Um estudo de estratégias de inversão de dados sísmicos via inversão da forma de onda completa no domínio da frequência

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIA – CT

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA – CCET

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM CIÊNCIA E ENGENHARIA DE PETRÓLEO - PPGCEP

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

Um estudo de estratégias de inversão de dados sísmicos via inversão da

forma de onda completa no domínio da frequência

Raphael Carvalho de Lucena Rêgo

Orientador: Prof. Dr. João Medeiros de Araújo Coorientador: Dr. Carlos Alexandre Nascimento da Costa

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Um estudo de estratégias de inversão de dados sísmicos via inversão da

forma de onda completa no domínio da frequência

Raphael Carvalho de Lucena Rêgo

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN Sistema de Bibliotecas - SISBI

Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Central Zila Mamede

Rêgo, Raphael Carvalho de Lucena.

Um estudo de estratégias de inversão de dados sísmicos via inversão da forma de onda completa no domínio da frequência / Raphael Carvalho de Lucena Rêgo. - 2019.

54 f.: il.

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Ciências Exatas e da Terra, Programa de Pós-Graduação em Ciência e Engenharia de Petróleo, Natal, RN, 2020. Orientador: Prof. Dr. João Medeiros de Araújo.

Coorientador: Dr. Carlos Alexandre Nascimento da Costa.

1. Inversão - Dissertação. 2. Otimização - Dissertação. 3. Regularização - Dissertação. 4. Cauchy - Dissertação. 5. Tikhonov - Dissertação. I. Araújo, João Medeiros de. II. Costa, Carlos Alexandre Nascimento da. III. Título.

RN/UF/BCZM CDU 550.34

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RÊGO, Raphael Carvalho de Lucena - Título.Um estudo de estratégias de inversão de dados sísmicos via inversão da forma de onda completa no domínio da frequência, UFRN, Programa de Pós-Graduação em Ciência e Engenharia de Petróleo. Área de Concentração: Pesquisa e Desenvolvimento em Ciência e Engenharia de Petróleo. Linha de Pesquisa: Física Aplicada à Exploração e à Produção de Petróleo e Gás Natural, Natal – RN, Brasil.

Orientador: Prof. Dr. João Medeiros de Araújo

Coorientador: Dr. Carlos Alexandre Nascimento da Costa

RESUMO

A inversão da forma de onda completa (Full-Waveform Inversion) é uma poderosa técnica de imageamento sísmico capaz de recuperar modelos de subsuperfície com alta resolução a partir dos dados observados. Esta inversão é um problema não-linear formulado como um problema de otimização local que busca a minimização da função objetivo, na tentativa de encontrar valores que ajustem os dados modelado e observado. A fim de minimizar o problema da não linearidade, faz-se uso de uma abordagem de inversão multiescalas que mitiga a sensibilidade do problema em convergir para mínimos locais. Neste trabalho, foram estudadas estratégias de inversão da forma de onda completa no domínio da frequência (inversão por frequências e por bandas de frequência) com o modelo Marmousi na presença e na ausência de ruídos. Adicionalmente, foi proposta uma regularização híbrida baseada nas restrições de Cauchy e Tikhonov, no intuito de balancear suavidade e esparsidade também em situações de presença e ausência de ruídos. Os testes realizados mostraram uma superioridade na utilização da inversão por bandas de frequência. Além disso, para o Marmousi, a regularização híbrida proposta conseguiu inverter o modelo inicial de forma satisfatória e apresenta-se como uma boa opção para inversões de dados na ausência de componentes ruidosos enquanto a regularização de Tikhonov foi melhor ajustada considerando o ruído utilizado e as parametrizações deste trabalho.

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ABSTRACT

Full-Waveform Inversion is a powerful seismic imaging technique capable of recovering high-resolution subsurface models from observed data. This inversion is a nonlinear problem formulated as a local optimization problem that seeks to minimize the objective function in an attempt to find values that fit the modeled and observed data. In order to minimize the nonlinearity problem, a multiscale inversion approach is used to mitigate the sensitivity of the problem to converging toward local minima. In this work, we studied the frequency domain Full-Wave Inversion strategies (frequency and small frequency band inversion) with the Marmousi model in the presence and absence of noise. Additionally, a hybrid regularization based on Cauchy and Tikhonov constraints was proposed, in order to balance smoothness and sparsity also in noise presence and absence situations. The tests showed a superiority in the use of frequency band inversion. Moreover, for Marmousi, the proposed hybrid regularization was able to satisfactorily invert the initial model and it is a good option for data inversions in the absence of noisy components while Tikhonov was better adjusted considering the noise used and the parameters of this work..

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Dedico este trabalho a Deus e a todos

que contribuíram para que eu

chegasse até aqui.

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AGRADECIMENTOS

Agradeço, primeiramente, a Deus. Pelo dom da vida, saúde e inteligência.

À minha família sempre disposta a se sacrificar para que eu consiga êxito nos meus projetos. Em especial, agradeço à minha mãe Nadja, ao meu tio Aurênio e ao meu avô Antônio Maia de Lucena, “In Memorian”, o qual sempre foi o maior incentivador dos meus estudos.

À Universidade Federal do Rio Grande do Norte e ao Programa de Pós-Graduação em Ciência e Engenharia do Petróleo pelo apoio estrutural na realização deste trabalho.

Aos meus orientadores, Prof. Dr. João Medeiros de Araújo e ao Dr. Carlos Alexandre Nascimento da Costa pela motivação, empenho e orientação durante todo o mestrado.

Aos colegas de laboratório: Edwin, Sérgio, Wagner, Rafael, Suzane, Danielle, Pedro, Alírio pelos conhecimentos compartilhados.

À minha namorada, Luana, por todo apoio, motivação, ajuda e confiança no meu potencial. Te amo.

Aos meus amigos, por todo incentivo.

Por fim, agradeço a todos aqueles que, desde quando eu era pequeno, me ajudaram direta ou indiretamente, para que eu conseguisse conquistar meus objetivos.

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Sumário

1. Introdução ... 12

2. Aspectos Teóricos ... 17

2.1 Introdução à inversão de dados sísmicos ... 17

2.1.1 Problema direto ... 17

2.1.2 Problema inverso ... 18

2.1.3 Unicidade e estabilidade de problemas inversos ... 18

2.2 Representação da forma de onda ... 19

2.2.1 Camadas absorventes ... 20

2.2.2 Formulação Matricial ... 21

2.3 Inversão da forma de onda completa ... 22

2.3.1 Inversão da forma de onda como problema de otimização local dos quadrados mínimos ... 23

2.3.2 Inversão Multiescalas ... 26

2.3.3 Limitações do método ... 28

2.4 Regularização ... 29

2.4.1 Função objetivo ... 29

2.4.2 Esquema de regularização híbrida ... 31

3. Exemplos Numéricos ... 34

3.1 Dado sintético observado... 34

3.2 Testes numéricos sem regularização ... 35

3.3 Testes numéricos com regularização ... 42

4. Considerações Finais ... 48

REFERÊNCIAS ... 50

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LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1. Esquema do problema sísmico acústico direto. ... 18

Figura 2.2. Esquema do problema sísmico acústico inverso. ... 18

Figura 2.3. Representação da matriz de impedância discretizada da equação de onda no domínio da frequência para os estêncis: (A) convencional de 5 pontos; (B) compacto de 9 pontos e (C) compacto de 25 pontos. ... 22

Figura 2.4. Esquema do Salto de Ciclo na FWI. A linha sólida representa um sismograma monocromático de período T no tempo. A linha superior compara outro sismograma monocromático atrasado de T/2. Já em comparação com a linha inferior, os ciclos estão em fase pois o atraso é menor do que T/2. Fonte: Adaptado de Virieux e Operto (2009). ... 28

Figura 3.1. Modelo Marmousi completo. ... 34

Figura 3.2. (a) Assinatura da fonte (Ricker); (b) Espectro de amplitude da fonte. ... 35

Figura 3.3. Fluxograma de inversão. ... 36

Figura 3.4. Modelo de velocidade inicial (suavizado)... 37

Figura 3.5. Modelo de velocidades inicial (gradiente). ... 37

Figura 3.6. Resultado da inversão (modelo suavizado). ... 38

Figura 3.7. Resultado da inversão (modelo gradiente). ... 38

Figura 3.8. Inversão frequência por frequência. ... 39

Figura 3.9. Inversão realizada por bandas de frequência. ... 40

Figura 3.10. Resultado da inversão para a estratégia 1 com ruído (SNR = 100). ... 41

Figura 3.11. Resultado da inversão para a estratégia 2 com ruído (SNR = 100). ... 41

Figura 3.12. Inversão utilizando a regularização de Cauchy. ... 43

Figura 3.13. Inversão utilizando a regularização de Tikhonov. ... 43

Figura 3.14. Inversão utilizando a regularização híbrida. ... 44

Figura 3.15. Inversão utilizando a regularização de Cauchy (SNR = 100). ... 45

Figura 3.16. Inversão utilizando a regularização de Tikhonov (SNR = 100). ... 46

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CAPÍTULO 1

Introdução

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Introdução

Raphael Carvalho de Lucena Rêgo – Dezembro /2019 12

1. Introdução

Os problemas inversos no âmbito das ciências exatas são bastante recorrentes. O intuito de uma inversão de dados é conseguir fazer inferências sobre sistemas físicos a partir de medidas observadas. Por meio da inversão tenta-se descrever um sistema físico de forma que sua solução propicie resultados próximos das medidas observadas. Todavia, este não é um processo simples, dadas as incertezas existentes em todo problema inverso, como: precisão dos dados conhecidos, solução capaz de descrever o sistema físico de forma consistente, parametrização do meio físico e técnica de otimização adequada. Vários são os métodos que podem ser utilizados para resolver um problema inverso, cada qual com sua vantagem e/ou limitação. Dentre esses métodos, existem procedimentos de otimização que compreendem abordagens globais ou locais. Abordagens globais, apesar de serem menos sensíveis à presença de mínimos locais e à escolha dos modelos iniciais, são demasiadamente exigentes em termos computacionais. Por esta razão, eles são preteridos em relação à métodos de otimização local.

A inversão da forma de onda completa (do inglês, Full-Waveform Inversion – FWI) é uma poderosa técnica de imageamento sísmico capaz de construir modelos de subsuperfície com alta resolução a partir dos dados observados (sismogramas) (LAILLY, 1983; TARANTOLA, 1984; VIRIEUX et al., 2017). Desde o início de sua aplicação, a viabilidade da FWI tem sido questionada pela indústria, muito devido ao grande desprendimento de esforços para trabalhar com um método matematicamente robusto e que envolve uma grande quantidade de dados para armazenamento e processamento, principalmente nos casos de aquisições sísmicas em 3D. Além de ter que simular a propagação da onda muitas vezes, o que implica na solução numérica da solução da equação de onda a cada iteração no processo de inversão. Entretanto, devido aos avanços computacionais, este método tem se tornado cada vez mais exequível no imageamento sísmico de alta resolução, particularmente na construção de modelos de velocidades de subsuperfície.

A FWI é um problema não-linear formulado como um problema de otimização local, geralmente resolvido com métodos baseados em gradiente (VIRIEUX; OPERTO, 2009). Primeiramente, o campo de onda é calculado a partir de um dado modelo de velocidade (modelo inicial). Em seguida, extrai-se a informação do campo de onda na posição dos receptores e compara-se aos dados sísmicos observados. Esta comparação é dada através de uma função objetivo. Na sequência, é utilizado um método de otimização para minimização da função

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Introdução

objetivo, na tentativa de encontrar valores que reduzam a diferença entre os dados modelado e observado. Em seguida, o modelo de velocidades é atualizado e seu campo de onda é novamente comparado com o campo de onda observado (campos de onda na posição dos receptores). O processo de inversão é iterativo e se repete até que o valor da função objetivo seja mínimo.

Um aspecto importante em relação a FWI é o fato de ela poder ser formulada em diversos domínios. No início de sua aplicação, podem-se mencionar os trabalhos no domínio do tempo (LAILLY, 1983; TARANTOLA, 1984). Em seguida, no domínio da frequência (PRATT; WORTHINGTON, 1990; PRATT, 1999) e hibridamente (SIRGUE; ETGEN; ALBERTIN, 2008) ou Liu et al. (2015) para problemas 3D com formulação híbrida. Mais recentemente, podem-se destacar trabalhos em FWI nos domínios de Laplace-Fourier (RIVERA; DUQUET; WILLIAMSON, 2015), Laplace (SHIN; SHIN; CALANDRA, 2016). Além de trabalhos que consideram o meio como elástico, como em Kwon et al. (2019) por exemplo, acústico-elástico (AGUDO et al., 2018), visco-elástico (FABIEN; GLOAGUEN; GIROUX, 2017).

Para este trabalho, a FWI foi formulada no domínio da frequência. A não-linearidade da inversão proporcionou inúmeros estudos para resolver essa questão. A escolha entre a formulação da inversão no domínio do tempo ou no domínio da frequência depende fortemente do tipo de estratégia utilizada para diminuir a não-linearidade e do quão exequível é o problema, em termos computacionais. Com relação à formulação no domínio do tempo, este fornece uma maior flexibilidade para escolher os tipos de chegadas da forma de onda que serão invertidas. Dessa forma, consegue-se diminuir informações que geram maior não-linearidade ao problema. Já em relação à formulação no domínio da frequência, esta estratégia possibilita uma estruturação mais natural para a inversão multiescalas, como será discutido no capítulo 2. Além disso, de acordo com Sirgue e Pratt (2004), o processo de escolha de frequências pode ser mais facilmente feito a depender da geometria utilizada no levantamento sísmico e da profundidade do alvo, uma vez que para recuperar os parâmetros físicos de subsuperfície, poucas frequências podem ser necessárias. De forma geral, a FWI no domínio da frequência favorece a implementação em multiescalas enquanto a formulação no domínio da frequência favorece a aplicação de janelas de tempo de geometria arbitrárias (VIRIEUX; OPERTO, 2009).

Outro aspecto importante é que esta técnica é capaz de produzir resultados mais elaborados do que a tomografia e análises de velocidades (SHI; HE, 2018) por usar a informação completa das formas de ondas, levando em consideração todos os fenômenos e tipos

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Introdução

de ondas, tais como: reflexões críticas, ondas mergulhantes, entre outros. Porém, este método ainda não está amplamente difundido talvez pelo fato de ser sensível ao modelo inicial, às informações da fonte, ao conteúdo de ruído no dado e ao alto custo computacional (VIRIEUX; OPERTO, 2009). Para solucionar este último, foram desenvolvidos métodos de otimização que podem calcular ou estimar o Hessiano, aumentando a convergência (PRATT et al., 1998; LIU et al., 2013). Neste âmbito, métodos como o Limited-memory Broyden–Fletcher–Goldfarb–

Shanno (L-BFGS) (NOCEDAL; WRIGHT, 2006) têm sido largamente usados devido aos ganhos relacionados à redução do tempo e da memória computacional se comparado com outros métodos de otimização. Shi e He (2018) acrescentam que também são considerados avanços em computação paralela e distribuída, além de métodos que reduzem o custo computacional por meio da redução de tiros necessários para inversão.

Como o método de otimização baseado em gradiente é um problema de otimização local, dependendo do modelo inicial, é possível obter um resultado estacionado em mínimos locais ao invés de um mínimo global. Para reduzir esse problema, existem vários estudos relacionados à linearização da relação entre o campo observado e os parâmetros do modelo, que funcionam bem desde que o modelo inicial não esteja tão longe do modelo verdadeiro (BERKHOUT, 1984; DEVANEY, 1984; ESMERSOY, 1986; LEVY; ESMERSOY, 1988; TARANTOLA, 1984; KOLB; COLLINO; LAILLY, 1986). Para mitigar problemas deste tipo, Bunks et al. (1995) propuseram um método de inversão por escalas, partindo de frequências baixas para mais altas, progressivamente, diminuindo a não linearidade do problema e, consequentemente, reduzindo as chances de se obter mínimos locais no processo de otimização. Neste caso, a inversão é realizada por estágios, onde o modelo de velocidade invertido em cada estágio é usado como modelo inicial para o estágio seguinte.

Adicionalmente, a inversão da forma de onda completa também sofre pelo fato de produzir imagens de subsuperfície que não possuem significado físico. Um dos motivos é pelo fato de haver diversas soluções que minimizam o problema. No intuito de aliviar a questão da não-unicidade do problema, alguns estudos de inversão fazem uso de um pré-condicionamento ou regularização. Muitos destes trabalhos utilizam uma regularização híbrida de forma a combinar condicionantes que promovem suavidade ou esparsidade à inversão. Trabalhos neste sentido podem ser exemplificados por Bertete-Aguirre, Cherkaev e Oristaglio (2002), Anagaw e Sacchi (2011), Guitton (2012), Asnaashari et al. (2013), Gholami e Hosseini (2013) e Aghamiry, Gholami e Operto (2019).

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Introdução

Este trabalho objetiva estudar diferentes estratégias de inversão de dados sísmicos via inversão da forma de onda completa no domínio da frequência. Para isso, foram comparadas duas estratégias de inversão da forma de onda completa supracitadas no domínio da frequência, utilizando inversões por frequência e por bandas de frequência a fim de compreender qual destas consegue obter melhores resultados no imageamento sísmico. Para efeito de comparação, foram apresentados cenários com dados livres de ruídos e com a presença de ruído aleatório no dado observado para verificar o quão sensível a variações é cada método, além da estabilidade do problema. Adicionalmente, foi testada uma regularização híbrida (utilizando restrições de Cauchy e Tikhonov), proposta neste trabalho, no intuito de avaliar os possíveis ganhos qualitativos ao final da inversão.

Esta dissertação está organizada da seguinte forma: Inicialmente, no capítulo 1, foi dada uma breve introdução à inversão da forma de onda completa. No segundo capítulo, o método de inversão da forma de onda completa será apresentado com mais detalhes, permeando sua formulação matemática, métodos de otimização e estratégias para mitigar o mau-condicionamento do problema, evitando a convergência em mínimos locais da função objetivo. Além disso, será mostrada a formulação da inversão da forma de onda completa utilizando uma regularização híbrida proposta. No capítulo 3, serão apresentados os experimentos numéricos relacionados às estratégias comentadas anteriormente para dados sísmicos com e sem ruído. Por fim, no capítulo 4, serão feitas as considerações finais a respeito dos resultados obtidos e suas implicações.

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CAPÍTULO 2

Aspectos Teóricos

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Aspectos Teóricos

2. Aspectos Teóricos

Neste capítulo, será abordado o tema da inversão de dados no que diz respeito à motivação, vantagens e desvantagens desta técnica. Também será apresentado o funcionamento da inversão da forma de onda completa, as equações envolvidas, métodos de otimização e a regularização híbrida proposta.

2.1 Introdução à inversão de dados sísmicos

Levantamentos sísmicos convencionais produzem dados sísmicos a partir da propagação de ondas sísmicas em subsuperfície e do seu registro por receptores posicionados estrategicamente, geralmente na superfície da terra. As informações coletadas passam por um processamento de dados a fim de produzir uma imagem representativa das feições geológicas dessa área estudada e posteriormente por uma interpretação que objetiva localizar estruturas indicativas de acumulações de hidrocarbonetos.

A inversão de dados sísmicos é uma ferramenta calcada na matemática que permite reconstruir um modelo que se adeque aos dados observados. Dessa forma, no caso da inversão sísmica, utilizam-se informações dos sismogramas e modelos matemáticos que simulem a propagação de onda nesse meio para encontrar modelos de propriedades físicas que se ajustem da melhor forma possível os dados observados e calculados. Com isso, o resultado busca caracterizar o meio a partir da observação da propagação do campo de ondas.

Um importante aspecto da ciência física é fazer inferências sobre propriedades físicas baseado em observações, estabelecendo uma relação entre causa e efeito. Este tipo de inferência é realizada através de um problema inverso.

2.1.1 Problema direto

Na FWI, o problema direto consiste em modelar as formas de onda a partir de um modelo inicial de velocidades. Para isto, é necessário definir uma grandeza física que pode ser observada a partir dos parâmetros e dados que o definem. Assim, sabendo-se os parâmetros que caracterizam um meio pode-se predizer os sismogramas correspondentes a um certo modelo que representa a terra. Esse esquema pode ser observado a seguir (Figura 2.1).

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Figura 2.1. Esquema do problema sísmico acústico direto.

2.1.2 Problema inverso

O problema inverso, por sua vez, tem o objetivo de determinar os parâmetros físicos de um dado sistema por meio do registro de grandezas observadas utilizando um modelo matemático capaz de relacionar esses parâmetros e a grandeza observada. A exploração sísmica, por desconhecer o interior da terra, utiliza dados registrados na superfície para inferir o interior da terra. Para o problema sísmico acústico inverso, utilizam-se sismogramas para determinar a velocidade compressional em subsuperfície, como ilustra a Figura 2.2.

Figura 2.2. Esquema do problema sísmico acústico inverso.

2.1.3 Unicidade e estabilidade de problemas inversos

Os problemas inversos são, matematicamente, mal-postos (HADAMARD, 1902). Um problema bem-posto ou bem-condicionado no sentido de Hadamard é um problema com as três características dadas abaixo:

1 – Possui solução; 2 – A solução é única;

3 – A solução tem uma dependência contínua com os dados de entrada.

Para um problema ser mal-posto, ele deve deixar de atender a pelo menos uma das características mencionadas. No geral, um problema inverso não satisfaz nenhuma das condições anteriores. Caso satisfaça apenas a condição 3, o problema é dito ser mal-condicionado.

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Tome-se, por exemplo, a equação de primeiro grau: 2x - 4 = 0. Este é um problema de resolução direta, de forma que x = 2 é a única solução desta equação linear. No caso inverso, em que se tem: ax + b = 0, x = 2 não é a única solução possível, pois a depender de a e b várias equações são possíveis de fornecer 2 como resultado (CAMPOS VELHO, 2001).

O fato de a solução ter uma dependência contínua com os dados de entrada diz respeito à influência do atributo da estabilidade no problema inverso. Caso a condição 3 não seja satisfeita, os valores computados em uma inversão de dados terão seus valores distantes da solução desejada. Exceto fossem fornecidas informações adicionais com bom nível de confiabilidade a respeito da solução, este problema não poderia ser superado.

Existem vários métodos para solucionar um problema inverso, cada qual com sua aplicabilidade e limitação. Dentre eles, a Full-Waveform Inversion, um método de otimização local que visa minimizar a diferença entre os dados observados e os dados simulados a partir de um modelo de velocidades.

2.2 Representação da forma de onda

A equação da onda acústica com densidade constante no domínio do tempo é dada por:

∇

2

𝑢(𝑥, 𝑡) −

1 𝑐2(𝑥)

𝜕2𝑢(𝑥,𝑡)

𝜕𝑡2

= 𝜌𝑠(𝑥, 𝑡)

(1) onde 𝑐 representa o modelo de velocidade do meio das ondas P, ρ é a densidade do meio; 𝑠 e 𝑢 representam a fonte sísmica e o campo de ondas de pressão, respectivamente. O tempo e as coordenadas espaciais são denotadas por 𝑡 e 𝑥.

Aplicando-se a transformada de Fourier na Equação (1) obtém-se a equação de onda no domínio da frequência, mais conhecida como equação de Helmholtz (DUARTE, 2012).

∇2_{ũ(𝑥, 𝑤) +} 𝑤2

𝑐2(𝑥)ũ(𝑥, 𝑤) = 𝜌𝑆(𝑥, 𝑤) (2)

onde 𝑤 representa a frequência angular , ũ é o campo de onda monocromático no domínio da frequência, S é o termo da fonte no domínio da frequência.

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2.2.1 Camadas absorventes

Para simular um meio infinito, adicionam-se camadas absorventes em torno do modelo de velocidades, buscando atenuar as reflexões indesejadas no problema a ser discretizado (BROSSIER et al., 2010). No domínio da frequência, a implementação da perfectly matched layer (PML) faz-se naturalmente por meio da implementação de coordenadas complexas na equação de onda. Dessa forma, a Equação (2) pode ser reescrita como:

1 ξ_𝑥(𝑥) 𝜕 𝜕𝑥

(

1 ξ_𝑥(𝑥) 𝜕ũ 𝜕𝑥

) +

1 ξ_𝑧(𝑧) 𝜕 𝜕𝑧

(

1 ξ_𝑧(𝑧) 𝜕ũ 𝜕𝑧

) +

𝑤2 𝑐2

ũ = 𝑆(𝑥, 𝑤)

(3) de forma que:

ξ

_𝑥

= 1 + 𝑖

𝑦𝑥 𝑤 e

ξ

𝑧

= 1 + 𝑖

𝑦𝑧 𝑤 (4) onde 𝑦_𝑥 e 𝑦_𝑧 são funções de dimensões únicas responsáveis pela atenuação nas bordas absorventes. Nota-se que, caso 𝑦𝑥 = 𝑦𝑧 = 0, a Equação (3) volta a ser a Equação (2). Para

atenuar ondas que se propagam no eixo 𝑥, é preciso que 𝑦_𝑥 seja maior do que zero e 𝑦_𝑧 seja nulo; para ondas que se propagam no eixo 𝑧, o oposto é válido. Várias são as possibilidades para se escolher os valores dessas funções unidimensionais. Neste trabalho, foram utilizadas bordas absorventes do tipo PML (BÉRENGER, 1994). Nesta abordagem, 𝑦𝑥 é descrito pela

Equação (5):

𝑦_𝑥 = 𝐶_𝑝𝑚𝑙( 𝐿𝑥

𝐿𝑝𝑚𝑙) 𝑝𝑑

(5) Onde o parâmetro 𝑝𝑑 tipicamente varia de um a quatro (geralmente utiliza-se dois) (ZHANG;

SHEN, 2010). 𝐿_𝑥é a distância entre um ponto dentro da região de absorção e o início desta região; 𝐿_𝑝𝑚𝑙 é a largura da região de absorção e 𝐶_𝑝𝑚𝑙representa o quão absorvente é a camada PML. Um valor muito pequeno para 𝐶𝑝𝑚𝑙 causará reflexões indesejadas. Enquanto que, um

valor muito alto causará reflexões espúrias devido a efeitos de dispersão. Portanto, um valor ótimo para 𝐶𝑝𝑚𝑙 depende da 𝐿𝑝𝑚𝑙 e do coeficiente de reflexão teórico (R) para incidência

normal de ondas planas (COLLINO; TSOGKA, 2001).

O valor de R para uma camada PML de espessura arbitrária com N pontos nas extremidades de um modelo é dado por:

log

₁₀

𝑅 = −

log10(𝑁)−1

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Dessa forma, o valor de 𝐶_𝑝𝑚𝑙 pode ser dado da seguinte forma (COLLINO; TSOGKA,

2001):

𝐶

_𝑝𝑚𝑙

= −

(𝑝𝑑+1)𝑐 2𝐿𝑝𝑚𝑙

ln 𝑅

(7)

Testes numéricos de Collino e Tsogka (2001) mostraram que para incidências oblíquas, um maior valor de 𝐶_𝑝𝑚𝑙 é necessário; de forma que, pode-se multiplicar o valor obtido na Equação (7) por dois ou três. Ainda para o caso de incidência rasa, a absorção da camada PML pode ser melhorada se utilizado o método PML convolucional (C-PML). Nessa situação, a função de amortecimento

ξ

_𝑥 é dada pela Equação (8):

ξ

𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝑖 𝑑𝑥

𝑎_𝑥+𝑖𝑤 (8)

Para estes, 𝑑_𝑥 e 𝑎_𝑥são geralmente funções quadráticas e lineares, respectivamente. Brossier et al. (2010) citam que expressões para 𝑘𝑥, 𝑑𝑥 e 𝑎𝑥 são debatidas em Kuzuoglu e Mittra (1996);

Collino e Monk (1998); Roden e Gedney (2000); Collino e Tsogka (2001); Komatitsch e Martin (2007); Drossaert e Giannopoulos (2007).

2.2.2 Formulação Matricial

Devido ao fato de o campo de onda e o termo da fonte terem uma relação linear, a equação de onda apresentada na Equação (2) pode ser compactamente escrita como um sistema de equações lineares:

𝑩(𝑥, 𝑤)ũ(𝑥, 𝑤) = 𝑠(𝑥, 𝑤) (9) onde B é a matriz de impedância, ũ representa o vetor do campo de pressão e s, o vetor de fonte. Essa matriz de impedância B depende de vários parâmetros, dentre eles: a frequência angular, parâmetros de atenuação estabelecidos pela borda absorvente e da velocidade de propagação das ondas P no meio (modelo de velocidades), além dos parâmetros de discretização numérica. Sua estrutura depende fortemente do arranjo do estêncil utilizado para fazer a discretização. Dentre as várias formas de se discretizar a equação, destaca-se a de diferenças finitas (um método de resolução de equações diferenciais que se baseia na aproximação por diferenças finitas) e os estêncis mais comuns são: o convencional de 5 pontos, o compacto de

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9 pontos e o compacto de 25 pontos. A Figura 2.3 mostra a matriz de impedância B para os três estêncis mencionados.

Na discretização clássica de 5 pontos, a matriz de impedância tem (Nx X Nz)2 elementos,

de forma que 5 x Nx x Nz elementos são não-nulos. Sendo Nx e Nz, respectivamente o número

de elementos em X e em Z. A largura da banda de matriz é de 2Nz. O sistema compacto de 9 pontos também possui o mesmo número de elementos, no entanto, 9 x Nx x Nz elementos são não-nulos e a largura da banda de matriz é de 2Nz + 2. Já no sistema compacto de 25 pontos, o número de elementos também é igual ao dos anteriores, mas com 25 x Nx x Nz elementos são não-nulos e com largura da banda de matriz de 4Nz + 4.

Figura 2.3. Representação da matriz de impedância discretizada da equação de onda no domínio da frequência para os estêncis: (A) convencional de 5 pontos; (B) compacto de 9

pontos e (C) compacto de 25 pontos.

O sistema de equações representado na Equação (9) pode ser resolvido utilizando uma decomposição triangular LU (Lower and Upper triangular decomposition) com a vantagem de poder ser resolvida para múltiplas fontes. Esta técnica de solver direto funciona eficientemente para problemas 2D diretos. O solver utilizado para realizar esta operação foi o Multifrontal Massively Parallel sparse direct Solver (MUMPS), um software utilizado para resolver grandes sistemas esparsos de equações algébricas lineares.

2.3 Inversão da forma de onda completa

Como discutido previamente, o método da FWI é uma das ferramentas mais poderosas para se realizar uma inversão sísmica. A FWI trabalha, não apenas, com o tempo de trânsito, como também, utiliza um modelo matemático que engloba todos os aspectos da propagação de

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uma onda, quais sejam: reflexões, refrações, difrações, transmissões e combinações destas ondas, além de efeitos causados por anisotropia e atenuação. Por esta razão, utilizar o campo de onda completo na inversão é uma forma de produzir imagens mais precisas e com alta resolução.

2.3.1 Inversão da forma de onda como problema de otimização local dos quadrados mínimos

O método de inversão utilizando a aproximação dos quadrados mínimos é o mais amplamente difundido (TARANTOLA, 1984). O vetor de desajuste é definido como sendo a diferença, na posição dos receptores, dos valores do campo sísmico observado por meio de registros e do campo calculado pela modelagem: ∆𝑑 = 𝑑_𝑜𝑏𝑠− 𝑑_𝑐𝑎𝑙(𝑚). De forma que o modelo 𝑚 representa os parâmetros, a serem determinados, da subsuperfície discretizados para uso computacional (em geral, ondas do tipo P, na aproximação acústica da equação de onda) e 𝑑_𝑐𝑎𝑙 se liga ao campo de onda sísmico por um operador 𝛤 que fornece, para cada fonte, o valor do campo de onda na posição do receptor: 𝑑_𝑐𝑎𝑙 = 𝛤𝑢.

A norma do vetor de desajuste dos quadrados mínimos (função objetivo) é definida por: 𝐶(𝑚) = 1

2∆𝑑

𝑇_{∆𝑑. (10)}

onde T é o transposto conjugado. No domínio da frequência, a soma implícita na norma do vetor desajuste é feita para cada frequência. O mínimo da função objetivo é procurado na vizinhança do modelo inicial, sendo a inversão da forma de onda completa um problema de otimização local. Considerando a aproximação de Born, o modelo atualizado m pode ser obtido por meio da introdução de uma perturbação 𝛥𝑚 ao modelo inicial 𝑚𝑜. Assim: 𝑚 = 𝑚𝑜+ ∆𝑚.

Ao aplicar-se o desenvolvimento de Taylor-Lagrange de segunda ordem na função objetivo na vizinhança de 𝑚_𝑜, tem-se:

(24)

𝐶(𝑚0+ ∆𝑚) = 𝐶(𝑚0) + ∑ 𝜕𝐶(𝑚₀) 𝜕𝑚_𝑗 ∆𝑚𝑗 𝑀 𝑗=1 +1 2∑ ∑ 𝜕2𝐶(𝑚0) 𝜕𝑚_𝑗𝜕𝑚_𝑘 ∆𝑚𝑗∆𝑚𝑘 𝑀 𝑘=1 + 𝑂(𝑚3₎ 𝑀 𝑗=1 (11)

Tomando a derivada com relação ao parâmetro ml do modelo, desconsiderando o termo

da derivada segunda: 𝜕𝐶(𝑚) 𝜕𝑚𝑙 = 𝜕𝐶(𝑚0) 𝜕𝑚𝑙 + ∑ 𝜕2𝐶(𝑚0) 𝜕𝑚𝑗𝜕𝑚𝑙 𝑀 𝑗=1 ∆𝑚𝑗 (12)

Quando a primeira derivada da função objetivo na Equação (12) é igual a zero, o mínimo da função objetivo é alcançado. Dessa forma, o vetor do modelo de perturbação pode ser descrito por:

∆𝑚 = − [𝜕2𝐶(𝑚0)

𝜕𝑚2 ]

−1_{𝜕𝐶(𝑚0}₎

𝜕𝑚 (13)

É possível perceber que, no ponto m0, o modelo de perturbação é procurado na direção

contrária ao gradiente da função e que a segunda derivada da função objetivo representa o Hessiano (H). Pelo fato da inversão da onda completa se tratar de um problema não-linear, é necessário que a inversão seja feita de forma iterativa até que o mínimo da função objetivo seja alcançado.

Além da aproximação de Born descrita anteriormente, também é possível descrever a perturbação com base em equações normais. Para isso, deriva-se a Equação (10) com respeito a um parâmetro 𝑚_𝑙. 𝑅𝑒 e ∗ representam, respectivamente, a parte real e o conjugado de um número complexo. 𝜕𝐶(𝑚) 𝜕𝑚_𝑙 = −1 2 ∑ [( 𝜕𝑑𝑐𝑎𝑙𝑖 𝜕𝑚_𝑙 ) (𝑑𝑜𝑏𝑠𝑖− 𝑑𝑐𝑎𝑙𝑖) ∗ + (𝑑_{𝑜𝑏𝑠𝑖}− 𝑑_{𝑐𝑎𝑙𝑖})𝜕𝑑 ∗ 𝑐𝑎𝑙 𝜕𝑚_𝑙 ] 𝑁 𝑖=1 = − ∑ 𝑅𝑒 [(𝜕𝑑𝑐𝑎𝑙𝑖 𝜕𝑚_𝑙 ) ∗ (𝑑_{𝑜𝑏𝑠𝑖}− 𝑑_𝑐𝑎𝑙_𝑖)] 𝑁 𝑖=1 (14)

Ou, escrito matricialmente:

𝛻𝐶𝑚 = 𝜕𝐶(𝑚) 𝜕𝑚 = −𝑅𝑒 [( 𝜕𝑑𝑐𝑎𝑙(𝑚) 𝜕𝑚 ) 𝑇 (𝑑𝑜𝑏𝑠 − 𝑑𝑐𝑎𝑙(𝑚))] = −𝑅𝑒[𝐽𝑇∆𝑑] (15)

(25)

Nesta, J é a matriz de sensibilidade e 𝛻𝐶_𝑚 é um vetor de dimensão M. Por sua vez, se tirada a derivada do gradiente exposto na Equação (15) com respeito aos parâmetros do modelo, a seguinte expressão é obtida:

𝜕 2_𝐶(𝑚0₎ 𝜕𝑚2 = 𝑅𝑒[𝐽0 𝑇_𝐽 0] + 𝑅𝑒 [ 𝜕𝐽0𝑡 𝜕𝑚𝑡(∆𝑑0… ∆𝑑0)], 𝐽0 = 𝐽|_𝑚0 (16)

Ao inserir as Equações (16) e (15) na Equação (13), tem-se o modelo de perturbação a seguir: ∆𝑚 = − {𝑅𝑒 [𝐽₀𝑇_𝐽 0+ 𝜕𝐽0𝑡 𝜕𝑚𝑡(∆𝑑0… ∆𝑑0)]} −1 𝑅𝑒[𝐽₀𝑇_∆𝑑 0] (17)

O método que procura otimizar o modelo inicial baseado na Equação (17) é chamado de Método de Newton. Em problemas lineares o segundo termo na expressão do Hessiano é zero, por se tratar da derivada segunda de um termo linear. Em vários casos, para problemas não-lineares, esse termo é desconsiderado, de forma que o Hessiano calculado passa a chamar-se de Hessiano aproximado (𝐻_𝑎 = 𝐽₀𝑇_𝐽

0) e o método é conhecido como Gauss-Newton.

Adicionalmente, o cálculo da inversa do Hessiano pode ser aproximado utilizando o método de quasi-Newton, como o algoritmo BFGS, o qual estima a inversa do Hessiano a cada iteração da inversão usando também informações do gradiente da função objetivo. O BFGS itera a Hessiana n+1 utilizando ∆𝑚(𝑛) e 𝛻𝐶𝑚(𝑛), em que n representa a iteração em curso, de

tal maneira que (MA; HALE, 2012):

𝐻

(𝑛+1)

= 𝐻

𝑛

+

𝑦(𝑛)𝑦(𝑛)𝑇 𝑦(𝑛)𝑇_∆𝑚(𝑛)

−

𝐻(𝑛)∆𝑚(𝑛)(𝐻(𝑛)∆𝑚(𝑛))𝑇 ∆𝑚(𝑛)𝑇_𝐻(𝑛)_∆𝑚(𝑛) (18) em que y (n) = 𝛻𝐶_𝑚(n+1)_{- 𝛻𝐶} 𝑚(n).

Porém, para problemas de larga escala, o custo computacional e de memória inviabilizam sua utilização. Uma alternativa para isso é utilizar um método quase similar, o algoritmo L-BFGS que procura estimar o inverso do Hessiano e o gradiente sem formar, explicitamente, o Hessiano, estimando apenas o seu efeito (NOCEDAL; WRIGHT, 2006). Assim, o custo de armazenamento na memória é bem inferior. O método L-BFGS estima a inversa da matriz Hessiana através de um número finito de n iterações anteriores de ∆𝑚(𝑛) e 𝛻𝐶_𝑚(𝑛). Assim:

(26)

(𝐻(𝑛)₎−1_{= [𝐼 −}∆𝑚(𝑛)𝑦(𝑛)𝑇 𝑦(𝑛)𝑇_∆𝑚(𝑛)] (𝐻(𝑛−1))−1[𝐼 − 𝑦(𝑛)∆𝑚(𝑛)𝑇 𝑦(𝑛)𝑇_∆𝑚(𝑛)] + ∆𝑚(𝑛)∆𝑚(𝑛)𝑇 𝑦(𝑛)𝑇_∆𝑚(𝑛) (19) 2.3.2 Inversão Multiescalas

Segundo Bunks et al. (1995), por meio da linearização da relação entre dados observados e a velocidade do modelo, algumas inversões sísmicas conseguem evitar o problema de convergência em um mínimo local. Essa linearização é justificável quando o modelo inicial está próximo de um mínimo global da função objetivo. Isso é assumido quando a geologia não é tão complexa ou quando há informações prévias a respeito do campo de velocidades. No entanto, esse método não foi eficaz em recuperar longos componentes de comprimento de onda do modelo de velocidades, colocando em cheque a observabilidade do vetor campo de onda complexo no dado sísmico.

A inversão não-linear da forma de onda completa procura estabelecer um modelo de velocidades ótimo minimizando a função objetivo através de um método de descida (BUNKS et al., 1995). A aplicação direta desta técnica, porém, não foi satisfatória haja vista a quantidade de mínimos locais que impedem a técnica de ser efetiva. Dois fatores podem ser apontados como causadores deste fenômeno: (1) erros cinemáticos causados pelo modelo inicial que geram uma perturbação insignificante de forma que o gradiente calculado é zero mesmo que não se trate de um mínimo global (tempos de trânsito mal estimados) e (2) altas frequências da wavelet que produzem uma função de correlação multimodal a qual explica existência de vários mínimos locais na função objetivo.

Desta forma, percebe-se que o maior dos problemas na inversão sísmica é a presença de mínimos locais na função objetivo. Por esta razão, vários artigos levaram a estudos que possibilitassem a redução desse efeito utilizando uma decomposição por escala do problema de inversão sísmica. Os componentes de longa escala são resolvidos primeiramente. A ideia é que em longas escalas a quantidade de mínimos locais é altamente reduzida e os que permanecem estão distantes uns dos outros. Com a aplicação deste método existe uma maior probabilidade de que seja encontrado um mínimo global ou um mínimo local que esteja nos arredores de um global. Esta solução em larga escala é utilizada como entrada recursiva para escalas que vão ficando cada vez menores. Dessa forma, feições maiores do modelo são recuperadas primeiramente e à medida em que os componentes de menor escala são resolvidos, mais detalhes são incorporados a ele.

(27)

A implementação do domínio da frequência é preferível em relação ao domínio do tempo dado a sua habilidade de reconstruir os parâmetros do modelo a partir de frequências discretas, aproveitando-se da redundância do número de onda para aquisições de largas aberturas. Assim, é possível utilizar eficientemente a estratégia multiescalas (invertendo-se das baixas para altas frequências) com intuito de minimizar o problema da não linearidade da inversão completa da forma de onda (ANAGAW, 2014). O modelo obtido em uma iteração é utilizado como entrada para a inversão seguinte com uma frequência mais alta.

A estratégia de multiescalas minimiza o problema do salto de ciclo (cycle-skipping) pois as frequências mais baixas são menos sensíveis a este fenômeno. Este problema ocorre quando a diferença em tempo de chegada entre o dado modelado e o dado observado é maior do que metade do período da frequência dominante, como mostra a Figura 2.4 (VIRIEUX; OPERTO, 2009), o que causa convergência em um lugar não apropriado. A técnica de multiescalas, então, evita que as iterações estacionem em mínimos locais quando o modelo inicial está longe do modelo de velocidades verdadeiro. Caso todas as frequências fossem invertidas, o método da frequência seria igual ao método no domínio temporal. A Inversão multiescalas também pode ser aplicada no domínio do tempo por meio de uma filtragem passa-banda baseada em diferentes bandas de frequências. Pode também ser aplicada uma aproximação híbrida em que a modelagem é feita no domínio do tempo e a inversão na frequência, o que resulta em um bom balanço entre eficiência e flexibilidade.

(28)

Figura 2.4. Esquema do Salto de Ciclo na FWI. A linha sólida representa um sismograma monocromático de período T no tempo. A linha superior compara outro sismograma monocromático atrasado de T/2. Já em comparação com a linha inferior, os ciclos estão em

fase pois o atraso é menor do que T/2. Fonte: Adaptado de Virieux e Operto (2009).

2.3.3 Limitações do método

Além da já mencionada limitação computacional relacionada ao número de modelagens diretas da FWI e do quão bem-posto é o problema, algumas outras limitações são importantes de serem mencionadas. Uma delas é a dependência da qualidade das baixas frequências no dado real e a acurácia do modelo inicial a fim de que a FWI tenda a não convergir para mínimos locais. Adicionalmente, a escolha do modelo de otimização também influencia no resultado final, por exemplo, métodos de otimização baseado em gradiente são mais lentos e podem ter mais dificuldades para escalar os parâmetros reconstruídos dos modelos se comparados à métodos que exigem informações de segunda ordem.

Outros fatores importantes são a não-linearidade causada por eventos próximos à superfície devido à topografia e/ou às ondas de superfície e a baixa razão sinal-ruído, em particular, para baixas frequências. Deve-se mencionar ainda que para maior eficiência e

(29)

precisão de construção do modelo de velocidades, a geometria da aquisição com longa distância entre fonte e receptor é favorável pelo fato de diminuir as informações de número de onda e por possibilitar maior penetração em profundidade, o que beneficia a reconstrução de eventos mais profundos.

2.4 Regularização

A inversão completa da forma de onda produz imagens de alta resolução de propriedades físicas com o objetivo de prever o dado sísmico gravado. No entanto, essa inversão é um problema inverso não-linear e mal-posto. Com o intuito de minimizar essa limitação, são utilizados métodos baseados no gradiente e, como dito anteriormente, uma forma de se minimizar a convergência em um mínimo local é por meio do método de multiescalas. (GUITTON, 2012).

O método de regularização visa determinar, para determinado nível de ruído, uma solução aproximada mais suave se comparada aos dados observados, de forma a aumentar as chances de convergência para o mínimo global. Para isso é necessário adicionar informações a priori a fim de minimizar a questão da estabilidade e não-unicidade de um problema mal-posto (CAMPOS VELHO, 2001).

Os esquemas de regularização são em geral divididos em duas partes: (1) esquemas de regularização para impor suavidade na solução do problema inverso, como a regularização de Tikhonov e (2) esquemas de regularização para impor esparsidade (no sentido de recuperar modelos com fortes descontinuidades), como o de Cauchy e da Variação Total (RÊGO et al., 2019a), uma vez que modelos geológicos de subsuperfície apresentam, comumente, uma combinação dessas duas características. Para este trabalho será utilizada uma regularização híbrida no intuito de obter uma inversão que recupere bem os contrastes de parâmetros físicos e que consiga suavizar as regiões que variam suavemente. Essa regularização inclui as regularizações de Cauchy e de Tikhonov.

2.4.1 Função objetivo

Cada estágio de inversão (s) no processo de inversão completa da forma de onda em multiescalas gera um novo problema de inversão. A função objetiva a ser minimizada neste trabalho, para cada estágio de inversão, baseada na norma l2, é mostrada na Equação (20). Logo:

(30)

𝐶𝑠(𝑚) = 1 2∑ ∑ 𝑊𝑠‖𝛤𝑗𝑢𝑗(𝑚, 𝑤𝑖) − 𝑑𝑗 𝑜𝑏𝑠_(𝑤 𝑖)‖₂ 2 + 𝜇𝑠∅(𝑚, 𝜂𝑠) 𝑁𝑗 𝑗=1 𝑁𝑤𝑠,𝑙 i= 𝑁𝑤 𝑠,𝑓 (20)

O campo de ondas acústico é representado por 𝑢, 𝑗 representa a fonte, 𝑚 a velocidade das ondas P, 𝑤𝑖 representa a i-ésima amostra de frequência e Γ é a matriz que extrai para cada

fonte j os valores do campo modelado na posição dos receptores. Nesta função objetivo está também incluído um parâmetro de ponderação adaptativo (Ws), adimensional, para o caso de inversões com regularização, e os termos 𝜇_𝑠e ∅(𝑚, 𝜂_𝑠), os quais representam, respectivamente, um parâmetro de regularização que equilibra o desajuste com a influência do termo de regularização na inversão para cada estágio; e o termo de regularização híbrida que combina as restrições de Tikhonov e Cauchy. 𝑁_𝑤𝑠,𝑓e 𝑁_𝑤𝑠,𝑙 indicam, como mencionado, a primeira e a última amostra de frequência, sendo 𝑁𝑤0 ≤ 𝑁𝑤

𝑠,𝑓

≤ 𝑁_𝑤𝑠,𝑙≤ 𝑁𝑤𝑚𝑎𝑥. Para inversões sem regularização basta

desconsiderar o termo 𝜇_𝑠∅(𝑚, 𝜂_𝑠) da Equação (20).

Para Guitton (2012), a melhor forma de estimar 𝜇_𝑠na regularização multiescala é por meio de uma relação adimensional Rs dada pela razão entre o valor inicial do desajuste e o termo de regularização:

𝜇

_𝑠

=

∑ ∑ ‖𝛤_𝑗𝑢_𝑗(𝑚,𝑤_𝑖)−𝑑_𝑗𝑜𝑏𝑠(𝑤_𝑖)‖ 2 2 𝑁𝑗 𝑗=1 𝑁𝑤 𝑖=𝑁𝑤 𝑅_𝑠∅(𝑚,𝜂_𝑠) (21)

O subscrito s indica que para cada estágio de inversão é necessário calcular um valor de 𝜇_𝑠, o que é um processo complicado. Entretanto, foi observado numericamente, durantes os testes, que utilizar o mesmo parâmetro de regularização para todos os estágios de inversão pode ser uma boa ideia, caso o valor inicial do desajuste seja próximo para todos os estágios. Porém, na inversão multiescalas da forma de onda no domínio da frequência esse valor de desajuste varia para cada estágio. Então, a fim de evitar que seja calculado um valor de 𝜇_𝑠 para cada estágio de inversão, foi introduzido um parâmetro de ponderação de forma a manter o valor do desajuste praticamente igual em todos os estágios da inversão. Logo:

𝑊

_𝑠

=

∑ ∑ 𝑊_𝑠‖𝛤_𝑗𝑢_𝑗(𝑚,𝑤_𝑖)−𝑑_𝑗𝑜𝑏𝑠(𝑤_𝑖)‖ 2 2 𝑁𝑗 𝑗=1 𝑁𝑤1,𝑙 i= 𝑁𝑤1,𝑓 ∑ ∑ 𝑊_𝑠‖𝛤_𝑗𝑢_𝑗(𝑚,𝑤_𝑖)−𝑑_𝑗𝑜𝑏𝑠(𝑤_𝑖)‖ 2 2 𝑁𝑗 𝑗=1 𝑁𝑤𝑠,𝑙 i= 𝑁𝑤𝑠,𝑓 (22)

Nota-se que, mesmo com a utilização do mesmo 𝜇_𝑠para cada estágio, o 𝑅_𝑠varia pois ele depende da regularização. Os valores de 𝑅_𝑠 utilizados para fazer as inversões são obtidos

(31)

por meio de testes a fim de se encontrar um valor ótimo para o parâmetro de regularização que equilibra o desajuste com a influência do termo de regularização. Dado um valor de 𝑅_𝑠, definido pelo usuário no início da inversão, resolve-se a Equação (21) para 𝜇_{𝑠 .}

2.4.2 Esquema de regularização híbrida

O termo de regularização ∅(𝑚, 𝜂𝑠) é fundamentado em características das restrições de

Cauchy e Tikhonov, sendo uma combinação de ambos, de maneira que:

∅(𝑚, 𝜂_𝑠) = 𝜂_𝑠𝜑(𝐶)(𝑚) + (1 − 𝜂_𝑠)𝜑(𝑇)_(𝑚) = 𝜂𝑠 𝑊_𝜑 2 ∑ log (1 + |∇𝑚|2 𝜆2 ) + (1 − 𝜂𝑠) 1 2∑ |∇𝑚|2 𝛽2 (23)

O primeiro termo refere-se à restrição da Cauchy de primeira ordem, onde ∇ representa o operador de diferenciação espacial, e o segundo termo refere-se à restrição de Tikhonov de primeira ordem, de forma que 𝛽 torna essa parte da expressão adimensional. Semelhantemente, o parâmetro 𝜆 no termo de Cauchy o torna adimensional e controla a esparsidade promovida por essa mesma restrição. Além disto, 𝜂_𝑠 ⊆ [0,1] é um parâmetro ponderado sem dimensão que equilibra o efeito dos dois esquemas de regularização. Isto significa que, a escolha deste parâmetro determina o caráter da solução. Por último, a fim de garantir que ambas as restrições tenham o mesmo valor e que seu equilíbrio seja controlado somente por 𝜂_𝑠, adicionou-se o parâmetro 𝑊_𝜑. Desta forma, a equação de equilíbrio para estimar 𝑊_𝜑 para cada iteração é dada por:

𝜑(𝑇)(𝑚) 𝑊𝜑𝜑(𝐶)(𝑚)

= 1 (24)

Uma explanação a respeito do gradiente e do Hessiano, utilizando o formalismo matricial da FWI no domínio da frequência, é dada por Pratt et al. (1998). A diferenciação da Equação (9) com respeito ao parâmetro do modelo ml fornece a expressão da derivada parcial

do campo de onda ao resolver o sistema:

𝑩

𝜕ũ

𝜕𝑚𝑙

= 𝑓

(𝑙)_onde:

_𝑓

(𝑙)

_{= −}

𝜕𝑩

(32)

de forma que f é a chamada fonte secundária virtual obtida pelo produto de 𝜕𝑩 𝜕𝑚𝑙

com o campo de onda ũ incidente.

É possível representar todas as derivadas parciais simultaneamente pela equação matricial: 𝐽 = [ 𝜕ũ 𝜕𝑚1 𝜕ũ 𝜕𝑚2… 𝜕ũ 𝜕𝑚𝑚] = 𝑩 −1_[𝑓(1)_𝑓(2)_{… 𝑓}(𝑚)_{] = 𝑩}−1_{𝑭 (26)}

Inserindo a Equação (26) na equação (15):

𝛻𝐶𝑚= −𝑅𝑒[𝐽𝑇∆𝑑] = −𝑅𝑒[𝐹𝑇(𝐵−1)𝑇∆𝑑] (27)

Sendo

𝑓

(𝑙) definido como segue na Equação (25), tira-se que:

𝛻𝐶

_𝑙

= 𝑅𝑒 [ũ

𝑇

(

𝜕𝑩

_𝑖,𝑗∗

)]]

𝑁_𝑗 𝑗=1 𝑁_𝑤𝑠,𝑙 i= 𝑁_𝑤𝑠,𝑓 (30)

(33)

CAPÍTULO 3

(34)

Exemplos Numéricos

Raphael Carvalho de Lucena Rêgo – Dezembro/2019 34

3. Exemplos Numéricos

Neste capítulo serão mostrados alguns testes de inversão que foram realizados com base na inversão frequência por frequência e na inversão por pequenas bandas de frequência que não se sobrepõem. Serão mostrados resultados variando o modelo inicial e adicionando ruído aleatório ao dado observado. Adicionalmente, serão mostrados os resultados dos testes com a regularização proposta na presença e ausência de ruído. Os testes foram realizados através do código “FWI2D-Freq” fornecido pelo projeto “Novos Métodos de Exploração Sísmica por Inversão Completa das Formas de Onda” da Universidade Federal do Rio Grande do Norte.

3.1 Dado sintético observado

Para realizar os testes de inversão, utilizou-se um dado sintético observado a partir do modelo Marmousi de 9000 m de offset por 3000 m de profundidade (Figura 3.1). Este dado foi modelado com uma densidade constante de 1000 kg/m3, geometria que consiste em 96 fontes distribuídas em subsuperfície a uma profundidade de 48 m, com incrementos de 96 m, e um número fixo de 384 receptores, a uma profundidade de 96 m e espaçados de 24 m. O estêncil utilizado foi o compacto de 9 pontos (JO; SHIN; SUH, 1996). Utilizou-se uma PML com 480 m de espessura e 41 pontos nas extremidades do modelo com 𝑝_𝑑 = 2.

(35)

A fonte utilizada tem a assinatura Ricker, descrita no domínio da frequência pela Equação (28), com frequência de pico de 5,5 Hz, com frequência máxima aproximada de 17 Hz (Figura 3.2).

𝑠(𝑤) = 𝐴[2√𝜋𝑡0𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑠]𝛺2𝑒−𝛺 2

(28) em que: A é a amplitude, ts é o tempo onde o há pico do pulso, enquanto πt0 representa o

período característico do pulso e 𝛺 = 𝑤𝑡₀/2.

Figura 3.2. (a) Assinatura da fonte (Ricker); (b) Espectro de amplitude da fonte.

3.2 Testes numéricos sem regularização

O fluxo de inversão exibido na Figura 3.3 a seguir mostra a rotina para a inversão da forma de onda. Neste caso, tem-se uma inversão feita frequência por frequência utilizando o método de quasi-Newton (método L-BFGS).

(36)

Figura 3.3. Fluxograma de inversão.

Alguns testes foram realizados para comparar a sensibilidade da inversão ao estacionamento em mínimos locais. As Figuras 3.4 e 3.5 mostram, respectivamente, os modelos iniciais utilizados para começar a inversão; quais sejam, um modelo suavizado (Figura 3.4) e um modelo gradiente (Figura 3.5). A inversão foi realizada iniciando na frequência de 3 Hz até o máximo de 16,5 Hz, com passo de inversão de 0,5 Hz e 100 iterações. As Figuras 3.6 e 3.7 mostram, por sua vez, os resultados obtidos em cada inversão: resultado final a partir do modelo suavizado (Figura 3.6) e o resultado final da inversão a partir da utilização do modelo gradiente (Figura 3.7). Nota-se que, ambos os resultados se aproximam do modelo Marmousi original. Adicionalmente, o resultado mostrado na Figura 3.6 consegue demarcar melhor os contatos litológicos, o que é notoriamente mais exposto até a profundidade de aproximadamente 1500 m. Neste caso, a utilização de um modelo inicial mais próximo do desejado minimizou o erro devido ao estacionamento em mínimos locais, se comparado com a Figura 3.7, para uma inversão multiescalas.

(37)

Figura 3.4. Modelo de velocidade inicial (suavizado).

(38)

Figura 3.6. Resultado da inversão (modelo suavizado).

Figura 3.7. Resultado da inversão (modelo gradiente).

Como o modelo suavizado promoveu um melhor resultado, ele foi utilizado como entrada para os testes seguintes.

(39)

Posteriormente, foram realizados testes comparando duas estratégias de inversão. A primeira estratégia realiza a inversão frequência por frequência e a segunda utiliza bandas de frequência que não se sobrepõem. Os testes permaneceram no mesmo range de frequência de 3,0 Hz – 16,5 Hz, com passo de inversão a cada 0,5 Hz. No caso da estratégia dois, as bandas de frequência foram divididas a cada 2,0 Hz, com passo interno de 0,5 Hz. O número máximo de iterações foi de 100 para a estratégia 1 e de 125 para a estratégia 2. Foram considerados também, os valores mínimos e máximos do modelo de velocidade. Os resultados podem ser vistos nas Figuras 3.8 e 3.9 para as estratégias um e dois, respectivamente.

(40)

Figura 3.9. Inversão realizada por bandas de frequência.

Nota-se que, na inversão por bandas de frequência, o resultado aparenta melhor compatibilidade com o modelo Marmousi inicial, preservando melhor as estruturas nos contatos de velocidade, principalmente na parte superior do modelo.

Com o intuito de testar a estabilidade da inversão com o acréscimo de ruído, adicionou-se ao dado obadicionou-servado um ruído aleatório (Gaussiano) por meio da ferramenta SUADDNOISE do Seismic Unix (STOCKWELL; COHEN, 2008). Várias razões sinal-ruído (SNR) foram avaliadas. Os resultados mostram, esperadamente, que quanto maior for a razão sinal-ruído, melhor será o resultado. No entanto, escolheu-se uma razão de tal maneira que fosse obtido um equilíbrio entre a quantidade de ruído adicionado e o processo de otimização, visto que para dados excessivamente ruidosos um pré-processamento pode contribuir na geração de imagens de melhor caráter sísmico. As Figuras 3.10 e 3.11 mostram os resultados da inversão para as estratégias um e dois, respectivamente, ambas com SNR = 100. Uma leve melhora comparativa entre as duas estratégias é observada na inversão realizada utilizando a estratégia 2, por indicar o contorno das estruturas de forma mais elaborada. Uma possível explicação para este desfecho pode estar relacionada com o fato de a inversão frequência por frequência escolher traços únicos para serem invertidos e a inversão por bandas de frequência fazer um cômputo de traços dentro de uma faixa, o que agrega uma média de traços adjacentes a serem invertidos com uma menor

(41)

probabilidade de recair em mínimos locais. Este resultado está em concordância com o trabalho realizado por Cho et al. (2008). Por esta razão, decidiu-se dar continuidade aos testes de forma a avaliar a regularização utilizando a estratégia de inversão por bandas de frequência.

Figura 3.10. Resultado da inversão para a estratégia 1 com ruído (SNR = 100).

(42)

3.3 Testes numéricos com regularização

Foram realizados testes com a regularização de Cauchy, a de Tikhonov e a híbrida proposta neste estudo, a fim de observar, praticamente, os efeitos gerados na inversão devido ao acréscimo destas regularizações.

Uma vez que a regularização é controlada pelo parâmetro 𝜂_𝑠, para as inversões feitas a seguir, foram dados diferentes valores para ele. Inicialmente, foi dado um peso maior para a restrição de Cauchy (65%), e posteriormente, esse valor foi diminuído para 50 e 35% ao longo do processo de inversão. Dessa forma, a inversão é mais influenciada pelo regularizador que recupera as descontinuidades e o regularizador de suavidade age de forma a evitar efeitos de sub-suavização.

Primeiramente, foram realizados testes sem a presença de componentes ruidosos. Um dos desafios para cada tipo de regularização é definir o parâmetro de calibre que balanceia o desajuste com a influência do termo de regularização. Para Guitton (2012), experimentos tendem a indicar valores pequenos de 𝑅_𝑆 para dados sintéticos e maiores para dados de campo, considerando a regularização com foco nas restrições de esparsidade de Cauchy. Apenas os valores ótimos de 𝑅_𝑆, obtidos por meio de exaustivos testes, são mostrados neste capítulo. A Figura 3.12) mostra o resultado da inversão utilizando apenas essa restrição para um 𝑅_𝑆 de 15. A regularização de Tikhonov, por sua vez, tende a fornecer melhores resultados para maiores valores da relação adimensional pois a imposição de suavidade diminui, de maneira que o melhor resultado obtido foi para Rs igual a 200 (Figura 3.13). Esse resultado para a regularização de Tikhonov era esperado, uma vez que o modelo Marmousi possui muitas descontinuidades e bastantes variações laterais de velocidades, não possuindo uma estrutura em blocos que favoreceria a regularização de Cauchy. Com isso, comparando-se ambas, nota-se que a inversão por Tikhonov forneceu uma imagem que delineia estruturas mais aproximadas das verdadeiras com um contorno mais suave, enquanto que a inversão de Cauchy, apesar de conseguir bons resultados na parte superior do modelo, gera um resultado mais artificial em sua parte inferior onde fica notável o esforço da inversão em valorizar o efeito da estrutura em blocos (blockyness).

Com base nos testes, a regularização híbrida também forneceu bons resultados para o valor de 𝑅𝑠 igual a 15, balanceado bem o efeito das estruturas em blocos com a suavidade

(43)

melhores podem ser obtidos para a regularização híbrida ao aumentar o 𝑅_𝑠, de forma que, para o valor 50, a inversão provou-se de melhor resolução (Figura 3.14). O decaimento da função objetivo pode ser visto no Apêndice A

Figura 3.12. Inversão utilizando a regularização de Cauchy.

(44)

Figura 3.14. Inversão utilizando a regularização híbrida.

Em seguida, foram adicionados os componentes ruidosos ao dado observado. A razão sinal-ruído foi a mesma definida para os testes anteriores (SNR = 100). A inversão feita considerando a regularização de Cauchy foi capaz de estabilizar o resultado (se comparada à Figura 3.11) mas gerou uma imagem calcada na inversão de grandes estruturas, como esperado. Além disso, com poucos detalhes em relação à resolução. Dessa forma, a regularização de Cauchy não se mostrou adequada para inversões deste modelo com a presença de ruídos, como mostra a Figura 3.15.

Para a regularização de Tikhonov com 𝑅𝑠 = 200, mais uma vez, a imposição de

suavidade se destaca e não consegue delimitar as descontinuidades do modelo real (Figura 3.16), porém gera um modelo bem menos artificial e possível de ser utilizado como entrada para processos de migração.

Por fim, a regularização híbrida mostrou-se relativamente eficaz ao estabilizar a inversão para dados ruidosos, mas ainda estando longe do modelo real por perder em resolução e por inverter as estruturas do modelo valorizando excessivamente o caráter em bloco, deixando o resultado sub-suavizado em sua porção central. Entretanto, se comparado à Figura 3.11, é possível observar uma melhor qualidade na inversão dos dados (Figura 3.17). De acordo com os testes, os melhores resultados foram obtidos para 𝑅𝑠 = 15, o que indica que para dados com

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conteúdo ruidoso na regularização híbrida, uma maior imposição de Rs não favorece o resultado

final, tendo em vista que o transforma em um resultado ainda mais sub-suavizado.

Considerando estes fatores, para o dado ruído na inversão do modelo Marmousi, o regularizador de Tikhonov forneceu um resultado mais próximo da solução.

Outros modelos observados podem se beneficiar bastante do equilíbrio entre as restrições de Cauchy e Tikhonov proposto pela regularização híbrida apresentada aqui, como no caso do modelo BUJA2019 o qual possui uma região que varia suavemente e outra com fortes contrastes de velocidade (RÊGO et al., 2019a; RÊGO et al., 2019b).

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Figura 3.16. Inversão utilizando a regularização de Tikhonov (SNR = 100).

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