A Lógica de Predicados de 1a

Lógica de Predicados de 1a Ordem – Parte 1

A Lógica de Predicados de 1a _{Ordem (que pode ser chamada simplesmente de Lógica} de Predicados ou de Lógica de 1a _{Ordem) estende a Lógica Proposicional, deixando-a}

mais poderosa. Esta lógica estendida é a lógica é capaz de representar praticamente to-das as sentenças matemáticas com que estamos lidando neste curso.

Para ilustrar, considere a seguinte afirmação matemática: “Se x e y são pares, então x+y é par”. Como poderíamos representá-lo na Lógica Proposicional?

 Poderíamos assumir as seguintes “proposições”:

p: x é par

q: y é par

r : (x+y) é par

 Assim, a afirmação seria representada pela fórmula:

p  q  r

No entanto, há três problemas com a fórmula lógica acima, que a tornam inadequada para representar a afirmação desejada com fidelidade:

1. Ela não mostra a interligação que existe entre as proposições – todas as três proposições afirmam que alguma coisa “é par”, no entanto, isso não fica claro na fórmula lógica final!

2. Os valores-verdade de p, q e r não são bem-definidos porque eles depen-dem dos valores inteiros de x e y. Logo, p, q e r, bem como a fórmula final, não são “proposições” verdadeiras. Neste exemplo, se deseja afirmar algo que vale para todo valor inteiro possível de x e y, mas a Lógica Proposici-onal não consegue representar isso.

1. Predicados

A Lógica de 1a _{Ordem resolve o primeiro problema introduzindo o conceito de} predica-do. Um predicado é uma afirmação que depende de uma ou mais variáveis. Abaixo,

definimos alguns exemplos de predicados:

Par(a) representa “a é par”

Ímpar(a) representa “a é ímpar”

Primo(a) representa “a é primo”

Divide(x,y) representa “x é divisor de y” (ou “x divide y”)

Um predicado se torna uma proposição quando são atribuídos valores aos parâmetros (variáveis). Por exemplo:

Par(2) – (a proposição “2 é par”) é verdadeira

Par(3) – é falsa

Par(4) – é verdadeira

Primo(2) – é verdadeira

Primo(3) – é verdadeira

Primo(4) – é falsa

Divide(2,4) – é verdadeira

Divide(3,2) – é falsa

Divide(3,0) – é verdadeira

O predicado é como uma função que, ao receber os valores de entrada, retorna uma proposição (com um valor-verdade específico). Por isso, os predicados também podem

ser chamados de funções proposicionais. Veja que a própria notação é de função.

Podemos usar todos os operadores lógicos da Lógica Proposicional para formar fórmu-las diversas da Lógica de 1a Ordem. Se usarmos o predicado Par(a) definido logo aci-ma, poderemos reescrever a afirmação da introdução assim:

)

(

)

(

)

(

x

Par

y

Par

x

y

Par







Vamos tomar um exemplo de um problema mais informal, que analisamos antes com a Lógica Proposicional (na parte 3 daquele assunto), composto por estas três afirmações:

Alice vai à igreja.

Henrique vai à igreja.

Marcos vai à igreja.

Veja que temos três afirmações muito parecidas. No entanto, fomos obrigados a usar três variáveis proposicionais (a, h e m). No caso acima, poderíamos usar esse predicado ou função proposicional:

VaiIgreja(x) representa “x vai à igreja”

Assim, as três afirmações do início podem ser representadas simplesmente como:

VaiIgreja(Alice)

VaiIgreja(Henrique)

VaiIgreja(Marcos)

Agora, mais alguns exemplos de predicados ligados à Matemática:

Menor(x,y) representa “x é menor que y”

Divide(x,y) representa “x divide (é divisor de) y”

Menor(1,2) 1 (Verdade)

Menor(2,1) 0 (Falso)

Menor(2,2) 0

Divide(2,4) 1

Divide(4,2) 0

Divide(4,4) 1

Divide(3,6) 1

Divide(6,42) 1

Soma(1,2,3) 1 (porque 1+2=3)

Soma(2,2,5) 0 (porque 2+25)

Soma(3,2,5) 1 (porque 3+2=5)

Alguns exemplos de fórmulas mais elaboradas:

Menor(x,y)  Menor(y,z)  Menor(x,z)

Menor(a,b)  Soma (a,c,x)  Soma (b,c,y)  Menor(x,y)

As duas fórmulas acima são tentativas de representar dois axiomas dos inteiros (quais?).

Um predicado que, geralmente, tem um tratamento especial nas fórmulas da Lógica de 1a Ordem é o predicado “x é igual a y”, que costuma ser representado com a mesma notação da Matemática: x=y. Porém, aqui, ele está definido para qualquer tipo de objeto e não apenas objetos matemáticos.

Nesta disciplina, também vamos aceitar que outras relações matemáticas sejam repre-sentadas na notação convencional matemática. (Na verdade, toda relação matemática pode ser vista como um predicado). Então, fórmulas como x<y, xy, x|y e AB poderão aparecer dentro de fórmulas da Lógica de 1a Ordem com esta mesma notação. Assim, podemos reescrever o penúltimo exemplo dado assim:

2. Quantificadores

Os quantificadores da Lógica de 1a Ordem servem para expressar, em uma só fórmula, múltiplas afirmações feitas sobre todos os elementos de um dado conjunto. Este conjun-to pode ser chamado de universo de discurso ou domínio.

Por exemplo, no domínio dos naturais (N), podemos querer representar que “todo natu-ral pode ser par ou ímpar”. Vamos usar o predicado ParÍmpar(x) para representar que “x pode ser par ou ímpar”. Assim, o que queremos dizer é:

ParÍmpar(0) 

ParÍmpar(1) 

ParÍmpar(2) 

ParÍmpar(3) 

...

Neste caso, para realmente expressar o que queremos, precisaríamos de uma fórmula lógica infinita. Porém um dos quantificadores nos ajudará a criar uma fórmula finita na Lógica de 1a Ordem. Veremos adiante...

Estes são os dois quantificadores principais:

 Quantificador universal:



x



U

[

P

(

x

)]

o _{Afirma que “para todo x do domínio U, vale o predicado P(x)”}

o _{O símbolo é um “A” de cabeça para baixo (por conta da palavra inglesa “all”}

que quer dizer “todo”)

 Quantificador existencial:



x



U

[

P

(

x

)]

o _{Afirma que “existe (pelos menos) um x do domínio U que satisfaz P(x)”} o _{O símbolo é um “E” voltado para a esquerda (vem de “exists”)}

Essa fórmula pode ser lida como: “para todo x do conjunto N, é verdade o predicado ParÍmpar(x)”. Neste caso, ela representa uma afirmação verdadeira.

Para explicar o quantificador existencial, considere que você quer dizer que “existe um dos naturais que é primo e par”. Vamos usar o predicado PrimoPar(x) para representar que “x é um número primo par”. Neste caso, o que queremos afirmar é que:

PrimoPar (0) 

PrimoPar(1) 

PrimoPar(2) 

PrimoPar(3) 

...

Na Lógica de 1a Ordem, basta usarmos o quantificador existencial assim:

N x

 [PrimoPar(x)]

Essa fórmula pode ser lida como: “existe algum x no conjunto N, tal que é verdade o predicado PrimoPar(x)”. Trata-se de uma afirmação verdadeira (por conta do x=2).

Se o universo de discurso (ou domínio) estiver claro no contexto, é possível omiti-lo das fórmulas quantificadas, deixando-as assim:



x

P

(

x

)



x

P

(

x

)

 xPar(x)

Afirma que “todo inteiro é par”. É falsa.

 x





Afirma que “todo inteiro é divisível por 2 ou é ímpar”. É verdadeira.

 x





cau- x





Afirma que “existe um inteiro que é ímpar e é divisor de 2”. É falsa.

Agora podemos, enfim, representar a afirmação do início dessa nota de aula com exati-dão. Esta seria a fórmula que representa que “(para todos x e y inteiros) se x é par e y é par, então x+y é par”:



Par

(

x

)

Par

(

y

)

Par

(

x

y

)



Z

y

Z

x















Quando temos dois quantificadores iguais em seqüência, com o mesmo universo de discurso, podemos simplificar a fórmula assim, sem alterar o significado:



(

)

(

)

(

)



,

y

Z

Par

x

Par

y

Par

x

y

x











Um detalhe importante é que, quando há quantificadores de tipos distintos, a ordem em que eles aparecem interfere no significado da fórmula lógica. Ou seja, geralmente, fórmulas assim têm significados distintos:

(i)



x



y



P

(

x

,

y

)



(ii)



y



x



P

(

x

,

y

)



Por exemplo, considerando que o universo de discurso é o conjunto de todas as pessoas e que P(x,y) representa “x é amigo de y”, as duas fórmulas acima representariam estas duas afirmações:

(i) “todo mundo tem algum amigo”

(ii) “existe alguém que todo mundo é amigo dele”

Agora, vamos dar um exemplo matemático considerando o universo de discurso N e considerando o predicado P(x,y) como “xy”. Neste caso, teríamos estas duas fórmulas:

(i)



x



y

(

x



y

)

natu-Se você entendeu este último exemplo, tente responder: Quais seriam os valores-verdade dessas duas fórmulas se mudarmos o universo para Z? E se mudarmos o predi-cado para “x>y”? E se mudarmos as duas coisas?

3. Funções

Outra “novidade” na Lógica de 1a _{Ordem é que são permitidas funções quaisquer, com} qualquer domínio e qualquer contra-domínio. Vamos representá-las sempre com nomes começando com minúsculas. Alguns exemplos de funções que podem ser usadas se-guem abaixo:

pai(x) representa “a pessoa que é pai biológico de x”

está(x) representa “o lugar onde x está”

sucessor(x) representa “o sucessor de x (ou seja,o valor x+1)”

Naturalmente, a função só serve para o caso em que o objeto definido por ela é único para cada entrada dada. Assim, não podemos criar uma função avô(x) porque cada pes-soa tem mais de um avô biológico. Neste caso, teríamos que usar um predicado

Avô(x,y) para dizer que “y é um avo de x”.

Em geral, funções servem para facilitar a representação de algumas afirmações. Por exemplo, analise as seguintes fórmulas e tente explicar o que elas afirmam:

y

x

,



y

x

,



y

x

,



Por permitir funções, é possível usar, nas fórmulas lógicas, todos operadores matemáti-cos que vimos, tais como +, –, , mod, div,  e , pois todos eles são funções (que re-cebem um par e retornam um valor). Se desejássemos ser rigorosos com a sintaxe das fórmulas, essas operações precisariam ser também representadas com nomes tais como:

soma(x,y) representa “x+y” (o resultado)

união(x,y) representa “x  y” etc.

Porém, vamos aceitar que os operadores matemáticos mais conhecidos sejam represen-tados com a notação convencional dentro das fórmulas da Lógica de 1a Ordem. (Na ver-dade, já fizemos isso em alguns exemplos das seções anteriores, em que usamos o ope-rador +). Agora, seguem dois exemplos de fórmulas mais elaboradas usando funções e relações matemáticas diversas. Tente interpretar o significado delas:











3

1

3

2

1

(mod

9

)



3

1

)

(

)

(

,









































x

k

x

k

x

Z

k

Z

x

x

y

x

y

y

Ímpar

x

Par

Z

y

x

A partir de agora, observe toda afirmação matemática desta disciplina em termos da Lógica de Predicados. Tente observar, em toda afirmação, como cada variável é quanti-ficada (“para todo x” ou “existe x”?). Veremos, mais adiante, como o quantificador da afirmação vai afetar as demonstrações.