Universidade Federal da Bahia

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Universidade Federal da Bahia

Instituto de Matem´atica

Curso de Pós-graduação em Matemática Dissertação de Mestrado

Ergodicidade de Aplicac

¸˜

oes Unimodais

Maria Eliana Santana da Cruz Silva

Salvador-Bahia

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Ergodicidade de Aplicac

¸˜

oes Unimodais

Maria Eliana Santana da Cruz Silva

Disserta¸cão apresentada ao colegiado do curso de Pós-Gradua¸cão em Matemática da Universidade Federal da Bahia, como requisito parcial para obten¸cão do T´ıtulo de Mestre em Matemática.

Banca examinadora:

Prof. Dr. Vilton Jeovan Viana Pinheiro (Orientador)

Prof. Dr. ´Ezio de Ara´ujo Costa

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da Cruz Silva, M. E.

“Ergodicidade de Aplicac¸˜oesS-unimodais” / Maria Eliana San-tana da Cruz Silva. Salvador-Ba, 2003.

Orientador: Dr. Vilton Jeovan Viana Pinheiro (UFBA).

Disserta¸cão de Mestrado apresentada ao curso de Pós-graduacão em Matemática da UFBA, 30 páginas.

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(5)

“Sempre me pareceu estranho que todos aqueles que estu-dam seriamente esta ciência acabam tomados de uma espécie de paixão pela mesma. Em verdade, o que proporciona o máximo de prazer não é o conhecimento e sim a aprendizagem, não é a posse mas a aquisi¸cão, não é a presen¸ca mas o ato de atingir a meta.”

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Agradecimentos

A Deus, agrade¸co-Te o dom da vida e a capacidade de chegar até aqui, sabendo que por qualquer caminho que sigamos teremos a Tua mão estendida sobre nós.

Aos meus pais, Humberto Máximo da Cruz e Elza Santana da Cruz, a quem é indis-pensável dedicar essa vitória, pois, vocês são simplesmente o come¸co de tudo, companheiros de todas as horas, o meu sonho, a minha alegria e o mais singelo amor! Para sempre, meus agradecimentos. Agrade¸co também aos meus familiares por todo apoio e ajuda.

A todos os professores responsáveis por essa jornada, sempre dispostos a ajudar, em especial, aos professores Ézio Araújo Costa (UFBA), José Ferreira Alves (Faculdade de Ciências do Porto), os quais compuseram a Banca Examinadora e que verificaram com tanto zelo esta disserta¸cão. Ensinar é uma questão de dedica¸cão, de amor, um dom: algo tão nobre que faz do professor um sábio. Por isso a minha gratidão e o meu carinho ao professor Vilton Jeovan Viana Pinheiro, pela orienta¸cão, conhecimento transmitido e experiência gratificante.

Aos meus colegas de trabalho pela colabora¸cão e incentivo e a todos os colegas e funcionários do Instituto de Matemática da UFBA.

Aos amigos: Ana Lúcia Pinheiro Lima, Ariadne Pereira, Azly Santana, Alex Ramos, Calitéia Souza, Cleide Peixoto, Cláudio Vivas, Eronildo Souza, Graci Baqueiro, Gilmar Veiga, Jorge Serva, Juceli Brito, Luciana Barreto, Luiz Roque de Jesus, Luiz Sérgio Cavalcanti, Maria de Fátima Leal, Maridete Cunha, Maur´ıcio Brandão, Odete Amanda Martinez, Patr´ıcia de Souza, Paulo Henrique do Nascimento, Stela Maria Azevedo e Ribeiro, os quais, de alguma forma, contribu´ıram no desenvolvimento de todo o curso de pós gradua¸cão, em especial, àqueles que se tornaram grandes amigos. Aos amigos que não foram citados.

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Resumo

(8)

Abstract

(9)

Sum´

ario

Resumo vii

Abstract viii

Lista de Figuras x

1 Aplica¸c˜oes S-unimodais 2

1.1 A fam´ılia quadr´atica . . . 4

1.2 Estruturas Hiperb´olicas . . . 5

2 Ergodicidade 12

A Anexo 25

A.0.1 Shift . . . 25

(10)

Lista de Figuras

1.1 Aplica¸cões quadráticas fazendo-se variar o parâmetrot. . . 4

1.2 Itera¸c˜oes de f onde J ´enice . . . 7

2.1 (a) c_6∈R(I) e (b)ˆ c_∈R(I) . . . 15ˆ

(11)

Introdu¸

c˜

ao

A fam´ılia de aplica¸cões quadráticas foi um dos objetos mais estudados na última década. Isto se deve em parte à simplicidade da expressão e a complexidade da dinâmica gerada por essas aplica¸cões. A fam´ılia quadrática ou log´ıstica serve de modelo para o estudo uma grande gama de outras dinâmicas. Além disso, generaliza¸cões como as aplica¸cões de Hénon aparecem no desdobramento de tangências homocl´ınicas.

Com os resultados acumulados nas décadas de 80 e 90 sabemos hoje, de maneira bas-tante completa, quais são as dinâmicas freqüentes e os atratores t´ıpicos das aplica¸cões da fam´ılia quadrática. De fato, com o trabalho de Lyubich, onde culminaram todos esses esfor¸cos, sabemos que para quase todo parâmetro, no sentido de Lebesgue, teremos uma dinâmica hiperbólica ou estocástica.

Nesse trabalho estaremos mais interessados no estudo do número de atratores que uma aplica¸cão unimodal pode ter. Verificaremos que não só para aplica¸cões log´ısticas mas também para toda aplica¸cão S-unimodal não-flat teremos sempre um único atrator. Para tanto, provaremos que se a aplica¸cão em questão não possuir órbita periódica atratora, então ela será ergódica com respeito à medida de Lebesgue. Já que as bacias de atratores são conjuntos invariantes de medida positiva, a ergodicidade destas aplica¸cões implicará na existência de único atrator. Por outro lado, segue da Schwarziana negativa que quando uma destas aplica¸cões tiver uma órbita periódica, então esta órbita será seu único atrator. Assim, com a presen¸ca ou não de órbita periódica, estas aplica¸cões possuem sempre um único atrator.

(12)

Cap´ıtulo 1

Aplica¸

c˜

oes

S

-unimodais

Seja f : I → I uma aplica¸c˜ao de classe Ck_{, k} _≥_3, _I _⊂ _R_{. A} _{derivada de Schwarz}

ouSchwarziana def em um ponto x_∈I, denotada porSf(x), ´e definida por:

Sf(x) = f

′′′_(x)

f′_(x) −

3 2

f′′(x) f′_(x)

2

;f′(x)6= 0.

Uma propriedade fundamental da Schwarziana é a permanência do sinal. Isto é, se duas fun¸cões com Schwarziana de mesmo sinal, então a composi¸cão destas preservará o sinal da Schwarziana. De fato, aplicando a regra da cadeia, verificamos que

S(f(g(x))) = Sf(g(x))(g′(x)))2+Sg(x)

de modo que se supormos Sf < 0 e Sg < 0, teremos S(f(g(x)) < 0. Uma conseqüência imediata é queSf <0 implica Sfn_<_{0, para todo} _{n >}_1.

Uma outra propriedade importante da Schwarziana é que se uma fun¸cão f : I _→ _R, I intervalo de R, tem Schwarziana negativa então, cada órbita periódica atratora de f atrai um ponto cr´ıtico ou de dobra (ver defini¸cão abaixo) de f ou um ponto do bordo de I. Esta demonstra¸cão é bastante simples e pode ser encontrada em [D].

(13)

Aplica¸c˜oesS-unimodais 3

F _◦h=h_◦G, ou seja, tal que o diagrama abaixo comuta.

X −−−→F X

h   y

  yh

Y −−−→G Y

Veja que se F e G s˜ao conjugadas por h, F ◦ h = h ◦ G, ent˜ao

n vezes z }| {

F ◦. . .◦F ◦h = Fn_◦_h ₌_h_◦_Gn ₌

n vezes z }| {

G_◦. . ._◦G_◦h para todo n _≥0. Como a órbita de um ponto p sob a a¸cão da aplica¸cãoF, que denotaremos porOF(p) ou mais simplesmente porO(p), é o conjunto dos

iterados de F aplicados em p, ou seja, OF(p) = {Fn(x) k n ≥ 0}, e como a dinˆamica gerada

porF é justamente o conjunto das órbitas geradas pela a¸cão deF, temos que uma conjuga¸cão leva órbitas gerada por F em órbitas de G e, Conseqüentemente, aplica¸cões conjugadas têm dinâmicas equivalentes.

Um pontoc∈R é dito ponto de dobra de uma fun¸cão real f se for um máximo ou m´ınimo local de f e pertencer ao interior do dom´ınio desta fun¸cão. Considere uma f fun¸cão cont´ınua definida num intervalo que possui exatamente um ponto de dobra. Podemos fazer uma conjuga¸cão e colocarmos este ponto de dobra como um máximo. De fato, a aplica¸cão h(x) =₋xé uma conjuga¸cão entre f e h_◦f _◦h, que transforma um m´ınimo def em máximo de h_◦f _◦h. Sendo assim, sem perda de generalidade, definiremos uma fun¸cão ou aplica¸cão

unimodalcomo uma fun¸cão cont´ınua definida num intervalo que possui exatamente um ponto de dobra e este ponto é um máximo.

Suponha que f seja uma aplica¸c˜ao C3 _{e unimodal. Seja} _c _∈ _R _{o ponto cr´ıtico ou de}

dobra de f. Não é dif´ıcil verificar que se Sf(x)<0, para todo x₆=c, então f tem no máximo dois pontos fixos. Quandof não tiver pontos fixos, então todo ponto será atra´ıdo pelo−∞ou sairá do dom´ınio daf (caso o dom´ınio daf seja um subintervalo próprio deR), isto é, ou para cada x ∈ Dom(f) ∃ n tal que fn_(x) _∈_/ _Dom(f_{) ou lim}

n→∞f

n

(x) = −∞ para todo x ∈ Dom(f). Assim, se f não tiver pontos fixos sua dinâmica será trivial. Pode-se verificar que, para quef tenha uma dinâmica não trivial é necessário que exista um ponto fixo1_{. Além disso, este ponto}

fixo possui um sim´etrico dinˆamico, com respeito ao ponto de dobra da f, ou seja, existe p < c < p∗ ∈Dom(f) tais que p=f(p) =f(p∗). Veja que com uma mudan¸ca de coordenadas

(14)

(conjuga¸c˜ao) podemos supor que p = 0 e p∗ _{= 1. De fato, basta considerar a conjuga¸c˜ao}

h(x) = _px∗−₋p_p entref e g =h◦f◦h

−1_{. Veja que} _{g(0) = 0 =}_{g(1). Desta maneira, sem perda de}

generalidade, vamos nos restringir ao estudo de unimodais tais que f(0) = 0 =f(1).

Definição 1.1. Uma aplica¸cão unimodal f é dita S-unimodal se for C3 _{e tiver Schwarziana}

negativa. Mais precisamente, Sf(x) < 0,_∀x ₆= c, onde c ´e o ´unico ponto de dobra de f. Em c teremos lim

x→cSf(x) = −∞. Além disto, vamos exigir que se f é S-unimodal, então

Dom(f) _⊃ [0,1] e f(0) = 0 = f(1). Em particular, o ponto cr´ıtico de uma aplica¸c˜ao S -unimodal pertencer´a ao intervalo (0,1).

Segue da defini¸c˜ao 1.1 e das observa¸c˜oes feitas acima o seguinte resultado.

Proposição 1.1. Toda a aplica¸cão S-unimodal tem no máximo uma órbita periódica atratora.

Neste trabalho trataremos somente de aplica¸cões unimodais com dobras não degener-adas, que são chamadas de não-flat. Mais precisamente, um ponto c _∈ _R, ponto de dobra de uma aplica¸cão f, é dito não-flat se existe um difeomorfismo local ξ, com ξ(c) = 0, tal que, f(x) = ±|ξ(x)|α₊_f_{(c), para algum} _α_≥_{1. Diremos que uma aplica¸cão unimodal é não-}_flat _se

seu ponto de dobra for n˜ao-flat.

1.1 A fam´ılia quadr´

atica

... . . ... x0 (a) ... . . . . ... x0 3 4 (b) ... . . . . ... x0 3 4 (c)

Figura 1.1: Aplica¸cões quadráticas fazendo-se variar o parâmetro t.

(15)

desta fam´ılia, é fácil ver que o ponto cr´ıtico c = 1/2 é o único ponto de dobra de f e que f(0) = 0 = f(1), qualquer que seja o parâmetro t > 0. Como 4tx(1₋x) = f(1/2)_{− |}ξ(x)_|2_,

onde ξ(x) = 4√t_·(x₋1/2) é óbvio que estas fun¸cões são não-flat. Além disto, as aplica¸cões da fam´ılia log´ıstica têm Schwarziana negativa. De fato,

Sf(x) = f

′′′_(x)

f′_(x) −

3 2

f′′_(x)

f′_(x)

2

= 0

−8tx+ 4t − 3 2

−8t

−8tx+ 4t

2

= −3

2

1 x−1/2

2

⇒Sf <0,∀t, x∈R\ {1/2}.

Em resumo, a fam´ılia quadrática é uma fam´ılia de aplica¸cões S-unimodais não-flat.

1.2 Estruturas Hiperb´

olicas

Um conjuntoU é dito positivamente invariantepor uma aplica¸cão f sef(U)_⊂U. Em particular, a órbita de um ponto de um conjunto positivamente invariante está contida neste conjunto. Se um conjunto compacto positivamente invariante apresentar expansão ou contra¸cão uniforme, ao longo das órbitas de seus pontos, este conjunto é chamado hiperbólico. Mais precisamente, um conjunto compacto e positivamente invarianteK _⊂Dom(f)_⊂Ré dito

hiperb´olicose existirem constantesC >0 e 0_≤λ₆= 1 tais que ou_|(fn₎′_(x)_|_{< Cλ}n_<₁_∀_{n >}₀

ou _|(fn₎′_(x)_| _{> Cλ}n _>₁ _∀_{n >} _{0. No primeiro caso (λ <} _{1) o conjunto ´e dito} _contrator _{e no}

segundo (λ > 1) é dito expansor. Vamos agora estudar um pouco os conjuntos invariantes das aplica¸cões da fam´ılia quadrática ou log´ıstica que estão afastados do ponto cr´ıtico.

(16)

cr´ıtico, cuja imagem cairá fora do intervalo [0,1] e logo será atra´ıda pelo menos infinito. Assim, o conjunto dos pontos que não serão atra´ıdos para o menos infinito serão justamente os pontos do intervalo [0,1] que nunca se aproximarão de uma vizinhan¸ca do ponto cr´ıtico. Seguem do Teorema 1.1, enunciado mais a frente, que tal conjunto é um conjunto uniformemente expansor e do Teorema 1.2, que provaremos mais adiante, que ele tem medida de Lebesgue zero. Temos assim que somente dentro de um conjunto de medida zero, que está contido no intervalo [0,1], poderemos encontrar conjuntos invariantes não triviais (conjuntos que não estejam na bacia de atra¸cão do _−∞). Claro que o conjunto dos pontos que não saem do intervalo [0,1] é um conjunto maximal invariante, ou seja, todo ponto cuja órbita nunca sai de uma vizinhan¸ca pequena do intervalo [0,1], pertence a este conjunto.

Pode-se provar que a dinâmica de f, restrita ao conjunto dos pontos que não são atra´ıdos pelo _−∞, é conjugada à dinâmica do Shift (ver defini¸cão e detalhes no anexo). Ou seja, denotando ∆ =_{x_∈ _R _{k O}f(x) ⊂[0,1]}, onde f(x) = 4tx(1−x), t > 1, Of(x) a órbita

positiva dex gerada por f eσ : Σ→Σ a fun¸c˜ao Shift, teremos um homeomorfismo ψ entre ∆ (que ´e um conjunto de Cantor) e o conjunto Σ (={0,1}N) que faz o diagrama abaixo comutar.

∆ −−−→f ∆

ψ   y

  yψ

Σ −−−→G Σ

Vamos aproveitar o momento para introduzir a no¸c˜ao de intervalosnice. Sejampep∗_as

pr´e-imagens de 1, respectivamente a esquerda e a direita de c= 1/2, ou seja, f(p) =f(p∗_{) = 1}

e p < c < p∗_{. Claro que se um iterado de um ponto} _x_∈ _[0,_{1] cair em (p, p}∗_{) ent˜ao} _{p /}_∈_{∆. De}

fato, ∆ ={x∈[0,1]k O(p)∩(p, p∗) =∅}. Uma propriedade fundamental do intervalo acima é que os iterados de seu bordo não o intersectam. Motivado pelo intervalo (p, p∗), consideraremos a seguinte defini¸cão.

Definição1.2. Chamaremos um intervalo abertoJ = (a, b)de umintervalo niceda aplica¸cão unimodal f se _O(∂J)_∩J =_∅, isto é, _O(a)_∩J =_∅= _O(b)_∩J. Em adi¸cão, vamos pedir que um intervalo nice seja sempre dinamicamente simétrico com respeito ao ponto de dobra c, isto é, a < c < b e f(a) = f(b). O conjunto dos intervalos nice de uma aplica¸cão unimodal f

ser´a denotado por N =Nf e denotaremos os pontos de ´orbitas limitadas que nunca entram em

(17)

Figura 1.2: Itera¸c˜oes de f onde J ´enice

Proposição 1.2. Seja f uma aplica¸cão unimodal de classe C1_{. Se} _J _{∈ N} _então _∆

J ´e um conjunto compacto positivamente invariante.

Demonstra¸c˜ao. Como _O(f(x)) _{⊂ O}(x) segue que se x _∈ ∆J, ent˜ao O(f(x))∩J ⊂

O(x)_∩J =_∅, e logo f(x)_∈∆J. Assim conclu´ımos que ∆J ´e positivamente invariante.

Vamos agora verificar que ∆J ´e compacto. Realmente, se p∈ [0,1]\∆J, ent˜ao existe

n ≥ 0 tal que fn_(p) _∈ _J _{e como} _J _{´e um aberto e} _fn _{´e cont´ınua,} _∀_{n, segue que} _f−n_(J₎

´e aberto. Como p _∈ f−n_{(J), temos uma vizinha de} _p _{que ´e levada por} _fn _{dentro de} _J _e,

Conseq¨uentemente, toda esta vizinhan¸ca est´a contida em [0,1]_\∆J, o que prova que [0,1]\∆J

é aberto e que ∆J e fechado. Como ∆⊂[0,1] segue que ∆J é também limitado, logo compacto.

✷

Enunciaremos abaixo um teorema que é fundamental para mostrarmos a expansividade em regiões afastadas do ponto cr´ıtico. Como conseqüência deste teorema, sempre que uma aplica¸cão unimodal C2 _{não tiver órbita periódica atratora, então para todo intervalo} _nice _J

teremos que ∆J ser´a um conjunto expansor.

Teorema 1.1. (Ma˜ne) Seja f definida no intervalof :I _→I, f _∈C2_{, onde} _I_{, ´e um intervalo}

de R. Seja A o conjunto das órbitas atratoras de f. Seja B as bacias locais de A. Seja Cf o conjunto de todos os pontos cr´ıticos de f. Se U é vizinhan¸ca de Cf e U ⊃ B. Então existe

C >0 e λ >1 tal que:

|Dfn_(x)

|> Cλn_,

∀x, satisfazendo x, f(x), . . . , fn−1_(x)

∩U ₆=_∅.

Em particular, se _A =_∅ e U ´e uma vizinhan¸ca de Cf ent˜ao ∃ C e λ tais que

O(x)∩U =∅ =⇒ |Dfn(x)|> Cλn ∀n≥0.

Demonstra¸c˜ao.Ver [MMS].

J´a sabemos que os conjuntos ∆J, J ∈ Nf, s˜ao positivamente invariantes e compactos.

(18)

atratora masJ contiver sua bacia local, ent˜ao ∆J ser´a expansor. Veremos agora que sendo ∆J

expansor, ent˜ao ter´a medida de Lebesgue zero.

Teorema 1.2. (Conjunto hiperb´olico expansor tem medida de Lebesgue total ou zero). Seja

N _⊂ S1 _e _f _: _N _→ _N _{uma aplica¸cão} _C1+α_{, com} _{α >} ₀_{. Se} _τ _⊂ _N _{é compacto positivamente} invariante, ou seja, f(τ)⊂τ, e expansor, então τ =N =S1 ₍_f _{é uma imersão no c´ırculo) ou}

τ tem medida de Lebesgue igual a zero.

Demonstra¸c˜ao. Sejam f : N → N com N compacto, f ´eC1+α _com _{α >} _{0. Como} _τ

é hiperbólico por f, podemos, permutando f porfn_{, se for necessário, assumir que, para uma}

vizinhan¸ca V de f teremos:

|Df(x)_|> λ >1;_∀x_∈V.

Afirma¸cão. Seτ contém um intervalo entãoτ =S1_.

Prova. Seja J ⊂ τ um intervalo, pela invariˆancia de τ, fn_(J) _⊂ _τ _{para todo} _n, _fn

não tem pontos cr´ıticos em J, porque τ é hiperbólico. Conseqüentemente, se fn_|

J ´e injetora,

então fn_{(J) é um intervalo de tamanho, no m´ınimo, igual a} _λn_µ(J_{), onde}_{µ(J) é a medida de}

Lebesgue de J. Isto ´e, se fn

|J ´e injetiva, ent˜ao µ(fn(J)) > λnµ(J), com |Dfn(x)| > λ > 1.

Assim, sefn_|

J for injetiva, ∀n, teremosµ(τ)> µ(fn(J))> λnµ(J),∀ne, portanto,µ(τ) = ∞,

absurdo. Desta maneira, n˜ao ´e valido que para todon_∈_N, fn_|

J seja injetiva. Uma vez que fn

n˜ao tem pontos cr´ıticos, isto implica que S1 _⊃_τ _⊃_fn_(J)_⊃_S1 _{e, logo}_τ ₌_S1_.

Vamos agora supor que N não contém intervalos,f é uma imersão no c´ırculo e que τ tem medida de Lebesgue positiva. Pelo Teorema da Densidade de Lebesgue, quase todo ponto deτ é ponto de densidade. Tomando a_∈τ ponto de densidade teremos

(i) lim

δ→0

µ(Bδ(a)∩τ)

µ(Bδ(a)

= 1,

onde Bδ(a) ´e a bola de centro a e raio δ.

Seja ε > 0 tal que a Bε(x) ⊂ V ∀ x ∈ τ. Como τ e positivamente invariante temos

que Bε(fn(a)) ⊂ V,∀ n ≥ 0. Se fm(Bδ(a)) ⊂ Bε(fm(a))∀ m ≤ n, ent˜ao µ(fn(Bδ(a)) >

λn_µ(B

(19)

Bε(fn0(a)). Como fn0(a) ∈ fn0(Bδ(a)), ent˜ao fn0(Bδ(a)), cont´em pelo menos metade da

Bε(fn0) e, portanto, existen ∈Z tal que µ(fn(Bδ(a)))≥ε.

Tomemos o maior n tal que fi_(B

δ(a)) ⊂ V, para todo 0 ≤ i ≥ n. Afirmamos que

fn _{tem distor¸c˜oes limitadas em} _B

δ(a), mais precisamente, existe uma constante C1 que n˜ao

depende de δ, tal que

(ii)

Dfn_(x)

Dfn_(y)

< C1; ∀x, y ∈Bδ(a).

De fato, uma vez que f é C1+α _{e a derivada de} _f _{não é zero no fecho de} _V_{. Existe} _{β >} _{0 tal}

que a fun¸cãox7→log|Df(x)|éCβ _em_V_{. Mas,}_f _é_Cα_,₀_{< α <}_{1 se}_|_f(x)₋_f(y)_|_{< K}_|_x₋_y_|α_.

Como log|Df(x)| ´eCβ_{, existe uma constante} _C _{tal que}

|log|Df(x)| −log|Df(y)||< C|x−y|β

.

Por essa raz˜ao

log

Dfn_(x)

Dfn_(y) = n X i=0

(log|Df(fi(x))| −log|Df(fi(y))|)≤

n X

i=0

C|fi(x)−fi(y)|β

Mas como

|fn_(x)

−fn_(y)

| = _|f(fn−1_(x))

−f(fn−1_(y))

|

> λ|fn−1(x)−fn−1(y)|

> λ2_|_fn−2_(x)₋_fn−2_(y)_|

> λn−i

|fi_(x)

−fi_(y)

|

> λn−1|f(x)−f(y)|

> λn

|x₋y_|

teremos

|fn(x)−fn(y)|> λn−i|fi(x)−fi(y)| |fi_(x)

−fi_(y)

|< 1 λn−i|f

n_(x)

−fn_(y)

| |fi(x)−fi(y)|β

< λ(i−n)β|fn(x)−fn(y)|β n

X

i=0

C|fi(x)−fi(y)|β

≤

n−1

X i=0 C 1 λβ

n−i

|fn(x)−fn(y)|β

(20)

Como S1 _{´e compacto,} _∃_K _{tal que} _|_fn_(x)₋_fn_(y)_|_{< K} _{e portanto, segue da equa¸c˜ao 1.1 que} n

X

i=0

C_|fi_(x)

−fi_(y)

|β

≤

n−1

X i=0 CKβ 1 λβ

n−i

≤ C˜

n−1

X

i=0

1 λβ

n−i

≤ C˜ 1 λβ n + 1 λβ

n−1

+. . . ..+ 1 λβ

!

≤ C˜

n−1

X i=0 1 λβ i

≤ C˜

∞ X i=0 1 λβ i

≤ C˜

1 1₋ 1

λβ

≤ C˜ λ

β

λβ₋₁

o que prova a afirma¸c˜ao, pois |Df

n_(x)_|

|Dfn_(y)_| ≤ρ

˜

C λβ

λβ−1.

Por esta raz˜ao, existen≥0 tal que a aplica¸c˜aofn _{leva difeomorficamente}_B

δ(a) e com

distor¸c˜ao limitada no intervalo Jδ=fn(Bδ(a)) de comprimento maior que ε.

Usando a invariˆancia τ obteremos que fn_(τ _∩ _B

δ(a)) ⊂ (τ ∩ Jδ). De (i) e de (ii)

conclu´ımos que

µ(Jδ∩τ)

µ(Jδ) ≥

µ(fn_(τ

∩B(a, δ))) µ(δj)

= 1₋ µ(f

n_{(B(a, δ)}

\τ))

µ(fn_(B_{(a, δ)))} ≥1−c1

µ((B(a, δ)_\τ)) µ((B(a, τ)) →1 quando δ → 0. Pois, cada um dos intervalos Jδ tem comprimento m´ınimo ε assim existe uma

seqüênciaδn →0 tal queJδn converge para o intervaloJ. Por esta razão µ(J∩τ) =µ(J).

Entãoτ é um conjunto fechado, comτ _⊃J e isto é uma contradi¸cão pois assumimos que J não contém intervalos. ✷

Corol´ario 1.2.1. Se f for uma aplica¸c˜ao unimodal C2 _e _J _{for um intervalo nice cujo fecho}

(21)

Demonstra¸c˜ao. Veja que a transforma¸c˜ao C∞ _{definida por} _{h(x) = exp(i}_·_g−1_(x)),

onde g : (₋1,1)_→_R ´e dada por g(x) =x/(1₋x2_{), leva toda a reta real} _R _{difeomorficamente}

num arco de S1 _⊂ _C_{. Conseq¨}_{uentemente, usando} _h _{como conjuga¸c˜ao, o Teorema 1.2 acima}

também é válido para N ⊂R e, em particular, para os conjuntos ∆J que como já observamos

´e, neste caso, expansor. ✷

Quando uma aplica¸cão unimodal f for C2 _{e não possuir órbita periódica atratora,}

então os conjuntos ∆J contém toda estrutura hiperbólica de f. De fato, se K é um conjunto

hiperbólico ef não possui órbita periódica atratora, entãoKé compacto, invariante e expansor. Como (fn₎′_{(c) = 0,}_∀ _{n >}_{0, temos que o ponto cr´ıtico} _c _de _f _{não pertence a} _{K. Não é dif´ıcil}

verificar que pondo J =f−1 _(max_f_(K),₊_∞₎ _{teremos que} _J _{∈ N}

f e K ⊂ ∆J. Assim, segue

proposi¸cão abaixo que seH for a estrutura hiperbólica def, isto é, união de todos os conjuntos hiperbólicos def (que neste caso serão somente os expansores), entãoH =S_J_∈N∆J.

Proposição 1.3. Se f é unimodal de classe C2, então ou f tem órbita periódica atratora ou

c=T_I_∈N_f I.

Demonstra¸c˜ao. Suponha que J = T_I_∈N

f I 6= c. Vemos que J, neste caso, ´e um intervalo e necessariamente nice. De fato, pondo J = (a, b) e supondo que _∃ n > 0 tal que fn_(a)_∈_J _{ent˜ao, por continuidade, para}_I _{= (α, β}₎_{∈ N}

f suficientemente pr´oximo a J ter´ıamos

fn_(α)_∈_J _⊂_I _{e isto contraria o fato de} _I _ser _nice_.

Como ∆J tem medida nula temos que O(f(J))∩J 6= ∅. Seja n > 0 o menor inteiro

tal que fn_(J)_∩_J ₆₌ _∅_{. Se} _∂J _∩_int(fn_(J)) ₆₌ _∅ _ent˜ao _∃_p _∈ _J _{tal que} _fn_(p) _∈ _∂J_{. Logo}

I =f−1_((f(p),₊_∞₎_{∈ N}

f eI 6⊆J que ´e absurdo. Assim teremosfn(J)⊂J.

Temos ent˜ao dois casos:

(1) F ix(fn_|

J)∩J =∅;

(2) F ix(fn_|

J)∩J 6=∅.

No primeiro caso teremos quep=F ix(fn_|

J)∩∂J 6=∅é órbita periódica atratora def.

J´a no segundo caso, oup_∈F ix(fn

|J)∩J é órbita periódica atratora def ou é repulsora. Mas,

se p_∈ F ix(fn_|

J)∩J for repulsora, então é fácil verificar que tomando q = maxO(p) teremos

I =f−1_{((f(p), f(c)))}_{∈ N}

(22)

Cap´ıtulo 2

Ergodicidade

Para iniciar este cap´ıtulo, vamos definir o conceito de ergodicidade. Considere uma aplica¸cão f : M _→ M, onde M é um intervalo. Um subconjunto U _⊂ M é dito f-invariante

(ou invariante por f) se f−1_(U_{) =} _U_{. Dizemos que} _f _{´e dita} _erg´odica _{com respeito a medida}

de Lebesgue, se todo subconjunto f-invariante tem medida zero ou a medida de M, ou seja, Leb(U) _{∈ {}0,Leb(M)_}, para todo U _⊂ M que seja f-invariante. Observemos que aqui n˜ao estamos pedindo que a medida de Lebesgue seja invariante com respeito a f.

O resultado central deste cap´ıtulo é que toda aplica¸cãoS-unimodal, não-flate infinita-mente renormalizável (veremos a defini¸cão mais adiante) é ergódica com respeito a medida de Lebesgue. Para chegarmos a este resultado faremos um estudo das propriedades combinatórias dos intervalos nice e de suas pré-imagens. Estudaremos um pouco as aplica¸cões de primeiro retorno á um intervalonice.

Vamos assumir, em todo este cap´ıtulo, quef é uma aplica¸cãoS-unimodal, que o ponto cr´ıtico de f é um ponto c_∈(0,1) e fixar_N como sendo_Nf.

Lema 2.0.1. Seja I ∈ N e sejam T1 e T2 ⊂[0,1] intervalos tais que fni :Ti → I é monótona e sobrejetora para algum ni ≥ 0. Se T1 ∩T2 6= ∅ e n1 ≤ n2, então T2 ⊂ T1 . Além disto, se

n1 =n2, teremosT1 =T2.

(23)

Ergodicidade 13

Demonstra¸c˜ao.Se T2 6⊂T1, ent˜ao ∃ x∈∂T1 ∩T2. Logo, pondo a=fn1(x), teremos

a_∈fn1(∂T

1)∩fn1(T2) =∂I∩fn1(T2) e Conseq¨uentemente,fn2−n1(a)∈fn2−n1(∂I)∩fn2(T2)⊂

O(∂I)_∩I. Mas, isto contraria o fato de I ser nice. Temos ent˜ao que T2 ⊂T1. Al´em disto, se

n1 =n2 ter´ıamos tamb´em T1 ⊂T2. Desta forma, T1 =T2. ✷

Dado um intervalo nice I _{∈ N} vamos denotar o conjunto de pontos que visitam

I por CI, isto ´e, CI = {x ∈ [0,1] k O(x)∩I 6= ∅} = [0,1]\∆J. Segue da proposi¸c˜ao 1.2

que CI é um aberto e do Corolário 1.2.1 que se ¯I não estiver contido na bacia de uma órbita

periódica atratora, então Leb(CI) = 1. Além disto, vamos provar agora que se {T1, T2, . . .} for

o conjunto das componentes conexas de CI, ent˜ao para cada Ti existe um ni ≥ 0 tal que fni

levaTi difeomorficamente emI.

Proposição 2.1. Seja J _{∈ N} e suponha que f não tenha órbita periódica atratora . Se J é uma componente conexa de CI, então existe um ´unico inteiro n =n(J)≥ 0 tal que fn _leva _J difeomorficamente em I. Além disso, J, f(J), . . . ., fn_{(J) =} _I _{é uma cole¸cão disjunta aos pares}

de componentes conexas de CI.

Demonstra¸c˜ao.SejaJuma componente conexa deCI. Tomen= min{k ≥0kfk(J)∩

I 6= ø}. Já que J é uma componente conexa de [0,1]\ ∆I (que é aberto) temos que J é

aberto e, conseq¨uentemente, ∂J _⊂∆I. Veja que se a ∈J, ent˜ao (fn)′(a)6= 0, pois, (fn)′(a) =

f′_(fn−1_(a))_·_{. . .}_·_f′_(f_(a))_·_f′_{(a) e como}_fj_(a)_∈_/ _{I, para todo 0}_≤_{j < n, temos que}_fj_(a)₆₌_c_∈_I _e

logof′_(fj_(a))₆_{= 0, para todo 0}_≤_{j < n. Desta forma}_fn_|

J ´e um difeomorfismo. Vamos mostrar

agora quefn_{(J) =} _{I. Para tanto escreva (α, β) =} _J _{e (p, q) =} _{I. Como}_O_(∂J_{) =}_O_(α)_{∪ O}_(β)

n˜ao intersecta I, pois ∂J ⊂ ∆I, ter´ıamos que, se fn(J) =6 I, ent˜ao fn(α) ou fn(β) ∈/ I, mas

comofn_(J₎_∩_I ₆₌_∅_{ter´ıamos, neste caso, que}_p_∈_fn_(J_{) ou}_q_∈_fn_{(J) e com isto existiria}_x

0 ∈J

tal que fn_(x

0) ∈∂I. Pela escolha de n ter´ıamos que fj(x0)∈/ I, ∀0 ≤j < n, e por ∂I ⊂ ∆I

ter´ıamos tamb´em que fj_(x

0)∈/ I,∀ j ≥ n. Ou seja, x0 ∈J ∩∆I. O que ´e um absurdo. Desta

forma, necessariamente, fn_{(J) =} _{I. Como} _c _∈ _I _{temos que} _fn+1_|_J _{n˜ao ´e um difeomorfismo,}

nem ao menos é monótona, e logon é único.

Claro que, se 0≤j ≤n, ent˜aofj_(J_{) ´e uma componente conexa de}_C

I, poisfj(J)∩∆I =

∅e, por outro lado,∂(fj_(J_{)) =}_fj_(∂J₎

⊂∆I. Falta agora verificar quefk(J)∩fl(J) =∅,∀0≤

k < l_≤n. Suponha que existe 0_≤k < l_≤ntais que fk_(J)_∩_fl_(J₎₆₌_∅_{. Tomando}_T

1 =fl(J),

(24)

Ergodicidade 14

teremos que T1 =fl(J) ⊃fk(J) = T2 e logo I = fn1(T1) ⊃fn1(T2) =fn−(l−k)(J). Mas como

fn−(l−k)_|_J _{´e difeomorfismo e}_O_(∂T

2)∩I =∅, poisT2 ´e uma componente conexa deCI, teremos

fn1(T

2) = fn−(l−k)(J) ⊃ I. Entretanto, isto implica que fn1(T2) = I e logo n1 = n2, o que ´e

um absurdo, pois, n2 > n1. ✷

Dado um intervalo qualquer L _⊂[0,1] e um ponto x0 ∈ L tal que O(f(x0))∩L6= ∅.

O primeiro retorno de x0 a L se d´a em fn(x0) onde n = min{k > 0 k fk(x0) ∈ L}. Podemos

ent˜ao definir uma aplica¸c˜ao de primeiro retorno a L, RL, definida de Dom(RL) = {x ∈

L k O(f(x))∩L 6= ∅} para L. O lema abaixo garante que se I for um intervalo nice ent˜ao quase todo ponto deI retorna aI, ou seja, que quase todo ponto deI pertence ao dom´ınio da aplica¸c˜ao de retorno.

Lema 2.0.2. Se f não tem órbita periódica atratora, I é um intervalo nice e R é a aplica¸cão retorno a I, então

Dom(R) ´e aberto e Leb(I\Dom(R)) = 0

Demonstra¸cão. Temos que Dom(R) = {x∈I k O(f(x))∩I 6=∅}. Sex ∈ Dom(R), então existen tal quefn_(x)_∈_{I, como} _I _{é aberto, e}_f _{cont´ınua, temos que existe}_V _vizinhan¸ca

de x tal que fn_(y) _∈ _I,_∀ _y _∈ _V_{. Logo} _x _∈ _V _⊂ _{Dom(R), ou seja, todo ponto do Dom(R) ´e}

interior e, conseqüentemente, Dom(R) é aberto. ComoI_\Dom(R) = _{x_∈I;_O(f(x))_∩I =_∅} segue que se x _∈ I _\Dom(R), então f(x) _∈ ∆I. Logo, I \Dom(R) ⊂ f−1(∆I). Como f′ se

anula somente em um ponto, o ponto cr´ıtico, e pelo Corol´ario 1.2.1 temos Leb(∆I) = 0. Segue

que Leb(f−1_(∆

I)) = 0. ✷

Uma propriedade interessante das aplica¸cões unimodais sem órbitas periódicas atra-toras é que o ponto cr´ıtico é acumulado pelo conjunto dos pontos periódicos da aplica¸cão.

Lema 2.0.3. Se f não tem órbita periódica atratora e I é nice, então P er(f)_∩I ₆=_∅.

Demonstra¸cão. Suponhamos que Dom(R), o dom´ınio da aplica¸cão de retorno a I, tenha somente uma componente conexa. Neste caso é necessário que f(I)∩∆I =∅. Seja J a

componente conexa de [0,1]_\∆I que cont´emf(I) en, o n´umero de iterados que leva J em I,

isto ´e, fn_|

J ´e um difeomorfismo de J em I. Seja A : [0,1] → I uma transforma¸c˜ao afim que

(25)

Ergodicidade 15

ˆ

R=A−1_◦_fn+1_|

I◦A. Como Ré conjugada com ˆR pela aplica¸cão A, que é um difeomorfismo,

podemos estudar ˆR no lugar de R. Assim, veremos que ˆR′_{(x) = (f}n+1₎′_{(x) e que ˆ}_R′_(x) ₆_{= 0}

∀ x₆=c, onde cé o ponto cr´ıtico de f. Logo ˆR é unimodal. Além disto, SR <ˆ 0, pois SA= 0 eS(fn+1₎_<_{0, e ˆ}_R_{é não-}_flat_{. Escolhendo}_A _{tal que}_c_{seja ponto de máximo, e não de m´ınimo,}

para ˆR teremos que ˆR ´e uma aplica¸c˜ao S-unimodal.

´

E f´acil ver que se ˆR′₍₀₎ _≤ _{1 ent˜ao o zero seria um ponto fixo atrator de ˆ}_R _{e logo} _f

teria uma ´orbita peri´odica atratora. Assim, ˆR′₍₀₎ _>_{1 e Conseq¨}_{uentemente para todo} _x

0 > 0

suficientemente pequeno teremos ˆR(x0)> x0. Tomando g(x) = ˆR(x)−x teremosg(x0)>0>

g(1) =−1. Pelo teorema do valor intermedi´ario,∃x1 ∈(x0,1) tal que ˆR(x1)−x1 =g(x1) = 0,

ou seja, ˆR(x1) =x1. Assim ˆR e, conseq¨uentemente, R, possuem um ponto fixo em (0,1). Logo

f tem um ponto peri´odico em I. (Figura 2.1).

Figura 2.1: (a) c_6∈R(I) e (b)ˆ c_∈R(I)ˆ

Vamos agora supor que Dom( ˆR) tenha mais de uma componente conexa. Tomemos então J componente conexa do Dom( ˆR) tal que c /∈J. Logo, ˆR(J) = (0,1)⊃I e então ˆR terá um ponto fixo em J. Novamente isto implica que f tem uma órbita periódica em I. ✷

Corolário 2.0.2. Se f não tem órbita periódica atratora, então existe seqüência _{pn} ⊂

P er(p) que converge para o ponto cr´ıtico c.

Demonstra¸cão. Pela Proposi¸cão 1.3 existe uma seqüência Ik →c de intervalos nice.

Logo, pelo lema anterior,P er(f)_∩Ik6=∅,∀k. Segue que, existe uma seq¨uˆenciapk→ctal que

pk∈P er(f)∩Ik,∀k. ✷

O lema de Koebe, que enunciaremos abaixo, é a ferramenta básica para o controle de distor¸cão dos iterados de uma aplica¸cão com Schwarziana negativa e este controle é fundamental para a prova da ergodicidade. Antes de anunciá-lo, vamos definir o que é uma vizinhan¸ca δ -escaladade um intervalo. SendoJ _⊂T dois intervalos, dizemos queT é vizinhan¸caδ-escalada deJ se as componentes conexas de T _\J, tem comprimento maior que δ_{· |}T_|.

(26)

Ergodicidade 16

deT_\M s˜ao denotadas porLe R. Dado ε >0,_∃K >0tal que sefn_|

T é monótona e se|fn(T)| é uma vizinhan¸ca ε-escalada |fn_(M)_| _então:

(1) T cont´em uma vizinhan¸ca δ-escalada de M;

(2) |Df n_(x)_|

|Dfn_(y)_| ≤K, ∀ x, y ∈M.

Vamos supor que temos um intervalo nice V ∈ N e, para simplificar, quef não tenha órbita periódica atratora. Neste caso, com boa probabilidade f(c)6∈∆V, pois este tem medida

nula. Ou seja, o valor cr´ıtico f(c) pertence a CV. Defina ent˜ao, sempre que f(c) ∈ CV, SV

como a componente conexa deCV que cont´emf(c). Sempre queSV estiver definido poderemos

considerar a pr´e-imagem de SV por f, isto ´e, considerar o intervalo aberto ψ(V) definido por

ψ(V) =f−1_(S

V). Claro que c∈ ψ(V) e que ψ(V) ´e dinamicamente sim´etrico com respeito ao

ponto cr´ıtico. Além distoψ(V) ⊂V, caso contrário, existiria um ponto a ∈∂V ∩ψ(V) e logo f(∂V) =f(a)∈SV ⊃CV, o que é absurdo.

Verifiquemos agora que ψ(V) é também um intervalo nice de f. De fato, se (α, β) = ψ(V), entãof(α) = f(β)_∈∂SV e comoSV é componente conexa deCV temos que∂SV ⊂∆V.

Conseq¨uentemente, O(f(∂(ψ(V))))∩V =∅. Mas, como V ⊃ψ(V) temos, em particular, que

O(f(∂(ψ(V))))∩ψ(V) = ∅. Logo,O(∂(ψ(V)))∩ψ(V) = ∅.

O lema que segue juntamente com o lema de Koebe e o ”argumento do intervalo do meio” ser˜ao as armas fundamentais para a prova da ergodicidade.

Lema 2.0.5. Se I ´e uma componente conexa de Cψ(V) que ´e levada difeomorficamente por fn

em ψ(V), ent˜ao existe um intervalo T contendo I tal que fn _leva _T _{difeomorficamente em} _V_.

Demonstra¸c˜ao. Seja [0,1] _⊃ T _⊃ I o intervalo maximal tal que fn_|

T ´e um

difeo-morfismo e fn_(T₎ _⊂ _V_{. Como} _fn_|

I ´e um difeomorfismo e fn(I) = ψ(V) ⊂ V temos T 6= ∅.

Para provar o lema precisamos mostrar quefn_(T_{) =}_V_{. Suponha o contr´ario, isto ´e, suponha}

que existe a _∈ ∂T tal que fn_(a)

∈ V. Se fj_(a)

6

= c,_∀ 0 _≤ j < n, ent˜ao, por continuidade, ter´ıamos que se tomarmos ε > 0, suficientemente pequeno, ent˜ao (fn₎′_(x) ₆_{= 0 e} _fn_(x) _∈ _V_,

(27)

Ergodicidade 17

seria um difeomorfismo e fn_(T

1) =ψ(v) ⊂V, e isto contrariaria a maximalidade de T. Desta

maneira, deve existir um 0 _≤ j < n tal que fj_{(a) =} _{c. Como} _{j < n} _temos _fj_(I)_∩_ψ(V_{) =} _∅

e assim _∃α _∈ ∂(ψ(I))_∩fj_(T_{). Logo,} _V _⊃ _fn_(T₎ _∋ _fn−j_{(α), mas isto ´e absurdo, pois, como}

f(α)∈f(∂(ψ(I)))⊂∂SV ⊂∆V temosO(f(α))∩V =∅. ✷

Na prova do Lema 2.0.3 nós consideramos um reescalonamento do dom´ınio da aplica¸cão de retorno a um intervalo. Este tipo de procedimento é chamado de renormaliza¸cão. As técnicas de renormaliza¸cão foram introduzidas no final da década de 70, no estudo de dinâmica unidimensional independentemente, por Coullet e Tresser e por Feigenbaum, para explicar alguns fenômenos de universalidade em bifurca¸cões de fam´ılias unimodais. Baseados em estudos numéricos eles conjecturaram que os fenômenos de universalidade poderiam ser explicados se o operador de renormaliza¸cão, agindo em certo espa¸co apropriado de aplica¸cões, tivesse um ponto fixo hiperbólico.

Devido aos trabalhos sobre renormaliza¸cão desenvolvidos por diversos matemáticos nas décadas de 80 e 90, Lyubich, no final dos anos 90, conseguiu provar que para quase todo parâmetro (no sentido de medida de Lebesgue) da fam´ılia quadrática, a dinâmica é hiperbólica ou estocástica. No caso hiperbólico teremos uma órbita periódica atratora que atrai quase todo ponto do intervalo [0,1] e os pontos deste intervalo que não são atra´ıdos por esta órbita periódica formam um conjunto expansor. Já nos parâmetros em que a dinâmica for estocástica existe um intervalo periódico cuja órbita atrai quase todo ponto do intervalo [0,1], além disto a dinâmica restrita a esta órbita é expansora não uniforme.

Introduzamos formalmente o conceito de renormaliza¸c˜ao.

Definição 2.1. Diremos que f é renormalizável se existir um intervalo I _$ [0,1] tal que o dom´ınio da aplica¸cão de retorno a I for o próprioI. Neste caso, diremos que I é um intervalo

de renormaliza¸cão de f. A aplica¸cão f será chamada de infinitamente renormalizável (_∞ -renormalizável) se existir uma cole¸cão infinita de intervalos de renormaliza¸cão distintos.

Veja que, se I é um intervalo de renormaliza¸cão para f, então existe um m ≥ 0 tal que a aplica¸cão de retorno a I é dada por RI =fm|I. Além disto, segue do Teorema de Mañé

e do Teorema 1.2 que c _∈ Sm_j₌₀fj_{(I), pois Leb(}Sm

j=0fj(I)) > 0. Claro que, se J pertence a

(28)

Ergodicidade 18

c _∈ Sm_j₌₀fj_{(I) e se} _I

c é o intervalo da órbita de I que contém o ponto cr´ıtico, então ele é

dinamicamente sim´etrico com respeito ao ponto cr´ıtico. Desta forma, Ic ´e um intervalo nice.

Observe que, ses_≥0 ´e o menor natural tal que fs_(I)_⊂_I

c, ent˜ao fs levaI difeomorficamente

emIce conjugaRIcomRIc, isto ´e,RI = (f

s_|_I)−1_◦_R

Ic◦(f

s_|_{I). Em resumo, se}_f_{´e renormaliz´avel}

com respeito a um intervalo I, podemos trocar I pelo intervalo de sua órbita que contém o ponto cr´ıtico. Este último é nice e também é um intercalo de renormaliza¸cão def, e do ponto de vista dinâmico a aplica¸cão de retorno não muda. Por estas razões iremos somente estudar renormaliza¸cões com respeito a intervalosnice.

Devido a sua importância no estudo de aplica¸cões unimodais vamos definir o operador de renormaliza¸cão que foi aludido acima. Entretanto, queremos frisar que não usaremos o operador de renormaliza¸cão na prova da ergodicidade das aplica¸cões _∞-renormalizáveis e que somente iremos defini-lo com finalidade informativa.

Se I ∈ Nf for um intervalo de renormaliza¸cão de f definiremos a renormaliza¸cão de f em rela¸cão a I e denotaremos por RIf, como a aplica¸cão RIf : [0,1] → [0,1] dada

por RIf = A−1 ◦RI ◦A, onde A : [0,1] → I ´e escolhida entre as duas transforma¸c˜oes afins

que levam [0,1] em I de maneira que c seja ponto de m´aximo, e n˜ao de m´ınimo para _RIf.

Desta maneira _RIf é também um aplica¸cão S-unimodal (ver observa¸cões na demonstra¸cão do

Lema 2.0.3).

Não é dif´ıcil constatar que, se I ∈ Nf, então existe somente um número finito de

intervalos de renormaliza¸cão de f que contenha I. Conseqüentemente, sef for uma aplica¸cão renormalizável existe sempre um maior intervalo de renormaliza¸cão de f, ou seja, existe um intervalo I _{∈ N}f que contém todos os outros intervalo de renormaliza¸cão. Defini-se então

o operador de renormaliza¸cão _R que leva uma aplica¸cão unimodal renormalizável f em uma outra aplica¸cão unimodal porRf =RIf, onde I ∈ Nf é o maior intervalo de renormaliza¸cão

def. Também não é dif´ıcil verificar que se I1 %I2 são dois intervalos de renormaliza¸cão para

f, ent˜ao a aplica¸c˜ao unimodal _RI1 =A

−1_◦_R

I1 ◦A ´e renormaliz´avel com respeito ao intervalo

e

I2 = A−1(I2) e que as aplica¸c˜oes RIe2(RI1f) e RI2f s˜ao conjugadas. Em particular, se f for

∞-renormaliz´avel, ent˜ao (_R)n_f ₌_R_{. . .}_R | {z } n vezes

f est´a bem definida, para todon >0.

(29)

Ergodicidade 19

por uma seq¨uˆencia encaixada de intervalos I1 % I2 % I3 % . . . tal que c = TnIn. De fato, se

c ₆= T_nIn, ent˜ao J = T

nIn seria um intervalo nice e assim, como j´a foi mencionado acima,

ter´ıamos somente um número finito de intervalos de renormaliza¸cão contendo J, o que é uma contradi¸cão. Conseqüentemente, se f tiver uma órbita periódica atratora, então ela tem no máximo um número finito de renormaliza¸cões. Também, deve ser observado que o ponto cr´ıtico de uma aplica¸cão unimodal_∞-renormalizável é sempre recorrente, ou seja,cé sempre um ponto de acumula¸cão de sua órbita (c_∈ω(c)). Desta forma, quando f for _∞-renormalizável, teremos c_{∈ C}I ∀ I ∈ Nf.

Teorema 2.1. Seja f : [0,1] → [0,1] uma aplica¸cão S-unimodal, não-flat. Se f é ∞ -renormalizável, então f é ergódica com respeito a Lebesgue.

Demonstra¸cão. Suponha que f seja ∞-renormalizável e U ∈ N um intervalo de renormaliza¸cão. Logo,f(c)∈ SU que é, como já foi definido, a componente conexa de CU que

cont´em o valor cr´ıtico. Sejan >0 o inteiro tal que fn _leva_S

U difeomorficamente emU e ponha

M =f(U)_⊂SV.

Pela Proposi¸c˜ao 2.1 teremos quefj_(S

V)∩fk(SV) =∅,∀ 0≤j 6=k ≤n e, conseq¨

uen-temente, os elementos da cole¸c˜ao M ={M, f(M), . . . , fn_(M₎_} _{s˜ao dois a dois disjuntos, pois}

fj_(M₎_⊂_fj_(S

V), ∀0≤j ≤n.

Escolha m0 ∈ {1,2, . . . , n} tal que |fm0(M)| ≤ |fj(M)|, ∀ 0 ≤ j ≤ n. Se fm0(M)

possuir elementos de _M posicionados na reta real tanto a sua esquerda quanto a sua direita, ponha m=m0. Por outro lado, se acontecer do posicionamento de fm0(M) na reta real R for

o mais à esquerda da cole¸cão M ou o mais à direita, então escolha m ∈ {m0+ 1, m0 + 2} de

maneira quefm_(M_{) não seja nem o mais à esquerda nem o mais à direita da cole¸cão}_M_{. Claro}

que, _|fm0+2(M)

| ≤ γ_|fm0+1_(M)_{| ≤} _γ2_|_fm0(M)

|, onde γ = max_{|Df(x)_{| k} x _∈ [0,1]_}. Desta forma, pela escolha do m, teremos _|fm_(M₎_{| ≤} _γ2_|_fj_(M₎_|_, _∀ ₀ _≤ _j _≤ _n _{e, al´em disto, existem}

elementos de _Mtanto `a esquerda quanto `a direita de fm_(M_).

Entre os elementos deM que ficam a esquerda defm_(M_{) seja} _fl_(M_{) o mais pr´oximo}

a fm_(M_{). Analogamente, seja} _fr_(M_{) o elemento a direita de} _fm_(M_{) mais pr´oximo.}

Con-sideremos H o intervalo máximo contendo M, para o qual fm_{(H) é monótona e tal que}

(30)

Ergodicidade 20

[fl_(M_{), f}r_{(M)] =} _{₍₁₋_t)x₊_ty _k _t _∈_[0,_1],_x_∈_fl_(M_{) e} _y_∈_fr_(M₎_}_.

Afirma¸c˜aofm_{(H) = [f}l_(M_{), f}r_(M_)].

Prova. SejamL eR as componentes conexas de H\M. Suponha queH n˜ao satisfa¸ca a propriedade acima. Neste caso o fecho dom-´esimo iterado de uma das componentes conexas deH_\M estaria contida no interior de [fl_(M_{), f}r_(M_)]_\_fm_(M_{). Digamos que esta componente}

sejaL, isto ´e, fm_{(L) =}_fm_(L)_⊂_interior_[fl_(M_{), f}r_(M_)]_\_fm_(M₎_{. Pela maximalidade de}_H

existe i ∈ {0,1, . . . .m−1} tal que c ∈∂fi_{(L). Como} _fk_(M₎_∩_U ₌ _{∅ ∀}₀ _≤ _{k < n} _{temos, em}

particular, quefi_(M₎_∩_U ₌_∅_{. Isto significa que}_fi_{(L) cont´em o fecho de uma das componentes}

conexas de U\ {c}. Assim, fm_{(L) =} _fm−i−1_(fi+1_(L)) _⊃ _fm−i−1_(f_(U_{)) =} _fm−i−1_{(M), isto ´e,}

interior[fl_(M_{), f}r_(M_)]

\fm_(M₎

⊃fm_(L)_⊃_fm−i−1_(M_{). De maneira an´aloga, mostrar´ıamos}

que R cont´em um iterado de M. Por essa raz˜ao [fl_(M_{), f}r_{(M)] conteria no m´ınimo quatro}

elementos de_Mo que ´e absurdo pela constru¸c˜ao de [fl_(M_{), f}r_(M_{)]. Assim, conclu´ımos a prova}

da Afirma¸c˜ao.

Como γ2_|_fr_(M₎_{| ≥ |}_fm_(M₎_{| ≤} _γ2_|_fl_(M₎_| _{temos que} _fm_{(H) ´e uma vizinhan¸ca} _γ2

-escalada defm_(M_{). Pelo Lema de Koebe, existe uma constante}_δ

0 >0 dependendo unicamente

deγ tal que H contém a vizinhan¸ca δ0-escalada deM. Como o ponto cr´ıtico é não flat, existe

uma constanteδ >0 tal queH′ ₌_f−1_(M_{) cont´em a vizinhan¸ca}_{δ-escalada de}_U_{. Esta constante}

δ >0 depende somente de γ e da ordem da criticalidade de f.

Dado J uma componente de CU e k ≥ 0 o inteiro tal que fk leva difeomorficamente

J em U, tome T como intervalo m´aximo contendo J tal que fk_|

T ´e mon´otona e fk(T) ⊂ H′,

onde H′ ₌_f−1_(H).

Afirma¸c˜ao que fk_(T_{) =} _H′_.

Prova. Como T ´e o intervalo m´aximo contendo J, tal que fk

|T ´e mon´otona,

consid-eremos L′ _e _R′ _{componentes de} _T _\_J _{e fixemos uma delas, por exemplo} _L′_{. Pela}

maximal-idade de T, existe 0 _≤ j < k, tal que c _∈ ∂fj_(L′_{) como} _{j < k} _{temos que} _fj_(J)_∩ _U ₌ _∅_,

portanto, fj_(L′_{) cont´em uma componente de} _U_{\ {}_c_}_{. Conseq¨}_uentemente, _fj+1_(L′₎ _⊃ _M _e

fk−(j+1)_(fj+1_(L′₎₎_⊃_fk−j−1_{(M), isto ´e,}

(31)

Ergodicidade 21

Suponhamos, por contradi¸cão, que fk_(L′₎ _⊂ _H′_{. Então, como} _fk_(L′₎ _⊃ _fk−j−1_(M_{) e} _fm+1 _é

monótona sobre cada componente de H′_{\ {}_c_} _{temos que} _fm+1_|_fk−j−1_(M_{) é monótona.}

Con-seqüentemente, fk−j−1 _{é monótona dado que} _fk+m−j_|

M é monótona. Como U é um

inter-valo de renormaliza¸cão e f não tem órbita periódica atratora temos, necessariamente, que c ∈ RU(U) = fn(M), isto implica que k +m−j ≤ n. Além disso, se fj+1(L′) ⊃ M, então

fk_(L′₎_⊃_fk−j−1_(M_{). Segue que}

fk_(L′₎

⊂fk_(L′₎_⊂_H′

⇒fk−j−1_(M₎_⊂_H′ _e_fk−j _⊂_H.

Assim, fm_(fk−j_(M₎₎ _⊂ _fm_{(H) = [f}l_(M_{), f}r_{(M)], isto ´e,} _fm+k−j_(M) _⊂ _[fl_(M_{), f}r_(M_{]. Mas}

isto significa que [fl_(M_{), f}r_(M_{)] cont´em no m´ınimo quatro intervalos da forma} _fi_(M_{) com}

i≤n o que ´e absurdo. Provamos ent˜ao que fk_(T₎_⊃ _H′ _{e deste modo temos que} _fk_(T_{) =}_H′_.

Com isto, conclu´ımos a prova desta segunda afirma¸c˜ao.

Mostramos portanto que_∃δ >0 tal que para todo intervalo de renormaliza¸c˜aoU _{∈ N} e cada intervaloJ componente conexa de CU temos um intervaloT tal que sen ≥0 ´e o inteiro

tal quefn _leva_J _{difeomorficamente em}_U_{, ent˜ao}_fn_leva_T _{difeomorficamente numa vizinhan¸ca}

δ-escalada de U, isto ´e,fn_(T_{) =}_H′_.

Segue ent˜ao do Lema de Koebe que_∃ K >0 tal que para todo intervalo de renormal-iza¸c˜ao U _{∈ N} e cada intervalo J componente conexa de CU, teremos um inteiro n ≥0 que fn

levaJ difeomorficamente emU com distor¸c˜ao limitada por K, isto ´e,

1 K <

|Dfn_(x)_|

|Dfn_(y)_| < K ∀ x ey ∈J.

Suponhamos que existam dois conjuntosXeY _⊂[0,1] invariantes, isto ´e,f−1_{(X) =} _X

ef−1_(Y_{) =}_Y_{, e ambos com medida de Lebesgue positiva.}

Seja I1 ⊃ I2 ⊃ I3 ⊃ . . . uma seqüência encaixada de intervalos de renormaliza¸cão tal

que T_jIj = {c}. Como Leb(∆Ij) = 0, ∀ j, pelo Corol´ario 1.2.1, temos que Leb(

S

j∆Ij) = 0

e, conseq¨uentemente, quase todo ponto x _∈ X n˜ao pertence a S_j∆Ij. Por outro lado, pelo

teorema da densidade de Lebesgue, quase todo ponto x_∈X ´e ponto de densidade do conjunto X, ou seja,

lim

ε→0

Leb(Bε(x)∩X)

Leb(Bε(x))

(32)

Ergodicidade 22

e desta maneira podemos escolher um ponto de densidade x_∈X que n˜ao pertence a S_j∆Ij.

ComoCIj = [0,1]\∆Ij, podemos fixar um ponto de densidade x∈X tal que x∈CIj

∀j ≥1. Denotemos a componente conexa de CIj que cont´em x porJj ⊂CIj. Como X ´e invariante por f temos fn_(X

∩J) = In∩X, onde In é uma seqüência de

intervalos que acumulam no ponto cr´ıtico e X _⊂ Jn ⊂ [0,1]. Como |In| é uma seqüência de

intervalos, pelo princ´ıpio da contra¸cão temos que se Un e In são seqüências de intervalos com

|In| → 0 e tal que algum iterado fkn de f leva |Un| em In, ent˜ao |Un| → 0. Por essa raz˜ao,

como |In| →0 e, ∃s tal que fs(Jn) = In temos que|Jn| →0.

Al´em disso,

1∼ Leb(X∩Jn)

Leb(Jn)

e Lebfn_(X_∩_J

n)

Lebfn_(J n)

= Leb(In∩X) Leb(In)

.

Como Leb(X∩Jn) Leb(Jn) ∼

1, ent˜ao Leb(X

c_∩_J n)

Leb(Jn) ∼

0.

O Teorema da mudan¸ca de variável que nos diz que: se h:U →V, um difeomorfismo de classe C1 _{entre os abertos} _{U, V} _⊂ _Rm_, _X _⊂_U _{um compacto} _J_{-mensurável e} _f _:_h(X)_→ _R uma fun¸cão integrável, então f◦h:X →R é integrável e

Z

h(X)

f(y)dy=

Z

X

f(h(x))· |det(h′(x))|dx.

Veja que como fs_|

Jn ´e difeomorfismo, temos que

fs_(Xc

∩Jn) = Xc∩fs(Jn),

pois,fs_(Xc_{) =}_Xc _e _fs_(J

n) =In.

Assim,

|fs_(Xc

∩Jn)|= Z

x∈fs₍_Xc_∩_J n)

dx=

Z

x∈(Xc_∩_J n)

|Dfs_(x)

(33)

Ergodicidade 23

Por outro lado, |In|

|Jn|

= |f

s_(J n)|

|Jn|

, mas Jn= (a, b). Portanto,

fs(Jn) = (fs(a), fs(b)) e |fs(Jn)|=|fs(a)−fs(b)|.

Assim,

|fs_(J n)|

|Jn|

= |f

s_(a)₋_fs_(b)_|

|a₋b_| . Pelo teorema do valor m´edio, existey _∈(a, b) tal que

|Dfs_(y)

|= |f

s_(a)

−fs_(b)

| |a−b| .

Logo,

|In|

|Jn|

= |f

s_(J n)|

|Jn|

=|Dfs(y)|.

Por essa raz˜ao, a equa¸c˜ao (_∗) pode ser escrita como:

|fs(Xc∩Jn)| = Z

x∈fs₍_Xc_∩_J n)

dx

=

Z

x∈(Xc_∩_J n)

|Dfs_(x)

|dx (2.1)

≤

Z

x∈(Xc_∩_J n)

K.|In|

|Jn|

dx

= K|In|

|Jn| Z

x∈(Xc_∩_J n)

(2.2)

= K|In|

|Jn||

Xc

∩Jn|,

isto ´e,

|fs_(Xc

∩In)| ≤ K|

In|

|Jn|

._|Xc

∩In|

|fs_(Xc_∩_J n)|

|In| ≤

K

|Jn|

.|Xc∩In|< Kε

como ε´e muito pequeno temos que:

|Xc

∩In|

|In|

= |f

s_(Xc

∩Jn|

|In|

≤ K|X

c_∩_I n|

|Jn|

(34)

Ergodicidade 24

isto significa que:

Leb(Xc_∩_I n)

Leb(In) ∼

0

e, portanto,

Leb(X_∩In)

Leb(In) ∼

1 (i).

Como Y ⊂[0,1] está nas mesmas condi¸cões de X, isto é, invariante com Leb >0, então para quase todo pontoy ∈Y

lim

ε→0

Leb(Bε(y)∩X)

Leb(Bε(y)) ∼

1.

Procedendo, de maneira an´aloga, obtemos tamb´em que

Leb(Y _∩In)

Leb(In) ∼

1 (ii).

Observando (i) e (ii), notamos que por (i)In ´e quase todo repleto deX e por (ii)In´e

(35)

Apˆ

endice A

Anexo

A.0.1 Shift

Seja X um espa¸co topológico. Denotemos por Σ(X) o conjunto das seqüências ψ :

Z→X e Σ+₍_X_{) o conjunto das seq¨}_uˆencias _ψ _:_N_→_X _{providos da topologia produto, isto ´e, a}

topologia gerada, no caso de Σ(X), pela base de abertos

{. . .X×X×An0 ×. . .×An1 ×X×X. . .kAj ´e aberto de X}.

J´a para o Σ+₍_X_{) a base ´e}

{A0×. . .×An×X×X. . .kAj ´e aberto de X}.

Quando_X ´e um conjunto finito com n elementos simplificamos a nota¸c˜ao escrevendo Σ(_X) = Σn, Σ+(X) = Σ+n e identificamos X como o conjunto {1, . . . , n} provido da topologia

discreta. Oshiftσ: Σ(_X)_→Σ(_X) é a transforma¸cão cont´ınua definida por (σψ)(n) =ψ(n+ 1). Pode-se mostrar que se X é um espa¸co métrico compacto então a topologia de Σ(X) ou de Σ+₍_X_{) é a mesma que topologia gerada pela a distância}

d(α, β) =

+∞

X

n=−∞

1

(36)

Anexo 26

em Σ(_X) ou

d(α, β) =

+∞

X

n=0

1

2|n|dX(α(n), β(n))

em Σ+₍_X_{), onde} _d

X ´e a distˆancia em X.

Observe que dois pontos, digamos α e β ∈ Σ+X, est˜ao pr´oximos se d(α, β) for

pe-queno e isto s´o acontece quando existe um k > 0 suficientemente grande tal que α(j) =

β(j), ∀0≤j < k. De fato, assumindok = min{j ≥0 k α(j)6=β(j)} temos dX(α(k), β(k))

2k ≤

d(α, β) _≤ diam(X)

2k−1 , onde diam(X) é o diâmetro de X (que é compacto), ou seja, diam(X) =

sup_{dX(x, y)k x e y∈X}.

Proposição A.1. Se f : R → R é dada por f(x) = 4tx(1− x) com t > 1, então f|Λ é

conjugada a σ : Σ+₂ _→Σ+₂, onde Λ =_{x_∈[0,1] _{k O}f(x)⊂[0,1]}

Demonstra¸cão. Segue do teorema de Mañe que Λ é um conjunto expansor para f. Logo, existem C >0 e λ >1 tais que Dfn_(x)_{> Cλ}n_{, para todo} _{n >}_{0 e todo} _x_∈_λ.

Veja quef−1_([0,_{1]) ´e a uni˜ao disjunta de dois intervalos fechados. Sejam 0 =} _a

1 < b1 <

a2 < b2 <= 1 os pontos do bordo def−1([0,1]), isto ´e, f−1([0,1]) = I1∪I2, ondeIk = [ak, bk] e

k = 1,2.

O itinerário dos pontos de Λ é a aplica¸cãoγ : Λ _→ Σ+₂ definida da seguinte maneira. Dado x _∈ Λ temos que para cada j _≥ 0 fj_{(x) pertence a algum} _I

k. Assim, defina o valor de

γ(x) no ponto j por

(γ(x))(j) =

(

1 se fj_(x)_∈_I

1

2 se fj_(x)_∈_I

2

Temos ent˜ao que fj_(x)_∈_I

(λ(x))(j) ∀ j ∈N.

Vamos agora definir uma aplica¸c˜ao de Σ+2 para Λ. Observe que fk−1 leva o intervalo

[0,1] difeomorficamente no intervaloIk. Al´em disto, comofs◦(fi0

−1

◦. . .◦fis

−1

)(x) =x temos

|D(fi0

−1_◦_{. . .}_◦_f

is

−1_)(x)_| _{< C}−1_λ−s _∀ _x _∈ _[0,_{1]. Desta maneira, dados quaisquer} _i

0, . . . , is ∈

{1, . . . , n_} teremos que Ii0,...,is =fi0

−1

◦. . ._◦fis

−1_([0,_{1]) ´e um intervalo de comprimento menor}

que C−1_λ−s _{e com a propriedade que se} _x _∈ _I

i0,...,is ent˜ao x ∈ Ii0, f(x) ∈ Ii1, . . . ,f

(37)

Anexo 27

quando s _→+_∞. Conseq¨uentemente T∞_s₌₀Iθ(0),...,θ(s) define um ´unico ponto xθ ∈[0,1]. Como

fs_(x

θ)∈Iθ(s) ∀ s temos n˜ao so que xθ ∈Λ como tamb´em que γ(xθ) =θ. Por outro lado como

é fácil verificar que γ é injetiva segue que Σ+

2 ∋θ 7→xθ ∈Λ ´e de fato a inversa de γ.

A continuidade de γ é clara pois pontos próximos tem os primeiros trechos de seus itinerários coincidentes, ou seja, (γ(x))(0) = (γ(y))(0), . . . ,(γ(x))(k) = (γ(y))(k) parakgrande. Também é fácil ver que se α e β _∈ Σ+₂ são próximos, ou seja, existe um k grande tal que α(0) = β(0), . . . , α(k) = β(k), então xα e xβ ∈ Iα(0),...,α(k) e logo xα é próximo a xβ, de fato,

|xα−xβ| < C−1λ−k. Assim, a continuidade de γ−1 também está assegurada. Em resumo, γ é

um homeomorfismo entre Γ e Σ+₂.

(38)

Referˆ

encias Bibliogr´

aficas

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