no?
c. Que pares de ângulos são corres-pondentes?
d. Que ângulos estão na região exter-na?
e. Dos ângulos assinalados, quais es-tão na região interna?
01) Na montagem de um trilho de trens, é muito importante que os trilhos sejam para-lelos para que o trem não descarrile. Entre-tanto, na montagem do trilho indicado na figura abaixo, o ângulo a = 90o e o b = 88o. Com isso, responda ao que se pede.
ormente
Oeste
a. Se não corrigissem o erro, os tri-lhos se encontrariam no leste ou no oeste?
b. Na figura, considerando-se que o dormente representa uma reta r e que os trilhos representam as retas s e t, o que a reta r é em relação às retas s e t? No leste Uma transversal ˆ ˆ, ˆ ˆ a e f b e g ˆ ˆ c e d ˆ ˆ, ˆ ˆ, ˆ ˆ a e d b e e c e f ˆ ˆ, ˆ ˆ a e b g e f ˆ c, ˆd e ˆe st st st st rilhos
E F 8 P - 1 4 - 3 1
03) Determine o valor de x em cada figura formada por duas retas concorrentes.
a.
130°
3x + 25°
b. AÔB é um ângulo raso.
A O B
2x + 42° 70°
04) Duas retas são concorrentes em um ponto O. Com isso, dois ângulos opostos pelo mesmo vértice (OPV) têm medidas: 45° – 3x e 22° – x.
Determine a medida de cada um destes ângulos e o valor de x.
Exercícios Propostos
05) Observe a figura a seguir:
r s t a e g c d h b f
Com base nessa figura, responda ao que se pede.
a. Que pares de ângulos são opostos pelo vértice?
b. O ângulo â é adjacente e suple-mentar de quais ângulos?
c. Que pares de ângulos são colate-rais internos?
d. Que pares de ângulos são colate-rais externos? 3x + 25° = 130° 3x = 105° x = 35° 2x + 42°+ 70° = 180° 2x = 68° x = 34°
Como são OPV, temos: 45° – 3x = 22° – x 45° – 22° = 3x – x 2x = 23°
x = 11,5° ou 11° 30'
E os ângulos medem 10° 30'.
ˆa e ˆc, ˆb e ˆd, ˆf e ˆh, ˆe e ˆg
ˆ b e ˆd
ˆ
d e ˆf, ˆc e ˆe
E F 8 P - 1 4 - 3 1
06) A figura mostra três retas concorren-tes, duas a duas:
40°
130° b
a c
Determine as medidas dos ângulos â, b
e c.
07) Em cada figura, determine o valor de x, y e z: a. s r t x y z 47° 72° b. r s t 3z + 1° y + 62° 110° 3y x 3 ˆ (sup ) ˆ ( ) ˆ a lemento de b OPV c = = = 90 90 40 18 ° ° ° 0 0 130 50° − ° = ° y = 47° x = 180° – y = 180° – 47° = 133° z = 180° – 72° = 108° 3y = y + 62° 2y = 62° y = 31° 3z + 1° + 110° = 180° 3z = 69° z = 23° + = + ⋅ = + = = = x 3 3y 180° x 3 3 31° 180° x 3 93° 180° x 3 87° x 261°
E F 8 P - 1 4 - 3 1
Avidades 43, 44 e 45 • Propriedades dos ângulos
Exercícios de Aplicação
Escreva a relação existente entre os pa-res de ângulos de cada item e nomeie-os.
a. a e f
b. c e f
c. b e g
d. g e h
e. a e d
03) Na figura, a reta r é paralela à reta s, suporte do segmento que é base do triân-gulo dado. a c e b d f r s
01) Considere três retas num mesmo pla-no, r, s e t. Se r e s são paralelas e r é per-pendicular à reta t, qual deve ser a posição relativa entre as retas t e s?
t
s
r
02) Considere a figura, na qual as retas r e s são paralelas e t é uma transversal.
s r//s a c e g b t d f h
Por meio do paralelismo existente entre as retas s e r, se t é perpendicular à reta r, en-tão será perpendicular a s também. (Ângu-los correspondentes congruentes)
São congruentes e correspondentes.
São congruentes e alternos internos.
São congruentes e alternos externos.
São adjacentes e suplementares.
São adjacentes e suplementares.
Professor(a), o bom entendimento deste modelo de exercício po-derá proporcionar me-lhor aproveitamento de conteúdos posteriores, como o de semelhança entre triângulos.
E F 8 P - 1 4 - 3 1
Que pares de ângulos são correspon-dentes? Podemos afirmar que os dois ân-gulos correspondentes são também con-gruentes? Explique.
04) Duas retas paralelas entre si foram cortadas por uma transversal. Com isso, formaram-se dois ângulos de medidas indi-cadas pelas expressões: 3x + 76° e x + 100°. Sabendo que esses dois ângulos são alter-nos interalter-nos, determine a medida de cada um e o valor de x.
05) Quando duas retas paralelas são cor-tadas por uma transversal, temos a cons-trução de oito ângulos. Com isso, respon-da ao que se pede.
a. Caso um destes ângulos seja agu-do, o que podemos afirmar sobre os outros sete ângulos?
b. Caso um dos ângulos formados seja reto, o que podemos afirmar sobre os outros sete ângulos?
06) Com base nas conclusões obtidas no exercício anterior, determine a medida de cada um dos ângulos obtusos obtidos quando duas retas paralelas foram “corta-das” por uma transversal e um dos ângulos agudos formados mediu 12°.
ˆ ˆ, ˆ ˆ. ˆ ˆ
a e e b e f Podemos afirmar que a e= ee b f poisˆ ˆ, = r//s.
Como existe o paralelismo e os ângulos são alternos internos, então são congruentes. Assim, temos:
3x + 76° = x + 100° 3x – x = 100° – 76°. 2x = 24°
x = 12°
Cada ângulo mede:
x + 100° = 12° + 100° = 112°
Incentive seus alunos a substituir o x nas duas expressões, a fim de ve-rificar a igualdade.
Professor(a), se julgar importante, peça aos alunos que façam um es-boço da figura.
Podemos afirmar que teremos mais 3 ângu-los agudos e mais 4 ânguângu-los obtusos.
Que serão todos retos.
Se o ângulo agudo mede 12°, então o ob-tuso será de 168° (suplementares). Como todos os obtusos são congruentes entre si, todos medirão 168°.
E F 8 P - 1 4 - 3 1
Exercícios Propostos
08) Determine o valor de x na figura, na qual a//b. a b 30° 20° x
07) Considerando as informações das fi-guras, determine o valor de x.
a. x 120° r // s s b. x 150° r // s s
x e 120° são alternos externos. Como r//s, são congruentes. Logo, x = 120°.
Como r//s, x é suplemento do ângulo cor-respondente de 150°. Logo,
x = 180°– 150° = 30°.
Devemos traçar uma reta que passa pelo vér-tice de x e que seja paralela às retas a e b:
a b 30° 20° y z
Temos, então, que x = y + z. Como a//b:
z = 20° (correspondentes) y = 30° (correspondentes) Então, x = 20° + 30°= 50°
E F 8 P - 1 4 - 3 1
09) Considerando que r//s e a//b, deter-mine a medida de x na figura seguinte:
r s a b x 70°
10) Tomando como base as informações apresentadas na figura, determine a medi-da de x. 30° 160° x r r // s s 80°
11) Determine a medida dos ângulos assi-nalados na figura.
x – 10°
3x + 30°
r // s
s
12) Dois ângulos são adjacentes e suple-mentares. Um deles é o quíntuplo do ou-tro mais 40°. Quanto mede cada um dos dois ângulos? 3x + 30° + x – 10° = 180° 4x + 20° = 180° 4x = 160° x = 40° Os ângulos medem: 3x + 30° = 3 · 40° + 30° = 150° e x – 10° = 40° – 10° = 30°
Chamando um deles de x, o outro será dado por 5x + 40°. Como são suplementares, te-remos:
x + 5x + 40° = 180° 6x = 140°
x = 23° 20'
Assim, os ângulos medem: x = 23° 20' e 5x + 40° = 5 · (23° 20') + 40° = = 115° 100' + 40° = = 116° 40' + 40° = = 156° 40'
Como a//b e r//s, temos que x = 70°.
Traçando retas paralelas às retas r e s, temos os seguintes ângulos: 30° 160° 160° y z rr r // s s 30° 50° z + 160° = 180° z = 20° y = 50° (alternos internos) x = z + y = 20° + 50° = 70° Professor(a), atentar para o ângulo de 80°. Alguns alunos podem querer dividi-lo ao meio, como se a para-lela fosse uma bissetriz.
E F 8 P - 1 4 - 3 1
13) A figura mostra o projeto da constru-ção de uma ponte para utilizaconstru-ção na tra-vessia de um rio. As margens do rio são representadas pelas retas paralelas r e s, e a reta p representa a ponte que será cons-truída sobre esse rio. Os ângulos marcados no projeto servirão para orientar na cons-trução. 3x – 15° 2x + 5° s r p
O valor do ângulo agudo compreendi-do entre as retas r e p é: a. 20° b. 30° c. 45° d. 60° e. 80°
14) Artur mora na Rua Prudente de Mo-rais, paralela à Rua Campos Salles, onde mora Bárbara. Carlos mora na Rua Rodri-gues Alves, transversal às ruas onde mo-ram Artur e Bárbara, conforme mostra a figura a seguir.
α
Rua Prudente de Morais
Rua Campos Salles
Rua Rodrigues Alves
Se o ângulo obtuso formado pelas ruas Rodrigues Alves e Prudente de Morais mede (180° – 3x) e o ângulo agudo forma-do pelas ruas Rodrigues Alves e Campos Salles mede (90° – 6x), então podemos afirmar que o ângulo α assinalado na figu-ra mede: a. 150° b. 140° c. 135° d. 120° e. 100°
Os ângulos indicados são alternos internos, portanto, congruentes. Assim:
3x – 15° = 2x + 5° x = 20°
Desse modo, o ângulo agudo compreendido entre as retas r e p é: 2x + 5 = 2(20°) + 5 = 45° 180° – 3x + 90° – 6x = 180° 90° = 9x 10° = x α = 180° – 3x α = 180° – 3(10°) α = 180° – 30° α = 150° R: A R: C
E F 8 P - 1 4 - 3 1
15) Pouco se sabe da vida de Euclides. Vi-veu em Bizâncio, entre os anos de 485 a. C. e 410 a. C.
Euclides foi o primeiro diretor do mu-seu, que possuía a maior biblioteca da época, e, graças a isso, pôde organizar os resultados obtidos por matemáticos ante-riores, nascendo, assim, sua obra Os ele-mentos.
Os elementos é um conjunto de 13 livros dedicados ao fundamento e ao desenvolvi-mento lógico e sistemático da geometria.
Representação artística de Euclides de Alexandria (autor desconhecido)
No primeiro livro, encontramos algu-mas definições. Dentre elas:
"Retas paralelas são aquelas que, estan-do em um mesmo plano, não se encontram ao ser prolongadas indefinidamente".
5x – 6° a 3x + 30° r s t
Sabendo que r//s, o valor de aé:
a. 84° b. 96° c. 18° d. 54° e. 24° P H O T O R E S E A R C H E R S / L A T I N S T O C K 3x + 30° = 5x – 6° (correspondentes e r//s) 2x = 36° x = 18° a = 3x + 30° (OPV) a = 3 · 18°+ 30° = 54°+ 30° = 84° R: A
E F 8 P - 1 4 - 3 2 M A T E M Á T I C A • G R U P O 3 • E C O N O M I A E C O N S U M O
9
Avidades 46, 47, 48, 49, 50 e 51 • Triângulos e propriedades
Exercícios de Aplicação
02) Faça uso das propriedades existentes entre os ângulos formados por paralelas cortadas por transversal e a soma dos ân-gulos internos de um triângulo e determi-ne o valor de x em cada figura:
a.
a//b b
130°
x
110°
01) Existe, como foi visto, uma demons-tração que prova o fato de que a soma dos ângulos internos de um triângulo é sem-pre 180°. No entanto, há outra forma de verificar essa propriedade. Pegue uma fo-lha de papel e desenhe um triângulo ABC qualquer. Depois, recorte o triângulo como mostra a figura:
A
B C
Finalmente, una os vértices A, B e C em um único ponto, de modo que os ângulos
ˆ, ˆ ˆ
a b e c sejam adjacentes entre si. Você
deverá perceber que a soma dos ângulos destes três vértices é 180°.
Professor(a), mesmo que alguns alunos já tenham visto essa cons-trução na série anterior, é importante mostrar a construção para que eles possam sempre vi-sualizar concretamente certas propriedades. Construção por parte dos alunos. Espera-se
que eles façam a seguinte construção:
Por meio do paralelismo existente, pode-mos determinar as seguintes medidas na figura: a//b b 130° x 110° 130° 50° 70° Então, x + 50° + 70° = 180° x = 180° – 120° x = 60°
E F 8 P - 1 4 - 3 2 b. x s r // s 40° u
03) Na figura, temos que r//s. Com isso, determine os valores de x e de y. 70° 40° x r s t y
04) Determine o valor de cada ângulo na figura: A B C 2x 2x x + 5°
05) Como podemos classificar o triângulo do exercício anterior em relação aos seus lados? E em relação aos seus ângulos?
x s r // s 40° u x + 40° + 90° = 180° x = 50° R.: x = 70° (correspondentes).
Usando o conceito de OPV, temos no triân-gulo a seguinte soma:
x + y + 40° = 180° 70°+ y + 40° = 180° y = 70° 2x + 2x + x + 5°= 180° 5x = 175° x = 35° ˆ ˆ ˆ A x B x C x = = ⋅ = = + = + = = = ⋅ 2 2 35 70 5 35 40 2 2 35 ° ° ° ° 5° ° °° =70°
Como possui dois ângulos congruentes, é um triângulo isósceles. Como possui apenas ângulos agudos, é um triângulo acutângulo.
Professor(a), este é um bom momento para revisar as classificações dos triângulos em rela-ção aos lados e aos ân-gulos.
E F 8 P - 1 4 - 3 2
06) Em um determinado triângulo, sen-do x a medida de um sen-dos ângulos, temos outro ângulo medindo o dobro de x e um terceiro ângulo medindo o triplo de x. Veja a figura: A C B 3x 2x x
Qual deve ser a medida de x? E de cada ângulo?
07) Um triângulo acutângulo tem um de seus ângulos internos medindo 32°. Se um segundo ângulo interno mede 73°, qual será a medida do terceiro ângulo interno deste triângulo?
08) Os ângulos internos de um triângulo têm suas medidas representadas pelas ex-pressões x, x + 10° e x – 40°. Quanto mede cada ângulo deste triângulo?
09) Se dois ângulos internos de um triân-gulo medem 20° e 45°, quanto medirá o ângulo externo não adjacente a eles?
x + 2x + 3x = 180° 6x = 180° x = 30° ˆ ˆ ˆ A x B x C x = = ⋅ = = = ⋅ = = = 3 3 30 90 2 2 30 60 30 ° ° ° ° °
Chamando de x a medida do ângulo desco-nhecido, temos: 73° + 32° + x = 180° x = 75° x + x + 10° + x – 40° = 180° 3x – 30° = 180° 3x = 180° + 30° 3x = 210° x = 70° x + 10° = 70° + 10° = 80° x – 40° = 70° – 40° = 30° Os ângulos medem 70°, 80° e 30°.
Chamando de x o ângulo externo, temos: x = 20° + 45° = 65°
E F 8 P - 1 4 - 3 2
10) Determine o valor de x em cada figura abaixo: a. x 52° b. x 60° 50° 20°
11) Reflita e justifique. No exercício ante-rior, item b, é necessário que se tenha o ângulo de 50° indicado na figura para de-terminar o valor de x?
Exercícios Propostos
12) Para se desenhar um triângulo retân-gulo com um de seus ânretân-gulos internos me-dindo 30°, é necessário que o outro ângulo agudo meça quantos graus?
13) Se as três medidas dos ângulos inter-nos de um triângulo forem números pri-mos, então uma delas certamente é o 2°? Explique e dê um exemplo.
No menor triângulo formado na figura, te-mos um ângulo reto, o ângulo x e o ângulo de 38° (complemento de 52°). Logo:
x + 38° + 90° = 180° x = 52°
Considerando o maior triângulo formado na figura, temos que o ângulo externo x é dado pela soma dos dois não adjacentes a ele (60° e 20°). Logo:
x = 60° + 20° = 80°
Não é necessário, pois a medida de x não depende dos segmentos que formam o ân-gulo de 50°. Bastou adicionar os ânân-gulos de 60° e 20°.
Como o triângulo é retângulo, então um de seus ângulos mede 90°. Logo, sendo x a me-dida do ângulo desconhecido, temos: 30° + 90° + x = 180°
x = 60°
A soma das três medidas deve ser um nú-mero par (180°). Logo, caso as três medidas sejam números ímpares, não teremos o re-sultado par. Assim, para que as três medidas sejam formadas por números primos, uma tem de ser 2 (primo par). Como exemplo, temos:
2°, 71° e 107°. Professor(a), há outra
resolução possível com a utilização dessa infor-mação, usando a pro-priedade da soma dos ângulos internos de um triângulo. Dessa forma, dependendo da reso-lução que o aluno es-colheu, ele poderá dar outra resposta a esta questão. Vale a pena trabalhar os dois cami-nhos com os alunos.
E F 8 P - 1 4 - 3 2
14) Observe atentamente a figura:
x
105°
60°
Determine a medida do ângulo indica-do pela letra x.
15) Determine a medida do ângulo x indi-cada na figura. r s r // s x 150°
Usando o conceito de ângulos OPV, temos os ângulos destacados na figura:
x
105°
105° 60°
Logo, temos a soma: 60° + 105° + x = 180° x = 15°
Professor(a), questio-ne os alunos sobre o uso, ou não, do ângulo reto presente na figura para determinar o valor de x. Devem perceber que ele não é necessário.
Na figura, temos os ângulos colaterais exter-nos (150° e 30°). r s r // s x 150° y 30°
Em contrapartida, chamando o ângulo inter-no do triângulo de y, temos:
y = 180° – 30° – 90° = 60° x = 180° – y = 180° – 60° = 120°
E F 8 P - 1 4 - 3 2
16) Em um triângulo retângulo, podemos afirmar que o maior lado será oposto ao ângulo reto? Justifique.
17) Determine o valor de x e a medida dos ângulos A e Bˆ ˆ. A 7x 100° 2x B C 18) Três retas, AB BC e AC , , no mesmo
plano se encontram nos pontos A, B e C, como mostra a figura:
130° x + 20° A B C 2x + 20°
O valor do ângulo agudo compreendi-do entre as retas AB e AC é: a. 30° b. 40° c. 50° d. 60° e. 70°
Em um triângulo retângulo, o maior ângulo é o ângulo reto, pois a soma dos outros dois deve ser 90° e, portanto, cada qual será agu-do (menor que 90°). Assim, como o maior lado é oposto ao maior ângulo, o maior lado será oposto ao ângulo reto.
7x = 100° + 2x 5x = 100° x= 20° B x A A = = ⋅ = + ° + ° = ° = ° 2 2 20 40 40 100 180 40 ° ° R: C 130° = x + 20° + 2x +20° 130° = 3x + 40° 130° – 40° = 3x 90° = 3x 30° = x
Portanto, o ângulo agudo compreendido en-tre as retas AB e AC
é: x + 20° = 30° + 20° = 50°
E F 8 P - 1 4 - 3 2
19) A figura abaixo representa uma mesa de bilhar onde uma bola, após ser lançada, descreve a trajetória retilínea EG
. D C G F B A E
No triângulo EFG, o maior dos ângulos agudos mede o dobro da medida do me-nor subtraídos 30°. A medida do maior ân-gulo agudo é: a. 85° b. 80° c. 50° d. 40° e. 30°
20) Há muito tempo, quando os piratas navegavam pelos mares, um barco pirata que percorria uma rota marítima teve pro-blemas devido a uma tempestade e naufra-gou nas proximidades de uma praia.
Como eles transportavam um tesouro muito valioso e não tinham meios de pros-seguir viagem, tiveram de esconder o te-souro em uma gruta.
Conta a lenda que os piratas elaboraram um mapa delimitando a região onde está en-terrado o tesouro com algumas instruções.
... Do seu ponto de parda dê 10 passos, em linha reta, para a frente, vire 120° para a esquerda e dê 10 passos, em linha reta, para a frente. Agora, dê o número mínimo de passos que seriam necessários para fechar o triângulo, no ponto de parda.
O número mínimo de passos que é ne-cessário dar para delimitar a região onde está enterrado o tesouro é:
a. 8 d. 21
b. 10 e. 22
c. 20
R: C
Chamando de x o menor dos ângulos agu-dos, podemos escrever a seguinte igualda-de:
x + 2x – 30° + 90° = 180° 3x = 120°
x = 40°
O maior ângulo agudo é dado por 2x – 30°. Logo: 2x – 30° = 2·40° – 30° = 80°– 30° = 50° 120° 60° 10 passos 10 passos partda x x
Pela figura, sabemos que o triângulo formado é isósceles (dois lados congruentes = 10 pas-sos). Como o ângulo formado por estes lados mede 60°, os outros dois (da base) também medirão 60°, fazendo com que o triângulo, além de ser isósceles, seja equilátero. Com isso, o terceiro lado (quantidade de passos necessários para voltar ao ponto de partida) deve ser também 10.
Professor(a), sugira aos alunos que façam um rascunho ou, se pos-sível, sigam essas “pis-tas” em um local mais amplo, como o pátio, para verificar concreta-mente a solução do pro-blema.
E F 8 P - 1 4 - 3 2
01) Construa um triângulo ABC com lados medindo AB = 6 cm, AC = 5 cm e BC = 3 cm.
02) Construa um triângulo equilátero qualquer.
21) Em um triângulo ABC, dois ângulos inter-nos dos vértices A e B medem: â = 2x + 60°,
ˆ
b = x + 35°. Se o ângulo externo do vértice
C mede 125°, quanto medem os ângulos â e bˆ?
Avidades 52 e 53 – Para criar habilidades, um
pouco de técnica – Construção de triângulos
Exercícios de Aplicação
03) Construa um triângulo isósceles cujos ângulos da base meçam 40° cada. Para tanto, considere o segmento AB como base do triângulo. A B 2x + 60° + x + 35° = 125° 3x + 95° = 125° 3x = 30° x = 10° â = 2x + 60° = 2·10° + 60° = 20° + 60° = 80° ˆ b = x + 35° = 10° + 35° = 45°
Resposta pessoal, exemplo:
A B
40° 40°
Professor(a), verifique se os alunos percebem que podem escolher, inicialmente, uma me-dida qualquer que será a mesma utilizada em toda a construção.
A B
E F 8 P - 1 4 - 3 2
04) Construa um triângulo ABC, sendo dados: BC = 5 cm B C = = 70 50 ° °
Exercícios Propostos
05) Considere os seguintes segmentos:
a
b
c
Faça uso de compasso e régua e cons-trua um triângulo cujas medidas sejam a, b e c.
06) Considere um triângulo MNP no qual MN = 7 cm, MP = 6 cm eMˆ = 45°.
07) Construa um triângulo PQR no qual PR = 6 cm,Pˆ = 35° e Mˆ = 55°. 70° 50° A B C 5 cm b c a M P N 45°
Certificar-se de que os alunos não mediram os segmentos com régua, mas sim transferi-ram as medidas com compasso.
Professor(a), verificar se os alunos percebem que o segmento PR fica automaticamente determinado na figura. Para isso, é interessante orientá-los a fazer um rascunho antes, a fim de que visualizarem o que devem construir.
P
55° 35°
Q
E F 8 P - 1 4 - 3 2
08) Com três palitos de fósforo, é possível construir um triângulo:
Com cinco palitos de fósforo, construí-mos dois triângulos:
Com 7 palitos de fósforo, construímos três triângulos:
Seguindo o mesmo raciocínio, para construirmos quatorze triângulos, neces-sitamos de:
a. 26 palitos. d.30 palitos. b. 27 palitos. e. 31 palitos.
c. 29 palitos.
Avidade 54 • Com três segmentos quaisquer é sempre
possível obter um triângulo? – Existência de um triângulo
Exercícios de Aplicação
01) Cláudio trabalha em uma gráfica que faz diversos tipos de panfletos para propa-ganda. Um de seus clientes enviou um e-mail pedindo que fizessem um panfleto no for-mato de um triângulo com os lados me-dindo 12 cm, 11 cm e 25 cm. No entanto, Cláudio respondeu dizendo que não seria possível fazer esse panfleto, pois as medi-das não estavam corretas. Explique, geome-tricamente, o motivo pelo qual não é possí-vel fazer esse panfleto com essas medidas.
02) Verifique no triângulo qual é o maior valor inteiro que x pode assumir para que o triângulo exista.
4 3
x
Número de triângulos Número de palitos
1 3 2 5 3 7 ... ... n 2n + 1 n = 14 2 · 14 + 1 = 29 palitos
Como se trata de um triângulo, temos que uma das medidas (25 cm) é maior que a soma das outras duas medidas:
25 > 11 + 12
Com isso, não é possível existir o triângulo pedido pelo cliente.
Como a medida de um lado deve ser menor que a soma das medidas dos outros dois la-dos, temos que x < 4 + 3, ou seja, x < 7. Logo, o maior valor inteiro será 6. Professor(a), verifique
se os alunos percebem que, para que x assuma o maior valor possível, devemos considerar este lado como o maior lado do triângulo. No próximo exercício, vamos refletir sobre o menor valor in-teiro para x.
E F 8 P - 1 4 - 3 2
03) Com relação ao exercício anterior, po-demos dizer que 1 será a menor medida inteira para x? Explique.
04) O triângulo isósceles abaixo tem seus lados congruentes medindo 13 unidades cada. Qual deverá ser o maior valor inteiro para y? E o menor valor inteiro?
13 13
y
Exercícios Propostos
05) Em cada caso são colocadas 3 medi-das. Verifique se é possível construir um triângulo com as medidas dadas e justifi-que sua resposta.
a. 12 cm, 15 cm e 16 cm.
b. 41 mm, 53 mm e 60 mm.
c. 61 cm, 40 cm e 19 cm.
d. 16 m, 23 m e 7 m.
Não. Caso 4 seja o maior lado do triângulo, deveremos ter a sentença: 4 < x + 3, donde chegamos em 1 < x.
Logo, o menor valor inteiro para x é 2.
Considerando y como o maior lado do triân-gulo, devemos ter:
y < 13 + 13 y < 26
Logo, o maior valor inteiro para y é 25. Se 13 for o maior lado do triângulo, deve-mos ter:
13 < 13 + y 0 < y
Logo, o menor valor inteiro para y é 1. Portanto, o maior valor inteiro será 25, e o menor valor inteiro será 1.
É possível, pois: 16 < 12 + 15
É possível, pois: 60 < 41 + 53
Não é possível, pois: 61 > 40 + 19
Não é possível, pois: 23 = 16 + 7
E F 8 P - 1 4 - 3 2
06) É possível existir um triângulo que te-nha seus lados medindo 2,3 cm, 17 mm e 6,5 cm? Explique.
07) Três cidades — Araras, São José do Rio Preto e Presidente Prudente —, repre-sentadas respectivamente pelos pontos A, S e P no mapa do estado de São Paulo, for-mam um triângulo em que ASPˆ é o ângulo
de maior medida. A cidade A está a 407 km da cidade P e a cidade S está a 259 km da cidade P, distâncias representadas respec-tivamente pelos segmentos AP e SP.
P
S
A
A alternativa que pode representar a dis-tância entre as cidades A e S, representada pelo segmento AS, é:
a. 15 km b. 30 km c. 60 km d. 140 km e. 270 km Professor(a), este é um bom momento para verificar a atenção dos alunos em relação às uni-dades de medidas forne-cidas (são diferentes).
Reforce a ideia de que o termo “pode” não im-plica necessariamente que seja a única solu-ção do problema.
Inicialmente, devemos escrever todas as medidas em uma mesma unidade, por exemplo, milímetro.
2,3 cm = 23 mm 17 mm
6,5 cm = 65 mm
Então, temos que: 65 > 23 + 17. Logo, tal tri-ângulo não existe.
Se ASPˆ é o maior ângulo, então o lado oposto AP é o maior lado. Assim, temos: 407 < x + 259
148 < x
∴ x > 148 km (alternativa E, única possível)
