Março/2012. Pag.1. Prof. Alvaro Augusto

(1)

(2)

Curriculum

● Alvaro Augusto de Almeida.

● Engenheiro Eletricista, CEFET-PR, 1989.

● Pós-graduado em Finanças Empresariais, ISAE/FGV, 1999. ● Pós-graduado em Desenvolvimento Web, PUC-PR, 2001. ● Professor da UTFPR desde 1991 (DAELT, 40 horas).

● Sócio e consultor do Grupo Electra. ● E-mails: alvaroaugusto@utfpr.edu.br,

(3)

Conteúdo Programático

• Matemática financeira.

• Fluxos de caixa e relações de equivalência. • Coeficientes de financiamento

• Sistemas de amortização (Price, SAC, SAM). • Análise de investimentos.

• Taxas variáveis e inflação.

• Depreciação e imposto de renda. • Substituição de equipamentos. • Análise de projetos industriais. • Análise de múltiplas alternativas.

(4)

Bibiografia

• ASSAF NETO, A., Matemática Financeira e

Suas Aplicações. Ed. Atlas, 1998.

• CASAROTTO, N.; KOPITTKE, B.H., Análise

de Investimentos. Ed. Atlas, 1994.

• WOILER, S.; MATHIAS, F.M., Projetos –

Planejamento, Elaboração e Análise. Ed.

Atlas, 1992.

(5)

Lost in translation...

• “Engineering Economics” (Economia da

Engenharia) nasceu nos EUA, em 1877, com

o livro “The Economic Theory of Railway

Location

”, de Arthur Wellington.

• No Brasil, o termo foi traduzido

incorretamente para “Engenharia

Econômica”..., mas já há vários autores e

instituições usando o termo “Economia da

Engenharia” (UFSC, PUC-RJ, UDESC, etc).

(6)

Objetivos da Eng. Econômica

• Engenharia Econômica é uma ferramenta analítica de auxílio à tomada de decisão.

• O objetivo básico é responder às perguntas: – O projeto se paga?

– Em quanto tempo?. – Qual a rentabilidade?

– Qual a melhor alternativa de financiamento?

(7)

Resumindo...

“Antes de entrar pelo

cano, tenha certeza que

você passa por ele!”

(8)

Lost in translation 2...

•Em inglês, “project” significa muito

mais “empreendimento” do que

“projeto”.

•Em inglês, “projeto” é “design”...

•E “desenho” é “drawing”...

(9)

(10)

Por que existem juros?

• Teoria da abstinência (Nassau Sênior, sec. XIX): – Emprestador deve ser remunerado pela

abstinância da poupança.

• Teoria da produtividade do capital (Say, Malthus e Ricardo):

– Tomador se beneficia do empréstimo e deve remunerar o emprestador.

• Teoria da depreciação do futuro (Turgot):

(11)

Juros e Risco

• Modernamente, os juros são vistos como um prêmio pelo risco. O risco pode ser:

– Sistêmico: todos estão sujeitos a ele: • Risco-Brasil.

• Risco internacional.

– Não sistêmico: apenas os empreendedores do projeto estão sujeitos a ele:

• Risco próprio do negócio. • Lucro cessante.

• Inadimplência.

(12)

Capital Próprio e CMPC

• Custo do Capital Próprio (CCP):

– Retorno mínimo exigido pelos acionistas (não necessariamente igual ao retorno desejado). • Custo do Capital de Terceiros (CCT):

– Custo do financiamento junto a instituições financeiras ou bancárias.

• Custo Médio Ponderado do Capital (CMPC, ou WACC):

CCT

CT

CCP

CP

(13)

EXEMPLO 1

1) Uma empresa de fruticultura tem 60% de

seu capital em poder dos acionistas, que

exigem rentabilidade mínima de 20% ao

ano. O restante do capital é repartido

igualmente entre FINAME (TJLP + spread

de 6% ao ano) e PRODEFRUTA (8,75% ao

ano). Determine o CMPC da empresa.

(14)

EXEMPLO 1 - Considerações

● FINAME:

● Financiamento para aquisição de equipamentos novos.

● TJF = TJLP + Custo BNDES + Custo Banco Credenciado = TJLP

+ Spread.

● TJLP – Taxa de Juros de Longo Prazo.

● Fixada trimestralmente, sendo definida como o custo básico

dos financiamentos do BNDES.

● Abril a Junho de 2005: TJLP = 9,75% aa

● http://www.bndes.gov.br/produtos/custos/juros/tjlp.asp

● PRODEFRUTA

(15)

EXEMPLO 1 - Solução

169 , 0 0875 , 0 20 , 0 ) 06 , 0 0975 , 0 ( 2 , 0 2 , 0 6 , 0 × + × + + × = = CMPC

%

9 ,

16 =

∴

CMPC

8,75% 9,75%+6%=15,75% 20% Custo 20% 20% 60% Participação CT₂(Prodefruta) CT₁ (Finame) CP (Sócios) ITEM CMPC=(%CP)xCCP+(%CT₁)xCCT₁+(%CT₂)xCCT₂

(16)

Taxa Mínima de Atratividade

• Taxa Mínima de Atratividade (TMA) é o retorno mínimo que deve ser exigido de um determinado PROJETO.

CCP

Empresa

(17)

Diagrama do Fluxo de Caixa

• Permite a representação gráfica de entradas e saídas de capital ao longo do tempo.

-+

0 1 2 3 5 6 7 9 10 4

-+

+

(18)

(19)

Capitalização Simples

• Nesse tipo de capitalização, os juros incidem somente sobre o capital inicial da operação.

• Os juros se comportam de maneira linear no tempo.

• C = Capital inicial ou em um determinado instante. • i = taxa de juros, expressa de forma por unidade. • n = prazo.

n

i

C

(20)

EXEMPLO 2

2) Um negociante tomou um empréstimo a

uma taxa de juros de 6% ao mês durante 10

meses, sob regime de capitalização simples.

Ao final deste período, calculou em $

290.000,00 o total dos juros incorridos na

operação. Determinar o valor do

(21)

Montante e Capital

• Um determinado capital C, quando

aplicado a uma taxa periódica por um prazo

determinado, produz um valor acumulado

denominado montante M.

J

C

M

=

+

)

1 (

i

n

C

M

=

+

×

(22)

Fatores de Juros Simples

• Fator de Capitalização ou Fator de Valor

Futuro

n

i

FCS

=

1 +

×

• Fator de Atualização ou Fator de Valor

Presente

n

i

FAS

×

+

=

1

(23)

Representação Gráfica

(

i n

)

C FAS C C_t = _t / 1+ × = _t ×

C

_t

C

_n

t

n

(

i n

)

C FCS C C_n = _t × 1+ × = _t ×

(24)

EXEMPLO 3

3) Uma dívida de $ 1 milhão irá vencer em 5

meses. O credor está oferecendo um

desconto de 2% ao mês caso o devedor

antecipe o pagamento para hoje. Calcule o

valor que o devedor pagaria caso

(25)

EXEMPLO 3 - Solução

• M=$ 1.000.000,00

• n= 5 meses

• i=2% ao mês (0,02)

• C=?

(

)

n

i

M

C

×

+

=

1 (

)

1 ,

1

00 ,

000 .

1

5

02 ,

0

1

00 ,

000 .

1 =

×

+

=

C

91 , 090 . 909 $ = ∴ C

(26)

Equivalência de Capitais

• A equivalência de capitais é o teorema básico da Matemática Financeira.

• Dois ou mais capitais, em certa data, são

equivalentes quando, a uma dada taxa de juros, produzirem resultados iguais em uma data

comum.

• No regime de capitalização simples, os prazos não podem ser fracionados, sem alterar o valor final dos juros pagos. Logo, não há equivalência de capitais para períodos mútliplos.

(27)

EXEMPLO 4

4) Um capital de $ 100.000,00 foi emprestado a uma taxa de juros simples de 20% ao ano. Determine: a) O valor total da dívida após 2 anos.

b) O valor total da dívida após 2 anos, considerando-se que esta tenha sido

integralmente paga após o primeiro ano e reemprestada com os juros capitalizados incorporados.

(28)

EXEMPLO 4 - Solução

2 M $ 100.000

0

1

2

1 M M₂

(29)

EXEMPLO 4 - Solução

a) “Non-stop”

(

1

0 ,

2

2 )

$

140 .

000 ,

00

000 .

100

2

=

×

+

×

=

M

b) Fracionando o período

(

1

0 ,

2

1 )

$

120 .

000 ,

00

000 .

100

1

=

×

+

×

=

M

(

1

0 ,

2

1 )

$

144 .

000 ,

00

000 .

120

2

=

×

+

×

=

M

(30)

EXERCÍCIO 1

1) Em quanto tempo um capital de $ 4.000,00

aplicado a 29,3% ao ano renderá $ 1.940,00, pelo regime linear ?

(31)

EXERCÍCIO 1 - Solução

1) Em quanto tempo um capital de $ 4.000,00

aplicado a 29,3% ao ano renderá $ 1.940,00, pelo regime linear ? • C=$ 4.000,00 • i=29,3% aa (0,293) • J=$ 1.940,00 anos 65529 , 1 293 , 0 000 . 4 940 . 1 = × = × = i C J n

n

i

C

J

=

×

meses 20 ≅ ∴ n

(32)

2) Uma TV em cores é vendida nas seguintes condições:

• Preço a vista: $ 1.800,00.

• Condições a prazo: 30% de entrada e $ 1.306,00 em 30 dias.

Determine a taxa de juros simples cobrada na venda a prazo.

EXERCÍCIO 2

(33)

EXERCÍCIO 2 - Solução

2) Uma TV em cores é vendida nas seguintes condições:

• Preço a vista: $ 1.800,00.

• Condições a prazo: 30% de entrada e $ 1.306,00 em 30 dias.

• M=$ 1.306

• _{n= 1 mês}

• _{C=70%x$ 1.800 = $ 1.260} i=?

(34)

EXERCÍCIO 2 - Solução

(

)

(

1 1

)

260 . 1 306 . 1 1 × + × = × + × = i n i C M

0365

,

1

260 .

1

306 .

1

1 +

i

=

0365

,

0 =

i

∴

i

=

3,65%

ao

mês

(35)

EXERCÍCIO 3

3) Uma aplicação rende juros simples de 64,8% aa. Investindo-se $ 400.000,00, quanto tempo será

necessário para se ter $ 194.400,00 a mais do que o investido?

(36)

EXERCÍCIO 3 - Solução

• C = $ 400.000; i= 64,8 aa = 5,4 % am • M = $ 194.400 + C. • n = ?

(

i

n

)

C

M

=

×

1 +

×

(

n

)

C C = + × + 1 0,054 400 . 194 n × × = 0,054 400.000 400 . 194

n

=

9 meses

(37)

EXERCÍCIO 4

4) Um investimento rende juros simples de

230% aa. No ato da retirada, é cobrado

imposto de renda, com alíquota de 9%,

sobre a rentabilidade. Qual a taxa de

rentabilidade líquida?

(38)

EXERCÍCIO 4 - Solução

• i= 230% aa ( simples)

• IR = 9% sobre valor nominal dos rendimentos

(

in

)

C

i

C

R

C

M

=

×

1 +

=

+

×

1 =

+

C i C R = × × 1 = 2,3× C R IR = 0,09× = 0,09× 2,3× C IR = 0,207× M = C + 2,3× C − 0,207× C = 3,093× C

( )

i = 209,3%

(39)

Taxas de Juros Variáveis

• Quando um capital é aplicado durante um

certo prazo, com diferentes taxas para

períodos desse prazo, teremos

n n

n

i

C

n

i

C

n

i

C

M

=

+

×

₁

×

₁

+

×

₂

×

₂

+

...

+

×

(

i n i n in nn

)

C M = × 1+ ₁ × ₁ + ₂ × ₂ + ...+ ×











 +

×

=

C

1 ∑

n

M

i

_k

n

_k

(40)

EXEMPLO 5

5) Um capital de $ 2.300 foi emprestado durante seis meses com as seguintes taxas:

• 2% am para o primeiro mês.

• 2,5% am para o segundo e terceiro meses. • 3% am para o restante do prazo.

Determine a taxa equivalente de juros ao final do prazo de empréstimo.

(41)

EXEMPLO 5 - Solução

(

)

668 .

2 $

3

03 ,

0

2

025 ,

0

1

02 ,

0

1

300 .

2 =

×

+

×

+

×

+

×

=

M

(

1

6 )

2 .

668

300 .

2 ×

+

×

=

i

M

1

300 .

2

668 .

2

6 =

−

×

i

%

67 ,

2 =

i

(42)

Juros Simples e PAs

• Suponha que alguém empresou $ 1.000,00

durante cinco anos a uma taxa de 10% aa.

Ano Saldo no início

de cada ano Juros anuais

Saldo ao final de cada ano 1 - - $ 1.000,00 2 $ 1.000,00 0,1 x 1.000 = $ 100,00 $ 1.100,00 3 $ 1.100,00 0,1 x 1.000 = $ 100,00 $ 1.200,00 4 $ 1.200,00 0,1 x 1.000 = $ 100,00 $ 1.300,00 5 $ 1.300,00 0,1 x 1.000 = $ 100,00 $ 1.400,00

• O saldo evolui de acordo com uma

Progressão Aritmética (PA).

(43)

(44)

Notação

• A notação para Juros Compostos é um pouco diferente:

➢ VP = Capital (Valor Presente). ➢ VF = Montante (Valor Futuro).

• Assim:

J

VP

(45)

Formulação

• No final do primeiro ano:

00 , 210 . 1 $ ) 1 , 0 1 ( 100 . 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 2 = VF × + i = VP× + i × + i = × + = VF

• No final do segundo ano: • Generalizando: 00 , 100 . 1 $ ) 1 , 0 1 ( 000 . 1 ) 1 ( 1 = VP× + i = × + = VF n i VP VF = × (1+ )

(46)

Fatores de Juros Compostos

• Fator de Capitalização ou Fator de Valor

Futuro, a Juros Compostos

• Fator de Atualização ou Fator de Valor

Presente, a Juros Compostos

(

)

n i FAC + = 1 1

(

)

n i FCC = 1+

(47)

Cálculo dos Juros Compostos

• Considerando que

n

i

VP

VF

=

×

(

1 +

)

• E que

J

VP

VF

=

+

• Teremos

[

(1+ ) − 1

]

× = _VP _i n J

(48)

Comparação

1.000,00 2.000,00 3.000,00 4.000,00 5.000,00 6.000,00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Saldo Juros Compostos Saldo Juros Simples

• Juros compostos evoluem de acordo com uma Progressão Geométrica (PG).

(49)

Equivalência de Juros

( )2 2 VP 1 im VF = × +

(

im

)

VP VF₁ = × 1+

( )

iq VP VF₂ = × 1+

0

1

2 VP

VF2

(50)

Equivalência de Juros

• Para que as duas operações sejam equivalentes, devemos ter ) 1 ( ) 1 ( ou ) 1 ( ) 1 ( 2 2 2 q m q m i i i VP i VP VF + = + + × = + × = 1 1+ − = ∴ i_m i_q

• Generalizando para m meses dentro de um período

1

1 +

−

=

m q m

i

ou

(

1 +

)

−

1 =

m m q

i

(51)

EXEMPLO 6

6) A taxa Selic é a taxa de juros média dos

financiamentos diários com lastro em títulos

federais, apurados por um sistema de liquidação diária dos títulos públicos, chamado de Sistema Especial de Liquidação e Custódia (Selic), e é

fixada nas reuniões do Copom (Comitê de

Política Monetária). Em junho de 2005, a taxa Selic era de 1,4924% ao mês. Considerando que esta taxa permaneça constante durante os

próximos 12 meses, determine:

a) A taxa semestral equivalente. b) A taxa anual equivalente.

(52)

EXEMPLO 6 - Solução

a) Taxa semestral equivalente

(

1 +

1 ,

4924

/

100 )

6

−

1 =

0 ,

09295

=

s

i

b) Taxa anual equivalente

(

1 +

1 ,

4924

/

100 )

12

−

1 =

0 ,

1945

=

a

i

%

295 ,

9 =

s

i

%

45 ,

19 =

a

i

(53)

EXEMPLO 7

7) Um título vence daqui a 4 meses,

apresentando um valor nominal (resgate)

de $ 403.621,45. É proposta a troca desse

título por outro de valor nominal de $

480.000,00, vencível daqui a 8 meses.

Sabendo que a rentabilidade exigida pelo

aplicador é de 5% ao mês, pede-se analisar

se a troca é vantajosa.

(54)

EXEMPLO 7 - Solução

• Uma maneira simples de resolver o problema é calcular o valor presente do título que vence em 8 meses no momento do vencimento do outro título. 0 4 8

VP

V$480.000,00

( )

1,05 $394.897,20 00 , 000 . 480 4 = = VP Como o VP é inferior ao valor nominal do título, a troca não é recomendada.

(55)

EXEMPLO 8

8) Para um empréstimo de $ 12.000,00,

um banco exige o pagamento de duas

prestações mensais e consecutivas de

$ 7.000,00 cada. Determinar o custo

mensal da operação.

(56)

EXEMPLO 8 - Solução

• O Valor Presente das prestações deve igualar o valor do empréstimo em uma data qualquer. Supondo que seja a data inicial, teremos

000 .

12 $

(57)

EXEMPLO 8 - Solução

O VP será: ₁₂_.₀₀₀_,₀₀ ) 1 ( 00 , 000 . 7 ) 1 ( 00 , 000 . 7 2 = + + + i i ou 7 12 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 2 = + + + i i

Multiplicando por (1+i)2, vem

0 ) 1 ( 7 12 1 ) 1 ( + i + − + i 2 =

Resolvendo a equação do segundo-grau, teremos

%

92 ,

10 =

∴

i

(58)

Observações

• O cálculo anterior foi possível analiticamente porque há apenas duas saídas de capital. Para mais de duas saídas, a solução analítica é muito difícil ou simplesmente impossível. Nesse caso, deve-se usar uma calculadora financeira ou uma planilha eletrônica.

• A taxa de juros que iguala os fluxos de entrada e de saída, em uma mesma data, é denominada

Taxa Interna de Retorno, ou TIR. A TIR é bastante usada para se avaliar a atratividade de projetos.

(59)

EXEMPLO 9

9) Um devedor emprestou $ 100 em uma

financeira. Devido a vários problemas, só

conseguiu saldar a dívida dois anos

depois. Considerando que a taxa de juros

mensal da financeira é de 12% ao mês:

a) Qual o valor da dívida?

b) Qual a taxa anual de juros cobrada

pelo banco?

(60)

EXEMPLO 9 - Solução

a) O valor da dívida será n i VF = 100× (1+ ) 86 , 517 . 1 $ = ∴ VF 24 ) 12 , 0 1 ( 100× + = VF

b) A taxa de juros anualizada será

(

1+

)

− 1 = m m a i i

(

1+ 0,12

)

12 − 1 = a i ∴ ia = 289,6%

(61)

Observações

• No Brasil, até março de 2000, valia um artigo da Lei da Usura (Decreto 22.626/1933), que proibia a aplicação de juros compostos (anatocismo) em

períodos inferiores a um ano.

• Com a edição da MP 1.963-17/2000, a aplicação do anatocismo em períodos inferiores a um ano foi

liberada, mas somente para instituições financeiras (não se enquadram construtoras, pessoas físicas, etc)!

• Por causa de suas restrições técnicas (falta de equivalência de capitais), os juros simples têm aplicação prática limitada.

(62)

EXEMPLO 10

10)Um empresário irá necessitar de $

35.000,00 em 11 meses e $ 48.000,00

em 14 meses. Quanto ele deverá

depositar hoje em uma conta de

investimento que oferece

(63)

EXEMPLO 10 - Solução

A rentabilidade mensal é 01317 , 0 1 17 , 0 1 12 + − = = m i

O Valor Presente da primeira aplicação é

36 , 308 . 30 $ ) 01317 , 0 1 ( 000 . 35 11 1 = + = VP

O Valor Presente da segunda aplicação é 82 , 965 . 39 $ ) 01317 , 0 1 ( 000 . 48 14 2 = + = VP

(64)

Observações

● Os devedores sempre reclamam da aplicação de

juros compostos, mas há várias situações em que o sistema de “capitalização exponencial” é usado de forma natural. Por exemplo:

➢ Reajustes salariais.

➢ Cálculo da inflação anual. ➢ Reajustes tarifários.

(65)

EXEMPLO 11

11) Considerando a tabela abaixo, dos IGPMs mensais, calcule o IGPM acumulado dos últimos 12 meses.

(66)

EXEMPLO 11 - Solução

IGMP_a=10,0131∗10,0122∗10,0069∗10,0039∗10,0082 10,0074∗10,0039∗10,0030∗10,0085 10,0086∗1−0,0022∗1−0,0044−1 IGMP_a=7,12 % a.a.

(67)

EXERCÍCIOS

5) Para um poupador que deseja ganhar 2,5% ao mês, o que é mais vantajoso: a) receber $

18.500,00 daqui a 4 meses ou; b) receber $ 25.500,00 daqui a 12 meses?

6) Uma pessoa deve uma importância de $12.400. Para a liquidação da dívida, propõe-se os

seguintes pagamentos: $3.500,00 ao final de 2

meses; $4.000,00 ao final de 5 meses; $1.700,00 ao final de 7 meses e o restante em 12 meses.

Considerando que a taxa efetiva de juros é 3% ao mês, calcule o valor do último pagamento.

(68)

(69)

Descontos

• Desconto é a liquidação de uma operação antes de seu vencimento, envolvendo um prêmio ou recompensa. • Valor Nominal, Valor de Resgate ou Valor de Face é o

valor de um título na data de vencimento. • Tipos de desconto:

➢ Desconto “por dentro” (ou racional).

➢ Desconto “por fora” (ou bancário, ou comercial).

Desconto

Nominal

Valor

Descontado

(70)

Desconto Racional

• O valor do desconto é: r

V

N

D

_r

=

−

➢ Dr = Valor do desconto. ➢ N = Valor nominal.

➢ Vr = Valor do resgate na data da operação.

• Como N e Vr devem ser calculados na mesma data, devemos aplicar uma taxa de juros sobre Vr. No

desconto racional, usamos juros simples:

n

i

V

(71)

Desconto Racional

Por outro lado

(

i n

)

V n i V V D V N = _r + _r = _r + _r × × = _r 1+ × n i n i N D × + × × = ∴ 1 r ou n i N V_r × + = 1 Assim

(

)

n i N n i N n i N N D_r × + − × + × = × + − = 1 1 1

(72)

Desconto Racional

O valor do resgate pode ser escrito como

(

)

n i n i N n i N n i n i N N D N V_r _r × + × × + × + = × + × × − = − = 1 1 1 n i N V × + = ∴ 1 r ou

(73)

EXEMPLO 12

12) Seja um título de valor nominal $ 4.000,00

vencível em um ano, que está sendo liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42% aa a taxa nominal de juros corrente, pede-se

calcular o desconto e o valor descontado desta operação.

(74)

EXEMPLO 12 - Solução

000 . 4 $ = N r V 0 ₉ 12

i=42% aa, ou i=42%/12 = 3,5% am

3 035 , 0 1 3 035 , 0 00 , 000 . 4 1 + × × × = × + × × = n i n i N D_r ∴ Dr = $380,10 3 035 , 0 1 00 , 000 . 4 1+ × = + × = n i N V_r 90 , 619 . 3 $ r = ∴ V

(75)

Desconto Bancário

● No desconto racional, os juros incidem somente

sobre o valor de resgate.

● No desconto bancário, os juros incidem sobre

todo o valor nominal.

● Desconto bancário:

➢É mais usado no mercado.

(76)

Desconto Bancário

• O valor do desconto é n d N D_F = × × • Onde: ➢ N = Valor nominal.

➢ d = taxa de desconto “por fora”

• O valor descontado, ou de resgate, será

F F

N

D

(77)

EXEMPLO 13

13) Repita o Exemplo 11, considerando agora que a operação de desconto é por fora.

000 . 4 $ = N F V 0 ₉ 12

(78)

EXEMPLO 13 - Solução

• O valor do desconto será

3 035 , 0 00 , 000 . 4 × × = × × = N d n D_F ∴ D_F = $420,00

(

1− ×

)

= 4.000,00

(

1− 0,035× 3

)

= N d n V_F ∴ V_F = $3.580,00

• O valor de resgate será

• A taxa de juros efetiva será

trimestre ao % 73 , 11 00 , 580 . 3 $ 00 , 420 $ = = i ∴ i = 3,77% a.m.

(79)

Observações

• O devedor do título assume encargos maiores do que os declarados para a operação.

• A operação equivale a pagar juros de $ 420,00 sobre um valor atual de $ 3.580,00, resultando em uma taxa implícita i > d.

• A taxa implícita será

n d n d i × − × = ∴ 1

(

d n

)

N n d N V D i F F × − × × = = 1

(80)

Desconto Bancário e ICMS

• Uma situação comum em que o critério “por fora” é usado refere-se ao cálculo do ICMS.

• No Paraná, a alíquota do ICMS sobre venda de energia é 27%.

• Contudo, se multiplicarmos o valor sem

impostos pelo fator 1.27, o resultado difere do apresentado pela concessionária.

• A razão é que a alíquota do ICMS incide “sobre ela mesma”, caracterizando uma operação “por fora”.

(81)

Desconto Bancário e ICMS

• Se d for a alíquota nominal do ICMS, e

considerando que o prazo da operação é sempre

n=1, teremos: d d i_ICMS − = 1

• O valor total a pagar será

(

)

      − + = + = d V i V N _ICMS 1 1 1 1 _      − = ∴ d V N 1 1

(82)

EXEMPLO 14

14) Calcule as alíquotas efetivas de ICMS para os estados de SP, SC, PR e RJ. Estado d i_icms SP 18,00% 21,95% SC 25,00% 33,33% PR 27,00% 36,99% RJ 30,00% 42,86%

(83)

EXERCÍCIO 7

7) A taxa de desconto “por fora” do banco A é de 3,1% ao mês para operações com prazo de 90

dias. O banco B oferece taxa de desconto de 2,9% ao mês, também “por fora”, com prazo de 120

dias. Determine qual banco está cobrando a menor taxa efetiva mensal de juros.

(84)

(85)

Fluxo de Caixa

● Um fluxo de caixa representa uma série de

pagamentos ou recebimentos que se estima ocorrer em determinado intervalo de tempo.

● Os pagamentos são genericamente representados

por PMT, sendo que as demais variáveis já foram abordadas:

➢VP – Valor Presente. ➢VF – Valor Futuro.

➢n – número de períodos.

(86)

Fluxos de Caixa - Classificação

a) Quanto ao período de ocorrência:

● Postecipados. ● Antecipados. ● Diferidos. b) Quanto à periodicidade: ● Periódicos. ● Não periódicos. c) Quanto à duração: ● Limitados (finitos). ● Indeterminados (indefinidos). d) Quanto aos valores:

● Constantes. ● Variáveis.

(87)

O “Modelo Padrão”

a) Postecipado:

● Os pagamentos ou recebimentos começam a ocorrer no

final do primeiro intervalo de tempo. Não há carência. b) Limitado:

● O prazo total dp fluxo de caixa é conhecido a priori.

c) Constante:

● Todos os termos (pagamentos ou recebimentos) são iguais

entre si. d) Periódico:

(88)

O “Modelo Padrão”

PMT _PMT PMT _PMT _PMT _PMT 1 2 3 4 n−1 n 0 VP VP= PMT 1i  PMT 1i2 PMT 1i 3... PMT1in VP=PMT∗FVP i , n

(89)

O Fator de Valor Presente

➢ O Fator de Valor Presente é uma Progressão

Geométrica de n termos, com primeiro termo (a₁) e razão (q) iguais a (1+i)-1_{, e enésimo termo (a}

n) igual a

(1+i)-n_.

➢ A soma dos termos de uma PG é:

FVP i , n=a1−an∗q 1−q FVP i , n=1i  −1 −1i −n∗1i −1 1−1i −1 FVP i , n= 1−1i−n

(90)

EXEMPLO 15

15) Um software é vendido em 7 pagamentos mensais, iguais e consecutivos de $ 3.000,00.

Considerando que a taxa de juros é 3,6% am, até que preço compensa adquirir o produto a vista?

(91)

EXEMPLO 15 - Solução

● PMT = $ 3.000,00. ● i = 2,6% am = 0,026. ● n = 7 meses. ● VP = ? VP=PMT∗FVP i , n=3.000,00∗FVP i , n VP=3.000,00[ 1−1,026 −7  0,026 ] VP=$ 18.975,88 VP=3.000,00∗6,325294

(92)

Usando o Excel ou o Calc

● O Microsoft Excel e o Open Office Calc têm funções

financeiras para cálculo direto do PMT e do VP:

➢ VP (Taxa, NPER, PGTO). ➢ PGTO (Taxa, NPER, VP).

● PGTO = PMT.

● NPER = número de períodos.

(93)

Usando o Excel ou o Calc

(94)

EXEMPLO 16

16)Um empréstimo de $ 20.000,00 é

concedido para pagamento em 5

prestações mensais, iguais e sucessivas

de $ 4.300,00. Determine o custo mensal

do empréstimo.

(95)

EXEMPLO 16 - Solução

●

VP

= $ 20.000,00.

●

PMT

= $ 4.300,00.

●

n

= 5.

VP=PMT∗FVP i , n 20.000=4.300∗FVP i , n 20.000=4.300∗1−1i −5  i i=2,46% a.m.

(96)

Com auxílio de uma planilha...

● O Excel e o Calc têm a função financeira Taxa (NPER, PGTO, VP), que permite o cálculo das taxas de juros de fluxos padrão. Detalhe: VP e PGTO devem ter sinais trocados.

(97)

Valor Futuro

PMT _PMT PMT _PMT _PMT _PMT 1 2 3 4 n−1 0 n VF

VF =PMT PMT∗1iPMT ∗1i 2... PMT∗1in

VF =PMT [11i1i 21i 3...1in]

(98)

O Fator de Valor Futuro

➢ O Fator de Valor Futuro é uma Progressão Geométrica

de n termos, com primeiro termo a₁ = 1 e razão q = (1+i), e enésimo termo a_n = (1+i)n_.

➢ A soma dos termos de uma PG é:

FVF i , n=a1−an∗q 1−q FVF i , n=1−1i n ∗1i 1−1i FVF i , n=1i  n −1 i

(99)

EXEMPLO 17

17) Uma pessoa irá necessitar de $

22.000,00 daqui a 12 meses. Para tanto,

está fazendo uma poupança mensal de $

1.250,00, com tyaxa de juros compostos

de 4% am Determine se esta pessoa terá

acumulado o montante necessário.

(100)

EXEMPLO 17 - Solução

●

PMT = $ 1.250,00

●

n

= 12 meses.

●

i

= 4,0 % am.

●

VF

= ?

VF =PMT ∗FVF FVF i , n=1i n −1 i = 10,0412−1 0,04 =15,025805 VF=$ 18.782,26

(101)

EXEMPLO 18

18) Um jovem executivo de 25 anos deseja

se aposentar aos 55 anos com um

patrimônio de $ 1.000.000,00. Qual valor

mensal ele deve depositar em uma

(102)

EXEMPLO 18 - Solução

● PMT = ? ● n = 55 - 25 = 30 anos = 360 meses. ● i = 0,012 am. ● VF = $ 1.000.000,00 VF =PMT ∗FVF FVF i , n=1i n −1 i = 10,012360−1 0,012 =6.023,32 PMT =$ 166,02 PMT =1.000.000 ou PMT = VF FVF

(103)

EXEMPLO 19

19) Uma empresa contraiu um empréstimo de $

100.000,00 para ser pago em 6 prestações mensais uniformes de $ 18.094,33. Após o pagamento da segunda prestação, a empresa solicita ao banco o refinanciamento do saldo da dívida em 12

prestações mensais, iguais e sucessivas, sendo que a primeira vence 30 dias a partir dessa data. Sabendo que a taxa de juros cobrada pelo banco é de 3,5% aa, determine o valor da prestação do refinanciamento.

(104)

EXEMPLO 19 - Solução

● A taxa de juros do empréstimo original é

VP=PMT∗FVP=18.094,33∗FVP i ,6

● Resolvendo-se com uma calculadora financeira ou

planilha eletrônica:

i=2,4 % a.m.

● Após o pagamento da segunda prestação, faltam

ainda quatro. O valor presente destas, a uma taxa de juros de 2,4% am será

(105)

EXEMPLO 19 - Solução

● O fluxo de 12 prestações a uma taxa de 3,5% am

deve ser equivalente ao valor presente das prestações faltantes: 68.234,68=PMT∗FVP 3,5 ,12 PMT =68.234,68 9,663334 68.234,68= PMT∗[1−1,035 −12 ] 0,035 PMT =$ 7.061,19

(106)

Fluxo com Carência

● O valor presente na data 1 será

VP=PMT∗FVP 1, n

● Na data zero, teremos

VP=PMT∗FVP 1, n∗ 1

1i  ou VP=PMT∗FVP 1, n∗FAC 1,1

● Generalizando para um período de carência c

PMT PMT PMT PMT PMT

1 2 3 4 n−1

0 n

Carência

(107)

Perpetuidade

VP= PMT 1i  PMT 1i2 PMT 1i 3... PMT 1i ∞=PMT∗FVP i ,∞

Considerando que a_n = 0, a soma da PG será

FVP=lim n ∞ a₁−a_n∗q 1−q = a₁ 1−q VP= PMT PMT _PMT PMT _PMT _PMT _PMT 1 2 3 4 ∞ 0 VP FVP= 1i −1 1

(108)

EXEMPLO 20

20) Um pequeno investidor têm um apartamento que rende aluguel mensal constante de $ 720,00.

Determine o Valor Presente dos aluguéis, avaliado pela taxa da poupança e considerando:

a) Prazo de 10 anos. b) Prazo de 40 anos. c) Perpetuidade.

(109)

EXEMPLO 20 - Solução

a) n = 10 anos = 120 meses VP=720∗FVP 0,5% ,120=$ 64.852,89 b) n = 40 anos = 480 meses VP=720∗FVP 0,5% ,480=$ 130.858,26 c) n = ∞ VP= 720 0,005=$ 144.000,00

(110)

EXEMPLO 21

21) Um determinado fluxo de caixa consiste de 12 prestações mensais de $ 120.000,00. Determine o fluxo de caixa equivalente para 5 prestações

trimestrais iguais, considerando que a taxa de juros seja 1,5% am

(111)

EXEMPLO 21 - Solução

● Dois fluxos de caixa são equivalentes quando

produzem o mesmo valor em um mesmo momento. Este momento é frequentemente denominado “data focal”. Admitindo o momento atual como data

focal, teremos: VP=PMT∗FVP i , n 1.200 1.200 1 2 3 4 12 0 VP 1.200 1.200 1.200 1.200 11 (meses)

(112)

EXEMPLO 21 - Solução

● O fluxo trimestral será:

i=1,0153−1=0,0457

PMT = VP

FVP 4,57% , 5=

13.89,00 4,381427

● A taxa de juros trimestral será

i=4,57% a.t. PMT =$ 2.987,40 PMT PMT 1 2 3 4 0 $ 13.089 PMT PMT PMT 5 (trimestres)

(113)

EXERCÍCIO 8

8) Um empréstimo no valor de $ 12.500,00 deve ser pago em 4 parcelas trimestrais de valores linearmente crescentes na

razão de 12%. A primeira parcela vence em 3 meses, e as demais sequencialmente. A taxa de juros efetiva contratada é 27 % ao ano. Determine o valor de cada pagamento.

PMT₁ = $ 3.091,80

PMT₂ = $ 3.462,80

PMT₃ = $ 3.833,80

(114)

(115)

Conceito

➢

Entende-se por Coeficiente de

Financiamento (CF) um fator financeiro

constante que, multiplicado pelo valor

presente de um fluxo de caixa, retorna o

valor dos pagamentos.

(116)

CFs para fluxos uniformes

➢

Como vimos, para um fluxo de caixa

uniforme (Modelo Padrão), temos

PMT =VP∗ 1 FVP i , n CF = 1 FVP i ,n CF = 1 1−1i−n i CF = i 1−1i−n

(117)

CFs para fluxos não uniformes

VP=PMT∗[ 1 1i 1 1i4 1 1i9 ] Exemplo PMT PMT PMT VP 1 4 9 PMT = VP [ 1 1i  1 1i4 1 1i 9 ] =VP∗CF CF =[ 1  1  1 ] −1 CF =[

∑

t FAC i , n_j]−1

(118)

EXEMPLO 22

22)Uma pessoa contrata no início de janeiro de

determinado ano, um empréstimo de $ 120.000,00 a ser pago em 5 prestações iguais, vencíveis

respectivamente ao final dos seguintes meses:

janeiro, março, junho, julho e dezembro. Sendo a taxa de juros igual a 1,8% ao mês, determine:

a)O coeficiente de financiamento para as cinco prestações não periódicas.

(119)

EXEMPLO 22 - Solução

PMT PMT PMT VP 1 3 6 7 12 PMT PMT CF =[ 1 1,018 1 1,0183 1 1,0186 1 1,0187 1 1,01812] −1 CF =0,221308 PMT =VP∗CF PMT =120.000,00∗0,221308 PMT =$ 26.556,96 a) b)

(120)

Usando uma planilha eletrônica

➢ Construa o fluxo de caixa.

➢ Use a função VPL (Taxa; Valores)

para determinar qual prestação resulta VPL = $ 120.000,00.

➢ Se necessário, use a ferramenta

Atingir Meta ou o Solver.

➢ Obs.: É realmente necessário

(121)

Relembrando:

PMT PMT PMT PMT PMT

1 2 3 4 n−1

0 n

Carência

VP=PMT∗FVP i , n∗FAC i ,c

CFs para fluxos com carência

PMT=VP∗1/FVPi,n∗FACi,c=VP∗CF

FVP 1, n=1−1i

−n

i

(122)

EXEMPLO 23

23)Determinar o coeficiente de

financiamento e o valor das prestações

de uma operação de financiamento de $

25.000,00 a ser liquidado em 18

prestações mensais iguais e com

carência de um trimestre. A taxa de

juros é 2,73% am.

(123)

EXEMPLO 23 - Solução

CF = i 1−1i−n∗1i c CF = 0,0273 1−10,0273−18∗10,0273 3 CF =0,077039 PMT =VP∗CF PMT =25.000,00∗0,077039 PMT =$ 1.926,00

(124)

Usando uma planilha eletrônica

➢ Construa o fluxo de caixa. ➢ Use a função VPL (Taxa;

Valores) para determinar qual prestação resulta VPL = $

25.000,00.

➢ Se necessário, use a ferramenta

(125)

CFs para fluxos com entrada

PMT _PMT _PMT _PMT _PMT 1 2 3 4 n−1 0 n PMT _PMT VP=PMT [ PMT ∗1−1i  −n i ] VP=PMT∗[11−1i −n i ] PMT = VP [11−1i  −n i ] =VP∗CF CF =[11−1i −n i ] −1

(126)

EXERCÍCIO 9

9)Uma loja vende um determinado

produto, sem entrada, em 12 prestações

de $ 298,00, com taxa de juros de 4% am

Determine o valor das prestações se o

financiamento for feito com uma

entrada igual ao valor das prestações.

Considere que os fluxos com e sem

(127)

(128)

Principais Sistemas

➢ Sistema de Amortização Constante – SAC. ➢ Sistema de Amortização Francês – SAF.

➢ Sistema de Amortização Misto – SAM.

➢ Sistema de Amortização Americano - SAA.

Obs.: O SAF, quando usado com taxas

proporcionais (lineares) é denominado “Tabela Price”.

(129)

Conceitos Básicos

➢ Encargos Financeiros (J) – representam os juros da operação, podendo

ser préfixados ou pós-fixados.

➢ Principal (P) – é o capital emprestado, na data de empréstimo.

➢ Amortização (A) – refere-se exclusivamente ao pagamento do principal,

por meio de parcelas periódicas.

➢ Saldo Devedor (SD) – é o valor principal da dívida, após a dedução da

amortização.

➢ Prestação (PMT) – é a soma da amortização e dos encargos financeiros. ➢ Carência – período inicial no qual, em geral, são pagos apenas os juros

(130)

EXEMPLO GERAL

➢

A operação a seguir será usada para

ilustrar todos os sistemas de

amortização:

➢ Principal = $ 100.000,00. ➢ Prazo = 10 anos.

(131)

Sistema de Amortização Constante

➢

No SAC, a amortização é constante, sendo igual

ao principal dividido pelo número de

prestações.

➢

O saldo devedor decresce linearmente.

➢

Os juros incidem sobre o saldo devedor e

também são decrescentes.

➢

Como os juros são decrescentes e a amortização

é constante, as prestações também são

decrescentes.

(132)

Sistema de Amortização Constante

(133)

Sistema de Amortização Constante

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 R$ 0,00 R$ 10.000,00 R$ 20.000,00 R$ 30.000,00 R$ 40.000,00 R$ 50.000,00 R$ 60.000,00 R$ 70.000,00 R$ 80.000,00 R$ 90.000,00 R$ 100.000,00

Saldo Devedor Amortização Juros Prestação

(134)

SAC - FORMULAÇÃO

A= P

n

➢ A amortização é fácil de calcular: ➢ Os juros decrescem linearmente:

J_t= P

n ∗n−t1∗i

➢ As prestações são PMT = J + A, ou:

PMT _t= P

n ∗[1n−t1∗i]

➢ O saldo devedor também descrece linearmente:

SD_t=S_t−1− P

(135)

SAC – Valor Presente das Prestações

VP  PMT = PMT1 1i  PMT₂ 1i2 PMT ₃ 1i3... PMT_n 1in VP  PMT =40.000 1,3  37.000 1,32  34.000 1,33  31.000 1,34  28.000 1,35  25.000 1,36 + + 22.000 1,37  19.000 1,38  16.000 1,39  13.000 1,310 VP  PMT =100.000,00 VP  PMT = P

(136)

EXEMPLO 24

24)Um empréstimo de $ 80.000,00 será liquidado pelo SAC em 40 parcelas mensais. A taxa de juros

contratada é de 4% ao mês. Determine: a)O valor da amortização.

b)O valor dos juros correspondentes ao 22° pagamento.

c)O valor da última prestação.

(137)

EXEMPLO 24 - Solução

a)Amortização b)Juros do 22° pagamento

A= P n A=80.000,00 40 A=$ 2.000,00 J_t= P n ∗n−t1∗i J ₂₂=89.000,00 40 ∗40−221∗0,04 J =$ 1.520,00

(138)

EXEMPLO 24 - Solução

c) Última prestação

d)Saldo após o 10° pagamento

PMT =$ 2.080,00 PMT _t= P n ∗[1n−t−1∗i] SD₁₀=$ 60.000,00 PMT₄₀=80.000,00 40 ∗[140−401∗0,04] SD_t=P− A∗t SD₁₀=80.000,00−2.000,00∗10

(139)

Sistema de Amortização Francês

➢ O SAC não é muito usado no Brasil, pois as

prestações variáveis causam alguma confusão,

especialmente em empréstimos para pessoas físicas.

➢ Assim, o SAF é mais usado, pois apresenta

prestações constantes, sendo mais próximo ao Modelo Padrão dos fluxos de caixa.

➢ No SAF, os juros decrescem com o tempo, e a

amortização cresce.

(140)

Sistema de Amortização Francês

(141)

Sistema de Amortização Francês

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 R$ 0,00 R$ 10.000,00 R$ 20.000,00 R$ 30.000,00 R$ 40.000,00 R$ 50.000,00 R$ 60.000,00 R$ 70.000,00 R$ 80.000,00 R$ 90.000,00 R$ 100.000,00

(142)

SAF - Formulação

PMT = P FVP i , n=P∗ i 1−1i−n ➢ A prestação é fácil:

➢ Os juros são calculados sobre o saldo anterior:

J_t=SD_t−1∗i

➢ A amortização é mais fácil de calcular assim:

A =PMT − J

➢ O saldo é o VP das

PMTs a pagar SDt=PMT ∗FVP i , n−t = PMT∗

1−1i−n−t 

(143)

EXEMPLO 25

25)Um financiamento no valor de $

90.000,00 é amortizado em 30 parcelas

mensais pelo SAF. A taxa de juros

contratada é 2,8% ao mês. Determine:

a)O valor de cada prestação mensal.

b)O valor da amortização e dos juros referentes ao 19° mês.

(144)

EXEMPLO 25 - Solução

a)Prestações mensais

PMT =$ 4.473,81 PMT = P FVP i , n=P∗ i 1−1i−n PMT =90.000∗ 0,028 1−10,028−30 SD_t=PMT ∗1−1i  −n−t i

b)Juros e amortização no 19° mês

1−10,028−30−19

(145)

EXEMPLO 25 - Solução

J₁₉=$ 1.261,92 J _t=SD_t−1∗i A_t=PMT_t−J_t J ₁₉=SD₁₈∗i J₁₉=45.068,70∗0,028 A₁₉=PMT₁₉−J₁₉ A₁₉=4.473,81−1.261,92 A19=$ 3.211,89

(146)

Sistema PRICE de Amortização

➢ O Sistema Price (ou Tabela Price) foi desenvolvido originalmente

pelo inglês Richard Price. Tendo sido usado amplamente na França, a invenção de Price passou a se denominar SAF.

➢ Modernamente, a Tabela Price é uma variante do SAF, sendo

usado quando o período das prestações é menor do que o período da taxa de juros, usando-se taxas proporcionais em vez de taxas compostas.

➢ Uma vez determinada a taxa de juros, as prestações, amortizações

(147)

EXEMPLO 26

26)Um empréstimo de $ 10.000,00, com

período de 10 semestres é concedido à

taxa de juros de 30% aa Sabendo que

será usada a Tabela Price, determine o

valor das prestações semestrais.

(148)

EXEMPLO 26 - Solução

➢ Taxa de juros contratada = 30% aa.

➢ Taxa proporcional semestral = 30/2 = 15% as. ➢ Taxa efetiva anual = (1,15)2 – 1 = 32,25% aa.

PMT = P FVP i , n PMT = P∗ i 1−1i−n PMT =$ 1.992,52 PMT =10.000,00∗ 0,15

(149)

Sistema de Amortização Misto

(150)

Sistema de Amortização Misto

➢

O Sistema de Amortização Misto (SAM)

foi originalmente desenvolvido para as

operações do Sistema Financeiro da

Habitação.

➢

O SAM é a média aritmética entre SAC

e SAF, representando um compromisso

entre prestações constantes e

(151)

Sistema de Amortização Misto

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 R$ 0,00 R$ 10.000,00 R$ 20.000,00 R$ 30.000,00 R$ 40.000,00 R$ 50.000,00 R$ 60.000,00 R$ 70.000,00 R$ 80.000,00 R$ 90.000,00 R$ 100.000,00

(152)

SAM - Formulação

➢ O SAM é a média aritmética entre SAC e SAF

SD_t= SDtSAC SDtSAF  2 At= A_tSAC  A_tSAF  2 PMT_t= PMTtSAC  PMTtSAF  2 J_t= JtSAC  J tSAF  2

(153)

Sistema de Amortização Americano

➢ Nesse sistema, a amortização é paga de uma única

vez, ao final do prazo da operação.

➢ Os juros são pagos periodicamente, incidindo sobre

o saldo devedor, que permanece constante.

➢ As prestações, com exeção do último período, são

iguais aos juros.

➢ Para possibilitar o pagamento da amortização, é

frequente a formação de um fundo de capitalização. Por esta razão, o SAA também é chamado de

(154)

Sistema de Amortização Americano

(155)

Formação do Fundo de Amortização

1 2 3 4 0 5 6 7 8 9 10 PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT VF=$ 100.000,00 PMT = VF FVF i , n PMT =$ 3.852,28 PMT = 100.000,00 FVF 20% ,10= 100.000,00 25,9587

(156)