Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Centro de Ensino Superior do Seridó
Curso de Licenciatura em Matemática
Polinômio de Taylor com Resto de
Lagrange
Francisco Sales de Lima Ferreira Júnior
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Centro de Ensino Superior do Seridó
Curso de Licenciatura em Matemática
Polinômio de Taylor com Resto de
Lagrange
por
Francisco Sales de Lima Ferreira Júnior
sob orientação do
Prof. Dr. Adriano Thiago Lopes Bernardino
Dezembro de 2017 Caicó-RN
Ferreira Júnior, Francisco Sales de Lima.
Polinômio de Taylor com Resto de Lagrange / Francisco Sales de Lima Ferreira Júnior. - Caicó - RN: UFRN, 2017.
42f.: il.
Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Ensino Superior do Seridó, Curso de Licenciatura em Matemática.
Orientador: Dr. Adriano Thiago Lopes Bernardino.
1. Aproximação Monografia. 2. Fórmula de Taylor
-Monografia. 3. Polinômio de Taylor - -Monografia. I. Bernardino, Adriano Thiago Lopes. II. Título.
RN/UF/BS-CAICÓ CDU 51
Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN Sistema de Bibliotecas - SISBI
Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Setorial Profª. Maria Lúcia da Costa Bezerra - - CERES--Caicó
"Ninguém é tão grande que não possa aprender, nem tão pequeno que não possa ensinar."(Esopo, S/D).
Agradecimentos
Agradeço primeiramente a Deus, que sempre me deu forças para enfrentar todas as adversidades.
Agradeço a minha esposa, Izanete de Medeiros Costa, que me incentivou a ingressar na universidade e sempre me apoiou e apoia em todos os momentos da minha vida.
Agradeço aos meus pais e irmãos, que contribuiram com minha educação e fazem parte da minha vida compartilhando sonhos.
Agradeço a todos os professores que contribuiram para construção do meu conhecimento.
Agradeço a todos os meus colegas e as amizades construidas durante esses quatro anos, tornando a universidade um ambiente ainda mais agradável.
Agradeço ao meu orientador, prof. Dr. Adriano Thiago Lopes Bernardino, por toda paciência, dedicação e orientação, tornando possível a conclusão deste trabalho.
Resumo
Objetivo deste trabalho é aprensentar as Fórmulas de Taylor. Como os polinômios são uma ferramenta da matemática mais simples de trabalhar do que certas funções, a tentativa de aproximar destas funções através de polinômios aparenta ser um metodo muito útil. A partir daí surge a Fórmula de Taylor. Neste trabalho, apresentamos vários conceitos e resultados básicos necessários para compreender como é feita a aproximação de funções por polinômios.
Abstract
The purpose of this paper is to introduce the Taylor Formulas. Since polynomials are a simpler mathematical tool to work than certain functions, the attempt to approximate these functions through polynomials appears to be a very useful method. From there comes the Taylor Formula. In this work, we present several concepts and basic results necessary to understand how the approximation of functions by polynomials is done.
Sumário
1 Conceitos Preliminares 1
1.1 Conjuntos e funções . . . 1
1.2 Conjuntos abertos, fechados e compactos . . . 6
1.3 Funções contínuas . . . 11
1.4 Funções Deriváveis . . . 15
2 Aproximações polinômiais 22 2.1 Polinômio de Taylor . . . 22
2.1.1 Aproximação linear . . . 22
2.1.2 Polinômio de Taylor de Grau 2 . . . 25
3 Fórmula de Taylor 28 3.1 Fórmula de Taylor in…nitesimal . . . 31
Introdução
A matemática se faz presente na vida das pessoas desde os primórdios da humanidade. De acordo com Berlingo¤ e Gouvêa ([1], p. 6), "ninguém sabe quando começou a matemática. O que sabemos é que toda civilização que desenvolveu a escrita também mostra evidências de um nível de conhecimento matemático". Os elementos matemáticos estiveram presentes inclusive em "sociedades pré-letradas"([1], p. 7). O uso da matemática pelas primeiras civilizações pode ser justi…cado por ser ela uma ciência que facilita a vida das pessoas de diferentes maneiras. Uma das contribuições da Matemática é a criação de fórmulas que auxiliem as pessoas na resolução de problemas de uma forma mais simples e rápida. Neste contexto, foi desenvolvida a Fórmula de Taylor ou Polinômio de Taylor com o intuito de auxiliar as pessoas no cálculo de valores de algumas funções que são mais complicadas para obter valores apenas aplicando essas funções em pontos do seu domínio, pois existem funções deriváveis que são difíceis de calcular seu valor em determinados pontos. A Fórmula de Taylor, foi desenvolvida para resolver esse problema aproximando um polinômio de uma função f que seja derivável em um ponto. O polinômio é uma função mais fácil para calcularmos um determinado valor desse polinômio em um certo ponto, possibilitando encontrar valores dessa função f próximos desse ponto com um pequeno erro.
O interesse pelo estudo dessa temática deve-se à curiosidade em descobrir os valores de funções deriváveis que são de difícil cálculo em determinados pontos. Isso conduziu a busca por um maior aprofundamento sobre o Polinômio de Taylor, que é uma série de potências, que obtemos quando tentamos aproximar de um certo ponto pertencente ao domínio de uma função f por uma sequência de polinômios
fn(x) = a0+ a1(x a) + a2(x a)2+ a3(x a)3+ + an(x a)n
onde os coe…cientes a do polinômio, são obtidos a partir das derivadas da função que pretende se aproximar pela sequência de polinômios.
Quando aproximamos o polinômio de Taylor de um ponto de uma função derivável, cometemos um erro, ou resto. O erro ocorre porque estamos aproximando o polinômio de uma função e esse polinômio não é igual à função. Logo, existe um pequeno erro que é obtido da diferença entre a função e o polinômio, mas o erro que ocorre quando aproximamos o polinômio da função para valores su…cientemente próximos do ponto é tão pequeno que torna-se desprezível.
Capítulo 1
Conceitos Preliminares
Os resultados deste capítulo não serão demonstrados, visto que, fogem do tema proposto e as demonstrações desses resultados podem ser encontradas em [4, 5]. Esses resultados são necessários para tornarem o texto auto su…ciente.
1.1
Conjuntos e funções
Nesta primeira seção, apresentaremos conceitos e resultados básicos que serão utilizados no decorrer deste trabalho
De…nição 1.1.1 Um conjunto X R diz-se limitado superiormente quando existe algum b 2 R tal que x b para todo x 2 X: O número b é chamado de cota superior de X.
Exemplo 1.1.2 Seja o conjunto X = fn1jn 2 Ng: Note que 1 é cota superior de X; pois para todo n 2 N; temos 1 n e, portanto, n1 1:
De…nição 1.1.3 Um conjunto X R diz-se limitado inferiormente quando existe algum a 2 R tal que a x para todo x 2 X: O número a é chamado de cota inferior de X.
Exemplo 1.1.4 Seja o conjunto X = f1njn 2 Ng: Note que 0 é cota inferior de X; pois para todo n 2 N; temos que 0 < 1 e, consequentemente, 0 < n1.
De…nição 1.1.5 Um conjunto X R é limitado quando existem a e b reais tais que a x b para todo x 2 X:
1.1. CONJUNTOS E FUNÇÕES
De…nição 1.1.6 Seja X R limitado inferiormente e não vazio. Um número a chama-se ín…mo do conjunto X quando a for a maior das cotas inferiores de X,isto é,
(i) a x; para todo x 2 X:
(ii) Se c2 R é tal que c x para todo x 2 X; então c a: Equivalente a (ii), temos:
(ii0) Se a < c então existe x 2 X com x < c:
Exemplo 1.1.7 Seja X = fn1j n 2 Ng; então temos que 0 é o ín…mo de n1, pois i) Para todo n 2 N; tem-se 0 < 1 e então 0 < 1n; portanto 0 é cota inferior do conjunto X:
ii) Seja 0 < c: Como o conjunto N não é limitado superiormente, dado 1
c; existe
n2 N; com 1c < n. Daí, n1 < c. Portanto c não é cota inferior de X: Consequentemente 0 = inf X:
De…nição 1.1.8 Seja X R limitado superiormente e não vazio. Um número b chama-se supremo do conjunto X quando é a menor de todas as cotas superiores de X; ou ainda, b é supremo de X se:
i) x b para todo x 2 X:
ii) se c2 R é tal que x c para todo x 2 X; então b c: Equivalente a (ii), temos:
(ii0) Se c < b então existe x 2 X com c < x:
Exemplo 1.1.9 Seja B = [ 1; b]. O supremo deste conjunto é o número b; pois claramente
i) Para todo x2 B; temos que x b: ii) Seja c < b: Assim x = c+b2 < b2 B; pois
c < b ) c + b < 2b ) c+b2 < b
) x < b
Temos ainda que c < x = c+b2 , isto é, c não é cota superior, portanto b é a menor cota superior.
1.1. CONJUNTOS E FUNÇÕES
De…nição 1.1.10 Sejam A e B conjuntos não vazios. Uma função f de A em B (f : A! B); é uma regra que associa todo elemento x 2 A a um único elemento f(x) em B:
Para que f seja uma função é necessário e su…ciente que: i) Para todo x 2 A tem-se f(x) 2 B;
ii) Se x; y 2 A; com x = y; então devemos ter f(x) = f(y):
Quando não houver necessidade de descrever o domínio de uma função f , denotaremos o domínio como Df:
De…nição 1.1.11 Uma função f : A ! B chama-se injetiva quando, dados x; y quaisquer em A; tais que f (x) = f (y) então x = y: Em outras palavras quando x 6= y; em A; implica f (x) 6= f(y); em B:
Exemplo 1.1.12 Sejam A = B = N e f : A ! B uma função dada por f(x) = 2x: f é uma função injetiva, pois dados f (a) = f (b); temos:
f (a) = f (b) ) 2a = 2b ) a = b:
De…nição 1.1.13 Uma função f : A ! B chama-se sobrejetiva quando, para todo y2 B existe pelo menos um x 2 A tal que f(x) = y:
Exemplo 1.1.14 Seja f : R ! R+ uma função dada por f (x) = x2: f é claramente
uma função sobrejetiva , pois para todo y 2 R+, temos que existe x =p2y tal que
f (x) = f (p2y)
= (p2 y)2
= y:
De…nição 1.1.15 Uma função f : A ! B chama-se bijetiva (uma bijeção, ou uma correspondência biunívoca) quando é injetiva e sobrejetiva ao mesmo tempo.
1.1. CONJUNTOS E FUNÇÕES
tais que f (a) = f (b), temos:
2a + 5 = 2b + 5 ) 2a = 2b
) a = b: Logo f é injetiva.
Para todo y 2 R; temos:
y = 2x + 5 ) 2x = y 5 ) x = y 52 : Assim, f (x) = f y 5 2 = 2y 5 2 + 5 = y:
Logo f é sobrejetiva, consequentemente f é bijetiva.
De…nição 1.1.17 Sejam f uma função, A Df e p 2 A: Dizemos que f(p) é o valor
máximo de f em A ou que p é um ponto de máximo de f em A se f (x) f (p) para todo x em A:
De…nição 1.1.18 Sejam f uma função, A Df e p 2 A: Dizemos que f(p) é o valor
mínimo de f em A ou que p é um ponto de mínimo de f em A se f (x) f (p) para todo x em A:
Denotaremos por In o subconjunto dos números naturais, dado por In =
f1; 2; 3; :::; ng.
De…nição 1.1.19 Um conjunto X diz-se …nito quando é vazio ou então existem n 2 N e uma bijeção f : In ! X:
Exemplo 1.1.20 Seja o conjunto A = fx 2 Nj 2x = 5g; então 2x = 5
1.1. CONJUNTOS E FUNÇÕES
onde x = 52 2 N: Logo, o conjunto A é vazio e consequentemente …nito.= De…nição 1.1.21 Diz-se que um conjunto é in…nito quando não é …nito.
Assim, X é dito in…nito quando não é vazio e não existe, seja qual for o n 2 N; uma bijeção f : In! X:
Lema 1.1.22 Se existe uma bijeção f : X ! Y então, dados a 2 X e b 2 Y , existe também uma bijeção g : X ! Y tal que g(a) = b.
Demonstração: Seja b0 = f (a). Como f é sobrejetiva, existe a0 2 X tal que f(a0) = b. Vamos de…nir a g : X ! Y pondo g(a) = b, g(a0) = b0 e g(x) = f (x) se x 2 X não é igual a a nem a a0. É fácil de enxergar que g é uma bijeção.
Teorema 1.1.23 Todo subconjunto de um conjunto …nito é …nito.
Demonstração: Provaremos primeiro o caso particular: se X é …nito e a 2 X então X fag é …nito. Com efeito, existe uma bijeção f : In ! X a qual, pelo lema acima,
podemos supor que f (n) = a. Se n = 1; temos que X fag = ? é …nito. Se n > 1, a restrição de f a In 1 é uma bijeção sobre X fag, logo X fag é …nito e possui n 1
elementos. Vamos provar o caso geral por indução no número n de elementos de X. Quando X = ? ou n = 1 o resultado é evidente. Supondo que o teorema é verdadeiro para conjuntos com n elementos, Sejam X um conjunto com n + 1 elementos e Y um subconjunto de X. Se Y = X, está provado. Caso contrário, existe a 2 X com a =2 Y . Então, na realidade, Y X fag. Como X fag possui n elementos, temos que Y é …nito.
Corolário 1.1.24 Um subconjunto X N é …nito se, e somente se, é limitado. Demonstração: Com efeito, se X = fx1; x2; :::; xng N é …nito, pondo p =
x1+ x2+ + xn, para todo x em X tem-se x p. Logo X é limitado. Reciprocamente,
se X N é limitado então X Ip para algum p 2 N, segue do teorema anterior que
X é …nito.
Exemplo 1.1.25 O conjunto N dos números naturais é in…nito em virtude do corolário acima.
1.2. CONJUNTOS ABERTOS, FECHADOS E COMPACTOS
1.2
Conjuntos abertos, fechados e compactos
De…nição 1.2.1 Seja X R não vazio. Diz-se que o ponto x 2 X é um ponto interior de X quando existe um intervalo aberto (a; b) tal que x 2 (a; b) X:
Denotaremos o interior de um conjunto X por intX:
Exemplo 1.2.2 Seja o conjunto I = [1; 3] R: Para qualquer x 2 (1; 3), x é ponto interior ao conjunto I: De fato, dado "1 = x 1 e "2 = 3 x;tomando " = minf"1; "2g,
tem-se que (x "; x + ") I:
Observação 1.2.3 int (a; b) = (a; b).
De…nição 1.2.4 Quando a 2 intX diz-se que o conjunto X é uma vizinhança do ponto a:
Exemplo 1.2.5 Sejam x; " 2 R, com " > 0: Segue da observação acima que o intervalo (x "; x + ") é uma vizinhança de x.
De…nição 1.2.6 Um conjunto X R é dito aberto quando todos os seus pontos são interiores ao conjunto X
Então, um conjunto X é aberto quando para todo x 2 X existe " > 0 tal que todo (x "; x + ") X:
Exemplo 1.2.7 Seja o conjunto X = (a; b) com a < b. Então X é um conjunto aberto, pois dado c 2 (a; b) e tomando " = minfc a; b cg tem-se (c "; c + ") X: Logo c é ponto interior de X:
Representaremos uma sequência de números reais por xn; (xn)ou (xn)n2N.
De…nição 1.2.8 Um ponto y é dito ponto aderente de X quando é limite de uma sequência de pontos xn 2 X.
Exemplo 1.2.9 Seja o conjunto X = fn1j n 2 Ng: Tomando y = 0; temos que a sequência (xn) = 1n com n 2 N; converge para 0: Logo, y = 0 é ponto aderente de X.
1.2. CONJUNTOS ABERTOS, FECHADOS E COMPACTOS
Teorema 1.2.10 Um ponto a é aderente ao conjunto X se, e somente se, toda vizinhança de a contém algum ponto de X:
Demonstração: Seja a um ponto aderente a X. Logo a será limite de uma sequência, lim xn= a; com xn 2 X para todo n 2 N: Dada uma vizinhança V 3 a qualquer, como
(xn) é uma sequência que converge para a, para n su…cientemente grande temos que
xn 2 V; então V \ X 6= ?: Reciprocamente, se toda vizinhança de a contém pontos
de X; então podemos escolher em cada intervalo a n1; a +n1 ; com n 2 N; um ponto xn 2 X tal que jxn aj < 1n;assim, temos que lim xn= a e a é ponto aderente a X:
De…nição 1.2.11 O fecho de um conjunto X R é o conjunto formado por todos os pontos aderentes desse conjunto. Denotaremos por X o fecho do conjunto X.
Observação 1.2.12 Para todo X R tem-se X X. De fato, se a 2 X, então basta tomar a sequência (xn) constante igual a a: Assim, lim xn= a e então a2 X:
Exemplo 1.2.13 Seja o conjunto X = (0; 1]. O seu fecho é o conjunto [0; 1]. Pela observação anterior, basta mostrar que 0 é ponto aderente de X. Tomando a sequência (xn) = n1 , temos que os termos da sequência (xn) pertencem a X e que 0 é aderente
a X. Logo X = [0; 1].
De…nição 1.2.14 Um conjunto F é dito fechado, quando ele é igual a seu fecho, ou seja todos os elementos de F são pontos aderentes.
O resultado a seguir, estabelece uma estreita relação entre conjunto aberto e conjunto fechado.
Teorema 1.2.15 Um conjunto F R é fechado se, e somente se, seu complementar A = R F é aberto.
Demonstração: Seja a 2 A: Então a =2 F e como F é fechado a não é ponto aderente de F . Pelo Teorema 1.2.10, existe alguma vizinhança V 3 a que não contém pontos de F: Logo V A; ou seja todo ponto a 2 A é ponto interior a A, portanto A é um conjunto aberto. Reciprocamente, se a é um ponto aderente a F = R A e o conjunto A for aberto, então toda vizinhança V de a contém pontos de F: Consequentemente a não é ponto interior de A, pois sendo A um conjunto aberto, a =2 A; isto é, a 2 F: Assim, todo ponto a aderente a F pertence a F; concluindo então que F é fechado.
1.2. CONJUNTOS ABERTOS, FECHADOS E COMPACTOS
Teorema 1.2.16 a) Se A1 e A2 são conjuntos abertos então a interseção A1 \ A2 é
um conjunto aberto.
b) Se (A ) 2L é uma familia qualquer de conjuntos abertos, a reunião A = [ 2LA é um conjunto aberto.
Demonstração: a) Se a 2 A1 \ A2 então a 2 A1 e a 2 A2. Pela hipótese que A1 e
A2 são conjuntos abertos, então existem "1 > 0 e "2 > 0 tais que (a "1; a + "1) A1
e (a "2; a + "2) A2: Tomando " = minf"1; "2g; temos (a "; a + ") A1 e
(a "; a + ") A2; consequentemente (a "; a + ") A1 \ A2: Assim todo ponto
a2 A1\ A2 é um ponto interior. Logo A1\ A2 é um conjunto aberto.
b) Se a 2 A então existe 2 L tal que a 2 A : Pela hipótese A é um conjunto aberto, então existe " > 0 tal que (a "; a + ") A A; consequentemente todo ponto a 2 A é um ponto interior. Logo o conjunto A é aberto.
Exemplo 1.2.17 Seja o conjunto X = [0; 1]. X é um conjunto fechado, pois pela observação anterior temos que o conjunto X é igual ao seu fecho que é o conjunto X = [0; 1]:
A seguir apresentaremos alguns resultados de sequência que será útil no decorrer deste trabalho.
Teorema 1.2.18 Toda sequência monótona limitada é convergente.
Demonstração: Suponhamos uma sequência (xn) monótona não decrescente e
limitada. Considere o conjunto X = fx1; x2; :::; xn; :::g; onde a = sup X: Então,
a…rmamos que a = lim xn: Com efeito, dado " > 0; temos obviamente que a "
não é cota superior de X: Logo existe n0 2 N tal que a " < xn0 a:Assim, temos que
n > n0 ) a " < xn0 xn < a + "e consequentemente lim xn = a: Caso a sequência
fosse não-crescente a demonstração seria análoga, com lim xn seria o ín…mo do conjunto
dos valores de xn:
Teorema 1.2.19 (Bolzano-Weierstrass) Toda sequência limitada de números reais possui uma subsequência convergente.
Demonstração: Pelo teorema acima, precisamos mostrar que toda sequência (xn)
possui uma subsequência monótona. Dizemos que um termo xn é destacado, quando
1.2. CONJUNTOS ABERTOS, FECHADOS E COMPACTOS
destacado. Se A for um conjunto in…nito, onde A = fn1 < n2 < n3 < < nk < g;
temos que a subsequência (xn)n2A será monótona não-crescente. Mas se A for um
conjunto …nito, seja n1 2 N o maior de todos os elementos de A: Então xn1 não pode ser
destacado, pois existe n2 > n1 com xn1 < xn2:Temos também que xn2 não é destacado,
logo existe n3 > n2 com xn1 < xn2 < xn3: Continuando, obtemos uma subsequência
crescente xn1 < xn2 < < xnk < .
De…nição 1.2.20 Um conjunto X R chama-se compacto quando é limitado e fechado.
Teorema 1.2.21 Um conjunto X R é compacto se, e somente se, toda sequência de pontos em X possui uma subsequência que converge para algum ponto de X.
Demonstração: Seja X R um conjunto compacto. Então toda sequência de pontos em X é limitada. Pelo Teorema de Bolzano-Weierstrass, existe uma subsequência convergente, onde o limite é um ponto de X, pois X é fechado. Reciprocamente, seja X R um conjunto, onde toda sequência de pontos xn 2 X possui uma subsequência
que converge para um ponto no conjunto X. Então X é limitado porque, caso não fosse, para cada n 2 N poderíamos encontrar uma sequência (xn) com termos em X
com jxnj > n. Logo, a sequência xn não possuiria subsequência limitada e não teríamos
subsequência convergente. Temos que X é fechado, caso contrário existiria um ponto a =2 X com lim xn = a, onde cada (xn) tem seus termos em X. A sequência (xn) não
possuiria nenhuma subsequência que convergisse para um ponto de X, pois todas as subsequências possuiriam limite a. Logo o conjunto X é compacto.
De…nição 1.2.22 Diz-se que a é ponto de acumulação à direita (à esquerda) do conjunto X R quando para todo " > 0 o intervalo (a; a + ") ((a "; a)) contém algum ponto de X diferente do próprio a.
De…nição 1.2.23 Diz-se que a é ponto de acumulação (bilateral) do conjunto X R quando toda vizinhança V de a contém algum ponto de X diferente do próprio a.
Denotaremos por X0 (X0
+; X0 ) o conjunto formado pelos pontos de acumulação (à
direita, à esquerda) de X:
O conjunto X0 formado pelos pontos de acumulação de um conjunto X é fechado.
Se a 2 X0; tomando para cada n natural " = 1
n, pode-se construir uma sequência (xn)
1.2. CONJUNTOS ABERTOS, FECHADOS E COMPACTOS
Observação 1.2.24 O conceito de continuidade e conjunto aberto, estão intimamente ligados: uma função é contínua se, e somente se, a imagem inversa de um conjunto aberto é um conjunto aberto; A imagem direta de um conjunta aberto (fechado, ou ainda compacto) é um conjunto aberto (fechado ou compacto). Estes resultados podem ser encontrados em [4, 5] e, veremos, alguns deles na próxima seção.
Corolário 1.2.25 Dadas f; g : X ! R contínuas, sejam Y = fx 2 X; f(x) < g(x)g e Z =fx 2 X; f(x) g(x)g: Existem A R aberto e F R fechado tais que Y = X \ A e Z = X \ F: Em particular, se X é aberto então Y é aberto e se X é fechado então Z é fechado.
Demonstração: Com efeito, pelo observação acima, para cada y 2 Y existe um intervalo aberto Iy;de centro y; tal que fyg X\Iy Y:Isto é y 2 X e y 2 (a ; a+ );
que resulta [y2Yfyg [y2Y(X \ Iy) Y; ou seja: Y X \ ([y2Y Iy) Y: Pondo
A = [y2Y Iy; o Teorema 1.2.16 assegura que A é um conjunto aberto. Além disso,
de Y X \ A Y resultando que Y = X \ A: Em relação ao conjunto Z temos Z = X fx 2 X; g(x) < f(x)g: Pelo que acabamos de observar, existe B R aberto tal que Z = X (X \ B) = X \ (R B): Pelo Teorema 1.2.15, F = R B é fechado e consequentemente Z = X \ F:
Teorema 1.2.26 Dada uma sequência decrescente I1 I2 I3 In de
intervalos limitados e fechados In = [an; bn]; existe pelo menos um número real c tal que
c2 In para todo n 2 N:
Demonstração: Note que a sequência de intervalos encaixados In In+1; com
n 2 N; signi…ca que a1 a2 a3 an bn b3 b2 b1. Veja
que o conjunto A = fa1; a2; a3; :::; an; :::g é limitado superiormente por b1 2 R: Seja
c = sup A: Consequentemente an c para todo n 2 N: Além disso, como cada bn é
uma cota superior de A, logo c bn para todo n 2 N: Portanto c 2 In qualquer que
seja n 2 N:
De…nição 1.2.27 Uma cisão de um conjunto X R é uma decomposição X = A [ B tal que A \ B = ? e A \ B = ?, isto é, nenhum ponto de A é aderente a B e nenhum ponto de B é aderente a A.(Em particular, A e B são disjuntos.) A decomposição X = X[ ? chama-se cisão trivial.
1.3. FUNÇÕES CONTÍNUAS
Demonstração: Vamos supor que um intervalo I admita uma cisão não trivial, ou seja I = A [ B. Vamos considerar a 2 A, b 2 B, com a < b, então [a; b] I. Vamos tomar o ponto c, ponto médio do intervalo I, então c 2 A ou c 2 B. Caso c 2 A, vamos fazer a1 = c, b1 = b. Caso c 2 B, vamos escrever a1 = a, b1 = c. Em qualquer
um dos casos, vamos ter [a1; b1] [a; b], com b1 a1 = (b a)2 e a1 2 A, b1 2 B. Por
sua vez o ponto médio do intervalo [a1; b1] o decompõe em dois intervalos fechados
justapostos com comprimento (b a)4 . Vamos chamar um desses intervalos [a2; b2], tem
a2 2 A e b2 2 B. Prosseguindo analogamente,vamos obter uma sequência de intervalos
encaixados [a; b] [a1; b1] ::: [an; bn] com an bn = b a2n , an 2 A e bn 2 B
para todo n 2 N. Pelo Teorema 1.2.26, existe d 2 R tal que an d bn para todo
n2 N. O ponto d 2 I = A [ B, não pode estar em A pois d = lim bn2 B, também não
pode estar em B pois d = lim an2 A. Chegando assim a uma contradição.
1.3
Funções contínuas
Neste capítulo vamos relembrar a de…nição de funções contínuas e demonstrar alguns resultados importantes para conclusão deste trabalho.
De…nição 1.3.1 Uma função f : X R ! R é contínua no ponto a 2 X quando, para todo " > 0 dado arbitrariamente, pudermos achar > 0 tal que para todo x2 X \ (a ; a + ) implique em jf(x) f (a)j < ":
Proposição 1.3.2 Se f : X ! R é contínua em a 2 X; então f é limitada em uma vizinhança de a; isto é, existem k; > 0 tais que x 2 X \ (a ; a + ); implica em jf(x)j k:
Demonstração: Como f é contínua em a, então dado " > 0; podemos achar > 0 tal que, para todo x 2 X \ (a ; a + ) implique em jf(x) f (a)j < ". Note que
jf(x) f (a)j < " ) jf(x)j jf(a)j < " ) jf(x)j < " + jf(a)j:
Tomando k = " + jf(a)j, para todo x 2 X \ (a ; a + ) com jx aj < ; temos que jf(x)j < k:
1.3. FUNÇÕES CONTÍNUAS
Teorema 1.3.3 Se f; g : X ! R são funções contínuas no ponto a 2 X; então f + g; f g e f:g são contínuas nesse mesmo ponto. Se g 6= 0; então fg também é contínua no ponto a:
Demonstração: Por hipótese f e g são contínuas, então dado " > 0; podemos achar
1; 2 > 0;tais que x 2 X\(a 1; a+ 1)implica jf(x) f(a)j < "2 e x 2 X\(a 2; a+ 2)
implica jg(x) g(a)j < "
2: Tomando = minf 1; 2g temos:
j(f(x) + g(x)) (f (a) + g(a))j = jf(x) + g(x) f (a) g(a)j =jf(x) f (a) + g(x) g(a)j jf(x) f (a)j + jg(x) g(a)j < " 2 + " 2 = ":
Logo f + g é contínua. O caso f g é análogo.
Mostremos agora que a função produto f g também é contínua em a: Dado " > 0; podemos achar 1 > 0; tal que se x 2 X \ (a 1; a + 1) implica em jf(x) f (a)j
< "
2jg(a)j: Pela proposição anterior, existem k 2 R e 3 > 0 tais que, para todo
x2 X \ (a 3; a + 3)2 X tem-se jf(x)j k. Da continuidade da função g, para o "
dado, podemos achar 2 > 0tal que se x 2 X \ (a 2; a + 2)implica em jg(x) g(a)j
< 2k".
Tomando = minf 1; 2; 3g; temos:
j(fg)(x) (f g)(a)j = jf(x)g(x) f (a)g(a)j
=jf(x)g(x) f (x)g(a) + f (x)g(a) f (a)g(a)j =jf(x)(g(x) g(a)) + g(a)(f (x) f (a))j
jf(x)(g(x) g(a))j + jg(a)(f(x) f (a))j =jf(x)j:jg(x) g(a)j + jg(a)j:jf(x) f (a)j < k " 2k +jg(a)j " 2jg(a)j = " 2 + " 2 = ":
1.3. FUNÇÕES CONTÍNUAS
f (x)
g(x) = f (x) 1 g(x):
Então pelo que acabamos de provar, precisaremos mostrar que g(x)1 é contínua. Vamos considerar o módulo 1 g(x) 1 g(a) = g(a) g(x) g(x)g(a) (1.1) = 1 jg(x)g(a)j:jg(x) g(a)j :
Como g é contínua, dado 0 < " < jg(a)j2 ; existe 1 > 0 tal que x 2 X \ (a 1; a + 1)
implica que jg(x) g(a)j < ": Veja também que
jg(a)j = jg(a) + g(x) g(x)j =jg(x) + g(a) g(x)j jg(x)j + jg(a) g(x)j =jg(x)j + jg(x) g(a)j <jg(x)j + jg(a)j 2 :
Isso implica que,
jg(x)j > jg(a)j jg(a)j2 > 2jg(a)j jg(a)j
2 = jg(a)j
2
para todo x 2 X \ (a 1; a + 1). Logo
1 jg(x)j <
2 jg(a)j;
1.3. FUNÇÕES CONTÍNUAS
para todo x 2 X \ (a 1; a + 1): Substituindo em (1.1), temos
1 g(x) 1 g(a) = 1 jg(x)g(a)jjg(x) g(a)j < 2 jg(a)j 1 jg(a)jjg(x) g(a)j = 2 jg(a)j2 jg(x) g(a)j
sempre que x 2 X \ (a 1; a + 1). Como g é contínua, pela proposição anterior, para
o " > 0 dado, existe 2 > 0 tal que se x 2 X \ (a 2; a + 2)implica em
jg(x) g(a)j < jg(a)j2": (1.2) Tomando = minf 1; 2g; as desigualdades de (1.1) e (1.2) são verdadeiras. Assim se
x2 X \ (a ; a + );temos que g(x)1 g(a)1 < "; isto signi…ca que g(x)1 é contínua em a e assim concluimos nossa demonstração.
Teorema 1.3.4 Sejam f; g : X ! R contínuas no ponto a 2 X; com f(a) < g(a): Existe > 0 tal que f (x) < g(x) para todo x2 X \ (a ; a + ):
Demonstração: Vamos tomar o ponto c = g(a)+f (a)2 que é ponto médio de f (a) e g(a); então tomando " = g(a) c = c f (a): Pela de…nição de continuidade, existem
1 > 0 e 2 > 0 tais que x 2 X
jx aj < 1 =) f(a) " < f (x) < f (a) + "
e
jx aj < 2 =) g(a) " < g(x) < g(a) + ":
Tomando = minf 1; 2g; temos que x 2 X,
jx aj < =) f(x) < c < g(x): Como queríamos demonstrar.
Teorema 1.3.5 Se f : X ! R é contínua e X é compacto, então f (X) é compacto. Demonstração: Seja (yn) uma sequência de ponto em f (X). Para cada n natural
1.4. FUNÇÕES DERIVÁVEIS
(xn) convergente em X. A subsequência (f (xnk)) = (ynk) de (yn) converge em f (X).
Segue do Teorema 1.2.21 que f (X) é compacto.
Teorema 1.3.6 (Weierstrass) Seja f : [a; b] ! R contínua no conjunto compacto X R: Existem x0; x1 2 X tais que f(x0) f (x) f (x1) para todo x2 X:
Demonstração: Segue facilmente do teorema anterior e do Teorema de Bolzano-Weierstrass:
O seguinte resultado é o mais importante desta seção:
Teorema 1.3.7 (Valor Intermediário) Seja f : [a; b] ! R contínua. Se f(a) < d < f (b) então existe c2 (a; b) tal que f(c) = d:
Demonstração: Vamos considerar os conjuntos X = fx 2 [a; b]; f(x) dg e Y = fx 2 [a; b]; f(x) dg: Pelo Corolário 1.2.28, X e Y são fechados, então X\ Y = X \ Y = X \ Y e mais, temos que [a; b] = X [ Y: Caso X \ Y = ? temos que X[ Y é uma cisão não trivial, contrariando o Teorema 1.2.25. Portanto, devemos ter X\ Y 6= ?. Logo, existe x 2 [a; b] tal que f (x) d e f (x) d, consequentemente, f (x) = d.
Como aplicação do resultado anterior, temos o
Teorema 1.3.8 (Ponto Fixo de Brouwer) Seja f : [a; b] ! R uma função contínua tal que f (a) a e b f (b): Nestas condições, existe pelo menos um número c 2 [a; b] tal que f (c) = c:
Demonstração: Com efeito, a função g : [a; b] ! R; de…nida por g(x) = x f (x); contínua com g(a) 0e g(b) 0:Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe c 2 [a; b] tal que g(c) = 0. Assim,
g(c) = c f (c) ) 0 = c f (c): Daí, f (c) = c.
1.4
Funções Deriváveis
Neste capítulo vamos de…nir função derivável e demonstrar resultados necessários para compreenção e conclusão deste trabalho.
1.4. FUNÇÕES DERIVÁVEIS
De…nição 1.4.1 Quando a 2 X \ X+0 (isto é, quando a é um ponto de acumulação à direita de X e pertence a X), podemos de…nir a derivada à direita da função f no ponto a; como sendo o limite (se existir):
f+0 (a) = lim x!a+ f (x) f (a) x a = lim h!0+ f (a + h) f (a) h :
De…nição 1.4.2 Quando a 2 X \ X+0 (isto é, quando a é um ponto de acumulação à esquerda de X e pertence a X), podemos de…nir a derivada à esquerda da função f no ponto a; como sendo o limite (se existir):
f0 (a) = lim x!a f (x) f (a) x a = lim h!0 f (a + h) f (a) h :
De…nição 1.4.3 Sejam X R, f : X ! R e a 2 X \ X0 (isto é, a é um ponto de
acumulação de x (à direita e à esquerda) pertencente a X). Diremos que f é derivável no ponto a quando existir o limite
f0(a) = lim
x!a
f (x) f (a) x a :
Observação 1.4.4 Se existir o limite acima, então ele será igual aos limites laterais. De…nição 1.4.5 Seja f uma função contínua em a: A reta tangente ao grá…co da função f no ponto (a; f (a)); (reta que toca apenas esse ponto no grá…co da função f ), é:
i) A reta y f (a) = m(x a); onde m é a inclinação da reta tangente ao eixo das abscissas,
m = lim
h!0
f (a + h) f (a) h
se este limite existir. ii) A reta é vertical se
lim
h!0
f (a + h) f (a)
1.4. FUNÇÕES DERIVÁVEIS ou lim h!0 f (a + h) f (a) h = 1
Teorema 1.4.6 Se f : X ! R é derivável à direita no ponto a 2 X \ X+0 com f+0 (a) > 0; então existe > 0 tal que x2 X; a < x < a + implicam f(a) < f(x): Demonstração: Temos da derivada à direita do ponto a; que
lim x!a+ [f (x) f (a)] x a = f 0 +(a) > 0:
Pela de…nição de limite à direita, tomando " = f0
+(a);obtemos > 0 tal que x 2 X;
a < x < a + ) [f (x) f (a)]x a > 0 ) f(a) < f(x):
O corolário abaixo, pode ser reescrito, no lugar da derivada a direita substituindo pela derivada a esquerda e a demonstração é análoga.
Corolário 1.4.7 Se f : X ! R é derivável à direita no ponto a 2 X \ X0
+ e tem aí
um máximo local então f0
+(a) 0:
Demonstração: Com efeito, se fosse f0
+(a) > 0então, pelo teorema anterior, teríamos
f (a) < f (x) para todo elemento x 2 X à direita e su…cientemente próximo de a; logo f não possuiria máximo local no ponto a.
O corolário acima é válido para a derivada a esquerda e sua demonstração é análoga. Corolário 1.4.8 Seja a 2 X um ponto de acumulação bilateral. Se f : X ! R é derivável no ponto a e possui aí um máximo ou mínimo local então f0(a) = 0:
Demonstração: Com efeito, pelo Corolário 1.4.7 temos f0
+(a) 0 e f0(a) 0:
Como f0(a) = f0
+(a) = f0(a); temos f0(a) = 0:
Teorema 1.4.9 (Darboux) Seja f : [a; b] ! R derivável. Se f0(a) < d < f0(b) então existe c 2 (a; b) tal que f0(c) = d:
Demonstração: Vamos supor primeiramente que d = 0. A função contínua f , pelo Teorema de Weierstrass, atinge seu menor valor em algum ponto c que pertence
1.4. FUNÇÕES DERIVÁVEIS
ao conjunto compacto [a; b]. Como f0(a) < 0, o Teorema 1.4.6 assegura que existe pontos x 2 (a; b) tais que f(x) < f(a), logo esse mínimo não é alcançado no ponto a, isto é, a < c: Por motivo semelhante tem-se c < b: Pelo último corolário, temos f0(c) = 0: O caso geral geral reduz-se a este considerando a função auxiliar
g(x) = f (x) dx: Então g0(x) = f0(x) d; onde g0(c) = 0 () f0(c) = d e
g0(a) < 0 < g0(b)() f0(a) < d < f0(b):
Uma aplicação bem conhecida de derivada é o seguinte resultado:
Teorema 1.4.10 (L’Hospital) Sejam f e g duas funções deriváveis em a 2 I. Se limx!af (x) = f (a) = 0 = g(a) = limx!ag (x), então existe limx!af (x)g(x).
Demonstração: Note que lim x!a f (x) g(x) = limx!a f (x) f (a) g (x) g (a) = lim x!a f (x) f (a) x a g(x) g(a) x a ! = limx!a f (x) f (a) x a
limx!a g(x) g(a)x a
= f
0(a)
g0(a):
Teorema 1.4.11 (Rolle) Seja f : [a; b] ! R contínua, com f(a) = f(b): Se f é derivável em (a; b) então existe c 2 (a; b) tal que f0(c) = 0
Demonstração: Temos pelo Teorema Weierstrass, que a função f atinge seu mínimo valor em m e seu máximo valor em M em pontos do intervalo [a; b]: Se esses pontos forem a e b então
m f (x); 8 x 2 [a; b] e
M f (x); 8 x 2 [a; b];
logo temos m = M e f será a função constante. Temos que f0(x) = 0 para qualquer
x 2 (a; b): Caso f não seja constante, então f admite ponto de máximo, ponto de mínimo ou os dois. Digamos que um desses pontos é c. Então, o Corolário 1.4.8, garante que f0(c) = 0.
1.4. FUNÇÕES DERIVÁVEIS
Teorema 1.4.12 (Valor Médio de Lagrange) Seja f : [a; b] ! R contínua. Se f é derivável em (a; b); existe c 2 (a; b) tal que f0(c) = f (b) f (a)
b a :
Demonstração: Vamos considerar a função auxiliar g : [a; b] ! R de…nida por, g(x) = f (x) dx onde escolheremos d de tal forma que g(a) = g(b); ou seja
d = [f (b) f (a)] b a :
Observe que g satisfaz as condições do Teorema de Rolle, pois g é derivável e g (a) = g (b). Assim, Pelo Teorema de Rolle, existe c 2 (a; b) tal que g0(c) = 0 então
g0(x) = f0(x) d
) g0(c) = f0(c) d
) 0 = f0(c) d ) f0(c) = d:
Teorema 1.4.13 Seja f contínua no intervalo I R:
a) Se f0(x) > 0 para todo x interior a I, então f será estritamente crescente em I.
b) Se f0(x) < 0 para todo x interior a I, então f será estritamente decrescente em I.
Demonstração: Sejam a; b 2 I; com a < b: Pela hipótese f é contínua em [a; b] e derivável em (a; b), pelo Teorema Valor Médio de Lagrange existe x 2 (a; b) tal que
f (b) f (a) = f0(x)(b a):
De f0(x) > 0, temos b a > 0, segue que
f (b) f (a) > 0 ) f(a) < f(b):
Portanto, para todo a; b 2 I; com a < b implica f(a) < f(b): O caso b) é análogo. Seja f derivável no intervalo aberto I R e seja a 2 I: A reta tangente que toca no grá…co da função f no ponto (a; f (a)) é
y f (a) = f0(a)(x a)
1.4. FUNÇÕES DERIVÁVEIS
Então, vamos representar a função da reta tangente por T (x) = f (a) + f0(a)(x a):
De…nição 1.4.14 Dizemos que a função f possui concavidade para cima no intervalo aberto I R se f(x) > T(x), quaisquer que sejam x, a 2 I; com x 6= a:
De…nição 1.4.15 Dizemos que a função f possui concavidade para baixo no intervalo aberto I R se f(x) < T(x), quaisquer que sejam x, a 2 I; com x 6= a:
Teorema 1.4.16 Seja f uma função que admite derivada até 2a ordem no intervalo
aberto I R:
a) Se f”(x) > 0 em I, então f terá a concavidade para cima em I. b) Se f”(x) < 0 em I, então f terá a concavidade para baixo em I.
Demonstração: a) Seja a 2 I, precisamos provar que, para todo x 2 I; com x 6= a f (x) > T (x);
onde T (x) = f (a) + f0(a)(x a).
Vamos considerar a função g(x) = f (x) T (x), com x 2 I. Precisamos provar que para todo x 2 I, com x 6= a:
g(x) > 0;
derivando g e T; em relação a x; temos:
g0(x) = f0(x) T0(x) T0(x) = f0(a):
Disso, temos
g0(x) = f0(x) f0(a);
para todo x 2 I:
Pela hipótese f00(x) > 0, então f00(a) > 0 f00(a) = f+00(a)
= lim
x!a+
f0(x) f0(a)
1.4. FUNÇÕES DERIVÁVEIS
como x ! a+, então x a > 0, implica que
f0(x) f0(a) > 0 ) f0(x) > f0(a) ) g0(x) > 0 para x > a. De f00(a) > 0 f00(a) = f00(a) = lim x!a f0(x) f0(a) x a
como x ! a , então x a < 0, implica que
f0(x) f0(a) < 0 ) f0(x) < f0(a) ) g0(x) < 0 para x < a. g0(x) > 0; para x > a g0(x) < 0; para x < a:
Segue que g é estritamente decrescente para todo x 2 I; com x < a e g é estritamente crescente para todo x 2 I, com x > a: Note, que g(a) = 0, pois
g(x) = f (x) T (x)
) g(x) = f(x) [f (a) + f0(a)(x a)]
) g(a) = f(a) f (a) f0(a)(a a)
) g(a) = f(a) f (a) ) g(a) = 0:
Capítulo 2
Aproximações polinômiais
Os polinômios são funções simples, contínuas, deriváveis e são estudadas há muito tempo. De acordo com [2] "as exigências do comércio determinaram o desenvolvimento de uma classe especial de escribas que recebiam treinamento formal em matemática, aritmética, equações lineares em duas ou mais variáveis, equações do segundo grau ...)". Foram encontradas placas de argila com esses conteúdos matemáticos de períodos antes de Cristo, que evidência a facilidade de trabalhar com esse tipo de função.
2.1
Polinômio de Taylor
2.1.1
Aproximação linear
Ocorre uma Aproximação linear, quando aproximamos de uma função f : I ! R no ponto x0; pela reta tangente ao ponto (x0; f (x0)) : Quando os valores de x estão
su…cientemente próximos de x0;os valores de y = f (x) são utilizados como aproximações
dos valores da função f: Vamos mostrar que o polinômio de grau 1 (função a…m) é o que melhor se aproxima da função f; que é a reta tangente ao grá…co da função f e esse polinômio é único. Esta seção foi baseada em [3].
Seja a função f : I ! R derivável no ponto x0 e uma função T dada por
T (x) = f (x0) + f0(x0)(x x0);
onde o grá…co da função T é a reta tangente ao grá…co de f no ponto x0. A reta T toca
na curva do grá…co da função f apenas no ponto (x0;f (x0)):A reta tangente
2.1. POLINÔMIO DE TAYLOR
obtido pela diferença entre o valor da função f e o valor da reta tangente T próximo de x0, esse erro é muito pequeno. De fato, o erro é dado por E (x) = f (x) T (x). Assim,
para x 6= x0; temos:
E (x) = f (x) T (x)
E (x) = f (x) f (x0) f0(x0)(x x0):
Para x no domínio da função f , temos que E(x) é o erro que cometemos ao nos aproximarmos da função f pela reta T . O erro dessa aproximação é a diferença entre o valor da função f para pontos pertos de x0 e o valor de T para pontos pertos de x0,
com x no domínio da função f e x 6= x0. Dividindo ambos os lados da igualdade por
x x0; obtemos: E(x) x x0 = f (x) f (x0) f 0(x 0)(x x0) x x0 = f (x) f (x0) x x0 f0(x0):
Fazendo x tender a x0; em ambos os lados da igualdade,
lim x!x0 E(x) x x0 = lim x!x0 f (x) f (x0) x x0 f0(x0) = lim x!x0 f (x) f (x0) x x0 lim x!x0 f0(x0) = f0(x0) f0(x0) = 0:
Observe que, quando x ! x0;o erro E(x) tende para zero mais rápido que x x0:
A função
T (x) = f (x0) + f0(x0)(x x0);
é a única função a…m que goza da propriedade de o erro tender a zero mais rápido que (x x0): Isto quer dizer que quando aplicamos o polinômio para valores cada
vez mais próximos de x0; temos que os valores do polinômio nesses pontos possuem
uma aproximação cada vez melhor da função nesses pontos, onde o erro que ocorre é desprezível. De fato, seja uma função a…m
2.1. POLINÔMIO DE TAYLOR
y y0 = m(x x0) + E1
) y = y0+ m(x x0) + E1;
onde E1 é o erro da aproximação passando pelo ponto (x0; f (x0)): Temos que:
y = f (x) y0 = f (x0)
f (x) = f (x0) + m(x x0) + E1(x);
para todo x no domínio da f . Dividindo tudo por (x x0), temos: f (x) x x0 = f (x0) x x0 + m(x x0) (x x0) + E1(x) (x x0) ) x xf (x)0 = f (x0) x x0 + m + E1(x) (x x0) ) m = f (x) f (x0) x x0 E1(x) (x x0):
Fazendo x tender a x0;temos:
limx!x0m = limx!x0hf (x) f (x0) (x x0) E1(x) (x x0) i ) m = limx!x0 f (x) f (x0) (x x0) limx!x0 E1(x) (x x0) ) m = limx!x0 f (x) f (x0) (x x0) 0 ) m = limx!x0 f (x) f (x0) (x x0) ) m = f0(x0): Quando f é derivável em x0; T (x) = f (x0) + m(x x0) ) T (x) = f(x0) + f0(x0)(x x0)
é a única função a…m que possui a melhor aproximação local da função f em volta de x0:
Essa função T acima é uma função polinômial de grau no máximo 1, quando f (x) 6= 0 a função será de grau 1. Logo, T é o polinômio que possui o grau no máximo 1 que possui a melhor aproximação local para a função f em volta de x0:
2.1. POLINÔMIO DE TAYLOR
os valores das derivadas das funções f e T no ponto x0. De fato,
T (x) = f (x0) + f0(x0)(x x0)
) T (x0) = f (x0) + f0(x0)(x0 x0)
) T (x0) = f (x0) + f0(x0)(0)
) T (x0) = f (x0):
Derivando T em função de x, temos:
T (x) = f (x0) + f0(x0)(x x0)
) T0(x) = 0 + f0(x 0)1
) T0(x) = f0(x 0):
Aplicando a derivada de T no ponto x0, temos:
T0(x) = f0(x0)
) T0(x
0) = f0(x0);
para valores de x su…cientemente próximo de x0; T (x) está próximo a f (x) : Logo T é
a reta que melhor se aproxima da f no ponto (x0; f (x0)):
2.1.2
Polinômio de Taylor de Grau 2
Observamos que o polinômio de ordem 1; que coincide com a reta tangente a f em x0, possui os valores próximos a função f , quando x se aproxima de x0:
Agora vamos supor que a função f seja derivável duas vezes no intervalo I e o ponto x0 pertença a este intervalo. Vamos encontrar um polinômio P; que possua o grau no
máximo 2 e que possua os valores iguais com f no ponto x0; na primeira derivada no
ponto x0 e na segunda derivada no ponto x0. Devemos encontrar um polinômio, tal
que:
f (x0) = P (x0)
f0(x0) = P0(x0)
2.1. POLINÔMIO DE TAYLOR
O Polinômio que possui o grau no máximo 2 é do tipo: P (x) = A0+ A1(x x0) + A2(x x0)2:
Aplicando o polinômio acima no ponto x0, temos:
P (x0) = A0+ A1(x0 x0) + A2(x0 x0)2
) P (x0) = A0+ A1(0) + A2(0)2
) P (x0) = A0:
Como P (x0) = f (x0);temos que A0 = f (x0).
Derivando P em função de x, temos
P0(x) = A1+ 2A2(x x0):
Aplicando derivada de 1a ordem de P em x
0, temos P0(x0) = A1+ 2A2(x0 x0) P0(x0) = A1+ 2A2(0) P0(x0) = A1: Como P0(x 0) = f0(x0); temos que A1 = f0(x0).
Derivando P0 em relação a x, temos
P00(x) = 2A2: Como P00(x 0) = f00(x0); temos que f00(x0) = 2A2 A2 = f00(x 0) 2 :
O polinômio que procuramos é da forma
2.1. POLINÔMIO DE TAYLOR
Substituindo os valores encontrados acima, obtemos o polinômio desejado: P (x) = f (x0) + f0(x0)(x x0) +
f00(x 0)
2 (x x0)
2;
O polinômio P de grau 2; toca na curva da função f no ponto (x0;f (x0)):Quando
a curva de P aproxima-se da função f em torno do ponto (x0; f (x0)) ;cometemos um
erro que é obtido pela diferença entre o valor da função f e o valor do polinômio aplicado próximo de x0; esse erro é muito pequeno. De fato, o erro é dado por
E (x) = f (x) P (x) : Assim para x 6= x0; temos:
E(x) = f (x) P (x)
) E(x) = f(x) f (x0) f0(x0)(x x0) f
00(x0)
2 (x x0) 2:
Dividindo ambos os lados da igualdade por x x0; obtemos:
E(x) x x0 = f (x) f (x0) f 0(x 0)(x x0) f 00(x0) 2 (x x0) 2 x x0
fazendo x tender a x0, em ambos os lados da igualdade, temos:
lim x!x0 ( E(x) x x0 ) = lim x!x0 (f (x) f (x0) f 0(x 0)(x x0) f 00(x0) 2 (x x0) 2 x x0 ) = lim x!x0 (f (x) f (x0) x x0 ) lim x!x0 (f 0(x 0)(x x0) x x0 ) lim x!x0 ( f00(x0) 2 (x x0) 2 x x0 ) = f0(x0) lim x!x0 f0(x0) lim x!x0 f00(x 0) 2 (x x0) = f0(x0) f0(x0) f00(x0) 2 (x0 x0) = 0 f 00(x 0) 2 (0) = 0 0 = 0: Como f00(x
0) = P00(x0); quando f (x0) 6= 0 e f00 for contínua no ponto x0; os grá…cos
das funções f e P vão possuir as concavidades no mesmo sentido. Então, para valores de x su…cientemente próximos de x0; P possui uma melhor aproximação que a reta T;
Capítulo 3
Fórmula de Taylor
Lema 3.0.1 Seja a função r : J ! R n vezes derivável no ponto 0 2 J: A …m de que seja r(i)(0) = 0 para i = 0; 1; 2; :::; n; é necessário e su…ciente que lim
h!0 r(h)hn = 0:
Demonstração: Vamos supor primeiro que as derivadas de r no ponto 0 sejam iguais a zero até a ordem n: Para provar que limh!0 r(h)hn = 0, faremos indução em n:
Para n = 1; signi…ca que temos r(0) = r0(0) = 0: Então
lim h!0 r(h) h = limh!0 r(h) r(0) h = r0(0) = 0:
Suponhamos, por hipótese de indução, que o resultado é verdadeiro para n 1: Agora, se r(i)(0) = 0 para i = 0; 1; 2; :::; n, da hipótese de indução segue que
lim
h!0
r (h)
hn 1 = 0: (3.1)
Pelo Teorema do Valor Médio, para todo h 6= 0; existirá x no intervalo fechado de extremos h e 0; tal que
r0(x) = r (h) r (0) h
Segue que r (h) hn = r0(x) h hn (3.2) = r 0(x) hn 1 : Note que r0(x) hn 1 = r0(x) xn 1 x h n 1 ; (3.3)
onde xh n 1 < 1. De (3.1), para qualquer " > 0 existe > 0 tal que r0(h)
hn 1 < " (3.4)
sempre que h 2 ( ; ). Como 0 < jxj < jhj, de (3.2), (3.3) e (3.4) temos r (h) hn = r0(x) xn 1 x h n 1 < ": Portanto limh!0 r(h)hn = 0:
Vamos provar a recíproca. Agora vamos supor que lim
h!0(
r(h) hn ) = 0:
Novamente, façamos indução em n: Para n = 1 temos r (0) = lim h!0r (h) = lim h!0 r (h) h h = lim h!0 r (h) h h!0limh = 0:
e r0(0) = lim h!0 r (h + 0) r (0) h 0 = lim h!0 r (h) 0 h = lim h!0 r (h) h = 0:
Portanto o teorema é válido no caso n = 1: Suponhamos, por hipótese de indução, que a recíproca do teorema é válida para n 1e seja r n vezes derivável no ponto zero com limh!0 r(h)hn = 0. Usaremos a seguinte função auxiliar : J ! R dada por
(h) = r(h) r
(n)(0)
n! h
n: (3.5)
Como r e hn são n vezes deriváveis, temos que é n vezes derivável. Note que
lim h!0 (h) hn 1 = limh!0 r(h) r(n)n!(0)hn hn 1 = lim h!0 r(h) hn 1 r(n)(0) n! h = lim h!0 r(h) hn 1 h!0lim r(n)(0) n! h = lim h!0 r(h) hn :h r(n)(0) n! h!0limh = 0:
Pela hipótese de indução,
(0) = 0(0) = = (n 1)(0) = 0: (3.6) Segue de (3.5) e (3.6) que
3.1. FÓRMULA DE TAYLOR INFINITESIMAL Note que (n)(0) = lim h!0 (n 1)(h 0) (n 1)(0) h = lim h!0 (n 1)(h) h = 0
Temos então que : J ! R é n vezes derivável no ponto 0 2 J e (i)(0) = 0 para
i = 0; 1; 2; :::; n: Pelo que já foi provado, temos que lim h!0 (h) hn = 0: De (3.5), segue que (h) hn = r(h) hn r(n)(0) n! :
Fazendo h ! 0; temos r(n)(0) = 0; como queríamos demonstrar.
3.1
Fórmula de Taylor in…nitesimal
Teorema 3.1.1 Seja f : I ! R n vezes derivável no ponto a 2 I: A função r : J ! R; de…nida no intervalo J = fh 2 R; a + h 2 Ig pela igualdade
f (a + h) = f (a) + f0(a):h +f 00(a) 2 :h 2+ +f (n)(a) n! :h n+ r(h)
cumpre limh!0 r(h)hn = 0: Reciprocamente, se p(h) é um polinômio de grau menor ou
igual do que n tal que r(h) = f (a + h) p(h) cumpre limh!0 r(h)hn = 0 então p(h) é o
polinômio de Taylor de ordem n de f no ponto a; isto é,
p(h) = n X i=0 f(i)(a) i! :h i:
Demonstração: A função r; de…nida pela fórmula de Taylor, é n vezes derivável no ponto 0 e possui derivadas iguais a 0 nesse ponto , até a ordem n: Logo, pelo lema, vale o limh!0 r(h)hn = 0: Reciprocamente, se r(h) = f (a + h) p(h)é tal que limh!0
r(h) hn = 0
então novamente pelo lema, as derivadas de r no ponto 0 são iguais a 0 até a ordem n; temos p(i)(0) = f(i)(a) para i = 0; 1; 2; :::; n; ou seja, p(h) é o polinômio de Taylor de
3.2. FÓRMULA DE TAYLOR COM RESTO DE LAGRANGE
ordem n da função f no ponto a:
3.2
Fórmula de Taylor com Resto de Lagrange
Teorema 3.2.1 Seja f : [a; b] ! R n vezes derivável no intervalo aberto (a; b); com f(n 1)
contínua em [a; b]: Existe c 2 (a; b) tal que f (b) = f (a) + f0(a)(b a) + +f (n 1)(a) (n 1)! (b a) n 1+ f (n)(c) n! (b a) n:
Pondo b = a + h; isto quer dizer que existe ; com 0 < < 1; tal que , f (a + h) = f (a) + f0(a)(a + h a) + + f (n 1)(a) (n 1)! (a + h a) n 1 +f (n)(c) n! (a + h a) n
) f(a + h) = f(a) + f0(a)(0 + h) + +f
(n 1)(a)
(n 1)! (0 + h)
n 1+f(n)(c)
n! (0 + h)
n
) f(a + h) = f(a) + f0(a):h + +f
(n 1)(a)
(n 1)! :h
n 1+ f(n)(a + h)
n! :h
n:
Demonstração: Seja ' : [a; b] ! R de…nida por
'(x) = f (b) f (x) f0(x)(b x) f 00(x) 2! (b x) f(n 1)(x) (n 1)! (b x) n 1 k n!(b x) n ;
3.2. FÓRMULA DE TAYLOR COM RESTO DE LAGRANGE
em (a; b); com '(a) = '(b) = 0: Derivando '(x) em relação a x; temos '0(x) = 0 f0(x) f00(x)(b x) + f0(x) f 000(x) 2! (b x) 2+ 2f00(x) 2! (b x) f(4)(x) 3! (b x) 3+ +3f 000(x) 3! (b x) 2 f(n)(x) (n 1)!(b x) n 1+(n 1)f(n 1)(x) (n 1)! (b x) n 2+nk n!(b x) n 1 = f0(x) f00(x)(b x) + f0(x) f 000(x) 2! (b x) 2 + f00(x)(b x) f (4)(x) 3! (b x) 3 + f000(x) 2! (b x) 2 f(n)(x) (n 1)!(b x) n 1 +f (n 1)(x) (n 2)! (b x) n 2 + k (n 1)!(b x) n 1 = f (n)(x) (n 1)!(b x) n 1+ k (n 1)!(b x) n 1 = k (n 1)!(b x) n 1 f(n)(x) (n 1)!(b x) n 1 = k f (n)(x) (n 1)! (b x) n 1 :
Pelo Teorema de Rolle existe c 2 (a; b) tal que '0(c) = 0: Isto signi…ca que k = f(n)(c):
Obtemos a Fórmula de Taylor fazendo x = a na de…nição de ' e claro lembrando que '(a) = 0:
Referências Bibliográ…cas
[1] BERLINGOFF, William P.; GOUVÊA, Fernando Q.. A matemática através dos tempos: um guia fácil e prático para professores e entusiastas. tradução de Elza F. Gomide e Helena Castro. São Paulo: Edgard Blücher, 2008.
[2] CAJORE, Florian. Uma História da Matemática. Tradução de Lázaro Coutinho. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2007.
[3] GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cáculo. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008.
[4] LIMA, Elon Lages. Análise real: funções de uma variável. 11. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2011.
