UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL - UAB
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE - UFRN
SECRETARIA DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA - SEDIS
CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM ENSINO DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO
MÉDIO
WEBSTHER DA SILVA
UMA GENERALIZAÇÃO PARA O PROBLEMA DO AMIGO SECRETO
LUÍS GOMES/RN
JULHO 2016
WEBSTHER DA SILVA
UMA GENERALIZAÇÃO PARA O PRBLEMA DO AMIGO SECRETO
Trabalho de conclusão apresentado ao curso de
Especialização em Ensino de Matemática para
o Ensino Médio da Secretaria de Educação à
Distância – SEDIS como requisito para a
obtenção do título de Especialista em
Matemática pela Universidade Federal do Rio
Grande do Norte - UFRN.
Orientador: Prof. Dr. Iesus Carvalho Diniz
LUÍS GOMES/RN
JULHO 2016
Catalogação da Publicação na Fonte. UFRN / SISBI / Biblioteca Setorial Centro de Ciências Exatas e da Terra – CCET.
Silva, Websther da.
Uma generalização do problema do amigo secreto / Websther da Silva. – Luís Gomes, RN, 2016.
12f. : il.
Orientador: Prof. Dr. Iesus Carvalho Diniz.
Monografia (Especialização) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Secretaria de Educação à Distância. Coordenação do Curso de Especialização em Ensino de Matemática para o Ensino Médio.
1. Princípio da inclusão e exclusão. 2. Permutação caótica. 3. Relação de Stifel. 4. Indução matemática. 5. Permutações caóticas generalizadas. I. Diniz, Iesus Carvalho. II. Título.
TERMO DE APROVAÇÃO
UMA GENERALIZAÇÃO PARA O PROBLEMA DO AMIGO SECRETO
por
WEBSTHER DA SILVA
Este Trabalho de Conclusão de Curso – TCC foi apresentado em 16 de julho de 2016
como requisito parcial para a obtenção do título de Especialista no Curso de Especialização
em Ensino de Matemática para o Ensino
Médio da Universidade Federal do Rio Grande do
Norte - UFRN. O candidato foi arguido pela Banca Examinadora composta pelos professores
abaixo assinados. Após deliberação, a Banca Examinadora considerou o trabalho aprovado.
___________________________________________________________________
Prof. Dr. Iesus Carvalho Diniz
CCET - UFRN
Orientador
___________________________________________________________________
Prof. Esp. Danielle de Oliveira N. Vicente
CCET - UFRN
Examinadora
___________________________________________________________________
Prof. Msc. Odilon Júlio dos Santos
CCET - UFRN
Examinador
DEDICATÓRIA
Dedico este trabalho primeiramente a Deus, por ser essencial em minha vida, autor do meu
destino, meu guia, socorro presente na hora de angustia, ao meu pai José, minha mãe Maria,
meus irmãos Wilhiam, Wittalo e Cosmo a minha esposa Helena e minha adorada Ana Luíza,
colegas de curso e ao orientador Iesus.
AGRADECIMENTOS
Agradecimento a Deus por ter permitido que tudo isso acontecesse.
A minha família em geral pais (José e Maria), irmão (Wilhiam, Wittalo e Cosmo), a
minha esposa Helena, ao meu anjinho Ana Luíza, ao sobrinho Nícolas, e todos que
contribuíram direto e indiretamente nesse momento.
RESUMO
Neste trabalho apresentamos Uma Generalização para o Problema do Amigo Secreto.
O resultado obtido permite-se generalizar o resultado clássico e já conhecido do número de
permutações caóticas de um dado conjunto bem como estabelecer a definição do fatorial de
um número natural a partir das permutações caóticas de um dado conjunto.
Palavras – chaves: Princípio da Inclusão e Exclusão, Permutação
Caótica, Relação de Stifel,
Indução Matemática, Relação de Stifel e
Permutações Caóticas Generalizadas.
ABSTRACT
We present a generalization to the Secret Friend Problem . The result allows to generalize the
classical result and known number of chaotic permutations of a given set and establish the
definition of the factorial of a natural number from the chaotic permutations of a given set.
Keywords : Inclusion and Exclusion Principle, Permutation Chaotic , Stifel ratio,
Mathematics Induction, Stifel ratio and Permutations Chaotic Generalized.
Uma generalização para o problema do amigo
secreto
Iesus C. Diniz
∗Websther da Silva
†12 de julho de 2016
1
Introdução
Um problema já bem conhecido em combinatória é o do número permutações caóticas de um conjunto A = {a1, . . . , an} de n elementos, comumente
represen-tado por Dnou !n. Este problema foi posto primeiramente por Pierre Raymond
de Montmort [1] em 1708 e resolvido pelo próprio em 1713. Nicholas Bernoulli também o resolveu, aproximadamente no mesmo período, usando o princípio da inclusão e exclusão.
Uma permutação caótica dos elementos do conjunto A = {a1, . . . , an} é o
conjunto das permutações dos elementos de A nas quais nenhum deles aparece em sua posição inicial, ou de maneira mais formal, o conjunto das funções f : A → A tais que f (ai) 6= ai para todo i ∈ {1, . . . , n}. Em [2] é dada
uma expressão para o cálculo de Dn, ademais é mostrado que Dn é o inteiro
mais próximo de n!e. Dn = n! n X j=0 (−1)j j! e Dn= n! e (1)
Exemplo 1 Sejam In:= {1, . . . , n} o conjunto dos n primeiros inteiros
positi-vos e Cn de todas as permutações caóticas de In. Determine C4 e D4.
Solução: Seja I4= {1, 2, 3, 4}, tem-se portanto que
C4= { (2, 1, 4, 3) , (2, 4, 1, 3) , (2, 3, 4, 1) , (3, 1, 4, 2) , (3, 4, 1, 2) , (3, 4, 2, 1) ,
(4, 3, 2, 1) , (4, 3, 1, 2) , (4, 1, 2, 3)} e D4= 9.
Exemplo 2 Um técnico de futsal dispõe de um elenco de 8 jogadores de linha: 2 laterais esquerdo, 2 laterais direito, 2 fixos, 2 pivôs além de 2 goleiros. De quantos modos o técnico pode escalar o time, se apenas o goleiro puder jogar em sua posição natural?
∗Universidade Federal do Rio Grande do Norte, iesus@mat.ufrn.br
†Universidade Federal do Rio Grande do Norte, websthermatematica@gmail.com
Solução: Há 21 2 1 2 1 2 1 2 1 = 2
5 maneiras de se escolher os 4 jogadores
de linha e o goleiro que serão titulares, para cada uma destas escolhas, há uma possibilidade de escalação do goleiro e D4 possibilidades para os jogadores de
linha. Assim, segue-se pelo princípio fundamental da contagem que há 25× 1 × 9
possibilidades de escalação do time.
Neste artigo generalizaremos o cálculo do número de permutações caóti-cas Dn obtidos entre dois conjuntos de mesmos elementos para dois conjuntos
quaisquer. Denotaremos por Dkn o número de permutações caóticas entre dois conjuntos A e A∗ de n elementos dos quais k deles são não comuns aos dois conjuntos, isto é, |A ∩ A∗| = n − k, para todo k ∈ {1, . . . , n}. A primeira delas será demonstrada por indução a partir de uma recorrência, enquanto a segunda solução será determinada por um argumento combinatório.
Teorema 1 Sejam A e A∗ dois conjuntos tais que |A ∩ A∗| = n − k e |A| = |A∗| = n, então para todo k ∈ {0, . . . , n}
Dnk= k X j=0 k j Dn−j. (2)
1. O valor de Dné um caso particular da Eq. 2 com k = 0; pois se k = 0, então
A = A∗e D0n é o número de permutações caóticas entre dois conjuntos de mesmos elementos, ou seja, D0n= Dn;
2. Se k = n, então os conjuntos A e A∗ não apresentam nenhum elemento em comum, neste caso Dnn= n!.
2
Desenvolvimento: prova pelo princípio da
in-dução finita
Sejam A e A∗ dois conjuntos tais que |A ∩ A∗| = n − k e |A| = |A∗| = n. Sem
perda de generalidades, consideremos
A = {1, . . . , k, k + 1, . . . , n} e A∗= {1∗, . . . , k∗, k + 1, . . . , n} com Dkn o número das permutações caóticas entre os elementos de A e A∗. Diferentemente do problema clássico das permutações caóticas, nos quais os dois conjuntos continham os mesmos elementos, temos agora k elementos não comuns aos dois conjuntos, e com isso há novas possibilidades de permutações caóticas dos elementos entre os conjuntos A e A∗.
Para todo i ∈ {1, . . . , k} seja Ai o conjunto das permutações caóticas nas
quais o elemento i∗ de A∗ ocupa a posição i.
O número de permutações caóticas poderá ser calculado a partir do condi-cionamento nos elementos não comuns aos dois conjuntos que ocupam ou não as suas posições naturais, mais especificamente falando, se ao menos um elemento i∗ ∈ {1∗, 2∗, . . . , k∗} ocupa a posição i, A
1∪ . . . ∪ Ak, ou nenhum elemento i∗
de A∗ estiver em sua posição natural, (A1∪ . . . ∪ Ak)c. Assim, pelo princípio
aditivo tem-se
Dkn= |(A1∪ . . . ∪ Ak)c| + |(A1∪ . . . ∪ Ak)|
= |Ac1∩ . . . ∩ Ac
k| + |(A1∪ . . . ∪ Ak)|
(3)
e desde que para todo k ∈ {1, . . . , n}
|Ac 1∩ . . . ∩ A c k| = Dn (4) tem-se de (3) e (4) que Dkn= Dn+ |(A1∪ . . . ∪ Ak)| . (5)
Ademais, tem-se que
∀j ∈ {1, . . . , k} com {i1, i2, . . . , ij} ⊂ {1, . . . , k} |Ai1∩ Ai2∩ . . . ∩ Aij| = D k−j n−j, com D 0 n−j= Dn−j. (6)
Para k = 1, então j = 1 e segue-se de (5) e (6) que
Dn1 = |Ac1| + |A1| = Dn+ Dn−1. (7)
Para k = 2, então de (6) segue-se que para todo i1∈ {1, 2}
|Ai1| = D 1 n−1 (k = 2, j = 1) e |A1∩ A2| = Dn−2(k = 2, j = 2) . Logo de (5) e (7), tem-se Dn2 = Dn+ |(A1∪ A2)| = Dn+ X 1≤i1≤2 |Ai1| − |Ai1∩ Ai2| = Dn+ 2D1n−1+ Dn−2 = Dn+ 2(Dn−1+ Dn−2) − Dn−2 = Dn+ 2Dn−1+ Dn−2. (8)
Para k = 3, então de (6) com i1∈ {1, 2, 3} e {i1, i2} ⊂ {1, 2, 3}
|Ai1| = D
2
n−1(j = 1), |Ai1∩Ai2| = D
1
n−2(j = 2) e |A1∩A2∩A3| = Dn−3(j = 3) .
Logo de (5), (6), (7) e (8) segue-se que
D3n= Dn+ |(A1∪ A2∪ A3)| = Dn+ X 1≤i1≤3 |Ai1| − X 1≤i1<i2≤3 |Ai1∩ Ai2| + |A1∩ A2∩ A3| = Dn+ 3D2n−1− 3D 1 n−2+ Dn−3 = Dn+ 3(Dn−1+ 2Dn−2+ Dn−3) − 3(Dn−2+ Dn−3) + Dn−3 = Dn+ 3Dn−1+ 3Dn−2+ Dn−3. (9) 3
Admitamos como hipótese de indução que para um certo k ∈ N, Dnk = k X j=0 k j Dn−j (10)
Lema 1 Para todo k ∈ N,
Dnk+1= Dkn+ Dn−1k
Demonstração: Tem-se que Dk+1n é o total de permutações caóticas entre
dois conjuntos de n-elementos com k + 1 elementos não comuns a ambos. Para todo j ∈ {1, . . . , k + 1} particionando o conjunto das permutações caóticas em relação a qualquer um dos Aj, A1 por exemplo, tem-se:
Dnk+1= |Ac1| + |A1| = Dkn+ D k
n−1 (11)
Usando a recorrência (11) e a hipótese de indução dada em (10), segue-se que Dnk+1= Dnk+ Dn−1k = k X j=0 k j Dn−j+ k X j=0 k j Dn−1−j =k 0 Dn+ k 1 Dn−1+ k 2 Dn−2+ . . . + k k Dn−k+ k 0 Dn−1+ k 1 Dn−2+ . . . + k k − 1 Dn−k+ k k Dn−1−k =k 0 Dn+ k 0 +k 1 Dn−1+ . . . + k k − 1 +k k Dn−k+ k k Dn−1−k =k + 1 0 Dn+ k + 1 1 Dn−1+ . . . + k + 1 k Dn−k+ k + 1 k + 1 Dn−(k+1) = k+1 X j=0 k + 1 j Dn−j. Exercício 1 Prove que
n! =n 0 Dn+ n 1 Dn−1+ . . . + n n D0.
Solução: Desde que Dn
n = n!, o resultado como corolário do teorema 1
tomando-se k = n na equação (2).
4
Exercício 2 Num congresso matemático n pessoas encontram-se sentadas num auditório de n + k cadeiras. Elas vão para uma outra sala e quando retornam ao auditório, sentam-se novamente e é observado que nenhuma delas ocupa a mesma cadeira que antes. Mostre que o número de maneiras que isto pode ocorrer é Dk
n+k.
Solução: Sem perda de generalidade, suponhamos as cadeiras numeradas de 1 a n + k, com as n primeiras sendo previamente ocupadas por pessoas nume-radas de 1 a n. Ademais, considere para todo (i, j) ∈ {1, . . . , n} × {1, . . . , n + k} a seguinte convenção: (i, j) representando a cadeira j sendo ocupada pela pessoa i e para l ∈ {(n + 1)∗, . . . , (n + k)∗} (l, j) se a cadeira j estiver va-zia. Assim, o número de maneiras da sala ser ocupada sem as posições ini-ciais serem repetidas por nenhum dos presentes, é o conjunto das permuta-ções caóticas entre os conjuntos A∗ = {1, . . . , n, (n + 1)∗, . . . , (n + k)∗} e A = {1, . . . , n, (n + 1), . . . , (n + k)}, i.e., Dkn+k= k X j=0 k j Dn+k−j (12) Observação 1 O resultado dado em (12) a partir do teorema 1; é uma gene-ralização do problema 13, página 173 de [3] para o caso em que k = 1.
3
Conclusão
Neste trabalho generalizamos o problema clássico das permutações caóticas. A prova do resultado se mostrou bem interessante pelo fato de usarmos tanto o princípio da inclusão e exclusão bem como o princípio da indução finita e a relação de Stifel. O resultado principal permite introduzir o conceito de fato-rial a partir de um argumento combinatório relativo à partição do conjunto de permutações caóticas.
Referências
[1] de Montmort, P. R. (1708). Essay d’analyse sur les jeux de hazard. Paris: Jacque Quillau. 2. ed., Revue & augmentée de plusieurs Lettres. Paris: Jacque Quillau, 1713.
[2] Morgado, A. C. O.; Carvalho, J. B. P.; Carvalho, P. C. P.; Fernandez, P. Análise combinatória e probabilidade. 9. ed. Rio de Janeiro: Sociedade Bra-sileira de Matemática, 2006. (Coleção do Professor de Matemática). [3] Wallis, J. D. A Begginer’s Guide to Discrete Mathematics. Birkhäuser
Bos-ton 2003; 1. ed.
[4] Feller, W. Introdução à teoria das probabilidades e suas aplicações. São Paulo: Edgard Blucher, 1976. (Tradução de Flávio W. Rodrigues e Maria E. Fini).