Aula12-Grupos.pptx

Estruturas algébricas




Grupos

 

Gallian, Contemporary Abstract Algebra, 7th Ed. Matemática Discreta II

André Câmara  

Simetrias  do  quadrado  

• Imagine  um  quadrado  (de  vidro)  seja  re3rado  de   um  plano,  cujas  extremidades  estão  marcadas   de  azul  (B),  branco  (W),  rosa  (P)  e  verde  (G)  

• A  idéia  é  descrever  de  quantas  formas  possíveis   ele  pode  ser  colocado  na  posição  original  

• Todo  movimento   possível  é   equivalente  a  um   dos  oito   movimentos  ao   lado  

Simetrias  do  quadrado  

• Observe  que  qualquer  combinação  desses  

movimentos  tem  como  resultado  um  dos  oito   estados  anteriores  

= Ou seja, H Ÿ  R90  =  D  

Grupo  Diedral  

• Os  oito  movimentos  anteriores,  juntos  com  uma   operação  de  composição  de  movimentos   formam  um  grupo  diedral  de  ordem  8  

• Ordem  =  número  de  elementos    

• Denotado  D4  

• Tabela  de  composição  

Propriedade:  Fechamento  

• Observe  que  qualquer  composição  resulta  em  

um  dos  8  movimentos  originais  

• Esta  propriedade  é  chamada  de  fechamento  

• Um  dos  requisitos  para  que  este  sistema  seja  

um  grupo  

• Ou  seja:  Se  A  e  B  estão  em  D4,  então  AŸB   também  está.  

Propriedade:  Identidade  

• Observe  que  qualquer  movimento  A  composto  

com  o  movimento  R₀  resulta  em  A  

• Um  elemento  R₀  com  esta  propriedade  é   chamado  de  iden3dade  

• Um  dos  requisitos  para  que  este  sistema  seja   um  grupo  

• Ou  seja:  Se  A  é  um  elemento  do  grupo,  então   AŸR0  =  R0ŸA  =  A.  

Propriedade:  Inverso  

• Observe  que,  para  qualquer  movimento  A,  existe   um  outro  movimento  B  tal  que  sua  composição   com  A  resulta  em  R₀  

• B  desfaz  o  movimento  A  

• Um  elemento  B  com  esta  propriedade  é   chamado  de  inverso  de  A  

• Um  dos  requisitos  para  que  este  sistema  seja   um  grupo  

• Ou  seja:  Se  A  é  um  elemento  do  grupo,  então   AŸB  =  BŸA  =  R0.  

• R₉₀  e  R₂₇₀  são  inversos  um  do  outro  

Comutatividade  

• Observe  que  HŸD  ≠  DŸH  ,  mas  R90ŸR180=R180ŸR90  

• Em  um  grupo,  ab  pode  não  ser  o  mesmo  que  ba  para   todo  elemento  a,b  do  grupo  (não  comuta3vo)  

• Se  acontecer  de  ab=ba  para  todo  elemento  do  grupo,   dizemos  que  este  grupo  é  Abeliano  ou  Comuta3vo  

Associatividade  

• (ab)c  =  a(bc)  para  todo  a,  b,  c  no  conjunto  

• Também  é  condição  necessária  para  um  grupo  

• Observe  que  existem  83  _{=  512  escolhas  possíveis}   de  a,  b  e  c  em  D₄  

• Não  precisamos  verificar  todos  os  casos,  apenas   observar  que  os  oito  movimentos  são  funções  e   a  operação  de  composição  de  funções  é   associa3va  

Grupos  Diedrais  

• A  análise  anterior  pode  ser  feita  para  qualquer  

n-­‐gon  (n  >=  3)  

• O  grupo  correspondente  D_n  é  chamado  de  grupo   diedral  de  ordem  2n  

• Comum  na  natureza  e  arte  

Grupo  de  simetria  do  triângulo  

• Quais  os  movimentos  na  simetria  do  triângulo  

• _{Existem 6 movimentos que podem}

trazer um triângulo equilátero de volta a sua posição original. São eles:

• Não fazer nada

• Rotacionar 120° em sentido anti-horário

• Rotacionar 240° em sentido anti-horário

• Girar sobre o eixo de simetria através do vértice superior

• Girar sobre o eixo de simetria através do vértice inferior esquerdo

• Girar sobre o eixo de simetria através do vértice inferior direito

O  grupo  de  simetria  do  triângulo  

Simetria  do  triângulo  (D

₃

)  

• Os  3  vér3ces  possuem   3!  =  6  permutações  

• No  máximo  seis  

simetrias  

• Para  denotar  as   permutações,   u3lizaremos  um  array  

• De  A  para  B,  B  para  C   e  C  para  A  

• Outros movimentos podem ser encontrados

• “Equivalentes” aos listados anteriormente

• Por exemplo, rotacionar o triângulo 360° é equivalente a não fazer nada

• Vamos rotular os vértices A, B e C e demonstrar os 6 movimentos

O  grupo  de  simetria  do  triângulo

 

• Rotacionando o triânqulo 120° anti-horários

O  grupo  de  simetria  do  triângulo

 

• _{Rotacionando 240° anti-horários}

O  grupo  de  simetria  do  triângulo

 

• _{Girar sobre o eixo do vértice superior}

O  grupo  de  simetria  do  triângulo

 

• _{Girar sobre o eixo do vértice inferior}

esquerdo

O  grupo  de  simetria  do  triângulo

 

• _{Girar sobre o eixo do vértice inferior}

direito

O  grupo  de  simetria  do  triângulo

 

• E  se  um  movimento  for  seguido  de  outro?  

• Qual  é  a  simetria  μ1ρ1?  

• Ou  seja,  o  que  ocorre  se  realizarmos  a  permutação   ρ1  e  depois  μ1?  

• Composição  de  funções  é  feita  da  direita  para  esquerda  

• Esta  composição  resulta  no  mesmo  que  μ2  

Simetria  do  Triângulo  

• Vamos agora combinar essas operações de simetria do triângulo para formar um grupo.

• Utilizando a operação “seguido por” podemos notar que:

• Teremos fechamento: realizar um movimento “seguido

por”outro movimento é equivalente (tem o mesmo

efeito que realizar um dos 6 movimentos)

• Temos associatividade: seguido por é sempre uma

operação associativa

• Temos identidade: a operação “Faz nada”

• Temos Inverso: Cada elemento tem um inverso:

– “Faz nada” é o seu próprio inverso

– Rotacionar 120° e rotacionar 240° são inversos um do outro – Os movimentos de giro sobre o eixo são seus próprios inversos

O  grupo  de  simetria  do  triângulo

 

• Podemos construir uma tabela de composição

• Sejam:

• id o movimento Faz nada

• ρ1 o movimento Rotacionar 120° horário • ρ2 o movimento Rotacionar 240° horário • μ1 o movimento Girar sobre o eixo do vértice

inferior esquerdo

• μ2 o movimento Girar sobre o eixo do vértice superior

O  grupo  de  simetria  do  triângulo

 

Simetria  do  triângulo  

DEFINIÇÃO  MATEMÁTICA  

O  que  é  a  Teoria  dos  Grupos?  

• Uma  outra  pergunta:  Qual  a  solução  da  equação  

• 4x  =  3    

• A  resposta  depende  em  que  “coisas”  permi3mos   que  x  seja  

• Se  considerarmos  que  a  aritmé3ca  em  questão   é  a  de  inteiros,  então  não  há  solução  

• Não  existe  inteiro  que  mul3plicado  por  3  resulte   em  4  

• Se  considerarmos  o  conjunto  dos  números   racionais  então  a  solução  será  x  =  3/4  

O  que  é  a  Teoria  dos  grupos?  

• Podemos  observar  a  questão  anterior  num  nível  

mais  abstrato  

a  •  x  =  b

 

• Quem  são  a  e  b?  

• A  qual  classe  de  objetos  x  pertence?  

• Qual  é  a  operação  representada  pelo     símbolo  •  ?  

O  que  é  a  Teoria  dos  grupos?  

• A  Teoria  dos  grupos  trata  de  sistemas  nos  quais    

“a  •  x  =  b”  sempre  terá  uma  única  solução,  não  

importando  quem  são  a  e  b,  nem  também  em   qual  operação  é  simbolizada  por  •    

• Através  deste  3po  de  abstração,  a  teoria  dos   grupos  trata  de  muitos  sistemas  matemá3cos  de   uma  só  vez  

• Requer  que  o  sistema  obedeça  apenas  a  um   conjunto  pequeno  de  regras  

• Busca  propriedades  comuns  a  todos  os  sistemas   que  obedeçam  a  tais  regras  

Operação  binária  

• Def.:  

• Seja  G  um  conjunto.  Uma  operação  binária  

sobre  G  é  uma  função  que  atribui  a  cada  par   ordenado  de  elementos  de  G  um  elemento  de  

G.  

• Ex.:  soma  modulo  n  e  mul3plicação  modulo  n   sobre  o  conjunto  {0,1,2,...,  n-­‐1}    

Algumas  deOinições  iniciais...  

•

 

GRUPÓIDE

:  um  

conjunto

 não  vazio  G  

associado  a  uma  

operação  binária

 

∙

• _{Um grupóide que cuja operação binária}

é associativa é chamado de SEMIGRUPO

Grupóide  

–

 Exemplo  

• Seja  o  conjunto  G={1,2,3}  e  a  operação  binária  ú     definida  como  

• 1ú1=1,  1ú2=3,  2ú2=1,  3ú2=2,  ...  

• Podemos  resumir  a  definição  da  operação  em   uma  tabela  de  composição:  

1   2   3   1   1   3   2   2   2   1   1   3   3   2   3  

Pode parecer bizarro, mas lembre, isso não é uma multiplicação!

São  Grupóides?  

1. (S, ) onde S ={1, 2, 3, 4} e i j = 1 para todo i, j 2 S

2. (Z, ), o conjunto dos inteiros com a subtra¸c˜ao usual como opera¸c˜ao

bin´aria

3. (Z+_{, ), o conjunto dos inteiros positivos com a subtra¸c˜ao usual como}

opera¸c˜ao bin´aria

4. (Q,÷), o conjunto dos racionais com a opera¸c˜ao usual de divis˜ao

1. (S, ) onde S ={1, 2, 3, 4} e i j = 1 para todo i, j 2 S

2. (Z, ), o conjunto dos inteiros com a subtra¸c˜ao usual como opera¸c˜ao

bin´aria

3. (Z+_{, ), o conjunto dos inteiros positivos com a subtra¸c˜ao usual como}

opera¸c˜ao bin´aria

4. (Q,÷), o conjunto dos racionais com a opera¸c˜ao usual de divis˜ao

São  Grupóides?  

Sim Sim, pois se a,b estão em Z, então a-b é um elemento de Z

Não, pois a-b podem não estar em Z+

Não, pois a ÷ 0 não está definido para nenhum a ∈ Q, portanto, ÷ não é

uma operação binária em Q

GRUPO  

DeOinição  

•

 

Um  

Grupo

 <G,·∙>  é  uma  coleção  de  

elementos  associados  a  uma  operação  

binária  ·∙  que  sa3sfaz  as  seguintes  

propriedades:  

• Fechamento  

• Associa3vidade  

• Iden3dade  

Inversão

 

Axiomas  da  teoria  dos  grupos  

1.  FECHAMENTO:    Se  a  e  b  estão  no  grupo,  então  a  •  b  também  está  

no  grupo    

2.  ASSOCIATIVIDADE:  Se  a,  b  e  c  estão  no  grupo,  então     (a  •  b)  •  c  =  a  •  (b  •  c).  

 

3.  IDENTIDADE:  Existe  um  elemento  e  no  grupo  tal  que  para  qualquer   elemento  a  do  grupo  

a  •  e  =  e  •  a  =  a.      

Fechamento  

• Se  a  e  b  estão  no  grupo,  então  a  •  b  também   está  no  grupo  

• Para  um  sistema  ser  considerado  um  grupo,  a   operação  binária  (simbolizada  aqui    

por  "•")  deve  ser  válida  para  qualquer  par  de   elementos  do  grupo  e  o  resultado  deverá  ser  um   elemento  do  grupo.  

• O  conjunto  dos  inteiros  nega3vos  não  é  fechado  na  

mul@plicação  porque  o  produto  de  dois  inteiros  

nega3vos  não  é  um  inteiro  nega3vo   • Conjunto  dos  números  ímpares  e  adição  

• 3  +  5  =  8  

Não é ímpar!!

Associatividade  

• Se  a,  b  e  c  estão  no  grupo,  então  

(a  •  b)  •  c  =  a  •  (b  •  c).    

• A  operação  do  grupo  deverá  ser  ASSOCIATIVA.  

• Adição  e  mul3plicação  de  números  reais  

• Subtração  e  divisão  de  números  reais  não  é  associa3va  

• (5  -­‐  3)  -­‐  2  =  2  -­‐  2  =  0  

• 5  -­‐  (3  -­‐  2)  =  5  -­‐  1  =  4  

• 5/(3/2)  =  5/(1.5)  =  3  1/3  

• (5/3)/2  =  (1  2/3)/2  =  5/6  

Associatividade  

• Um  outro  exemplo  de  operação  que  não  é  

associa@va  é  a  operação  de  média  (av)  

• 2  av  (3  av  7)  =  2  av  5  =  3  1/2     • e  

• (2  av  3)  av  7  =  (2  1/2)  av  7  =  4  3/4    

Identidade  

• Existe  um  elemento  e  no  grupo,  tal  que  para   qualquer  elemento  a  do  grupo  temos  

a  •  e  =  e  •  a  =  a.    

• O  mesmo  que  Elemento  Neutro  

• Quando    a  iden3dade  de  um  grupo  é  combinada  

com  qualquer  elemento  do  grupo,  o  resultado  será   sempre  o  próprio  elemento  

• Na  mul3plicação  de  números  reais,  o  elemento  

iden3dade  é  1  

• Na  adição  de  números  reais,  é  0  

Identidade  

• A  operação  av  vista  anteriormente,  é  um  exemplo  de   uma  operação  sem  o  elemento  iden3dade  

• Não  existe  um  número  cuja  média  com  outro  número  escolhido   retorne  o  mesmo  número  escolhido  

• É  verdade  que  podemos  obter  o  mesmo  número   calculando  a  média  com  outro,  mas  não  existe  um  único   que  faça  isso  para  todos  os  números  

Identidade  –  Lemma  1  

• Lemma:  A  iden3dade  de  um  grupo  é  única  

• Prova:  

• Sejam  e₁  e  e₂  iden3dades  de  um  grupo  <G,·∙>  

• g·∙e1  =  e1·∙g  =  g  =  g·∙e2  =  e2·∙g  

• g·∙e1  =  g  =  g·∙e2      

• g·∙e₁  =  g·∙e₂      ·∙  (g-­‐1₎  

• g-­‐1  _·∙g·∙e

1  =  g·∙  g-­‐1·∙e2  

•     e1        ·∙e1  =      e2        ·∙e2  

Inverso  

• Para  qualquer  elemento  a  do  grupo  existe  um   elemento  a-­‐1  _{tal  que}  

a  •  a-­‐1  _{=  e}    

e  

a-­‐1  _{•  a  =  e}    

Inverso  

• Para  que  uma  operação  sa3sfaça  o  axioma  de  INVERSO,   a  operação  deve  ter  um  elemento  iden3dade.  

• O  inverso  é  uma  forma  de  desfazer  uma  operação   • Suponha  que  eu  some  7  a  um  determinado  número  e  obtenha  12  

como  resultado  

• Uma  forma  de  recuperar  o  número  original  seria  eu  somar  aos   resultado  ob3do  ao  inverso  de  7,  no  caso  (-­‐7)  

• Com  isso,  eu  posso  descobrir  que  o  número  original  era  5  

• De  maneira  similar,  eu  posso  desfazer  uma  mul3plicação   por  2  mul3plicando  pelo  seu  inverso,  i.e.  1/2  

Inverso  

• Muitas  extensões  algébricas  foram  adicionadas   aos  sistemas  númericos  para  criar  inversos  

• Os  inteiros  (Z)  são  uma  extensão  dos  números   naturais,  nos  quais  a  adição  tem  um  inverso   • Os  números  racionais  são  uma  extensão  aos  inteiros  

nos  quais  todos  os  números  diferentes  de  zero  tem   um  inverso  na  mul3plicação  

Inverso  -­‐  Lemma  2  

• Lemma:  Todo  elemento  de  um  grupo  tem  um   único  inverso   • Prova:   • Supor  g-­‐1    _{=  h  e  g}-­‐1    _{=  k}   • g·∙h  =  e  =  g·∙k      ·∙  (g-­‐1₎   • g-­‐1  _{·∙g·∙h  =  g·∙  g}-­‐1_·∙k   •     e          ·∙h    =      e          ·∙k   • ⇒  h  =  k    

O  que  é  Teoria  dos  grupos  

• Voltemos  a  nossa  questão:  qual  a  solução  de  

a  •  x  =  b    

• Para  resolver  esta  equação,  assumimos  que  a  e  b   são  elementos  de  um  grupo  com  operação   simbolizada  por  •  

• Buscamos  um  membro  do  grupo  com  o  qual   possamos  subs3tuir  x  para  sa3sfazer  a  equação  

Solução  

• U3lizando  o  axioma  de  fechamento  e  o  axioma   de  inverso,  operamos  ambos  os  lados  da   equação  com  o  inverso  de  a  

• O  axioma  de  inverso  diz  que  a-­‐1    _existe  

• O  axioma  de  fechamento  diz  que  o  produto  de  a-­‐1    _e   qualquer  outro  elemento  existe  e  con3nua  dentro  do   grupo  

Solução  

• Aplicando  o  axioma  associa3vo  temos     (a-­‐1  _{•  a)  •  x  =  a}-­‐1  _{•  b}     • O  axioma  de  inverso  nos  dá  

e  •  x  =  a-­‐1  _{•  b}   • Através  do  axioma  de  iden3dade  temos  

x  =  a-­‐1  _{•  b}  

Solução  

• Dessa  forma,  “resolvemos”  a  equação  sem  saber  sobre   quem  são  a,  b  ou  x,  bem  como  sem  saber  qual  seria  a   operação  indicada  por  •  

• Este  é  o  potencial  da  ABSTRAÇÃO  

• Teoria  dos  Grupos  é  um  exemplo  claro  da  abstração  na   matemá3ca  moderna  

• Uma  vez  que  o  resultado  tenha  sido  demonstrado  válido   para  todos  os  grupos,  então  ele  é  claramente  válido  para   qualquer  grupo  específico  que  escolhamos  

ClassiOicação  dos  grupos  

• Quanto  ao  número  de  elementos:  

• Finitos:  número  finito  de  elementos  

• Infinitos:  número  infinito  de  elementos  

• Também  podem  ser:  

• Comuta3vos  (Abelianos)  

• g·∙h=h·∙g,  ∀g,h  ∈  G   • Não  comuta3vos  

Lemma  3  

• Lemma:  Para  todo  a,b  em  um  grupo  <G,·∙>,  temos  

que  (a·∙b)-­‐1  _{=  b}-­‐1_·∙a-­‐1  

• Prova:  

• Note  que  (a·∙b)  ·∙(b-­‐1_·∙a-­‐1  _{)=  a·∙(b  ·∙b}-­‐1_)·∙a-­‐1_{=  e}  

             g                          g-­‐1                                      e  

• E  também    (b-­‐1_·∙a-­‐1  _{)  ·∙  (a·∙b)  =  b}-­‐1_·∙(a-­‐1_{·∙a)·∙b=  e}  

                         g-­‐1                    _{g                e}  

• Com  isso  provamos  que  b-­‐1_·∙a-­‐1  _{é  o  inverso  de  a·∙b}  

Tabelas  de  composição  

• Grupos  podem  ser  representados  através  de  

tabelas  de  composição  

• Isomorfismo:  grupos  com  mesma  tabela  de  

composição  

• Grupo  com  1  só  elemento   ·∙   e   e   e  

Tabelas  de  composição  

• Grupo  com  2  elementos  

• Qual  o  resultado  da  composição  de  g  por  ele   mesmo?  

• g·∙g  =  g    ou  g·∙g  =  e  ?  

·∙   e   g   e   e   g   g   g   ?  

Tabelas  de  composição  

• g·∙g  =  g    

• Duas  iden3dades  diferentes!  

• g=e  (o  grupo  teria  apenas  um  elemento)  

• Dessa  forma,  g·∙g  =  e     ·∙   e   g   e   e   g   g   g   e  

Tabelas  de  composição  

• Grupo  com  3  elementos  

 

• Se  h·∙g  =  h  ou  g,  então  e=h=g  (duas  iden3dades!)  

• Então,  h·∙g  =  e  

• Se  h·∙h  =  h,  então  e=h  (inválido!)  

• Então  h·∙h  =  g   ·∙   e   g   h   e   e   g   h   g   g   ?   ?   h   h   ?   ?   ·∙   e   g   h   e   e   g   h   g   g   h   e   h   h   e   g  

Como  construir  tabelas  de  ordem  

maiores  

• Definição:  

• Sejam  G  e  H  grupos  com  composição  ∘  e  *   respec3vamente.  O  produto  direto  de  G  e  H,   escrito  G  x  H  é  a  estrutura  <G  x  H,  ·∙>,  onde  ·∙  é   definida  como:  

• <g1,h1>  ·∙  <g2,h2>    =  <(g1  ∘  g2),  (h1  *  h2)>    

• Para  todo  g1,  g2    ∈  G  e  h1,  h2  ∈  H  

• O  produto  direto  entre  2  grupos  também  é  um   grupo!  

Exemplo  

·∙   e2   g   e2   e2   g   g   g   e2   ·∙   e2,e3   e2,k   e2,h   g,e3   g,k   g,h  

e2,e3   <e2,e3>   <e2,k>   <e2,h>   <g,e3>   <g,k>   <g,h>  

e2,k   <e2,k>   <e2,h>   <e2,  e3>   <g,k>   <g,h>   <g,  e3>  

e2,h   <e2,h>   <e2,  e3>   <e2,k>   <g,h>   <g,  e3>   <g,k>  

g,e3   <g,e3>   <g,k>   <g,h>   <e2,  e3>   <e2,k>   <e2,h>  

g,k   <g,k>   <g,h>   <g,e3>   <e2,k>   <e2,h>   <e2,e3>  

g,h   <g,h>   <g,e3>   <g,k>   <g,h>   <e2,  e3>   <e2,k>  

·∙   e3   k   h  

e3   e3   k   h  

k   k   h   e3  

h   h   e3   k  

Exercício  

• É  <S,  °>  um  grupo,  se:  

1. S  =  Z  e  °  é  a  mul3plicação  dos  inteiros?  

2. S  =  Q  e  °  é  a  mul3plicação  em  Q?  

3. S={q  |  q  ∈  Q  e  q  >  0}  e  °  é  a  mul3plicação  nos  

números  racionais?  

4. S={z  |  z  ∈  Z  e  z  =                }  e  °  é  a  mul3plicação  

nos  números  inteiros?  

5. S  =  R  e  °  é  a  soma  dos  números  reais?   6. S  =  Z  e  °  é  definido  por  a°  b  =  0  para  todo  a,b