COMPLEMENTOS DE OPÇÕES MESTRADO EM FINANÇAS - ISCTE EXAME - Resolução 13/07/07 Duração: 2.5 horas

COMPLEMENTOS DE OPÇÕES

2006-2007

MESTRADO EM FINANÇAS - ISCTE

EXAME - Resolução

13/07/07 Duração: 2.5 horas

CASO 1

a) Formule, no momento “t” (≤ ), o cálculo do fair value de uma obrigação de caixa com T

vencimento no momento “T” e que paga nessa mesma data um único cash flow igual ao valor nominal multiplicado pelo rácio entre a cotação spot do índice DAX (S_T) no momento “T” e a cotação mínima registada pelo DAX entre os momentos “t” e “T”.

O payoff, na data de vencimento, da obrigação de caixa é dado por:

( )

u T u t T T S S B ≤ ≤ × = inf % 100 Portanto, ( )

( )

. inf        × = ≤ ≤ − − t u T u t T Q t T r t F S S E e B

Para avançar necessitamos da função densidade de probabilidade conjunta do preço spot e do respectivo mínimo. É mais simples operar uma mudança de medida de probabilidade, tomando como numerário o spot acumulado de dividendos:

( )

( )

_{( )}

( )

, inf 1 inf inf         = ⇔               = ⇔               = ≤ ≤ − − ≤ ≤ ≤ ≤ t u T u t Q t T q t t t qT T u T u t T Q qt t t t rT u T u t T Q rt t _F S E e S B F e S S S E e S B F e S S E e B S S

onde Q é a nova medida de probabilidade associada ao novo numerário _S qt te

S e definida através da seguinte Rádon-Nikodym derivative:

rT rt qt t qT T t S e e e S e S F dQ dQ = .

Assumindo que “S” segue um GBM, i.e. que

(

)

      + −       _{− −} =

_∫

T t Q u t T S r q T t dW S σ σ 2 exp 2 , então:

( )

( )

. 2 1 exp 2 _      − − − − =

∫

∫

T t Q u T t t S _{F du dW} dQ dQ σ σ

Aplicando o teorema de Girsanov, . Q t Q t dt dW dW S =−σ + Consequentemente,

(

)

(

)

(

)

. 2 exp 2 exp 2 2       + −       + − =       + + −       _{− −} =

∫

∫

T t Q u t T T t Q u t T S S dW t T q r S S dW du t T q r S S σ σ σ σ σ c

Comparando as 2 últimas equações constata-se que a função densidade de probabilidade da taxa de rentabilidade mínima do índice pode ser obtida, na nova medida Q , via _S

equação (151) com θ =−1 e substituindo

2 : 2 σ µ =r−q− por 2 : 2 σ µ =r−q+ . Assim, ( )                                       = ≤ ≤ − − t t u T u t t Q t T q t t F S S S E e S B S ln inf exp 1 ( )

[

₍

₎

]

(

)

(

)

[

y T t T t

]

dy y t T t T y y t T t T y e e B qT t _y t    − − −       +          − − − Φ       + − − =

∫

∞ ∞ − − − σ µ φ σ µ σ µ σ µ σ µ σ µ φ , ; 2 exp 2 exp 2 , ; 1 2 2 2 c

b) A obrigação GN tem vencimento a 1 ano, reembolso bullet e um cupão anual igual à taxa de rentabilidade da acção GN, caso a acção GN nunca desça abaixo de 90% da cotação actual em qualquer momento durante o próximo ano. Caso contrário, o cupão será igual a zero. Formule a avaliação desta obrigação.

[ ]

( )

[ ]( ) [ ]( )      _>       _> ∈ ∈ ∈ − × + = ⇔     ⇐ > ⇐ − + = 0 1 , 0 0 1 , 0 0.9 inf 0.9 inf 0 1 1 0 1 , 0 0 0 1 1 1 1 % 100 % 0 9 . 0 inf % 100 S S S S u u u u u u S S B else S S S S S B Portanto, [ ]( ) [ ]

( )

0.9 . inf 1 1 % 100 _{0 0} 1 , 0 1 0 9 . 0 inf 1 0 1 1 0 0 1 , 0     _> × −         × × × + × = ∈ × −       _> × − × − ∈ F S S Q e F S E S e e B _u u r S S Q r r u u

O terceiro termo do lado direito da equação anterior pode ser imediatamente calculado via Proposição 45: [ ]

( )

0.9

[

(

1;0.9

)

]

( )

0.9

[

(

0.9;1

)

]

. inf _{0 0 2} 2 ₂ 1 , 0 2 M M u u S S F d d Q_ > _=Φ − ×Φ ∈ σ µ

Relativamente ao 2º termo, é necessário operar uma mudança de medida de probabilidade, tomando como numerário o spot acumulado de dividendos:

[ ]( ) [ ]( ) [ ]

( )

   _> × =         × × × =         × × × ∈ × −       _> × −       _> × − ∈ ∈ 0 0 1 , 0 1 0 9 . 0 inf 1 0 0 0 9 . 0 inf 1 0 1 9 . 0 inf 1 1 1 1 0 1 , 0 0 1 , 0 F S S Q e F E e S S F S E S e u u S q S S Q q S S Q r u u S u u

Finalmente, esta última probabilidade pode ser calculada via Proposição 45 com η =−1 e substituindo 2 : 2 σ µ =r−q− por 2 : 2 σ µ =r−q+ . Assim, [ ]

( )

( )

( )

. 1 1 1 9 . 0 ln 9 . 0 1 1 1 9 . 0 1 ln 9 . 0 inf 2 2 0 0 1 , 0 _     + × ₊ Φ × −             + × +       Φ =     _> ∈ σ σ µ σ σ µ σ µ F S S QS _u u

c) Formule, no momento “t” ( T≤ ), uma estratégia de static hedging para uma opção sobre o activo “S” e com um payoff terminal, no momento “T”, igual a

[

ST −X1

]

caso ST > X2, com X1,X2∈ℜ.

(

)

(

)

(

, ,

)

( ) (

1 , , ;

)

. 0 0 0 0 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 X X M T X S D T X S c X S X S X X X S X S X S X S X S X X X S X S X S X S V T T T T T T T T T T T T T T T T − = + =    ≤ ⇐ > ⇐ − = +    ≤ ⇐ > ⇐ − =    ≤ ⇐ > ⇐ − + − =    ≤ ⇐ > ⇐ − =

Estratégia de static hedging:

i) Comprar call standard com strike X₂ e vencimento no momento “T”; e

ii) Comprar cash-or-nothing call com strike X₂, vencimento no momento “T” e contract size igual a

(

X₂−X₁

)

.

CASO 2 a)

(

1 4% 6₁₂

)

3.961%. ln 6 12 12 6 % 4 1 : _e×612 = + × ⇒_r= + × ≅ r r

(

)

₍

₎

. 12,174.00 12 1 25 . 0 1.30839 -12 1 2 25 . 0 % 1 % 961 . 3 exp 13,381.39 2 10 , 2 ≅         × × + ×       − − × = S

(

13,381.39 12,523.28; 0

)

858.11. max 10 , 2 = − = V

( )

V2,10 2 =

(

858.11

)

2 ≅736,346.42. b)

. 1,411.72 10 14,399.59 ˆ 3.961% 0.5 0 ≅ × =_e− × V

( )

(

)

371.95. 1 10 10 14,399.59 .79 33,689,231 10 ˆ 2 5 . 0 % 961 . 3 0 ₋ ≅ − × = e− × V σ c)

Valor actual do depósito bancário: . 12 6 % 4 1 % 100 0 0 RV B + × + =

Por seu turno,

( )

( )

    ⇐ > ∧ < ⇐ × = = = else S S RV _i ij _i i j j M % 0 000 , 10 min 500 , 12 max 12 6 % 12 _1,...,6 , _1,...,6 , , 6 Ora,

j \ i max(Si,j) min(Si,j) RV6M,j

1 12,014.14 10,342.49 6% 2 12,000.00 8,417.50 0% 3 12,000.00 8,742.08 0% 4 14,179.16 10,787.04 0% 5 12,000.00 10,923.06 6% 6 12,994.01 11,858.73 0% 7 12,000.00 9,813.80 0% 8 12,199.13 9,557.00 0% 9 15,134.26 12,000.00 0% 10 13,381.39 11,097.89 0% total 12% Portanto, . 1.18% 10 12% 5 . 0 % 961 . 3 0 ≅ × =_e− × RV ⇒ < = + =98.04% 1.18% 99.22% 100% 0 B Não depositar.

CASO 3 a) . % 100 4%1 ₀ 0 e RV B = × − × +

(

; 9,000; 11,000; 1; 1

)

. % 10 % 10 000 , 11 000 , 9 % 10 % 0 % 10 000 , 11 000 , 9 % 0 % 10 1 5 . 0 5 . 0 1 = = = = × − =    ≤ ≤ ⇐ ⇐ − =    ≤ ≤ ⇐ ⇐ = M T X X S RD S ELSE S ELSE RV b a Portanto,

(

; 9,000; 11,000; 1; 1

)

. % 10 % 10 0 1 % 4 0 = × − × = = = = × − _{RD S X X T M} e RV a b Mas,

(

)

(

)

[

]

[

(

)

]

{

9,000 11,000

}

. 1 ; 1 ; 000 , 11 ; 000 , 9 ; 2 2 1 % 4 0 M M b a d d e M T X X S RD Φ − Φ × = = = = = × −

(

)

(

)

(

)

[

9,000

]

(

0.38

)

0.6480 3772 . 0 1 25 . 0 1 2 25 . 0 % 98 . 1 % 4 000 , 9 000 , 10 ln 000 , 9 2 2 2 = Φ ≅ Φ ⇒ ≅ × ×       − − +       = M M d d

(

)

(

)

(

)

[

11,000

]

1

(

0.43

)

0.3336 4254 . 0 1 25 . 0 1 2 25 . 0 % 98 . 1 % 4 000 , 11 000 , 10 ln 000 , 11 2 2 2 = Φ − ≅ Φ ⇒ − ≅ × ×       − − +       = M M d d

Em suma,

(

0.6480 0.3336

)

6.61%. % 10 % 10 4%1 4%1 0 = × − × × − ≅ × − × − _e e RV ⇒ > = + =96.08% 6.61% 102.69% 100% 0 B Depositar. b) Via proposição 19:

( )

. 670 1 5 . 0 ; , 000 , 10 1 5 . 0 ; , 000 , 10 * 2 5 . 0 % 4 2 * 2 1 % 4 1 * 1 1 % 98 . 1 0 a e b a M e b a M e pc − Φ × × +       − − × × +       − − × × − = × − × − × − Visto que: ; 9,860.74 * ₌ S

(

)

; 0.224851 5 . 0 25 . 0 5 . 0 2 25 . 0 % 98 . 1 % 4 9,860.74 000 , 10 ln 2 * 1 ≅ × ×       + − +       = a ; 0.0480744 5 . 0 2 . 0 0.224851 * 2 = − × ≅ a

(

)

; 0.2058 1 25 . 0 1 2 25 . 0 % 98 . 1 % 4 000 , 10 000 , 10 ln 2 1 ≅ × ×       + − +       = b ; -0.0442 1 25 . 0 0.2058 2 = − × ≅ b então:

(

)

(

)

(

0.0480744

)

. 670 0.7071068 ; 0442 . 0 , 0.0480744 000 , 10 0.7071068 ; 2058 . 0 , 0.224851 000 , 10 5 . 0 % 4 1 % 4 1 % 98 . 1 0 − Φ × × + − − − × × + − − × × − = × − × − × − e M e M e pc

. 99 . 187 4808 . 0 670 0.107416 000 , 10 0.118302 000 , 10 1.98%1 4%1 4%0.5 0 ≅ × × + × × + × × − = _e− × _e− × _e− × pc c) . % 100 4%1 ₀ 0 e RV B = × − × +

( )

( )

( )

         < ∨ ≤ − ⇐ ≥ ∧ ≤ − ≤ ⇐ − ≥ ∧ ≥ − ⇐ × = ≤ < ≤ < ≤ < 800 , 9 inf % 0 % 0 800 , 9 inf % 10 % 0 800 , 9 inf % 10 % 10 % 120 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 u u u u u u S S S S S S S S S S S S S S S RV

( )

( )

( )

      < ∨ < ⇐ ≥ ∧ ≤ ≤ ⇐ − ≥ ∧ ≥ ⇐ × = ⇔ ≤ < ≤ < ≤ < 800 , 9 inf 0 800 , 9 inf 1 . 1 800 , 9 inf 1 . 1 1 . 0 % 120 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 u u u u u u S S S S S S S S S S S S S S RV

( )

( )

( )

( )

      < ∨ < ⇐ ≥ ∧ > ⇐ − × −       < ∨ < ⇐ ≥ ∧ ≥ ⇐ − × = ⇔ ≤ < ≤ < ≤ < ≤ < 800 , 9 inf 1 . 1 0 800 , 9 inf 1 . 1 1 . 1 % 120 800 , 9 inf 0 800 , 9 inf % 120 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 u u u u u u u u S S S S S S S S S S S S S S S S S S RV

(

)

(

)

[

c S X S H T y c S X S H T y

]

S RV 120% do _{; ; 9,800; 1} do _{; 1.1 ; 9,800; 1} 0 1 1 0 1 1 0 1= × = = = − = = = ⇔ Portanto,

(

)

(

)

[

c S X S H T y c S X S H T y

]

S RV 120% do _{; ; 9,800; 1} do _{; 1.1 ; 9,800; 1} 0 0 0 0 0 0 0 0 = × = = = − = = =

(

)

(

)

[

]

(

)

% 67 . 0 151.25 -207.37 000 , 10 % 120 1 ; 800 , 9 ; 000 , 11 ; 1 ; 800 , 9 ; 000 , 10 ; % 120 0 0 0 0 0 0 ≅ × = = = = − = = = × = c S X H T y c S X H T y S RV do do Em suma, ⇒ < = + =96.08% 0.67% 96.75% 100% 0 B Não depositar. d) . % 100 4.5%2 ₀ 0 e RV B = × − × +

(

)

(

S X S T y

)

c S x S S S x S S S x RV _y 2 ; 9 . 0 ; 9 . 0 % 9 . 0 %; 0 max 9 . 0 % % 90 % 90 %; 0 max % 1 2 2 1 1 2 1 1 1 2 2 = = × = − × =       − × = ( ) ( )

₍

₎

( ) ( )

[

₍

₎

]

{

}

(

)

(

X T y

)

c x y T S X S c S x F y T S X S c E e S x F y T S X S c S x E e RV Q r Q r 2 ; 9 . 0 ; 1 9 . 0 % 2 ; 9 . 0 ; 9 . 0 % 2 ; 9 . 0 ; 9 . 0 % 2 ; 9 . 0 ; 9 . 0 % 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 , 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 , 1 1 = = × = = = × = = = × =       = = × = − × − − × −

(

1; 0.9; 2

)

. 9 . 0 % 4%1 1 0 × − × = = × = x c X T y e RV

(

)

( )

_{( )}

( ) ( )

_{( )}

2 1 2 2 , 1 1 1 2 % 98 . 1 11;X 0.9;T 2y 1 e N d 0.9 e N d c _{= = = ×} − × − _{× − ×} −r × − _×

( )

( ) ( )

_{( )}

_5%. 1 2 1 % 4 2 % 5 . 4 2 , 1 : 2 , 1 4.5%2 4%1 1,2 21 _≅ − × − × = ⇔ × = × × − × _{e e r} e r r

( )

( )

(

)

(

0.67

)

0.7486. 25 . 0 2 25 . 0 % 98 . 1 % 5 9 . 0 1 ln 2 1 = ≅                     + − + = N N d N

( )

(

)

(

)

. 0.6628 42 . 0 25 . 0 67 . 0 2 = = − = N N d N

(

_{1; 0.9; 2}

)

₁ 1.98% ( )21 _{0.7486 0.9} 5% ( )21 _{0.6628 0.1665.} 1 = = = × × − × × ≅ − × − − × − _e e y T X c . 1665 . 0 9 . 0 % 4%1 0 × − × × = x e RV

Para que a emissão possa ser feita ao par e com uma margem de 1%,

% 80 . 42 % 1665 . 0 9 . 0 % % 100 % 1 % 100 4.5% 2 4%1 ≅ ⇔ × × + × = − − × − × x e x e e)

Estratégia de hedging (assumindo taxas de juro, dividend yield e volatilidades constantes: i) Depósito a 2 anos no valor de EUR50,000,000_×e−4.5%×2_;

ii)

ii.1) Depósito a 1 ano no valor de EUR50,000,000x _0.1665 4%1 9 . 0 % 80 . 42 _{× ×e}− × _;

ii.2) Daqui a 1 ano, utilizar o valor acumulado do depósito. i.e. EUR50,000,000x 0.1665 9 . 0 % 80 . 42 _×

para comprar European calls com vencimento no ano 2 e strike igual a 90% da cotação spot do índice daqui a 1 ano.