I – A distância entre F1 eF

ELIPSE

Introdução:

Você aprendeu quando criança que o nosso planeta Terra gira em torno do Sol, em

um movimento chamado translação e que o mesmo é responsável pelas estações

do ano: primavera, verão, outono e inverno. Talvez você já tenha até ouvido falar

que a forma do caminho que a Terra faz no movimento de translação é de uma

elipse tendo o sol em um dos focos.

Mas o que é mesmo uma elipse?

Pois é, neste texto você vai ficar conhecendo o que é uma elipse, suas propriedades

e aplicações.

Vamos começar o nosso estudo com o problema:

“Dados dois pontos F1 e F2 de um plano , determine geometricamente o conjunto

dos pontos P do plano  tais que d(P, F1)+ d(P, F2)=10.”

A solução desse problema depende da posição dos pontos F1 e F2. Para obtê-la considere as seguintes possibilidades:

I – _{A distância entre F1 e F2 é igual à zero, ou seja, d(F1, F2) = 0.}

Solução:

Nesse caso, os pontos F1 e F2 coincidem e qualquer que seja o ponto P do plano 

tem-se que d(P, F1) = d(P, F2).

Como a soma dessas distâncias é igual a 10, cada uma deve

ser igual a cinco. Observe a figura 01. Ora, todos os pontos do

círculo de centro em F1 e raio cinco satisfazem à condição do

problema. De fato, se P pertence a esse círculo então:

d(P, F1)+d(P, F2)=10.

Além disso, se Q é um ponto que está dentro ou fora desse círculo não satisfaz a

II – _{A distância entre F1 e F2 é igual ao número 10.}

Solução:

Observe a figura 02. Verifique que se P é um ponto do segmento F1F2 então a soma

d(P, F1)+d(P, F2) = 10. De fato, d(P, F1)+d(P, F2) = d(F1, F2) e d(F1, F2) é igual a dez.

Assim, todo ponto P que pertence ao segmento F1F2 satisfaz a condição do

problema.

Por outro lado, se um ponto Q não pertence ao segmento F1F2 tem-se que:

d(Q, F1)+d(Q, F2) > 10. Observe a figura 02.

Logo, você pode concluir que a solução do problema para esse caso é o segmento

F1F2.

III – _{A distância entre F1 e F2 é maior que o número 10.}

Solução:

Considere que d(F1, F2) é igual a doze, por exemplo. Observe a figura 03, veja que

para todo ponto P do plano  tem-se d(P, F1)+d(P, F2) > 10.

IV – _{A distância entre F1 e F2 é menor que o número 10.}

Solução:

Considere d(F1, F2) é igual a oito, por

exemplo. Inicie traçando um círculo de

centro em F1 e raio um. Esse círculo

representa todos os pontos do plano 

que estão à distância um do ponto F1.

Para que um ponto P seja solução do

problema a distância de P a F2 deve ser

igual a nove, assim a soma

10 ) F , P ( d ) F , P (

d 1  2  . Daí, você deve

traçar um outro círculo de centro em F2 e

raio nove. Esses dois círculos se interceptam? Claro que sim!

A figura 04 ilustra esse fato. O ponto V1 interseção desses círculos é tal que

10 9 1 ) F , V ( d ) F , V (

d ₁  ₂    . Assim, V1 satisfaz a condição do problema e, portanto

faz parte do conjunto solução. Tente achar outros pontos do conjunto solução

variando os valores dos raios desses círculos de modo que satisfaça a condição do

problema.

Ligando todos os pontos soluções do problema você obterá uma curva chamada

A solução do problema acima nos faz entender melhor a definição a seguir.

Definição 1:

Em um plano α, considere dois pontos F1 e F2 tais que d(F₁,F₂)2c , c> 0. O conjunto dos

pontos P do plano α tais que, a 2 ) F , P ( d ) F , P (

d ₁  ₂  , a > 0,

chama-se Elipse de focos F1 e F2.

Elementos principais da Elipse:

Os pontos F1 e F2 são os focos da elipse e a reta que passa pelos focos é o eixo

focal. O ponto médio do segmento F1F2 chama-se centro. Na figura 07 o centro

está representado pela letra C. Observe que as distâncias d(F1,C) e d(F2,C) são

iguais a c.

A reta que passa pelo centro C e é perpendicular ao eixo focal chama-se eixo

normal.

Os pontos V1 e V2 interseções do eixo focal com a elipse são chamados vértices. As

cordas focais AB e DE, que são perpendiculares ao eixo focal chamam-se latus

rectum. A razão a c

e é denominada excentricidade. Na elipse, essa razão é

Fatos que você deve lembrar:

 A constante a é sempre maior que a constante c.

 Os focos não são pontos da elipse.

 Um foco pode não ser o ponto médio entre um vértice e o centro.

Equações reduzidas da Elipse

Para deduzir as equações reduzidas da elipse inicie traçando o sistema cartesiano

formado pelos eixos x e y, que se interceptam na origem O.

Considere que a elipse possui centro na origem do sistema, ou seja, C(0,0). E que o

eixo focal da mesma coincide com o eixo Ox. Veja figura 08.

Seja P um ponto da elipse que se

movimenta sobre a mesma. Nesse

movimento as coordenadas de P

variam, por isso, considere que P

possui coordenadas (x,y), onde x e y

são variáveis.

Como o ponto P é um ponto da elipse

ele satisfaz a condição:

a 2 ) F , P ( d ) F , P (

d ₁  ₂  .

Utilizando a fórmula de distância entre dois pontos você pode obter a equação a

seguir: a 2 ) 0 y ( ) c x ( ) 0 y ( ) c x

(  2  2   2  2 

_.

Você deve eliminar um radical de cada vez, por isso isole um deles em um dos

membros da equação, por exemplo,

2 2 2 2 y ) c x ( a 2 y ) c x (      

Agora eleve ambos os membros ao quadrado para obter,

2 2 2 2 2 2 2 y ) c x ( y ) c x ( a 4 a 4 y ) c x (         

Desenvolvendo os quadrados da soma e da diferença você obterá a equação,

2 2 2 2 2 2 2 2 2 y c cx 2 x y ) c x ( a 4 a 4 y c cx 2

x           

Reduza agora os termos semelhantes, transformando a equação anterior em,

 

 

c) y 4a 4cx

x ( a

4 2 2 2









cx a y ) c x (

Continuando,





2 x c cx a 2 a y c cx 2 x

a      

2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 x c cx a 2 a y a c a cx a 2 x

a      

2 2 4 2 2 2 2 2 2 x c a y a c a x

a     2 2 2 2 2 2 4 2 2

c a a y a x c x

a    











c a a y a x c

a    

Lembre-se que a é maior que c, assim, a2_c2 _0

. Pode-se então dizer que

2 2

2 _{c b}

a   . Substituindo na equação anterior, você obtém,

2 2 2 2 2 2 b a y a x

b   .

Como as constantes a e b são maiores que zero o produto a2b2 é diferente de zero.

Assim, você pode dividir ambos os membros da equação acima por esse produto e

obter a equação:

1 b y a x 2 2 2 2  

A equação acima é conhecida como equação reduzida da elipse de centro C(0,0) e

eixo focal Ox.

Uma outra possibilidade é a elipse de centro na origem C(0,0) e o eixo focal

coincidindo com o eixo Oy, veja figura 09.

De modo análogo ao caso anterior você pode

obter a equação da elipse utilizando a definição,

ou seja, d(P,F₁)d(P,F₂)2a. Usando a

fórmula de distância entre dois pontos você

pode obter a equação a seguir:

a 2 ) c y ( ) o x ( ) c y ( ) o x

(  2  2   2  2 

_.

Proceda de modo semelhante ao caso anterior

e obtenha a equação:

1 a y b x 2 2 2 2   .

Essa equação é conhecida como equação reduzida da elipse de centro C(0,0) e

Resumindo temos dois tipos de equações de Elipse de centro C(0,0):

 Eixo focal Ox: 1 b y a x

2 2 2 2







2 2 2 2







Observações:

Observando as duas equações reduzidas acima podemos concluir:

 A elipse é simétrica em relação aos seus eixos focal e normal.

 O eixo focal da elipse coincide com o eixo da variável que aparece com maior

denominador (a2) na equação reduzida da mesma.

A distância de entre os focos F1 a F2 sabemos que é 2c, mas quanto será a distância

entre os vértices V1 e V2?

Para responder a esse pergunta considere uma elipse de centro C(0,0) e eixo focal Ox. Observe inicialmente que os vértices são pontos do eixo Ox e daí as ordenadas desses pontos são iguais a zero. Então você pode escrever: V1(x,0). Resta determinar o valor da abscissa x. Lembre-se que o vértice V1 é um ponto da elipse, assim você pode substituir as suas coordenadas na equação

:

1 b 0 a x

2 2 2 2

 

a x 1 a x 2 2

   

Daí, as coordenadas

dos vértices são

) 0 , a (

V1 e V2(a,0).

Consequentemente, a

distância entre V1 e V2

é igual a 2a.

Você pode proceder de modo análogo para determinar as coordenadas de B1 e B2.

Agora esses pontos pertencem ao eixo Oy e daí as suas abscissas são iguais a

zero. Assim, B1(0,y), como B1 é também um ponto da elipse substituindo as suas

coordenadas na equação



y a 0

2 2 2 2

   

 .

Então, B₁(0,b) e B₂(0,b)e, portanto a distância entre B1 e B2 é igual a 2b.

Lembra que a medida do latus rectum da parábola é 4p? E quanto será que mede o

comprimento do latus rectum da elipse?

Para responder a essa pergunta observe novamente a figura 10. Veja que o ponto E

é uma extremidade de um dos latus rectm da elipse. O ponto E é também um ponto

da elipse e possui coordenadas (c,y). Para determinar o valor de y você pode

substituir as coordenadas desse ponto na equação



2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2

a c a b y a c 1 b y 1 b y a

c _{      } 

Lembre-se que _a2_c2 _b2_{, então:}

a b y a b y a b b

y 2

2 4 2 2 2 2 2

    

 .

Daí, o ponto E possui coordenadas _     

a b , c

2

. E consequentemente, o comprimento da

cada latus rectum é igual a a b 2 2

.

Sintetizando:

 O eixo maior da elipse mede 2a, ou seja, V1V2 2a.

 O eixo menor da elipse mede 2b, ou seja, B1B2 2b.

 O comprimento do latus rectum é igual a a b 2 2

.

Exemplos

1. Determine uma equação reduzida da elipse de centro C(0,0), vértice V(-5,0) e

foco F(4,0).

Solução:

Lembre-se que você deve começar marcando os dados do problema no plano

cartesiano. Veja a figura 12.

Sabemos que o eixo focal passa pelo

centro e pelo foco, daí o eixo focal

dessa elipse coincide com o eixo Ox.

Daí a sua equação é do tipo

1 b y a x

2 2 2 2

 

Pelo esboço, você pode determinar a constante a que é igual à distância do Vértice V ao centro C, assim, a = 5.

Por outro lado, a distância do foco F ao centro é igual à constante c, logo c = 4.

Lembre-se também que _a2_c2 _b2_{. Então b}2 _{25169.}

Logo, a elipse possui equação: 1 9 y 25

x2 _ 2 _ .

2. Determine uma equação reduzida da elipse de centro C(0,0), vértice V(0,-8) e excentricidade e =1/2.

Solução:

Observe a figura 13 que traz um esboço com os dados do

problema. O eixo focal coincide agora com o eixo Oy, pois

esse eixo passa pelo vértice e pelo centro. Daí a equação

dessa elipse é do tipo 1 a y b x

2 2 2 2



 .

Ainda pelo esboço, você consegue determinar o valor da

constante a, que é igual a distância do vértice V ao centro

Por outro lado, lembre que a excentricidade é a razão a c

e e é dado que a

excentricidade é igual a ½. Daí, 2 1 a c _

.

Substituindo o valor de a nessa igualdade você obtém: c 4 2

1 8

c _{  } .

Para determinar o valor da constante b utilize a igualdade a2c2 b2.

Assim, b2 _64_16_48_.

Logo, a elipse possui equação: 1 64 y 48 x2 2



 .

3. Determine os elementos principais da elipse 1 64 y 100

x2 _ 2 _

e faça um esboço da

mesma.

Solução:

O eixo focal dessa elipse coincide com o eixo Ox, pois x é a variável que aparece

com o maior denominador na sua equação reduzida. Além disso, observe que

100

a2_{ , daí a =10. Observe também que b}2 _{64 e assim, b = 8. Aplique a}

igualdade _a2 _c2 _b2 _{para obter a constante c. Ou seja, c}2 _{1006436, daí a} constante c = 6.

Agora comece o esboço marcando o cento, os vértices e os focos sobre o eixo Ox,

que é o eixo focal e os pontos B1 e B2 sobre o eixo Oy que é o eixo normal.

Lembre-se:

 Para marcar os vértices conte 10 unidades (a=10) a partir do centro sobre o eixo Ox: para direita marque V1 e para esquerda marque V2.

 Para marcar os focos conte 6 unidades(c=6) a partir do centro sobre o eixo

Ox: para direita marque F1 e para esquerda marque F2.

 Para marcar as extremidades do eixo menor conte 8 unidades(b=8) a partir do centro sobre o eixo Oy: para cima marque B1 e para baixo marque B2.

Utilize a fórmula a b 2 2

Assim, a medida de cada latus rectum é igual a 12,8 10

64 2 _

. Volte a observar a

figura 11, para marcar as extremidades dos latus rectum AB e DE.

Ligue todos os pontos que você marcou e obterá um esboço da elipse. Finalize

calculando a excentricidade

4 3 8 6 a c

e   .

A figura 14 apresenta um esboço dessa elipse.