Analise de placas laminadas espessas por modelos de elementos finitos solidos ortotropicos

CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECANICA

ANALISE DE PLACAS LAMINADAS ESPESSAS POR MODELOS DE ELEMENTOS FIN IT O S SÓLIDOS ORTOTRÓPICOS

DISSERTAÇÃO SUBMETIDA À UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA PARA A OBTENÇAO DO GRAU DE

MESTRE EM ENGENHARIA MECANICA

JOAO JOSÉ EVANGELISTA RABELO

DE ELEMENTOS FINITOS SÓLIDOS ORTOTRÓPICOS

JOÃO JOSÉ EVANGEUSTA RABELO

ESTA DISSERTAÇÃO FOI JULGADA ADEQUADA PARA A OBTENÇÃO DO TÍTULO DE

MESTRE EM ENGENHARIA

ESPECIALIDADE ENGENHARIA MECÂNICA, ÁREA DE CONCENTRAÇÃO PROJETOS, APROVADA EM SUA FORMA FINAL PELO CURSO DE

PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHAIUA MECÂNICA

Prof. CLÓVIS S. DlÍB. LLOS, Ph.D. Orientador

Prof. R, Dr.-Ing.

do Curso

BANCA EXAMINADORA

Prof. CLÓVIS S. DE tí^CELLOS, PkD. Presidente

Prof. CARLOS ALBE SELKE,Ph.D.

c:;

Ao P r o f e s s o r C ló v is S. de B a r c e llo s , p e la o r i e n t a ç ã o ; A o s c o le g a s do c u r s o p e lo t ã o p r e c i o s o a p o io no d l a - a - d l a do m e s t r a d o ; Ao am igo L e i r t o n p e la f o r ç a na r e t a fi n a l ; A o s t é c n ic o s do NPD p e lo v a lio s o s u p o r t e c o m p u ta c io n a l; Ao CNPQ p e lo a p o io f i n a n a c e lr o .

t o m a r a m e x t r e m a m e n t e im p o r t a n t e s p o r me d e s p e r t a r e m p a r a n o v a s p o s s ib ilid a d e s de e x is t ê n c ia . l u r i , N á d l a , A r y , R o g é r i o , C r i s t l a n o , D a n i e l , T a t i a n a , G i l b e r t o , F a b i a n , C lá u d i a , J o r g e , C a r o l l n a , D a n i e l a , v o c ê s p r o p o r c io n a r a m d e s c o b e r t a s fu n d a m e n ta is . " N ã o I m p o r t a o q u e f o i f e i t o d o h o m e m , mas o q u e e l e f a z d o q u e d e l e f o i f e i t o " J e a n P a u l S a r t r e

Res u » o i Abst.r£kct> i i S í M b o lo s i i i L i s t a d e F i g u r a s v>i L i s t a d e T a b e l a s i x 1 I n t r o d u ç ã o 1 2 M a t e r i a i s C o m p o sto s L a m in a d o s 3 2 . 1 . I n t r o d u ç ã o a M a t e r i a i s C om p o sto s 3 2 . 2 . R e v i s ã o B i b l i o g r á f i c a 4 2 . 3 . M o t iv a ç ã o d a D i s s e r t a ç ã o 10 3 F u n d am en tos d e E l a s t i c i d a d e 12 3 . 1 . I n t r o d u ç ã o 12 3 . 2 . O P r o b le m a E l á s t i c o L i n e a r 13 3 . 3 . R e l a ç ã o C o n s t i t u t i v a n a E l a s t i c i d a d e L i n e a r 14 3 . 4 . T r a n s f o r m a ç õ e s d e T e n s ã o e D e fo r m a ç ã o 20 4 F o r m u la ç ã o A n a l í t l c a d o s M o d e lo s 21 4 . 1 . I n t r o d u ç ã o 21 4 . 2 . P r i n c í p i o d o s T r a b a l h o s V i r t u a i s 22

4 . 4 . M o d e lo s S ó l i d o s O r t o t . r ó p i c o

3

4

.

.

.

Os Elementos Finitos Desenvolvidos

4.4. s . G e o m e t r i a d o s E l e m e n t o s 4.4.

5

6

6

B. 1. C o n s t r u ç ã o d a s F u n ç õ e s d e I n t e r p o l a ç ã o 85

B . 2. P o l i n ó m i o s d e L a g r a n g e 87

B. 3 . E le m e n to s S L - 1 8 , S L -2 7 e S L -3 6 87

B . 4. E le m e n to s S L - 3 2 , S L -4 8 e S L -6 4 89

M odelos de elem en t-os f l n l t

-03

Os m o delo s s ã o a p lic a d o s à a n á lis e e s t á t i c a de p la c a s i s o t r ó p i c a s , o r t o t r ó p l c a s e lam inadas, o s r e s u lt a d o s se n d o c o m p a ra d o s com s o lu ç õ e s a n a lí t i c a s da t e o r i a da e ls t lc id a d e . A s t e n s õ e s s ã o calc u la d a s d ir e t a m e n t e da r e la ç ã o c o n s t i t u t i v a ou a t r a v é s da i n t e g r a ç ã o d as e q u a ç õ e s d i f e r e n c i a i s de e q u i lí b r i o . Na s u a v iz a ç ã o g lo b a l do cam po de t e n s õ e s é u t iliz a d a a t é c n ic a de d i f e r e n ç a s f i n i t a s .

Ab s t r a c t I n t h i s w o rk , o r t h o t r o p i c s o lid f i n i t e e le m e n t s a r e f o r m u la t e d and a p p lie d t o t h e a n a ly s is o f t h ic k p la t e s . S ix s o lid I s o p a r a m e t r ic e le m e n t s b a s e d on t h e d is p la c e m e n t m eth od a r e p r o p o s e d w it h e le m e n t s d i f f e r i n g on t h e o r d e r o f t h e i r i n t e r p o l a t i o n fu n c t io n s w hich a r e q u a d r a t ic o r c u b ic on t h e p la n e and l i n e a r , q u a d r a t ic o r cu b ic t h r o u g h t h e th ic k n e s s .

The m odels a r e a p p lie d t o t h e s t a t i c a n a ly s is o f i s o t r o p i c , o i 't h o t r o p i c and la m in a te d t h ic k p la t e s . The r e s u l t s a r e c o m p a re d w it h a n a ly t ic a l s o lu t io n s a v a ila b le in t h e t h e o r y o f e l a s t i c i t y .

The s t r e s s e s a r e d e t e r m in e d d i r e c t l y f r o m t h e c o n s t i t u t i v e r e l a t i o n s o r b y i n t e g r a t i o n o f t h e e q u ilib riu m d i f f e r e n c i a l e q u a tio n s . The f i n i t e d i f f e r e n c e te c h n iq u e is u sed in t h e s m o o th in g o f t h e g lo b a l s t r e s s fie ld .

Sí m b o l o s L a t i n o s [B®] m a t r i z da r e la ç ã o v e t-o r d e f o r m a ç ã o no e le m e n t o - v e t o r d o s g r a u s d e l i b e r d a d e do e le m e n t o [B I m a t r i z da r e la ç ã o v e t o r d e fo r m a ç ã o no e le m e n t o - v e t o r d o s g r a u s d e l i b e r d a d e do c o r p o [C ] m a t r i z de r i g i d e z do m a t e r ia l <f®> v e t o r d o s c o m p o n e n te s da f o r ç a de c o r p o <f®> v e t o r d os c o m p o n e n te s da f o r ç a de s u p e r f í c i e <f^*'> v e t o r dos, c o m p o n e n te s da f o r ç a c o n c e n t r a d a num p o n to i <F> v e t o r c a j r e g a m e n t o g lo b a l <F®> v e t o r c a r r e g a m e n t o e le m e n t a r <F®> p a r c e la do v e t o r c a r r e g a m e n t o r e l a t i v a à f o r ç a de c o r p o <F®> p a r c e la do v e t o r c a r r e g a m e n t o r e l a t i v a à f o r ç a de s u p e r f í c i e <F*^> p a r c e la do v e t o r c a r r e g a m e n t o r e l a t i v a à f o r ç a c o n c e n ­ t r a d a Fj fu n ç ã o de i n t e r p o l a ç ã o a s s o c ia d a ao nó J de um e le m e n t o <F^^> e <F^, > v e t o r d a s fu n ç S e s d e i n t e r p o l a ç ã o a s s o c i a d a s à d i r e ç ã o

1

NNE n ú m ero de n ó s de um e le m e n t o ISl m a t r iz de f le x ib i li d a d e do m a t e r i a l L sl m a t r i z d o s c o m p o n e n te s n o d a is d as f o r ç s num e le m e n t o de s u p e r f í c i e [S®3 m a t r iz de s u a v iz a ç ã o e le m e n t a r [S93 m a t r iz de s u a v iz a ç ã o g lo b a l S s u p e r f í c i e do c o r p o [T ] £ m a t r i z de t r a n s f o r m a ç ã o de d e fo r m a ç õ e s [T 1 cr m a t r iz de t r a n s f o r m a ç ã o de t e n s õ e s <T®> v e t o r e le m e n t a r de s u a v iz a ç ã o <T> v e t o r g lo b a l de s u a v iz a ç ã o U fu n ç ã o d e n s id a d e de e n e r g i a de d e fo r m a ç ã o <u> v e t o r d o s c o m p o n e n te s do cam po de d e s lo c a m e n to s <óu> v e t o r d o s c o m p o n e n te s do cam po v i r t u a l de d e s lo c a m e n to s <u®> <óu®> v e t o r d o s c o m p o n e n te s de d e s lo c a m e n to no d om ín io de um e le m e n t o v e t o r d o s c o m p o n e n te s de d e s lo c a m e n to v i r t u a l no d om ín io d e um e l e m e n t o V volum e do c o r p o Uj, U

2

U

3

3

0

6

1

<e®> v e t -o r d o s c o m p o n e n te s de d e fo r m a ç ã o no d om ín io do e

1

6

F i g u r a 4 . 1 . C o rp o t r i d i m e n s i o n a l g e n é r i c o 26 F i g u r a 6 . 1 . P l a c a i s o t r ó p i c a q u a d r a d a ; g e o m e t r i a e c a r r e g a m e n t o 54 F i g u r a 6 . 2 . P l a c a i s o t r ó p i c a : d o m ín io d l s c r e t i z a d o e c o n d i ç õ e s d e c o n t o r n o 54 F i g u r a 6 . 3 . C o n v e r g ê n c i a p a r a w C a / 2 ,a / 2 ,0 > numa p l a c a i s o t r ó p i ­ c a q u a d r a d a s im p le s m e n t e a p o i a d a s o b c a r r e g a m e n t o d i s t r i b u í d o u n if o r m e ; a / h = 5 . 57 F i g u r a 6 . 4 . C o n v e r g ê n c i a p a r a w < a / 2 , a / 2 , 0 ) numa p l a c a i s o t r ó p i ­ c a q u a d r a d a s im p le s m e n t e a p o i a d a s o b c a r r e g a m e n t o d i s t r i b u í d o u n if o r m e ; a / h *» 20. 57 F i g u r a 6 . 5 . C o n v e r g ê n c i a p a r a cj^<a/2 ,a / 2 , h / 2 ) numa p l a c a i s o t r ó ­ p i c a q u a d r a d a s im p le s m e n t e a p o i a d a s o b c a r r e g a m e n t o d i s t r i b u í d o u n if o r m e ; a / h »= 5. 58 F i g u r a

6

6

6

8

F i g u r a 6 . 1 3 . C o n v e r g ê n c i a p a r a w C a / 2 ,a / 2 ,0 > numa p l a c a o r t o t r ó p i ­ c a q u a d r a d a s im p le s m e n t e s u p o r t a d a s o b c a r r e g a m e n t o d i s t r i b u í d o u n if o r m e ; => 40 65 F i g u r a 6 . 1 4 . C o n v e r g ê n c i a p a r a w < a / 2 , a / 2 , 0 ) numa p l a c a o r t o t r ó p i ­ c a q u a d r a d a s im p le s m e n t e s u p o r t a d a s o b c a r r e g a m e n t o d i s t r i b u í d o u n if o r m e ; a / h

= 1 0

66

68

F i g u r a 6 . 2 7 . C o n v e r g ê n c i a p a r a , a/ 2 , 0> . R e s u l t a d o d a i n t e ­ g r a ç ã o d a e q u a ç a o d i f e r e n c i a l d e e q u i l í b r i o ; a / h = 1 0 78 F i g u r a 6 . 2 8 . C o n v e r g ê n c i a p a r a T ^ ^ C O ,a / 2 ,0 > . R e s u l t a d o d a i n t e ­ g r a ç ã o d a e q u a ç ã o d i f e r e n c i a l d e e q u i l í b r i o ; a / h = 4 78 F i g u r a A . 1. S i s t e m a s d e c o o r d e n a d a s g l o b a l e l o c a l , com t a b e l a d e c o s s e n o s d i r e t o r e s 82 F i g u r a B . 1. G e o m e t r ia e e n u m e ra ç ã o n o d a l l o c a l p a r a o s e le m e n ­ t o s S L - 1 8 , S L -2 7 e S L -3 6

86

86

Li s t a d e Ta b e l a s T a b e l a 3 . 1 . E q u i v a l ê n c i a e n t r e n o t a ç õ e s t e n s o r i a l e c o n t r a ­ í d a 15 T a b e l a 4 . 1 . Núm ero d e p o n t o s d e i n t e g r a ç ã o d o s e le m e n t o s s ó l i d o s 33 T a b e l a 5 . 1 . Núm ero d e p o n t o s d e r e c u p e r a ç ã o d e t e n s ã o 43 T a b e l a 6 . 1 . L e g e n d a e c a r a c t e r í s t i c a s b á s i c a s d o s e le m e n t o s 53 T a b e l a 6 . 2 . P l a c a i s o t r ó p i c a s im p le s m e n t e a p o i a d a : e r r o s p e r c e n t u a i s em w C a / 2 , a / 2 , 0 ) . M o d e lo s com 13 x13 x7 n ó s n a s d i r e ç õ e s x - y - z ; a / h = 5 59 T a b e l a 6 . 3 . P l a c a i s o t r ó p i c a e n g a s t a d a : e r r o s p e r c e n t u a i s em w C a / 2 ,a / 2 ,0 > e o’^Ca/2 , a / 2 , 0 > . M o d e lo s com 13 x13 x7 n ó s n a s d i r e ç õ e s x - y - z ; a / h = * 5. 61 T a b e l a 6 . 4 . P l a c a la m in a d a C O / 9 0 / 9 0 / 0 ); e r r o s p e r c e n t u a i s em w, <T^ e 76 T a b e l a 6 . 5 . P l a c a la m in a d a C O / 9 0 / 9 0 / 0 ): c o m p a ra ç ã o e n t r e o s e le m e n t o s S L -6 4 e um e le m e n t o m is t o 79

D i v e r s o s m o delo s de e le m e n t o s f i n i t o s tê m s id o p r o p o s t o s v isa n d o a a n a lis e de t e n s õ e s em m a t e r i a is c o m p o s t o s lam inados. E s t e s e le m e n t o s s ã o d os t i p o s h í b r i d o s , m is t o s ou, em g r a n d e p a r t e , b a s e a d o s em cam pos de d e s lo c a m e n to s de o rd e m s u p e r i o r . E s t a d i s s e r t a ç ã o c o m p re e n d e a fo rm u la ç ã o e a v a lia ç ã o de m odelos de e le m e n t o s f i n i t o s s ó lid o s o r t o t r ó p i c o s I s o p a r a m é t r ic o s b a s e a ­ d o s no m odelo de d e s lo c a m e n to s , sen d o a p lic a d o s à a n á lis e de p la c a s e s p e s s a s e s e m i-e s p e s s a s .

No c a p ít u lo 2 é a p r e s e n t a d a a r e v i s ã o b i b l i o g r á f i c a s o b r e m odelos de e le m e n t o s f i n i t o s d e s e n v o lv id o s p a r a a a n á lis e de ma­ t e r i a i s c o m p o s to s . A p a r t i r d a s c a r a c t e r í s t i c a s d e s t e s e le m e n t o s d e f i n e - s e a á r e a de t r a b a lh o : a n á lis e de p la c a s lam inadas e s p e s ­ s a s e s e m i- e s p e s s a s p o r m odelos de e le m e n t o s f i n i t o s s ó lid o s . Os c o n c e it o s de e la s t ic id a d e i m p o r t a n t e s p a r a a fo r m u la ç ã o d os e le m e n t o s e c o m p re e n s ã o f í s i c a d os p ro b le m a s a s e r e m a n a li­ s a d o s s ã o a p r e s e n t a d o s no c a p ít u lo 3, onde d e f i n e - s e fi s i c a m e n t e o p ro b le m a e l á s t i c o lin e a r p a r a em s e g u id a a p r e s e n t a r - s e a r e la ç ã o c o n s t i t u t i v a do m a t e r ia l. A fo r m u la ç ã o a n a lí t i c a d o s m odelos s ó lid o s é d e s e n v o lv id a no c a p ít u lo 4. P a r t i n d o - s e do p r i n c í p i o d o s t r a b a l h o s v i r t u a i s d e d u z -s e a s e q u a ç õ e s g e n é r i c a s de e le m e n t o s f i n i t o s , a p a r t i r d as q u a is o b t é m - s e a s e q u a ç õ e s p a r t ic u la r iz a d a s p a r a o s m odelos de e le m e n t o s f i n i t o s p r o p o s t o s . C h e g a -s e , a ssim , à m a t r iz de r i ­ g id e z e ao v e t o r c a r r e g a m e n t o d o s m odelos. No c a p ít u lo 5 s ã o a p r e s e n t a d o s o s p r o c e d im e n t o s p a r a o c á lcu lo de t e n s õ e s : d ir e t a m e n t e da r e la ç ã o c o n s t i t u t i v a ou a t r a ­

C o n c lu i-s e o c a p ít u lo a p r e s e n t a n d o a t é c n ic a de s u a v iz a ç ã o g l o ­ b a l de t e n s õ e s p o r m ín im os q u ad rad o s. Os m odelos de e le m e n t o s f i n i t o s p r o p o s t o s s ã o fin a lm e n t e a v a lia d o s no c a p ít u lo 6, on de s ã o a p r e s e n t a d o s o s r e s u lt a d o s p a ­ r a d i v e r s a s a p lic a ç õ e s S ã o a n a lis a d a s p la c a s I s o t r ó p l c a s , o r - t o t r ó p l c a s e lam in adas, t o d a s e la s e s p e s s a s e s e m l -e s p e s s a s , o s r e s u lt a d o s se n d o a p r e s e n t a d o s s o b a fo r m a de c u r v a s de c o n v e r g ê n c ia s . No c a p ít u lo 7 s ã o a p r e s e n t a d a s a s c o n c lu s õ e s a c e r c a d o s r e ­ s u lt a d o s o b t i d o s e s u g e s t õ e s de o u t r o s t r a b a lh o s .

2.1. I n t r o d u ç ã o a M a t e r i a i s C o m p o s t o s

Os m a t e r i a is c o m p o s t o s s ã o o b t i d o s a p a r t i r da c o m b in a ç ã o de d o is ou m ais m a t e r i a is em e s c a la m a c ro sc ó p ic a . Uma de s u a s g r a n d e s v a n t a g e n s c o n s i s t e em s e o b t e r um m a t e r ia l que r e u n e a s m e lh o re s c a r a c t e r í s t i c a s d o s m a t é r i a s o r i g i n a i s e , em m u ito s c a ­ s o s , q u a lid a d e s que nenhum d e le s p o ssu i.

A s e s t r u t u r a s c o n s t r u í d a s com e s t e s m a t e r i a is s ã o t ã o r e ­ s i s t e n t e s q u a n to a s m e t á lic a s m as, p o r a p r e s e n t a r e m e le v a d a r e ­ la ç ã o r e s i s t ê n c l a - p e s o , s ã o bem m ais le v e s . Além d is s o , a p r e s e n ­ tam e le v a d a r e s i s t ê n c i a à f a d ig a , ao d e s g a s t e e à c o r r o s ã o , r e ­ su lta n d o num m a t e r i a l com v a s t o p o t e n c ia l de u t iliz a ç ã o .

Os m a t e r i a i s c o m p o s t o s podem s e r c la s s if i c a d o s , b a s ic a m e n ­ t e , em c o m p o s t o s f i b r o s o s , lam inados e p a r t lc u la d o s . Os co m p os­ t o s f i b r o s o s c o n s is t e m em f i b r a s de c e r t o m a t e r i a l Im e r s a s numa m a t r iz de o u t r o m a t e r ia l. Os c o m p o s t o s lam inados s ã o f a b r i c a d o s a t r a v é s da s u p e r p o s iç ã o de cam adas de v á r i o s m a t e r i a is , e n q u a n to 03 c o m p o s t o s p a r t lc u la d o s c o n s is t e m em p a r t í c u l a s de um ou mais m a t e r i a is im e r s a s numa m a t r iz de um o u t r o m a t e r ia l.

E s t e t r a b a l h o s e d e té m ao e s t u d o de m a t e r i a is c o m p o s t o s f i ­ b r o s o s lam in a do s, fo r m a d o s p o r lâm inas de m a t e r i a is c o m p o s t o s f i b r o s o s u n id as a t r a v é s de t é c n ic a s de lam inação. Cada lâm ina é fo rm a d a p o r f i b r a s u n id ir e c io n a is Im e r s a s numa m a t r iz . A e s t e c o n ju n t o de lâm in as J u s t a p o s t a s e c o la d a s e n t r e s i , p a s s a r e m o s a d e n o m in ar s im p le s m e n te de m a t e r i a l c o m p o s to lam inado.

Os p r im e ir o s p e r i ó d ic o s s o b r e m a t e r i a is c o m p o s t o s lam in ados s u r g ir a m no I n í c io d o s a n o s s e s s e n t a . D esd e e n t ã o , in ú m e r o s t r a ­

r e s u lt a d o s e x p e r im e n t a is c o n s t a t o u - s e o c o m p o r ta m e n to m ecânico d e s t e s m a t e r i a is , fu n d a m en tan d o o d e s e n v o lv im e n t o de m odelos ma­ t e m á t ic o s que fo s s e m c a p a z e s de d e s c r e v ê - l o .

2.2. R e v i s ã o B i b l i o g r á f i c a

Na i n d ú s t r i a m o d e rn a j á é s i g n i f i c a t i v o o e m p i'e g o de m a t e ­ r i a i s c o m p o s t o s em c o m p o n e n te s e s t r u t u r a i s . Com a c r e s c e n t e com ­ p le x id a d e d as a p lic a ç õ e s , s u r g e a n e c e s s id a d e de m é to d o s de a n á lis e c a p a z e s de p r e v e r , com se g u i-a n ç a , o c o m p o r ta m e n to m ecânico d e s t a s e s t r u t u r a s . Uma á r e a c r í t i c a , p o r e x em p lo , c o n ­ s i s t e na a n á lis e de fa lh a s em lam in ados, onde as d i s t r i b u i ç õ e s de t e n s õ e s devem s e r d e t e r m in a d a s com p r e c is ã o .

Os m é to d o s de a n á lis e de t e n s õ e s em m a t e r i a is c o m p o s t o s s ã o r e c e n t e s , e s u a s a p lic a ç õ e s q u ase s e m p re lim it a d a s ao e s t u d o de p la c a s e c a s c a s.

A t é o f i n a l d o s an o s s e t e n t a a a n á lis e de p la c a s c o m p o s t a s c o n s is t ia , b a s ic a m e n t e , no e m p re g o da T e o r i a C lá s s ic a da L am in ação ou t e o r i a s de c is a lh a m e n to de p r im e ir a ordem .

A T e o r i a C lá s s ic a da L am in ação a d m ite a s h i p ó t e s e s de K i r c h h o f f na a n á lis e de uma placa. A n o rm a l à s u p e r f í c i e m édia in d e fo r m a d a é s u p o s t a p e r m a n e c e r in d e fo r m a d a e n o rm a l à s u p e r f í c i e m édia da p la c a d e fo rm a d a . Nas t e o r i a s de c is a lh a m e n to de p r im e ir a o rd e m , como o s t r a b a l h o s de W h ltn e y C1972), M edwadowski C1958> e Y an g e t a l l i (1 9 6 6 ), r e l a x a - s e a h i p ó t e s e de p e r p e n d ic u la r id a d e e n t r e a n o rm a l e a s u p e r f í c i e d e fo rm a d a s . E s t a s t e o r i a s s ã o , c o n tu d o , b a s t a n t e lim it a d a s na a n á lis e de p la c a s lam inadas. A s r e s t r i ç õ e s s ã o t a n t o m a io r e s q u a n to m ais e le v a d a f o r a r e la ç ã o E /E e n t r e o s m ódulos de e la s t ic id a d e

1 2

lo n g it u d in a is e q u a n to m ais b a ix a f o r a r a z ã o L / h e n t r e o com ­ p r im e n t o e a e s p e s s u r a da p laca. N e s t e s c a s o s , o e f e i t o do c i s a ­ lh a m en to t r a n s v e r s a l é m u ito m ais p ro n u n c ia d o que em e s t r u t u r a s i s o t r ó p i c a s s e m e lh a n t e s e a s t e o r i a s acim a s ã o e n t ã o in c a p a z e s de m o d e la r o em p en am en to da s e ç ã o t r a n s v e r s a l , ou s e j a , a d is ­ t o r ç ã o da n o rm a l d e fo rm a d a .

Em a p lic a ç õ e s c r í t i c a s , a m odelagem do e f e i t o do c is a lh a ­ m en to e x i g e o e m p re g o de t e o r i a s que in c o r p o r e m a p o s s ib ilid a d e

no e s t u d o do p ro b le m a . Uma d e la s c o n s i s t e na s o lu ç ã o das e q u a ç õ e s da e la s t ic id a d e t r id im e n s io n a l p a r a o p ro b le m a p r o p o s ­ t o . T r a b a lh o s com o o s de P a g an o <1969 e 1970> e P a gan o & H a t f ie ld <1972) a p r e s e n t a m s o lu ç õ e s e x a t a s p a r a a lg u n s p ro b le m a s de f l e x ã o em p la c a s lam inadas. A s a p lic a ç õ e s p r á t i c a s , e n t r e ­ t a n t o , e n v o lv e m g e o m e t r i a s , c o n d iç õ e s de c o n t o r n o e c a r r e g a m e n ­ t o s co m p le x o s, in v ia b iliz a n d o a s o lu ç ã o d as e q u a ç õ e s da e l a s t i ­ c id a d e , le v a n d o -s e e n t ã o ao e m p re g o de m é to d o s a p ro x im a d o s no e s t u d o do e f e i t o do c ls a lh a m e n to em p la c a s lam inadas.

As t e o r i a s s im p lific a d a s e m p re g a d a s n a a n á lis e de p la c a s lam inadas podem s e r d iv id id a s em duas g r a n d e s c a t e g o r i a s : t e o ­ r i a s de o rd e m s u p e r i o r e t e o r i a s de cam adas d i s c r e t a s .

Nas t e o r i a s de o rd em s u p e r i o r , a p la c a é c o n s id e r a d a uma e s t i^ u t u r a que p o s s u i uma ú n ica cam ada a n ls o t r ó p lc a . Na o b t e n ç ã o d as e q u a ç õ e s da e la s t ic id a d e , a s t e n s õ e s e / o u d e s lo c a m e n to s s ã o a p ro x im a d o s p o r e x p a n s õ e s n ã o l i n e a r e s ao lo n g o da e s p e s s u r a . E s t a a b o rd a g e m é u t iliz a d a , p o r ex em p lo, p o r R e i s s n e r <1975 e 1985>, Lo e í a l l i <1977a, 1977b e 1978) e Reddy <1984).

Nas t e o r i a s de cam adas d i s c r e t a s , a p la c a é c o n s id e r a d a um c o n ju n t o de lâm in as s u p e r p o s t a s . A s t e n s õ e s e / o u d e s lo c a m e n to s s ã o in t e r p o la d o s ao lo n g o da e s p e s s u r a da p la c a a t r a v é s de fu n ç õ e s c o n t ín u a s p o r p a r t e s Os t r a b a l h o s de Dl S c lu v a <1987) e T o le d a n o & Murakaml <1987) s ã o e x em p lo s d e s t a m e to d o lo g ia . E m b o ra a s t e o r i a s b id im e n s io n a is c o n s titu a m s im p lif ic a ç õ e s da t e o r i a da e la s t ic id a d e , s u a s s o lu ç õ e s a n a lí t i c a s p a r a a s a p lic a ç õ e s p r á t i c a s s ã o q u a se s e m p re de d i f í c i l o b t e n ç ã o . S u r g e , e n t ã o , a n e c e s s id a d e de u t iliz a r m o s m é to d o s n u m é ric o s na s o lu ç ã o d e s t a s e q u a ç õ e s. O m éto d o de e le m e n t o s f i n i t o s é h o je o m ais d e ­ s e n v o lv id o na a n á lis e de m a t e r i a is lam inados.

D i v e r s o s e le m e n t o s f i n i t o s tê m s id o d e s e n v o lv id o s p a r a a a n á lis e de p la c a s lam inadas. A s fo r m u la ç õ e s p ossu em c a r a c t e r í s t i c a s p e c u lia r e s e , com o r e s u lt a d o , o s c o m p o r ta m e n to s d os e le m e n t o s s ã o tam bém d i s t i n t o s . A lg u n s d o s e le m e n t o s f i n i t o s d e s e n v o lv id o s n o s ú ltim o s a n o s p a r a a a n á lis e de p la c a s lam ina­ das s e r ã o a g o r a a n a lisa d o s .

B a r k e r e t a l l i <1972) fo rm u la ra m um e le m e n t o s ó lid o o r t o t r ó p i c o I s o p a r a m é t r lc o de 24 n ó s, com fu n ç õ e s de i n t e r p o la ç ã o c ú b ic a s no p lan o e l i n e a r e s na e s p e s s u r a do e le m e n ­

25. Os r e s u lt a d o s s ã o c o m p a ra d o s com s o lu ç S e s e x a t a s , m o s t r a n d o - s e b o n s t a n t o p a r a a s t e n s õ e s de m em brana q u a n to p a r a a s t a n s - v e r s a is . N o o r & M a t h e r s C1977> a b o rd a r a m d o is a s p e c t o s da a n á lis e p o r e le m e n t o s f i n i t o s de p la c a s s im e t r ic a m e n t e lam inadas. I n i c i ­ a lm e n te , s ã o a p r e s e n t a d a s t é c n ic a s de e x p lo r a ç ã o de s i m e t r i a s vãsando a re d u ç ã o do c u s t o c o m p u ta c io n a l da a n á lis e . Em s e g u i­ da, e stu d a m o e f e i t o da a n i s o t r o p i a e da d e fo r m a ç ã o c is a lh a n t e na p r e c i s ã o e t a x a de c o n v e r g ê n c ia de c in c o e le m e n t o s f i n i t o s b id im e n s io n a is. Os r e s u lt a d o s m o s tra m que o s e le m e n t o s de o rd em s u p e r i o r s ã o m enos s e n s í v e i s a e s t e s e f e i t o s .

K an t e-t

alli

&t alli,

P o s t e r i o r m e n t e , Pandya & K an t <1988a) e x t e n d e r a m o t r a b a lh o a n t e r i o r a p la c a s o r t o t r ó p i c a s . P e r s i s t i n d o o d e s a c o p la m e n to e n ­ t r e f l e x ã o e e x t e n s ã o , o mesmo cam po de d e s lo c a m e n to s f o i u t i l i ­ za d o , se n d o o e le m e n t o tem bém de c la s s e C^.

Em s e g u id a , Pandya & K an t C1988b) d e s e n v o lv e ra m um e le m e n t o p a r a a a n á lis e de p la c a s s im e t r ic a m e n t e lam inadas. Como o d e s a ­ c o p la m e n to e n t r e f l e x ã o e e x t e n s ã o ain da p e r s i s t i a n aq u ela a p li­ c a ç ã o , o mesmo cam po de d e s lo c a m e n to s f o i u t iliz a d o . N e s t a f o r ­ m ulação, t e n s ã o e d e fo r m a ç ã o t r a n s v e r s a i s n o rm a is não fo r a m d e s ­ p re z a d a s . K an t & Pandya C1988) d e s e n v o lv e ra m um e le m e n t o la g r a n g e a n o de 9 n ó s a p a r t i r de um cam po de d e s lo c a m e n to s de o rd e m s u p e r i ­ o r. A c o n d iç ã o de t e n s õ e s t r a n s v e r s a i s c is a lh a n t e s nulas na s u ­ p e r f í c i e da p la c a é im p o s ta Já na fo rm u la ç ã o . As t e n s õ e s t r a n s ­ v e r s a i s s ã o calc u la d a s p o r i n t e g r a ç ã o d as e q u a ç õ e s de e q u i lí b r i o . Os r e s u lt a d o s s ã o co m p a ra d o s com s o lu ç õ e s de o u t r o s e le m e n t o s , s o lu ç õ e s s im p lific a d a s e s o lu ç õ e s da e la s t ic id a d e , m o s t r a n d o - s e b o n s t a n t o p a r a t e n s õ e s de m em brana q u a n to p a r a t e n s õ e s t r a n s v e r s a i s .

d e s lo c a m e n to s de m em brana s ã o in t e r p o la d o s q u a d r a t ic a m e n t e na e s p e s s u r a e o d e s lo c a m e n to t r a n s v e r s a l é s u p o s t o c o n s t a n t e na e s p e s s u r a da placa. A s t e n s õ e s t r a n s v e r s a i s s ã o c a lc u la d a s i n t e ­ g r a n d o - s e a s e q u a ç õ e s d i f e r e n c i a i s de e q u i lí b r i o . Os r e s u lt a d o s s ã o c o m p a ra d o s com s o lu ç o e s da e la s t ic id a d e . A fo r m u la ç ã o m os­ t r a - s e s u p e r i o r à t e o r i a c lá s s ic a da lam inação.

Phan & Reddy <1985) d e s e n v o lv e ra m um e le m e n t o f i n i t o a p a r ­ t i r da t e o r i a p r o p o s t a p o r Reddy <1984). Os d e s lo c a m e n to s de m em brana s ã o in t e r p o la d o s c u b ic a m e n te e o d e s lo c a m e n to t r a n s v e r ­ s a l é c o n s id e r a d o c o n s t a n t e ao lo n g o da e s p e s s u r a da placa. E s t a fo rm u la ç ã o f o r n e c e uma d i s t r i b u i ç ã o q u a d r á t ic a p a r a a s t e n s õ e s c is a lh a n t e s t r a n s v e r s a i s na e s p e s s u r a da p la c a , com v a l o r e s n u los em s u a s s u p e r f í c i e s i n f e r i o r e s u p e r i o r . O e le m e n t o a p r e ­ s e n t a , c o n tu d o , c a r a c t e r í s t i c a s in d e s e já v e i s : s u a fo r m u la ç ã o u t iliz a , im p lic it a m e n t e , uma r e la ç ã o c o n s t i t u t i v a p a r c i a l, em que a r e la ç ã o e n t r e o cam po de t e n s õ e s e o cam po de d e fo r m a ç õ e s em cad a lâm ina n ão e n v o lv e t o d o s o s s e i s c o m p o n e n te s de t e n s ã o em fu n ç ã o d o s s e i s c o m p o n e n te s de d e fo r m a ç ã o , o e s t a d o de t e n s õ e s s e n d o c o n s id e r a d o p lan o em cad a lâm ina; além d is s o , a fo r m u la ç ã o c o n té m d e r iv a d a s de s e g u n d a o rd e m no fu n c io n a l da e n e r g i a p o t e n c ia l t o t a l , le v a n d o ao e m p re g o d as I n e f i c i e n t e s fu n ç õ e s de in t e r p o l a ç ã o de c la s s e C^.

Kwon & Akin C1987), p a r t in d o de um cam po de d e s lo c a m e n to s de o rd e m s u p e r i o r , d e s e n v o lv e ra m um e le m e n t o m is t o p a r a a a n á lis e de p la c a s f i n a s e e s p e s s a s . A fo r m u la ç ã o a s s e g u r a uma d i s t r i b u i ç ã o q u a d r á t ic a p a r a a s t e n s õ e s c is a lh a n t e s t r a n s v e r s a i s ao lo n g o da e s p e s s u r a , com v a l o r e s nulos n as s u p e r f í c i e s s u p e - r i o i ' e i n f e r i o r . O a r t i g o l i m i t a - s e a a p r e s e n t a r r e s u lt a d o s p a r a o d e s lo c a m e n to t r a n s v e r s a l . C haudhuri & S e id e C1987) d e s e n v o lv e ra m um e le m e n t o t r i a n g u ­ l a r de c la s s e p a r a a a n á lis e de p la c a s e s p e s s a s a r b i t r a r i a ­ m e n te lam inadas. Na fo r m u la ç ã o , o d e s lo c a m e n to t r a n s v e r s a l é c o n s t a n t e na e s p e s s u r a do lam inado, e n q u a n to o s d e s lo c a m e n to s de m em bran a v a r ia m lin e a r m e n t e na e s p e s s u r a de cad a lâm ina. Como r e s u lt a d o , o n ú m ero de g r a u s de lib e r d a d e em cada nó do e le m e n t o d ep e n d e do n ú m e ro de lâm inas do lam inado. O a r t i g o a p r e s e n t a r e ­ s u lt a d o s p a r a d e s lo c a m e n to s de m em brana de uma p la c a e s p e s s a s e m i - i n f i n i t a , m o s t r a n d o -s e s u p e r i o r e s t a n t o a o s f o r n e c i d o s p e la

t e o r i a c lá s lc a da lam in ação q u a n to p e la t e o r i a de W h ltn e y & P agan o C1970). Não s ã o f o r n e c i d o s , c o n tu d o , r e s u lt a d o s p a r a as t e n s õ e s c is a lh a n t e s t r a n s v e r s a i s .

P o s t e r i o r m e n t e , C haudhuri C1986) p r o p ô s uma fo r m u la ç ã o s e ­ m elh an te à a n t e r i o r , a s t e n s õ e s c is a lh a n t e s t r a n s v e r s a i s sen d o c alcu lad as p o r i n t e g r a ç ã o das e q u a ç õ e s d i f e r e n c i a i s de e q u i lí b r i o . Os r e s u lt a d o s s ã o c o m p a ra d o s com s o lu ç õ e s da e l a s t i ­ c id a d e , s e n d o m uito b o a a c o n c o rd â n c ia . O a u t o r a d v e r t e , c o n t u ­ do, que em p la c a s lam inadas a s s im é t r i c a s o s u c e s s o do m é to d o e m p re g a d o é i n c e r t o . V isando s u p e r a r e s t a d e f ic iê n c ia , C haudhuri

& S e id e C1987> d e s e n v o lv e r a m um e le m e n t o s e m i- a n a l ít ic o p a r a a a n á lis e de p la c a s a n i s o t r ó p i c a s a r b i t r a r i a m e n t e lam inadas. Os r e s u lt a d o s s ã o c o m p a ra d o s com s o lu ç õ e s da e la s t i c id a d e p a r a c a s o s de p la c a s lam inadas e s p e s s a s a r b i t r a r i a m e n t e lam in adas, se n d o b o n s o s r e s u lt a d o s a p r e s e n t a d o s p e lo modelo.

Owen & L i C1987) d e s e n v o lv e ra m um m odelo lo c a l e m p re g a n d o uma t é c n ic a de s u b e s t r u t u r a ç ã o Os r e s u lt a d o s s ã o f o r n e c i d o s a p e n a s par-a p la c a s s im e t r ic a m e n t e lam inadas.

Di S c lu v a C1985) d e s e n v o lv e u um e le m e n t o com d e s lo c a m e n to s de m em brana v a r ia n d o lin e a r m e n t e ao lo n g o da e s p e s s u r a de cada lâmina. A fo r m u la ç ã o u t i l i z a fu n ç õ e s de in t e r p o l a ç ã o de c la s s e e uma r e la ç ã o c o n s t i t u t i v a p a r c ia l, a p r e s e n t a n d o , p o r t a n t o , lim it a ç õ e s s e m e lh a n t e s às do m odelo p r o p o s t o p o r Phan & Reddy <1985>. P o s t e r i o r m e n t e , o a u t o r CDi S c lu v a , 1986) c o m p a ro u o s r e s u lt a d o s d e s t e e le m e n t o com o s de o u t r o s f o rm u lad o s a p a r t i r da t e o r i a de W h ltn e y & P a g an o (1970). A s t e n s õ e s c i s a lh a n t e s t r a n s v e r s a i s n ão s ã o a n a lis a d a s em nenhum d e s t e s a r t i g o s .

Os e le m e n t o s f i n i t o s a t é a g o r a a p r e s e n t a d o s fo r a m fo r m u la ­ dos a p a r t i r do m odelo de d e s lo c a m e n to s , se n d o u t iliz a d o o p r i n ­ c í p i o da e n e r g i a p o t e n c ia l t o t a l. O u t r o s m odelos, como o s h í b r i d o s , tê m s id o d e s e n v o lv id o s . Os m odelos de e le m e n t o s f i n i t o s h í b r i d o s tê m s id o p r o p o s t o s com o o b j e t i v o de d e s c r e v e r com m a io r p r e c i s ã o o e f e i t o do c i s a ­ lh am en to t r a n s v e r s a l em p la c a s lam inadas. N e s t a s fo r m u la ç õ e s , p r o p õ e - s e um cam po de d e s lo c a m e n to s c o m p a t ív e l no c o n t o r n o do e le m e n t o e , in d e p e n d e n te m e n te , um cam po de t e n s õ e s em s e u d om ín io que s a t i s f a ç a e x a t a m e n t e as e q u a ç õ e s d i f e r e n c i a i s de e q u i lí b r i o h om ogên eas. Mau e í a l l i (19 72) desenvolvei--am um e le m e n t o h í b r i d o q u a

-t e n s ã o n o rm a l -t r a n s v e r s a l é ad m i-tid a nula. S ã o a p r e s e n t a d o s r e ­ s u lt a d o s p a r a p la c a s s im e t r ic a m e n t e lam in a das, se n d o ó tim a a c o n c o rd â n c ia com a s o lu ç ã o da e la s t ic id a d e . E n t r e t a n t o , c o n s t a ­ t a - s e um d e s v io em i>elação à s o lu ç ã o e x a t a p a r a a s t e n s õ e s c l s a - Ih a n te s t r a n s v e r s a i s n as r e g i õ e s in t e r la m in a r e s . C haudhuri C1986) s u g e r e que e s t e e r r o o c o r r e "p i^ o v av elm en te p o r q u e a c o n ­ d iç ã o de c o n t o r n o de t e n s ã o n o rm a l nula n as b o r d a s l i v r e s é s a t i s f e i t a a p e n a s a p ro x im a d a m e n te ". S p ilk e r e í a l l i C1977> fo rm u la ra m um e le m e n t o h í b r i d o c u jo n ú m ero de g r a u s de lib e r d a d e in d e p e n d e do n ú m ero de lâm in as do lam inado. O e le m e n t o é co m p arad o com um o u t r o fo rm u la d o segu n d o a m e t o d o lo g ia de Mau e í a l l i <1972>, m o s t r a n d o -s e eco n ô m ico q u an to à m em ó ria e te m p o de p r o c e s s a m e n t o n e c e s s á r io s . Os r e s u l ­ t a d o s a p r e s e n t a d o s p a r a p la c a s e s p e s s a s e s e m i- e s p e s s a s n ã o s ã o s a t i s f a t ó r l o s . P o s t e r i o r m e n t e , S p ilk e r <1980> p r o p ô s um e le m e n t o h í b r i d o com in t e r p o l a ç õ e s c ú b ic a s e q u a d r á t ic a s p a r a o s d e s lo c a m e n to s de m em brana e t r a n s v e r s a l , r e s p e c t iv a m e n t e , ao lo n g o da e s p e s s u r a do e le m e n to . Dado o e le v a d o n ú m ero de g r a u s de lib e r d a d e e n v o l­ v id o s na f o rm u la ç ã o , o a u t o r d e s e n v o lv e o e le m e n t o p a r a o c a s o p a r t i c u l a r de um e s t a d o p lan o de d e fo r m a ç ã o , a p r e s e n t a n d o r e s u l ­ t a d o s n u m é ric o s p a r a a f l e x ã o c i lí n d r i c a de p la c a s e s p e s s a s . Os r e s u lt a d o s a p r e s e n t a m e x c e le n t e c o n c o r d â n c ia com a s o lu ç ã o e x a ­ t a , mesmo p a r a lam inados e s p e s s o s . E s p e r a - s e uma p r e c i s ã o se m e ­ lh a n t e quando a fo r m u la ç ã o d e s t e a u t o r f o r e s t e n d id a à a n á lis e t r id im e n s io n a l de p la c a s lam inadas. N e s t e c a s o , c o n tu d o , o n ú m ero de g r a u s de lib e r d a d e e p a r â m e t r o s de t e n s ã o c r e s c e r á com o n ú m ero de lâ m ln a s,e a c a p a c id a d e c o m p u ta c io n a l p o d e r á s e r um f a t o r l lm lt a n t e do nú m ero de lâm in as a s e r e m a n a lisa d a s .

S p ilk e r e Engelm ann C1986> a p r e s e n t a r a m , m ais t a r d e , um e le m e n t o f i n i t o h í b r i d o p a r a p la c a s lam in adas f i n a s e s e m i- e s p e s s a s . O n ú m ero de g r a u s de lib e r d a d e de d e s lo c a m e n to e p a r â m e t r o s de t e n s ã o in dep en dem do númei-o de lâm inas do lam ina­ do. O e le m e n t o p o s s iu

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uma d as s e g u in t e s h i p ó t e s e s : t e n s ã o n o rm a l t r a n s v e r s a l nula ou d e s lo c a m e n to t r a n s v e r s a l c o n s t a n t e ao lo n g o da e s p e s s u r a do la ­ minado. A c r e d it a n d o que e s t a s h i p ó t e s e s s ã o i n j u s t i f i c á v e i s d ia n t e do c o m p o r ta m e n to p r e v i s t o p e la s s o lu ç o e s f o r n e c i d a s p e la t e o r i a da e la s t ic id a d e . L io u & Sun C1987) p r o p u s e r a m um e le m e n t o f i n i t o h í b r i d o is o p a r a m é t r i c o c u ja fo rm u la ç ã o n ão an u la o com po­ n e n t e CT do t e n s o r t e n s ã o . A lgu n s r e s u lt a d o s s ã o c o m p a ra d o s com

z

s o lu ç o e s da e la s t ic id a d e , v e r i f i c a n d o - s e g r a n d e s e r r o s p a r a as t e n s õ e s c is a lh a n t e s t r a n s v e r s a i s n as r e g i õ e s in t e r la m in a r e s .

E s t e s s ã o a p e n a s algu n s d o s d i v e r s o s m odelos p r o p o s t o s p a r a a a n á lis e de p la c a s lam inadas, c o n s id e r a d o s o s m ais s i g n i f i c a t i ­ v o s d e n t r e o s p u b lic a d o s n o s p e r ió d ic o s d is p o n í v e is n as b i b l i o ­ t e c a s n a c io n a is. Cada um d e s t e s m odelos, ain d a que t e n h a s e m os­ t r a d o s im p le s ou i n e f i c i e n t e , r e p r e s e n t a uma c o n t r ib u iç ã o p a r a a c o m p re e n s ã o do d esem p en h o do m éto d o de e le m e n t o s f i n i t o s quando a p lic a d o à a n á lis e de p la c a s lam inadas.

A p e s a r d as in ú m e ra s p e s q u is a s d e s e n v o lv id a s , a in d a é b a s ­ t a n t e lim ita d o o c o n h e c im e n to n e s t a á r e a . A a n i s o t r o p i a do m a t e ­ r i a l lam inado e x ig e fo r m u la ç õ e s m ais s o f i s t i c a d a s que a s e m p r e ­ g a d a s com s u c e s s o na a n á lis e de e s t r u t u r a s I s o t r ó p i c a s se m e lh a n ­ t e s . Além d is s o , s ã o p ou cas a s s o lu ç õ e s e x a t a s d is p o n í v e is , o que d i f i c u l t a a a v a lia ç ã o d o s e le m e n t o s em a p lic a ç õ e s com p lexas. Assim , e s t a á r e a s e c o n s t i t u i num cam po de p e s q u is a f é r t i l , mui­ t o poden do s e r d e s e n v o lv id o e d e s c o b e r t o .

2.3. M o t i v a ç ã o d a D i s s e r t a ç ã o

O p r o j e t o de e s t r u t u r a s c o m p o s ta s e n v o lv e o e s t u d o d o s p r o ­ blem as de d e la m in aç ão e f r a t u r a . A d ela m in aç ão c o n s i s t e na r u p ­ t u r a da m a t r iz p o r c is a lh a m e n to n as r e g i õ e s i n t e r la m i n a r e s e s e u e s t u d o r e q u e r p r e c i s ã o no c á lc u lo d as t e n s õ e s c is a lh a n t e s t r a n s ­ v e r s a i s . A f r a t u r a ou r u p t u r a da e s t r u t u r a e s t á a s s o c ia d a ao c r e s c im e n t o de fa lh a s e x i s t e n t e s em s e u i n t e r i o r e s e u c o n t r o l e e x ig e uma d e s c r i ç ã o d e t a lh a d a e p r e c i s a de t o d o s o s c o m p o n e n te s do t e n s o r t e n s ã o . A ssim , e s t u d o s de d ela m in aç ão e f r a t u r a em ma­ t e r i a i s c o m p o s t o s r e q u e r e m um m éto d o de a n á lis e que s e j a c a p a z de d e s c r e v e r com p i'e c is ã o o e s t a d o t r id im e n s io n a l de t e n s õ e s no dom ín io da e s t r u t u r a .