Vari´ aveis Aleat´ orias Discretas
Anna Regina Cˆ orbo
DEMAT - CEFET/RJ
Aula Te´ orica 5
Defini¸c˜ ao de Vari´ avel Aleat´ oria
Uma vari´ avel aleat´ oria ´ e uma fun¸ c˜ ao que associa um ´ unico n´ umero real a cada elemento do espa¸ co amostral.
Objetivo: definir a probabilidade dos valores da Vari´ avel Aleat´ oria
(V. A.) sem referˆ encia aos elementos do espa¸ co amostral S.
Classifica¸c˜ ao das Vari´ aveis Aleat´ orias
1
Vari´ avel Aleat´ oria Discreta
2
Vari´ avel Aleat´ oria Cont´ınua
Fun¸c˜ ao Densidade de uma V. A. Discreta
Nosso objetivo ´ e saber a probabilidade que uma vari´ avel aleat´ oria assume num certo valor.
A descri¸c˜ ao das probabilidades associadas com os valores poss´ıveis
de X ´ e chamada de Fun¸ c˜ ao Densidade de Probabilidade.
Fun¸c˜ ao Densidade de uma V. A. Discreta
Defini¸ c˜ ao
Para uma vari´ avel aleat´ oria discreta X , com valores poss´ıveis N = {x 1 , x 2 , · · · , x n } a fun¸ c˜ ao densidade ´ e dada por:
f (x i ) = P (X = x i ) Propriedades:
i) f (x) > 0, para todo x ∈ N ii) X
x∈N
f (x) = 1 iii) P (E ) = X
x∈E
f (x), para todo E ⊂ S.
Fun¸c˜ ao Densidade de uma V. A. Discreta
Exemplo 1: Representa¸ c˜ ao pontual
Novo produto pode ter grande sucesso, sucesso moderado ou n˜ ao ter´ a sucesso, com probabilidades de 0.3, 0.6 e 0.1, repectivamente.
A receita anual poder´ a ser de R$10mi, R$5mi ou R$1mi de
acordo com o sucesso do produto. Defina a vari´ avel aleat´ oria X e
determine a fun¸ c˜ ao densidade de X .
Fun¸c˜ ao Densidade de uma V. A. Discreta
Exemplo 2: Representa¸ c˜ ao por fun¸ c˜ ao
F´ abrica de fus´ıveis. Probabilidade de fus´ıvel defeituoso ´ e de 10%.
Testa-se fus´ıveis encerrando o teste quando o primeiro com defeito
´ e encontrado. Seja X o n´ umero de testes realizados at´ e encontrar o primeiro com defeito.
1
Achar a fun¸ c˜ ao densidade de X .
2
Qual a probabilidade do defeito acontecer no terceiro teste?
Fun¸c˜ ao Distribui¸c˜ ao de Probabilidade
Defini¸ c˜ ao
Seja X uma vari´ avel aleat´ oria qualquer. A fun¸ c˜ ao distribui¸ c˜ ao F (x) ´ e definida como:
F (x) = P (X 6 x) = X
x
i6x
f (x i )
Ou seja, a fun¸ c˜ ao distribui¸ c˜ ao representa uma probabilidade
“acumulada”.
Propriedades:
i) 0 6 F (x) 6 1
ii) Se x < y ent˜ ao F (x) < F (y)
M´ edia e variˆ ancia de uma vari´ avel aleat´ oria discreta
M´ edia (ou Valor esperado)
A m´ edia de uma VA usa a fun¸ c˜ ao densidade de X para ponderar os valores poss´ıveis de X . Ou seja, a m´ edia ou valor esperado de X
´ e dado por:
µ = E [X ] = x 1 · f (x 1 ) + x 2 · f (x 2 ) + · · · + x n · f (x n ) Ou seja,
µ = E [X ] = X
x
x · f (x)
M´ edia e variˆ ancia de uma vari´ avel aleat´ oria discreta
Variˆ ancia
A variˆ ancia de uma vari´ avel aleat´ oria X ´ e uma medida de dispers˜ ao onde os pesos dos desvios quadr´ aticos s˜ ao dados pela fun¸ c˜ ao densidade de X , ou seja,
σ 2 = V [X ] = (x 1 −µ) 2 ·f (x 1 )+(x 2 −µ) 2 ·f (x 2 )+· · ·+(x n −µ) 2 ·f (x n ) Ou seja,
σ 2 = V [X ] = X
x
(x − µ) 2 · f (x)
M´ edia e variˆ ancia de uma vari´ avel aleat´ oria discreta
Desvio-padr˜ ao
O desvio-padr˜ ao de uma vari´ avel aleat´ oria X ´ e dado por σ = p
V [X ]
M´ edia e variˆ ancia de uma vari´ avel aleat´ oria discreta
Exemplo: retorno de um investimento
R: retorno
r i −5% 0% 5% 10% 15%
f (r i ) 0,4 0,15 0,25 0,15 0,05
1
a) Qual E[R] ?
2
