Capítulo II-Teoria da Probabilidade

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Cap´ıtulo II-Teoria da Probabilidade

Os assuntos expostos nos slides 48 a 63 ser ão estudados apenas na aulas pr áticas, visto serem assuntos de revis ão.

Noc¸ ˜oes Preliminares

● _{fen ´}_{omenos aleat ´}_orios _{– fen ómenos sujeitos à influ ência do acaso e,} como tal, fora do alcance do observador.

● _{experi ˆencia aleat ´}_oria_{– todo o procedimento que verifica as seguintes} propriedades:

– pode repetir-se um grande n úmero de vezes nas mesmas condiç ões ou pelo menos em condiç ões semelhantes;

– a sua realizaç ão d á um resultado de entre um conjunto de resultados poss´ıveis; – cada um dos resultados da experi ência é imprevis´ıvel mas é poss´ıvel considerar “estabilidade na frequ ência da sua ocorr ência”.

Fen ómenos aleat órios s ão caracterizados pela sua:

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Exemplos de experi ˆencias aleat ´

orias

1. lanc¸amento de dois dados e registo do n ´umero de pontos que sai;

2. lançamento de uma moeda e observaç ão da face que fica voltada para cima;

3. contagem do n ´umero mensal de acidentes de autom ´ovel numa autoestrada;

4. registo do tempo de vida de uma pessoa, em anos;

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Espac¸o de Resultados. Acontecimento

Espac¸o de resultados ou espac¸o amostra– representa-se por Ω –

conjunto de todos os resultados poss´ıveis associados a uma experi ˆencia aleat ´oria.

Para os exemplos anteriores tem-se 1. Ω = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), ..., (6, 5), (6, 6)};

2. Ω = {‘face valor’, ‘face pa´ıs’} = {‘FV’,‘FP’} = {1, 0}; 3. Ω = IN0;

4. Ω = IN; 5. Ω = IR+.

Acontecimento aleat ´orio - qualquer subconjunto do espac¸o de resultados.

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´

Algebra dos acontecimentos

Seja Ω o espaço de resultados associado a uma experi ência aleat ória.

Diz-se que A _{⊂ Ω} se realizou se o resultado, ω, da experi ˆencia ´e um elemento de A, i.e., ω _{∈ A}.

● _A ⊂ B_{, diz-se} _A _{subacontecimento} _de _B_{, se e s ó se a realizaç ão de}

A implica a realizac¸ ˜ao de B;

● Ac ou A diz-se acontecimento complementar ou contr ário a A, é o conjunto de todos os elementos de Ω que n ão est ão em A;

● A ∪ B_{, diz-se} _{uni ão} _de A _com B_{, é o acontecimento que consiste na} realizaç ão de pelo menos um dos acontecimentos.

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´

Algebra dos acontecimentos (cont.)

● AB _ou A ∩ B_{, diz-se} _produto _ou _{intersecç ão, é o acontecimento que} se realiza apenas quando ambos os acontecimentos se realizam.

● _{Os acontecimentos} _A _e _B _dizem-se _{mutuamente exclusivos} _ou

incompat´ıveis se e s ó se a realizaç ão de um implica a n ão realizaç ão do outro, i.e., se e s ó se AB = _∅.

● _A − B = A ∩ B _diz-se _diferença _{dos acontecimentos} _A _e _B _{é o} acontecimento que se realiza se e s ó se A se realiza sem que B se realize.

● ∅ _diz-se _{acontecimento imposs´ıvel.} ● Ω diz-se acontecimento certo.

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´

Algebra dos acontecimentos

Vamos recordar algumas propriedades das operac¸ ˜oes sobre acontecimentos (procure mais algumas...):

Propriedade Interpretac¸ ˜ao

Associatividade (A _{∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)} (A _{∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)} Comutatividade A _{∩ B = B ∩ A} A _{∪ B = B ∪ A} Distributividade (A _{∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)} (A _{∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)} Leis de Morgan A _{∩ B = A ∪ B} A _{∪ B = A ∩ B} ... ...

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Probabilidade de um acontecimento

Definiç ão cl ássica – Laplace (s éc. XIX), sob a hip ótese de que todos os

casos s ˜ao igualmente prov ´aveis ou poss´ıveis (princ´ıpio da simetria).

Probabilidade de realizaç ão de um acontecimento A P = n úmero de casos favor áveis a A

n ´umero total de casos poss´ıveis

Definiç ão frequencista– n repetiç ões duma experi ência aleat ória; n_A o no¯ de vezes que se verificou A.

Para n “grande” tem-se para as frequ ˆencias relativas

fn(A) = nA/n ≈ P

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Probabilidade de um acontecimento

Ω₋ espaço de resultados associado a uma experi ência aleat ória.

Definiç ão Probabilidade, P, é uma aplicaç ão que a cada acontecimento de Ω associa um n úmero real satisfazendo o seguinte conjunto de

axiomas:

A1)

P (A) _{≥ 0} _{∀A ⊂ Ω};

A2)

P (Ω) = 1;

A3)

P (A _{∪ B) = P (A) + P (B)} se A _{∩ B = ∅}. (Axioma das probabilidades totais).

Se Ω ´e infinito,

A3

∗

)

P (_∪∞_i=1A_i) = P∞

i=1 P (Ai) se Ai ∩ Aj = ∅, i 6= j (Axioma

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Leis b ´asicas das probabilidades

1.

P (A) = 1 _{− P (A)}.

2.

P (_{∅) = 0}.

3.

A _{⊂ B ⇒ P (A) ≤ P (B)}.

4.

P (A) _{≤ 1}.

5.

P (A _{− B) = P (A ∩ B) = P (A) − P (A ∩ B)}.

6.

Se B _{⊂ A ⇒ P (A − B) = P (A) − P (B)}.

7.

Sejam A1, ..., An acontecimentos mutuamente exclusivos ent ˜ao

P (_∪n_i=1A_i) = Pn

i=1 P (Ai)

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Leis b ´asicas das probabilidades (cont.)

9.

P (A _{∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (A ∩ B) − P (A ∩ C)−} P (B _{∩ C) + P (A ∩ B ∩ C)}

10.

Generalizac¸ ˜ao: A₁, A₂, ..., A_n acontecimentos quaisquer

P (_∪n_i=1Ai) = Pn_i=1 P (Ai)− P (A1 ∩ A2)− P (A1 ∩ A3)− ... − P (An−1 ∩ An)

+P (A₁ _{∩ A}₂ _{∩ A}₃) + ... + P (A_n−2 _{∩ A}_n−1 _{∩ A}_n) +... + (₋₁₎n−1P (A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An).

Exerc´ıcio

Sejam A, B e C acontecimentos aleat ´orios tais que

P(A) = P (B) = P (C) = 1

4; P (A ∩ B) = P (B ∩ C) = 0 e P (A ∩ C) = 1 8.

Calcule a probabilidade de se verificar pelo menos um dos acontecimentos A, B ou C.

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Probabilidade condicional

Definic¸ ˜ao Chama-se Probabilidade condicional de A dado B ou

probabilidade de A se B e representa-se por P (A_|B), com P (B) > 0 a

P (A_{|B) =} P (A ∩ B) P (B) =

P (AB) P (B)

Podemos enunciar o seguinte teorema:

Teorema das probabilidades compostas Se P (A) > 0, P (B) > 0,

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Independ ˆencia

Definiç ão Dois acontecimentos A e B dizem-se mutuamente independentes se e s ó se

P (A _{∩ B) = P (A) P (B).}

Da definiç ão conclui-se que se A e B s ão independentes ent ão

P (A_{|B) = P (A)} se P (B) > 0 e P (B_{|A) = P (B)} se P (A) > 0. Teorema

Se A e B s ˜ao independentes

A e B, A e B e A e B, tamb ´em s ˜ao independentes.

Nota: Independ ência n ão é equivalente a exclusividade m útua.

Se P (A) > 0 e P (B) > 0 e A e B independentes ⇒ A e B s ˜ao n ˜ao mutuamente exclusivos.

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Generalizaç ão a tr ês acontecimentos

Sejam A, B, C tais que P (A) > 0, P (B) > 0 e P (C) > 0, tem-se, P (ABC) = P (A)P (B_{|A)P (C|AB) = P (B)P (C|B)P (A|BC) =}

= P (C)P (A_{|C)P (B|AC).}

Definiç ão – Independ ência de tr ês acontecimentos

Os acontecimentos A, B e C dizem-se mutuamente independentes ou apenas independentes se e s ´o se

P (ABC) = P (A) P (B) P (C); P (AB) = P (A)P (B);

P (AC) = P (A)P (C); P (BC) = P (B)P (C).

Nota: A independ ência par a par n ão assegura independ ência de um conjunto de acontecimentos.

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Exerc´ıcio 1

Um supermercado tem para venda tr ˆes marcas diferentes de caf ´e, A, B e C,

mas todas elas t êm embalagens iguais. O supermercado abastece-se das tr ês marcas numa proporç ão de 4:5:1, respectivamente.

As embalagens devem permitir manter as propriedades do caf é, mas quando t êm defeito, ao fim de pouco tempo o caf é perde a qualidade. Tem-se verificado

que a marca A, B e C t ˆem apresentado, respectivamente, 0.02; 0.01 e 0.015

das embalagens de caf é em m ás condiç ões de qualidade.

1. Escolhida uma embalagem ao acaso no supermercado, qual a probabilidade de o caf é estar em m ás condiç ões?

2. Escolhida uma embalagem ao acaso, verifica-se que o caf é est á em m ás condiç ões. Qual a probabilidade de essa embalagem ser do tipo B?

(15)

Teorema da probabilidade total

A resoluc¸ ˜ao da pergunta 1. baseia-se no seguinte teorema

Teorema da probabilidade total

Sejam A1, A2, ..., An acontecimentos definindo uma partic¸ ˜ao sobre Ω, i.e.,

A1 ∪ A2 ∪ .... ∪ An = Ω e Ai ∩ Aj = ∅, ∀i, j, i 6= j.

Se P (Ai) > 0 , ent ˜ao para qualquer acontecimento B ⊂ Ω tem-se

P (B) =

n

X

i=1

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Teorema de Bayes

Relativamente `a pergunta 2. do exerc´ıcio anterior, pretendemos

actualizar a probabilidade de um acontecimento a priori, `a custa da

informac¸ ˜ao a posteriori.

O seguinte teorema formaliza a resposta `a quest ˜ao:

Teorema de Bayes

Sejam A₁, A₂, ..., A_n acontecimentos formando uma partic¸ ˜ao de Ω , onde

P (A_i) > 0. Seja B um outro acontecimento de Ω, tal que P (B) > 0. Ent ˜ao para k = 1, ..., n tem-se

P (Ak|B) =

P (Ak).P (B|Ak)

Pn

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Vari ´avel aleat ´

oria

Muitas vezes o resultado de uma experi ência aleat ória n ão é num érico ou sendo-o n ão interessa lidar com os resultados poss´ıveis de Ω, mas

pretende-se associar-lhe uma quantidade num ´erica.

Exemplo - lanc¸amento de dois dados e soma dos pontos das faces. ´

E mais c ómodo associar a cada acontecimento um n úmero, definido de acordo com o objectivo do estudo. Chama-se vari ável aleat ória a esta correspond ência.

Definiç ão Chama-se vari ável aleat ória (v.a.) e costuma representar-se por X, a uma funç ão com dom´ınio Ω e contradom´ınio em IR, cujo valor é determinado pelo resultado de uma experi ência aleat ória, i.e,

X : Ω _{→ IR.} X(ω) = x.

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Tipos de vari ´aveis aleat ´

orias

● _{Vari áveis aleat órias} _discretas _{se assumem um conjunto finito ou} infinito numer ável de valores.

Exemplos:

– n ´umero de pintas que sai no lanc¸amento de um dado;

– registo, a intervalos regulares, do n ´umero de pessoas em fila espera na caixa de um supermercado;

● Vari áveis aleat órias cont´ınuas s ão as suscept´ıveis de tomar qualquer valor real num dado intervalo, que pode ser a recta real (definiç ão mais rigorosa ser á dada à frente)

Exemplos:

– o peso de um indiv´ıduo;

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Vari ´aveis aleat ´

orias

Mas ... aos valores de uma vari ´avel aleat ´oria X pretendemos associar uma probabilidade P_X ou, mais simplesmente, P

Isto consegue-se muito facilmente definindo uma funç ão real de vari ável real do seguinte modo:

Definiç ão Chama-se funç ão de distribuiç ão cumulativa ou apenas

funç ão de distribuiç ão associada à vari ável aleat ória X e representa-se por F ou FX, à aplicaç ão

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Propriedades da funç ão de distribuiç ão

1.

0 _{≤ F (x) ≤ 1}

2.

F (_{−∞) = lim}_x→−∞F (x) = 0 F (+_{∞) = lim}_x→+∞F (x) = 1.

3.

F é uma funç ão mon ótona n ão decrescente, i.e., dados dois n úmeros reais x₁ e x₂ tais que x₁ < x₂, tem-se F (x₁) _{≤ F (x}₂)

4.

F (x) ´e cont´ınua `a direita, i.e., lim_x→x+

0 F (x) = F (x0).

5.

P (X = a) = F (a) _{− F (a}−) onde

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Funç ão de distribuiç ão e Probabilidade

O conhecimento da funç ão de distribuiç ão F (.) é equivalente ao conhecimento da lei de probabilidade P_X = P.

Como F (x) = P [X ≤ x] _−→ conhecer P _⇒ conhecer F (x).

Reciprocamente ... conhecer F (x), permite calcular a probabilidade dos v ´arios tipos de intervalos.

● _{P (X < x)} _{= P (X ≤ x) − P (X = x) =} _{F (x}− ); ● P (X ≥ x) = 1 − P (X < x) = 1 − F (x− ); ● P (X > x) = 1 − P (X ≤ x) = 1 − F (x); ● P (a < X ≤ b) = P (X ≤ b) − P (X ≤ a) = F (b) − F (a); ● P (a < X < b) = P (X < b) − P (X ≤ a) = F (b− ) − F (a); ● _{P (a ≤ X ≤ b)} _{= P (X ≤ b) − P (X < a) =} _{F (b) − F (a}− ); ● P (a ≤ X < b) = P (X < b) − P (X < a) = F (b− ) − F (a− ).

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Vari ´aveis aleat ´

orias

Vamos agora ver como calcular a funç ão de distribuiç ão cumulativa e consequentemente a probabilidade para cada um dos tipos de vari áveis aleat órias caracterizados atr ás:

● vari áveis aleat órias discretas e ● _{vari áveis aleat órias cont´ınuas} Relembre-se que:

Uma vari ável aleat ória diz-se discreta se toma um n úmero finito ou uma infinidade numer ável de valores.

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Vari ´aveis aleat ´

orias discretas

Seja X uma v.a. tomando n valores, x₁, ..., xn, cada um deles com

probabilidades p1, ..., pn, respectivamente, i.e.,

pi = P [X = xi], ( i = 1, · · · , n).

Definiç ão Chama-se funç ão massa de probabilidade da v.a. X à aplicaç ão que a cada valor xi −→ pi, tal que

pi = P [X = xi]

A func¸ ˜ao massa de probabilidade satisfaz: pi ≥ 0 , i = 1, ..., n Pn_i₌₁ pi = 1.

Nota: Se a v.a. tomar uma infinidade numer ´avel de valores tem-se

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Vari ´aveis aleat ´

orias discretas

Chama-se distribuic¸ ˜ao de probabilidade da v.a. X ao conjunto de pares (xi, pi)i_{=1,··· ,n}.

Habitualmente a lei (distribuiç ão) de probabilidade da v.a. X disp õe-se na forma:

X =

x₁ x₂ ... x_n p1 p2 ... pn

A distribuiç ão de probabilidade da v.a. discreta permite calcular facilmente a funç ão de distribuiç ão cumulativa FX

FX(x) = P [X ≤ x] =

X

xi≤x

P [X = xi],

ou seja temos a probabilidade cumulativa associada `a vari ´avel X

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Vari ´aveis aleat ´

orias cont´ınuas

Definiç ão Uma vari ável aleat ória diz-se cont´ınua se existe uma funç ão real de vari ável real, f, n ão negativa, tal que

F (x) = P [X ≤ x] =

Z x

−∞

f (t) dt − ∞ < x < ∞

Definiç ão A funç ão f diz-se funç ão densidade de probabilidade ou apenas funç ão densidade. Deve verificar as seguintes condiç ões:

f (x) _{≥ 0 ∀x ∈ IR;} Z +∞ −∞ f (x) dx = 1 Nota: Z b a f (x) dx = F (b) _{− F (a) = P (a < X ≤ b) = P (a ≤ X ≤ b) · · ·}

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Exerc´ıcios

Exerc´ıcio 2. O n úmero de esquentadores vendidos diariamente num estabelecimento é uma vari ável aleat ória, X, com a seguinte distribuiç ão de probabilidade

X =

0 1 2 3 4

0.3 0.3 0.2 0.1 0.1

a) Determine a funç ão de distribuiç ão cumulativa de X; represente-a graficamente. b) Determine P[1 ≤ X ≤ 3]. Interprete esta probabilidade.

Exerc´ıcio 3. Seja X a v.a. que designa o tempo de vida (em anos) de um dado equipamento, cuja funç ão densidade é

f(x) =

0.2 e−0.2x

x > 0

0 x ≤ 0

a) Mostre que f é de facto uma funç ão densidade.

b) Determine a funç ão de distribuiç ão cumulativa de X; represente-a graficamente. c) Qual a probabilidade de esse equipamento durar entre 1 e 3 anos?

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Vari ´aveis aleat ´

orias

Podemos dizer ent ˜ao que:

– No caso de uma vari ável aleat ória discreta a funç ão de distribuiç ão cumulativa é uma funç ão em escada, onde os pontos de salto s ão os valores onde a v.a. est á definida.

– No caso de uma vari ável aleat ória cont´ınua a funç ão de distribuiç ão cumulativa é uma funç ão cont´ınua.

Al ém de termos interesse em calcular probabilidades associadas a uma vari ável aleat ória,

vamos agora calcular “indicadores” que a caracterizam – s ˜ao valores reais habitualmente designados por par ˆametros.

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Valor M ´edio

Definiç ão Dada uma v.a. X chama-se valor m édio, esperança matem ática, valor esperado ou m édia e representa-se por

E[X], µX ou simplesmente µ a

E[X] =

n

X

i=1

xi pi X é v.a. discreta com distribuiç ão (xi, pi)

E[X] =

Z +∞

−∞

x f (x) dx X ´e v.a. cont´ınua com f.d.p. f (x)

Observaç ão: Se X for v.a. discreta com uma infinidade numer ável de valores tem-se

E[X] = P∞

i=1 xi pi. Neste caso s ´o existe valor m ´edio se “aquela soma infinita existir”.

Analogamente, no caso cont´ınuo, s ´o existe valor m ´edio, E[X] = R∞

−∞ x f(x) dx, se o

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Valor M ´edio

Se X é uma v.a. e Y = ϕ(X) é uma funç ão real de vari ável real, define-se valor m édio de ϕ(X) como

E[ϕ(X)] = X

i

ϕ(xi) pi X é v.a. discreta com distribuiç ão (xi, pi)

E[ϕ(X)] =

Z +∞

−∞

ϕ(x) f (x) dx X ´e v.a. cont´ınua com f.d.p. f (x)

Mais uma vez, para que exista valor m ´edio exige-se que exista aquela “soma infinita” (no caso de se tratar de uma v.a. discreta com uma

(30)

Propriedades do Valor M ´edio

1. Linearidade

● _{E[a] = a}_.

● E[a + bX] = a + b E[X].

● _{E[ϕ(X) + ψ(X)] = E[ϕ(X)] + E[ψ(X)]}

2. Positividade

Se X _{≥ 0}, i.e. a vari ´avel toma apenas valores _{≥ 0}, tem-se E[X] _{≥ 0}.

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Vari ˆancia e Desvio Padr ˜ao

Definiç ão: Chama-se vari ância de uma vari ável aleat ória X e representa-se por V ar[X], σ_X2 ou apenas σ2 a

σ_X2 = E (X − µ)2

σX = pV ar[X] chama-se desvio padr ˜ao.

Exerc´ıcio: Verifique que se pode escrever V ar[X] = E[X2] _{− µ}2

Propriedades da vari ˆancia e do desvio padr ˜ao

1.

V ar[X] _{≥ 0}

2.

V ar[a + b X] = b2 V ar[X].

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Voltemos ao Exerc´ıcio 2

O n úmero de esquentadores vendidos diariamente num estabelecimento é uma vari ável aleat ória, X, com a seguinte distribuiç ão de probabilidade

X =

0 1 2 3 4

0.3 0.3 0.2 0.1 0.1

a) Qual o valor esperado do n ´umero de esquentadores vendidos por dia?

b) Se cada esquentador é vendido por 150 Euros qual é a distribuiç ão de probabilidade da receita bruta da venda de esquentadores por dia.

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Exerc´ıcio 4

Considere X a v.a. que designa a duraç ão (em minutos) de cada chamada telef ónica efectuada num certo local, cuja funç ão densidade é

f(x) =

x e−x

x > 0

0 x ≤ 0

a) Calcule a duraç ão m édia de uma chamada telef ónica. b) Calcule a vari ância de X.

c) Se o preço de cada minuto de conversaç ão for 60 c êntimos, qual é, em m édia, o preço de cada chamada telef ónica.

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Quantis, Mediana de uma vari ´avel aleat ´

oria

Definic¸ ˜ao

Dada uma v.a. X chama-se Quantil de probabilidade p e representa-se por χp o menor valor da vari ´avel aleat ´oria tal que FX(χp) ≥ p.

Se p = 0.5, chama-se mediana de X , representa-se por χ_0.5, e ´e o menor valor da vari ´avel tal que FX(χ0.5) ≥ 0.5.

Notas:

● _Se X _{´e v.a. cont´ınua o quantil de probabilidade} p _{´e o valor} χ_p _{tal que}

FX(χp) = p.

● _{Ent ão se} _X _{é uma v.a. cont´ınua a mediana} _χ_0.5_{, é a soluç ão de}

FX(x) = 0.5 ⇐⇒

R χ_0.5

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Vectores aleat ´

orios

Muitas vezes pretendemos associar a cada resultado de uma experi ência aleat ória k _{≥ 2} atributos num éricos. Obtemos ent ão um vector

(x1, · · · , xk), realizaç ão do vector aleat ório (X1,· · · , Xk).

Iremos referir-nos apenas ao caso k = 2.

Exemplos Pretendemos registar:

● _{a quantidade de precipitado} _P _{e o volume} _V _{de g ´as numa experi ˆencia} qu´ımica

● para uma árvore seleccionada ao acaso, a altura e o di âmetro do tronco à altura do peito . . .

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Pares aleat ´

orios

Definiç ão Chama-se par aleat ório (X, Y ) à aplicaç ão

(X, Y ) : Ω _{→ IR}2 ω _{→ (x, y)} Tipos de pares aleat ´orios que vamos estudar:

● _{Par aleat ório} _discreto ⇒ _{componentes s ão ambas vari áveis} aleat órias discretas;

● _{Par aleat ório} _cont´ınuo ⇒ _{componentes s ão ambas vari áveis} aleat órias cont´ınuas.

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Pares aleat ´

orios discretos

(X, Y ) diz-se um par aleat ´orio discreto se toma os valores (x_i, y_j) com probabilidades p_ij = P [X = x_i, Y = y_j].

Definiç ão Chama-se distribuiç ão de probabilidades conjunta do par

(X, Y ) aos valores (xi, yj) e respectivas probabilidades pij

pij é chamada funç ão massa de probabilidade conjunta e deve

verificar as seguintes condic¸ ˜oes:

pij ≥ 0 ∀i, j e X i X j pij = 1.

Um modo c ómodo de representar a distribuiç ão de probabilidades conjunta de um par aleat ório discreto é na forma de uma tabela.

(38)

Pares aleat ´

orios discretos

Dado o par aleat ´orio discreto (X, Y ) chama-se tabela de conting ˆencia

ou tabela de dupla entrada ao quadro na forma

Y y1 y2 ... yn X x1 p11 p12 ... p1n p1. x2 p21 p22 ... p2n p2. . . . ... . . . . . ... . . . . . ... . . xm pm1 pm2 ... pmn pm. p.1 p.2 ... p.n 1 pi. = Pn_j=1 pij e p.j = Pm_i=1 pij chamam-se

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Pares aleat ´

orios discretos

Define-se probabilidade condicional de X dado Y = yj (fixo) com P [Y = y_j] > 0 como P (X = xi|Y = yj) = P (X = x_i, Y = y_j) P (Y = y_j) = p_ij p_.j ,

Do mesmo modo probabilidade condicional de Y dado X = xi (fixo)

com P [X = x_i] > 0 e x_i como

P (Y = y_j_{|X =} x_i) = P (X = xj, Y = yj) P (X = x_j) =

pij

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Pares aleat ´

orios cont´ınuos

Um par aleat ório (X, Y ) diz-se cont´ınuo se existir uma funç ão f (x, y), chamada funç ão densidade (de probabilidade) conjunta, que verifica as seguintes condiç ões:

● f (x, y) ≥ 0 ● Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ f (x, y)dxdy = 1. Dado A _{⊂ IR}2 tem-se P [(X, Y ) _{∈ A] =} Z Z A f (x, y)dxdy.

Define-se densidade marginal de X como fX(x) = R_−∞+∞ f (x, y)dy

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Pares aleat ´

orios cont´ınuos

Define-se densidade condicional de X dado Y = y, fixo, como

f_{X|Y =}_y(x) = f (x, y)

f_Y (y) , fY (y) > 0

Analogamente densidade condicional de Y dado X = x, fixo, como

f_{Y |X=}_x(y) = f (x, y)

(42)

Independ ˆencia de vari ´aveis aleat ´

orias

Definiç ão Dado o par aleat ório (X, Y ) diz-se que as vari áveis X e Y s ão

independentes se e s ´o se

● _p_ij _{= p}_i. _p_.j ∀i, j_, _{no caso de} _{(X, Y )} _{ser um} _{par aleat ´orio discreto} ● f (x, y) = f_X(x) f_Y (y) ∀(x, y) ∈ IR2 _{no caso de} (X, Y ) _{ser um}

(43)

Valor M ´edio

Dado o par aleat ´orio (X, Y ), e g : IR2 _{→ IR}, define-se

E[g(X, Y )] = X i X j g(xi, yj) pij , no caso discreto E[g(X, Y )] = Z Z R2

g(x, y) f (x, y) dxdy , no caso cont´ınuo.

Propriedades do valor m ´edio

1.

Aditividade E[X _{± Y ] = E[X] ± E[Y ]}

2.

Desigualdade de Schwarz Se E[X2] e E[Y 2] existem ent ˜ao

(44)

Valores M ´edio - propriedades

Corol ´ario da propriedade anterior: E2[X] _{≤ E[X}2] Nota: se E[X2] existe =_⇒ existe E[X].

3.

Se X e Y vari ´aveis aleat ´orias independentes

⇓

E[XY ] = E[X]E[Y ]

Nota: O rec´ıproco n ão é verdadeiro: Verifique que se X e Y s ão v. a.’s com a seguinte distribuiç ão de probabilidades

X Y -1 0 1

0 0 1/3 0

(45)

A covari ˆancia - propriedades

Definiç ão: Dado o par aleat ório (X, Y ) chama-se covari ância de X e Y a

Cov[X, Y ] = σXY = E[(X − µX)(Y − µY )]

Exerc´ıcio: Verifique que Cov[X, Y ] = E[XY ] _{− E[X]E[Y ]}

Propriedades

1.

Sejam X e Y vari ´aveis aleat ´orias.

V ar[X _{± Y ] = V ar[X] + V ar[Y ] ± 2Cov[X, Y ]}

2.

Se X e Y s ão vari áveis aleat órias independentes

(46)

A covari ˆancia - propriedades

3.

Se X e Y s ão v. a.’s independentes =_{⇒ Cov[X, Y ] = 0}. Nota: O rec´ıproco n ão é verdadeiro.

4.

Cov[a + bX, c + dY ] = bd Cov[X, Y ].

vamos provar???

(47)

O coeficiente de correlac¸ ˜ao

Definiç ão: Chama-se coeficiente de correlaç ão de X e Y e representa-se por ρ ou ρX,Y a

ρ = ρX,Y =

Cov[X, Y ] σX σY

(σ_X > 0 e σ_Y > 0).

Propriedades do coeficiente de correlac¸ ˜ao

1.

_{−1 ≤ ρ}_X,Y _{≤ 1}

2.

Se X e Y s ˜ao v. a. independentes =_⇒ ρX,Y = 0.

3.

ρ_a+bX,c+dY =

ρX,Y se bd > 0

(48)

Complementos com apoio na An ´alise

O c álculo do valor m édio e da vari ância de uma v.a. X e ainda

propriedades de pares aleat órios (ou genericamente vectores aleat órios) podem ser abordados de forma uniformizadora usando uma funç ão

adequada (quando ela est ´a definida).

Considere-se uma funç ão associada à v.a. X que vamos representar por

MX : IR −→ IR, tal que t ∈ IR −→ MX(t) = E etX

Exerc´ıcio: Para as vari ´aveis a seguir indicadas calcule MX(t), com t _{∈ IR}:

a) X, vari ável aleat ória discreta, associada ao lançamento de uma moeda equilibrada.

b) X, vari ável aleat ória cont´ınua, com funç ão densidade

(49)

Tem-se o seguinte resultado: dM_X dt |t=0 = E[X] e d2M_X dt2 |t=0 = E[X 2_]

Nota: Esta funç ão, a que se chama funç ão geradora de momentos, pode ser ent ão usada para determinar E[X] e V ar[X], calculando a primeira e segunda derivadas em t = 0 (se existirem).

Para as vari ´aveis aleat ´orias indicadas no exerc´ıcio do slide anterior, calcule E[X] e V ar[X], com recurso a M_X.

(50)

Func¸ ˜ao geradora de momentos

Propriedades da func¸ ˜ao geradora de momentos de uma v.a. X

1.

M_{a+b X}(t) = eat M_X(bt).

2.

Teorema da unicidade

Se para duas v.a. X e Y se verifica MX(t) = MY (t) ent ˜ao X e Y t ˆem a

mesma funç ão de distribuiç ão.

Reciprocamente, se existir a funç ão geradora de momentos, ela é única.

3.

Se Xe Y s ão vari áveis aleat órias independentes MX+Y (t) = MX(t) × MY (t)

(51)

Principais Modelos (Distribuic¸ ˜

oes) Discretos

● Distribuic¸ ˜ao uniforme discreta

● Distribuic¸ ˜ao de Bernoulli e binomial

● _{Distribuiç ão geom étrica}

● Distribuiç ão hipergeom étrica

(52)

A distribuic¸ ˜ao uniforme discreta

Definiç ão Uma v.a. X diz-se ter distribuiç ão uniforme discreta se

P (X = x_i) = 1/k, i = 1, ..., k, i.e., se toma os valores

x₁, x₂ , ... , xk

com probabilidades 1/k, 1/k, ..., 1/k

Valor m édio, vari ância e funç ão geradora de momentos

E[X] = _k1 Pk i=1 xi; V ar[X] = k1 Pk i (xi − µ)2; MX(t) = k1 Pk i=1 e tx_i . Caso particular Se X = 1 2 _{· · · n} 1/n 1/n _{· · · 1/n} 2 t nt

(53)

A distribuic¸ ˜ao de Bernoulli

Experi ˆencia =

realizac¸ ˜ao de um acontecimento sucesso

n ão realizaç ão do acontecimento insucesso

Exemplos:

● o teste de uma dada droga num rato e o registo da reacc¸ ˜ao positiva ou negativa;

● a inspecç ão dos items numa linha de fabrico para observar se cada um é defeituoso ou n ão;

Cada uma das repetiç ões sucessivas da experi ência – prova.

Definiç ão: Chama-se vari ável aleat ória de Bernoulli à vari ável X, associada ao resultado de cada prova de Bernoulli e considera-se ● _{X = 1}_{, com probabilidade} _p_, _{se h á sucesso}_;

(54)

A distribuic¸ ˜ao Binomial

Considere-se uma sucess ˜ao de provas de Bernoulli independentes

satisfazendo:

● _{cada prova tem apenas um de dois resultados poss´ıveis:} _sucesso _ou

insucesso.

● em cada prova a probabilidade de sucesso, p, permanece constante, sendo q = 1 − p, a probabilidade de insucesso.

● _{o resultado de cada prova ´e independente do resultado das restantes.}

Definiç ão: A v.a. X que conta o n úmero de sucessos em n provas nas condiç ões acima chama-se vari ável aleat ória binomial, diz-se ter

(55)

A distribuic¸ ˜ao binomial

Exemplo

Numa experi ência colocam-se 5 bolbos de junquilho a germinar, de um pacote com uma garantia de germinaç ão de 40% dos bolbos. Qual a probabilidade de, desses 5 bolbos, 3 germinarem?

Como a germinaç ão é independente de bolbo para bolbo, a probabilidade de germinarem 3 bolbos de entre os 5 é ent ão

5

3 (0.4)

3 _(0.6)2

Ent ˜ao sendo X a v.a. que conta o n ´umero de sucessos em n provas de Bernoulli independentes, X ⌢ _{B(n, p)}, temos a

Caracterizac¸ ˜ao da v.a. X ⌢ B(n, p):

x = 0, 1, 2, ..., n _{−→ n}o¯ de “sucessos” nas n provas

P [X = x] = n_x px (1 _{− p)}n−x _−→ probabilidade de se observarem x “sucessos”

(56)

A distribuic¸ ˜ao binomial

Exerc´ıcio: Para n = 8 e v ários valores de p, veja a funç ão massa de probabilidade. 0 2 4 6 8 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 x~B(8,0.1) x prob 0 2 4 6 8 0.00 0.10 0.20 x~B(8,0.4) x prob 0 2 4 6 8 0.00 0.10 0.20 0.30 x~B(8,0.7) x prob

Sugest ão: Consulte as folhas de Introduç ão ao software e use os comandos (por exemplo, para obter o primeiro gr áfico):

> x < ₋ 0:8

(57)

A distribuic¸ ˜ao binomial

Valor m édio, vari ância e funç ão geradora de momentos de X ⌢ B(n, p)

E[X] = np; V ar[X] = npq; MX(t) = p et + q

n

Relaç ão entre a distribuiç ão do n úmero de sucessos e de insucessos

X ⌢ _{B(n, p) ⇒ (n − X) ⌢ B(n, 1 − p).}

Para valores de n _{≤ 20(25)}, existem tabelas para o c ´alculo das probabilidades.

As tabelas que temos à disposiç ão apresentam os valores da funç ão de distribuiç ão cumulativa.

(58)

A distribuiç ão geom étrica

Considere-se de novo que temos provas de Bernoulli independentes, mas agora . . .

o n úmero de provas n ão é fixo pois ... pretendemos ir realizando provas at é ocorrer pela primeira vez o “sucesso”.

Seja ent ão X o n úmero de provas necess árias at é que ocorra pela primeira vez o “sucesso”. Diz-se que X tem distribuiç ão geom étrica

e costuma representar-se por X ⌢ _G(p). Caracterizac¸ ˜ao da v.a. X ⌢ _G(p)

P [X = x] = pqx−1 x = 1, 2, ... 0 < p < 1 q = 1 _{− p}

Valor m édio, vari ância e funç ão geradora de momentos t

(59)

A distribuiç ão geom étrica

Teorema - Propriedade da falta de mem ória da distribuiç ão geom étrica Se X ⌢ _G(p) ent ão sendo m e n inteiros positivos

P [X > m + n_{|X > m] = P [X > n]}

Nota: Interpretando a distribuiç ão geom étrica como o n úmero de provas que se v ão realizando à espera de se observar um ”sucesso”:

se tiverem decorrido mais de m provas sem que se tenha verificado um ”sucesso”, a probabilidade de se ter de esperar mais de n provas para se observar um ”sucesso” ´e a mesma caso se estivesse no in´ıcio da

experi ˆencia.

(60)

A distribuiç ão hipergeom étrica

Mas ... h á experi ências nas quais a probabilidade de sucesso n ão se mant ém constante, n ão sendo as provas independentes.

Exemplo

Num lote de 20 pneus enviados a um fornecedor sabe-se que h ´a 5

defeituosos. Um cliente vai a esse fornecedor comprar 4 pneus. Qual a probabilidade de levar 2 defeituosos?

H ´a 5 defeituosos e 15 bons e por cada pneu que vai sendo retirado altera-se a probabilidade de o pr ´oximo vir a ser defeituoso.

- O total de modos de seleccionar 4 pneus quaisquer do lote ´e 20₄

- H ´a 5₂ modos de seleccionar 2 defeituosos e, para cada um destes h ´a

15 2

modos de escolher 2 bons. Portanto ...

(61)

A distribuiç ão hipergeom étrica

A probabilidade de, dos 4 pneus escolhidos ao acaso, 2 serem defeituosos (e portanto 2 bons) ´e:

5 2 15 2 20 4

Diz-se que temos uma experi ência hipergeom étrica se dada uma populaç ão de dimens ão

N com

K “sucessos”

N _{− K} “insucessos” → extra´ımos, sem reposiç ão n Definiç ão

A v.a. X que conta o n ´umero de sucessos numa experi ˆencia

hipergeom étrica é uma v.a. hipergeom étrica de par âmetros N, n e K e costuma representar-se por X ⌢ _{H(N, n, K)}

(62)

A distribuiç ão hipergeom étrica

Qual a probabilidade de dos K seleccionar x dos N _{− K} seleccionar n _{− x} ? Seja X ⌢ _{H(N, n, K)} P [X = x] = K x N−K n_−x N n , max(0, n − N + K) ≤ x ≤ min(n, K)

Valor m ´edio e vari ˆancia de X ⌢ _{H(N, n, K)}

(63)

A distribuiç ão hipergeom étrica

Observac¸ ˜ao: Quando N >> n, a probabilidade de sucesso em cada

tiragem sem reposiç ão varia muito pouco de prova para prova , ent ão . . .

−→ pode considerar-se a distribuiç ão binomial como uma aproximaç ão da distribuiç ão hipergeom étrica com p = K/N, i.e.,

Resultado: Se N bastante maior que n tem-se

H(N, n, K) ≈ B(n, p), com p = K/N.

Como regra pr ática, pode considerar-se boa a aproximaç ão para n < N/10.

(64)

A distribuic¸ ˜ao de Poisson

Considere que pretende contar, por exemplo, o n ´umero de:

● _{chamadas telef ´onicas recebidas numa central telef ´onica num certo intervalo} de tempo;

● chegadas de clientes a uma bilheteira durante um certo per´ıodo;

● chegadas de sinistrados a um banco de um hospital durante um certo per´ıodo;

● dias que uma dada escola fecha durante o inverno; ● erros de tipografia por p ´agina;

Se a contagem do n úmero de “sucessos” que ocorrem num dado intervalo de tempo ou num dom´ınio espec´ıfico, satisfaz as seguintes condiç ões:

(65)

A distribuic¸ ˜ao de Poisson

● _{o n ´umero de “sucessos´´ que ocorrem num dado intervalo de tempo ou}

dom´ınio ´e independente do n ´umero que ocorre em qualquer outro intervalo ou dom´ınio disjunto do anterior;

● _{a probabilidade que o “sucesso´´ se verifique uma vez em qualquer intervalo} muito curto ( ou regi ão muito pequena ), de amplitude δ, é proporcional a δ , i.e, é igual a λδ e n ão depende do n úmero de sucessos que ocorrem fora desse intervalo ou regi ão;

● _{a probabilidade de que o “sucesso´´ se verifique mais do que uma vez num} intervalo ou dom´ınio de amplitude muito pequena ´e _≈ 0.

diz-se que estamos perante experi ˆencias de Poisson ou um processo de Poisson

(66)

A distribuic¸ ˜ao de Poisson

Definiç ão A v.a X que conta o n úmero de sucessos numa experi ência de Poisson diz-se ter distribuiç ão de Poisson e depende apenas do

par âmetro λ _−→ n úmero m édio de sucessos que ocorrem no intervalo de tempo ( ou na regi ão especificada).

Representa-se por X ⌢ _P(λ) e a lei de probabilidade ´e:

P [X = x] = e

−λ _λx

x! , x = 0, 1, 2....

Nota: Facilmente se verifica que P[X = x] ≥ 0 ∀x = 0, 1, 2..., mas para mostrar que

P∞ x=0

e−λ _λx

x! = 1, s ão necess ários conhecimentos sobre s éries de funç ões que

(67)

A distribuic¸ ˜ao de Poisson

MX(t) = eλ(e

t

−1) _{E[X] = λ} _{V ar[X] = λ.}

Teorema da estabilidade da soma

Se as v.a. X_i i = 1, ..., k s ˜ao independentes e X_i ⌢ _P(λ_i) ent ˜ao

k X i=1 Xi ⌢ P k X i=1 λi ! .

Existem tabelas da Poisson para consulta _→ funç ão de distribuiç ão cumulativa.

(68)

A distribuic¸ ˜ao de Poisson

A distribuiç ão de Poisson surge ainda como o limite da distribuiç ão binomial quando n _{→ ∞} e p _{→ 0}.

Teorema

Quando n _{→ ∞} e p _{→ 0}, mantendo-se constante o produto np tem-se

X ⌢ _{B(n, p)} _⇒ X _{∼ P(λ)} com λ = np.

Regra pr ática Em geral, a distribuiç ão de Poisson fornece uma boa aproximaç ão da distribuiç ão binomial quando n _{≥ 20} e p _{≤ 0.05}

(69)

Principais Distribuic¸ ˜

oes Cont´ınuas

● Distribuic¸ ˜ao uniforme cont´ınua

● Distribuic¸ ˜ao de Gauss ou normal

(70)

A distribuic¸ ˜ao uniforme cont´ınua

Definiç ão Uma v.a. cont´ınua diz-se ter distribuiç ão uniforme ou

rectangular no intervalo (a, b) e representa-se por X ⌢ U(a, b) se a funç ão densidade de probabilidade (f.d.p.) é da forma:

f (x) =

1/(b _{− a)} a < x < b

0 x _{≤ a ou x ≥ b.}

E[X] = a+b₂ ; V ar[X] = (b−a)₁₂ 2 e MX(t) = e

tb

−eta

t_(b−a) , t 6= 0

Caso particular: A distribuic¸ ˜ao U(0, 1)

Exerc´ıcio: Escreva a funç ão densidade, a funç ão distribuiç ão cumulativa, valor m édio, vari ância e funç ão geradora de momentos.

(71)

A distribuic¸ ˜ao normal ou de Gauss

Surge s éculo XVIII _→ ligada ao estudo dos erros de mediç ões repetidas de uma mesma quantidade.

Papel fulcral nas Probabilidades e Estat´ıstica, porque:

● _{muitas vari áveis biom étricas t êm uma distribuiç ão muito pr óxima da normal;} ● _{por vezes uma vari ável que n ão é normal pode ser transformada de um}

modo simples numa outra com distribuic¸ ˜ao normal;

● _{a parte central de muitos modelos n ão normais é por vezes razoavelmente} bem aproximada por uma distribuiç ão normal.

(72)

A distribuic¸ ˜ao normal ou de Gauss

Definiç ão Uma v.a. cont´ınua X diz-se ter distribuiç ão normal ou de Gauss com par âmetros µ e σ e representa-se por X ⌢ N (µ, σ) se a sua f.d.p. é da forma:

f (x) = _√ 1 2π σexp " −1 2 x _{− µ} σ 2# −∞ < x < +∞, −∞ < µ < +∞, 0 < σ < +_∞ −5 0 5 0.0 0.2 0.4 f. densidade da N(0,1) −5 0 5 0.0 0.2 0.4 f. densidade da N(0,2) −5 0 5 0.0 0.2 0.4 f. densidade da N(2,2)

(73)

A distribuic¸ ˜ao normal ou de Gauss

Propriedades da curva densidade da vari ável com distribuiç ão normal

1. E sim ´etrica relativamente a´ µ.

2. E uma curva unimodal,´ a moda ´e µ.

3. Tem pontos de inflex ˜ao em µ + σ e µ _{− σ}.

E[X] = µ; V ar[X] = σ2 e MX(t) = e

µt + σ

2_t2

(74)

A distribuic¸ ˜ao normal reduzida

Definiç ão Se µ = 0 e σ = 1 a vari ável aleat ória com distribuiç ão N (0, 1) chama-se normal reduzida.

Vamos considerar as seguintes notaç ões quando usamos a normal reduzida Z ⌢ _{N (0, 1)}; ϕ(z) = √1 2π e −1 2z 2 e Φ(z) = P [Z _{≤ z]} Propriedade Em consequ ência da simetria

Φ(−z) = 1 − Φ(z)

Tabelas _−→ d ão o valor da funç ão de distribuiç ão cumulativa da normal reduzida.

(75)

A distribuic¸ ˜ao normal ou de Gauss

Alguns teoremas de grande import ˆancia no estudo da normal. Teorema

Seja X ⌢ _{N (µ, σ)} a v.a. Y = a + bX ´e tamb ´em normal e tem-se

Y ⌢ _{N (a + bµ, |b|σ)}. Corol ´ario - muito importante

Seja X ⌢ _{N (µ, σ)}, ent ˜ao a v.a. Z = X − µ

σ tem distribuic¸ ˜ao normal

reduzida, i.e., Z = X − µ

σ ⌢ N (0, 1).

Exerc´ıcio Uma vacaria tem uma produç ão di ária de leite que se admite seguir uma lei normal com µ = 950 l e σ = 50 l

a) Qual a probabilidade de se ter uma produç ão inferior a 1000 litros? b) Qual a percentagem de dias em que a produç ão ultrapassa a

(76)

A distribuic¸ ˜ao normal ou de Gauss

Teorema Sejam X₁, ..., X_n, v.a. normais independentes, tais que

X1 ⌢ N (µ1, σ1), X2 ⌢ N (µ2, σ2), · · · , Xn ⌢ N (µn, σn).

A v.a. X = X₁ + X₂ + ... + Xn tem distribuiç ão normal de par âmetros (µ, σ), com

µ = µ1 + µ2 + ... + µn e σ =

q

σ₁2 + σ₂2 + ... + σ_n2

Exerc´ıcio Ainda o exerc´ıcio da vacaria . . .

c) Se na regi ão existe outra vacaria, com uma produç ão di ária que se admite normal com µ = 900 l e σ = 40 l, funcionando

independentemente da primeira, qual a probabilidade de num dado dia a produc¸ ˜ao total das duas vacarias ser superior a 1800 litros?

(77)

A distribuic¸ ˜ao normal ou de Gauss

Generalizac¸ ˜ao do teorema

Mostre que, sendo X1, ..., Xn v.a. nas condic¸ ˜oes do teorema,

a₁ X₁ + a₂ X₂ + ... + a_n X_n tem distribuiç ão normal de par âmetros

(µ, σ), com µ = a₁ µ₁ + a₂ µ₂ + ... + a_n µ_n e σ = pa2₁ σ₁2 + a2₂ σ₂2 + ... + a2_n σ_n2.

Corol ´ario

Sejam Xi n v.a. normais independentes e semelhantes, i.e., tendo todas

o mesmo valor m ´edio µ e a mesma vari ˆancia σ2.

As vari áveis aleat órias soma e m édia, definidas respectivamente como Sn = Pn_i=1 Xi e Xn = _n1 Pn_i=1 Xi

t êm distribuiç ão normal assim definida

(78)

O Teorema Limite Central

Prov ´amos que a soma de NORMAIS independentes ´e ainda uma normal.

Mas temos mais ...

a distribuiç ão aproximada da SOMA de n vari áveis aleat órias com QUALQUER lei, mas independentes, identicamente distribu´ıdas e verificando certas condiç ões é tamb ém normal.

Teorema limite central

Sejam X₁, ..., X_n vari áveis aleat órias independentes e identicamente distribu´ıdas, com valor m édio µ e vari ância σ2 (finita). A v.a.

Sn = Pn_i=1 Xi verifica quando n ´e “grande”:

Sn − nµ

(79)

Aplicac¸ ˜

oes do Teorema Limite Central

Note que tamb ´em se tem, Xn − µ

σ/√n ∼ N (0, 1). Teorema de De Moivre

Seja X uma v.a. com distribuiç ão binomial com valor m édio µ = np e vari ância σ2 = npq. Ent ão quando n _{→ ∞} ,

X _{− np}

√_npq ∼ N (0, 1)

Recorde-se que se, na distribuiç ão binomial, n grande e p _{≈ 0}(ou 1) uma boa aproximaç ão é dada pela distribuiç ão de Poisson.

E agora para valores de p _{≈ 1/2} o teorema limite central oferece muito boa aproximac¸ ˜ao para a normal.

(80)

Aplicac¸ ˜

oes do Teorema Limite Central

Exerc´ıcio Utilizando o R obtenha os seguintes gr áficos da funç ão massa

de probabilidade de X ⌢ _{B(8, 0.2)}, X ⌢ _{B(8, 0.5)} e X ⌢ _{B(25, 0.2)}. 0 2 4 6 8 0.00 0.10 0.20 0.30 x1 dbinom(x1, 8, 0.2) 0 2 4 6 8 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 x1 dbinom(x1, 8, 0.5) 0 5 10 15 20 25 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 x2 dbinom(x2, 25, 0.2) O que observa?

(81)

Aplicac¸ ˜

oes do Teorema Limite Central

Teorema

Seja X ⌢ _P(λ). Quando λ _{→ ∞} ent ˜ao X√− λ

λ ∼ N (0, 1).

Regra pr ática: A aproximaç ão é considerada boa para λ ≥ 20.

Observaç ão: Quando consider ámos a aproximaç ão da distribuiç ão binomial pela Poisson, ambas eram distribuiç ões discretas.

Os dois teoremas acabados de enunciar d ão-nos uma aproximaç ão de uma v.a. discreta por uma v.a. cont´ınua.

Neste caso é necess ário fazer-se o que se designa por correcç ão de continuidade que consiste em considerar todo o inteiro k representado pelo intervalo (k _{− 1/2, k + 1/2)}.

(82)

A distribuic¸ ˜ao exponencial

Uma vari ável aleat ória diz-se ter distribuiç ão exponencial de par âmetro β e representa-se por X ⌢ Exp(β) se a funç ão densidade é

f (x) =

( ₁

βe−x/β x > 0, β > 0

0 x _{≤ 0}

Aplicaç ões: Duraç ão de vida, teoria da fiabilidade, tempos de espera,etc.

(83)

A distribuiç ão exponencial: observaç ˜

oes

Relaç ão entre a distribuiç ão exponencial e a distribuiç ão de Poisson:

Considere-se contagens de sucessos em intervalos de tempo. O tempo ao fim do qual se verifica o primeiro sucesso é uma vari ável aleat ória cont´ınua.

Teorema Se X, n ´umero de sucessos num intervalo de tempo, ´e tal que

X ⌢ _P(λ) ent ˜ao W a v.a. que designa o tempo de espera pelo primeiro sucesso (ou o tempo entre a ocorr ˆencia de dois sucessos consecutivos) satisfaz

W ⌢ Exp(β = 1/λ).

Exerc´ıcio: Verifique que a distribuiç ão exponencial goza da propriedade da falta de mem ória.