palavras-chave Operador de Wiener-Hopf-Hankel, função quase periódica, função contínua por troços, invertibilidade, propriedade de Fredholm.
resumo Algumas aplicações da Física-Matemática, nomeadamente problemas de difracção de ondas electromagnéticas, podem-se traduzir por sistemas de equações integrais caracterizadas por operadores de Wiener-Hopf-Hankel. Nesta tese, são analisados estes operadores com dois tipos específicos de símbolos de Fourier: quase periódicos e contínuos por troços.
Relativamente aos operadores de Wiener-Hopf-Hankel com símbolos de Fourier quase periódicos, são descritos alguns avanços alcançados recentemente e que fornecem critérios de invertibilidade e de descrição da propriedade de Fredholm destes operadores actuando em espaços de Lebesgue.
Associados, também, a problemas de difracção de ondas electromagnéticas surgem operadores de Wiener-Hopf-Hankel a actuar em espaços de potenciais de Bessel, que no caso particular de os índices de suavidade dos referidos espaços serem nulos, isto é, considerando espaços de Lebesgue, prova-se que é possível reduzir o problema da sua invertibilidade a um problema em geral mais simples, que é o da verificação se o operador de Toeplitz menos Hankel equivalente é um operador de Fredhom de índice nulo. No caso de os símbolos de Fourier serem funções contínuas por troços obtém-se uma condição suficiente para que sejam operadores de Fredholm e uma fórmula que permite computar o respectivo índice de Fredholm, bem como uma condição necessária e suficiente para que tais operadores sejam operadores de Fredholm, desde que se verifique uma certa relação de dependência dos símbolos de Fourier.
keywords Wiener-Hopf-Hankel operator, almost periodic function, piecewise continuous function, invertibility, Fredholm property.
abstract Some mathematical-physics applications can be translated for systems of integral equations characterized by operators of Wiener-Hopf-Hankel. This is the case of some electromagnetic waves diffraction problems. In this thesis, these operators with two specific types of Fourier symbols are analyzed: almost periodic and piecewise continuous.
Relatively to the operators of Wiener-Hopf-Hankel with almost periodic Fourier symbols acting between Lebesgue spaces, some advances, that supply a invertibility and Fredholm property criterion, reached recently are described. Related, also, with some electromagnetic waves diffraction problems appear Wiener-Hopf-Hankel operators acting between Bessel potentials spaces, that in the particular case of the smoothness indices of the related spaces to be null, that is, considering Lebesgue spaces, is proved that it is possible to reduce the problem of its invertibility to a in general simpler problem, that is of the verification if the equivalent Toeplitz minus Hankel operator is a Fredhom operator of null index. In the case of the Fourier symbols to be piecewise continuous functions it was gotten a sufficient condition so that they are Fredholm operators and a formula that allows computing the respective Fredholm index, as well as a necessary and sufficient condition so that such operators are Fredholm operators, since that the Fourier symbols verifies a certain relation of depen-dence.
1 Introdução 6 2 Operadores de Wiener-Hopf-Hankel com símbolos quase periódicos em
es-paços de Lebesgue 11
2.1 Definições Básicas . . . 11
2.2 Operadores do tipo de convolução . . . 16
2.3 Operadores de Fredholm . . . 20
2.4 Operadores de Wiener-Hopf-Hankel com símbolos AP . . . 24
2.5 Operadores de Wiener-Hopf-Hankel com símbolos APW . . . 34
3 Operadores de Wiener-Hopf-Hankel com símbolos contínuos por troços em espaços de potenciais de Bessel 39 3.1 Operadores de Wiener-Hopf-Hankel em espaços de potenciais de Bessel . . . . 39
3.2 Adições algébricas de operadores de Toeplitz e operadores de Hankel . . . 41
3.3 Operadores de Wiener-Hopf-Hankel com símbolos contínuos por troços . . . . 52
4 Conclusão 59
∆-relação após extensão, 22 álgebra C∗, 9 de Banach, 9 de Wiener, 4 AP-factorização à direita, 30 assimétrica, 24 APW-factorização à direita, 36 anti-simétrica, 36 assimétrica, 34 classe de regularidade, 21
classe dos multiplicadores de Fourier, 15 coeficiente de Fourier, 7
equivalência após extensão, 21 espaço de Hardy, 11 de potenciais de Bessel, 17 espectro de Bohr-Fourier, 22 expoente conjugado, 13 função
contínua por troços, 37 quase periódica, 22 imagem, 18 indice de Fredholm, 18 inverso generalizado, 20 involução, 9 média de deslocamento, 23 matriz de Hilbert, 6 de Toeplitz, 5 de Laurent, 5 núcleo, 18 norma do operador, 11 euclidiana, 11 operador de convolução de Mellin, 40 convolução, 14, 17 d-normal, 19 de Hankel, 39 de Toeplitz, 39
de Toeplitz mais/menos Hankel, 39 equivalente, 21
Fredholm, 18 Hankel, 6, 16
integral singular de Cauchy, 12 invertível, 20 n-normal, 19 normalmente solúvel, 18 propriamente d-normal, 18 propriamente n-normal, 18 semi-Fredholm, 18 Wiener-Hopf, 14 Wiener-Hopf-Hankel, 17 polinómio quase periódico, 22 projector de Riesz, 12
propriedade de regularidade, 21 2
regularizador, 19 símbolo de Fourier, 14 transformação de Mellin, 40 transformada de Fourier, 13 de Fourier inversa, 13 valor médio de Bohr, 22
AP ... 24 L(X, Y )... 14 AP W ... 35 Lp(X) ... 12 AP± ... 25 Lp+(R) ... 12 AP W± ... 36 L∞e (R) ... 12 B ... 50 L∞e (T) ... 47 B−1 ... 50 `0 ... 12 B0 ... 50 l2 ... 7 B0−1 ... 50 `e ... 12 C(T) ... 41 M ... 42 C± ... 14 M (φ) ... 24 d(A) ... 20 Mp (R) ... 17 D ... 13 Moφ ... 42 f±(τ ) ... 41 n(A) ... 20 GB ... 24 n(η) ... 42 H∞(C±)... 14 N ... 7 Hp(C ±) ... 14 NR+ ... 42 H+p(T) ... 13 P C(R) ... 39 H−p(T) ... 14 P Cp(R) ... 39 H+p(T) ... 14 PR ... 14 Hs,p(Ω) ... 19 P T ... 14 e Hs,p(Ω) ... 19 Q R ... 14 Hφ ... 18 QT ... 14 Im(A) ... 20 R ... 43 Ind(A) ... 20 R˙ ... 52 J ... 18 r+ ... 12 JT ... 41 sgn ... 16 JT ... 42 s(η) ... 42 k(φ) ... 25 SR ... 14 Ker(A) ... 20 SR+ ... 42 4
ST ... 14 Sp(P CN ×N) ... 42 T ... 7 T+ ... 43 Wφ ... 16 Wφo ... 16 W Hφ ... 19 k · kCN ×N ... 13 k · k(C(T))N ×N ... 41 k · kHs,p(Ω) ... 19 k · kHes,p(Ω) ... 19 k · kl2 ... 9 k · kL(X,Y ) ... 14 k · kLp(T) ... 12 k · kL∞(T) ... 12 k · k(Lp(T))N ... 13 k · k(L∞(T))N ×N... 13 k · kMp(R) ... 17 [·]R ... 54 ζ ... 39 λ± ... 39 Ω(φ) ... 24 ∼ ... 23 ∗ ∼ ... 23 ∗ ∆ ... 24 Υ ... 42
Introdução
Com o pretexto de resolver um problema de equilíbrio radioactivo, Nobert Wiener e Eberhard Hopf apresentaram, em 1931, um método de resolução de equações integrais do tipo
cf (ξ) + Z ∞
0
k(ξ − η)f (η)dη = g(ξ), ξ ∈ R+
onde c ∈ C, k ∈ L1(R) e f, g ∈ L2(R+) e nas quais c e k são fixos, g é dado e f é o que
se pretende determinar. Desde então e devido à sua grande aplicabilidade em questões da Física-Matemática, vários autores dedicaram-se ao estudo deste tipo de equações integrais e dos operadores que delas resultam, i.e. os operadores de Wiener-Hopf,
Wφf (ξ) = cf (ξ) +
Z ∞
0
k(ξ − η)f (η)dη, ξ ∈ R+ (1.1)
com φ pertencente à chamada álgebra de Wiener , ou seja φ é tal que admite a representação φ = c + F k, onde c ∈ C, k ∈ L1(R) e F denota a transformação de Fourier.
Relacionados com os operadores de Wiener-Hopf estão os operadores de Toeplitz, na medida em que algumas das propriedades dos primeiros podem ser obtidas por uma reformulação de resultados já conhecidos para os segundos. O aparecimento destes operadores remonta a 1911, quando Otto Toeplitz, no artigo [32], com o intuito de estudar sistemas lineares infinitos da forma . .. ... ... ... ... ... . .. · · · a0 a−1 a−2 a−3 a−4 · · · · · · a1 a0 a−1 a−2 a−3 · · · · · · a2 a1 a0 a−1 a−2 · · · · · · a3 a2 a1 a0 a−1 · · · · · · a4 a3 a2 a1 a0 · · · . .. ... ... ... ... ... . .. .. . f−2 f−1 f0 f1 f2 .. . = .. . g−2 g−1 g0 g1 g2 .. . , em l2(Z) :=n(aj)j∈Z : X j∈Z |aj|2 < ∞ o , 6
debruçou-se sobre as matrizes de Laurent LM = . .. ... ... ... ... ... . .. · · · a0 a−1 a−2 a−3 a−4 · · · · · · a1 a0 a−1 a−2 a−3 · · · · · · a2 a1 a0 a−1 a−2 · · · · · · a3 a2 a1 a0 a−1 · · · · · · a4 a3 a2 a1 a0 · · · . .. ... ... ... ... ... . .. . (1.2)
Considerando apenas o bloco inferior direito de (1.2) obtêm-se as matrizes de Toeplitz TM = a0 a−1 a−2 · · · a1 a0 a−1 · · · a2 a1 a0 · · · .. . ... ... . .. , (1.3)
que podem ser descritas pela regra ajk = aj−k, onde (aj)j∈Z é uma sucessão de números
complexos.
Neste texto usa-se a notação
N := {0, 1, 2, . . .}.
Apesar de no artigo [32] Toeplitz tratar essencialmente de matrizes de Laurent, também prova que as matrizes de Toeplitz induzem um operador limitado em
l2 = l2(N) :=n(aj)j∈N: X j∈N |aj|2 < ∞ o , se e só se existe uma função essencialmente limitada em
T := {z ∈ C : |z| = 1} (1.4) cuja sucessão de coeficientes de Fourier é a sucessão (aj)j∈Z (e daí que o seu nome tenha sido
atribuído a este tipo de operadores).
Enquanto que as matrizes de Toeplitz se caracterizam por serem constantes nas diagonais paralelas à diagonal principal, as matrizes introduzidas por Hermann Hankel em 1861 na sua tese de doutoramento (e que por isso se denominam por matrizes de Hankel), caracterizam-se por caracterizam-serem matrizes constantes nas diagonais paralelas à diagonal caracterizam-secundária. Assim, as matrizes de Hankel são da forma
HM = a0 a1 a2 a3 · · · a1 a2 a3 a4 · · · a2 a3 a4 a5 · · · a3 a4 a5 a6 · · · .. . ... ... ... . .. ; (1.5)
logo, as suas entradas são definidas por ajk = aj+k (j, k ∈ N) onde (aj)j∈N é uma sucessão de
números complexos. Assim, aos operadores induzidos por este tipo de matrizes infinitas e que podem ser definidos como se segue
H : l2 −→ l2 (bj)j∈N 7→ X k∈N aj+kbk ! j∈N , (1.6)
chamam-se operadores Hankel .
Um dos primeiros resultados sobre matrizes de Hankel foi obtido por L. Kronecker, em 1881, e estabelece que a série de potências
a(z) = X
j∈N
ajzj
representa uma função racional se e só se a matriz de Hankel HM (que lhe é associada na
forma (1.5)) tem imagem com dimensão finita.
Em 1920, as matrizes de Hankel tornam a aparecer num trabalho de H. Hamburger, onde é introduzido o problema da existência de uma medida positiva µ em R tal que para uma dada sucessão (aj)j∈N de números reais se tem que
aj =
Z
R
ξjdµ(ξ),
para todo j. Tal é conhecido por problema do momento de Hamburger e o respectivo critério de solubilidade afirma que µ existe se e só se a matriz de Hankel HM é positiva semi-definida.
Como exemplo, considere-se a matriz de Hankel mais conhecida, definida por ajk =
1
j + k + 1, (j, k ∈ N)
e que se denomina por matriz de Hilbert , devido ao facto de, em 1906, David Hilbert ter provado que o operador,
H : l2 −→ l2 (bj)j∈N 7→ X k∈N 1 j + k + 1bk ! j∈N , induzido por essa matriz ser um operador limitado, isto é, a série
cj =
X
k∈N
1 j + k + 1bk
converge para todo j ∈ N e existe uma constante M tal que se verifica a condição kckl2 ≤ M kbkl2,
onde c = (cj)j∈N, b = (bj)j∈N e k · kl2 = X j∈N |aj|2 !12 .
Apesar de todo o operador limitado em l2 ser representável por uma matriz infinita, o que
Hilbert provou para as matrizes com o seu nome nem sempre é verdadeiro, ou seja, nem toda matriz infinita induz um operador limitado em l2. Assim, foi alcançado um importante avanço na teoria dos operadores de Hankel quando Z. Nehari demonstrou, em 1957, que
o operador de Hankel (1.6) induzido pela matriz (1.5) é limitado em l2 se e só se existe
uma função ψ essencialmente limitada em T tal que para todo j ∈ N aj = bψj,
onde bψj := 2π1
Rπ
−πψ(e
iξ)e−ijξ
dξ (j ∈ Z) são os coeficientes de Fourier de ψ.
Por volta de 1970, o interesse nos operadores de Hankel começou a crescer, em parte devido aos vários assuntos onde este tipo de operadores ocupam uma posição relevante, nomeadamente na teoria de sistemas lineares, teoria da aproximação, teoria da predição e outros.
Outra das razões pela qual os operadores de Hankel despertaram o interesse de vários autores, prende-se com a sua relação com os operadores de Toeplitz. Tal como com os oper-adores de Wiener-Hopf, alguns autores conseguiram tirar partido de resultados conhecidos e de técnicas desenvolvidas para os operadores de Toeplitz, por forma a obter progressos para os operadores de Hankel, destacando-se neste ponto o trabalho de S. C. Power que para além de estudar a álgebra C∗ gerada por operadores de Hankel e operadores de Toeplitz em [25], também se debruçou sobre a análise espectral dos operadores de Hankel em [24], bem como na interacção de operadores de Wiener-Hopf e operadores de Hankel em [26] e [27].
Posteriormente, vários foram os autores que estudaram os operadores resultantes da adição algébrica de operadores de Wiener-Hopf (Toeplitz) com os operadores de Hankel (ver [2], [4], [11], [17], [21], [22], [31]). Em grande parte, o crescente interesse despertado, por volta de 1990, neste tipo de operadores e em particular nos operadores de Wiener-Hopf-Hankel (operadores que resultam da adição de um operador de Wiener-Hopf com um operador de Hankel) está rela-cionado com a sua aplicabilidade a problemas concretos da Física-Matemática, nomeadamente em problemas de difracção de ondas electromagnéticas que podem ser reduzidos a sistemas de equações integrais caracterizadas por este tipo de operadores (ver [10], [12], [19], [20]).
Após esta contextualização histórica da evolução dos operadores de Wiener-Hopf, oper-adores de Toeplitz e dos operoper-adores de Wiener-Hopf-Hankel, sendo os últimos o objecto central da presente dissertação, passa-se à descrição dos objectivos desta sem deixar de salientar que as definições rigorosas de algumas das entidades matemáticas que são referidas, nesta intro-dução, encontram-se nas secções 2.1, 2.2 e 2.3 pretendendo-se que estas sejam o repositório dos conceitos necessários à compreensão das restantes.
De salientar que no caso dos operadores de Wiener-Hopf-Hankel com o símbolo de Fourier pertencente às classes das funções contínuas, das funções contínuas por troços ou das funções pares, a sua teoria está perfeitamente estabelecida, mas o mesmo não se passa, por exemplo, na classe das funções quase periódicas (AP ), ou na subclasse AP W de AP . Assim, considerando operadores de Wiener-Hopf-Hankel a actuar em espaços de Lebesgue com índice de integrabil-idade 2, nas secções 2.4 e 2.5 descrevem-se os resultados recentemente obtidos, em [22] e [21], para as classes AP e AP W , respectivamente.
Para resolver alguns problemas de difracção de ondas electromagnéticas, houve a necessi-dade de se considerar operadores de Wiener-Hopf-Hankel a actuar em espaços de potenciais de Bessel (ver [7], [10], [11], [12]). Com as mesmas motivações consideram-se, no Capítulo 2, op-eradores de Wiener-Hopf-Hankel com símbolos contínuos por troços em espaços de potenciais de Bessel e obtém-se uma condição suficiente para o operador ser um operador de Fredholm, usando a noção de ∆-relação após extensão introduzida em [9]. Utilizando resultados de [16] relativos a operadores de Toeplitz mais Hankel, incluídos na secção 3.2, já se consegue obter uma condição necessária e suficiente para que o operador de Wiener-Hopf-Hankel, com sím-bolos contínuos por troços em espaços de potenciais de Bessel, seja um operador de Fredholm, num caso particular em que os símbolos do operador de Wiener-Hopf e do operador de Hankel exibem uma determinada relação de dependência, que não é mais que a igualdade dos referidos símbolos quando os índices de suavidade, dos espaços de potencias de Bessel, são nulos, ou seja quando o operador de Wiener-Hopf-Hankel com símbolos contínuos por troços actua entre espaços de Lebesgue.
Operadores de Wiener-Hopf-Hankel com
símbolos quase periódicos em espaços de
Lebesgue
2.1
Definições Básicas
Uma álgebra de Banach consiste num espaço de Banach A, munido de uma operação de multiplicação,
A × A −→ A (f, g) 7−→ f g,
associativa, distributiva e que satisfaz a seguinte condição, para todo f, g ∈ A : kf gkA ≤ kf kAkgkA.
A uma álgebra de Banach A com uma involução, i.e. com uma aplicação .∗ : A −→ A
f 7−→ f∗
que satisfaz as seguintes condições, para todo f, g ∈ A, α ∈ C : (i) (αf + g)∗ = αf∗+ g∗
(ii) (f g)∗ = g∗f∗ (iii) (f∗)∗ = f,
chama-se álgebra C∗ se kf f∗kA = kf k2A, para todo f ∈ A.
Seja 1 ≤ p ≤ ∞, ∅ 6= X ⊆ R e (X, Σ, µ) um espaço de Lebesgue que será identificado apenas por X, Lp(X) representa o espaço de Banach de funções complexas mensuráveis em
X, tal que a norma kf kLp(X) é finita, com
kf kLp(X) = Z X |f (ξ)|pdξ 1p , se 1 ≤ p < ∞ e kf kL∞(X) = ess sup ξ∈X |f (ξ)|, se p = ∞. Em particular, L2(X) munido com o produto interno definido por
< f (ξ), g(ξ) > = Z
X
f (ξ)g(ξ)dξ
é um espaço de Hilbert, enquanto que o espaço L∞(X), das chamadas funções essencialmente limitadas, munido com a respectiva norma, com as operações algébricas usuais entre funções e com a involução definida pela passagem ao complexo conjugado é uma álgebra C∗.
Denota-se por Lp+(R)o subespaço de Lp(R) constituído pelas funções com suporte contido
no fecho de R+ e por L∞e (R) o subespaço de L ∞
(R) das funções pares, ou seja, Lp+(R) = {f ∈ Lp(R) : supp(f ) ⊂ R+},
L∞e (R) = {f ∈ L∞(R) : f (−ξ) = f (ξ), ξ ∈ R}. Ir-se-á usar frequentemente o operador `0de extensão por zero
`0 : Lp(R+) −→ L p +(R),
o operador `e de extensão par
`e: Lp(R+) −→ Lp(R)
e o operador r+ de restrição à semi-recta positiva
r+ : Lp(R) −→ Lp(R+).
Para 1 ≤ p < ∞, Lp(T) representa o espaço de Banach das funções complexas de domínio T (cf.(1.4)) e mensuráveis à Lebesgue cuja norma definida por
kf kLp(T) = 1 2π Z π −π |f (eiθ)|pdθ1/p
é finita, enquanto que L∞(T) denota a álgebra C∗ das funções complexas definidas em T e mensuráveis à Lebesgue cuja norma
kf kL∞(T) = ess sup τ ∈T
também é finita.
Dado um espaço vectorial K arbitrário, KN denotará o espaço de vectores com N entradas
em K e KN ×N o espaço vectorial das matrizes N × N igualmente com entradas em K.
O operador identidade será denotado por IKou somente por I caso seja claro, pelo contexto,
qual é o espaço vectorial associado e a matriz identidade em KN ×N por IN.
No caso de K = C, considera-se CN munido da norma euclidiana e CN ×N da norma kAkCN ×N = max
kξk=1kAξkC N,
usualmente conhecida como norma do operador . Assim, Lp(T)N
representa o espaço de Banach das funções mensuráveis à Lebesgue f : T −→ CN
tal que a norma
kf k(Lp(T))N = 1 2π Z π −π kf (eiθ)kp CNdθ 1/p
é finita e (L∞(T))N ×N a álgebra de Banach de funções essencialmente limitadas e mensuráveis à Lebesgue
f : T −→ CN ×N tal que é finita a seguinte norma
kf k(L∞(T))N ×N = ess sup τ ∈T
{kf (τ )kCN ×N}.
Os espaços H+p(T), em que 1 ≤ p ≤ ∞, conhecidos como espaços de Hardy, são constituídos pelas funções f, analíticas em D = {z ∈ C : |z| < 1}, tais que é finita a norma
kf kHp +(T) = sup{kfrkp : 0 ≤ r < 1} onde kfrkp = 1 2π Z π −π |f (reiθ)|pdθ 1/p se 1 ≤ p < ∞ e kfrk∞= ess sup θ |f (reiθ)|.
Equivalentemente, pode-se definir os espaços de Hardy do seguinte modo para 1 ≤ p ≤ ∞ H+p(T) =nf ∈ Lp(T) : bfn= 0, n ∈ Z− o onde bfn = 2π1 Rπ −πf (e iξ)e−inξ
O espaço das funções f ∈ Lp(T) cujos coeficientes de Fourier, ˆf (n), são nulos para todo n
inteiro não negativo denota-se por H−p(T) e por H+p(T) o espaço constituído pelo conjugado
complexo de todas as funções de H+p(T), i.e.,
H−p(T) = nf ∈ Lp(T) : bfn= 0, n ∈ Z+∪ {0} o H+p(T) = n f ∈ Lp(T) : bfn= 0, n ∈ Z+ o .
O operador integral singular de Cauchy em (Lp(T))N, com 1 < p < ∞ definido por (STf )(τ ) = 1 πi Z T f (η) η − τdη, τ ∈ T,
onde o integral é encarado no sentido do valor principal de Cauchy, é um operador linear e limitado em (Lp(T))N à custa do qual se definem os projectores de Riesz em T
PT= I + ST
2 e QT=
I − ST 2 .
Similarmente, define-se o operador integral singular de Cauchy em Lp(R), com 1 < p < ∞,
(SRf )(ξ) = 1 πi Z R f (η) η − ξdη, ξ ∈ R, e os projectores de Riesz PR = I + SR 2 e QR= I − SR 2 . Seja C+= {z ∈ C : Imz > 0} e C− = {z ∈ C : Imz < 0}.
Denota-se por H∞(C±) o conjunto das funções limitadas e analíticas em C± e por H±∞(R)
o conjunto das funções, de L∞(R), que são limite não tangencial de funções em H∞(C±).
Uma função f , analítica em C±, pertence a Hp(C±) (0 < p < ∞) se for satisfeita a condição
sup
±ξ>0
Z
R
|f (η + iξ)|pdξ < ∞.
O conjunto das funções que são limite não tangencial de funções em Hp(C
±), denota-se por
H±p(R), que no caso de 1 ≤ p < ∞ consiste num subespaço fechado de Lp(R).
Seja A : X → Y um operador linear limitado entre os espaços vectoriais normados X e Y . O espaço vectorial, L(X, Y ), dos operadores lineares limitados entre espaços vectoriais normados é também um espaço vectorial normado com norma definida por
kAkL(X,Y ) = sup kϕkX=1
kAϕkY.
Se X = Y escreve-se L(X) em vez de L(X, Y ).
Se X e Y forem espaços de Banach e A ∈ L(X, Y ), denota-se por X∗ o espaço dual de X e o operador adjunto de A por A∗ ∈ L(Y∗, X∗).
Em particular, o espaço dual de H+p(T) é o espaço H+q(T) onde q é o expoente conjugado de p, ou seja, q é tal que 1p +1q = 1 (para p, q ∈ (1, ∞)).
Se f ∈ L1(R) define-se, respectivamente, a transformada de Fourier e a transformada de
Fourier inversa como se segue:
F f (ξ) = bf (ξ) = Z R eiξxf (x)dx (2.1) F−1f (x) =
ˇ
f (x) = 1 2π Z R e−ixξf (ξ)dξ. (2.2) Pelo Teorema de Plancherel, pode-se estender os operadores lineares limitados F e F−1 a L2(R), obtendo, tal como em L1(R), operadores lineares limitados neste espaço.Denota-se por S(R) o espaço das funções teste de decrescimento rápido em R e por S0(R) o espaço das distribuições temperadas em R.
Dado que o decrescimento rápido de f ∈ S(R) assegura a convergência dos integrais em (2.1) e (2.2), é possível definir a transformação de Fourier e a sua inversa em S(R) e extender a distribuições, desde que se considere distribuições temperadas. Isto é, para todo φ ∈ S0(R) e para todo f ∈ S(R), define-se:
b
φ(f ) = φ( bf ) e
ˇ
φ(f ) = φ(ˇ
f ),ou seja, associa-se a cada distribuição temperada a sua transformada de Fourier e a sua transformada de Fourier inversa, que também são distribuições temperadas.
Em ambos os espaços S(R) e S0(R), a transformação de Fourier e a sua transformação inversa são operadores lineares limitados.
2.2
Operadores do tipo de convolução
O operador de convolução em L2(R) define-se por (k ∗ f )(ξ) =
Z
R
k(η − ξ)f (η)dη, ξ ∈ R e devido à bem conhecida propriedade da transformação de Fourier
( [k ∗ f )(ξ) = bk(ξ) · bf (ξ), ξ ∈ R, pode-se reescrever
k ∗ f = F−1bk · F f. Por isso, a todo o operador do tipo
Wφ0 = F−1φ · F : L2(R) −→ L2(R) (2.3) chama-se operador de convolução em L2(R), onde φ ∈ L∞
(R) se designa por símbolo de Fourier do operador (2.3).
Assim sendo, note-se que (k ∗ f )(ξ) = (Wbk0f )(ξ), para todo ξ ∈ R.
À restrição do operador de convolução em L2(R), Wφ0, à semi-recta positiva, após considerar um domínio com elementos de suporte em R+, chama-se operador de Wiener-Hopf em L2,
Wφ= r+Wφ0 : L 2
+(R) −→ L 2
(R+). (2.4)
Como exemplo de um operador de convolução, destaca-se o operador singular integral de Cauchy em R SR= W−sgn0 , onde sgn(ξ) = −1 se ξ < 0 0 se ξ = 0, 1 se ξ > 0
e como exemplo de operadores de Wiener-Hopf destacam-se o já referido operador (1.1) e o operador singular integral de Cauchy em R+
(W−sgnf )(ξ) = (SR+f )(ξ) = 1 πi Z ∞ 0 f (η) η − ξdη, ξ ∈ R. (2.5) Como se irá observar mais adiante, nomeadamente na Proposição 2.2, os operadores (2.3) e (2.4) são limitados. No entanto, apesar de em diversos contextos ser interessante considerar
estes operadores em espaços de Lebesgue com índice de integrabilidade p 6= 2, é necessário considerar uma subclasse dos símbolos de Fourier, definida a seguir, que garanta a limitação dos operadores de convolução e de Wiener-Hopf para tais índices de integrabilidade.
Assim, ao conjunto dos símbolos de Fourier φ ∈ L∞(R) tal que o respectivo operador de convolução,
Wφ0 : Lp(R) −→ Lp(R), 1 < p < ∞
está bem definido e é limitado em Lp(R) chama-se classe dos multiplicadores de Fourier e denota-se por Mp(R). Munido da norma kφk
Mp = kW0
φkL(Lp(R)) e das operações algébricas
usuais entre funções, Mp(R) é uma álgebra de Banach.
Por exemplo, uma função pertencente à álgebra de Wiener pertence a Mp(R).
Proposição 2.1 [15] Os operadores
Wφ0 = F−1φ · F : Lp(R) −→ Lp(R) e
Wφ= r+F−1φ · F : Lp+(R) −→ Lp(R+)
são simultaneamente limitados ou ilimitados e relativamente às respectivas normas e verifica-se que kW0
φkL(Lp(R)) = kWφkL(Lp+(R),Lp(R +)).
Demonstração: Como para todo f ∈ Lp+(R) kWφf kLp(R +) = k`0Wφf kLp(R) ≤ kW 0 φf kLp(R), tem-se que kWφkL(Lp+(R),Lp(R +)) ≤ kW 0 φkL(Lp(R)).
Por outro lado, para qualquer ε > 0 existe g ∈ Lp(R) tal que supp(g) ⊂ [−d, d] com d ∈ R+, kgkLp(R)= 1 e kW0
φgkLp(R)≥ kW 0
φkL(Lp(R))− ε.
Considerando uma nova função (Vcg)(ξ) = g(ξ − c) com c > d, é óbvio que kVcgkLp(R) =
kgkLp(R) = 1 e supp(Vcg) ⊂ R+. Donde, tendo em consideração o operador de restrição ao
intervalo C = [−c, +∞[ rc : Lp(R) −→ Lp(C), vem lim c→∞krcW 0 φgkLp(C) = kWφ0gkLp(R)
e para um c suficientemente grande, deduz-se que kWφkL(Lp+(R),Lp(R +)) ≥ kWφVcgkLp(R+)= krcW 0 φgkLp(C) ≥ kWφ0gkLp(R)− ε ≥ kW0 φkL(Lp(R))− ε − ε = kWφ0kL(Lp(R))− 2ε
o que implica que kWφkL(Lp+(R),Lp(R
+))≥ kW 0
Proposição 2.2 [15] Se φ ∈ L∞(R) então o operador Wφ é limitado e
kWφkL(L2
+(R),L2(R+)) = kφkL∞(R).
Demonstração: Usando o Teorema de Plancherel pode-se escrever: kWφ0f kL2(R) = kF−1φ · F f kL2(R)= 1 √ 2πk √ 2πF−1φ · F f kL2(R) = √1 2πkφ · F f kL2(R).
Aplicando a definição de k · kL2(R), resulta que para todo f ∈ L2(R)
kW0 φf kL2(R) = 1 √ 2π Z R | φ(ξ) · F f (ξ) |2 dξ 1 2 6 √1 2π Z R (ess sup|φ(ξ)|)2|F f (ξ)|2dξ 12 = kφkL∞(R)· 1 √ 2πkF f kL2(R) donde se concluí, usando novamente o Teorema de Plancherel, que
kW0
φf kL2(R)≤ kφkL∞(R)· kf kL2(R),
ou seja, kWφ0kL(L2(R)) ≤ kφkL∞(R). Logo pela proposição anterior Wφ é limitado.
Se ε > 0 então existe um conjunto mensurável E ⊂ R com medida positiva (não nula) tal que |φ(ξ)| ≥ kφkL∞(R)− ε, para todo ξ ∈ E.
Seja g ∈ L2(R) tal que supp(g) ⊂ E e kgk
L2(R) = 1. Se f = √ 2πF−1g então kf kL2(R) = kgkL2(R) e kW0 φf kL2(R) = 1 √ 2πkφ · F f kL2(R)= kφ · gkL2(R)= Z E |φ(ξ) · g(ξ)|2d(ξ) 1 2 ≥ Z E (kφkL∞(R)− ε)2· |g(ξ)|2d(ξ) 12 = (kφkL∞(R)− ε) · kgkL2(R)= kφkL∞(R)− ε, logo kWφkL(L2 +(R),L2(R+))≥ kφkL∞(R). 2
Note-se que, das duas proposições anteriores e da definição de Mp(R), se infere que
M2(R) = L∞ (R). Ao operador Hφ= WφJ : L p +(R) −→ L p (R+)
com 1 < p < ∞, φ ∈ Mp(R) e J o operador de reflexão definido por Jf (ξ) = ef (ξ) = f (−ξ), para todo ξ ∈ R, chama-se operador de Hankel em Lp.
No caso de φ = c + F k pertencer à álgebra de Wiener, o operador de Hankel é passível de ser reescrito na forma
(Hφf )(ξ) = Z ∞ 0 k(ξ + η)f (η)dη, ξ ∈ R+. Ao operador Wφ+ Hψ : Lp+(R) −→ Lp(R+),
com φ, ψ ∈ Mp(R), resultante da adição de um operador de Wiener-Hopf com um operador
de Hankel, denomina-se operador de Wiener-Hopf-Hankel em Lp e no caso de φ = ψ denota-se simplesmente por W Hφ.
O espaço de potenciais de Bessel , Hs,p(R) (1 < p < ∞, s ∈ R), é constituído pelas
distribuições temperadas ϕ tais que a sua norma kϕkHs,p(R) é finita, ou seja,
Hs,p(R) = {ϕ ∈ S0
(R) : kϕkHs,p(R)= kF−1λs· F ϕkL
p(R)< ∞},
onde λ(ξ) =p1 + ξ2.
Seja Ω um subconjunto aberto de R. Por Hs,p(Ω) denota-se, naturalmente, os espaços de
potenciais de Bessel com índices s ∈ R e 1 < p < ∞ definidos sobre Ω: Hs,p(Ω) = rΩHs,p(R),
onde rΩ denota o operador de restrição a Ω. Adicionalmente, define-se
e
Hs,p(Ω) = {ϕ ∈ Hs,p(R) : supp(ϕ) ⊂ Ω}.
A norma de eHs,p(Ω) é a norma induzida por Hs,p(R), enquanto que a norma de Hs,p(Ω) é
definida como a norma do espaço quociente Hs,p(R)/ eHs,p(R\Ω), ou seja
kϕkHs,p(Ω)= inf ψ∈ eHs,p(R\Ω)
kϕ + ψkHs,p(R)
Assim, o operador
Wφ0 = F−1φ · F : Hs,p(R) −→ Hs,p(R), com φ ∈ Mp(R), designa-se por operador de convolução em Hs,p(R).
Saliente-se que as diversas propriedades dos espaços de potenciais de Bessel podem-se encontrar descritos em [33] e [34], por exemplo.
Proposição 2.3 Seja 1 < p < ∞ e s ∈ R. Se φ ∈ Mp(R) então o operador
Wφ0 : Hs,p(R) −→ Hs,p(R) é limitado.
Demonstração:
Seja ϕ ∈ Hs,p(R) então, pela definição de Hs,p(R), F−1λs · F ϕ ∈ Lp(R), logo usando a
definição de k · kHs,p(R) tem-se que
kW0
φϕkHs,p(R) = kF−1λs· F F−1φ · F ϕkLp(R)
= kF−1φ · F F−1λs· F ϕkLp(R). (2.6)
Como por hipótese φ ∈ Mp(R), resulta de (2.6) que
kW0
φϕkHs,p(R) ≤ kF−1φ · F kL(Lp(R))· kF−1λs· F ϕkLp(R)
= kWφ0kL(Lp(R))· kϕkHs,p(R).
2 É também possível definir operadores de Wiener-Hopf, operadores de Hankel e conse-quentemente operadores de Wiener-Hopf-Hankel em espaços de potenciais de Bessel. Estes últimos serão considerados no Capítulo 2, onde se prova a respectiva limitação e da qual se infere a limitação dos operadores de Wiener-Hopf e dos operadores de Hankel nos referidos espaços.
2.3
Operadores de Fredholm
Sejam X e Y espaços de Banach, A ∈ L(X, Y ) e B ∈ L(Y, X). O núcleo e a imagem de A são definidos, respectivamente, por
KerA = {x ∈ X : Ax = 0} e ImA = {Ax : x ∈ X}. Diz-se que A é um operador de Fredholm se:
i) é normalmente solúvel , isto é, o subespaço ImA é fechado em Y ;
ii) n(A) = dim(KerA) < ∞ e d(A) = dim(CokerA) = dim(Y /Im(A)) < ∞.
Se, porventura, o operador A normalmente solúvel tiver n(A) < ∞ e d(A) = ∞ diz-se que A é propriamente n-normal , enquanto que se n(A) = ∞ e d(A) < ∞, A diz-se propriamente d-normal .
Neste contexto, define-se o índice de Fredholm de A por Ind(A) = n(A) − d(A).
No caso de A ser um operador de Fredholm o índice de Fredholm de A é um número inteiro, mas se A for propriamente n-normal ou propriamente d-normal então o índice de Fredholm de A é igual a −∞ ou +∞, respectivamente.
O operador A designa-se por operador semi-Fredholm se pelo menos um dos números n(A) e d(A) é finito. Assim, denota-se por Φ+(X, Y ) o conjunto dos operadores com n(A) < ∞ e
por Φ−(X, Y ) o conjunto dos operadores com d(A) < ∞. No caso de A ∈ Φ+(X, Y ) diz-se que
A é um operador n-normal , caso A ∈ Φ−(X, Y ) diz-se que A é um operador d-normal .
Pelos factos de A ser um operador normalmente solúvel se e só se A∗ também o for, n(A) = d(A∗) e d(A) = n(A∗) pode-se afirmar que A é um operador de Fredholm se e só se A∗ também o for e reescrever o índice de Fredholm de A na forma
Ind(A) = d(A∗) − n(A∗) = −Ind(A∗).
O operador B diz-se um regularizador à esquerda de A se BA−IX = KX, com KX : X → X
a ser um operador compacto, e um regularizador à direita de A se AB − IY = KY, com
KY : Y → Y a ser um operador compacto. Se um operador for simultaneamente regularizador
à esquerda e à direita de A então chama-se apenas regularizador de A.
Apesar da existência de um regularizador à esquerda/direita implicar que o operador seja propriamente n-normal/d-normal o recíproco, em geral, não é válido, verificando-se no entanto tal no caso de se considerar espaços de Hilbert, por exemplo.
Em alguma literatura, em vez dos termos regularizador à esquerda/direita usam-se Fred-holm à esquerda/direita. Tal deve-se ao facto de um operador ser um operador de FredFred-holm se e só se possuir um regularizador, ou ainda, se e só se possuir um regularizador à esquerda e um regularizador à direita.
O teorema seguinte foi originalmente provado por F. V. Atkinson.
Teorema 2.4 Se A ∈ L(X, Y ) e B ∈ L(Y, Z) são operadores de Fredholm, então BA ∈ L(X, Z) também é um operador de Fredholm e
Ind(BA) = Ind(A) + Ind(B).
Este resultado pode ser generalizado a operadores semi-Fredholm, como deixa claro o Teorema que se segue.
Teorema 2.5 Se A ∈ Φ±(X, Y ) e B ∈ Φ±(Y, Z) então BA ∈ Φ±(X, Z).
Supondo agora que B é um regularizador de A então A é um operador de Fredholm, mas por outro lado A também é um regularizador de B logo B também é um operador de Fredholm. Assim, aplicando o Teorema 2.4
Ind(BA) = Ind(A) + Ind(B). (2.7) Por hipótese BA = IX + K, onde K é um operador compacto. Então, tendo em consideração
que o operador IX + K é um operador de Fredholm de índice nulo, concluí-se por (2.7) que
0 = Ind(A) + Ind(B).
Teorema 2.6 Se B é um regularizador de A, então Ind(B) = −Ind(A).
Com isto, é possível mostrar que o índice de Fredholm é estável sob a perturbação de compactos.
Teorema 2.7 Se A ∈ (X, Y ) é um operador de Fredholm e K : X → Y é um operador compacto então A + K também é um operador de Frehholm e
Ind(A + K) = Ind(A).
Demonstração: Seja B ∈ L(X, Y ) um regularizador de A, isto é, BA − IX = KX e
AB − IY = KY onde KX : X → X e KY : Y → Y são operadores compactos. Como B é
também um regularizador de A + K já que B(A + K) = IX + (KX + BK | {z } compacto ) (A + K)B = IY + (KY + KB | {z } compacto ),
pode-se afirmar que A + K, tal como B é um operador de Fredholm e concluir pelos Teoremas 2.4 e 2.6 que
Ind(A + K) = −Ind(B) = Ind(A).
2 Note-se que este último teorema também é passível de generalização a operadores de semi-Fredholm. Opta-se no entanto por não incluir nesta dissertação esse resultado dado que não será utilizado. Aliás, tal sucede também ao resultado anterior que se optou por incluir não pelo seu uso directo, mas por se considerar um resultado de relevo e estruturante.
Um operador T ∈ L(Y, X) é um inverso generalizado de A se satisfaz as identidades AT A = A T AT = T.
Apesar de T não ser em geral único, no caso de A ser invertível , isto é, no caso de existir um operador A−1 ∈ L(Y, X) tal que
A−1A = IX AA−1 = IY,
então T é único e coincide com A−1.
Sabe-se que o operador normalmente solúvel A possuí um inverso generalizado se e só se ImA e KerA são subespaços complementáveis em X e Y , respectivamente. Se dim(Y /ImA) < ∞ então ImA é complementável em Y (ver Lema 4.21 de [29]), logo como o núcleo de um operador de Fredholm é sempre complementável então qualquer operador de Fredholm possuí um inverso generalizado.
No caso de a equação Ax = y ser solúvel para um dado y ∈ Y e de T ser um inverso generalizado de A então é porque existe x0 ∈ X tal que Ax0 = y, logo
ou seja T y é solução da equação Ax = y, o que deixa bem expressa a utilidade da existência de um inverso generalizado.
De seguida, é apresentada uma tabela (transcrita de [8]) que resume as chamadas pro-priedades de regularidade, de um operador linear limitado a actuar entre espaços de Banach, isto é, das propriedades que dependem directamente do núcleo e da imagem do operador.
Operador A n(A) = 0 n(A) < ∞ kerA é comple-mantável
kerA é fechado
d(A) = 0
invertível invertível à di-reita e Fred-holm invertível à di-reita sobrejectivo d(A) < ∞ invertível à es-querda e Fred-holm Fredholm regularizável à direita A ∈ Φ−(X, Y ) ImA é complementável invertível à es-querda regularizável à esquerda inverso general-izado – ImA é fechado injectivo A ∈ Φ+(X, Y ) – normalmente solúvel
Sejam X1, X2, Y1 e Y2 espaços de Banach. Dois operadores T : X1 −→ Y1 e S : X2 −→ Y2
dizem-se equivalentes se existirem operadores lineares e limitados E : Y2 −→ Y1 e F : X1 −→
X2 tal que
T = ESF.
Para denotar tal relação de equivalência entre os operadores T e S escreve-se: T ∼ S.
A relevância da noção anterior reside no facto de os operadores equivalentes pertencerem à mesma classe de regularidade, isto é, se um dos operadores possuí determinada propriedade de regularidade (da tabela anterior) então o outro operador também verifica essa mesma propriedade.
T e S dizem-se equivalentes após extensão e denota-se tal por T ∼ S∗
se existem espaços de Banach X e Y e operadores lineares, limitados e invertíveis E e F tal que " T 0 0 IX # = E " S 0 0 IY # F. (2.8)
Se, em (2.8), no lugar do operador IX, se tem um operador entre espaços de Banach
T∆: X1∆−→ X2∆ linear limitado e invertível diz-se que T é ∆-relacionado após extensão com
S e denota-se por
T ∆ S.∗
Neste caso, se S possuí determinada propriedade de regularidade então T também possuí essa mesma propriedade. O recíproco não se pode no entanto exibir.
2.4
Operadores de Wiener-Hopf-Hankel com símbolos AP
Definição 2.8 A álgebra das funções quase periódicas, que se denota por AP , consiste na menor subálgebra fechada de L∞(R) que contém as funções eλ (eλ(ξ) = eiλξ, ξ ∈ R) com
λ ∈ R, isto é
AP = algL∞(R){eλ : λ ∈ R}.
Considere-se agora o conjunto das funções complexas de variável real que admitem a rep-resentação f (ξ) = n X j=1 rjeiλjξ, com n ∈ N, rj ∈ C e λj ∈ R
a que se chamam polinómios quase periódicos e releve-se o facto de AP não ser mais de que o fecho do conjunto destes polinómios em L∞(R).
Para cada φ ∈ AP , sabe-se que:
i) existe e é finito o valor médio de Bohr [14] M (φ) = lim α→∞ 1 |Iα| Z Iα φ(ξ)dξ onde {Iα}α∈Γ = n ]ξα, ηα[ o α∈Γ com Γ ⊂ R+
uma subclasse ilimitada e ξα − ηα → ∞ quando
α → ∞.
Adicionalmente, o valor M (φ) é independente da escolha da família de intervalos {Iα}.
ii) O espectro de Bohr-Fourier
Ω(φ) = {λ ∈ R : M (e−λφ) 6= 0}
é no máximo contável.
Daqui em diante, denota-se por GB o grupo dos elementos invertíveis da álgebra de Banach B.
Teorema 2.9 [5] Se φ ∈ GAP então existe k(φ) ∈ R e ψ ∈ AP tal que φ(ξ) = eik(φ)ξeψ(ξ), para todo ξ ∈ R.
O valor real k(φ) chama-se média de deslocamento de φ e pode ser determinado pela fórmula k(φ) = lim α→∞ (argφ)(ηα) − (argφ)(ξα) ηα− ξα onde {Iα}α∈Γ = n ]ξα, ηα[ o
α∈Γ com Γ ⊂ R+ uma subclasse ilimitada e ξα − ηα → ∞ quando
α → ∞.
Definição 2.10 AP± é a menor subálgebra de L∞(R) que contém as funções eλ com ±λ ≥ 0,
isto é,
AP± = algL∞(R){eλ : ±λ ≥ 0}.
Equivalentemente, pode-se dizer que
AP±= {φ ∈ AP : M (e−λφ) = 0, para ± λ < 0} já que M (e−λφ) = ( rj se λ = λj 0 se λ /∈ {λ1, ..., λn} , para qualquer φ = n X j=1 rjeλj ∈ AP.
O teorema seguinte, relativo a operadores de Wiener-Hopf em L2 com símbolos em AP e que fornece um critério de invertibilidade e de descrição da propriedade de Fredholm, à custa do sinal da média de deslocamento do símbolo de Fourier do operador, é o mote para os resultados que mais à frente se apresentam relativos aos operadores de Wiener-Hopf-Hankel
W Hφ = r+F−1φ · F (IL2
+(R)+ J ) (2.9)
= r+F−1φ · F ler+ : L2+(R) −→ L2(R+)
com φ ∈ GAP.
Teorema 2.11 [13], [18] Seja φ ∈ GAP e
Wφ: L2+(R) −→ L2(R+).
(i) Se k(φ) > 0 então o operador Wφ é propriamente n-normal e invertível à esquerda.
(ii) Se k(φ) < 0 então o operador Wφ é propriamente d-normal e invertível à direita.
Para o estabelecimento de um resultado semelhante ao anterior, mas para os operadores (2.9) são necessárias algumas propriedades dos operadores de Wiener-Hopf-Hankel, que se enunciarão adiante, bem como a definição da seguinte factorização do símbolo de Fourier do operador, da qual depende o referido resultado.
Definição 2.12 A função φ ∈ GAP possuí uma AP-factorização assimétrica se admite uma representação da forma
φ = φ−eλφe
onde λ ∈ R, φ− ∈ GAP−, φe ∈ GL∞e (R).
No caso de φ admitir uma AP-factorização assimétrica com λ = 0, ou seja φ = φ−φe,
denomina-se esta factorização por AP-factorização assimétrica canónica.
O Teorema seguinte assegura a unicidade, a menos de uma constante, da AP -factorização assimétrica caso exista, mas antes disso segue-se um lema necessário para a demonstração desse resultado
Lema 2.13 [5] A função φ ∈ GAP± se e só se existe ψ ∈ AP± tal que φ = eψ.
Demonstração: Se existe ψ ∈ AP+ tal que φ = eψ então φ = ∞ X j=0 ψj j!
mas como, para todo j, ψj ∈ AP+ concluí-se que φ ∈ AP+ e mais concretamente φ ∈ GAP+,
já que e−ψ = φ−1 ∈ AP+.
Por outro lado, supondo que φ ∈ GAP+ ⊂ GH∞
+(R) tem-se que Wφ é um operador
in-vertível, cujo inverso é o operador Wφ−1, logo usando o Teorema 2.11 deduz-se que a média de
deslocamento de φ é nula. Por isso, pelo Teorema 2.9, existe ψ ∈ AP tal que φ = eψ,
faltando então provar apenas que ψ ∈ AP+.
Tendo em conta que AP é o fecho do conjunto dos polinómios quase periódicos, considera-se a sucessão de polinómios quase periódicos (pn) tal que
kψ − pnkL∞(R) → 0.
Consequentemente
keψ− epnk
e, porque por hipótese se supôs φ = eψ ∈ GAP+, para n suficientemente grande
epn ∈ GAP+ ⊂ GH∞ +(R).
Um polinómio quase periódico pn pode ser escrito na forma
pn = p+n + p −
n (2.10)
onde p±n ∈ H∞ ±(R).
Pelo facto de H±∞(R) ser uma álgebra de Banach (com identidade)
ep±n ∈ G
0H±∞(R) ⊂ GH±∞(R)
onde G0H±∞(R) := {eb : b ∈ H±∞(R)} denota a componente principal de GH±∞(R).
Usando (2.10)
epn
|{z}
∈GH∞
+(R),paransuf. grande
= ep+n
|{z}
∈GH∞ +(R)
ep−n
donde resulta que ep−n ∈ GH∞
+(R) para n suficientemente grande.
Com isto,
ep−n ∈ H∞
+(R) ∩ H ∞
−(R) = C
para n suficientemente grande e consequentemente p−n ∈ C para n suficientemente grande. Por (2.10), pn ∈ H+∞(R) para n suficientemente grande, logo
ψ ∈ H+∞(R) ∩ AP = AP+.
A prova, para o caso de φ ∈ GAP−, é em tudo similar ao caso anterior. 2 Teorema 2.14 [22] Se φ ∈ GAP admite duas AP-factorizações assimétricas
φ = φ(1)− eλ1φ (1) e φ = φ (2) − eλ2φ (2) e então λ1 = λ2, φ (1) − = γφ (2) − e φ (1) e = γ−1φ(2)e , γ ∈ C \ {0}. Demonstração: Da igualdade φ(1)− eλ1φ (1) e = φ(2)− eλ2φ (2) e resulta que ϕeλ1−λ2 = φ (2) e φ (1) e −1 (2.11) onde ϕ = φ(2)− −1 φ(1)− ∈ GAP−.
Como o segundo membro de (2.11) é uma função par, então o primeiro membro também o é. Assim, para todo ξ, tem-se
Tal é equivalente a
ϕ(ξ)e2(λ1−λ2)(ξ) =ϕ(ξ).e (2.12) Como ϕ ∈ GAP− e ϕ ∈ GAPe +, pode-se usar o Lema 2.13, garantindo assim a existência das funções ψ ∈ AP− e σ ∈ AP+ tais que
ϕ = eψ ϕ = ee σ. (2.13) Usando as últimas igualdades em (2.12) obtém-se
eψ(ξ)+2i(λ1−λ2)(ξ) = eσ(ξ)
donde resulta que λ1 = λ2 e ϕ = γ ∈ AP−∩ AP+ = C.
Por (2.13) tem-se que ϕ = eψ = γ ∈ C \ {0}, logo pela definição de ϕ e por (2.11)
γ = φ(2)− −1 φ(1)− γ = φ(2)e φ (1) e −1 ou equivalentemente φ(1)− = γφ (2) − φ(1)e = γ −1 φ(2)e . 2 É bem conhecido (ver por exemplo [6]) que os operadores de Wiener-Hopf-Hankel se rela-cionam com os operadores de Hankel através das identidades
Wφϕ = Wφ`0Wϕ+ Hφ`0Hϕe
Hφϕ = Wφ`0Hϕ+ Hφ`0Wϕe
donde se obtém, adicionando membro a membro, a seguinte igualdade
W Hφϕ = Wφ`0W Hϕ+ Hφ`0W Hϕe. (2.14)
Com base em (2.14), pode-se ainda obter a igualdade
W Hφϕ = Wφ`0W Hϕ+ Hφ`0W Hϕ− Hφ`0W Hϕ+ Hφ`0W Hϕe
= W Hφ`0W Hϕ+ Hφ`0W Hϕ−ϕe , (2.15)
donde se concluí que se φ ∈ H−∞(R) ou ϕ é uma função par então
W Hφϕ = W Hφ`0W Hϕ (2.16)
isto porque Hφ= 0 caso ϕ ∈ H−∞(R). 2
Lema 2.15 [22] Se ϕ ∈ H−∞(R), ψ ∈ L∞(R) e φ ∈ L∞e (R) então W Hϕψφ = Wϕ`0W Hψ`0W Hφ.
Demonstração: Usando (2.16) pode-se escrever que W Hϕψφ= W Hϕ`0W Hψφ,
mas como φ se supôs uma função par, usando novamente (2.16), vem W Hϕψφ= W Hϕ`0W Hψ`0W Hφ.
Por fim, utilizando esta igualdade e tendo em conta que Hϕ = 0, já que ϕ ∈ H−∞(R) obtém-se
W Hϕψφ = Wϕ`0W Hψ`0W Hφ.
2 Teorema 2.16 [22] Se φ ∈ GAP admite uma AP-factorização assimétrica
φ = φ−eλφe
então
(i) o operador (2.9) é propriamente n-normal e invertível à esquerda, caso λ > 0 (ii) o operador (2.9) é propriamente d-normal e invertível à direita, caso λ < 0 (iii) o operador (2.9) é invertível, caso λ = 0.
Demonstração: Como φ− ∈ AP− = AP ∩ H−∞(R) tem-se que φ− ∈ H−∞(R), donde
usando o Lema 2.15 se concluí que
W Hφ = W Hφ−eλφe = Wφ−`0W Heλ`0W Hφe
= Wφ−`0(Weλ+ Heλ)`0W Hφe. (2.17)
Por outro lado, como φ− ∈ GAP− pode-se usar o Lema 2.13 garantindo-se assim a
existên-cia da função ψ ∈ AP− tal que φ−= eψ, daí que k(φ−) = 0. Logo, pelo Teorema 2.11, Wφ− é
invertível.
O operador `0 também é invertível, bem como o operador W Hφe cujo inverso é o operador
`0W Hφ−1e `0.
Com isto e pela igualdade (2.17) se concluí que os operadores W Hφ e W Heλ são
equiva-lentes.
Caso λ < 0, têm-se duas consequências imediatas: k(eλ) < 0 e eλ ∈ AP− o que por sua
vez implica que eλ ∈ H−∞(R), logo Heλ = 0.
Usando novamente o Teorema 2.11, já que W Heλ = Weλ, pode-se afirmar que o operador
Weλé propriamente d-normal e invertível à direita e consequentemente também se pode afirmar
Caso λ > 0, pelo que foi concluído no caso anterior tem-se que o operador W He−λ = We−λ
é propriamente d-normal e invertível à direita.
Considerando o operador adjunto de W Heλ, ou seja,
(W Heλ) ∗ = (Weλ) ∗ + (Heλ) ∗ = Weλ+ (WeλJ ) ∗ = We−λ + J We−λ = We−λ + J We−λJ J = We−λ + J He−λJ,
como He−λ = 0 tem-se que
(W Heλ) ∗
= We−λ,
logo W Heλ é propriamente n-normal e invertível à esquerda.
Por fim, se λ = 0 então φ = φ−φe logo
W Hφ= Wφ−`0W Hφe
e como Wφ− e W Hφe são ambos operadores invertíveis concluí-se que W Hφtambém é invertível.
2
Garantida a existência de um inverso ou de inverso lateral do operador (2.9), conforme o sinal de λ referente à suposta AP -factorização assimétrica do símbolo de Fourier do operador, no teorema seguinte consegue-se definir explicitamente tal operador.
Teorema 2.17 [22] Se φ ∈ GAP admite uma AP-factorização assimétrica φ = φ−eλφe
então o operador definido por T = `0r+F−1φ−1e · F `
er
+F−1e−λ· F `er+F−1φ−1− · F ` : L2(R+) −→ L2+(R)
onde ` : L2(R
+) −→ L2(R) denota um operador de extensão arbitrário, é:
(i) o inverso à esquerda do operador (2.9), se λ > 0 (ii) o inverso à direita do operador (2.9), se λ < 0 (iii) o inverso do operador (2.9), se λ = 0.
Demonstração: Tendo em conta a AP -factorização assimétrica de φ pode-se escrever o operador W Hφ da seguinte forma:
W Hφ = r+F−1φ−eλφe· F `er+ = r+F−1φ−· F F−1eλ· F F−1φe· F `er+
onde A−= Wφ0−, E = We0λ e Ae = W 0 φe.
Se λ ≤ 0 então tendo em conta que r+`0r+= r+
W HφT = r+A−EAe`er+`0r+A−1e ` e r+E−1`er+A−1− ` = r+A−EAe`er+A−1e ` er +E−1`er+A−1− `.
Pelo facto de o operador A−1e preservar a propriedade par do seu símbolo de Fourier, o primeiro factor `er+ pode desaparecer, isto é,
`er+A−1e ` er
+ = A−1e ` er
+,
obtendo-se assim da igualdade anterior:
W HφT = r+A−EAeA−1e ` er
+E−1`er+A−1− `
= r+A−E`er+E−1`er+A−1− `.
Como se supôs λ ≤ 0, E−1 é um “factor mais” e A− é um “factor menos” (ver [11]), logo
`er+E−1`er+= E−1`er+, A−`er+ = A−
donde resulta que
W HφT = r+A−EE−1`er+A−1− `
= r+A−A−1− `
= r+` = IL2(R +).
Se λ ≥ 0, usando argumentos similares aos utilizados no caso anterior, ou seja, usando o facto de A−1− e E−1 serem “factores menos” e de Ae preservar a propriedade par do seu símbolo
de Fourier, obtém-se que
T W Hφ = `0r+A−1e ` e r+E−1`er+A−−1`r+A−EAe`er+ = `0r+A−1e ` er +E−1`er+A−−1A−EAe`er+ = `0r+A−1e `er+E−1EAe`er+ = `0r+A−1e Ae`er+ = `0r+`er+ = `0r+= IL2 +(R).
Intersectando os dois casos anteriores resulta que λ = 0 e que o operador T é o inverso de
Corolário 2.18 Se φ ∈ GAP admite uma AP-factorização assimétrica φ = φ−eλφe
então o operador T , definido no teorema anterior, é um inverso generalizado de W Hφ.
Ainda relativamente ao Teorema 2.16, note-se que a invertibilidade do operador (2.9) fica garantida com a existência de uma AP -factorização assimétrica canónica.
A seguir definem-se outras factorizações de funções quase periódicas, que possibilitam a obtenção de um resultado semelhante ao Teorema 2.16 alínea (iii), mas agora dependente de um outro tipo de factorização, já utilizada em [5], por exemplo.
Definição 2.19 A função φ ∈ GAP admite uma AP-factorização à direita se φ = ϕ−eλϕ+
onde ϕ± ∈ GAP± e λ ∈ R.
Também se denomina a factorização anterior por AP-factorização à direita canónica se λ = 0.
A factorização que se segue não é mais do que um caso particular de uma AP -factorização à direita, onde o factor da direita é definido à custa do factor da esquerda como se segue: Definição 2.20 A função φ ∈ GAP admite uma AP-factorização anti-simétrica com índice λ se
φ = φ−e2λφg−1− ,
onde φ− ∈ GAP− e λ ∈ R.
Para se obter o referido resultado (que fornece uma condição suficiente para a invertibil-idade do operador (2.9)) são necessários os resultados seguintes, que relacionam os tipos de AP-factorizações atrás definidos com a AP-factorização assimétrica.
Teorema 2.21 [22] Seja φ ∈ GAP e Φ = φgφ−1.
(i) Se φ admite uma AP-factorização assimétrica, φ = φ−eλφe, então Φ admite uma
AP-factorização anti-simétrica com o mesmo factor φ− e índice λ.
(ii) Se Φ admite uma AP-factorização anti-simétrica, Φ = ψ−e2λψg−−1, então φ admite uma
AP-factorização assimétrica com o mesmo factor ψ− e índice λ e com o factor para
Demonstração:
(i) Como φ = φ−eλφe onde φ− ∈ GAP−, φe ∈ GL∞(R) tal que eφe = φe tem-se que
φ−1 = φ−1e e−λφ−1− , logo g φ−1 = gφ−1 e ge−λφg −1 − = φ−1e eλgφ−1− .
Donde se concluí que Φ admite a seguinte AP -factorização anti-simétrica Φ = φgφ−1 = φ
−e2λgφ−1− .
(ii) Da AP -factorização anti-simétrica de Φ = ψ−e2λψ−−1, onde ψ− ∈ GAP− e λ ∈ R,
resulta que φgφ−1 = ψ −e2λψg−−1 (2.18) ou seja, φ = ψ−e2λψg−1− φe = ψ−eλeλψg−1− φ.e (2.19) Seja eφe = eλψg−−1φ então φe e= e−λψ−−1φ, mas por (2.18)
ψ−−1φgφ−1 = e 2λψg−−1 ou equivalentemente e−λψ−−1φ = eλψg−1− φe isto é φe = eφe. Logo, por (2.19) φ = ψ−eλφee = ψ−eλφe. 2 Teorema 2.22 [22] Se φ ∈ GAP admite uma AP-factorização à direita, φ = ϕ−eλϕ+, então
φ admite uma AP-factorização assimétrica, φ = φ−eλφe, com φ− = ϕ−ϕg−1
+ e φe=ϕf+ϕ+. Demonstração: Dado que φ = ϕ−eλϕ+, onde ϕ− ∈ GAP− e ϕ+ ∈ GAP+ tem-se que
Φ = φgφ−1 = ϕ −eλϕ+ϕg−1+ eλϕg−1− = ϕ−ϕg−1 + eλeλϕ+ϕg−1− = ϕ−ϕg−1 + | {z } ∈GAP− e2λϕ+ϕg−1− | {z } ∈GAP+ . Seja φ−= ϕ−ϕg−1 + , note-se que gφ −1 − = ϕ+ϕg−1− , logo Φ = φ−e2λφg−1− ,
isto é, Φ admite uma AP -factorização anti-simétrica, o que implica pelo teorema anterior que φ admite uma AP -factorização assimétrica
φ = φ−eλφe
onde φ− = ϕ−ϕg−1+ , φe= e−λφ−1− φ = e−λ f
ϕ+ϕ−1− ϕ−eλϕ+ =ϕf+ϕ+. 2 Em relação ao teorema anterior, se a suposta AP -factorização à direita for canónica, ou seja se λ = 0, então está garantida a existência de uma AP -factorização assimétrica canónica. Consequentemente, pelo Teorema 2.16 alínea (iii), pode-se afirmar que:
Corolário 2.23 Se φ ∈ GAP admite uma AP-factorização à direita canónica então o oper-ador (2.9) é invertível.
É conhecido que se φ ∈ GAP admite uma AP -factorização à direita canónica φ = ϕ−ϕ+
então o operador de Wiener-Hopf
Wφ: L2+(R) −→ L 2
(R+) (2.20)
é invertível e dado que ϕ± ∈ GAP±⊂ H±∞(R) pode-se usar a Proposição 2.17 de [5], obtendo-se
o inverso do operador anterior
(Wφ)−1 = `0Wϕ+−1`0Wϕ−1`0.
Note-se então que no corolário anterior concluí-se o mesmo, mas agora para os operadores de Wiener-Hopf-Hankel,
W Hφ: L2+(R) −→ L 2
(R+),
cujo inverso, dado pelo Teorema 2.17, é o operador T = `0Wφ−1e `
eW φ−1− `
com φ = φ−φe.
2.5
Operadores de Wiener-Hopf-Hankel com símbolos APW
Nesta secção serão considerados operadores de Wiener-Hopf-Hankel W Hφ: L2+(R) −→ L
2
(R+) (2.21)
Definição 2.24 AP W é o subconjunto de AP das funções cujas respectivas séries de Fourier são absolutamente convergentes,
AP W = n φ(ξ) =X j b cjeiλjξ : X j |bcj| < ∞ o onde bcj ∈ C são os chamados coeficientes de Fourier e λj ∈ R.
Munido com a norma kφkAP W = Pj|bcj| e das operações usuais entre funções, AP W é uma álgebra de Banach.
Observação: Considere-se λ ∈ R fixo e (Vλf )(ξ) = f (ξ − λ), ξ ∈ R.
(dVλf )(ξ) = Z R eiξxf (x − λ)dx = Z R eiξ(η+λ)f (η)dη = eiξλ Z R eiξηf (η)dη = eiξλf (ξ)b logo Vλ = We0λ
o que significa que W0
eλ não é mais que um operador de translação.
Se φ ∈ AP W e Wφ0 : Lp(R) −→ Lp(R) então kW0 φgkLp(R) = kF−1 X j b cjeλj · F gkLp(R) ≤ X j |bcj| | {z } <∞ ·k F−1eλj· F | {z } W0 eλj gkLp(R)
donde, pela observação anterior, se concluí que para algum c ∈ R, kWφ0gkLp(R)≤ c · kgkLp(R) ou seja, AP W ⊂ Mp(R). Além disso, kφkMp = sup kgk=1 kW0 φgkLp(R) ≤ sup kgk=1 X j |bcj| · kF−1eλj · F gkLp(R) = X j |bcj| = kφkAP W. Resumindo, kφkAP W ≥ kφkMp.
Definição 2.25 As subalgebras AP W± de APW definem-se da seguinte forma AP W± = {φ ∈ AP W : M (e−λφ) = 0, ±λ < 0}
ou alternativamente por
AP W±= AP W ∩ AP±.
Para a classe de funções AP W pode-se reformular o Teorema 2.9:
Teorema 2.26 [5] Se φ ∈ GAP W então existe ϕ ∈ AP W e k(φ) ∈ R tal que, para todo ξ ∈ R,
φ(ξ) = eik(φ)ξeϕ(ξ).
Definição 2.27 A função φ ∈ GAP W possuí uma APW-factorização assimétrica se admite uma representação da forma
φ = φ−eλφe
onde λ ∈ R, φ− ∈ GAP W−, φe ∈ GL∞e (R).
A relevância da existência de uma AP W -factorização assimétrica e sua vantagem rela-tivamente a uma AP -factorização assimétrica, reside na sua existência para toda a função pertencente a GAP W . Por outras palavras, enquanto que para uma AP -factorização as-simétrica só foi provada, na secção anterior, a sua unicidade a menos de uma constante, para uma AP W -factorização assimétrica para além disso será demonstrada a sua existência.
Com isto, para os operadores (2.21) é possível obter resultados semelhantes ao da secção anterior, mas desta vez sem a necessidade de supor a existência de um tipo de factorização do símbolo de Fourier do operador, visto que, como se verá a seguir, a existência de uma AP W -factorização assimétrica (caso particular de uma AP --factorização assimétrica) está assegurada. Teorema 2.28 [21] Se φ ∈ GAP W então φ admite (pelo menos) uma APW-factorização assimétrica e caso admita duas APW-factorizações assimétricas
φ = φ(1)− eλ1φ (1) e , φ = φ(2)− eλ2φ (2) e então λ1 = λ2, φ(1)− = γφ (2) − , φ (1) e = γ−1φ(2)e , γ ∈ C \ {0}.
Demonstração: Relativamente à unicidade, a menos de uma constante, a demonstração é similar à do Teorema 2.14, com as devidas adaptações à classe de funções AP W .
Prova-se de seguida a existência.
O Teorema 2.26 garante a existência de ϕ ∈ AP W e de k(φ) ∈ R tal que
Como ϕ pertence a AP W admite a representação da forma ϕ(ξ) =X
j
b
cjeiλjξ, bcj ∈ R,
ou então de forma equivalente, pode-se escrever ϕ como a soma de funções de AP W+ e AP W− ϕ(ξ) = X λj<0 b cjeiλjξ+ X λj≥0 b cjeiλjξ = X λj<0 b cjeiλjξ− X λj≥0 b cje−iλjξ+ X λj≥0 b cje−iλjξ+ X λj≥0 b cjeiλjξ = X λj<0 b cjeiλjξ− X αj≤0 b cjeiαjξ+ X λj≥0 b cj(e−iλjξ+ eiλjξ) (2.23)
onde αj = −λj, para todo j tal que λj ≥ 0.
Seja ϕ−(ξ) = X λj<0 b cjeiλjξ− X αj≤0 b cjeiαjξ ∈ AP W− e ϕe(ξ) = X λj≥0 b cj(e−iλjξ+ eiλjξ) ∈ L∞(R)
por (2.23) pode-se concluir que
ϕ = ϕ−+ ϕe (2.24)
onde fϕe = ϕe.
Usando (2.24) na igualdade (2.22) tem-se que
φ(ξ) = eik(φ)ξeϕ−(ξ)+ϕe(ξ) = eϕ−(ξ)eik(φ)ξeϕe(ξ)
= φ−(ξ)eik(φ)ξφe(ξ) (2.25)
onde φ− = eϕ− ∈ GAP W− e φe = eϕe ∈ GL∞e (R). 2
Com este teorema, em particular com a garantia da existência de uma AP W -factorização assimétrica para φ ∈ GAP W, revelada pela igualdade (2.25)
φ = φ−ek(φ)φe
é possível apresentar os resultados seguintes, cujas demonstrações são em tudo semelhantes às suas congéneres da secção anterior, salvo as óbvias adaptações à presente classe de funções. Teorema 2.29 [21] Seja φ ∈ GAP W.
(i) Se k(φ) > 0 então o operador (2.21) é propriamente n-normal e invertível à esquerda. (ii) Se k(φ) < 0 então o operador (2.21) é propriamente d-normal e invertível à direita. (iii) Se k(φ) = 0 então o operador (2.21) é invertível.
Teorema 2.30 [21] Seja φ ∈ GAP W e T = `0r+F−1φ−1e · F `
er
+F−1e−k(φ)· F `er+F−1φ−1− · F ` : L2(R+) −→ L2+(R)
onde φ− ∈ GAP W−, φe ∈ GL∞e (R) e ek(φ) são os factores de uma APW-factorização
as-simétrica de φ e ` : L2(R+) −→ L2(R) representa um operador de extensão arbitrário.
Então, o operador T é:
(i) o inverso à esquerda do operador (2.21), se k(φ) > 0 (ii) o inverso à direita do operador (2.21), se k(φ) < 0 (iii) o inverso do operador (2.21), se k(φ) = 0.
Consequentemente T é também um inverso generalizado do operador (2.21).
Tal como na secção anterior se definiram AP -factorizações à direita e anti-simétrica é agora feito o mesmo para funções de AP W .
Definição 2.31 A função φ ∈ GAP W admite uma APW-factorização à direita se φ = ϕ−eλϕ+
onde ϕ± ∈ GAP W± e λ ∈ R.
Também se denomina a factorização anterior por APW-factorização à direita canónica se λ = 0.
Definição 2.32 A função φ ∈ GAP W admite uma APW-factorização anti-simétrica com índice λ se
φ = φ−e2λφg−1− , onde φ− ∈ GAP W− e λ ∈ R.
Mais uma vez e para os tipos de factorização atrás definidos, é possível obter resultados em tudo similares, incluindo as respectivas demonstrações, aos Teoremas 2.21 e 2.22 da secção anterior. De tais resultados se deduz imediatamente que o operador (2.21) é invertível, se o seu símbolo de Fourier é uma função pertencente a GAP W que admite uma AP W -factorização à direita canónica. No entanto, tendo em conta o Corolário 9.8 de [5], que garante que a existência de uma AP W -factorização à direita canónica é condição necessária e suficiente para a invertibilidade do operador
Wφ: L2+(R) −→ L 2
(R+) (2.26)
(o que não acontece em AP , onde só é condição suficiente), pode-se reformular o resultado descrito atrás da seguinte forma:
Teorema 2.33 [21] Seja φ ∈ GAP W. Se o operador (2.26) é invertível então o operador (2.21) também é invertível.
Operadores de Wiener-Hopf-Hankel com
símbolos contínuos por troços em espaços
de potenciais de Bessel
3.1
Operadores de Wiener-Hopf-Hankel em espaços de
po-tenciais de Bessel
Definição 3.1 A classe das funções contínuas por troços, que se denota por P C(R), é con-stituída pelas funções φ ∈ L∞(R) tal que para todo ξ ∈ R os limites
lim
x→ξ±φ(x) e ξ→±∞lim φ(ξ)
existem.
Munido da norma k · kL∞(R) e das operações algébricas usuais entre funções, P C(R) é uma
álgebra de Banach.
Definição 3.2 O fecho da álgebra das funções constantes por troços em R, relativamente à norma de Mp(R), denota-se por P C
p(R).
Daqui em diante usar-se-ão as seguintes notações: λ−(ξ) = ξ − i , λ+(ξ) = ξ + i e ζ(ξ) = λ−(ξ) λ+(ξ) com ξ ∈ R. Teorema 3.3 Se λs −φ1λ−r+ , λs−φ2 λf+ −r ∈ Mp(R) então o operador Wφ1 + Hφ2 : eH r,p (R+) −→ Hs,p(R+) com r, s ∈ R e 1 < p < ∞ (3.1) é limitado. 39
Demonstração: Considere-se a seguinte igualdade
Wφ1 = EWψ1F (3.2)
onde os operadores E, Wψ1 e F são definidos como se segue:
E = r+F−1λ−s− · F `0 : Lp(R+) −→ Hs,p(R+), F = F−1λr+· F : eHr,p(R+) −→ Lp+(R) e Wψ1 = r+F −1 λs−φ1λ−r+ | {z } ψ1 ·F : Lp+(R) −→ Lp (R+).
Para todo ϕ ∈ eHr,p(R+) tem-se que
F ϕ = F−1λr+· F ϕ = F−1λr+λ−rλr· F ϕ = F−1λr+λ−r· F F−1λr· F ϕ
= Wλ0r +λ−rg
onde g = F−1λr· F ϕ.
Sabe-se, pela definição de Hs,p(R), que g ∈ Lp(R), logo concluí-se que F é um operador
limitado, já que λr +(ξ)λ
−r(ξ) = (ξ + i)r(1 + ξ2)−r/2∈ P C
p(R) ⊂ Mp(R).
Similarmente se prova que, tal como F , E também é um operador limitado, já que para todo f ∈ Lp(R+)
Ef = r+F−1λ−s− λsF F −1
λ−s· F `0f = Wλ−s− λsh
com h = F−1λ−s· F `0f ∈ Hs,p(R) (ver §2.3.8 de [33]). Dado que λ−s− (ξ)λs(ξ) ∈ P Cp(R) ⊂
Mp(R), o operador E é, de facto, um operador limitado.
Por (3.2) e porque E, F são operadores lineares limitados, os operadores Wφ1 e Wψ1 são
equivalentes. Mas, o operador Wψ1 é por hipótese limitado, então o operador Wφ1 também é
um operador limitado. Por outro lado,
Hφ2 = EWψ2J F (3.3) com Wψ2 = r+F −1 λs−φ2 λf+ −r | {z } ψ2 ·F : Lp−(R) −→ Lp(R+).
Dado que J é um operador isométrico, é fácil verificar que o operador J F é limitado. Assim sendo, devido também à limitação dos operadores E e Wψ2, também o operador Hφ2 é
limitado.
Por fim, como os operadores Wφ1 e Hφ2 são limitados também o operador (3.1) é limitado.
