calculo aula2.5[1]

Limites e Derivadas (Aula 5/6)

Faculdade de Sistemas de Informação - UFPA Disciplina de Cálculo Computacional I

Introdução

  Muitas vezes observamos que o limite de uma função f(x) quando x tende a a pode ser encontrado calculando-se diretamente o valor f(a);

  Exemplo:

  Funções com essa propriedade são ditas contínuas em a;

€

f (x) = x

− x + 2

lim

f (x) = lim

(x

− x + 2) = 4 = f (2)

Continuidade

  Definição:

  Uma função é contínua em um número a se

  Por esta definição, temos que para ser contínua em a, três

condições devem ser satisfeitas:

1.  f(x) está definida em x=a (isto é, a pertence ao domínio de f(x)) 2.  existe 3. 

€

lim

f (x) = f (a)

€

lim

f (x)

€

lim

f (x) = f (a)

Descontinuidade

  Se

então f(x) é descontínua em a, ou f(x) tem uma

descontinuidade em a.

€

lim

Continuidade

  A figura mostra uma função y=f(x). Para que valores de x, f é descontínua? Por quê?

Continuidade

  Resposta:

  Em x=1, a função não está definida;

  Para x tendendo a 3, temos que o limite não existe, pois os limites

laterais não são iguais;

Continuidade

  Interpretação física:

  Representa um processo que se desenvolve de forma gradual,

sem interrupções ou mudanças abruptas;

  Em geral, os fenômenos físicos são contínuos: distância ou

velocidade de um veículo ao longo do tempo; temperatura ao longo do dia; pressão atmosférica em função da altura; etc.

  Interpretação geométrica:

  A função é contínua em todo número dentro de um intervalo se

o gráfico nesse intervalo não se quebra;

  De forma simples, o gráfico deve ser desenhado sem que se

Continuidade

  Como encontrar as descontinuidades a partir da fórmula da função?

  Observe cada uma das seguintes funções:

  Esta função não é definida para x=2, então neste valor de x

tem-se uma descontinuidade.

€

a) f (x) =

x

− x − 2

x − 2

Continuidade

  Em x=2, a função está definida e o limite de x tendendo a 2

existe, pois   Entretanto

€

b) f (x) =

x

− x − 2

x − 2

se x ≠ 2

1 se x = 2

$

%

&

'

&

€

lim

x

− x − 2

x − 2

= lim

(x − 2)(x +1)

x − 2

= lim

(x +1) = 3

€

lim

f (x) = 3 ≠ f (2) = 1

Continuidade

  Para x tendendo a 0

  Ou seja, o limite não existe, portanto f(x) não é contínua em x=0

€

c) f (x) =

1

x

se x ≠ 0

1 se x = 0

#

$

%

&

%

€

lim

f (x) = lim

1

x

= ∞

Continuidade

  Quando x tende a qualquer valor inteiro n, o limite de f(x)=[[x]]

(função maior inteiro) não existe, pois

  Então f(x)=[[x]] é descontínua para todos os valores inteiros

€

d) f (x) = [[x]]

€

lim

Continuidade

  Para os casos a) e b) as descontinuidades são removíveis, pois podemos removê-las redefinindo f somente no número 2

Continuidade

  No caso de c) a descontinuidade é infinita, pois o limite não existe visto que f(x) tende a infinito.

Continuidade

  No caso de d) ocorre a descontinuidade em saltos, porque a função “salta” de um valor para outro.

Continuidade e Limites Laterais

  O conceito de continuidade pode ser aplicado as limites laterais. Segue as definições:

  Uma função f é contínua à direita em um número a se

  Uma função f é contínua à esquerda em um número a se

€

lim

f (x) = f (a)

€

lim

f (x) = f (a)

Continuidade e Limites Laterais

  Exemplo: a função maior inteiro é descontínua em todo número inteiro n. Além disso, é descontínua à esquerda, mas contínua à direita, pois

€

lim

x → n +

[[x]] = n = f (n)

lim

Contínua em um Intervalo

  Definição: Uma função f é contínua em um intervalo se for contínua em todos os números do intervalo.

  OBS: para as extremidades do intervalo, caso estes sejam

fechados, utiliza-se os limites laterais para a verificação continuidade.

Contínua em um Intervalo

  Exemplo: mostre é contínua no intervalo [-1, 1]

  Para -1<a<1:

€

lim

1 − 1 − x

(

)

= 1 − lim

1 − x

= 1 − lim

(1 − x

)

= 1 − 1 − lim

x

= 1 − 1 − a

= f (a)

€

f (x) = 1 − 1 − x

Contínua em um Intervalo

  De forma análoga, temos os limites laterais:

  Então f(x) é contínua em todo o intervalo [-1, 1]

€

lim f (x)

= 1 = f (−1) e lim f (x)

= 1 = f (1)

Continuidade de Combinações de Funções

  Se f e g forem funções contínuas em a e se c for uma constante, então as seguintes funções também são contínuas em a:

€

1. f + g 2. f − g 3. cf

4. fg 5.

f

Continuidade de Combinações de Funções

  Para a combinação (f+g)(x)

  Se f e g são contínuas em a, então

  E assim

€

lim

( f + g)(x) = lim

(

f (x) + g(x)

)

= lim

f (x) + lim

g(x)

= f (a) + g(a)

= ( f + g)(a)

€

lim

Continuidade de Combinações de Funções

  Exercício 1: demonstre as demais combinações de funções também são contínuas em a.

  Exercício 2: demonstre que funções polinomiais P(x) são contínuas.

P(x) = c_nxn_{+ c}

n-1xn-1 + ... c2x2 + c1x + c0

  Exercício 3: demonstre que funções racionais f(x) = P(x)/

Q(x)são contínuas quando Q(x)≠0, sendo P(x) e Q(x) funções

Continuidade de Funções Trigonométricas

  A figura a seguir apresenta a função f(x)=sen(x)

  Observando o gráfico da função seno, pode-se notar que esta função é contínua em todo o intervalo (-∞, +∞)

Continuidade de Funções Trigonométricas

  Assim, para todo -∞<a<+∞

  Observe que isto não vale para quando x cresce indefinidamente, ou seja, x tende a +/- infinito.

  Quando x cresce indefinidamente, a função seno fica variando entre -1 e +1, assim o limite desta função, quando x tende a +/- infinito, não existe.

€

lim

Continuidade de Funções Trigonométricas

  A função f(x)=cos(x) é apresentada na figura a seguir apresenta

  Assim como na função seno, pode-se notar que a função cosseno é contínua em todo o intervalo (-∞, +∞)

Continuidade de Funções Trigonométricas

  Então, para todo -∞<a<+∞

  Observe que isto não vale para quando x cresce indefinidamente, ou seja, x tende a +/- infinito.

  Quando x cresce indefinidamente, a função cosseno fica variando entre -1 e +1, assim o limite desta função, quando x tende a +/- infinito, não existe.

€

lim

Continuidade de Funções Trigonométricas

  A função tangente é definida como

  Usando a propriedade de que a divisão de duas funções continuas nos dá uma outra função contínua, sempre que o denominador seja diferente de zero, temos que tg(x) é contínua para todos os valores de seu domínio, D_tg={x∈R | x ≠ ±π/2, ±3π/2, ±5π/2, …}, ou seja, sempre que cos(x)≠0

€

tg(x) =

sen(x)

Continuidade de Funções Trigonométricas

  Para a ≠ ±π/2, ±3π/2, ±5π/2, …

€

lim

Continuidade de Funções Trigonométricas

  De forma geral, as funções trigonométricas (seno, cosseno, tangente, secante, cossecante e cotangente) são contínuas para todos os números de seu domínio.

  Exemplo: calcule o limite de quando x tende a π

€

lim

f (x) = lim

sen(x)

2 + cos(x)

=

lim

sen(x)

lim

(2 + cos(x))

=

sen(π)

2 + cos(π)

= f (π) =

0

2 −1

= 0

Continuidade de Funções Trigonométricas

  E qual o valor de ?

  Para calcular esse limite usaremos um argumento geométrico.

Considere que θ está entre 0 e π/2 como mostra a figura

€

lim

θ → 0

sen(θ)

Continuidade de Funções Trigonométricas

  Pela definição de seno de θ

|BC|=|OB|senθ=senθ

  Além disso, vemos no diagrama |BC|<|AB|<arc(AB)=θ

  Portanto

Continuidade de Funções Trigonométricas

  Além disso

θ=arc(AB) < |AE| + |EB|

<|AE| + |ED| = |AD| = |OA|.tg(θ) = tg(θ)

  Então θ < tgθ = sen(θ)/cos(θ)   Assim

€

cos

θ

<

sen

θ

θ

< 1

Continuidade de Funções Trigonométricas

  Usando o Teorema do Confronto

€

lim

cos

θ

< lim

sen

_θ

θ

< lim

1

1 < lim

sen

_θ

θ

< 1

lim

sen

_θ

θ

= 1

Continuidade de Funções Trigonométricas

€

lim

sen2x

x

€

lim

sen2x

x

= lim

2sen2x

2x

= 2lim

sen2x

2x

= 2.1 = 2

€

lim

sen5x

sen7x

€

lim

sen5x

sen7x

= lim

= lim

= lim

=

.1

1

=

5

7

Continuidade de Funções Exponenciais

  Funções exponenciais são definidas como

  Onde a base a é uma constante positiva. O gráfico deste tipo de função é apresentado a seguir:

€

Continuidade de Funções Exponenciais

€

lim

a

= a

lim

a

= +∞ lim

a

= 0

€

lim

a

= a

lim

a

= 0 lim

a

= +∞

€

lim

1

= 1 lim

1

= 1 lim

1

= 1

Continuidade de Funções Logarítmicas

  A função logarítmica é a inversa da função exponencial.

€

f (x) = log

_a

x = y ⇔ f

−1

(x) = a

y

= x

  As principais funções logarítmicas possuem base a>1 como mostra a figura ao lado.

Continuidade de Funções Logarítmicas

  Como pode ser observado, este tipo de função é contínua para todo número de seu domínio (-∞, +∞);

  Quando a base a>1

  Quando a base a<1

€

lim

x → b

log

x = log

b lim

log

x = −∞ lim

log

x = +∞

€

lim