Monitoramento das médias de um processo bivariado por gráficos de controle por atributos e/ou variáveis

Texto

(1)Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro de Ciências Exata e da Terra Programa de Pós-Gradua¸caõ em Matemática Aplicada e Estat´ıstica. Moiz´ es da Silva Melo. Monitoramento das m´ edias de um processo bivariado por gr´ aficos de controle por atributos e/ou vari´ aveis. Natal - RN Fevereiro de 2016.

(2) Moizés da Silva Melo. Monitoramento das m´ edias de um processo bivariado por gr´ aficos de controle por atributos e/ou vari´ aveis. Trabalho apresentado ao Programa de P´ os-Gradua¸ca õ em Matem´ atica Aplicada e Estat´ıstica da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, em cumprimento com as exigˆ encias legais para obten¸c˜ ao do t´ıtulo de Mestre.. ´ Area de Concentra¸c˜ ao: Probabilidade e Estat´ıstica. Orientador:. Prof. Dr. Pledson Guedes de Medeiros Coorientadora:. Profa . Dra . Linda Lee Ho. Natal, Fevereiro de 2016.

(3) Moizés da Silva Melo. Monitoramento das m´ edias de um processo bivariado por gr´ aficos de controle por atributos e/ou vari´ aveis Trabalho apresentado ao Programa de P´ os-Gradua¸ca õ em Matem´ atica Aplicada e Estat´ıstica da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, em cumprimento com as exigˆ encias legais para obten¸c˜ ao do t´ıtulo de Mestre.. ´ Area de Concentra¸c˜ ao: Probabilidade e Estat´ıstica. Aprovado em:. /. /. Banca Examinadora:. Prof. Dr. Pledson Guedes de Medeiros Departamento de Estat´ıstica - UFRN Orientador. Profa . Dra . Linda Lee Ho Departamento de Engenharia de Produ¸c˜ ao - Poli/USP Coorientadora. Prof. Dr. Andr´ e Lu´ıs Santos de Pinho Departamento de Estat´ıstica - UFRN Examinador Interno. Prof. Dr. Roberto da Costa Quinino Departamento de Estat´ıstica - UFMG Examinador Externo.

(4) Catalogação da Publicação na Fonte Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN Sistema de Bibliotecas - SISBI Melo, Moizés da Silva. Monitoramento das médias de um processo bivariado por gráficos de controle por atributos e/ou variáveis / Moizés da Silva Melo. - Natal, 2016. v, 92f: il. Orientador: Prof. Dr. Pledson Guedes de Medeiros. Coorientadora: Profa. Dra. Linda Lee Ho. Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de Ciências Exatas e da Terra. Programa de PósGraduação em Matemática Aplicada e Estatística.. 1. Controle estatístico de processos. 2. Vetor de médias. 3. Inspeção por atributos e por variáveis. 4. Gráfico MaxD. 5. Gráfico de controle combinado. I. Medeiros, Pledson Guedes de. II. Ho, Linda Lee. III. Título..

(5) Agradecimentos Em primeiro lugar, agrade¸co à Deus, pois sem Ele esta jornada não seria cumprida. ` minha fam´ılia, em especial minha mãe, Joseja, meu pai, Francisco e meus irmãos, A John Lennon e Moizaniel, pelo amor, carinho, e principalmente porque não mediram esfor¸cos para que eu pudesse chegar até aqui. ` minha namorada, La´ıs, pelo amor, carinho, companherismo, incentivo e pelo consA tante apoio, que foi imprescind´ıveis principalmente durante a etapa final da elabora¸caõ deste trabalho. Aos colegas e amigos pela amizade e companherismo. Ao meu orientador, Prof. Dr. Pledson Guedes de Medeiros pelos ensinamentos transmitidos, competência e aten¸cão nas revisões e sugestões, fatores cruciais para a conclus¸cao deste trabalho. ` minha coorientadora , Profa . Dra . Linda Lee Ho pelas valiosas sugestões durante A a elabora¸cão dessa pesquisa. Aos professores que participaram da banca examinadora, pelas cr´ıticas e sugestões que certamente contribu´ıram para melhorar o conte´ udo deste trabalho. Aos demais professores do PPGMAE/UFRN, com quem tive a oportunidade de conviver e aprender. Ao Departamento de Estat´ıtica, por terem colaborado com a minha forma¸caõ. ` CAPES, pelo apoio financeiro. A.

(6) Resumo. A alta variabilidade de um processo está diretamente relacionada a` sua má qualidade, portanto, reduzi-la é a maneira de melhorar o processo. Os métodos estat´ısticos são utilizados como ferramentas para a melhoria dos processos de qualidade e entre eles, os gráficos de controle são os mais eficientes e empregados. Esta disserta¸cão propõe dois novos gráficos de controle para monitorar o vetor de médias de um processo bivariado. O primeiro, chamado de M axD, emprega um gráfico por atributos. O procedimento consiste em inspecionar e classificar, através dos limites discriminantes, cada unidade da amostra como aprovada ou reprovada. Os limites discriminantes são ajustados de tal forma que tem-se uma fra¸caõ especificada de unidades reprovadas quando o processo está sob controle. Em seguida o n´ umero de unidades reprovadas é plotado no gráfico, e caso seja maior que o limite de controle, o processo é parado para ajuste. O segundo gráfico utiliza os gráficos M axD e T 2 . Este procedimento consiste em dividir uma amostra de tamanho n em duas partes (n1 e n2 ), determinadas por um processo de otimiza¸cão. As unidades da primeira subamostra são avaliadas por atributos e plotadas no gráfico de controle M axD. Caso seja detectada a presen¸ca de alguma causa especial, inspeciona-se a subamostra de tamanho n2 por variáveis por meio do gráfico T 2 . O procedimento é interrompido para ajuste se a presen¸ca de alguma causa especial for detectada em ambos os gráficos de controle. A possibilidade de não inspecionar todos os itens da amostra pode promover uma redu¸caõ tanto no custo quanto no tempo de inspe¸caõ. A análise de desempenho foi realizada comparando o n´ umero médio de amostras até o alarme verdadeiro (N M A1 ). Verificou-se que os gráficos propostos apresentam desempenho satisfatório e são concorrentes com o gráfico T 2 . Os resultados foram obtidos com o aux´ılio do software estat´ıstico R.. Palavras-chave: Vetor de médias; inspe¸caõ por atributos e por variáveis; gráfico M axD; gráfico de controle combinado M axD − T 2 .. ii.

(7) Abstract. The high variability of a process is directly related to the low quality of it, so that reducing its variability is the way to improve the process. The statistical methods are used as tools for the improvement of the quality process and among them, the control charts are efficient and most employed. This dissertation proposes two new control charts to monitor the mean vector of the bivariate process. The first one, named as M axD, uses a chart by attributes. The procedure consists of inspection and sorting of each sample unit as approved or reproved through the discriminant limits. The discriminant limits are set such a way that it has a specified fraction of reproved units when the process is under control. Then the number of reproved units is plotted on the control chart, and if it is higher than the control limit, the process is stopped for adjustment. The second chart uses the control charts M axD e T 2 . Such a procedure consists of dividing a sample of size n into two parts (n1 e n2 ) determined by an optimization process. The units of the first subsample are evaluated by attributes and plotted on the control chart M axD. If the presence of some special cause is detected, the subsample of size n2 is inspected on the control chart T 2 by a monitoring variable. The procedure is interrupted to adjust if the presence of a special cause is detected in both control charts. The possibility of not inspect all sample items can promote a reduction in both the cost and the time of inspection. The performance analysis was performed by comparing the out of control average run length (ARL1 ). It was found that the proposed control charts presented a satisfactory performance and are competing with the control chart T 2 . The results were obtained with the help of statistical software R.. Keywords: Mean vector; inspection by attributes and variables; control chart M axD; combined control chart M axD − T 2 .. iii.

(8) Sum´ ario 1 Introdu¸c˜ ao 1.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Descri¸caõ dos cap´ıtulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Controle Estat´ıstico de Processo 2.1 Introdu¸caõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Conceitos Básicos . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Gráficos de Controle . . . . . . . . . . . . 2.4 Teste de Hipóteses e Gráficos de Controle . 2.5 Planejamento do Gráfico de Controle . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. 1 3 3 5 5 5 7 8 10. 3 Gr´ afico de Controle 3.1 Introdu¸caõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Gráfico de Controle Univariado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Gráfico npx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Gráfico de Controle Multivariado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Distribui¸caõ Normal Multivariada . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Estima¸caõ do Vetor de Médias e da Matriz de Variância-Covariância 3.3.3 Gráfico de Controle de T 2 de Hotelling . . . . . . . . . . . . . .. 11 11 11 13 16 17 19 20. 4 Gr´ afico de Controle por atributos para monitorar um vetor de M´ edias de um Processo Bivariado 4.1 Introdu¸caõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Planejamento do Gráfico de Controle Proposto . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Desempenho do Gráfico de Controle Proposto . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Exemplo Numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23 23 24 27 35. iv.

(9) 5 Gr´ afico de Controle Combinado Para Monitoramento do Vetor M´ edias de um Processo Bivariado 5.1 Introdu¸caõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Gráfico de Controle Combinado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Uma Combina¸caõ dos Gráficos M axD e T 2 . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Planejamento do Gráfico M axD - T 2 . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Otimiza¸cão do Processo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3 Estudo Comparativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. de . . . . . .. 37 37 37 40 40 44 46. 6 Conclus˜ oes e Sugest˜ oes Para Pesquisas Futuras 6.1 Sugestões Para Pesquisas Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 53 54. Referˆ encias Bibliogr´ aficas. 54. A Demonstra¸co ˜es A.1 Probabilidade β do gráfico M axD − T 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 59 59. B Resultados. 60. v.

(10) Cap´ıtulo 1 Introdu¸ c˜ ao Desde o surgimento da revolu¸caõ industrial até os dias atuais é crescente a produ¸caõ em larga escala. Como consequência disso é cada vez maior a preocupa¸cão em monitorar e controlar a qualidade de um produto. Atualmente, com a grande concorrência existente no mercado, as empresas buscam de todas as maneiras métodos mais rigorosos para controlar a qualidade de seus produtos e/ou servi¸cos com o objetivo de serem mais competitivas. Essa busca por métodos mais rigorosos de controle de qualidade conduziu ao desenvolvimento de técnicas estat´ısticas aplicáveis ao ambiente industrial e/ou empresarial. Uma dessas técnicas estat´ısticas que se tornou indispensável foi o Controle Estat´ıstico de Processo (CEP). Apresentado inicialmente por Shewhart (1925), o controle estat´ıstico de processo tem como objetivo estabelecer, melhorar e assegurar a qualidade de uma produ¸cão, atuando em todas as fases do processo produtivo. E para tais fins, a principal ferramenta utilizada é o gráfico de controle (MONTGOMERY, 2004). O gráfico de controle criado por Shewhart é uma ferramenta simples de monitoramento de processo que não demanda recursos computacionais, tornando-se ideal para a época que surgiu. Porém, a crescente disponibilidade de suporte computacional, e o aumento da complexidade e dos n´ıveis de automa¸caõ dos processos industriais fizeram crescer o interesse pelo monitoramento simultâneo de várias caracter´ısticas de qualidade, também chamadas de variáveis do processo (LOWRY; MONTGOMERY, 1995). Inicialmente, foram utilizadas várias cartas univaridas de Shewhart simultaneamente e de forma independente para monitorar várias caracter´ısticas de qualidade, ver Montgomery (2004). Contudo, esse modelo torna-se inviável quando a quantidade de caracter´ısticas de qualidade é grande. Hotelling (1947) propôs um gráfico para monitorar, simultaneamente, duas ou mais caracter´ısticas de qualidade. A estat´ıstica de teste do gráfico incorpora a correla¸caõ 1.

(11) 2 entre as variáveis. Esse gráfico ficou conhecido como gráfico T 2 de Hotelling e, desde que foi criado, passou a ser a ferramenta estat´ıstica mais utilizada no monitoramento do vetor de médias de duas ou mais caracter´ısticas de qualidade correlacionadas. Nas u ´ltimas décadas, tanto a elabora¸caõ de gráficos mais eficientes como de estratégias que visam melhorar o desempenho dos gráficos já existentes vêm sendo continuamente desenvolvidas. Westgard et al. (1977), Lucas (1982) e Sampaio, Ho e Medeiros (2014) propuseram e mostraram, em seus respectivos trabalhos, que a combina¸caõ de tipos diferentes de gráficos de controle, para monitorar a média de um processo, é um procedimento que pode melhorar a eficiência do monitoramento. No trabalho de Sampaio, Ho e Medeiros (2014) é apresentado um procedimento combinado que une os gráficos X e npx a fim de monitorar a média de um processo. O procedimento alcan¸cou o objetivo de concorrer e, em geral, superar o uso isolado do gráfico X, e não só do ponto de vista estat´ıstico, mas também econômico. O custo associado a` inspe¸caõ do procedimento combinado mostrou-se, muitas vezes, inferior ao uso apenas do gráfico X. Motivado pelo crescente n´ umero de pesquisas na a´rea e pela importância dessa ferramenta no monitoramento de processos industriais, inicialmente, neste trabalho, foi proposto um novo gráfico de controle, chamado de gráfico M axD, que emprega uma inspeçcaõ por atributos (inspecionar se uma unidade está aprovada ou reprovada) para monitorar um vetor de médias de processos bivariados. A constru¸caõ desse gráfico tem por base a distribui¸caõ binomial bivariada. Wu et al. (2009) apresentaram um novo gráfico de controle, chamado gráfico npx , capaz de monitorar a média de um processo por meio de uma inspe¸cão por atributos. Ho e Costa (2015) propuseram duas cartas de Shewhart, denotados gráficos npxy e npw , que também usam a inspe¸cão por atributos para controlar o vetor de médias de processos bivariados. Neste trabalho também é proposto um novo procedimento combinado, que une os gráficos M axD e T 2 com o propósito de monitorar as médias de um processo bivariado. Este procedimento é uma extensão, para processos bivariados, do procedimento proposto por Sampaio, Ho e Medeiros (2014). Esse gráfico utiliza tanto a inspe¸caõ por atributos (por parte do gráfico M axD) quanto a inspe¸cão por variáveis (por parte do gráfico T 2 ). O procedimento consiste em dividir a amostra em duas partes, em que o tamanho de cada uma é determinadas por um processo de otimiza¸cão. Cada subamostra é utilizada em um dos gráficos que integram o procedimento combinado para o cálculo das respectivas estat´ısticas amostrais. A vantagem desse procedimento, explicado com maiores detalhes no Cap´ıtulo 5, é que ele é capaz de fornecer informa¸cões para a decisão inferencial usando apenas a inspe¸caõ por atributos, quando esta não.

(12) 1.1 Objetivos. 3. sinaliza um desajuste, não havendo necessidade de proceder a inspe¸cão por variáveis. Cabe ressaltar que neste trabalho é usado, como nota¸caõ de quantidades numéricas, o ponto para separar unidades e décimais, em concordância com nota¸caõ usada em publica¸co˜es internacionais.. 1.1. Objetivos. O presente trabalho tem como objetivo principal propor dois novos gráficos de controle capazes de monitorar um vetor de médias de um processo bivariado: gráfico M axD e gráfico combinado. Os objetivos espec´ıficos deste trabalho são os seguintes: • Revisar a literatura sobre CEP e gráficos de controle, suas peculiaridades e aplica¸co˜es; • Desenvolver a metodologia de constru¸caõ e avalia¸caõ dos dois gráficos propostos; • Criar e descrever um processo de otimiza¸cão para o gráfico combinado bivariado; • Comparar a eficiência dos gráficos propostos com os gráficos npxy e T 2 . • Verificar o desempenho dos gráficos quando há o efeito da correla¸cão entre as variáveis.. 1.2. Descri¸c˜ ao dos cap´ıtulos. Este trabalho está estruturado em cinco cap´ıtulos. Neste primeiro cap´ıtulo foi apresentado um breve histórico sobre CEP e gráficos de controle, as justificativas para a escolha do tema, os objetivos, seu caráter inédito e a seguir descreve-se a organiza¸caõ do texto. O Cap´ıtulo 2 é dedicado ao controle estat´ıstico de processo. São apresentados os conceitos básicos, uma visão geral sobre os gráficos de controle, a inferência estat´ıstica associada aos gráficos de controle e o planejamento desta ferramenta. O Cap´ıtulo 3 é dedicado aos gráficos de controle univariados e multivariados, apresentando de forma detalhada algumas defini¸co˜es importantes dentro do contexto de interesse. No Cap´ıtulo 4 é apresentada a primeira proposta deste trabalho, o gráfico M axD. Nesse cap´ıtulo é descrito com detalhes o novo gráfico, bem como apresentados os resultados e a compara¸caõ do desempenho do gráfico proposto com os gráficos T 2 e npxy ..

(13) 1.2 Descri¸cão dos cap´ıtulos. 4. O Cap´ıtulo 5 apresenta a proposta de combinar dois gráficos para monitorar um processo bivariado. Explica-se como utilizar o procedimento combinado, como escolher o tamanho das subamostras e relata-se como ocorre o processo de otimiza¸caõ que encontra os parâmetros o´timos do gráfico. O Cap´ıtulo 6 traz conclusões e sugestões para pesquisas futuras..

(14) Cap´ıtulo 2 Controle Estat´ıstico de Processo 2.1. Introdu¸c˜ ao. Shewhart (1925) foi o pioneiro na a´rea de controle estat´ıstico de processo tendo apresentado, pela primeira vez, um gráfico de controle para monitorar o percentual de defeitos em um processo de produ¸cão na Bell Telephone Laboratories. Pouco depois ele estendeu a ideia do gráfico para controlar a média e o desvio padrão de um processo. Por sua facilidade de implementa¸caõ e análise, essa ferramenta foi amplamente utilizada pela ind´ ustria. Neste cap´ıtulo serão apresentados os conceitos básicos de controle estat´ıstico de processo, dando enfoque maior para os gráficos de controle.. 2.2. Conceitos B´ asicos. A variabilidade é um fator que está altamente ligada a qualidade, ela torna quase imposs´ıvel produzir dois produtos idênticos. Shewhart percebeu que a qualidade e a variabilidade são caracter´ısticas antagônicas, ou seja, onde existir muita variabilidade, haverá pouca qualidade e vice-versa. Isso fez Shewhart entender que para gerar produtos com qualidade era necessário medir, analisar e monitorar a variabilidade do produto ou servi¸co. A variabilidade do processo está relacionada a dois tipos de causas: as comuns e as especiais. A variabilidade provocada por causas comuns, também conhecida como variabilidade natural, é inerente ao processo e estará sempre presente mesmo que todas as opera¸cões sejam executadas empregando métodos padronizados. Quando um processo está operando de maneira natural, ou seja, sem causas especiais de variabilidade presentes, é dito estável ou sob controle estat´ıstico. Louren¸co Filho (1976) afirma que 5.

(15) 2.2 Conceitos Básicos. 6. as causas comuns não provocam altera¸co˜es apreciáveis na qualidade do produto, além disso, sua elimina¸caõ é imposs´ıvel ou antieconômica, e por esse motivo são consideradas como parte natural do processo. Com a impossibilidade de eliminar a variabilidade nos processos de produ¸caõ, utiliza-se uma faixa admiss´ıvel de varia¸cão para a caracter´ıstica de qualidade do processo. Essa faixa é determinada pelos limites de especifica¸caõ, limite inferior de especifica¸caõ (LIE) e limite superior de especifica¸cão (LSE), que são definidos pelos engenheiros ou pessoal técnico da área para o atendimento de normas pré-estabelecidas. Quando as perturba¸cões são significativas de modo que a variabilidade do processo seja considerada grande se comparada a` variabilidade natural, dizemos que o processo está fora de controle. As fontes dessa variabilidade são chamadas de causas especiais, e essas fazem com que o processo não se comporte de acordo com seu padrão natural. Tal variabilidade, em geral, é resultada de ajustes inadequados das máquinas, erros de operadores, diferen¸cas no método de trabalho e nas condi¸cões ambientais, entre outros. Essas causas reduzem significativamente o desempenho do processo, por isso devem ser identificadas e neutralizadas. Cada vez que uma causa especial é identificada e eliminada, o processo de produ¸caõ se reestabiliza e a qualidade melhora (SAMOHYL, 2009). O Controle Estat´ıstico de Processo (CEP) é um método preventivo em que os resultados são comparados continuamente a partir de dados estat´ısticos, identificando as tendências para varia¸co˜es significativas e eliminando ou controlando estas varia¸cões com o objetivo de reduzi-las cada vez mais (TRIOLA, 2005). Segundo Montgomery (2004) o principal objetivo do CEP consiste em analisar o processo, estabelecer padrões, comparar desempenhos, verificar e estudar desvios, buscar e implementar solu¸co˜es, buscando a melhor performance de máquinas e/ou pessoas. Shewhart (1925) introduziu o conceito de gráfico de controle, com a inten¸cão de eliminar varia¸cões, diferenciando-as entre as causas comuns e causas especiais. Desde então, os gráficos de controle têm sido a ferramenta do CEP mais conhecida e utilizada por aqueles que precisam monitorar varia¸co˜es em um processo. Inicialmente, o gráfico desenvolvido por Shewhart foi utilizado como uma ferramenta no monitoramento de um processo processo de produ¸cão na Bell Telephone Laboratories. Porém por sua facilidade de opera¸cão acabou sendo utilizado em diversas a´reas do conhecimento humano. Diferentemente da inspe¸caõ após a produ¸caõ, o emprego dos gráficos de controle possibilita o controle da qualidade durante a produ¸caõ, ou seja, os gráficos de controle exibem um enfoque na deteçcão dos defeitos e a¸cão corretiva imediata, caso alguma.

(16) 2.3 Gráficos de Controle. 7. falha seja detectada. Desta forma, ao impedir a sa´ıda de produtos imperfeitos, pode ser considerado como um método de caráter preventivo (DEMING, 1990).. 2.3. Gr´ aficos de Controle. Além de oferecer uma exposi¸caõ visual, ao longo do tempo, dos dados que representam um processo, o principal foco do gráfico de controle é a tentativa de separar as causas de varia¸co˜es especiais das causas de varia¸cões comuns. Em geral, o gráfico de controle é formado por uma linha central (LC) que representa o valor médio da estat´ıstica que está sendo monitorada, e por duas linhas externas denominadas limite superior de controle (LSC) e limite inferior de controle (LIC), determinados de modo a satisfazer algum cr´ıterio de desempenho. A Figura 2.1 mostra um exemplo de um gráfico de controle. Segundo Montgomery (2004) se o processo está sob controle praticamente todos os pontos devem ser registrados dentro dos limites de controle e apresentar um padrão essencialmente aleátorio. Já quando alguns desses pontos estão fora dos limites de controle ou seguem uma tendência especial ou sistemática, o gráfico sinaliza que esse processo poderá estar fora de controle estat´ıstico.. Figura 2.1: Gráfico de controle Seja g(X) uma estat´ıstica amostral para medir uma caracter´ıstica de qualidade, com média µX e desvio padrão σX quando o proceso está sob controle. Nesse caso, a.

(17) 2.4 Teste de Hipóteses e Gráficos de Controle. 8. linha central, o limite superior e o limite inferior de controle são dados por: LSC = µX + kσX LC = µX LIC = µX − kσX em que k é a constante de abertura do gráfico. Um fator importante na utiliza¸caõ dos gráficos de controle é o tamanho da amostra n, pois está diretamente ligado ao desempenho do gráfico. Quanto maior o tamanho amostral, mais rapidamente o gráfico detecta mudan¸cas no processo, porém aumenta também o custo de inspe¸cão. Segundo Louren¸co Filho (1976) independentemente do tamanho, a amostra deve estar de acordo com o que Shewart chamou de subgrupo racional. Esse conceito significa que cada amostra (subgrupo) deve ser formada por unidades produzidas praticamente num mesmo instante, de forma que as varia¸co˜es dentro de cada amostra sejam atribu´ıdas a`s causas aleatórias e as varia¸co˜es entre amostras sejam atribu´ıdas a`s causas especiais.. 2.4. Teste de Hip´ oteses e Gr´ aficos de Controle. Como já dito anteriormente, os gráficos de controle são utilizados com o objetivo de monitorar se um processo está ou não sob controle estat´ıstico. Segundo Woodall (2000) alguns autores consideram esse monitoramento por meio dos gráficos de controle como um sistema cont´ınuo de testes de hipóteses. Um teste de hipótese é um método de inferência estat´ıstica cujo objetivo é decidir se uma afirma¸caõ, em geral, sobre parâmetros de uma ou mais popula¸co˜es é, ou não, apoiado pela evidência obtida de dados amostrais. Na aplica¸caõ do gráfico de controle são testadas a hipótese nula (H0 ) e a hipótese alternativa (H1 ), isto é, cada vez que um ponto é desenhado no gráfico é aplicado um teste a partir de uma estat´ıstica g(X). As hipóteses são: H0 : o processo está sob controle estat´ıstico, ou seja, um ou mais parâmetros estão estáveis. H1 : o processo está fora de controle estat´ıstico, ou seja, um ou mais parâmetros não estão estáveis. A região de aceita¸cão de H0 é composta pelo conjunto de todos os resultados de uma.

(18) 2.4 Teste de Hipóteses e Gráficos de Controle. 9. estat´ıstica g(X) que estejam dentro dos limites de controle LSC e LIC (para gráficos de controle bilaterais) ou em um deles (no caso de gráficos de controle unilaterais). Ou seja, o hipótese H0 é aceita se g(X) é verificada dentro dos limites de controle. Quando a hipótese H0 é rejeitada, isto é, se g(X) é verificada fora dos limites de controle, deve-se intervir no processo parando-o para ajustes. Por se tratar de um teste estat´ıstico, há sempre um risco de interpretar o processo como fora de controle quando na verdade ele está sob controle, esse tipo de erro é conhecido, na literatura, como erro do tipo I. De acordo com a estrutura de um t´ıpico gráfico de controle de Shewhart, a probabilidade desse erro é denotada por α e dada por: PH0 (g(X) ∈ / [LIC; LSC] | H0 ) = α. No caso em que o interesse no processo é monitorar apenas desvios unilaterais, inferiores ou superiores, a probabilidade acima pode ser reescrita, respectivamente, pelas seguintes probabilidades PH0 (g(X) < LIC | H0 ) = α ou PH0 (g(X) > LSC | H0 ) = α. Outro erro que pode ser cometido é interpretar que o processo está sob controle quando na verdade ele está fora de controle, conhecido como erro do tipo II. A probabilidade desse erro é denotada por β e dada por: PH1 (g(X) ∈ [LIC; LSC] | H1 ) = β, ou seja, PH1 (LIC ≤ g(X) ≤ LSC | H1 ) = β. Os dois tipos de erros levam a uma perda de tempo, de material e de dinheiro. A ocorrência de um alarme falso (erro do tipo I) causa uma interve¸cão desnecessária no processo. Já no erro do tipo II temos o problema inverso, a não interven¸cão do processo quando ele está fora de controle. Quando o processo está fora de controle o ideal é que o gráfico sinalize o mais.

(19) 2.5 Planejamento do Gráfico de Controle. 10. rápido poss´ıvel, pois isso possibilitará uma rápida interven¸caõ no processo garantindo a produ¸caõ de uma menor quantidade de produtos fora dos padrões de qualidade. O poder do gráfico de controle (P d) em detectar uma causa especial no processo é dado pela probabilidade: P d = 1 − β.. 2.5. Planejamento do Gr´ afico de Controle. O planejamento do gráfico de controle deve levar em conta três parâmetros que influenciam diretamente seu desempenho: o tamanho da amostra n, o intervalo de tempo h entre a retirada de cada amostra e o fator k de abertura dos limites de controle. Esse planejamento pode satisfazer critérios estat´ısticos e/ou econômicos. O aumento no tamanho da amostra possibilita uma deteçcão mais rápida quando houver mudan¸cas no processo, porém aumentará o custo total de inspe¸caõ. Um intervalo de amostragem mais curto também possibilita uma deteçcaõ mais rápida. Esses parâmetros devem ser ajustados a fim de que possam tornar o procedimento economicamente viável e que tenha eficácia de controle. Normalmente as ind´ ustrias utilizam pequenas amostras e intervalos de tempo menores entre as amostragens. O desempenho dos gráficos de controle é medido pelo n´ umero médio de amostras até o sinal (NMA). Durante o per´ıodo em que o processo está sob controle N M A0 = 1/α (COSTA; EPPRECHT; CARPINETTI, 2005), indica o n´ umero médio de amostras retiradas até o alarme falso. No per´ıodo em que o processo está fora de controle N M A = 1/P d (COSTA; EPPRECHT; CARPINETTI, 2005), indica o n´ umero médio de amostras retiradas até o alarme verdadeiro . Quando um processo está sob controle, é desejável que o valor do N M A0 seja grande. Já quando um processo está fora de controle, é desejável que o N M A seja pequeno, de modo a garantir uma rápida deteçcaõ da causa especial (MONTGOMERY, 2004)..

(20) Cap´ıtulo 3 Gr´ afico de Controle 3.1. Introdu¸c˜ ao. No Cap´ıtulo 2 foram apresentados os conceitos básicos dos gráficos de controle. Este Cap´ıtulo fará uma revisão mais aprofundada sobre o assunto. Há vários critérios utilizados para classificar os gráficos de controle. Um dos critérios é o n´ umero de caracter´ısticas monitoradas. Quando apenas uma caracter´ıstica está sendo monitorada o gráfico é classificado com univariado, já quando duas ou mais caracter´ısticas são monitoradas ele é classificado como multivariado. Outro critério de classifica¸cão é o tipo de caracter´ıstica monitorada, nesse caso são divididos em gráficos de controle por atributos ou gráficos de controle por variáveis. Os gráficos também podem ser classificados de acordo com o n´ umero de estágios, um estágio ou dois estágios.. 3.2. Gr´ afico de Controle Univariado. Os gráficos de controle univariados são amplamente utilizados na ind´ ustria quando o interesse é monitorar apenas uma caracter´ıstica do processo. A larga utiliza¸caõ desses gráficos pode ser explicada pela facilidade de manuseio. Quando a caracter´ıstica estudada pode ser expressa em uma escala cont´ınua de medida são utilizados os gráficos de controle para variáveis. Quando é analisada uma caracter´ıstica da qualidade que é uma variável, em geral, são monitorados o valor médio da caracter´ıstica da qualidade e sua variabilidade. Por sua simplicidade, normalmente o valor médio é monitorado por meio do gráfico da média denominado gráfico X, enquanto que a variabilidade do processo pode ser acompanhada através do gráfico do desvio padrão, denominado gráfico S, do gráfico da amplitude, denominado gráfico R, ou do gráfico da variância amostral, denominado gráfico S 2 . 11.

(21) 3.2 Gráfico de Controle Univariado. 12. Embora os gráficos de controle para variáveis tenham uma ampla utiliza¸caõ, nem sempre podem ser utilizados. Segundo Montgomery (2004) muitas caracter´ısticas da qualidade não são medidas em uma escala cont´ınua ou mesmo em uma escala quantitativa. Há casos em que se julga cada unidade do produto como conforme ou não, com base no fato de possuir ou não certos atributos, ou então um certo n´ umero de não conformidades por unidade do produto. Os gráficos de controle por atributos mais usados são os seguintes: • Gráfico p - o gráfico de controle para a fra¸caõ defeituosa (ou fra¸caõ não-conforme) baseia-se na distribui¸caõ binomial. Esse gráfico é utilizado para monitorar a propor¸caõ de unidades não-conformes na amostra. • Gráfico np - o gráfico de controle para o n´ umero de não-conformes é similar ao gráfico p, a diferen¸ca é que ele é utilizado para monitorar o n´ umero de itens defeituosos na amostra de tamanho n. Também baseia-se na distribui¸caõ binomial. • Gráfico c - dependendo do tipo de produto é mais natural considerar o n´ umero de defeitos por unidade amostral e não o n´ umero de itens defeituosos. Nesse caso pode-se usar o gráfico de controle para o n´ umero de não-conformes por unidade. Este gráfico baseia-se na distribui¸caõ de Poisson. • Gráfico u - o gráfico de controle para o n´ umero médio de não-conformidades por unidade é similar ao gráfico c, a diferen¸ca é que ele é utilizado quando se monitora a taxa de não-conformidades por unidade. Este gráfico também baseiase na distribui¸caõ de Poisson. Além dos gráficos mencionados, existem outros como os gráficos de controle da soma acumulada (CUSUM) e da média móvel ponderada exponencialmente (EWMA) que podem monitorar caracter´ısticas de qualidade do tipo variável ou do tipo atributo. Segundo Costa, Epprecht e Carpinetti (2005), os gráficos CUSUM e EWMA são indicados para monitoramento de processos sujeitos a pequenas perturba¸cões. Geralmente, os gráficos de controle para variáveis fornecem mais informa¸caõ acerca do processo quando comparados aos gráficos de controle para atributos. Porém estes, geralmente, têm a classifica¸caõ mais rápida que a mensura¸cão, e seu custo operacional é menor. Maiores detalhes sobre estes gráficos podem ser vistos em Costa, Epprecht e Carpinetti (2005) e Montgomery (2004). Os gráficos de controle para atributos são amplamente utilizados em grande parte devido à sua simplicidade de implementa¸caõ. Segundo Montgomery (2004), medi¸co˜es.

(22) 3.2 Gráfico de Controle Univariado. 13. caras e demoradas podem ser evitadas utilizando inspeçcões por atributos. Mesmo com uma poss´ıvel economia de tempo e dinheiro dos gráficos de controle para atributos, a eficiência deste tipo de gráfico pode ser questionada quando a caracter´ıstica de qualidade monitorada é do tipo variável. Geralmente, para ter um mesmo desempenho, o tamanho amostral dos gráficos por atributos é muito maior do que o dos gráficos por variáveis. Montgomery (2004) apresentou um exemplo em que um gráfico de X e um gráfico np são comparados para detectar a mudan¸ca na média de uma caracter´ıstica de qualidade X com uma distribui¸caõ normal N (50, 22 ). O exemplo mostrou que o tamanho da amostra do gráfico np deveria ser seis vezes maior que do gráfico de X para que ambos tivessem o mesmo poder de deteçcaõ.. 3.2.1. Gr´ afico npx. Nº de não conformidades d 1 2 3 4 5. Proposto por Wu et al. (2009), o gráfico npx utiliza uma inspeçcaõ por atributo (inspecionar se uma unidade está aprovada ou reprovada) para monitorar a média do processo. Ou seja, ele é utilizado para monitorar uma caracter´ıstica de qualidade do tipo variável, mas o modo de inspecionar os itens não ocorre por meio de mensura¸co˜es. Esse gráfico utiliza os limites discriminantes na classifica¸caõ das unidades amostrais. O que distingue o gráfico npx do np é a utiliza¸caõ dos limites discriminantes em substitui¸caõ aos limites de especifica¸caõ na classifica¸caõ dos itens. Enquanto os limites de especifica¸cão são fixados por engenheiros visando atender normas técnicas, os limites discriminantes podem ser otimizados de modo que o gráfico npx obtenha um alto poder de deteçcão (WU et al., 2009). A mobilidade dos limites discriminantes permite ajustar também o valor da probabilidade α de modo que o N M A0 seja próximo a um valor preestabelecido. Segundo Ho e Costa (2011), o gráfico tradicional np é um caso particular do gráfico npx quando os limites discriminantes coincidem com os limites de especifica¸cão.. ●. ●. 0. ●. 0. Figura 3.1: Classificador. ●. ●. 1. 2. ●. ●. ●. ●. 4. 5. 6 7 8 9 Nº de amostras. ●. ●. ●. 3. LSC npx. ●. ●. 10 11 12 13 14 15. Figura 3.2: Gráfico de Controle npx.

(23) 3.2 Gráfico de Controle Univariado. 14. A Figura 3.1 mostra um exemplo de classificador utilizado em inspe¸co˜es por atributos (tipo passa/não-passa) ajustado segundo os valores dos limites discriminantes, superior (wU ) e inferior (wL ). A Figura 3.2 mostra um exemplo de um gráfico npx . Wu et al. (2009) verificaram que para iguais tamanho da amostra e intervalo de amostragem, o gráfico npx é por volta de 30 a 40% menos eficaz do que o gráfico de X. Mas o fato da inspeçcaõ por atributo ser, geralmente, menos onerosa, pode ser mais adequado e justo comparar a eficácia dos gráficos com base no custo de inspeçcaõ por unidade de tempo (CIUT), dado por: CIU T =. ci n i , hi. em que ci , ni e hi são, respectivamente, o custo de inspe¸caõ por unidade, o tamanho da amostra e o intervalo amostral do gráfico i, em que i = X, npx Logo, a seguinte condi¸caõ deve ser analisada para uma compara¸caõ justa entre um gráfico npx e um gráfico X: c n cnpx nnpx = X X, hnpx hX em que os ´ındices npx e X indicam os gráficos npx e X, respectivamente, para as variáveis referidas acima. Normalmente, o custo de inspe¸caõ por unidade cnpx é menor que cX , assim é poss´ıvel aumentar o tamanho da amostra nnpx ou diminuir o intervalo amostral hnpx de modo que o gráfico npx se torne mais eficiente. Wu et al. (2009) analisaram a eficiência através do tempo esperado até o sinal (TES). Assumindo que o processo tenha alcan¸cado um estado estacionário no tempo e que após isso sofra um desvio em um tempo aleatório, segundo uma distribui¸caõ uniforme, o intervalo de tempo entre a altera¸cão sofrida e o momento em que o gráfico sinaliza o alarme, pode ser expresso por (ver Reynolds, Amin e Arnold (1990)): T ES = h × N M A − h/2. Quando o processo está sob controle esse tempo é chamado de tempo médio até o alarme falso (TMAF), dado por: T M AF = h × N M A0 . O gráfico npx é semelhante ao gráfico np. Durante a implementa¸caõ, n unidades são.

(24) 3.2 Gráfico de Controle Univariado. 15. inspecionadas em cada intervalo de amostragem h. Se o n´ umero D de unidades além dos limites discriminantes wL ou wU é superior ao limite de controle LC do gráfico, o processo é sinalizado como fora de controle; caso contrário, assume-se que o processo está sob controle. Os valores do LC, wU e wL são obtidos por otimiza¸cão de modo que uma medida de desempenho conhecida como Extra Quadratic Loss (EQL), (ver Jr e Stoumbos (2004)), seja minimizada ao mesmo tempo em que a restri¸cão T M AF = τ seja satisfeita. O limite de controle LC é usado para verificar D e, portanto, é um inteiro. No entanto, os limites wL e wU são variáveis cont´ınuas e simétricas em torno da média cujas expressões são definidas por: wU = µ0 + kw σ0 ,. w L = µ0 − kw σ 0 , em que µ0 , σ0 e kw são, respectivamente, a média do processo sob controle, desvio padrão do processo sob controle e o coeficiente de abertura dos limites discriminantes. Para o gráfico de controle npx há a necessidade das suposi¸cões de independência entre itens produzidos e normalidade do processo. Neste caso, assume-se que a caracter´ıstica de qualidade X tem distribui¸caõ normal com média µ0 e desvio padrão σ0 conhecidos. Na ocorrência de algum desvio δ, o novo valor da média é dado por: µ1 = µ0 + δσ0 . Seja Pθ (D > LC) a probabilidade do n´ umero D de unidades não-conformes em uma amostra ser maior do que LC para uma dada fra¸cão não conforme θ. Se D segue uma distribui¸cão binomial, D ∼ B(n, θ), então: P (D > LC) =1 − P (D ≤ LC) ! LC X n =1 − θi (1 − θ)n−i . i i=0 Supondo que após o deslocamento na média a variância permane¸ca inalterada, então a probabilidade θ de um item ter o valor de sua caracter´ıstica de qualidade além dos.

(25) 3.3 Gráfico de Controle Multivariado. 16. limites discriminantes será: wU − (µ0 + δσ0 ) wL − (µ0 + δσ0 ) θ =1 − Φ +Φ σ0 σ0 = 1 − Φ(kw − δ) + Φ(−kw − δ), sendo Φ(.) a fun¸caõ de distribui¸cão acumulada de uma normal padrão. Quando δ = 0, θ assume o valor sob controle θ0 , e a probabilidade α produzida pelo gráfico npx é igual a: α = Pθ0 (D > LC). Já a probabilidade β é dada por: β = Pθ1 (D < LC), sendo θ1 a fra¸cão de não-conformidade para um processo com desvio na média, ou seja, δ 6= 0. Embora o gráfico npx utilize inspe¸caõ por atributos, é capaz de monitorar a média de uma caracter´ıstica variável de forma eficaz. Os instrumentos utilizados para as inspeçco˜es de atributos são relativamente simples e precisam de menos ajuste. Como resultado, eles são menos caros e mais confiável do que os instrumentos utilizados para as inspeçcões de variáveis (WU et al., 2009).. 3.3. Gr´ afico de Controle Multivariado. Até o momento foram discutidos os gráficos de controle univariados, utilizados para monitorar apenas uma caracter´ıstica de qualidade. Segundo Lowry e Montgomery (1995), o desenvolvimento da complexidade e dos n´ıveis de automa¸cão dos processos industriais e a crescente disponibilidade de suporte computacional, têm aumentado o interesse pelo monitoramento simultâneo de várias caracter´ısticas de qualidade. Levando em conta esse contexto, o controle de qualidade multivariado aparece como uma ferramenta extremamente importante para avaliar várias caracter´ısticas que afetam direta e simultaneamente a qualidade final de determinado produto ou servi¸co (MASON; YOUNG, 2002). Monitorar q caracter´ısticas de qualidade utilizando q gráficos de controle univariados, além de muito trabalhoso, leva a uma distor¸cão de interpreta¸cão no monitoramento do processo. Essa distor¸caõ aumenta com o n´ umero de caracter´ısticas de qualidade mo-.

(26) 3.3 Gráfico de Controle Multivariado. 17. nitoradas e, principalmente, quando as q caracter´ısticas não são independentes. Hotelling (1947) propôs um gráfico de controle baseado na estat´ıstica T 2 para o monitoramento de processos multivariados, e desde então passou a ser a ferramenta estat´ıstica mais usual no monitoramento do vetor de médias de duas ou mais caracter´ısticas de qualidade. Antes de discutir as estratégias de monitoramento para processos multivariados, serão apresentadas a distribui¸caõ normal multivariada e as estimativas dos vetores de médias e da matriz de variância-covariância.. 3.3.1. Distribui¸ c˜ ao Normal Multivariada. A distribui¸caõ normal multivariada é uma generaliza¸cão da normal univariada para o caso no qual se trabalha com duas ou mais variáveis aleatórias simultaneamente. A distribui¸caõ normal univariada com média µ e variância σ 2 tem fun¸caõ de densidade de probabilidades dada por: (. 1 exp − f (x) = √ 2 2πσ 2 1. . x−µ σ. 2 ) .. Supondo q variáveis dadas pelo vetor aleatório X = [X1 , X2 , . . . , Xq ], diz-se que esse vetor tem distribui¸caõ normal multivariada de dimensão q, ou q-variada , X ∼ N (µ, Σq×q ), se a fun¸cão densidade de probabilidade de X for dada por: 1 1 0 −1 f (x1 , x2 , . . . , xq ) = exp − (x − µ) Σ (x − µ) , (2π)q/2 | Σ |1/2 2 em que µ = (µ1 , µ2 , . . . , µq ) é um vetor de dimensão q que representa a esperan¸ca matemática do vetor X, ou seja, µi = E(Xi ), i = 1, 2, . . . , q e Σ é a matriz de variânciacovariância do vetor aleatório X de dimensão q × q. A matriz de variância-covariância é positiva definida, e é denotada por:  Σp×p.   =  . σ11 σ12 σ21 σ22 .. .. . . σp1 σp2. . . . σ1p . . . σ2p . .. . .. . . . σpp.    ,  . sendo σii = σi2 = V ar(Xi ); i = 1, 2, . . . , p e σij = Cov(Xi , Xj ); i, j = 1, 2, . . . , p, (i 6= j). Como a matriz de variância-covariância é simétrica, σij = σji , ∀ i 6= j. Segundo Mingoti (2005) embora a covariância tenha informa¸caõ sobre o relaciona-.

(27) 3.3 Gráfico de Controle Multivariado. 18. mento linear entre duas variáveis, é dif´ıcil julgar se a rela¸cão é forte ou não observandose unicamente os seus valores numéricos, uma vez que não se tem um valor de referência m´ınimo ou máximo para compara¸cão dos valores σij . Assim, uma medida mais u ´til na prática é a correla¸cão. O coeficiente de correla¸caõ entre a i-ésima e j-ésima variáveis do vetor X é definido por: ρij = √. σij , σii σjj. sendo −1 ≤ ρij ≤ 1; i = 1, 2, . . . , p. Quanto mais próximo de 1, maior é o relacionamento linear positivo entre as variáveis Xi e Xj e quanto mais próximo de −1, maior o relacionamento linear negativo entre as variáveis. Quando as variáveis são não-correlacionadas tem-se um coeficiente igual a zero. Para q = 2, tem-se a distribui¸caõ normal bivariada, em que a fun¸caõ de densidade e a matriz de variância-covariância do vetor X0 = [X1 X2 ] é dada, respectivamente, por: 1 1 0 −1 exp − (x − µ) Σ (x − µ) , f (x1 , x2 ) = (2π) | Σ |1/2 2 e. " Σ=. σ11 σ12 σ21 σ22. #. " =. σ12 ρσ1 σ2 ρσ1 σ2 σ22. # ,. com ρ representando o coeficiente de correla¸caõ entre X1 e X2 e | Σ |= σ12 σ22 (1 − ρ2 ). Quando ρ = 0, a fun¸caõ f (x1 , x2 ) é o produto de duas densidades normais univariadas, logo, tem-se que as variáveis X1 e X2 são independentes, isto é, f (x1 , x2 ) = v(x1 )v(x2 ), com 1. (. . x1 − µ 1 σ1. 2 ). 1. (. . x2 − µ 2 σ2. 2 ). 1 v(x1 ) = p exp − 2 2 2πσ1. 1 v(x2 ) = p exp − 2 2πσ22. Portanto, no caso da distribui¸cão normal bivariada, se X1 e X2 forem não correla-.

(28) 3.3 Gráfico de Controle Multivariado. 19. cionadas também serão independentes (MINGOTI, 2005).. 3.3.2. Estima¸ c˜ ao do Vetor de M´ edias e da Matriz de Variˆ anciaCovariˆ ancia. Supondo uma amostra aleatória de tamanho n na qual são observados os valores de q-variáveis aleatórias de interesse para cada elemento da amostra, ou seja, tem-se n vetores aleatórios independentes e identicamente distribu´ıdos da forma:    X1 =   . X11 X21 .. .. . .      , X2 =     . X12 X22 .. .. . .      , . . . , Xn =     .    ,  . Xqn. Xq2. Xq1. X1n X2n .. .. em que o primeiro ´ındice indica a variável e o segundo o elemento amostral. Assim, o vetor de médias µ será estimado pelo vetor de médias amostrais X:  i   1h X= X 1 + X2 + . . . + Xn =   n . X1 X2 .. ..    ,  . Xq sendo X i a média amostral da i-ésima variável, i = 1, 2, . . . , q. A matriz de variânciacovariância Σq×q será estimada pela matriz de variância-covariância amostral Sq×q dada por:  Sq×q.   =  . S11 S12 S21 S22 .. .. . . Sq1 Sq2. . . . S1q . . . S2q . . . .. . . . . Sqq.      . ,. q×q. em que a variância amostral da i-ésima variável Sii e a covariância amostral entre a i-ésima e j-ésima variáveis Sij = Sji , j 6= i, são definidos, respectivamente, por: n X (Xil − X i )2. Sii =. l=1. n−1. ,.

(29) 3.3 Gráfico de Controle Multivariado. 20. e n X. Sij =. 3.3.3. (Xil − X i )(Xil − X j ). l=1. .. n−1. Gr´ afico de Controle de T 2 de Hotelling. O gráfico de controle T 2 , proposto por Hotelling (1947), é utilizado no monitoramento simultâneo de q caracter´ısticas de qualidade. Assim como o gráfico de X , o gráfico de T 2 é pouco sens´ıvel a deslocamentos pequenos a moderados dos parâmetros do processo (LOWRY; MONTGOMERY, 1995). A estat´ıstica de teste do gráfico T 2 de Hotelling para a i-ésima amostra, em um processo com q variáveis normalmente distribu´ıdas, quando o vetor das médias µ0 e a matriz de variância-covariância Σ0 são conhecidos, é dada por: Ti2 = n(Xi − µ0 )0 Σ0 −1 (Xi − µ0 ), n representando o tamanho da i-ésima amostra e Xi o vetor das médias amostrais dos q parâmetros para a amostra i. Quando o processo está sob controle, T 2 seguirá aproximadamente uma distribui¸cão qui-quadrado com q graus de liberdade, e o limite de controle do gráfico pode ser dado por (ALT, 1985; BERSIMIS; PSARAKIS; PANARETOS, 2007): LSC = χ2q,α , (3.1) Quando o vetor das médias e a matriz variância-covariância são desconhecidos, o que b 0 baseados em b0 e Σ normalmente acontece na prática, é comum utilizar os estimadores µ m m X X b 0 = Si = 1 b 0 = X = m1 m amostras: µ Xi e Σ S, em que Xi e Si representam, m i=1. i=1. respectivamente, o vetor das médias da amostra e a matriz de variância-covariância da i-ésima amostra aleatória e independente de uma distribui¸cão normal q-variada. Nesse caso os limites de controle são calculados de acordo com a fase de monitoramento e tamanho da amostra (JOHNSON; WICHERN, 2007; MONTGOMERY, 2004). A Fase I utiliza os gráficos de controle para testar retrospectivamente se o processo estava sob controle quando os primeiros m subgrupos foram extra´ıdos, o que possibilita obter um conjunto de dados sob controle para que se estabele¸cam esses limites. Na Fase II, os limites de controle gerados na Fase I, são utilizados para testar se o efetivo controle permanece, porém levando em considera¸caõ subgrupos futuros. • Fase I.

(30) 3.3 Gráfico de Controle Multivariado. 21. LIC = 0 LSC =. q(m − 1)(n − 1) F(α,q,mn−m−q+1) . mn − m − q + 1. • Fase II. LIC = 0 LSC =. q(m + 1)(n − 1) F(α,q,mn−m−q+1) , mn − m − q + 1. sendo q o n´ umero de caracter´ısticas de qualidade monitoradas simultaneamente; m o n´ umero de amostras; n tamanho da amostra; F(α,q,mn−m−q+1) a distribui¸caõ F − F isher − Snedecor com n´ıvel de significância α e q, mn − m − q + 1 graus de liberdade. Segundo Montgomery (2004) e Johnson e Wichern (2007), quando µ e Σ são estimados a partir de um grande n´ umero de amostras preliminares, costuma-se usar: LSC = χ2q,α ,. (3.2). em que α é a probabilidade de alarme falso.. Figura 3.3: Grafico de controle T 2 de Hotelling. A Figura 3.3 mostra um exemplo de um gráfico T 2 de Hotelling. Como visto no Cap´ıtulo 2, quando o processo está sob controle o n´ umero médio de amostras até o sinal (N M A0 ), é dado por: N M A0 =. 1 . α.

(31) 3.3 Gráfico de Controle Multivariado. 22. Quando o processo está sob a a¸cão de causas especiais, o poder do gráfico de controle está relacionado com o erro tipo II, sendo P d = 1 − β. Nesse caso, o N M A1 representa o n´ umero médio de amostras até o sinal de um alarme verdadeiro. Baseando-se no gráfico de controle T 2 de Hotelling , a probabilidade pd pode ser obtida em fun¸caõ da distribui¸caõ de probabilidade qui-quadrado não central (MASON; YOUNG, 2002). Suponha que o vetor de médias e a matriz de variância-covariância sejam conhecidos. Se uma causa especial atua na média do processo, deslocando o vetor de médias de µ0 para µ1 , a estat´ıstica Ti2 de Hotelling seguirá aproximadamente uma distribui¸cão qui-quadrado não central (χ2q,d ). n(Xi − µ1 )0 Σ0 −1 (X i − µ1 ) ∼ χ2q,d . Alguns trabalhos que lidam com controle de processos multivariados utilizam o parâmetro de não centralidade (d2 ) como medida de deslocamento no vetor de médias do processo (ALT, 1985; APARISI, 1996; APARISI; HARO, 2001; MASON; YOUNG, 2002). d2 = n(µ1 − µ0 )0 Σ−1 (µ1 − µ0 ) Esta medida possui aproximadamente distribui¸caõ qui-quadrado não central com q graus de liberdade e parâmetro de não centralidade d2 . Assim, o desempenho do gráfico de controle T 2 é calculado pelo n´ umero médio de amostras até o sinal verdadeiro (N M A1 ): N M A1 =. 1 1−. P (χ2(q,d). < LSC). .. em que: β = P (χ2(q,d) < LSC). (3.3).

(32) Cap´ıtulo 4 Gr´ afico de Controle por atributos para monitorar um vetor de M´ edias de um Processo Bivariado 4.1. Introdu¸c˜ ao. Muitas técnicas de controle de qualidade são usadas para processos multivariados para variáveis, mas são poucas as ferramentas para processos multivariados para atributos. Neste cap´ıtulo será proposto um novo gráfico de controle para monitorar as médias de um processo bivariado baseado na inspe¸cão por atributos. A ideia de monitorar a média de uma variável com gráficos de controle por atributos foi explorada por Stevens (1948), Steiner, Geyer e Wesolowsky (1996), Steiner (1998), Wu e Jiao (2008) e Wu et al. (2009). Apesar desse tipo de gráfico ter um poder de deteçcão menor que o gráfico X proposto por Shewhart quando os tamanhos das amostras são iguais, sua utiliza¸cão pode ser justificada pelo seu menor custo e maior facilidade de opera¸cão. Ho e Costa (2015) propuseram dois gráficos de controle, chamados de gráficos npxy e npw , que usam inspe¸cões por atributos para monitorar o vetor de médias (µx ; µy )0 de um processo bivariado. A implementa¸caõ desses gráficos consiste em classificar as unidades da amostra como sendo de primeira, segunda, ou terceira classe de acordo com os limites discriminantes inferiores e superiores, (wLX ;wUX ) e (wLY ;wUY ), segundo os valores de suas duas caracter´ısticas de qualidade, X e Y . Uma unidade com caracter´ısticas X e Y que apresentar valores dentro (além) dos limites discriminantes para ambas caracter´ısticas é classificada como uma unidade de primeira (terceira) classe. Caso contrário, a unidade é classificada como unidade de segunda classe. No momento 23.

(33) 4.2 Planejamento do Gráfico de Controle Proposto. 24. em que o gráfico npxy está em uso, a estat´ıstica de monitoramento é M = N1 + N2 , em que N1 e N2 são os n´ umeros de unidades da amostra classificadas com sendo de segunda ou terceira classe, respectivamente. Quando o gráfico npw está em uso, a estat´ıstica de monitoramento é W = N1 + 2N2 . Esse trabalho mostrou que, em geral, o gráfico npxy exige um tamanho de amostra duas vezes maior para superar o gráfico de T 2 . O uso do tamanho amostral duas vezes maior é justificado pelo fato do gráfico proposto utilizar controle por atributos, enquanto que o gráfico de T 2 utiliza controle por variáveis. Nesse sentido, este cap´ıtulo apresenta um novo gráfico, denominado aqui como gráfico do controle M axD, baseado na distribui¸cão binomial bivariada. Esse novo gráfico é uma extensão do gráfico npx proposto por Wu et al. (2009) para o caso bivariado, e é utilizado para monitorar o vetor de médias (µx , µy ) de um processo bivariado.. 4.2. Planejamento do Gr´ afico de Controle Proposto. Os parâmetros do gráfico M axD são: o tamanho da amostra (n), o intervalo de amostragem (h), os limites discriminantes inferior e superior para as variáveis X e Y (wLX ; wUX ) e (wLY ; wUY ), e os limites de controle (LX e LY ). Durante a implementa¸caõ, uma amostra de n unidades é inspecionada ao final de cada intervalo de amostragem h. Em cada uma, as variáveis X e Y não são medidas, mas classificadas usando um classificador. Cada unidade é classificada como reprovada para a variável X (Y ), se seu valor estiver fora dos limites discriminantes de X (Y ). A classifica¸cão é feita utilizando um classificador do tipo passa/não-passa. A tomada de decisão quando o gráfico M axD é utilizado, leva em considera¸cão o n´ umero de itens classificados como reprovados Di e o limite de controle Li de Di , em que i indica a caracter´ıstica de qualidade X ou Y . Se DX < LX e DY < LY continuase o processo, caso contrário, o processo é interrompido para ajuste. A vantagem da inspe¸cão por atributos é que não há mensura¸caõ durante o procedimento. Os limites de controle são usados para verificar o n´ umero de itens reprovados e, portanto, é um inteiro. No entanto, os limites discriminantes são variáveis. Assim como no caso do gráfico npx , os limites discriminantes para as duas caracter´ısticas são simétricas em torno da média quando o processo está sob controle: wUi = µ0i + ki σ0i , wLi = µ0i − ki σ0i ,. (4.1).

(34) 4.2 Planejamento do Gráfico de Controle Proposto. 25. em que ki , µ0i e σ0i são respectivamente, os coeficientes de abertura dos limites discriminantes, as médias do processo sob controle e os desvios padrão do processo sob controle para cada caracter´ıstica de interesse. O gráfico de controle M axD é baseado na fun¸cão de probabilidade da distribui¸caõ binomial bivariada:. P (DY = y, DX = x) =. X j. n! P j P y−j P x−j P n−y−x+j j!(y − j)!(x − j)!(n − y − x + j)! 11 10 01 00 (4.2). em que o somatório em j vai de 0 até n, obedecendo as seguintes restri¸cões: y − 1 ≥ 0, x − 1 ≥ 0, n − y − x + 1 ≥ 0. Mais detalhes sobre a distribui¸cão binomial bivariada ver Marshall e Olkin (1985), Teicher (1954). Para o gráfico M axD temos, P11 : probabilidade de reprovar Y e reprovar X, P10 : probabilidade de reprovar Y e aprovar X, P01 : probabilidade de aprovar Y e reprovar X e P00 : probabilidade de aprovar Y e aprovar X. Se a matriz de variância-covariância Σ permanece inalterada e o vetor de médias sofre uma mudan¸ca de µ0 para µ1 , utilizando a fun¸caõ (4.2), a probabilidade α para o gráfico por atributos é dada por:. α=1−. LX X LY X. P (DX = i, DY = j|µ0 , Σ).. (4.3). i=0 j=0. Após a mudan¸ca no vetor de médias, pode-se calcular a probabilidade β por: β=. LX X LY X. P (DX = i, DY = j|µ1 , Σ).. (4.4). i=0 j=0. O n´ umero médio de amostras até o sinal (N M A) é o parâmetro utilizado para avaliar o desempenho do gráfico M axD. N M A0 para medir o n´ umero médio de amostras entre os falsos alarmes e N M A1 para medir o n´ umero médio de amostras que o gráfico de controle requer para sinalizar o desajuste. Essas duas medidas podem ser dadas por: N M A0 =. 1 , α.

(35) 4.2 Planejamento do Gráfico de Controle Proposto. Nº de itens reprovados 0 1 2 3 4. N M A1 =. 26. 1 . 1−β. ●. L XY. ●. ●. ●. 4 5 6 7 Nº de amostras. 8. ●. ●. ●. ●. ●. ●. 0. 1. 2. 3. 9. 10. Figura 4.1: Gráfico de controle M axD. LX. ●. 0. ●. ●. 1. 2. ●. ●. ●. ●. ●. LY. 0. ●. ●. Nº de itens reprovados 1 2 3 4. ●. 0. Nº de itens reprovados 1 2 3 4. A Figura 4.1 apresenta um exemplo de um gráfico M axD com limites de controle iguais para as caracter´ısticas X e Y . Observa-se que neste caso apesar do gráfico estar monitorando duas caracter´ısticas, apenas um ponto é plotado por amostra. Isso porque, como o gráfico sinaliza se uma das caracter´ısticas está acima do limite de controle, basta plotar a variável que apresenta o maior n´ umero de unidades reprovadas dentre as duas. Ou seja, a nova variável plotada é D = max{DY , DY }. O limite de controle LXY é encontrado por meio de uma busca exaustiva desenvolvida com o aux´ılio do software R (R Development Core Team, 2013). Para um tamanho de amostra n e um N M A0 preestabelecidos, é feita uma busca para encontrar o limite de controle que apresentem o melhor desempenho. São testados todos os poss´ıveis valores para LXY (0 ≤ LXY ≤ n − 1).. 3. 4 5 6 7 Nº de amostras. 8. 9. 10. 0. ●. ●. ●. 1. 2. DX. ●. ●. ●. ●. 3. 4 5 6 7 Nº de amostras. DY. Figura 4.2: Gráficos DX e DY .. ●. ●. 8. 9. 10.

(36) 4.3 Desempenho do Gráfico de Controle Proposto. 27. Este trabalho também apresenta uma extensão do M axD, na qual os limites de controle são distintos para as caracter´ısticas X e Y . Ou seja, o processo é monitorado a partir de dois gráficos de controles distintos como mostra a Figura 4.2. Neste caso, é necessário utilizar um gráfico para variável X e outro para a variável Y , chamados de graficos DX e DY , respectivamente. Os resultados mostraram que essa extensão não apresenta bom desempenho.. 4.3. Desempenho do Gr´ afico de Controle Proposto. Nesta se¸caõ são comparados os desempenhos dos gráficos (DX ; DY ), M axD, npxy e T 2 . Para tal finalidade, são avaliados os valores do N M A1 para cada gráfico, sendo ao mesmo tempo satisfeita a condi¸caõ de N M A0 igual ou muito próximo de um valor τ pré-determinado. Baseado na literatura, para a análise dos desempenhos é assumido que as variáveis X e Y têm distribui¸caõ conjunta normal bivariada, e o processo sob controle apresenta um vetor de médias µ0 = µ00 = (0; 0) e matriz de variância-covariância Σ =. 1 ρ. ρ 1. .. A ocorrência da causa especial altera o vetor de médias do processo de µ00 = (0; 0) para µ01 = (µ0x + δx σx ; µ0y + δy σy ) = (δx ; δy ), sem alterar Σ. O gráfico proposto é capaz de detectar desvios bilaterais no vetor de médias, porém, em muitos casos o principal interesse no processo é detectar o deslocamento em uma u ńica dire¸caõ. No presente trabalho o objetivo é detectar somente desvios superiores no vetor de médias do processo (δx > 0 e δy > 0). O estudo comparativo é conduzido sob a seguinte condi¸cão geral: τ = 370. Como as médias e os desvios são iguais para X e Y , é razoável assumir que, durante o processo sob controle, as probabilidades de uma unidade ser reprovada sejam iguais para as duas caracter´ısticas. E como o interesse é detectar apenas deslocamentos positivos, temos wUX = wUY = LD. Assim pode-se calcular P11 , P10 , P01 e P00 pelas seguintes expressões: +∞. Z. +∞. Z. P11 =. f (x, y)dxdy LD. Z. +∞. LD. Z. LD. P10 =. f (x, y)dxdy −∞. LD. Z. LD. Z. +∞. P01 =. f (x, y)dxdy −∞. LD.

(37) 4.3 Desempenho do Gráfico de Controle Proposto Z. LD. Z. 28. LD. P00 =. f (x, y)dxdy −∞. −∞. sendo LD o limite discriminante e f (x, y) a fun¸caõ densidade de probabilidade da normal bivariada. Foi realizado um estudo comparativo entre os desempenhos dos gráficos (DX ; DY ), M axD, npxy e T 2 para monitoramento de um processo bivariado, quando δx ≥ 0 e δx ≥ 0. A compara¸caõ de desempenho é feita pelo N M A1 sob iguais taxas de alarmes falsos. Adota-se N M A0 = 370, ou seja, α = 0.0027. As Tabelas 4.1, 4.2, 4.3 e 4.4 apresentam os resultados do N M A1 para os gráficos (DX ; DY ), M axD e T 2 em quatro cenários diferentes de correla¸caõ entre as variáveis X e Y , correla¸caõ nula (ρ = 0.0), correla¸caõ fraca (ρ = 0.3), correla¸caõ moderada (ρ = 0.0) e correla¸caõ forte (ρ = 0.0). Para o gráfico de T 2 foi usado um tamanho de amostra n = 3, já para os outros gráficos foram utilizadas amostras de tamanho n = 3; 6. Os resultados foram obtidos por meio de um programa desenvolvido no software estat´ıstico R (R Development Core Team, 2013). Os resultados mostrados nas tabelas são para os valores dos limites de controle que apresentaram melhores desempenhos para cada tamanho de amostra. Nos quatro casos de correla¸caõ estudados, verifica-se que utilizar o dois gráficos por atributos separados (DX ; DY ) (com LX 6= LY ) é mais eficiente quando o desvio é maior na variável com menor limite de controle, contudo, se o desvio é maior na variável com maior limite de controle a eficiência dos gráficos (DX ; DY ) é altamente reduzida. Por exemplo, na Tabela 4.3 (ρ = 0.5) ao utilizar LX = 5 e LY = 3, para um tamanho de amostra n = 6, temos um N M A1 = 25.51 para o vetor de desvios (δx = 0.25; δy = 0.50). Porém, invertendo os desvios (δx = 0.50; δy = 0.25) o novo N M A1 = 84.85 é significativamente superior. Por esse motivo, a partir de agora são comparados apenas o gráfico T 2 e o gráfco M axD. Observa-se que o gráfico M axD apresenta bom desempenho para os quatro casos de correla¸cões estudados. O novo gráfico apresenta melhor desempenho, até mesmo para um mesmo tamanho de amostra, para várias combina¸cões de desvios. O valor marcado por ∗ indica o menor N M A1 entre os gráficos T2 e M axD com o tamanho da amostra n = 3 para ambos os gráficos. Outro resultado relevante é que o novo gráfico, com tamanho amostral n = 6, sempre mostrou-se superior ao gráfico T 2 com n = 3, para ρ = 0.0; 0.3; 0.5. Para cada combina¸cão de (δx ; δy ), o N M A1 m´ınimo está em negrito. Um gráfico M axD com amostras duas vezes maiores do que as amostras utilizadas no gráfico T 2 é compensado, isso porque o novo gráfico usa inspeçcões por atributos, enquanto o gráfico T 2 usa.