O número pi

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

O

NÚMERO

TC

GILBERTO REIS PERES

O NÚMERO

ir

GILBERTO REIS PERES Trabalho de Conclusão de Curso, orientado pelo professor Licio Hernanes Bezerra

Prof Licio Healayes Bezerra

3

Esta Monografia foi julgada adequada como TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO no Curso de Matemática — Habilitação Licenciatura, e aprovada em sua forma final pela Banca Examinadora designada pela Portaria n ° 13/SCG/03.

Prof Nereu Estanislau Burin Professor da disciplina

Banca Examinadora:

Orientador

Prole. Carmem Suzane Comitre Gimenez

Este trabalho é dedicado a Professora Eliana Farias e Soares, com imensa gratidão pelos ensinamentos que não serão esquecidos.

5

Inúmeras pessoas estiveram ao meu lado no decorrer deste curso e durante a elaboração deste trabalho. Com esta ajuda, obstáculos foram superados e a caminhada tornou-se mais amena.

Agradeço por isto

a Isabel Cristina Menezes, amiga. companheira e esposa, pelo apoio, paciência e compreensão em todos os momentos',

ao Professor Licio Bezerra, que assumiu a orientação deste trabalho, iniciado sob a supervisão da Professora Eliana:

a Professora Carmem Gimenez, de quem ouvi pela primeira vez o - Problema da Agulha de Buffon", que motivou o tema deste trabalho. Também pela solicitude em fornecer livros e referências para a pesquisa;

a Marcia Bernal, companheira de estudos, pela revisão e digitação deste trabalho;

secretária do Curso Silvia D'Avila e ao Professor Nereu Burin, pela compreensão e empenho na resolução de questões administrativas.

SUMÁRIO

1. Introdução 8 2. Histórico lo 3. A Agulha de Buffon 14 4. A Irracionalidade de 7 5. Aproximações geométricas de 7 "4 5.1 0 Método de Arquimedes 14

5.2 Aproximação por polígonos regulares inscritos 79

6 Aproximações numéricas de 7r J

6.1 A série de Leibniz 32

6.2 A integral de y = 34

6.3 Uma prova da fórmula de Euler 37

7 Uma aplicação da fórmula de Euler 41

8 Números algébricos e transcendentes 44

9 Conclusão 47

Apêndice 1: Construções geométricas 48

Apêndice 2: A existência de números transcendentes

— A prova de Cantor 56

Apêndice 3: A existência de números transcendentes

— Números de Liouville 62

Resumo

O número 7t é aqui estudado. 0 valor da raAo constante entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro tem sido procurado através dos tempos. Aproximações geométricas de 7, como a de Arquimedes, e aproximações numéricas de 7I, como a de Leibniz e a de Euler, são objetos deste estudo. Demonstra-se a irracionalidade de 7. Sao feitas considerações sobre números algébricos e transcendentes, com as provas de Cantor e de Liouville da existência de números transcendentes. Da transcendência de rc resulta a impossibilidade de sua construção apenas com régua e compasso, o que põe fim ao antigo problema grego da quadratura do circulo. 0 número ir surge em situações que envolvem probabilidade, como o Problema da Agulha de Buffon.

1 Introdução

Meu interesse pelo estudo do número 7 tem sua origem no inicio do curso de Licenciatura. Numa aula de Laboratório I, a professora Carmem apresentou-nos um capitulo do livro "Matemática e Lingua Materna-, de José Nilson Machado, no qual estava o Problema da Agulha de BuiTon. Ele ai está como exemplo de que um curioso problema de probabilidade que, em certo período, parecera desprovido de intenções práticas, resulta mais tarde em importante aplicação, os aparelhos de tomografia computadorizada. Um bom exemplo para dar a nossos alunos menos interessados em matemática, quando questionam: "Para que estudar isto, se não vou usar"

Mas meu interesse por este problema seguiu em outra direção, pois em seu resultado surge o número 7, que tornou-se o tema deste trabalho.

Uma breve pesquisa histórica mostra que, já na antiguidade, procurava-se o valor da razão constante entre o comprimento da circunferência e seu didmetro. No decorrer dos séculos, muitos estudos foram feitos para o cálculo de aproximações de 7, tanto aproximações geométricas quanto numéricas. Algumas serão apresentadas neste trabalho.

Sera apresentada, também, uma prova da irracionalidade de 7. A primeira foi feita por Lambert, em 1761.

Para compreender o que significa dizer que TC é transcendente, foi preciso

estudar números algébricos e números transcendentes. As provas de Cantor e de Liouville da existência destes números estão nos apêndices 2 e 3.

O apêndice 1 trata de construções geométricas, das relações entre números construtiveis e corpos numéricos da álgebra. Estes resultados, juntamente com a

9

transcendência de 7r, mostram a impossibilidade da construção de 7r apenas com régua

e

compasso, encerrando a

questão

sobre

o

antigo problema grego da quadratura do circulo.

2 Histórico

A primeira consideração cientifica acerca do número 7 vem de Arquimedes, em torno do ano 240 a.C.. Ao avaliar a razão do comprimento da circunferência para o diâmetro de um circulo, ele determinou que 7r estava entre 223/71 e 22.7. A partir de Arquimedes, os matemáticos têm-se ocupado em calcular o número 7 com uma precisão cada vez maior.

Os babilônios já haviam observado que o valor de 7 se situa entre 3- e 3 , ou seja, 25/8 < TC < 22/7. Em frações decimais, isto significa 3,125 <ir < 3,142. Já

Velho Testamento contém um trecho segundo o qual 7c = 3. (Primeiro Livro dos Reis, V11:23).

Em 1931, em Cleveland, Ohio, um cidadão americano publicou um livro no qual o valor exato de 7r seria 256/81, ou seja, 7r 3,16. 0 curioso é que o valor 256/81 = (4/3) 4 = 3,1604, é o mesmo que foi obtido pelo escriba egipcio Ahmes, autor do famoso papiro de Rhind, escrito dois mil anos antes de Cristo.

Ptolomeo de Alexandria, em sua famosa Sintaxe Matemática, desenvolveu uma tábua de cordas de um circulo subentendidas por ângulos centrais de um grau e de meio grau. Usando um polígono regular inscrito de 360 lados, ele obteve um valor, dado em notação sexagesimal como 3 ° 8' 30". Em linguagem decimal, isto é 377/120 3,1416, arredondando para quatro casas.

Em 480 a.C. aproximadamente, Tsu Ch'ung-Chih, um chinês, encontrou a aproximação racional 355/113 = 3,1415929..., que é correto até a sexta casa decimal.

Ii

Em 1150 a.C., o matemático hindu Bhaskara chegou a 3927/1250 como um valor exato de 7, 22/7 como um valor inexato e Jr) para trabalhar com o número em cálculos izrosseiros.

No final do sec. XVI e inicio do XVII, foram feitos os seguintes cálculos de

- François Viete, um matemático francês, encontrou um valor para 7. correto até a nona casa decimal pelo método clássico de Arquimedes, usando polígonos de 6.2 16 = 393.216 lados.

- Adriaen van Roomeu, dos Países Baixos, encontrou um valor de 3 correto até 15 casas decimais, pelo método clássico, usando polígonos que têm 2 30 =

1.073.741.824 lados.

- Ludolph van Ceulen, alemão, calculou 7 com 35 casas decimais pelo método clássico, usando polígonos que têm 262 = 4.611.686.018.427.387.904

lados. Foi considerada uma descoberta tão extraordinária que, por um tempo, na Alemanha, esta aproximação se chamou -número ludolphiano".

Muitos se perguntam porque foi utilizado tanto tempo e esforço no cálculo do 7r. Uma das razões poderia ser o fato destes homens buscarem uma sucessão repetida na aproximação decimal do 7c. Se houvesse sido encontrada, então haveriam demonstrado que o 7r era um número racional.

Os cálculos posteriores basearam-se em séries infinitas:

Abraham Sharp, com 71 casas corretas, em 1699 e De Lag,ny, com 112 casas corretas, em 1719.

Toda a especulação sobre o número 7r acabou-se quando Johann Heinrich Lambert, em 1761, demonstrou que 11 é irracional.

O inglês William Shanks calculou t com 707 algarismos decimais corretos em 1873, o que lhe ocupou um trabalho de mais de 15 anos. Mas em 1947, D. F. Ferguson, também inglês, descobriu que o cálculo de Shanks errava no 5272 algarismo, e portanto nos seguintes. Ferguson encontrou um valor exato de 710 casas. Mas, no mesmo mês, J. W. Wrench Jr, americano, encontrou um valor de ir com 808 algarismos decimais, mas Ferguson detectou um erro no 732 2 algarismo. Ern janeiro de 1948, publicaram juntos um valor, corrigido e verificado. para ;-r de 808 algarismos decimais corretos, com o auxilio de uma maquininha manual.

Depois, vieram os computadores. Com o auxilio destes, em 1967, na França, calculou-se it com 500.000 algarismos decimais exatos e, em 1984. nos Estados Unidos, com mais de dez milhões de algarismos exatos, mais precisamente 10.013.395.

Mas, voltando as origens do número ir, pergunta-se desde quando ele é representado por essa letra grega. Antigamente, não havia uma notação padronizada para representar a razão entre a circunferência e o diâmetro. Euler, a principio, usava p ou c, mas, a partir de 1737, passou a adotar sistematicamente o símbolo 7C e o

mundo todo o seguiu. Alguns anos antes, o matemático inglês William Jones propusera a mesma notação, mas sem muito êxito.

O número 71 surge inesperadamente em várias situações. Leibniz notou que

1-1/3+1/5-1/7 + = 7r./4 e Euler provou que a soma dos inversos dos quadrados de todos os números naturais é igual a n 2/6. A area da regido plana compreendida entre o eixo das abscissas e o gráfico da função y = e -x? é igual a jc .

13

Inúmeros outros exemplos poderiam ser mencionados, como: a probabilidade para que dois números naturais, escolhidos ao acaso, sejam primos entre si é de 6/7 2 ;

a solução do problema da agulha de Buffon —, em que u e cl são pardmetros do

problema (conforme veremos adiante).

Desde que ficou clara a idéia de numero irracional, suspeitou-se que it era um deles. Euler acreditava na irracionalidade de 7, mas quem a provou foi Lambert, já citado anteriormente. Pouco depois, Euler conjeturou que it seria transcendente, ou seja, não poderia ser raiz de uma equação algébrica com coeficientes inteiros. (Exemplo: é impossível encontrar inteiros a, b, c tais que at b7 c = 0). Este fato foi demonstrado por Lindemann, 99 anos depois da morte de Euler.

Da transcendência de 7 resulta que o antigo problema grego da quadratura do circulo não tem solução. Esse problema requeria que se construísse, com auxilio de régua e compasso, um quadrado cuja area fosse igual à de um circulo dado. Tomando o raio do circulo como unidade de comprimento, isto equivale a pedir que se construa, com auxilio de régua e compasso, um segmento de comprimento igual a

-Ft (lado do quadrado de area 7).

Todo número que pode ser construido (com régua e compasso) é algébrico, isto e, pode ser expresso como raiz de uma equação algébrica com coe fi cientes inteiros. Como IC é transcendente, jt também 6. Segue-se que a quadratura do circulo não pode ser feita com régua e compasso, apenas.

3

A Agulha de

Buffon

0 Conde de Buffbn, naturalista francês, viveu no século XVIII e seu verdadeiro nome era George Louis Leclerc

(1707-1788).

Escreveu obras importantes, entre as quais uma de

História

Natural, em 36 volumes. Mesmo

não

sendo a Matemática seu principal interesse, publicou em

1777

um pequeno ensaio relacionado com o

calculo

de probabilidades, Essa! d'Arithmétique Morale.

Buffon sugeriu em seu ensaio problemas envolvendo

considerações

geométricas, que, conforme Boyer

[1, p 335

]

,

"era essencialmente um novo ramo da teoria das probabilidades".

No ensaio citado acima encontra-se um curioso problema, mais tarde conhecido como Problema da Agulha de Buffon:

Uma agulha de comprimento a é mantida horizontalmente a certa altura de uma folha de pope!, também horizontal, onde se encontram riscadas retas paralelas, espaçadas por uma distância d (d não é menor do que u). Abandonando-se a agulha ao acaso, de certa altura, ao cair sobre o papel, possível que ela corte alguma das retas riscadas ou que se situe

completamente entre duas delas. Owl' a probabilidade de que ela corte alguma das retas?

Uma estimativa desta probabilidade pode ser obtida pela razão entre o número

de vezes que, ao ser abandonada, a agulha corta alguma das retas, e o número total de vezes

que

ela foi abandonada sobre o papel.

15

Mas Buffon interessou-se em obter uma formula que possibilitasse a determinação de tat probabilidade, sem realizar o experimento, e utilizando raciocínios envolvendo ângulos e areas chegou à expressão:

(I) P =

onde p é a probabilidade procurada, a é o comprimento da agulha,

d é a distância entre as duas retas paralelas.

Descrevemos a seguir uma justificativa para a expressão (1), [8, vol.1

Sejam d a distancia entre as duas retas paralelas e ci o comprimento da agulha, com d. Descrevemos a posição em que a agulha cai no papel por duas variáveis: x e c9 (fig. 1); x é a distancia OP do ponto médio O da agulha à reta mais próxima e (9 é o menor ângulo entre OP e a agulha. Um lançamento da agulha corresponde a uma escolha aleatória das variáveis x e O nos intervalos

(2) e 0<0<—

2

Observando a figura 1 a seguir, vemos que o evento em que estamos interessados, ou seja, a queda da agulha atravessando uma reta, corresponde desigualdade

:

( a 2) cos 0 (a 2) co; d

A agulha cai sobre a reta A agulha não cai sobre a reta Figura 1

A escolha aleatória das variáveis x e O nos intervalos de (2) corresponde, por sua vez, a uma escolha aleatória de um ponto do retângulo mostrado na fig. 2,

x "

d 2 x =( a 2) cos 0

7x/2

Figura 2

onde a desigualdade (3) descreve a região sombreada sob o gráfico de x Li cos 8.

Portanto, concluímos que a probabilidade de a agulha cair atravessando uma reta é igual a seguinte razão de areas:

(4)

area sob a curva

5_

_

°

-=

2 a cos 6i

(10

( dY ir 17 area do retângulo 2a

=—

f.-, -cosO.d0 = a izzi 7rd o 2a Jai

que e a expressão (1), apresentada por Buffon

Observa-se que ao utilizar como distancia entre as retas paralelas o dobro do

comprimento da agulha

(d=2a),

a fórmula (1) resulta em

p = —

1

,

iT

Este resultado foi utilizado durante o século XIX, juntamente com o experimento sugerido por Buffon, para o cálculo de um valor aproximado para rc. Não foram poucos os pesquisadores que se dedicaram a esta tarefa, tendo obtido aproximações bastante aceitáveis para n. Indicamos alguns dados experimentais relativos a estes cálculos na tabela abaixo.

Pesquisador Ano N° de Experimentos Valor de it

Wolf 1850 5000 3,1596

Smith 1855 3204 3,1553

Fox 1894 1120 3,14155929

, La2.zarini 1901 3408 3,14155929

Tabela 1 (Gnedenko in [5] )

No entanto, outras aproximações mais precisas para o valor de 7 já haviam

sido desenvolvidas, como series de potências, por exemplo, tornando o método decorrente do Problema da Agulha de Buffon para tal finalidade sem significado prático.

0 fato curioso neste problema é que, ao procurar uma expressão para a probabilidade de um evento, encontramos um modo de aproximar 7, número

associado à circunferência e ao circulo.

Uma conseqüência notável do Problema da Agulha de ButTon é que pesquisas realizadas a partir de seu resultado

tornaram possível a utilização comercial dos aparelhos de tomoirratia computadorizada, com notáveis aplicações na Medicina, na Biologia Molecular e com extensões importantes no campo da Radio-astronomia. [5]

De forma simplificada, expomos a seguir as idéias das quais partiram estas pesquisas.

Tomando-se a expressão (1), temos que:

(5) a = gdp

ou seja, podemos estimar o comprimento de a, se conhecidos d e p, este determinado empiricamente.

Sendo a uma formação linear de natureza biológica, inacessível a uma medição direta, poderá ter seu comprimento estimado. Um feixe plano de radiações paralelas (raios X, laser) é disparado sucessivamente em um grande número de diferentes direções sobre a, e é identificado pela medida da intensidade dos raios na emissão e recepção. 0 valor de p 6 a razão entre os feixes que cruzam a e o total de feixes emitidos.

Trabalhos realizados nesta linha de pesquisa levaram, em 1979, ao prêmio Nobel de Medicina o fisico M.Cormack e o engenheiro G.N.Hounsfield, que

19

apoiaram seus trabalhos em resultados obtidos pelo matemático alemão J.Radom (1887-1956).

Temos aqui um belo exemplo de que

observação atenta de um período histórico bastante longo revela, sem deixar margem a dúvidas, que, certos assuntos L.], originariamente desprovidos de quaisquer intenções práticas, podem inserir-se em cadeias conceituais de outra origem e transformar-se paulatinamente em matrizes para notáveis aplicações práticas, a priori inimaginadas ou inimagindveis." [5, p. 67]

4 A

Irracionalidade

de

7E

Número

irracional é qualquer

número

real que

não

possa ser expresso

como

razão

entre 2

inteiros, ou seja, aquele que

não é

racional. Também é o número cuja

representação

decimal

é

infinita

não

periódica.

Diz-se que, geometricamente, 2 segmentos

são

comensuráveis se

existe

uma medida comum, um segmento que caiba n vezes inteiras ern um e PI vezes inteiras no outro. A descoberta da existência de segmentos incomensuráveis afetou de modo

profundo

a Matemática e

Filosofia

da

época

grega,

que

tinha a

crença

que

tudo

podia ser explicado em termos de

números inteiros

e de suas

razões.

Já

Aristáteles se refere a uma prova da incomerzsurabilidade da diagonal do quadrado com seu lado [1], o que leva à irracionalidade de /2- .

A primeira prova da irracionalidade de 7 veio em

1761,

com Lambert.

A demonstração a seguir é apresentada em[3] e em [8 v01.4 Sua estratéia

supor que rt- 2 = , onde — é uma fração irredutível, e chegar a um absurdo,

61

mostrando

assim que 7 2' não é racional, pois o quadrado de um racional e tambern um

racional.

Considere a função

x" - .1.(x) =

n'

21

Lema

1:

Dk f(0) é um número inteiro para qualquer k = 0, I, 2, ..., onde .1

representa a k-ésima derivada de f e f f

Demonstração. Vamos utilizar a formula de Leibniz para as derivadas de um produto de duas funções„g e h:

(2) D(gh). [ JDig.

Aplicando

(2)

à

funçãofdetinida

em

(1)

temos

(3) D f = — k 1

E

k [1c) Dixn D (1- k— J xi'.

•

n./ j=0

Agora observe que

se jn

(4) D i x': =

o

! se j= n

O se j n

onde a barra com x = 0 quer dizer que a derivada

é

calculada no ponto

x =

0. Logo, de (3) e (4) concluímos que (5) 1) k

f

- O se k < n 1 f (0) = (k Dk \

e

(6)

n

_{Dk-"(1 xr x=o}

n! n (k` ri)

Ok -

- se k n n(n-1)...(2n- k÷ 1) , se n<k< l n 1. se k ri 2.0

0,

se k 2n

Como os coeficientes binomiais são inteiros, segue-se que a expressão no segundo membro de (6) é urn inteiro.

Lema 2: D k f (1) é um número inteiro para qualquer k = 0, 1, 2, .

Demonstração. Segue-se diretamente do lema anterior e da observação de que

0 -

- o -

o

- o - +

0 -

x-

f (1-x) - (

n! n! 11!

p

Vamos supor agora que rr-, = — , em que —P 6 uma fração irredutivel.

Defina a função

(7) (r) _ qn („Tr2n fix) _ Tc2n-2 D2 f (x.) (-1)' D2n p.a.) 1 . _ 112

)" vi(x) T(2 D2 Jo) (-1) 7 2n-2n D2n.f(x)i

f(x)- 12T D 2 f(x)+...+ ( - 1) n D 2n f(x)].

Como conseqüência dos Lemas 1

e

2,

e

da hipótese de que .T 2 -L) , temos

(8) E (0)

e

F(I) são números inteiros.

A seguir, observe que

(9) ( F '(t,) sen i - n- F (x) cos nx}' = F "(x) sen F(x) sen nx.

Com o cálculo da derivada segunda F", de F, temos F'(x) sen u - iP (x) cos zr; ' = (10)

=pfl n2 f(x) sen n -x, que chamaremos g'(x). = p"

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos

p" ii? fol f (x) sen

Orr) (Lc

= F(1) - F(0).

Ou seja

;rpm

101

j• (x) sen (rx) dx = - F(0).

Ora, é claro que para O < x < I. temos

1 (12) 0 _<J

n!

Usando a desigualdade (12) em ( 1 1) temos

2p" 11 -1 (13) < ir p7 f (x) sen (nx) d:c < fo sen (7rx) dx 77' _n!

Onde a última desigualdade foi obtida fazendo-se a integração indicada. Como

um

p

n _p

= , vê-se que podemos tomar um n e N tal que — < 1, logo 2 n n.'

n!

pn

J

f (x) sen (,

rr) dx

não inteiro. Mas, por (11), essa expressão é F(1)+ F(0), que é inteiro. Absurdo!

5 Aproximações

geométricas de Tr

5.1 0

método de

Arquimedes

A sistemática usada para construir aproximações de 7 faz uso dos perimetros de polígonos regulares inscritos e circunscritos a um circulo de raio 1. Para polígonos regulares de N lados, com os perímetros dos polígonos inscrito e circunscrito, respectivamente p. _{e pt. , então:}

1 1

P -v < 71- < P

Este é o método usado por Arquimedes em seu famoso 'Sobre as Medidas do Circulo'. Para certos valores especiais de N, p ±v pode ser estimado. A partir de um hexágono regular inscrito e de outro circunscrito, estimou o valor dos poliizonos de 12, 24, 48 e 96 lados. 0 resultado do cálculo de Arquimedes sobre o circulo foi uma aproximação do valor de 7r dada por

,i0 22

< 71" < - .

71 7

Vejamos como se chega a esta última expressão.

Em um polígono regular de N lados, sejam ON a metade do ângulo subtendido pelo lado e o centro do polígono, e p e pt. , respectivamente, os perimetros dos polígonos inscrito e circunscrito a um circulo de raio I. Então

(1) 1 = Nsen ON e 1 = N tan 0.,

e _VsenO < ir < N tan 0.v .

Figura 1

Na figura 1 temos os hexágonos inscrito e circunscrito ao circulo de raio 1. 0 ângulo subtendido por cada lado e o centro dos hexágonos mede 60".

Na figura 2, detalhe da figura 1, temos o drigulo AOB igual a 30'. Como AO = 1, pois é o raio do circulo, AB será sen 30'. Mas AB é metade do lado do hexágono inscrito e, portanto, seu semiperimetro sera dado por

( 1/2 p ) = 6.sen 30°.

Do mesmo modo, OD = 1, pois também é o raio do circulo, e CD sera tan 30'. Como CD é metade do lado do hexágono circunscrito, seu semiperimetro será dado por

( 1/2 p ) = 6.tan 30°.

A etapa seguinte é estimar os semiperímetros dos polígonos regulares de 12 lados, a partir dos hexágonos, dividindo cada lado destes ao meio, e assim sucessivamente até um polígono regular de 96 lados. Isto corresponde, a cada etapa, a uma mudança de O para 1/20 .v, para a qual serão necessárias as identidades trigonométricas:

1 1 1 1 1

e = + _{2( 0 )}

tan(q) sen 0 2 tan O sen 2 tan ,

25

26

As estimativas são feitas através de aproximações racionais, a partir das desigualdades:

1 1 1 1

(3) a < < a , fl < <h , a + 13 < <a±b.

tan 6/ sen6 tan 0 sen 0

Com o uso de (2): (4) + f3 < 1 < a + b . tan(-4. ) Ainda, _{+ /SY <} ( < + h 1 tan' (e) <1+ (cl +

V

1+(a+,5)2 < 1114- 1, <-,I1+(a+b)2 tan't) 1 r < kc, -i- . sen0

Assim, inicia-se com os hexágonos, para os quais

o

valor de 06

é

300.

Então

1 1

_ ,j =2.

tan 06 sen 06

265 r-

Em (3), )6 = b = 2 e as aproximações racionais a e a para são — < < 1351 153 780 usadas por Arquimedes [9].

Logo,

e

por (4) 265 1 351 ---3 +? 153 780 571 1 2911 < . 153 tan 012 780 (5)

27 1 1 i_ (57 r - < 1 < 1 , ( 2911 \ 2 (153, sen9, 2 -t- 780 j 591i V349450 1 V9082321 30131 153 < 153 < sen < 780 < 780 Assim, 571 1 2911 591:i 1 3013 41

e

153 tan 8., 780 153 sen 912 780

A próxima etapa

é

obter aproximações para tan 024

e

_{sen p24'} aplicando novamente (4)

e

(5) a partir do resultado anterior.

Para tan 8:4 : 571 • 591k 1 2911 3013 < + 153 153 tan 924 780 780 1162 1}T 1 59241 1823 < = . 153 tan 924 780 240

1+0

162 92 < sen 9 1 < 1 823 )2 153 24 + 240) E para sen01 4 : 1172-11i J1373943 I V3380929 1838 153 153 sen 02 240 240 Então 1162 - s 1 1823 < < 153 tan 02 4 240

e

1172 1_{3 <} 1 _< 1838 1 _{U .} 153 sen 824 240

28 1172 1 1 1823 _{1838 1} 153 153 tan 848 240 240 2334 !- 4 < 1 3661 = 1007 153 tan 84,, 240 66

)1

04

1

) 2 1 1+ -..-)1 -)53 4 < sen8 < (1007 \2 66 23391 V547 2 13/ _{4 < - 16 1/1 0 1 8405} 1009 ' < 153 153 sen 048 66 66 Assim, 2334k 1 1007 2339J 1 1009 1 e 4 6 153 < tan 0„ < 66 153 sen 948 66

A última etapa leva a

4673 1 1 20161

153 < tane,6 < 66 e

1 V4069284 20171

sen 096 66 66

Finalmente, invertendo as desigualdades

e

multiplicando por .V = 96,

96x153 1 22 96 tan Om < 4673k 7 7

e

96 sen Om > 96x66 >3-10 , 20171,- 71 10 1 1 Logo, 3-71 < —2 <r < < 7 que

é

a aproximação do valor de Tr dada por Arquimedes.

5.2 Aproximação por polígonos regulares inscritos

Esta aproximação é apresentada em [2].

A partir de um polígono regular de n lados (eneágono) inscrito em um circulo, pode-se obter o polígono inscrito de 2/1 lados (2n-ditono), como na fig. I

29

Figura I

Ao dividir-se ao meio cada lado do eneágono, o arco subtendido por cada um destes lados também ficará dividido ao meio. Utilizam-se os pontos adicionais encontrados sobre a circunferência e os vertices do eneágono para obter o 2n-dizono.

Pode-se começar com o diâmetro de um circulo (um "2-ágono -) e construir o 4, 8, 16, ..., 2n-ágono. Para um circulo de raio I a primeira construção é um quadrado de lado -\F2 (fig. 2).

AB = 2 é o didmetro e AC = BC. Pelo Teorema de Pitágoras, 22 = 2 (AC) 2 e AC

Figura 2

Afirma-se:

"Se In representa o comprimento do lado do n-cigono inscrito em um circulo de raio 1, então o lado do 2n-ágono tem o comprimento igual u

Prova:

A fig. 3 é uma circunferência de centro O onde 4, = DE, CD -(1/2) in,

12 =BD e AB 2.

30

Figura 3

A área do triângulo retângulo ABD é dada por - (AB CD) e por

-I (BD . AD). No triângulo retângulo Ah), pelo Teorema de Pitaaoras têm-se

AD = AB 2 BD 2 .

Iguala-se as duas expressões para a area

1/2 Ah. CD = . AD e AB. CD = BD. AD,

e substituem-se na última expressão os respectivos valores em função de 1„ e /2n:

2.-1 1 = /, V2 2 -12 ,, e 1„ = 12„ 112 2 - 122„ ou 12'„(4 - /22,, ).

" 2

Resolve-se a equação quadrática para achar x = / ;,.2„ e obtém-se

= 2 + - /,2, . Despreza-se a raiz ,r = 2 + 1/4 - /,2„ o que leva a / 2„ >'J, sendo este o comprimento do lado da primeira construção possível, o quadrado.

Assim, 12„ =

Vejamos alguns exemplos.

A partir de 14 (lado do quadrado), obtem-se 1 8 = iJ2 - , a partir de 18 ,

3

Como rega geral têm-se

= 2 — + +... + , com n —1 raizes aninhadas. Como têm-se 2" lados, o perímetro do 2n-ágono inscrito no circulo é 2" x ou

17 —1 raizes aninhadas

Então, se n tende para o infinito, 2" x 1 2,, é uma aproximação do comprimento da circunferência de raio 1.

Por definição, a razão entre o comprimento da circunferência e seu didmetro

o número : ir —c e c = h. Para o circulo de raio 1, c - 2,T.

Assim, temos uma fórmula de aproximação para 7r, ao fazer n — 1 = k

2+.... 115: --> 2 ir quando k

pois, 2 k +

k raizes aninhadas

Assim, +....+ é uma aproximação de 7r.

6 Aproximações

numéricas de

7-r

6.1 2.1 série de Leibniz

"O nome de Leibniz é usualmente associado t) série infinita

— = -1- —1 --1 + uma de suas primeiras descobertas matemáticas. Essa série,

4 3 5 7

que surge de sua quadratura do circulo, é apenas um caso especial da expansão do arctg que tinha sido dada antes por Gregory." [Boyer, pp 296-2971

Vamos mostrar que — é a série acima.

4

Inicia-se a prova com a formula

n 1411-2 = 1 1 -1 + t4 t6 + . . + t 4

1+r -

que e valida para todo I e pode ser conferida ao multiplicar-se ambos os membros por

Agora considera-se um número x tal que 0 x I e a formula para dx

integração de arctg x — Integra-se (1) no intervalo 0 < t < x:

1± x2 3 5 (2) arctg x =

_1„

x

=

x x x 7

+ + 1+/ - 3 5 7 4 n + 1 onde x R„(r) =

f

o

+ t cit . (1) 1 +1 2

Como 1 5_ I ± ( 2, temos t 4n+2 < t4/7+2, logo 1 + 33 R„(x) 1ri4n±2cit ou 1 ,4 1+3 • 4n+ 3

Para os valores de x em consideração, x 1, tem-se que X411-'.3 < I. portanto

0 Rn (x) < – 4n +3

logo, Rn(x) -->O quando n 00. Assim pode-se usar (2) para deduzir que a fórmula

(3) arttg X = x--+---+...

X3 X5 X7 3 5 7

é válida para 0 x< I.

Para x = 1 na fórmula (3), obtêm-se arctg 1 = + I–

3 5 7

Ou seja, ir = ill ...,

—4 3 5 7

6.2

A integral de

y

=CI

Desejamos mostrar que dr =

Primeiro vejamos um esboço do

gráfico

de y =e-x.

(graf 1):

Gráfico

I

Como f(x) = e

é

continua em toda a reta, podemos escrever

(1)

-

e -X - _4_

f

e- X dx =

2 je-x- dr

pois a curva é simétrica em

relação

ao

eixo

y.

Portanto, calcularemos a integral imprópria

(2)

Como não

importa

a letra que utilizemos para a

variável

de integração, temos

(3)

12 dy ) .

"' t

Consideremos agora a integral dupla

imprópria:

(4) J

= ec r e-(x2±Y2 )dx16).

Vamos escrever J em coordenadas polares. É preciso, portanto, considerar que em coordenadas polares temos:

3 5

1) x2 + y2 = r2 x r

_{cos 6}

,* y = r sen

2) A area é calculada tendo ci.4 = r cir

JO

e

SR

f (x, y = f (r

cos

0,r sen Odrd 0

Na integral dupla acima, a região é todo o primeiro quadrante do plano ry. Assim, escrevemos (4) em coordenadas polares

- X (5) J = 12 Crs r.drd0. o o Ou seja, b (6) = lim 1 2 e r.drd0 0 0 e, logo, (7) J = 0 • dO = iim

sO

2

b., - e b- 1 1 ,r e [ e7 ,-110 E =

12i---.o

L—

o 1 Portanto, J = ir 4 ir 7r d 0 = S2 —.dt9 =

[OP-

= — 02 —2 o

Por um teorema de analise, como J

<co

(isto 6,

é

finito), temos que

-x2 - (8) / 2 = o e drr o o o 2 dy = f3 F e 2 dycLT =1. Logo, I = V-Tz-

ou

fo

e x2 dx = .

Assim,

I

+. ercL= 2 e o r- = 1 _{„or =} -"Tr e—x2 civ =

VT(

•

6.3 Uma prova da fórmula de Euler

Esta prova e apresentada resumidamente em [8, vol.2] e é devida a D. P. Giesy.

Inicia-se definindo a função j,;(x) por

(1) fn (x) = - cos x cos 2.x + + cos nx. Necessita-se adiante da fórmula fechada para esta função, dada por

(2) _{fri(4 =} sen[(2n +1)x 2]

2sen(x 2)

onde x não é múltiplo de 2n. Para provar essa fórmula, usa-se a identidade trigonométrica 2 cos° semi) = sen (0 (I)) - sen (0 - (I)). Usando-a, escreve-se, com exceção da primeira, as identidades

2.-1 sen-1 x = sen-1 x ,

cos x sen-1 x = sen-3 - sen —1 x ,

2 cos 2xsen-1 x = sen-5x - sen-3x,

1

2 cos nx sen—x sen (2n + sen(2n-Ox

37

A fórmula (2) é agora obtida somando-se essas identidades e fazendo os cancelamentos.

Usa-se agora (1) para definir o número E e também para calculá-lo:

(3)

1-71-

E _n =i ₀ (x).dr ( 1

E„ = x - + cos x cos 2.r + + cos nx (LT 10 '7

Através da fórmula da integração por partes f u civ = integral de cada parcela em (3), com exceção da primeira

vdu, calcula-se a (4) x nx )dx = -1 x sen( ) + 1 cos( nx n - com u = x, du = cLr, dv= cos(nx)dx e v= -1 sen(

Aplicando-se (4) na integração de (3), obtêm-se

(5) Ell = —+ x sen x + cos x + ...+ -1 xsen(nx) + cos(

4 n

Co

O

m os os limites de integração 0 e 7r, as parcelas corn sen(nx) desaparecem, enquanto os valores de cos (nx) alternam-se entre 1 e -1. Portanto (5) pode ser escrito como

= +E

4 _{k=1 _ k2}

onde os termos pares são nulos. Reescreve-se novamente (5) com os termos impares e divide-se por 2:

(6) 2 — - 8 _{(2k - 1)2}

jr 2 n

x u = sen( x 2) di x du = ca.

sen( x

2) = g(x) , 3

A próxima meta é mostrar que um = O. Com isso prova-se a formula

(7)

_E

1 lr-

k=,(2k

— 1)2

8

que será usada para provar o resultado final.

Define-se g(x) cLx[s

x en( x 2)

Usam-se

(2)

e

(3)

para escrever r),

(8)

E

211-1 = _{Jo X}

sen(4n

— 1)x/ 2

1

dr =

x [s e n(4 n —1)x

.21

dr

2 sen(x / 2)

10

2 sen(x ) x12 E, =

sen

(4n — 1)x

dr .

sen(x/ 2)

2

Integra-se por partes fazendo

= sen[(4n- 1)xlcix

2

v

1

.2f

sen

[(4n —1)x1 a,(4n-1

=

---x 4n —1 v — 1

(

cos (4n —1)x - 4n-1 _-

e também fazendo uso do limite fundamental 2

hm —1.

Logo, ou seja, 3 7 2 ,r = 8 1 4 71" ir k2 3 8 6 1 7Z 2 k2 = 6 Assim, tem-se como resultado da integração de (8)

( 9 ) — 1 [2 + 2 fir g( )cos (4n 1 )_r cLx 4n —1

A conclusão desejada é que um E2„_ 1 = O. O limite de 11(4n-1) tende a zero se o termo entre colchetes é limitado. Como cos é limitada, resta mostrar que g(X) limitada no intervalo de integração. Mas g(r) é crescente e seu limite nesse intervalo é dado por g( x)= senlx 2) 2 _ sen( x 2)— (x 2 )cos(x 2) seir( x 2) e gOr) = 1/2.

Com isso tem-se que lim E2n_ 1 = O, o que prova a igualdade (7).

Para completar a prova da fórmula de Euler, divide-se os inteiros positivos em pares e impares e usa-se (7) para escrever

,i-2

7

Uma

aplicação

da

fórmula

de Euler

1 ,7 2

A formula de Euler

L—_,

= e usada para responder a questão: "Qual

6

probabilidade para que dois números naturals, escolhidos ao acuso, sejam primos

6

entre .vi', cuja resposta é [7]

,-z-

Vejamos.

A primeira etapa é mostrar que a igualdade a seguir é verdadeira:

(1) 1 1 1 2 - 3 2 4 2 5 : 1 1– —, I– —41 – ■ =1 5. A 7 . _{11 2}

Multiplica-se o primeiro parêntese pelo segundo:

1 1 1 1 1 2, 3 , 4 , 5 _ 6 _ (x) 1– — -) 2 1 1 1 1 1 3L. 4., 52 6, 1 1 (+) -)2" 42 6 2 + — + 32 1

Todos os múltiplos de — desaparecem do primeiro fator. Continua-se a 7 2

41

, (x) 1— 1 3 2 1 — .3 2 1 5 - 1 7- 1 92 1 1 1+—+„ 3 2 5- 1 3 2 1 7 2 1 9 2 1 1 1 7, 5_ 1 7.,

Desaparecem, então, todos os múltiplos de —1_{2 .} As próximas etapas serão

1 I

multiplicações pelos inversos dos quadrados de primos, que fardo 5 - 7 -

desaparecer seus múltiplos, levando a uma aproximação de 1 como limite.

A fórmula de Euler diz que

( 1 1 1 1

1+—+ —+ — —++ .= 2 2 3 2 4 2 52

) 71.62 o que torna (1) igual a

7I 2

)(I _

1 6 J Tji =1 e, logo (2) (1—-—₇1 _{2 ) 3 2} — _{5 2 — 72)(1 — IF )..=} = _{7r 2 •} 6 6

Tomam-se, agora, dois números naturais escolhidos ao acaso, m e n, e um número primo a. A quantidade —1 de todos os inteiros é divisível por a, porque a

43

divide todos seus múltiplos. Então, a probabilidade de a dividir m é —1 . Da mesma

, I

forma, a probabilidade de a dividir n e —. Portanto, a probabilidade de a dividir m e

1 1 1 1

n é dada por —x , , e a probabilidade de a n5o dividir m nem n é I —

a a a- u -

Assim, a probabilidade de que m e n sejam primos entre si será dada pela 1

probabilidade 1— para todos os primos a. E isto leva à (2), como se afirmou no

inicio:

I 6

(1- 1 Ï1- 1 (1-- "1- 1\ (1— 1 ...= 2 2 ) 3 2 ) 5 2 7 2 ) 112)

8 Números algébricos

e

transcendentes

Um número algébrico é qualquer número x, real ou complexo, que satisfaz alguma equação algébrica da forma

n-i

- an x - - u / .r - uo 0 ..>.i, a„

onde os coeficientes ak, com k = 0, 1, 2, n, são inteiros. Se um número real não satis fi zer nenhuma equação deste tipo, dizemos que ele e um número transcendente.

Por exemplo, j2. é urn número algébrico, pois satisfaz a equação

De maneira semelhante, qualquer raiz de uma equação com coeficientes inteiros de terceiro, quarto, quinto ou qualquer grau mais alto, é um número algébrico, quer as raizes possam ou não ser expressas em termos de radicais.

Supondo que o número y satisfaça uma equação algébrica de grau n, como em (1), mas nenhuma equação deste tipo de grau inferior, diz-se que y é um número algébrico de grau n. Por exemplo, y = -172 é um número algébrico de grau 2, porque satisfaz a equação x2 — 2 = 0, mas nenhuma equação de I grau.

Desta definição segue que todo número racional é algébrico, pois o número racional ply satisfaz a equação qx - p = O. 0 conceito de número algébrico é uma generalização natural de número racional, que constitui o caso especial quando n= 1. Assim, todo número não algébrico é não racional, ou seja, todo numero

transcendente é irracional.

Nem todo número real é algébrico. Segundo Courant e Robbins,

"isto pode ser demonstrado por uma prova, atribuida a Cantor, de que a totalidade dos números algébricos é enumerável. Uma vez que o conjunto de todos os números reais é não-enumerável, devem existir

45

números reais que não são algébricos. Estes números são chamados de transcendentes, porque, como afirmou Euler, eles transcendem o poder dos métodos algébricos.'[...] Uma prova da existência dos números transcendentes que antecede a de Cantor foi dada por J. Liouville (1809 — 1882); sua prova efetivamente permite a construção de exemplos de tais números.72, pp.124-1251 (ver apêndices 2 e 3)

Os primeiros números conhecidos como transcendentes foram exibidos por Liouville em 1851. Ele demonstrou que os números algébricos irracionais são aqueles que não podem ser aproximados por números racionais com um grau muito elevado de precisão, a menos que os denominadores das fraç6es de aproximação sejam bastante grandes. Como conseqüência, se z é um número irracional com a propriedade de existirem racionais que levem a urna aproximação que contradiz a afirmação anterior, então z não pode ser algébrico e, portanto, deve ser transcendente. (ver apêndice 3)

Um exemplo de números de Liouville 6: .7 = 0,110001000000000000000001000...

= 10 10-2 + 10 ! + 10 + 10 +

Podem-se produzir muitos outros exemplos desse tipo considerando-se as somas de séries do tipo

ailO _{+ a2 10-21 + a3 10-3 ' + ai + ,}

onde os numeradores são quaisquer dígitos 1, 2, 9. Esses números irracionais são todos transcendentes e a razão essencial é que cada um é o limite de uma seqüência de racionais que converge.

Essa abordagem torna possível exibir muitos exemplos de números transcendentes, mas é muito mais dificil provar a transcendência de números

particulares que ocorrem mais ou menos naturalmente em Matemática. 0 inicio real foi estabelecido pelo trabalho de Herrnite, que mostrou, em 1873, que _e é transcendente.

"A prova de Lindemann da transcendência de 7, em 1882, foi uma extensão absolutamente direta das idéias de Hermite. Em sua prova Lindemann primeiro mostrou que a equação

ei — 1 =

O

não pode ser satisfeita se x 6 algébrico. Como Euler mostrara que o valor x = 7 satisfaz à equação, segue-se que 7r não é algébrico." [1,p. ,107]

Mas o progresso subsequente foi lento. Em sua famosa comunicação feita em Paris em 1900, o grande matemático alemão David Hilbert propôs uma lista de 23 problemas não-resolvidos que ele considerava como sendo os maiores desafios aos matemáticos do futuro. Estes "problemas de Hilbert" permaneceram como um desafio para o período subseqüente do desenvolvimento matemático. Quase todos foram resolvidos nesse meio tempo e, com freqüência, a solução significou progresso decisivo em perspicácia e em métodos gerais na Matemática. Um dos problemas que parecia mais desanimador consistia em provar que 2 2 era um número transcendente, ou até mesmo irracional. Por quase três décadas não havia a mais ligeira sugestão de uma linha promissora de ataque a este problema. Finalmente Siegel e, de modo independente, o jovem russo A. Gelfond, descobriram novos métodos para provar a transcendência de muitos números importantes na Matemática, incluindo o número 2» de Hilbert e, de maneira mais geral, qualquer número ab onde a 6 um número algébrico diferente de zero e diferente de 1, e h é qualquer número algébrico irracional.

47

9 Conclusão

0 estudo aqui apresentado foi rico em novos conhecimentos.

0 aparecimento de 7r em questões que envolvem probabilidades servirá de subsidio, durante as aulas, para a contextualização pregada pela LDB.

Assuntos como números algébricos e números construtiveis foram muito interessantes.

Aprofundar as questões relativas as aproximações de 7, à sua irracionalidade, à sua transcendência, certamente terá resultados positivos em meu trabalho como professor.

Apêndice 1

Construções Geométricas

Problemas de construção geométrica sempre foram um assunto predileto da Geometria, e a restrição ao uso apenas de régua e compasso remonta à AntigUidade. Alguns problemas clássicos de construção com régua e compasso, cujas soluções são conhecidas, são o problema de contato de Apolônio e a construção de polígono regular de n lados, para certos valores de n. Porém, outras construções são impossíveis, como o polígono regular de 7 lados e os três problemas gregos clássicos: trissectar um ângulo arbitrariamente dado, duplicar um cubo determinado e fazer a quadratura do circulo.

Conforme Courant e Robbins, "após séculos de buscas inuteis de uma solução, cresceu a suspeita de que estes problemas poderiam ser insolúveis, o que levou a seguinte questão: Como é possível provar que certos problemas não podem ser resolvidos?" [2, p.142]

Esta questão também surge na Algebra, com o problema de resolver equações de grau 5 ou de grau maior. Os métodos de solução de equações de 2 °, 3° ou 4° grau, já conhecidos no século XVI, têm características comuns: as soluções ou "raizes" da equação podem ser escritas como expressões algébricas obtidas a partir dos coeficientes da equação por uma seqüência de operações, cada uma delas uma operação racional — adição, subtração, multiplicação ou divisão — ou a extração de uma raiz quadrada, cúbica ou quarta (diz-se resolvidas por radicais"). Mas as tentativas de estender este procedimento a equações de grau 5 ou maior, utilizando raizes de ordem mais alta, fracassaram. (não se trata aqui do fato de a equação

49

algébrica de grau n possuir soluções, o que foi provado a primeira vez por Gauss, em 1799).

"No inicio do século XIX o italiano Ruffini (1765-1822) e o norueguês N. H. Abel (1802-1829) conceberam então a revolucionária idéia de provar a impossibilidade da solução da equação algébrica geral de grau n somente por meio de operações racionais e por radicais.[...] O desejo de tornar absolutamente clara esta questão inspirou o magnifico desenvolvimento da álgebra moderna e da teoria dos grupos iniciada por Ruffini, Abel e Galois (1811-1832). A questão de provar a impossibilidade de certas construções geométricas oferece um dos exemplos mais simples desta tendência da algebra.[2, pp.142-

143]

Em construções geométricas, o problema consiste de que a solução possa ou não ser encontrada teoricamente, com régua e compasso, e não em desenhar figuras com certo grau de exatidAo (o que pode ser resolvido com o uso de outros instrumentos, como os matemáticos gregos já haviam reconhecido).

Números construtiveis e corpos numéricos

Courant e Robbins partem da seguinte questão: -como todos os problemas construtiveis podem ser completamente caracterizados? Para a compreensão desta questão deve-se traduzir os problemas geométricos em linguagem da Algebra. - [2,p

144]

Uni problema de construção geométrica consiste em encontrar um ou mais segmentos de reta x a partir de um ou mais segmentos dados, o que equivale a resolver um problema algébrico:

"primeiro deve-se encontrar uma relação (equação) entre a quantidade x procurada e as quantidades dadas; em seguida deve-se encontrar a

quantidade desconhecida x resolvendo esta equação, e então determinar se esta solução pode ser obtida por processos algébricos que correspondem a construções com régua e compasso. 0 que fornece os fundamentos de toda a teoria é o principio da Geometria Analítica, a caracterização quantitativa de objetos geométricos por números reais, baseado na introdução do continuo de ntirneros reais."[2, p.145]

As construções geométricas com régua e compasso consistem em repetir, urn número finito de vezes, as seguintes operações básicas:

- traçar a reta que une dois pontos dados:

- traçar a circunferência com centro e raio dados.

Um ponto, nessas construções, só pode ser obtido como intersecção de duas retas, de duas circunferências ou de urna reta com uma circunferência.

Considerando-se no plano urn sistema de coordenadas cartesianas, uma reta é representada por urna equação do 1° grau y ax + b e uma circunferência por uma equação do 2° grau (x - a) 2 ± (y - b) 2 = r2 . Assim, um número que se pode construir é sempre obtido como solução de urn sistema de 2 equações a 2 incógnitas cujos graus são menor do que ou igual a 2.

Algumas das operações algébricas mais simples correspondem a construções geométricas elementares. Dados segmentos de comprimento a e 1), medidos por um determinado segmento "unitário", pode-se construir a - 1), a - b, ra (onde r qualquer número racional), a'b e ah. Por exemplo, para construir alb, vejamos a fig. I.

51

Marca-se a = AO e h OB sobre os lados de um ângulo qualquer O e

OD = I sobre OB. Trap-se paralela a AB por D encontrando AO em C,

determinando OC — x. Por semelhança de triângulos temos que —x = —I x = a h

Figura I

Assim, os processos algébricos "racionais", adição, subtração, multiplicação e divisão de quantidades conhecidas, podem ser executados por construções geometricas . A partir de quaisquer segutentos dados, medidos por números reais a, b, c, ..., pode-se, por meio da aplicação sucessiva destas construções simples, construir qualquer quantidade que possa ser expressa em termos de a, h, c,... de maneira racional, isto 6, por aplicação repetida da adição, subtração, multiplicação e divisão.

Tomando como ponto de partida o segmento de comprimento unitário, podemos construir com régua e compasso todos os números que podem ser obtidos a partir da unidade pelos processos algébricos racionais, isto 6, todos os números racionais alb, onde a e h são inteiros. 0 conjunto dos números racionais é um corpo numérico: é fechado no que diz respeito is operações racionais: a soma, a diferença, o produto ou quociente de dois números racionais quaisquer (excluindo a divisão por zero) é um número racional.

A próxima construção geométrica é a extração de uma raiz quadrada: se um segmento a é _{dado, então -N1T2 também pode ser construída utilizando somente régua} e compasso. Vejamos a Fla. 2

a

Figura 2

Marca-se AO =a e AB = 1 sobre a OB. Desenha-se o circulo cujo diâmetro OB. Traca-se a perpendicular a OB por A, _{que encontra o semicirculo em C, sendo} AC _{= x. Sendo o triângulo OCB inscrito num semicirculo, o Angulo OCB e reto.} Pelas relações métricas num triângulo retângulo temos que: x 2 =axl => x =

Podemos obter novos números, agora irracionais, utilizando o compasso para construir /2- , por exemplo. A partir de , pelos processos algébricos racionais, encontrar todos os números da forma

(1)

onde a, h são racionais e, portanto, são construtiveis. Estes números novamente formam um corpo (6 fechado no que diz respeito As operações racionais). Chamemos o corpo racional Q de Fo e o novo corpo dos números da forma (1), de F 1 =

Pode-se, ainda, construir novos números tomando um número de F 1 , por exemplo, k = 1 + , e extraindo sua raiz quadrada, obtendo assim o número construtivel

1114--If

e com ele o corpo de todos os números

(2) p crirt ,

onde p e ci podem ser agora números arbitrários de F 1 , isto és da forma a -bJi,

com a, h em 0, isto é, racionais.

Assim, vemos que as etapas de uma construção geométrica ( traçar uma reta passando por dois pontos conhecidos, desenhar um circulo com centro e raio conhecidos, ou marcar a interseção de duas retas ou de dois círculos) nos dão números que estão no corpo do qual partimos, que já sabemos serem construtiveis. Pela extração de uma raiz quadrada, construiremos números em um novo corpo

extensão de números construtiveis.

Portanto, para responder a questão inicial sobre a caracterização dos problemas de construção, vejamos como Courant e Robbins descrevem o processo seguido até aqui:

"Começamos com um corpo Fo dado, definido por quaisquer quantidades que forem dadas no principio, por exemplo, o corpo dos números racionais se apenas um único segmento, escolhido como unidade, for dado. Em seguida, pela adjunção de ./170 , onde lcE FO, porém VT não pertence a Fo Elaboramos um corpo extensão F, de números construtiveis, constituído por todos os números da forma ao + bo liTco , onde ao, 1)0 podem ser quaisquer números de Fo. Então, F , , um novo corpo extensão de F1, é definido pelos números al + 13 em que al e ID, são quaisquer números de F1, ek i é algum número de F 1 cuja raiz quadrada não esta contida em F1. Repetindo o procedimento, chegaremos a um corpo F i, após n adjunções de raizes quadradas. Números construtiveis são aqueles, e somente aqueles, que podem ser

alcançados por uma tal seqüência de corpos extensão; isto e, que estão contidos em um corpo Fri do tipo descrito. 0 número n de extensões necessárias não importa; de certa forma, ele mede o grau de complexidade do problema. - [2,p.155].

Números construtiveis são algébricos

Como conseqüência do acima exposto, temos que:

Se o corpo inicial Fo for o corpo racional gerado por um único segmento, então todos os números construtiveis serão algébricos. Os números do corpo F 1 são raizes de equações quadráticas, os de F2 são raizes de equação de grau e, em geral, os números de Fk são raizes de equações de grau 2k, com coeficientes racionais. [2]

A seguir a demonstração para um corpo F , de que seus elementos são raizes de equação de 4 ° grau.

(3) Seja x = p +

pi;

,

onde p, q e w estão em F1 e, portanto, têm a forma p = u + s , q = + , w = e+fl; , onde

a,

h,

c,

d,

e,

fi

s são racionais. A partir de (3) temos

que elevado ao quadrado resulta em

X2 - lpx p 2 = q2w,

onde todos os coeficientes estão em um corpo F 1 , gerado por Is:. Portanto, usando as expressões de p, q e w acima, esta equação pode ser reescrita na forma

55

onde r, s, t, u • v são racionais. Elevando ao quadrado ambos os lados, obtemos uma equação de 4 grau, com coeficientes racionais, conforme enunciado.

(4) ux = s(rx - t )".

Sobre o problema da quadratura do circulo

Uma vez que um circulo com raio r tem a area t r2, o problema de construção de um quadrado de area igual a de um circulo dado cujo raio seja o comprimento unitário 1, equivale à construção de um segmento de comprimento como lado do quadrado procurado. Este segmento sera construtivel se e somente se o número 7 for

construtivel. Com base na caracterização geral de números construtiveis, como todos os membros de quaisquer dos corpos destes números são algébricos, ou seja, são números que satisfazem equações algébricas com coeficientes inteiros, se 7 fosse

construtivel, então seria algébrico. Mas isto é impossível, pois 7 é transcendente,

como mostrou Lindemann.

A prova da transcendência de 7, que foi apresentada por Lindemann em 1882,

Apêndice

2

A existência de números transcendentes

A prova de Cantor

A prova de Cantor da existência de números transcendentes é apresentada por Niven (6,pp.193-2041, que restringe seu trabalho aos números reais. -Os resultados [...], bem como suas demonstrações, são válidos também para os números complexos- .[6,p.193]

Vejamos:

Um conjunto S é qualquer coleção de objetos claramente de finidos e distinguiveis e pode ser finito ou infinito. Um conjunto infinito se diz enumerável se seus elementos puderem ser escritos na forma de uma seqüência

al, a2, a3,

de modo que qualquer elemento do conjunto seja um termo da seqüência.

Podem existir maneiras diferentes de escrever um conjunto em forma de seqüência, mas basta uma para mostrar que o conjunto é enumerável. Também não necessário conhecer uma fórmula para o n-ésimo termo da seqüência.

Por exemplo, o conjunto dos números primos 2, 3, 5 ,7, 11, 13, 17, 19, ...

é enumerável, apesar de não conhecermos o valor exato do centésimo-milionésimo primo. É suficiente sabermos que existe um tal primo para que possamos conceber uma ordem seqüencial para o conjunto todo. [6]

Prova de que o conjunto de todos os números racionais e enumeravel.

Qualquer numero racional é raiz de uma equação linear at h O. com coeficientes inteiros a e h, podendo supor a positivo. Por exemplo, 2/3 e raiz de 3x - 2 ---- 0. Diz-se que o índice du equay7o ax - h - 0 é

1 - a b

de onde se ye' que o índice de uma equação e um inteiro positivo.

No exemplo acima, a equação It - 2 = 0 tem o indice 1 - 3 - -21= 6. Não existe equação de índice 1 e x=0 ea única de índice 2.

Niven apresenta a tabela 1 abaixo, com todas as equações lineares com índice ate 5, e a tabela 2, com os números racionais, em ordem crescente, raizes das equações da tabela 1. [6, p.196] Tabela 1 indice 1 Equações x = 0 3 2x --- 0, x- 1 = 0, x- 1 =0 4 3x= 0, 7r± 1=0, /r- 1 =0, x+ 2=0, x-- 7 = 0 5 4x= 0, 3x+ 1=0,3x-1=0, 2x÷ 2=0, 2x - / = 0, x -'- 3 = 0, x - 3 = 0 Tabela 2

Indice Números racionais introduzidos

,-) , ₀ - -1, -1 4 -2 --' 1 1 _. _ -) 22 2 ' 5 1 1 ., 3 3

Para cada indice j existe apenas um número Finito de equações lineares, 57

Na medida em que o índice aumenta, somente um número finito de novos números racionais sera introduzido.

A seqüência dos números racionais sera escrita na ordem em que surgem na tabela 2: primeiro a raiz da equação de índice 2, seguida das raizes das equações de índice 3, e assim por diante, em ordem crescente:

0, -1, 1, -/, — , _71 ,2, -3, — 71 ,

Como todos os números racionais vão aparecer na seqüência segue-se que os números racionais são enumeráveis. [6]

Prova de que o conjunto dos números algébricos é enumerável

Um número algébrico, como já vimos, é aquele que satisfaz uma equação do

an X - an _1 x 1 a - ao = O (n 1, u„ 0)

com coeficientes inteiros. Suponhamos an positivo (a multiplicação da equação por - 1 se an fosse negativo não afeta as raizes).

Teorema 1. Qualquer equação da forma (1) tem no máximo n raizes distintas. Demonstração: ver [6].

Teorema 2. 0 conjunto dos números algébricos

é enumerável.

Demonstração.

O índice da equação (1) é

o

numero

n - an-1 - :an-2! •••

tipo (1)

59

um número inteiro positivo. Todas as equações de indices pequenos são mostradas na tabela 3. Tabela 3 Índice Equações / _{x = 0} _. 3 x` = 0, lr = 0, x -- 1 = 0, x— 1 = 0 4 7r-1=0, 7 r-1=0, x-'- 7 =0. x- 7 =0

Pode-se listar todos os novos números algébricos reais resultantes das equações da tabela 3. Se, para cada indice, dispõe-se os números em ordem crescente, obtêm-se a seqüência:

+ 1 (2) 0; -1, 1; -7, 1 1 — -3

2 7

ii — .j5 / 7) + 1

33 ' v

Para qualquer índice h fixo, o numero de equações é finito, porque o grau n e os coeficientes an, ..., ao estão restritos a um conjunto finito de inteiros. Além disso, pelo Teorema 1, sabemos que o número máximo de raizes de cada equação é n. Portanto, todos os números reais algébricos vão aparecer na seqüência (2). [6]

Para indices mais altos, podem-se escrever as equações de um determinado índice, mas não pode-se listar suas raizes no modo feito em (2).

Sera necessário observar, também, que o conjunto dos números reais algébricos, entre 0 e 1, é enumerável, pelo teorema a seguir.

Teorema 3. Um subconjunto infinito de um conjunto enumerável, é enumerável. Demonstração: ver [6].

- '

Prova de que o conjunto dos números reais não é enumerável Teorema 4. 0 conjunto dos números reais não

é

enumerável. Demonstração.

su

fi

ciente que se prove este fato para os números reais .r, tal que O <..r I, pelo Teorema 3. Supõe-se que

o

conjunto dos números reais entre 0

e

1 seja enumerável:

r 1 , r2 , r3 „

e

escreve-se estes números na forma decimal. Para aqueles com representação decimal finita, usa-se sua forma infinita

periódica

( L/2

é

escrito como 0,4999_,

e

não como 0,5).

Têm-se, então

ri = 0, all all al3 _{a14.- ,} --- 0, a21 chi a23 a24... ,

r3 = 0, a 3i /232 a33 a34 ..., etc.

Pode-se construir, a partir dos r„, um _número

h = 0, h i h2 b3 b4 •••,

do seguinte modo. Sejam os h, quaisquer algarismos entre 1

e

9, mas h i diferente de a 11 , h, diferente de

an

h3 diferente de _{a33, ,} bh diferente de ahh. Então h é diferente

de todos os r, pois difere de cada um deles na n-ésima casa decimal. Mas h é um número real entre 0

e

1,

o

que gera uma contradição.

A existência de números transcendentes

Do teorema anterior podemos concluir que, sendo enumeráveis os números algébricos entre Oe 1 e

não enumeráveis

os números reais entre 0 e 1, devem existir

61

números reais que não sejam algébricos. Estes são os números transcendentes, cuja existência fica assim demonstrada.

Prova de que o _{conjunto dos números reais transcendentes não é enumerável} Teorema 5. _{0 conjunto dos números reais transcendentes não é enumerável.} Demonstração.

Supõe-se que o conjunto dos números reais transcendentes seja enumerável:

ti , _{t3, t4, ••• •}

Mas pelo Teorema 2 o conjunto dos números reais algébricos é enumerável, ou seja,

a l , a2 , a3, a4, . _{0 conjunto dos números reais poderia ser esc ri to em forma de}

sequência:

11, UI, t , U2, t3, a3, (4, 445 ••• ,

ou seja, o conjunto dos números reais seria enumerável, em contradição com o Teorema 4.

Apêndice 3

A existência de

números

transcendentes

Números

de

Liouville

A prova da existência de números transcendentes, a partir de números de Liouville, é apresentada por Niven [6, pp.165-182], a qual veremos a seguir.

Seja, então o número de Liouville:

(1) = 10 -1! + l0 10-3I + + 103! + 10 -6÷13 + 10-6+2) +

1. Pode-se obter uma boa aproximação racional de z escolhendo um numero finito de termos da série (1) que define z.

Chame-se h a soma dos primeiros j termos de:, dado em (1):

(2) h =10-n + 10-2 ' + 10 -3! + le

Oki - 1 1 . 1

10 1 10 2' 10j

O número h é racional e a soma das frações, com denominador comum 10», pode ser expressa por

(3 )

onde t representa algum número inteiro. De (1) e (2) vê-se que

- b = 10-(i+1)' + 101+2)! +

A representação decimal de :. b, e de 1. - b, é toda formada de zeros e uns. Em - b o algarismo 1 aparecerá pela primeira vez na posição (/ + 1)! . Portanto,