5.3 Uma Combina¸c˜ ao dos Gr´ aficos M axD e T 2
5.3.1 Planejamento do Gr´ afico M axD T 2
Durante a utiliza¸c˜ao do gr´afico combinado uma amostra de tamanho n ´e retirada a cada intervalo de inspe¸c˜ao h. Em seguida, a amostra ´e dividida em duas subamostras de tamanhos n1 e n2, respectivamente, sendo n = n1 + n2. Os itens da primeira
subamostra s˜ao analisados atrav´es de uma inspe¸c˜ao por atributos, em que cada item ser´a considerado reprovado, para as caracter´ısticas de qualidade X e/ou Y , se seu valor estiver, respectivamente, al´em dos limites discriminantes de X (wLX ou wUX) e/ou de Y (wLY ou wUY). Se o n´umero de itens reprovados para X e Y n˜ao forem superiores ao limite de controle do gr´afico M axD, DX ≤ LXY e DY ≤ LXY, em que
LX = LY = LXY, sup˜oe-se o processo sob controle. Nesse caso os itens da segunda
subamostra s˜ao devolvidos ao processo, e este continua operando normalmente. Se o gr´afico M axD sinalizar um desajuste (DX > LXY e/ou DY > LXY) os itens da
subamostra n2 s˜ao analisados atrav´es do gr´afico T2. Durante a an´alise para vari´aveis
se a estat´ıstica T2 estiver dentro do limite de controle (T2 6 L
T2) o processo tamb´em ser´a julgado sob controle. O processo somente ir´a sofrer algum tipo de a¸c˜ao se ambos os gr´aficos indicarem a presen¸ca de alguma causa especial. O procedimento tem a vantagem de n˜ao inspecionar a segunda subamostra quando a primeira indicar que o proceso est´a sob controle.
O procedimento proposto ´e capaz de detectar desvios bilaterais na m´edia, por´em no presente trabalho s˜ao considerados somente desvios superiores no vetor de m´edias (δx > 0; δy > 0). Nesse caso, a probabilidade dos pontos de uma amostra serem
plotados fora dos limites nas duas estat´ısticas ser´a dada por:
[1 − P (DX < LXY ∩ DY < LXY)]P (T2 > LT2). (5.1)
Como as subamostras s˜ao independentes, a probabilidade de um sinal conjunto ´e igual ao produto dos sinais em cada uma das estat´ısticas.
A Figura 5.3 apresenta uma situa¸c˜ao em que os dois gr´aficos de controle (M axD e T2) s˜ao utilizados no procedimento combinado aqui proposto. Nota-se que ´e necess´ario
utilizar o gr´afico de controle T2 apenas para analisar as amostras 6 e 10. Para a
maioria das amostras houve a necessidade de utilizar apenas o gr´afico por atributos, ou seja, os pontos n˜ao provocaram sinal no gr´afico M axD, o que torna desnecess´ario a utiliza¸c˜ao do gr´afico T2. Assim apenas a subamostra de tamanho n
1 ´e inspecionada.
Embora a sexta amostra tenha sido plotada al´em do limite de controle no gr´afico por atributos, ao analisar a subamostra de tamanho n2 verifica-se que a estat´ıstica T2 ´e
inferior ao limite de controle (T2 < LT2), indicando que o processo deve continuar operando normalmente. J´a a d´ecima amostra apresenta sinal nas duas estat´ısticas, o que caracteriza um processo fora de controle que deve ser parado para ajuste.
A probabilidade [1 − P (DX < LXY ∩ DY < LXY)] na equa¸c˜ao (5.1) pode ser
calculada por meio da distribui¸c˜ao binomial bivariada acumulada, discutida no Cap´ıtulo 4, dada a seguir: [1 − P (DX < LXY ∩ DY < LXY)] = 1 − LXY X i=0 LXY X j=0 P (DX = i, DY = j),
0 2 4 6 8 10 0 1 2 3 4 Nº de amostras Nº de itens r epr ovados LX Y ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 0 2 4 6 8 10 0 5 10 15 20 Nº de amostras T 2 LT2 ● ● 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 5 10 15 20
Figura 5.3: Gr´afico combinado M axD − T2.
O erro do tipo I ´e cometido quando o processo est´a sob controle, mas este ´e julgado fora de controle. De acordo com a express˜ao (5.1), o risco α do gr´afico conjunto ´e igual ao produto dos riscos, isto ´e:
αtotal =αM axDαT2
=[1 − P (DX < LXY ∩ DY < LXY|H0)]P (T2 > LT2|H0)
sendo αM axD e αT2, respectivamente, as probabilidades do erro tipo I (α) para os gr´aficos M axD e T2.
´
E importante mencionar que αM axD e αT2 n˜ao s˜ao necessariamente iguais, basta que seu produto satisfa¸ca o valor de αtotal preestabelicido. Cabe ao processo de otimiza¸c˜ao
determinar esses valores, bem como os limites de controle e as constantes de abertura de modo que o procedimento conjunto alcance um alto poder de detec¸c˜ao.
Outro erro (tipo II) ´e julgar o processo sob controle quando este est´a fora de con- trole. Como neste cap´ıtulo o objetivo ´e estudar apenas os casos em que os desvios s˜ao unilaterais superiores (δx > 0; δy > 0), a probabilidade do erro tipo II (β) do gr´afico
conjunto pode ser dada por:
βtotal = 1 − P (DX > LCXY ∪ DY > LCXY | H1) × P (T2 > LSCT2 | H1)
= 1 − P dM axDP dT2, (5.2)
sendo P dM axD e P dT2 os poderes dos gr´aficos M axD e T2, respectivamente.
pode ser dado por:
P dtotal= 1 − βtotal
= P dM axDP dT2. (5.3)
Note que o poder conjunto pode ser calculado pelo produto dos poderes dos gr´a- ficos M axD e T2. P d
M axD e P dT2 podem ser obtidos pelas equa¸c˜oes (4.4) e (3.3), respectivamente.
As express˜oes para o N M A1 e o N M A0 s˜ao dadas, respectivamente, por:
N M A1 = 1 P dtotal , (5.4) N M A0 = h αtotal . (5.5)
Ao contr´ario do que acontece nos gr´aficos M axD e T2, no gr´afico combinado o
tamanho amostral n˜ao ´e constante. O tamanho amostral vai depender do resultado obtido no gr´afico M axD. Se n˜ao ocorrer sinal neste gr´afico o tamanho amostral do gr´afico ser´a n1, caso contr´ario, a segunda subamostra ser´a analisada, e ent˜ao o tamanho
amostral ser´a n1 + n2 independentemente do resultado da an´alise de n2. Segundo
Sampaio, Ho e Medeiros (2014), como o tamanho amostral ´e vari´avel, ´e razo´avel utilizar o tamanho m´edio da amostra (t.m.a.). Al´em de n1 e n2, outro fator importante para
determinar o t.m.a. ´e a probabilidade αM axD do gr´afico M axD. Em um processo sob
controle o tamanho m´edio da amostra ´e dado por:
t.m.a. = n1+ n2αM axD. (5.6)
Como o valor de αM axD est´a no intervalo (0, 1), ent˜ao n1 < t.m.a. < n1 + n2. ´E
importante notar que o procedimento de combinar os dois gr´aficos para substituir o gr´afico T2 com tamanho de amostra n pode apresentar um t.m.a. menor que n, mesmo
que (n1+ n2) > n.
Segundo Sampaio, Ho e Medeiros (2014) essa substitui¸c˜ao pode trazer poss´ıveis vantagens, como uma prov´avel redu¸c˜ao no tempo de inspe¸c˜ao (j´a que a inspe¸c˜ao por atributos normalmente ´e mais r´apida que a inspe¸c˜ao por vari´aveis) e no n´umero m´edio de itens inspecionados (caso t.m.a. < n). Em alguns casos a substitui¸c˜ao pode reduzir a influˆencia de pontos at´ıpicos, j´a que a ocorrˆencia de um ponto at´ıpico no gr´afico M axD n˜ao ´e suficiente para sinalizar um desajuste, e se tratando de um ponto at´ıpico, a probabilidade deste ser um sinal no gr´afico T2 ´e pequena. Mas se de fato for uma
causa especial, o gr´afico T2 deve confirmar. Outra vantagem refere-se ao custo m´edio por inspe¸c˜ao:
c.m.i. = n1cM axD+ αM axDn2cT2, (5.7)
em que cM axDe cT2 s˜ao os custos de inspe¸c˜ao por unidade dos gr´aficos M axD e T2, res- pectivamente. Os valores de n1, n2 e αM axD que tornam o procedimento mais eficiente
s˜ao determinados pelo programa de otimiza¸c˜ao descrito a seguir.