Escola Básica e Secundária Dr. Ângelo Augusto da Silva

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Teste de MATEMÁTICA A 12º Ano

1ª PARTE

Para cada uma das seguintes questões de escolha múltipla, seleccione a resposta correcta de entre as alternativas que lhe são apresentadas e escreva-a na sua folha de prova. Se apresentar mais do que uma resposta a questão será anulada, o mesmo acontecendo em caso de resposta ambígua.

1. Dos vinte e dois alunos presentes numa aula de matemática apenas vinte têm calculadora. Destes, catorze utilizam uma calculadora de marca Casio, e os outros seis, uma de marca Texas. Escolhidos, ao acaso, três dos vinte e dois alunos que estão presentes na aula, qual é a probabilidade destes estarem a utilizar calculadoras todas da mesma marca?

(A)

1

55

(B)

91

285

(C)

32

95

(D)

96

385

2. As funções

f

e

g

definidas por

f x

( )

=

e

x e

g x

( )

=

ln( )

x

encontram-se parcialmente representadas na figura. Sabe-se que:

• o ponto

A

pertence ao gráfico de

f

e ao eixo das ordenadas;

• o ponto

P

pertence ao gráfico de

g

e ao eixo das abcissas.

• O ponto

B

pertence ao gráfico de

g

e tem ordenada igual à do ponto

A

.

• O ponto

C

pertence ao gráfico de

f

, tem abcissa igual à do ponto

P

e ordenada igual à do ponto

D

.

Qual é a área do trapézio

[

ABCD

]

?

(A)

2

1

2

e

−

(B)

2

2

e

(C)

2

2

e

−

e

(D)

ln 2

2

e

−

3. Seja

w

uma função de domínio

\

+, estritamente crescente. Os eixos coordenados são assimptotas do gráfico de

w

. Seja

( )

x_n a sucessão de termo geral _{n n}

e

n

x

e

=

Indique o valor de

lim

w x

(

_n

)

(A)

−∞ (B)

0

(C)

1

(D)

+∞

Duração: 90 minutos Fevereiro/ 2010

Nome ________________________ Nº ___ T: __

Classificação

____________

O Prof.__________________ (Luís Abreu) f g A B C D O _P x y

Internet: www.xkmat.pt.to Página 2 de 4 4. Considere a função

h,

real de variável real, definida por 3

( )

x

h x

₌

e

− _. Qual dos seguintes pontos pertence ao gráfico da função

h

?

(A)

(

ln2,1

)

(B)

(

ln

2

,

2

e

3

)

(C)

(

ln 2, e

)

(D)

_⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 2 , 2 ln 3 e

5. Um produtor de gado da raça angus começou o seu negócio em 1990, com cem animais, tendo este número aumentado continuamente. No entanto, por diversas razões, não é possível suportar mais do que trezentos animais na sua produção.

Nestas condições, qual das expressões seguintes pode definir a função A que dá o número aproximado de cabeças de gado,

t

anos após o início de 1990?

(A)

2 0,2

21

100

t

t

e

+

(B)

350

_0,7

1 2,5

+

e

− t

(C)

0,7

300

1 2

+

e

− t

(D)

0,7

300

1 29

+

e

− t

2ª PARTE

Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando os cálculos efectuados e as justificações necessárias. Quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se o valor exacto.

1. O João e a irmã querem telefonar a um amigo.

Ele lembra-se de que o número de telefone do amigo começa por 99 e os restantes sete algarismos são: um 2, dois 5, dois 7, dois 8.

1.1. Quantos números existem nestas condições?

1.2. A irmã do João também se lembra de que o número de telefone do amigo começa por 99857.

Se eles digitarem os restantes algarismos ao acaso, qual é a probabilidade de acertarem à primeira tentativa? Apresente o resultado na forma de percentagem arredondado às unidades.

2. O Pedro está a iniciar-se na condução de motas de água. Nos treinos tem de fazer um determinado percurso, derrubando o menor número possível de obstáculos.

Admita que o número

N

de obstáculos derrubados pelo Pedro depende do número de horas de treino e é modelado por:

0,45

( )

3 12

t

N t

= + ×

e

− ,

t

em horas.

2.1. Qual o número de obstáculos que o Pedro derruba no início do treino?

2.2. Quanto tempo de treino deve ter o Pedro para diminuir em 60% o número de obstáculos derrubados? Apresente o resultado em horas e minutos. Minutos arredondados às unidades.

2.3. Admita que o modelo se mantém válido para um grande número de horas de treino. Será que o Pedro consegue efectuar o percurso sem derrubar obstáculos? Justifique.

Internet: www.xkmat.pt.to Página 3 de 4 3. Considere a função

f

, real de variável real, tal que:

2

( )

1 ln( )

f x

x

=

+

3.1. Mostre que o domínio da função

f

é o intervalo

]

0,

[

\

1

e

⎧ ⎫

+∞ ⎨ ⎬

⎩ ⎭

.

3.2. O gráfico de

f

admite uma assimptota vertical e uma horizontal. Determine as suas equações.

3.3. Recorrendo ao Teorema de Bolzano mostre que a equação

f x

( )

=

x

é possível no intervalo

⎡

_⎣

1, e

⎤

_⎦

.

3.4. Caracterize

_f

−1_{, função inversa de}

_f

_.

4. Considere a função

g

, real de variável real, definida por:

2 2 2 1 1 1 1 ( ) 1 2 2 1 1 x se x x g x se x x x se x x ⎧ + − > − ⎪ ₊ ⎪ ⎪ =_⎨ = − ⎪ ⎪ − − _{< −} ⎪ ₋ ⎩

Mostre que a função

g

é contínua em x=0, descontínua em x= −1, mas contínua à direita em x= −1.

5. Mostre que:

1

1

1

log

1

log

log

,

]1,

[

\ {1}

1

k k

a

k

a

e k

a

a

a

+

⎛

₊

⎞

₋

⎛

₋

⎞

₌

⎛

⎞

_{∀ ∈ +∞}

_∈

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

₋

⎟

⎝

⎠

⎝

⎠

⎝

⎠

\

Fim

Cotações: 1ª Parte 2ª Parte Questões 10 pontos cada questão 1.1. 1.2. 2.1. 2.2. 2.3. 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 4. 5. Pontos 10 15 10 15 10 10 20 10 15 25 10

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Formulário

Comprimento de um arco de circunferência

. (

r

α

α

−

amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; r – raio)

Áreas de figuras planas

Losango:

2

Diagonal maior Diagonal menor×

Trapézio:

2

Base maior Base menor Altura

+

×

Polígono regular: Semiperímetro

×

Apótema Sector circular: 2

2

r

α

(α – amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; r – raio)

Áreas de superfícies

Área lateral de um cone:

π

rg

(r – raio da base; g – geratriz)

Área de uma superfície esférica: 4

π

r

2

(r – raio)

Volumes

Pirâmide:

1

3

×

Área da base

×

Altura

Cone:

1

3

×

Área da base

×

Altura

Esfera:

4

3

3

π

r

(r – raio) Trigonometria

sen (a + b) = sen a .cos b + sen b. cos a cos (a + b) = cos a .cos b − sen a. sen b tg (a + b) =

1

.

tga tgb

tga tgb

+

−

Complexos ( )

ρ

cis

θ

n =

ρ

ncis n ( . )

θ

{

}

2

, k

0,...,n-1

n

_cis

n

_cis

k

n

θ

π

ρ

θ

=

ρ

+

∈

Probabilidades 1 1

...

n n

x p

x p

μ

=

+ +

2 2 1 1

(

x

)

p

... (

x

_n

)

p

_n

σ

=

−

μ

+ +

−

μ

Se

X

é

N(μ,σ)

, então:

(

)

0,6827

P

μ σ

− <

X

< +

μ σ

≈

(

2

2 )

0,9545

P

μ

−

σ

<

X

< +

μ

σ

≈

(

3

3 )

0,9973

P

μ

−

σ

<

X

< +

μ

σ

≈

Regras de Derivação

(

u v

+

)

′

= +

u

′

v

'

(

u×v

)

′

=

u ×v u×v

′

+

′

2

u

u ×v u×v

v

v

′

_′

₋

_′

⎛ ⎞ =

⎜ ⎟

⎝ ⎠

1 (un)′=n×un− ×u′ (n∈ \)

(

sen u

)

′

=

u ×

′

cos

u

(

cos

u

)

′

= −

u × sen u

′

(

)

₂ cos u tg u u ′ ′ =

( )

_e

u

′

₌

_{u ×e}

_′

u (au)′=u × a × a′ u ln (a∈ \+ \ {1})

(

ln

u

)

u

u

′

′ =

(log )

ln

a

u

u

u× a

′

′ =

(a∈ \+ \ {1}) Limites notáveis

1

lim 1

n

e

n

⎞

⎛ +

=

⎜

⎟

⎝

⎠

0

lim

1

x

x

sen x

→

=

0

1

lim

1

x x

e

x

→

−

₌

0

ln(

1)

lim

1

x

x

x

→

+

₌

ln

lim

0

x

x

x

→+∞

=

lim (p ) x p x e x → +∞ = + ∞ ∈ \

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Soluções

1ª Parte

1 2 3 4 5

D A A D C

2ª Parte

1.1.

7!

630

2! 2! 2!

× ×

=

ou

7 5 3 2 2 2

630

C

×

C

×

C

=

1.2.

1

4%

4!

≈

2.1. (0) 15

N

=

2.2. ( ) 0,4 (0)

N t

=

N

3 5 t≈ horas e minutos

2.3. lim ( ) 3

t→+∞

N t

= Não, no mínimo o Pedro derrubará 3 obstáculos.

3.1.

D

_f

{

x

:

x

0 1 ln( )

x

0} ]0,

[\

1

e

⎧ ⎫

=

∈

> ∧ +

≠

_{= +∞ ⎨ ⎬}

⎩ ⎭

\

3.2. Assimptota vertical

x

1

e

= ; Assimptota horizontal

y

=

0

3.4.

{ }

1 2 1 : \ 0 x ex f− − → \ \ 6