Matemática D Semi-Extensivo V. 3

(1)

Matemática D – Semi-Extensivo – V. 3

01) C 4 2 1 3 4 6 F; F; F F = 4 + 2 + 1 = 7 A = 4 3 2 4 1 6 2 . + . + . A = 13 V + F = A + 2 V + 7 = 13 + 2 V = 8 02) C 20F₆;12F₅ F = 20 + 12 = 32 A = 20 6 12 5 2 . + . A = 90 V + F = A + 2 V + 32 = 90 + 2 V = 60 03) V = 29 x_F y_F 3; 6 ⇒ F = x + y x = y 2⇒ y = 2x A = 3 6 2 x+ y V + F = A + 2 29 + x + y = 3 6 2 x+ y_{+ 2} 58 2 2 2 3 6 4 2 + x+ y₌ x+ y+ 54 = x + 4y 54 = x + 4 . 2x 54 = 9x x = 6 y = 12 ⇒F = 18 04) V = 20 x_F y_F 3; 4 ⇒ F = x + y x = 2y A = 3 4 2 x+ y V + F = A + 2 20 + x + y = 3 4 2 x+ y_{+ 2} 40 2 2 2 3 4 4 2 + x+ y ₌ x+ y+ 36 = x + 2y 36 = 2y + 2y 36 = 4y y = 9; x = 18 F = 27 05) B V = 4 F = 4 A = 6

01. VVVVerdadeiraVerdadeiraerdadeiraerdadeira.erdadeira 02. VVVVerdadeiraVerdadeiraerdadeiraerdadeira.erdadeira

É regular. 04. FFFFFalsaalsaalsaalsaalsa.

É convexo, portanto obedece a relação de Euler: V + F = A + 2

4 + 4 = 6 + 2 08. VVVVerdadeiraVerdadeiraerdadeiraerdadeira.erdadeira

É regular. 16. FFFFFalsaalsaalsaalsaalsa.

É espacial. 32. VVVVVerdadeiraerdadeiraerdadeiraerdadeiraerdadeira.

06) Ângulo triédrico: de cada vértice partem 3 arestas. 10 ângulos triédricos ⇒ V = 10 A = 10 3 2 . A = 15 V + F = A + 2 10 + F = 15 + 2 F = 7 07) A = 15 x_F y_F 4; 5 ⇒ F = x + y S = 2880º 360º (V – 2) = 2880º V = 10 A = 4 5 2 x+ y 15 = 4 5 2 x+ y

Exercícios

(2)

2 Matemática D 4x + 5y = 30 (I) V + F = A + 2 10 + x + y = 15 + 2

x + y = 7 (II)

De (I) e (II), vem

x y x y + = + = ⎧ ⎨ ⎩ − 7 4 5 30 4 .( ) − − = − + = ⎧ ⎨ ⎩ ⊕ 4 4 28 4 5 30 x y x y y = 2; x = 5 5 quadrangulares e 2 pentagonais. 08) A V = 14 6 4 4 4 3 5 V; V; V A = 6 4 4 3 4 5 2 . + . + . A = 28 V + F = A + 2 14 + F = 28 + 2 F = 16 09) C A = V + 12 V + F = A + 2 V + F = V + 12 + 2 F = 14 10) C 2 1 6 5 3 4 F; F;xF;xF F = 2 + 1 + 2x F = 3 + 2x A = 2 6 1 5 3 4 2 . + . +x. +x. A = 17 7 2 + x S = 3600º 360º . (V – 2) = 3600º V = 12 V + F = A + 2 12 + 3 + 2x = 17 7 2 + x_{+ 2} 30 4 2 17 7 4 2 + x₌ + x+ 9 = 3x x = 3 ⇒ F = 3 + 2 . x = 3 + 6 = 9 11) C V = 10; xF3;yF4 P.A. (y, x, x + y) ⇒ x = y+ +x y 2 2x = 2y + x x = 2y A = 3 4 2 x+ y A = 3 2 4 2 . y+ y A = 10 2 y A = 5y V + F = A + 2 10 + x + y = 5y + 2 10 + 2y + y = 5y + 2 8 = 2y y = 4 A = 5 . 4 A = 20 12) V = 16; x_F y_F 6; 3 y = 2 3 . x A = 6 3 2 x+ y A = 6 3 2 3 2 x+ . x A = 8 2 x ⇒ A = 4x V + F = A + 2 16 + x + y = 4x + 2 16 + x + 2 3 x = 4x + 2 48 3 2 3 12 6 3 + x+ x ₌ x+ 42 = 7x x = 6 y = 2 3 . 6 y = 4 ⇒ F = x + y = 10 13) A Base: h = 3 sen 60º = 3

(3)

3 2 = 3 ⇒ = 2 S_B = 6 3 4 6 4 3 4 2 _{= .} = 6 3 V = S_B . h = 6 3 . 3 = 18 cm3 14) C V_permanece = 2 3 V_tanque V_retirado = 1 3 V_tanque = 1 3 . 4 . 0,9 = 1,2 m3 = 1200 L 15) E h = 3 S_L = V 2 2S_L = V 2 3 3 4 2 . .. . h= h 24 = ₃ = 24 3 3 3 . = 8 3 S_L = 3 . . h = 3 . 8 3 . 3 = 72 3 16) C h = 3 S_T = 80 S_L + 2S_B = 80 4 . h + 2 . 2_{= 80} 12 + 22_{– 80 = 0}÷₂ 2_{+ 6}_{– 40 = 0} ' = 4; " = −10 17) D h = 8 Base: tg 30º = 2 3 2 3 3 2 . = 2 3 ⇒ = 12 V = S_B . h V = 12 3 4 8 2 2 . _. V = 288 3 18) A Por exemplo: S_B = 20; h = 5 V = 20 . 5 = 100 S_B diminui 10% ⇒ S'_B = 18 h aumenta 20% ⇒ h' = 6 Novo volume: V' = 18 . 6 = 108 Aumentou 8%. 19) D h = 5 x = 4 S_B = (8 2) .4 2 + _{= 20} V = S_B . h = 20 . 5 = 100 20) C h = S_T = 2 . (6 + 3) S_L + 2S_B = 2 . (6 + 3)

(4)

4 Matemática D 3 . . h + 2 . 2 3 4 = 2 . (6 + 3) 3h2₊h2 3 2 = 12 + 2 3 6 3 2 2 2 h +h _{= 12 + 2} ₃ h2_{. (6 +} ₃_{) = 24 + 4} ₃ h2_{. (}₆₊ ₃₎₌₄_{. (}₆₊ ₃₎ h2_{= 4} h = 2 21) h = 9 Base: S_B = 1 2 . a . b . sen α S_B = 1 2 . 3 . 4 . 2 2 S_B = 3 2 V = S_B . h = 3 2 . 9 = 27 2 22) A Em ABC: ( 20)2_{= h}2_{+ 4}2 h = 2 V = S_B . h V = 3 4 2 . _{. 2} V = 12 m3 23) D

Na formação da cruz, o cubo central contribui com 2 faces e cada cubo externo contribui com 5 faces. Assim: 198 = 22S_quadrado S_quadrado = 9 a = 3 V_cubo = 33_{= 27} 24) a b c 2=3=5 = k a = 2k; b = 3k; c = 5k a2₊b2₊c2 2 _{10 38} 2

(

)

=

(

)

a2_{+ b}2_{+ c}2_{= 3800} 4k2_{+ 9k}2_{+ 25k}2_{= 3800} k2_{= 100} k = 10 a = 20; b = 30; c = 50 V = 20 . 30 . 50 = 30000 cm3 V = 30000 mL V = 30 litros 25) C S_T = 2 . (ab + ac + bc) S_T = 2 . (40 . 20 + 40 . 10 + 20 . 10) S_T = 2800 cm2 2% de 2800 = 56 cm2 Total de papelão = 2800 + 56 = 2856 cm2 26) C Se V = 1 m3_{, então:} a3_{= 1} a = 1 m

O volume da pedra é igual ao da água deslocada. (Paralelepípedo de dimensões 100, 100, 12) V_pedra = 100 . 100 . 12 = 120000 cm3 27) P.A. (x – 3, x, x + 3) S_T = 132 2. [(x – 3) . x + (x – 3) . (x + 3) + x . (x + 3)] = 132 x2_–_3x _{+ x}2_{– 9 + x}2₊_3x _{= 66} 3x2_{= 75} x2_{= 25} x = 5 Menor aresta: 5 – 3 = 2 28) D V = 60 35 . c = 60 c = 4

O maior segmento de reta que une dois pontos de um paralelepípedo é a sua diagonal.

d = 9+25+16

d = 50

(5)

29) A D = 3a 2 x2₊x2_{+ ( )}₂x2 _{= 3a} ₂ 6 2 2 x

( )

= (3a 2)2 6x2_{= 9 . a}2_{. 2} x2_{= 3a}2 x = a 3 Dimensões: a 3, a 3, 2a 3 S_T=2 . (a 3 . a 3 + a 3. 2a 3+a 3.2a 3) = = 2 . (3a2_{+ 6a}2_{+ 6a}2_{) =} = 30a2 30)

a) O volume retirado tem a forma de um paralelepí-pedo de dimensões xxxxx, xxxxx e 20. x . x . 20 = 128000 x2_{= 6400} x = 80 cm b) V = 803_{= 512000 cm}3_{= 512 litros} 31) 13

01. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto.

S = 2 2

2 . _{= 2}

02. IncorretoIncorretoIncorretoIncorretoIncorreto.

AD2= 22_{+ (} ₂₎2

AD = 6

04. CorretoCorretoCorretoCorreto.Correto

V = 3 . V_cubo = 3 . 13_{= 3}

16. IncorretoIncorretoIncorretoIncorreto.Incorreto

Perímetro = 2 + 2 2 32) PQ = a 2 S_PQRS = a . a 2 = a2 ₂ a2 ₂_{= 16} ₂ a = 4 V = 43_{= 64} 33) a b c 4=3=2 = k a = 4k; b = 3k; c = 2k V = 24 4k . 3k . 2k = 24 k3_{= 1} k = 1 a = 4; b = 3; c = 2 S_T = 2 . (4 . 3 + 4 . 2 + 3 . 2) S_T = 52 34) 05

Em ABC, temos:

(6)

6 Matemática D AC = 5 ⇒ S_AFC = 5 1 2 5 2 . =

Existem 6 caminhos: BGHE BGFE BCHE BCDE BAFE BADE 04. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto.

A menor distância é a diagonal.

AH = 12₊12₊22

AH = 6

V = 1 3 . S_B . H = 1 3 . 2 . 1 = 2 3

16. IncorretoIncorretoIncorretoIncorretoIncorreto. (Veja item 01.)

FA = HC = 1 FH = AC = 5 Assim: Perímetro = 1 + 1 + 5 + 5 = 2 + 2 5 35) DC = a 2 Perímetro_ABCD = 8(1 + 2) 2a + 2a 2 = 8(1 + 2) 2a . (1+ 2) = 8 . (1+ 2) a = 4 V = 43_{= 64} 36) E Cálculo AD AD = 1 2 AD = 2 Cálculo BC (BC)2₌ 1 2 2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + 1 2 2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ BC = 2 2 Cálculo AB (AB)2_{= 1}2₊ 1 2 2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ (AB) = 5 2 Cálculo de xxxxx x = 2 2 2 2 − ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞_⎠⎟⎟ x = 2 4 Cálculo altura (AB)2_{= x}2_{+ h}2 5 4 = 2 16 + h 2 20 16 = 2 16 16 2 + h 18 = 16 h2 h = 3 2 4 Cálculo área A = (B+b) .h 2

(7)

A = 2 2 2 + ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞_⎠⎟⎟ . 3 28 A = 6 8 + 6 16 A = 12 6 16 + ₌18 16 = 9 8 37) D 30 cm 50 cm 8 cm 8 cm 14 cm 34 cm 8 cm V = 34 . 14 . 8 V = 3808 cm3 38) A

I. IncorretaIncorretaIncorretaIncorretaIncorreta. S_L1 = 4 . 10 . 20 S_L1 = 800 cm2

S_L2 = 2 . π . 5 . 20 S_L2 = 628 cm2

II. CorretaCorretaCorretaCorretaCorreta. V₁ = 10 . 10 . 20 V₁ = 2000 cm3

V₂ = π . 52_{. 20}

V₂ = 1570 cm3

III.IncorretaIncorretaIncorretaIncorretaIncorreta. S_T1= S_L1 + S_B1 S_T1= 800 + 100 S_T1= 900 cm2 S_T2= 628 + 78,5 = 706,5 cm2 39) C R = 0,75 m V = 7065 litros = 7,065 m3 πR2_{. h = 7,065} 3,14 . 0,5625 . h = 7,065 h = 4 m 40) V = 63π π. R2_{h = 63}π 9 . h = 63 h = 7 41) D h = 15 R = 4 Retângulo S = 90 15x = 90 x = 6 Base Desnível d = R + y d = 4 + 7 42) S_L = V 10 2 10 2 π. .R h= π.R .h 20 = R 43) D h = 2R

(8)

8 Matemática D S = 64 2R . 2R = 64 R2_{= 16} R = 4 h = 8 S_L = 2π . 4 . 8 S_L = 64π 44) D Cilindro 1 h = 4 2πR = 6 R = 3 π V₁ = π . 9 2 π . 4 V₁ = 36 π Cilindro 2 h = 6 2πR = 4 R = 2 π V₂ = π . 4 2 π . 6 V₂ = 24 π Logo, 2V₁ = 3V₂. 45) C Cilindro equilátero: h = 2R h = 12 ⇒ R = 6 V = π . 36 . 12 V = 432π 46) D Cilindro I Raio: R Altura: h V_I =π. R2_{. h = 16}π R2_{. h = 16} _(*) S_T I= 2π . R . (h + R) Cilindro II Raio: R + R 2 = 3 2 R Altura: h S_L II= 2π. 3 2 R_{. h = 3}_π_Rh SLII= STI 3π. .R h=2π. .(R h+R) 3h = 2h + 2R h = 2R ⇒ R = h 2 Substituindo em (*), temos: R2_{. h = 16} h2 4 . h = 16 h3_{= 64} h = 4 47) C h = 2R V = πR2_h V = πR2_{. 2R} V = 2πR3 S_L = 2πRh S_L = π . h . h S_L = πh2 48) C Cilindro A h₁ = 2r₁ V_A = π r1 2 . h₁ V_A = π r1 2 . 2r₁ V_A = 2π r3₁ Cilindro B h₂ = 2r₂ V_B = 2π r2 3 Como r r 1 2 = 1 2 , temos: V V r r r r A B = = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ =⎛_⎝⎜ ⎞_⎠⎟ = 2 2 1 2 1 8 1 3 2 3 1 2 3 3 π π 49) A Secção meridiana 82_{= h}2_{+ h}2 2h2_{= 64} h2_{= 32} h = 4 2 R = 2 2 S V T = 2 2 2 4 2+2 2 = = 8 4 2 6 2 8 3 2 4 π π ( ) . . 50) C V = 432 mL = 432 cm3 h = 12 cm V = 432 π . R2_.₁₂₌₄₃₂ R2₌36 π

(9)

R = 6 π Comprimento C = 2π . 6 π = 12π π . π π C = 12 π 51) sen 60º = h 4 3 3 2 = h 4 3 h = 6 V = πR2_h V = π . 12 . 6 V = 72π 52) A Base inferior Base inferiorBase inferior Base inferior Base inferior S = π . (0, 3)2 S = 3, 14 . (0, 3)2 S = 0,2826 m2 Preço: 200 . 0,2826 = 56,52 Base superior

Base superiorBase superior Base superior Base superior S = 3,14 . (0, 3)2 S = 0,2826 m2 Preço: 100 . 0,2826 = 28,26 Superfície laterial

Superfície laterialSuperfície laterial Superfície laterial Superfície laterial S_L = 2 . 3,14 . 0,3 . 0,8 S_L = 1,5072 Preço: 100 . 1,5072 = 150,72 Custo total: 56,52 + 28,26 + 150,72 = 235,50 53) V_total = π . 22_{. 6} ₃_{= 24}π 3 V_sobra = 8π 3

Quando tivermos a máxima inclinação, o volume que sobra (8π 3) é igual à metade do volume do cilin-dro, cuja secção meridiana é ABCD.

π . .2 2 2 x_{= 8}_{π 3} x = 4 3 No triângulo ABC, tgα = x 4 tgα = 4 3 4 = 3 α = 60º 54) B

Para calcular o volume do líquido contido na garrafa, supondo que o fundo da garrafa seja plano e que o líquido ocupe o volume de um cilindro, o número de medições para esse cálculo é dois, ou seja, o diâme-tro da base e a altura do líquido.

(10)

10 Matemática D 55) C

Considere a garrafa nas posições 1 e 2 seguintes.

Sejam:

•V₁: volume do líquido contido na garrafa; •V₂: volume de "ar" contido na garrafa; •h: altura da coluna de líquido; •H_a: altura da coluna de "ar"; •d: diâmetro da base.

A capacidade da garrafa é V₁ + V₂.

Portanto são necessárias três medições, ou seja:

h, ddddd e h_a. 56) D 16 cm 10 cm 2 cm V_ci = π . 102_{. 16 = 1600}π_cm3 V_b = π . 23 Logo: 150 doces 57) R = 5 S_B = π . 52_{= 25}π 52_{= 3}2₊ x 2 2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ x = 8 S_secção = S_base 8h = 25π h = 25 8 π V = πR2_h V = π . 25 . 25 8 π₌625 8 2 π k = 16 125_π2 . V k = 16 125 625 8 2 2 5 ₂ π π . = 10 58) 26 r = 45 cm R = 50 cm

01. IncorretoIncorretoIncorretoIncorretoIncorreto. Distância ddddd d = 5 . (diâmetro externo) d = 5 . 100

02. CorretoCorretoCorretoCorreto. d = 5 . 100Correto 04. IncorretoIncorretoIncorretoIncorreto. Volume VIncorreto

Um tubo:

V = π . 502_{. 100 –}π_{. 45}2_{. 100}

V = 250000π – 202500π

(11)

Todos os tubos: V = 14 . 47500π 08. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto.

V = 14 . 47500π

16. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto. Altura hhhhh da pilha

Observe os 4 tubos centrais considerando R = 50. Altura de um dos triângulos equiláteros:

H = 3 2 H = 100 3 2 H = 50 3 Assim: h = 50 + 50 3 + 50 3 + 50 h = 100 + 100 3 h = 100 . ( 3 + 1) 32. IncorretoIncorretoIncorretoIncorretoIncorreto.

59) 07

S_T = 2 . (50 . 20 + 50 . 20 + 20 . 20) S_T = 4800 cm2

V = 50 . 20 . 16 = 16000 cm3_{= 16 litros}

20 . 20 . x = 16000 x = 40 cm

08. IncorretoIncorretoIncorretoIncorreto.Incorreto R = 10 h = 50

V = π . 100 . 50 V ≅ 3,14 . 100 . 50

V 15 . 700 cm3_{= 15,7 litros}

Esse cilindro não pode conter 16 litros. 60) 51

01. CorretoCorretoCorretoCorreto.Correto 02. CorretoCorretoCorretoCorreto.Correto

EM//HP

04. FFFFFalsoalsoalsoalsoalso.

EM2 = 36 + 9

EM = 3 5

08. FFFFFalsoalsoalsoalsoalso. É um tronco de prisma. 16. CorretoCorretoCorretoCorreto.Correto

S = (6 3 6)

2

+ _{= 27}

32. CorretoCorretoCorretoCorreto. A parte do cubo localizada acima de Correto _α tem volume igual a 1

4 do volume do cubo.

Então, a parte que está abaixo mede:

3 4

. V_cubo = 3

4

(12)

12 Matemática D 61) E V_{paralelepípedo} = 4 . 4 . 20 = 320 V_cilindro R h 2 2 2 20 2 2 2 =π =π . . = 40π V_hangar = 320 + 40π = 40 . (8 + π) 62) D 172_{= 8}2₊_EB2 EB = 15 S_B = 8 15 2 . _{= 60}

S_L = S_EDCB + S_EAFD + S_ABCF S_L = 15 . 14 + 8 . 14 + 17 . 14 S_L = 560 S_T = S_L + 2S_B= 560 + 120 = 680 63) B 2F₃;4F₅ F = 6 2 . 3 + 4 . 5 = 2A A = 13 V + F = A + 2 V + 6 = 13 + 2 V = 9

I. IncorretaIncorretaIncorretaIncorretaIncorreta. II. CorretaCorretaCorretaCorretaCorreta.

S = 360º (V – 2) = 360 . 7 = 28 . 90º III.CorretaCorretaCorretaCorretaCorreta.

IV. IncorretaIncorretaIncorretaIncorretaIncorreta. 64) D

Para fins de climatização, consideramos que a porta está fechada. Então a base é formada por um retân-gulo de área 4 . 8 = 32 e por um triânretân-gulo de área

8 3 2 . _{= 12.} Assim, S_B = 32 + 12 = 44 V_galpão = 44 Um condicionador: 220 m3 Três condicionadores: 660 m3 44 . = 660 = 15 65) E V_cilindro = π . R2_{. h =}π_{. 2}2_{. 10 = 40}π V_prisma = S_B . h = 6 3 4 2 . h V_prisma = 6 4 3 4 2 . _{. 10 = 240} ₃ V_prisma – V_cilindro = 240 3 – 40π 66) C V_F = V_i + 35 ab . (c + 1) = abc + 35 abc+ ab = abc + 35 ab = 35 (I) STF= STi+ 24 2. (ab + a . (c + 1) + b . (c + 1) = 2. (ab + ac + + bc) + 24 ab+ac+ +a bc+ =b ab+ac+bc+ 12 a + b = 12 (II) SLi = 96 2ac + 2bc =96 c . (a + b) = 48 Usando II, temos: c . 12 = 48 c = 4

Agora, utilizando I, obtemos: V = abc

V = 35 . 4 V = 140 m3