Mosaico com a letra “PI”, no Instituto de Matemática, Universidade Tecnológica de Berlin
INTRODUÇÃO À ENGENHARIA 2015 NOTA
AULA PRÁTICA No. 03 – ERROS DE MEDIDA (CÁLCULO DE “PI") PROF. ANGELO BATTISTINI E JULIO LUCCHI
Objetivos: Nesta aula vamos realizar medidas entender sobre precisão de medida. Para
isso, iremos calcular o valor de “PI” e entender a sua origem.
Conhecimentos desenvolvidos: Sistemas de medidas, unidades de comprimento. A
origem do número “PI”.
Habilidades necessárias: Realizar medidas simples e leitura de instrumentos de medida,
operações matemáticas simples.
Atitudes esperadas: Concentração durante o process” de medida, procurar realizar
medidas com a maior precisão possível.
INTRODUÇÃO: Toda medida tem uma imprecisão. Por mais que se esforce em fazer
medidas corretas, não existem instrumentos de medida que garantam 100% de exatidão. Vamos ver alguns exemplos simples: observe o odômetro de um carro (que mede a distância percorrida pelo veículo), normalmente, a marcação do odômetro muda a cada 0,1 km (100 m). E se o carro andar 50 m? Provavelmente, o odômetro vai indicar que o carro não andou (0,0 km). A questão é que um carro percorre dezenas de milhares de quilômetros. Que diferença faz se o carro andar 50 m a mais ou a menos?
Agora, você não vai usar o odômetro de um carro para medir o comprimento de um campo de futebol. Provavelmente você usará uma trena, ou algo parecido. Assim como você não usará uma trena para medir a distância entre São Paulo e Santos.
No Desenho Técnico, ao desenhar uma peça, você usa uma escala com precisão de milímetros. Já pensou usar essa escala para medir o campo de futebol?
Para medidas de objetos e peças (de uma máquina, por exemplo) onde é necessária uma grande precisão, podemos usar paquímetros, micrômetros ou mesmo instrumentos mais sofisticados, com precisão de décimos, centésimos ou milésimos de milímetro. Certamente um milésimo de milímetro não faz diferença no tamanho de um campo de futebol, mas pode fazer muita diferença no encaixe de um rolamento de uma roda de carro, por exemplo.
Assim, ao usar um instrumento de medida, é necessário estar atento ao que se vai medir e qual instrumento será utilizado nessa medida.
O mesmo acontece com medidas de massa, tempo, ou qualquer grande física.
Para verificar a importância da precisão nas medidas, vamos usar váio objetos circulares para calcular o valor de π.
O "PI"
O π (letra grega, lê-se “PI”) é um número que é resultado da relação entre o perímetro de uma circunferência e o seu diâmetro. O uso da letra grega π vem exatamente da palavra “perímetro” em grego, περίµετρος.
Assim, uma circunferência de diâmetro unitário terá seu perímetro igual a π.
Desde a Antiguidade, foram encontradas várias aproximações de ( para o cálculo da área do círculo. Entre os egípcios, por exemplo no papiro de Ahmes, o valor atribuído a ( seria ( .
Na Bíblia (1 Reis 7:23) é possível verificar que os hebreus utilizavam o valor 3 como aproximação de “PI".
Métodos de cálculo
Existem muitas formas de se obter o valor aproximado de ( através de métodos numéricos. Consideramos que ( é um número irracional e transcendente, de forma que os métodos de cálculo sempre envolvem aproximações, aproximações sucessivas e/ou séries infinitas de somas, multiplicações e divisões.
A primeira tentativa rigorosa de encontrar ( deve-se ao filósofo grego Arquimedes. Pela construção de polígonos inscrito e circunscrito de 96 lados encontrou que π seria entre um valor entre 223/71 e 22/7, ou seja, estaria aproximadamente entre 3,1408 e 3,1429. Tal método é o chamado método clássico para cálculo de π.
Ptolomeu, que viveu em Alexandria aproximadamente no século III d.C., calculou π tomando por base um polígono de 720 lados inscrito numa circunferência de 60 unidades de raio. Seu valor foi aproximadamente 3,1416. Considerando o que sabemos atualmente, sua aproximação foi bem melhor que a de Arquimedes.
A "busca" pelo valor de ( também foi preocupação dos chineses, onde Liu Hui conseguiu obter o valor 3,14159 com um polígono de 3.072 lados.
No século V, o matemático hindu Aryabhata deixou registrado em versos num livro a seguinte afirmação: "Some-se 4 a 100, multiplique-se por 8 e some-se 62.000. O resultado é aproximadamente uma circunferência de diâmetro 20.000". Analisando, chegaríamos no valor de 3,1416.
Hoje em dia é relativamente mais fácil, com os computadores modernos que calculam até bilhões de casas decimais para ( . O valor com 52 casas decimais é:
(
ATIVIDADE PRÁTICA: Materiais utilizados: Régua ou trena, objetos cilíndricos.
Em primeiro lugar, separe 4 ou 5 objetos com perfil circular que serão medidos. Se possível, escolha objetos com tamanhos diferentes. Escolha um deles para começar. Com o auxílio de uma régua ou de uma trena, meça o diâmetro da peça e anote o valor na Tabela 1.
OBS.: Para ter maior certeza na medida, meça o diâmetro em várias direções, você deve obter sempre o mesmo resultado.
Depois de anotar o resultado na Tabela, com o auxílio de um cordão, meça o perímetro da circunferência. Você vai fazer isso passando o cordão em volta do objeto, marcando uma volta completa sobre ele e medindo o comprimento com a régua.
Repita o processo para as demais peças da caixa. Se houver outros objetos com perfil circular (copos, garrafas etc), meça também o seu diâmetro e o perímetro, sempre anotando os valores na Tabela 1. Faça pelo menos 4 medidas.
RESULTADOS: Uma vez anotados os valores, passamos a determinar o valor de “π”.
Lembramos que o perímetro (P) de uma circunferência é dado por:
𝑃 = 𝜋.𝑑
Sendo “d” o seu diâmetro. Logo, se mudarmos a equação para:
𝜋=𝑃/𝑑
Assim, a divisão entre o perímetro (P) e o diâmetro (d) deverá resultar no valor de “π”. Faça essa conta para cada medida e anote os resultados na última coluna da tabela 1. Depois de calcular os valores, some e divida pelo número de medidas (4 ou 5) e encontre a média dos valores medidos, anotando na última linha da tabela.
Tabela 1
Peça d = diâmetro (mm) P = perímetro (mm) π = P/d
1 2 3 4 5 Valor médio ——— ———
Muito provavelmente, você deve ter obtido valores próximos a “π”, mas não iguais a “π”. Porque isso aconteceu? Algumas razões devem ser consideradas:
a. As medidas foram feitas com precisão de milímetros (uma ou no máximo duas casas decimais), logo, os resultados são confiáveis até a primeira (ou segunda) casa decimal. Assim, na hora de apresentar os resultados, leve isso em consideração, mostre
somente as duas primeiras casas decimais e não todos os números dados pela calculadora.
b. As peças podem não ser perfeitamente circulares.
Sendo assim, há um erro nas medidas. Esse erro é normal e esperado, depende sobretudo da precisão das medidas e pode, inclusive, ser calculado (uma vez que conhecemos o valor correto do “π”). Na disciplina de Física, você irá estudar “algarismos
significativos” e “erros de medida” entender melhor o porquê dessas observações.
Vamos, então, calcular o erro nas nossas medidas. Para isso, vamos simplificar e aproximar o valor de “π” para 3,14.
Chamamos o valor de “π” que calculamos (e que está na tabela 1) de “πmedido” e o valor real simplesmente de “π”. O erro (ou desvio) relativo é calculado pela expressão:
Agora, para cada valor de “πmedido” da tabela 1, calcule o erro relativo, preenchendo a Tabela 2 abaixo:
Tabela 2
Uma última observação importante: você já se perguntou qual a UNIDADE de “π”? Pois é, “π” é o que chamamos de número adimensional, ou seja não tem unidade. Como dividimos o perímetro, dado em milímetros, pelo diâmetro, também dados em milímetros, as unidades também se dividem, cancelando-se. Por isso, é importante que ao fazermos uma operação desse tipo, os valores das medidas devem estar na mesma unidade
peça π πmedido er% 1 3,14 2 3,14 3 3,14 4 3,14 5 3,14
(todas em milímetros, como fizemos, ou todas em centímetros ou todas em metros). Isso também é um tópico a ser estudado na Física e se chama Análise Dimensional.
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
1. A partir dos objetos medidos, construa um gráfico (na última página) dos perímetros em função dos respectivos diâmetros (P = f(d)). Esse gráfico deve resultar em uma reta, calcule o coeficiente angular dessa reta e explique o resultado.
2. Uma partícula atômica sob a ação de um campo eletromagnético descreve um movimento circular de raio 10 cm, percorrendo 100 voltas em um segundo. Calcule o quanto essa partícula percorre em 2 segundos.
3. Na competições de hipismo, o terreno para as provas tem o formato circular com raio de 50m. Para evitar acidentes é necessário construir uma cerca de 1,5m de altura. Sabendo que o material com o qual a cerca será construída tem o custo de R$ 50,00 por metro quadrado, calcule o gasto com material na construção da cerca.
coeficiente angular da reta: a =
4. Uma empresa fabrica recipientes de alumínio em formato cilíndrico. Os recipientes na linha de produção têm 50cm de altura e diâmetro de 25cm. Para fazer a parte lateral dispõem-se de placas de alumínio que medem 2,20m x 4,20m, que deverão ser cortadas na medida correta para a confecção das partes laterais. Quantas partes podem ser obtidas com uma placa? Faça um desenho (em escala) de como serão os cortes para a confecção das partes laterais dos recipientes (considere somente as partes laterais, desconsiderando a tampa e o fundo)
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Em competições de hipismo (veja os dados da questão 1, dos exercícios complementares) um cavalo passa rente à cerca, percorrendo um arco de 60o fazendo o trajeto em 10s. Calcule a velocidade do cavalo nesse trecho.
2. Para organizar uma festa no CREA foram alugadas 30 mesas circulares de 1,20m de diâmetro e 80cm de altura. Deverão ser confeccionadas toalhas de mesa que irão cobrir as mesas até o chão. Além disso, sobre cada toalha será costurada uma fita azul, que marcará a borda da mesa. Calcule quantos metros de tecido e de fita deverão ser comprados para que todas as mesas’fiquem iguais.
3. Para o exercício 4 da parte de Exercícios Complementares, calcule a percentagem de alumínio que será desperdiçado na confecção dos recipientes.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
• Maor, Eli; “ “e”, A HISTÓRIA DE UM NÚMERO”: Editora Record.
• Site: http://pt.wikipedia.org/wiki/Pi (acesso em 22/fev/2014)
• Holtzapple, M. T. e Reece, W. D.; "INTRODUÇÃO À ENGENHARIA”; LTC Editora, 2006. ISBN: 9788521615118.
