Efeitos quânticos envolvendo buracos negros

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Instituto de F´ısica

Trabalho de Conclus˜

ao de Curso

Efeitos quˆ

anticos envolvendo buracos negros

Samuel Motta De Paula Antunes

Niter´

oi-RJ

2019

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SAMUEL MOTTA DE PAULA ANTUNES

EFEITOS QU ˆANTICOS ENVOLVENDO BURACOS NEGROS

Monografia apresentada ao Departamento de F´ısica da Universidade Federal Fluminense, como requisito parcial para obten¸c˜ao do grau de Bacharel em F´ısica.

Orientadora: Profa_{. Dr}a_{. RAISSA FERNANDES PESSOA MENDES}

Niter´oi-RJ 2019

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Agradecimentos

Primeiramente gostaria de agradacer a Deus por me dar for¸cas e capacita¸cão nos piores momen-tos de estresse e ansiedade que passei ao longo do curso, onde fui capaz de superá-los. Em segundo lugar, gostaria de agradecer à minha fam´ılia que sempre me apoiou nas minhas decisões e nos momentos dif´ıceis, sou muito grato, em especial, ao meu pai (Cláudio), minha mãe (Mara), minha avó (Mar´ılia), minha avó (Mirtes) e meu avô (Agapito), nunca vou esquecer o que vocês fizeram, amo todos vocês. Agrade¸co também aos meus amigos mais próximos, dentre eles: Diógenes, Matheus, C´ıcero, Daniel, Igor, João Victor, Pedro e Fred que sempre alegraram meus dias. Gostaria de agradecer também a todos os professores da escola em que eu estudei, vocês me deram base, me ensinaram a ser humano e a ser um cidadão que respeite o próximo. Também quero agradecer aos meus amigos de viagem da gradua¸cão que ficaram até o fim comigo: Caio, Felipe e Bernardo, foi muito bom estar com vocês até o final, trocando ideias e tirando dúvidas, a maior prova que a união faz a for¸ca. Agrade¸co aos amigos que conheci no in´ıcio da gradua¸cão também: Igor, Sônia, Carol, João, Lucas, uma pena que não chegamos juntos até o final. Agrade¸co também ao meu querido amigo, Pedro Tristão, que sempre foi muito sol´ıcito com todas as minhas questões. Quero agradecer também à professora Raissa que sempre demonstrou muita paciência com todas as minhas dúvidas e demonstrou que além de ser uma ótima professora, é um ser humano incr´ıvel. Enfim, eu gostaria de escrever o nome de todas as pessoas que influenciaram positivamente minha vida até aqui, mas citei as que foram as mais importantes na etapa da gradua¸cão.

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Sum´

ario

Agradecimentos v Resumo viii Resumo ix 1 Introdu¸c˜ao 1 2 Relatividade Geral 5 2.1 Variedades . . . 5 2.2 Campos tensoriais . . . 6 2.2.1 Defini¸c˜ao . . . 6

2.2.2 Representa¸c˜ao das componentes . . . 6

2.3 Derivada covariante e transporte paralelo . . . 7

2.4 Curvatura . . . 11

2.5 Geod´esicas . . . 15

2.5.1 Comprimento pr´oprio . . . 15

2.5.2 Tempo pr´oprio . . . 15

2.6 Desvio geod´esico . . . 16

2.7 Equa¸c˜oes de campo de Einstein . . . 17

2.8 M´etrica de Schwarzschild e buracos negros . . . 19

3 Teoria Cl´assica de Campos 22 3.1 Defini¸c˜ao informal de campo . . . 22

3.2 Dinˆamica hamiltoniana . . . 22

3.3 Campos cl´assicos . . . 23

3.4 Generaliza¸c˜ao da a¸c˜ao para espa¸co-tempo curvo . . . 25

4 Teoria Quântica de Campos 27 4.1 Quantiza¸cão canônica de um campo escalar . . . 27

4.1.1 Oscilador harmˆonico simples . . . 27

4.1.2 Osciladores harmˆonicos quˆanticos . . . 28

4.1.3 Limite do cont´ınuo . . . 29

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4.2 Aproxima¸c˜ao de ordem normal . . . 32

5 Efeito Unruh 33 5.1 Efeito Unruh bidimensional . . . 33

5.2 Trajet´oria de um observador acelerado . . . 34

5.3 Campos quˆanticos em referenciais inerciais e acelerados . . . 37

5.4 Transforma¸c˜oes de Bogolyubov . . . 39

5.5 N´umero de ocupa¸c˜ao e temperatura de Unruh . . . 41

6 Radia¸c˜ao Hawking 43 6.1 Colapso gravitacional estelar bidimensional . . . 43

6.1.1 Espa¸co-tempo da casca . . . 43

6.1.2 Quantiza¸c˜ao de um campo escalar . . . 46

6.1.3 C´alculo do fluxo de energia no infinito . . . 48

6.2 Buracos negros eternos . . . 53

6.2.1 Buraco negro eterno bidimensional . . . 53

6.2.2 Termodinˆamica de buracos negros . . . 55

6.2.3 Leis da termodinˆamica para buracos negros . . . 56

7 Conclus˜ao 57

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Resumo

A Teoria Quântica de Campos em espa¸cos curvos estuda o comportamento dos campos quânticos sendo propagados num campo gravitacional clássico. Tanto a natureza quântica dos campos quanto os efeitos gravitacionais clássicos serão de suma importância para os fenômenos que iremos descrever. Note também que, para fazermos essa descri¸cão, a poss´ıvel natureza quântica da gravidade não é de crucial importˆ an-cia. A ideia central desse trabalho acadêmico é de falar sobre alguns efeitos quânticos descobertos no século XX. Iremos preparar o terreno para chegarmos no principal efeito a ser analisado, até chegarmos lá, revisaremos a parte de Relatividade Geral, Teoria Clássica de Campos para depois vermos um pouco de Teoria Quântica de Campos, analisando a quantiza¸cão do campo mais simples: o campo escalar. Após introduzirmos a quantiza¸cão dele, trataremos de alguns efeitos quânticos. Dentre esses efeitos, destaca-remos primeiramente o Efeito Unruh, que foi descoberto em 1976 pelo f´ısico canadense William George Unruh, onde um observador acelerado no espa¸co-tempo de Minkowski se sente imerso num banho térmico de part´ıculas. Outro efeito que iremos destacar nesse trabalho será o efeito descrito pelo f´ısico inglês Stephen Hawking em 1974, que descreve a radia¸cão emitida em forma de banho térmico de part´ıculas por buracos negros, sem necessariamente possu´ırem carga ou momento angular (acreditava-se que ape-nas buracos negros com momento angular e carga emitiriam radia¸cão), fazendo com que o horizonte de eventos deles se torne cada vez menor até que evaporem. O mais curioso é que a radia¸cão emitida por eles correponde perfeitamente à radia¸cão emitida por um corpo negro.

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Abstract

The Quantum Field Theory in curved spacetime study the behavior of the fields being propagated in a classical gravitational field. Both the quantum nature of the fields and the classical gravitational effects are of big importance for the effects that we are going to describe. It’s also important to say that to make this description, the possible quantum nature of gravity is not of crucial importance. The central idea in this academic work is to talk about some quantum effects discovered in the XX century. We will prepare the ground to get to the main effect that will be studied and until that we will make a revision on General Relativity, Classical Field Theory and after that we will see a little bit of Quantum Field Theory, analysing the quantization of the most simplest field: the scalar field. After we introduce it’s quantization, we will highlight firstly the Unruh Effect that was discovered by the canadian physicist William George Unruh, where an observer accelerated in the Minkowski spacetime fells himself immersed in a termal bath of particles. Another effect that we will highlight is the one described by the english physicist Stephen Hawking in 1974. His work describes the radiation emitted in the form of termal bath of particles by black holes without necessarily having charge or angular momentum (it was believed until there that only black holes with angular momentum and charge should emitte radiation) making it’s event horizon shorter until evaporate. The most curious thing is that the radiation emitted by black holes correponds perfectly with the radiation emitted by a black body.

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Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

Tudo come¸cou com Einstein em 1905. Em uma tentativa de resolver o problema eletrodinâmico da inva-riância das Equa¸cões de Maxwell para qualquer referencial inercial, eis que ele obtém resultados f´ısicos muito interessantes que são necessários para que essa invariância exista na natureza: a dilata¸cão temporal e a contra¸cão do espa¸co. Para isso ele postula as seguintes afirma¸cões:

1- As leis da f´ısica s˜ao as mesmas para quaisquer referenciais inerciais. 2- A velocidade da luz para qualquer referencial inercial ´e c (c ' 300 km/s).

Em suma, vale ressaltar que, mesmo sendo de forma não intencional, quando Maxwell desenvolve as equa¸cões que descrevem o Eletromagnetismo Clássico, ele sem querer e sem saber acaba englobando a Relatividade Especial dentro de sua teoria. Coube então a Einstein adaptar a mecânica newtoniana para o Eletromagnetismo de Maxwell. A Relatividade Especial, entretanto, é limitada, limitada pois privilegia apenas referenciais inerciais já que para a descri¸cão de referenciais não inerciais as leis f´ısicas mudam. Com isso, Einstein tem a missão de generalizar a Relatividade Especial para referenciais não inerciais e nesse processo de formular uma teoria mais geral, tem o pensamento mais feliz da vida dele. Em 1907, enquanto trabalhava no escritório de patentes (sim, não me pergunte o que um f´ısico fazia lá) ele imagina um experimento. Suponha que você está dentro de um elevador e eis que repentinamente os cabos do ele-vador são cortados. Você entra, então, em queda livre num campo gravitacional junto com o elevador de tal modo que localmente a gravidade é eliminada e você (localmente) se encontra num referencial inercial, onde fazendo quaisquer experimentos dentro do elevador dado um pequeno intervalo de tempo, você será incapaz de distinguir se está livre da gravidade ou se está em queda livre. Isso significa que referenciais em queda livre podem ser considerados localmente inerciais. Depois ele imaginou que o elevador estava subindo de forma acelerada (suponha a = 9, 8m/s2_{) numa regi˜}_{ao de campo gravitacional nulo. Nesse}

caso, você se sente exatamente sob o efeito de um campo gravitacional uniforme de tal forma que não tem a capacidade de distinguir se você está submetido ao campo gravitacional terrestre ou se está acelerando para cima. Esses dois experimentos mentais permitiram que Einstein conclu´ısse duas coisas:

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1- Referenciais em queda livre s˜ao localmente inerciais.

2- Existe uma equivalˆencia entre referenciais acelerados e referenciais sujeitos a um campo gravitacional uniforme (Princ´ıpio da equivalˆencia).

A partir dessas duas conclusões, Einstein viu a necessidade de desenvolver uma nova teoria da gravita¸cão baseada na geometria e com seu amigo, Marcel Grossman, passa os próximos anos apren-dendo as ferramentas necessárias da geometria diferencial para desenvolvê-la. Em 1915, ele publica seu trabalho da Relatividade Geral [1]. Em 1919, duas expedi¸cões foram organizadas pelo Observatório de Greenwich: uma com destino à cidade de Sobral no Ceará e outra à Ilha de Pr´ıncipe, localizada no Golfo da Guiné ( África Ocidental), localidades essas situadas na região em que um eclipse total solar ocorreria. As expedi¸cões acabaram por confirmar a deflexão da luz pelo campo gravitacional do Sol, cujo ˆ

angulo de deflexão tinha uma margem de erro experimental que englobava o valor teórico encontrado por Einstein [2]. Sua Teoria da Relatividade Geral era então comprovada e agora passa-se a ver que o fenˆ o-meno gravitacional é na verdade a curvatura do espa¸co-tempo1_{, um fenˆ}_{omeno completamente geom´}_etrico.

As equa¸cões da Relatividade Geral previam a existência de um astro com campo gravitacional tão intenso que nem a luz seria capaz de escapar dele (buraco negro), solu¸cão que é encontrada não por Einstein, mas por outra pessoa. Enquanto servia na Rússia, apesar de sofrer de uma rara doen¸ca de pele muito dolorosa (pênfigo), o astrônomo e f´ısico alemão Karl Schwarzschild conseguiu escrever três trabalhos fundamentais [4] nos quais dois deles continham algumas solu¸cões exatas para as equa¸cões de campo de Einstein da Teoria Geral da Relatividade. Seus trabalhos sobre a Teoria Geral da Relatividade deram a primeira solu¸cão exata para as equa¸cões de campo da gravita¸cão no espa¸co vazio com simetria esférica, solu¸cão essa que leva o seu nome (métrica de Schwarzschild). Ao receber manuscritos de Karl no dia 22 de dezembro de 1915, Einstein ficou agradavelmente surpreso ao saber que suas equa¸cões de campo de gravita¸cão chegaram a admitir solu¸cões exatas e que apesar de sua complexidade, segundo ele, foram elegantemente demonstradas por Schwarzschild de “uma forma tão simples...”. Em 1916, Einstein escreveu a famosa carta a Schwarzschild, a respeito de seu resultado obtido recentemente:

“Li a sua carta com o máximo interesse. Não esperava que se pudesse formular a solu¸cão exata do problema de maneira tão simples. Gostei muito do seu tratamento matemático sobre o assunto. Na próxima quinta-feira apresentarei o trabalho à Academia com algumas palavras de explica¸cão” [5].

Vale ressaltar que a solu¸cão exata encontrada por Schwarzschild não foi a única. Em 1963, Roy Kerr, um matemático neozelandês, encontrou uma solu¸cão das equa¸cões da Relatividade Geral que descrevem buracos negros que possuem rota¸cão. Se o buraco negro não possui rota¸cão, a solu¸cão se reduz ao caso de Schwarzschild.

Mas afinal como se formam os buracos negros? Para entendermos como buracos negros se for-mam, precisamos, primeiramente, entender como funciona o ciclo das estrelas. Uma estrela ´e formada por

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uma grande quantidade de gás. À medida que a densidade do gás aumenta devido à atra¸cão gravitacio-nal, os átomos do gás irão colidir uns com os outros de forma cada vez mais frequente e com velocidades maiores. Assim o gás come¸ca o processo de fusão nuclear. O calor produzido nas rea¸cões das estrelas é o que faz com que a estrela brilhe. É importante notar que é a pressão gerada nas rea¸cões nucleares dentro da estrela que irá balancear sua atra¸cão gravitacional de tal forma que ela fique estável por um longo per´ıodo de tempo. Eventualmente os elementos qu´ımicos responsáveis pelas rea¸cões nucleares da estrela come¸cam a se esgotar, ela não é capaz de produzir pressão térmica para balancear sua própria atra¸cão gravitacional e ela come¸ca a colapsar. A partir do colapso gravitacional, existe um limite de massa que irá determinar o destino desse colapso (limite de Chandrasekhar) [6]. O limite de Chandrasekhar é a massa máxima de uma anã branca (cerca de 1.4 vezes a massa do Sol). Estrelas de nêutrons podem ter massas maiores, até 2-3 vezes a massa do Sol, acima disso, só buracos negros. Mas note que é a massa do objeto final após o processo de colapso gravitacional que determinará o destino da estrela. Anãs brancas podem ser formadas a partir de estrelas mais massivas (até 5-10 vezes a massa do Sol), desde que material suficiente da estrela progenitora seja ejetado no processo de colapso. Para o caso em que a estrela se torna um buraco negro seu campo gravitacional é tão intenso que nem mesmo a luz é capaz de escapar dele a partir de um certo limite de distância. Isso significa que existirá uma fronteira que irá delimitar eventos que podem ser vistos por observadores longe do buraco negro e eventos que não podem ser vistos por eles, essa fronteira se chama horizonte de eventos. Mais tarde, astrônomos observaram um sistema que possu´ıa uma estrela vis´ıvel do sistema Cygnus X-I, que orbitava um outro “corpo celeste” que não era vis´ıvel. Esse “corpo celeste” poderia não ser necessariamente um buraco negro, entretanto, esse sistema é uma fonte muito grande de raios-X. A melhor explica¸cão para essa ocorrência é que a matéria da estrela vis´ıvel é atra´ıda em dire¸cão ao “corpo celeste” não vis´ıvel, seguindo uma trajetória espiral e assim, essa matéria se torna muito quente, emitindo raios-X. A partir da trajetória da estrela vis´ıvel, pode-se encontrar a massa do “corpo celeste” e quando ela é calculada, sua massa é de 1,5 massas solares superior à massa máxima de anãs brancas e estrelas de nêutrons, então, o astro não vis´ıvel deve ser um buraco negro.

Vamos agora falar um pouco da segunda lei da termodinâmica. Ela afirma que a entropia de um sistema isolado nunca diminui. Portanto, quando dois sistemas são unidos em um, a entropia desse novo sistema é maior do que a entropia individual de cada sistema antes da jun¸cão. Imagine um sistema de gás de moléculas em uma caixa em que cada molécula pode ser pensada como uma bola de bilhar colidindo com as demais e ricocheteando na parede. Quanto maior for a temperatura do gás mais rápido as moléculas irão se mover e a frequência do choque com a parede serão cada vez maiores. Suponha que seja colocada uma parede que divida a caixa entre lado esquerdo e lado direito e que, inicialmente, todas estejam confinadas no lado esquerdo. Se a parede for removida, as moléculas irão tender com maiores chances a ocupar tanto o lado direito quanto o lado esquerdo de forma igual. Esse novo estado é dito me-nos ordenado ou mais desordenado que o estado inicial. Dizemos, então, que a entropia do gás aumentou. Vamos pensar agora no buraco negro. Existiria um meio de violarmos a segunda lei da termodinâmica, a princ´ıpio, jogando matéria em seu interior com muita entropia, por exemplo, a caixa que menciona-mos com gás. Nesse caso, a entropia total do sistema iria diminuir. Você até poderia argumentar que

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a entropia total do sistema, incluindo a do buraco negro, não diminuiu, mas em Relatividade Geral a temperatura de um buraco negro é zero e sua entropia também é zero. Seria interessante se, através de alguma caracter´ıstica do buraco negro, um observador fora do horizonte de eventos pudesse medir sua entropia e que, de alguma forma, ela aumentasse após jogarmos matéria dentro dele. Seguindo, então, a descoberta de que a área do horizonte de eventos sempre aumenta ao jogarmos matéria dentro dele [6], um estudante pesquisador, Jacob Bekenstein, em 1972, sugere que a área do horizonte de eventos de um buraco negro está relacionada com a medida da entropia do mesmo [6]. Quando a matéria entra no interior do buraco negro, sua área aumenta e, consequentemente, sua entropia também aumenta, assim, a segunda lei da termodinâmica não é violada. Entretanto, para que um buraco negro possua entropia, é necessário que ele também tenha temperatura. Mas um corpo que possui uma temperatura particular deve emitir radia¸cão, portanto, buracos negros deverão emitir radia¸cão. O problema é que, por defini¸cão, buracos negros não deveriam emitir nada, então, a área do buraco negro não devia estar relacionada com sua entropia. Tal problema fez com que o f´ısico inglês Stephen Hawking, Brandor Carter e seu colega estadunidense, Jim Bardeen escrevessem um artigo mostrando esse problema [6]. Entretanto, no fim das contas, Bekenstein estava certo.

Em setembro de 1973, Stephen Hawking estava visitando Moscow e discutiu sobre buracos negros com dois cientistas da área: Yakov Zeldovich e Alexander Starobinsky. Eles convenceram Hawking de que, a partir da mecânica quântica e do princ´ıpio da incerteza, buracos negros com rota¸cão deveriam emitir radia¸cão2 _{A partir do tratamento feito por eles, Hawking tira o embasamento para desenvolver}

um trabalho que misturava a teoria quântica com a Relatividade Geral para chegar numa expressão ma-temática que mostrasse que buracos negros sem rota¸cão também emitiam radia¸cão [7]. O que convenceu Hawking de seu resultado foi que o espectro de radia¸cão emitido pelo buraco negro era exatamente o espectro de um corpo negro. Desde esse cálculo, uma série de formas de cálculos diferentes feitas por diferentes pessoas chegaram ao mesmo resultado: buracos negros devem emitir part´ıculas e radia¸cão como um corpo negro e a temperatura relacionada com a radia¸cão irá depender da massa: quanto menor a massa, maior a temperatura do buraco negro. O fluxo de energia emitido pelo buraco negro fará com que sua massa se reduza até que ele evapore. Um efeito muito interessante que mistura termodinâmica, Relatividade Geral e Teoria Quântica de Campos. Seria essa uma pista da poss´ıvel quantiza¸cão do campo graviacional? Só o tempo dirá...

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Cap´ıtulo 2

Relatividade Geral

O objetivo desse cap´ıtulo consiste em apresentar os ingredientes principais das equa¸cões de campo de Einstein para que possamos compreender o significado f´ısico delas. Depois iremos analisar uma das solu¸cões dessas equa¸cões que descrevem os buracos negros. Afinal, qual seria a rela¸cão entre curvatura e gravita¸cão? O que é uma variedade? Como a matéria curva o espa¸co-tempo? Por que a luz não é capaz de escapar da atra¸cão gravitacional de um buraco negro abaixo de uma determinada distância? Come¸caremos falando sobre variedades e tensores para depois introduzirmos as ideias de transporte paralelo, curvatura, geodésica, desvio geodésico, o tensor energia-momento, as equa¸cões de campo de Einstein e, por fim, uma solu¸cão anal´ıtica delas (métrica de Schwarzschild).

2.1 Variedades

Precisamos de uma base matemática para come¸car investigando a estrutura do espa¸co-tempo, sendo assim, necessitamos de uma no¸cão precisa do que é uma variedade. Antes de definir a no¸cão de uma variedade, vamos recordar que uma bola aberta em Rn _{de raio r, centrada em torno de y = (y}1_{, ..., y}n₎

consiste nos pontos nos quais: |x − y| < r ;

|x − y| =

n

X

µ=1

(xµ− yµ₎2_.

Um conjunto aberto em Rn_´_{e qualquer conjunto que pode ser expresso como uma uni˜}_{ao de bolas abertas.}

Uma variedade real M , n − dimensional; C∞, ´e um conjunto junto com uma cole¸c˜ao de subconjuntos Oαque satisfazem as propriedades:

(1): Cada ponto p ∈ M reside em pelo menos um Oα.

(2): Para cada α, existe um ψα que mapeia os subconjuntos que pertencem a M em subconjuntos que

pertencem `_{a R}n_:

ψα: Oα→ Uα. (2.1)

(3): Se quaisquer 2 conjuntos Oα e Oβ respeitam Oα∩ Oβ 6= ∅, podemos considerar o mapeamento

ψβ◦ ψα−1 que leva os pontos em ψα[Oα∩ Oβ] ⊂ Uα para os pontos em ψβ[Oα∩ Oβ] ⊂ Uβ. N´os supomos

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que esses subconjuntos de Rn _{sejam abertos e que esse mapeamento seja C}∞_.

Figura 2.1: I

lustra¸c˜ao dos 3 axiomas que as variedades respeitam (extra´ıdo de [2]).

Informalmente, variedades s˜_{ao estruturas que localmente se parecem com R}n. Sua importância em Relatividade Geral está no fato de que o espa¸co-tempo, o objeto mais importante em Relatividade Geral, pode ser definido como uma variedade dotada de uma métrica. Tendo visto o conceito de variedade, vamos passar agora ao de tensores e discutir a no¸cão de métrica.

2.2 Campos tensoriais

2.2.1 Defini¸

c˜

ao

Nessa parte n˜ao entraremos em muitos detalhes.

Seja V um espa¸co vetorial finito e V∗um espa¸co dos covetores. Um tensor do tipo (k, l) ´e um mapeamento multilinear:

T : V∗× ... × V∗× V × ... × V −→ Rn_,

onde V∗× ... × V∗_{tem dimens˜}_{ao k e V × ... × V tem dimens˜}_{ao l. Portanto, um tensor pode ser definido}

como uma entidade matem´atica que mapeia vetores e covetores em n´umeros reais.

2.2.2 Representa¸

c˜

ao das componentes

Seja vµ ´e uma base de V ; µ ∈ {1, ..., dim(V )} e vν uma base de V∗; ν ∈ {1, ..., dim(V∗)}. Portanto,

temos que vµ1N ...vµkN v

ν1∗N ... N vνl∗ _{gera uma base para os tensores.}

Portanto, as componentes de um tensor podem ser expressas da seguinte forma:

T = n=dimV X µ1,...,νl=1 Tµ1...µk ν1...νlvµ1 O ...vµk O vν1∗O_...O_vνl∗_.

Em geral, as componentes de um tensor se transformam da seguinte forma:

Tµ 0 1...µ 0 k ν0 1...νl0 = n=dimV X µ1,...,νl=1 Tµ1...µk ν1...νl ∂xµ01 ∂xµ1... ∂xνl ∂xν0 l .

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Um exemplo de tensor que é muito importante na Relatividade Geral é o tensor métrico que é do tipo (0, 2): g = n X µ,ν gµνdxµ O dxν,

onde dxµ_{N dx}ν _{representa um elemento de base coordenada de tensores (0, 2).} _{As vezes ´}_` _{e usada a}

nota¸c˜ao ds2 _{para representar o tensor m´}_etrico:

ds2=

n

X

µ,ν

gµνdxµdxν.

O uso de tensores na Relatividade Geral se deve ao fato de que um princ´ıpio básico da Relatividade Geral diz que todas as leis da natureza são invariantes sobre qualquer mudan¸ca geral de coordenadas. Portanto, como uma equa¸cão tensorial é válida em qualquer referencial, as leis f´ısicas serão expressas como equa¸cões tensoriais. Além disso, o tensor métrico equipa o espa¸co-tempo com uma espécie de produto interno e fornece uma medida de distância.

Obs: A partir de agora, usaremos a conven¸c˜ao de Einstein para a soma de componentes:

X

c

AcBc≡ AcBc.

2.3 Derivada covariante e transporte paralelo

Vamos denotar o operador ∇a que representa a derivada covariante. Ela ´e a generaliza¸c˜ao para o que

conhecemos como derivada parcial de uma fun¸c˜_{ao escalar. Introduziremos um exemplo para o caso de R}n_.

Suponha que tenhamos n campos vetoriais que em cada ponto formam uma base de vetores {e1, ..., en}.

Um campo ~v pode ser expresso em termos da base acima:

~v = vke~k,

onde vk _s˜_{ao as componentes do vetor na base dada. Caso estejam-se usando coordenadas curvil´ıneas, os}

vetores tangentes às curvas coordenadas variam de ponto a ponto, como observamos na figura 2.2. Isso significa que mesmo quando o campo vetorial é constante, em geral, os vetores de base não são constan-tes e a partir da´ı precisamos generalizar o conceito de derivada parcial, essa generaliza¸cão é a derivada covariante. A derivada covariante representa um mapeamento, levando um campo tensorial do tipo (k, l) em um campo tensorial do tipo (k, l + 1). Esse operador satisfaz as seguintes propriedades:

1. Linearidade: para todo tensor A, B, vale:

∇a(αAµ1...µkν1...νl+ βB µ1...µk ν1...νl) = α∇aA µ1...µk ν1...νl+ β∇aB µ1...µk ν1...νl.

2. Regra de Leibnitz: análoga ao cálculo de uma variável, a diferen¸ca é que ao invés de _dxd aparece ∇a.

3.Comuta¸c˜ao com a contra¸c˜ao: Para todo A ∈ τ (k, l) :

∇d(Aµ1...c...µkν1...c...νl) = ∇dA

µ1...c...µk

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4. Consistˆencia com a no¸c˜ao de vetores tangentes como derivadas direcionais atuando em escalares. Seja f um escalar e ta _{um vetor, ent˜}_{ao vale que:}

t(f ) = ta∇af.

Prova:

Considere o vetor tangente ta₌∂xa ∂s , t =

∂

∂s, onde s é o parâmetro da curva, então, vale que:

t = ∂x a ∂s ∂ ∂xa = t a_∂ a t = ta∇a.

5.Tors˜ao nula: Para toda fun¸c˜ao escalar, vale:

∇a∇bf = ∇b∇af.

Juntando as condi¸c˜oes 4 e 5, podemos obter uma nova propriedade:

[v, w](f ) = vw(f ) − wv(f ) = va∇a(wb∇bf ) − wa∇a(vb∇bf ) = (va∇awb− wa∇avb)∇bf.

Portanto, n´os temos:

[v, w]b= va∇awb− wa∇avb.

Pela propriedade 4, percebemos que essa express˜ao define as componentes de um vetor: zb_∇ bf .

Considere dois operadores derivada covariante ∇a e ˜∇a que satisfazem as cinco propriedades acima.

Queremos encontrar o valor da diferen¸ca entre ˜∇a e ∇a. ∇˜a− ∇a define um mapeamento de covetores

em tensores do tipo (0,2), consequentemente ˜∇a− ∇a define um tensor do tipo (1,2) que denotaremos

por C_aba . Portanto, por esse racioc´ınio vale que:

∇awb= ˜∇awb− Cabc wc.

Da condi¸c˜ao (5), se n´os tomamos que wb = ∇bf = ˜∇af , temos:

∇a∇bf = ˜∇a∇˜bf − Cabc wc.

Portanto, como ∇a∇b e ˜∇a∇˜b s˜ao sim´etricos, isso implica que Cabc wc = Cbac wc.

Por outro lado, para um vetor ta _{e para um covetor, temos a seguinte rela¸}_c˜_ao:

( ˜∇a− ∇a)wbtb= (Cabc wc)tb+ wb( ˜∇a− ∇a)tb.

Colocando em evidˆencia e supondo que wb 6= 0 chegamos na rela¸c˜ao: ∇atb= ˜∇atb+ Cacb t

c_.

Portanto, para um tensor geral:

∇aTµ1...µkν1...νl= ˜∇aT µ1...µk ν1...νl+ X i Cµi adT µ1...d...µk ν1...νl− X j C_aνd_jTµ1...µk ν1...d...νl. (2.2)

(18)

Figura 2.2: Transporte paralelo.

O caso mais importante da equa¸cão (2.2), é o caso particular em que ˜∇a é uma derivada parcial, nesse

caso, C ir´a assumir um nome especial, gama mai´usculo que representa os s´ımbolos de Christoffel. Por exemplo:

∇atb= ∂atb+ Γbact

c_. _(2.3)

Derivadas covariantes são importantes em vários contextos, em particular para definirmos a no¸cão de transporte paralelo. A ideia é que dado um vetor que é transportado paralelamente em um caminho fechado sobre uma superf´ıcie, a curvatura da superf´ıcie implica que o vetor, ao completar a volta na curva e retornar ao ponto de in´ıcio, não é o mesmo que saiu, como está mostrado na figura 2.2. O vetor na imagem representada é transportado paralelamente ao longo de uma curva fechada em uma esfera. Portanto, dada uma derivada covariante ∇a, podemos definir a no¸cão de transporte paralelo de um vetor

ao longo de uma curva C, xµ_{(λ), onde λ ´}_{e o parˆ}_{ametro da curva com vetor tangente t}a₌ dxa

dλ. Considere

um vetor va _{sendo transportado paralelamente ao longo dessa curva. Dado um sistema de coordenadas}

localmente inercial em um ponto P , as componentes do vetor transportado paralelamente `a curva devem ser constantes:

dvb

dλ = t

a_∂

avb= ta∇avb= 0.

Portanto, temos a equa¸c˜ao para o transporte paralelo:

ta∇avb= 0. (2.4)

Generalizando para um tensor qualquer:

(19)

Escolhendo um sistema de coordenadas e usando a equa¸c˜ao (2.3), podemos expressar (2.4) da seguinte forma:

ta∂avb+ taΓbacv c_{= 0.}

Ou podemos expressar a equa¸c˜ao em termos das componentes numa base e do parˆametro t ao longo da curva:

dvν

dt + t

µ_Γν

µλvλ= 0. (2.5)

N´os devemos impor uma condi¸c˜ao natural para o transporte paralelo: dados dois vetores va _{e w}a_{, n´}_os

afirmamos que seu produto interno gabvawb permanece igual se n´os realizarmos o transporte paralelo ao

longo de qualquer curva. Portanto:

ta∇a(gbcvbwc) = 0.

Usando a equa¸c˜ao (2.4) que vb _{e w}c _{devem satisfazer, obtemos:}

tavbwc∇agbc= 0.

Portanto, ´e necess´ario que:

∇agbc= 0.

Vamos verificar a consequˆencia desse resultado:

0 = ∇agbc= ˜∇agbc− Cabd gdc− Cacd gbd,

ou seja:

Ccab+ Cbac= ˜∇agbc. (2.6)

Fazendo uma substitui¸c˜ao de ´ındices: a trocado por b e b trocado por a:

Ccba+ Cabc= ˜∇bgac. (2.7)

Agora fazendo a troca: b por c e c por b, temos a seguinte equa¸c˜ao:

Cbca+ Cacb= ˜∇cgab. (2.8)

Somando as equa¸c˜oes (2.6), (2.7) e subtraindo de (2.8):

Ccab+ Cbac+ Ccba+ Cabc− Cbca− Cacb= ˜∇agbc+ ˜∇bgac− ˜∇cgab. (2.9)

Usando a simetria de que:

C_abc = C_bac . (2.10) Temos de (2.10) que: Ccab= Ccba, Cbac= Cbca, e finalmente: Ccba= Ccab.

(20)

Portanto, a equa¸c˜ao (2.9) fica:

Ccab+ Cbac+ Ccab+ Cabc− Cbac− Cacb= ˜∇agbc+ ˜∇bgac− ˜∇cgab.

Portanto:

2Ccab= ˜∇agbc+ ˜∇bgac− ˜∇cgab.

Portanto, subindo o primeiro ´ındice de C e isolando o mesmo, teremos que:

C_abc =1 2g

cd_{( ˜}_∇

agbd+ ˜∇bgad− ˜∇cgab).

Em particular, para o s´ımbolo de Christoffel:

Γc_ab= 1 2g

cd_(∂

agbd+ ∂bgad− ∂dgab).

2.4 Curvatura

Antes de tudo, vamos considerar a atua¸c˜ao de duas derivadas covariantes em um escalar e em um covetor:

∇a∇b(f wc) = ∇a(wc∇bf + f ∇bwc) = (∇a∇bf )wc+ ∇bf ∇awc+ ∇af ∇bwc+ f ∇a∇bwc.

Se n´os subtrairmos isso do tensor: ∇b∇a(f wc), vamos obter a seguinte equa¸c˜ao:

(∇a∇b− ∇b∇a)(f wc) = f (∇a∇b− ∇b∇a)wc.

Portanto temos que ∇a∇b− ∇b∇a define um mapeamento linear de covetores em tensores do tipo (0,3).

Sua a¸c˜ao define um tensor do tipo (1,3). Portanto, existe um tensor do tipo R_abcd tal que para um covetor:

∇a∇bwc− ∇b∇awc = Rabcdwd.

Agora, vamos considerar o transporte paralelo feito na figura 2.3. Ela está representando o transporte paralelo no sentido anti-horário ao longo de duas curvas nas quais t é constante e duas curvas nas quais s é constante. Vamos então considerar o transporte paralelo do vetor va _{ao logo da curva da figura 2.3,}

inicialmente no ponto p = (0, 0). As varia¸c˜oes em cada curva, no sentido mostrado na figura s˜ao: δ1, δ2,

δ3, δ4. ´E mais f´acil computar a mudan¸ca de va quando voltamos ao ponto p deixando wa ser um covetor

arbitr´ario e assim encontrando a mudan¸ca do escalar vawa.

Vamos no momento dar ênfase em δ1 e em δ3. Teremos, então, para δ1 a seguinte expansão de

Tay-lor no ponto (∆t, 0): (vawa)(∆t,0)≈ (vawa)(0,0)+ ∂ ∂t(v a_w a)(0,0)∆t + 1 2 ∂2 ∂t2(v a_w a)(0,0)∆t2.

Portanto, n´os temos que:

δ1= (vawa)(∆t,0)− (vawa)(0,0)= ∂ ∂t(v a_w a)(0,0)∆t + 1 2 ∂2 ∂t2(v a_w a)(0,0)∆t2.

Por outro lado, se considerarmos a expans˜ao de Taylor no ponto (∆t/2, 0): ∂ ∂t(v a_w a)(∆t/2,0)= ∂ ∂t(v a_w a)(0,0)∆t + 1 2 ∂2 ∂t2(v a_w a)(0,0)∆t2.

(21)

Figura 2.3: Ilustra¸c˜ao do transporte paralelo. Logo: δ1= ∂ ∂t(v a_w a)(∆t/2,0)∆t.

Ent˜ao, se considerarmos Ta= ∂x_∂sa como sendo o vetor tangente `as curvas 1 e 3, teremos que: δ1= ∆tTb∇b(vawa)(∆t/2,0)= ∆tTbva∇b(wa)(∆t/2,0).

Na última igualdade usamos a propriedade da equa¸cão do transporte paralelo (2.4), já que é o vetor va

que est´a sendo transportado.

O cálculo de δ3 é análogo, a diferen¸ca é que, pela forma que o transporte paralelo é feito e como nós

estamos expandindo a s´erie de Taylor no ponto (∆t, ∆s), o sinal ´e oposto, portanto, temos que:

δ1+ δ3= ∆t[vaTb∇bwa(∆t/2,0)− vaTb∇bwa(∆t/2,∆s)]. (2.11)

Por´em, n´os podemos expandir o escalar va_Tb_∇

bwa considerando uma nova curva intermedi´aria entre os

pontos (∆t/2, 0) e (∆t/2, ∆s) com uma curva onde s varia e t ´e constante de tal forma que teremos a seguinte express˜ao:

vaTb∇bwa(∆t/2,∆s)≈ vaTb∇bwa(∆t/2,0)+

∂ ∂s(v

a_Tb_∇

bwa)(∆t/2,0)∆s + ...

Substituindo isso na equa¸c˜ao (2.11), temos que:

δ1+ δ3= −∆t ∂ ∂s(v a_Tb_∇ bwa)(∆t/2,0)∆s = −∆t∆sSc∇c(vaTb∇bwa)(∆t/2,0), onde Sc₌ ∂xc

∂t é o vetor tangente às curvas onde t é constante e s varia. Mas agora, se v

a_´_{e transportado}

paralelamente, temos que:

(22)

Agora vamos analisar δ2e δ4, onde tudo ´e muito an´alogo ao primeiro caso, portanto iremos pular algumas partes: δ2= ∂ ∂s(v a_w a)(∆t,∆s/2)∆s = ∆sSb∇b(vawa)(∆t,∆s/2),

e para a outra curva:

δ4= − ∂ ∂s(v a_w a)(∆t,∆s/2)∆s = −∆sSb∇b(vawa)(∆t,∆s/2). Portanto: δ2+ δ4= ∆s[vaSb∇bwa(∆t,∆s/2)− vaSb∇bwa(0,∆s/2)].

Mas, fazendo novamente o processo de expandir o segundo termo da equa¸cão acima no ponto (0, s/2), considerando o transporte paralelo sobre uma curva intermediária, na qual o vetor tangente é o Ta _e

substituindo na equa¸c˜ao de δ2+ δ4, temos que:

δ2+ δ4≈ ∆s∆tTc∇c(vaSb∇bwa)(0,∆s/2)≈ ∆s∆t(vaTc∇c)(Sb∇bwa)(0,0).

Portanto, somando todos os delta’s, teremos que:

δ(vawa) = ∆t∆sva[Tc∇c(Sb∇bwa) − Sc∇c(Tb∇bwa)] =

∆t∆sva[(Tc∇cSb− Sc∇cTb)∇bwa+ TcSb(∇c∇b− ∇b∇c)wa].

O primeiro termo dentro do colchete se anula, pois :

Tc∇cSb− Sc∇cTb=

∂2

∂t∂s− ∂2

∂s∂t = 0.

Portanto, temos que:

δ(va) = ∆t∆svdTcSbR_cbda.

Isso significa que existe uma rela¸c˜ao entre uma superf´ıcie ser curva com o fato de, ao realizarmos o trans-porte paralelo de um tensor ao longo de um circuito fechado, esse tensor n˜ao retornar inalterado ao ponto inicial. R_cbda representa as componentes do tensor de curvatura ou tensor de Riemann.1

N˜ao vamos demonstrar, mas vale a seguinte rela¸c˜ao:

(∇a∇b− ∇b∇a)Tµ1...µkν1...νl= − k X i=1 R µi abe T µ1... e ...µk ν1...νl + l X j=1 R_abν_jeTµ1...µk ν1... e ...νl.

Vamos estabelecer algumas propriedades do tensor de Riemann que n˜ao iremos demonstrar:

1_{Caso n˜}_{ao tenha ficado muito claro, T}a_´_{e o vetor tangente `}_{as curvas em que t ´}_{e o parˆ}_{ametro vari´}_{avel, com s = cte e S}a_´_e

o vetor tangente às curvas em que s é o parâmetro variável, com t = cte. Além disso, é importante notar a seguinte rela¸cão para os cálculos dessa se¸cão:

Sa∇a= ∂ ∂s, onde: Sµ₌∂xµ ∂s Essa observa¸cão é análoga para o vetor tangente Ta_.

(23)

1. R d

abc = −Rbacd.

2. R d

[abc] = 0, onde abrindo a express˜ao ao lado, verificamos essa igualdade:

R_[abc]d= 1 3![R d abc − R d bac − R d cba + R d bca − R d acb + R d cab ] = 0. 3. Rabcd= −Rabdc. 4. As identidades de Bianchi: ∇[aRbc]de= 0.

Agora, vamos definir as componentes do tensor de Ricci, que s˜ao geradas pela contra¸c˜ao de dois ´ındices do tensor de Riemann:

Rac= Rabcb.

O tensor de Ricci ´e sim´etrico, ou seja:

Rac= Rca.

O escalar de Ricci ´e definido pela contra¸c˜ao:

R = R_aa= Racgca,

que representa o tra¸co do tensor de Ricci. Vamos abrir a identidade de Bianchi:

∇[aRbc]de=

1 3![∇aR

e

bcd − ∇aRcbde+ ∇bRcade− ∇bRacde+ ∇cRabde− ∇cRbade] = 0.

Portanto, usando as propriedades de simetria do tensor de Riemann:

∇[aRbc]de= [2∇aRbcde+ 2∇bRcade+ 2∇cRabde] = 0,

∇aRbcde+ ∇bRcade+ ∇cRabde= 0.

Fazendo a contra¸c˜ao do primeiro termo, tomando c = e na equa¸c˜ao, temos que:

∇aRbd− ∇bRad+ ∇cRabdc= 0.

Agora, fazendo a contra¸c˜ao do segundo termo, usando o tensor m´etrico para subir o ´ındice d:

∇aRba− ∇bR + ∇cRabac= 0.

Mas n´os sabemos que:

∇cRabac= ∇cRbaca= ∇cRbc.

Portanto, teremos que:

∇aRba− ∇bR + ∇cRbc= 0.

Fazendo uma substitui¸c˜ao: c trocado por a ; a trocado por b ; b trocado por c ; d trocado por d, temos:

∇bRcb− ∇cR + ∇aRca= 0.

Note que o primeiro e o terceiro termo s˜ao iguais, ent˜ao temos:

(24)

Se definirmos o tensor de Einstein por: Gab= Rab− 1 2Rgab, temos que: ∇a_G ab= ∇aRab− 1 2gab∇ a_{R = 0.} Logo: ∇aGab= ∇aRab− 1 2∇bR = 0. (2.12)

Portanto, o tensor de Einstein é aquele que possui divergência nula. Veremos adiante que ele é um ingrediente fundamental nas equa¸cões de campo de Einstein.

2.5 Geod´

esicas

Intuitivamente, geodésicas são linhas que “curvam o m´ınimo poss´ıvel”. Portanto, definimos uma geodésica como sendo uma curva cujo vetor tangente é propagado paralelamente ao longo de si mesmo. Portanto, uma curva geodésica cujo vetor tangente é Ta satisfaz a seguinte equa¸cão:

Ta∇aTb= 0.

Podemos parametrizar a curva atrav´es de coordenadas xµ_{(t), onde t ´}_{e o parˆ}_{ametro da curva. Vale que}

pela equa¸c˜ao (2.5): dTµ dt + Γ µ σνT σ_Tν _{= 0.}

Como Tµ_´_{e o vetor tangente,}

Tµ= dx

µ

dt . Portanto, numa base, a equa¸c˜ao da geod´esica toma a forma:

d2_xµ dt2 + Γ µ σν dxσ dt dxν dt = 0.

2.5.1 Comprimento pr´

oprio

Dada uma curva C em uma variedade M com as componentes do tensor m´etrico definidas por gab, o

comprimento pr´oprio l, de C ´e definido por:

l = Z C (gabTaTb) 1 2.

Obs: Uma curva ´e do tipo espa¸co se gabTaTb> 0 em todos os pontos de C.

2.5.2 Tempo pr´

oprio

Dada uma curva C em uma variedade M com as componentes do tensor m´etrico definidas por gab, o

tempo pr´oprio τ , de C ´e definido por:

τ = Z C (−gabTaTb) 1 2.

(25)

Obs: Uma curva ´e do tipo tempo se gabTaTb< 0 em todos os pontos de C.

Obs: Uma curva ´e do tipo nulo ou tipo luz se gabTaTb= 0 em todos os pontos de C.

2.6 Desvio geod´

esico

Vamos supor que γs(t) é uma congruência de geodésicas parametrizadas pelo parâmetro afim t. Considere

a imagem abaixo:

Figura 2.4: Fam´ılia gerada pela varia¸c˜ao do parˆametro t, com vetor tangente Ta _{e vetor desvio X}a_.

Como um primeiro passo, note que podemos fazer sempre uma nova parametriza¸c˜ao linear do tipo t0 ₌

b(s)t + c(s), de tal forma que Xa _{seja sempre perpendicular a T}a

; s ∈ R. Antes de prosseguir vamos demonstrar a seguinte propriedade:

Tb∇bXa = Xb∇bTa. (2.13)

Vamos supor que:

Ab= (Tc∇cXb− Xc∇cTb). Portanto: A(f ) = Ab∂bf = (Tc∇cXb− Xc∇cTb)∇bf. A(f ) = Tc∇cXb∇bf − Xc∇cTb∇bf. (2.14) Logo: Ab∂bf = ∂2_f ∂s∂t− ∂2_f ∂t∂s ∇bf.

Então, podemos a partir disto concluir que a equa¸cão (2.13) é válida.

A quantidade va _{= T}b_∇

bXa dá a taxa de varia¸cão da distância entre uma geodésica e outra,

dize-mos que essa ´e a velocidade relativa de mudan¸ca. Analogamente, definimos a acelera¸c˜ao, dada por: aa _{= T}c_∇

cva= Tc∇c(Tb∇bXa). Teremos ent˜ao o seguinte desenvolvimento:

(26)

Abaixo usaremos as seguintes propriedades: (i): Tb_∇ bXa= Xb∇bTa (ii): ∇c∇bTa= ∇b∇cTa− RcbdaTd (iii): Tb_∇ bTa = 0 aa = Tc∇c(Xb∇bTa) (usando (i)) = (Tc∇cXb)(∇bTa) + XbTc∇c∇bTa(usando (i)) = (Xc∇cTb)∇bTa+ XcTb∇c∇bTa− RcbdaT c_Xb_Td_{(usando (ii))} = (Xc∇cTb)∇bTa+ XcTb∇c∇bTa− RcbdaT

c_Xb_Td_{(renomeamos os ´ındices mudos: b−→ c e c−→ b)}

= Xc∇c(Tb∇bTa) − RcbdaT c_Xb_Td

= RcbdaXbTcTd(usando (iii)).

Assim:

aa = −R_cbdaXbTcTd. (2.15)

A equa¸cão (2.15) chama-se equa¸cão do desvio geodésico. Portanto, o desvio geodésico está intimamente ligado com o tensor de curvatura. O desvio geodésico mostra que algumas geodésicas de uma superf´ıcie irão “acelerar” , se aproximando ou se afastando uma da outra se essa superf´ıcie possuir curvatura. Como veremos a seguir, a gravidade é a manifesta¸cão da curvatura do espa¸co-tempo, então a ideia descrita sobre o desvio de geodésicas se manifestará em Relatividade Geral.

2.7 Equa¸

c˜

oes de campo de Einstein

Partimos da ideia que, diferente da relatividade especial, não podemos estabelecer um referencial inercial global, mas podemos estabelecer um referencial inercial local. Portanto, a métrica do espa¸co-tempo não é plana como assume-se em relatividade especial, mas sim localmente plana. As linhas de mundo (trajetória no espa¸co-tempo) de corpos em queda livre num campo gravitacional são geodésicas do espa¸co-tempo. Como resultado dessa suposi¸cão, passamos a ver a gravidade como um aspecto da estrutura do espa¸ co-tempo. Então matematicamente vamos dizer que: O espa¸co-tempo é uma variedade M na qual é definida uma métrica lorentziana gab.

As leis da f´ısica da Relatividade Geral s˜ao governadas por 2 princ´ıpios b´asicos:

(1)O princ´ıpio da covariância geral : A métrica gabe as quantidades derivadas dela são as únicas

quanti-dades do espa¸co-tempo que podem aparecer na equa¸c˜ao f´ısica do fenˆomeno.

(2)Redu¸cão para o caso especial : As equa¸cões que descrevem a Relatividade Geral devem se reduzir para as equa¸cões que satisfazem a relatividade especial no caso em que gabé plano.

(27)

Figura 2.5: Representa¸c˜ao matricial das componentes do tensor energia-momento.

a sua linha de mundo. Uma part´ıcula livre satisfaz a equa¸c˜ao da geod´esica:

ua∇aub= 0.

O quadrimomentum ´e definido por:

pa = mua,

onde m ´e a massa de repouso da part´ıcula. A energia de uma part´ıcula medida por um observador que intercepta a linha de mundo da part´ıcula ´e:

E = −pava,

onde va´e a quadrivelocidade do observador. Em particular se va = ua, obtemos que E = m, ou E = mc2, onde usamos que uµuµ= −1.

Em Relatividade Geral, uma distribui¸cão cont´ınua de matéria e de campos é descrita pelo tensor energia-momento. O tensor de um fluido perfeito é dado por:

Tab= ρuaub+ P (gab+ uaub), (2.16)

onde ua é a quadrivelocidade dos elementos de fluido, P denota a pressão e ρ denota a densidade de energia. A figura 2.5 representa bem o significado f´ısico da componente do tensor energia-momento em coordenadas cartesianas. Importante notar que densidade de momento e fluxo de energia são a mesma coisa [17]. Uma forma alternativa de definir o fluxo de energia é pela expressão:

J_Eν = ηµT_µν, (2.17)

que representa a proje¸c˜ao do tensor energia-momento sobre a quadrivelocidade ηµ _{de um observador.}

O tensor energia-momento (2.16) satisfaz a equa¸c˜ao de movimento:

∇a_T ab= 0,

que gera:

(28)

Mas afinal, que equa¸cão descreve a rela¸cão entre a geometria do espa¸co-tempo e a distribui¸cão de matéria? Vamos fazer uma compara¸cão da descri¸cão de for¸cas de maré na gravita¸cão newtoniana e na Relatividade Geral. Na teoria de Newton, o campo gravitacional é representado pelo potencial, φ e a acelera¸cão entre dois corpos é dada por: −(~x · ~∇)~∇φ, onde ~x é o vetor de separa¸cão entre as duas part´ıculas. Por outro lado, na Relatividade Geral, a acelera¸cão entre 2 part´ıculas é: −R_cbdavcxbvd, onde va _´_{e a quadrivelocidade da part´ıcula e x}a _´_{e o vetor de desvio.} _{Isso sugere que fa¸}_{camos uma}

correspondˆencia:

R_cbda vcvd ⇐⇒ ∂b∂aφ.

Entretanto, a equa¸c˜ao de Poisson nos diz que:

∇2_{φ = 4πρ,}

onde ρ ´e a densidade de massa da mat´_{eria e estamos usando: ~ = G = c = k}b = 1, que ser˜ao usadas nos

outros cap´ıtulos também. Portanto, nós temos a seguinte correspondência:

Tabvavb ⇐⇒ 4πρ.

Essa correspondˆencia ent˜ao, nos sugere que: R a cad v

c_vd _{⇐⇒ 4πT}

cdvcvd, que acaba sugerindo a equa¸c˜ao

de campo Rcd= 4πTcd. Essa equa¸c˜ao inclusive foi postulada por Einstein, mas, ela possui um pequeno

problema. Como discutimos acima, o tensor energia-momento satisfaz: ∇c_T

cd= 0 e isso implicaria que

∇c_R

cd = 0, ou seja, R e consequentemente T = Taa s˜ao constantes ao longo do universo, o que ´e algo

fisicamente inviável. Porém, podemos definir essa equa¸cão como sendo:

Gab≡ Rab−

1

2Rgab= 8πTab.

Assim, não existirá mais nenhum conflito devido à identidade de Bianchi, eq. (2.12), e a conserva¸cão local de energia. Essas equa¸cões são conhecidas como Equa¸cões de campo de Einstein e foram primeiramente publicadas em 1915. A ideia da Relatividade Geral é então resumida na seguinte ideia: o espa¸co-tempo é uma variedade M na qual é definida uma métrica de Lorentz gab. A curvatura de gab é relacionada com

a distribui¸cão de matéria no espa¸co-tempo pelas Equa¸cões de campo de Einstein.

2.8 M´

etrica de Schwarzschild e buracos negros

Uma das solu¸cões para a equa¸cão de campo de Einstein é descrita pela métrica de Schwarzschild [15]:

ds2= 1 −2M r dt2− 1 − 2M r −1 dr2− r2_dΩ2_{, onde :} dΩ2= dθ2+ sin2θdφ2.

Claramente as componentes da métrica de Schwarzschild divergem em r = 0 e r = 2M , mas não está claro se essas divergências de fato representam singularidades do espa¸co-tempo ou apenas singularidades

(29)

das coordenadas que estamos usando.

Para simplificarmos nossos cálculos, iremos considerar um buraco negro bidimensional cuja métrica será:

ds2= gabdxadxb= 1 −rg r dt2−1 − rg r −1 dr2,

onde rg= 2M . ´E conveniente introduzir uma coordenada alternativa r∗(r) que satisfaz:

dr∗= dr

1 − (rg/r)

.

Resolvendo a equa¸c˜ao diferencial acima, temos:

r∗(r) = r − rg+ rgln ((r/rg) − 1). (2.18)

A m´etrica toma a forma:

ds2= [1 − (rg/r(r∗))][dt2− dr∗2].

Nessas novas coordenadas, observamos que r∗´e definida somente para r > rge varia no intervalo −∞ <

r∗< ∞.

Introduzindo as coordenadas do cone de luz:

u0= t − r∗ e v0 = t + r∗. (2.19)

Podemos reescrever a m´etrica da seguinte forma:

ds2= 1 − rg r(u0_{, v}0₎ du0dv0.

As coordenadas de Schwarzschild possuem uma singularidade no ponto r = rg. Nas coordenadas

alter-nativas que usamos tamb´em temos uma singularidade de tal forma que elas cobrem somente o exterior de um buraco negro (r > rg). Para descrevermos inteiramente o espa¸co-tempo, usaremos as coordenadas

de Kruskal-Szekeres. Usando a equa¸c˜ao (2.18) e a equa¸c˜ao (2.19), obtemos:

1 −rg r = rg r exp 1 −rg r exp v 0_{− u}0 2rg .

Portanto, a m´etrica que obtivemos anteriormente ser´a:

ds2=rg r exp 1 − r rg e −u0 2rg _e2rgv0 _du0_dv0_.

Definindo as coordenadas do cone de luz de Kruskal-Szekeres:

u = −2rg exp −u0 2rg , v = 2rg exp v0 2rg . (2.20)

A m´etrica toma a forma:

ds2= rg r(u, v) exp 1 − r(u, v) rg dudv.

Assim, nessas novas coordenadas, a m´etrica se torna regular em r = rg. Portanto, a singularidade

que t´ınhamos anteriormente é uma singularidade relacionada às coordenadas e que é removida por uma transforma¸cão das mesmas. Como foi definido pelas coordenadas de Kruskal-Szekeres, −∞ < u < 0 e 0 < v < ∞ cobrindo o exterior do buraco negro em r > rg. Entretanto, podemos estender analiticamente

(30)

o intervalo de u e v, onde a métrica ainda será bem definida de forma que −∞ < u < ∞ e −∞ < v < ∞ cobrirão inteiramente o espa¸co-tempo de Schwarzschild.

A rela¸c˜ao entre as coordenadas do cone de luz de Kruskal u, v e as coordenadas originais t, r pode ser obtida a partir de (2.20) se levarmos em conta (2.19) e (2.18):

uv = −4r2g exp r∗ rg = −4r2g r rg − 1 exp r rg − 1 . v u 2 = exp 2t rg .

O horizonte de eventos corresponde a r = rg que corresponde a u = 0 e v = 0. Introduzindo coordenadas

tipo tempo e tipo espa¸co T e R que satisfazem:

u = T − R, v = T + R, (2.21)

podemos, então, desenhar no plano (T, R) o diagrama de Kruskal para o espa¸co-tempo de Schwarzschild. Geodésicas nulas (u = cte e v = cte) vão corresponder às retas T − R = cte e T + R = cte. Multiplicando as duas equa¸cões de (2.21), obtemos a hipérbole: uv = T2− R2_{. Para r > r}

g, temos uv < 0 e as linhas

r = cte são tipo tempo, representando a região I do diagrama. Para r < rg, uv > 0 e as linhas r = cte são

tipo espa¸co, representando a região II do diagrama. As curvas de u = 0 e v = 0 representam a fronteira entre o interior e o exterior do buraco negro, definida pelo horizonte de eventos. Portanto, claramente, a região I é a parte externa e a região II é a parte interna. Qualquer pulso de luz emitido por um observador da região II não é capaz de passar do horizonte de eventos. Portanto, ao tentar cruzar o horizonte de eventos, nem mesmo a luz é capaz de escapar da atra¸cão gravitacional do buraco negro.

(31)

Cap´ıtulo 3

Teoria Cl´

assica de Campos

Será extremamente importante entendermos um pouco de Teoria Clássica de Campos para que possamos, no final desse cap´ıtulo, escrever a a¸cão descrevendo um campo escalar clássico. A partir dessa a¸cão, seremos capazes de chegar nas equa¸cões de Hamilton que também serão importantes no próximo cap´ıtulo para a quantiza¸cão do campo escalar.

3.1 Defini¸

c˜

ao informal de campo

Mas o que seria um campo, informalmente falando? Definiremos que campo é um tipo de “máquina” que “engole” a posi¸cão definida no espa¸co-tempo e “cospe” um objeto representando a amplitude de algo nesse ponto no espa¸co-tempo. A amplitude pode ser um escalar, um vetor, um número complexo, um spinor ou um tensor. No caso que analisaremos (campo escalar), teremos obviamente a amplitude como sendo um escalar.

3.2 Dinˆ

amica hamiltoniana

Precisamos entender como a teoria clássica de campos se comporta no espa¸co-tempo plano. Vamos a princ´ıpio derivar as equa¸cões de movimento para uma part´ıcula 1-D com coordenadas generalizadas q(t) usando o princ´ıpio da m´ınima a¸cão:

S = Z

L(q, ˙q)dt.

L(q, ˙q) ´e a lagrangiana que tipicamente, para sistemas conversativos, tem a forma:

L = K − V,

onde K ´e a energia cin´etica e V o potencial.

Seguindo o cálculo variacional de livros avan¸cados de mecânica clássica [8], temos que os pontos cr´ı-ticos da a¸cão são aqueles que satisfazem a equa¸cão de Euler-Lagrange:

∂L ∂q − d dt ∂L ∂ ˙q = 0. (3.1) 22

(32)

Entretanto, nós iremos dar uma ênfase maior à dinâmica Hamiltoniana. As equa¸cões de Lagrange para um sistema com n graus de liberdade constituem um conjunto de n equa¸cões diferenciais ordinárias de segunda ordem no tempo para coordenadas generalizadas q1(t), q2(t), ..., qn(t).

Na formula¸cão introduzida por Hamilton, o quadro é diferente. As equa¸cões de movimento são 2n equa¸cões que estão relacionadas com as quantidades: q1, ..., qn e p1, ..., pn, onde pié o momento canônico

conjugado a qi definido por:

pi=

∂L ∂ ˙qi

, i = 1, ..., n. (3.2)

Assim, a descri¸cão hamiltoniana envolve a substitui¸cão de variáveis (q, ˙q) por (q, p) em todas as grandezas mecânicas, e a introdu¸cão de uma fun¸cão H(q, p, t) em lugar da Lagrangiana. A mudan¸ca de descri¸cão é feita por meio de uma transformada de Legendre, consistindo na substitui¸cão de velocidades generalizadas por momentos canônicos e na introdu¸cão da fun¸cão de Hamilton, definida por:

H(q, p, t) = n X i=1 ˙ qipi− L(q, ˙q, t) (3.3)

Tomando o diferencial da equa¸c˜ao (3.3), obtemos:

dH = n X i=1 ( ˙qidpi+ pid ˙qi) − n X i=1 ∂L ∂qi dqi+ ∂L ∂ ˙qi d ˙qi +∂L ∂tdt. (3.4)

Mas pela defini¸cão (3.2) e pela defini¸cão (3.1) para o momento canônico conjugado, a equa¸cão (3.4) fica:

dH = n X i=1 ( ˙qidpi− ˙pidqi) − ∂L ∂tdt. (3.5)

Mas, tamb´em:

dH = n X i=1 ∂H ∂qi dqi+ ∂H ∂pi dpi +∂H ∂t dt. (3.6)

Portanto, comparando a eq. (3.5) com a eq. (3.6), chegamos que:

˙ qi= ∂H ∂pi , p˙i= − ∂H ∂qi , i = 1, ..., n. (3.7)

As duas equa¸cões de (3.7) são as equa¸cões de Hamilton.

3.3 Campos cl´

assicos

A teoria de campos é formulada de modo parecido com o que vimos até aqui, porém tomamos o limite em que o número de graus de liberdade n −→ ∞ e o ´ındice discreto i torna-se cont´ınuo (x). A a¸cão S é um funcional desses campos. Numa teoria de campos, a lagrangiana pode ser expressa como uma integral no volume de uma uma densidade de lagrange L que é fun¸cão do campo φi e de sua derivada ∂µφ

L = Z L(φ, ∂µφ)d3x. S = Z L(φ, ∂µφ)d4x.

(33)

A densidade de Lagrange ´e um escalar de Lorentz. Vamos nos referir `a densidade de Lagrange como sendo apenas a lagrangiana.

As equa¸cões de Euler-Lagrange vêm de requerer que a a¸cão deve ser imutável sob pequenas varia¸cões dos campos.

φ −→ φ + δφ.

∂µφ −→ ∂µφ + δ(∂µφ).

δφi_´_{e pequeno, podemos expandir ent˜}_{ao a lagrangiana em uma s´}_{erie de Taylor sobre a varia¸}_c˜_ao:

L(φ, ∂µφ) −→ L(φ + δφ, ∂µφ + ∂µδφ) = L(φ, ∂µφ) + ∂L ∂φδφ + ∂L ∂(∂µφ) ∂µ(δφ).

A varia¸cão da a¸cão então toma a seguinte forma:

δS = Z d4x ∂L ∂φδφ + ∂L ∂(∂µφ) ∂µ(δφ) .

Depois de algumas manipula¸cões a partir da regra da integra¸cão por partes, chegamos na seguinte rela¸cão de Euler-Lagrange para os campos:

∂L ∂φ − ∂µ L ∂(∂µφ) = 0.

Essa é a equa¸cão de Euler Lagrange para campos no espa¸co-tempo plano. O exemplo mais simples é de um campo escalar φ(xµ_).

Consideremos agora um campo escalar cl´assico que possui:

• Energia cin´etica: 1 2φ˙ 2_{, onde ˙}_{φ =} ∂φ ∂t • Energia gradiente: -1 2(∇φ) 2_. • Energia potencial: V (φ).

Portanto, a lagrangiana pode tomar a seguinte forma:

L = −1 2η µν_(∂ µφ)(∂νφ) − V (φ). Portanto: ∂L ∂φ = − dV dφ. ∂L ∂(∂µφ) = −ηµν∂νφ.

Logo, a equa¸c˜ao de Euler-Lagrange fica:

φ −dV_dφ = 0, onde = ηµν_∂ µ∂ν é o d’alambertiano. A equa¸cão é equivalente à: ¨ φ − ∇2φ +dV dφ = 0.

(34)

Uma escolha plaus´ıvel para o potencial é um do tipo quadrático em que m tem a interpreta¸cão de massa do campo: V (φ) =m2₂φ2. Portanto, nesse caso, temos que:

φ − m2φ = 0, que ´e a equa¸c˜ao de Klein-Gordon.

O momento conjugado para um campo ´e: π = _∂(∂∂L

tφ) =

∂L

∂(∂ ˙φ) = ˙φ. Para a equa¸c˜ao de Klein-Gordon:

π = ˙φ. O hamiltoniano pode ser expresso por H = R d3_xH _{,onde a densidade hamiltoniana H est´}_a

relaionada com a lagrangiana pela transformada de Legendre:

H = π ˙φ − L(φ, ∂µφ) = π2 2 + (∇φ)2 2 + m2_φ2 2 ,

onde a equa¸c˜ao acima representa a densidade de energia total do sistema.

3.4 Generaliza¸

c˜

ao da a¸

c˜

ao para espa¸

co-tempo curvo

Nosso objetivo principal é analisar um fenômeno onde existe a propaga¸cão de um campo quântico escalar num campo gravitacional de um buraco negro, portanto, precisamos generalizar a a¸cão de espa¸co-tempo plano para espa¸co-tempo curvo.

Lembrando que a densidade de Lagrange para um campo escalar real φ(x) em espa¸co-tempo plano ´e:

L = 1 2η

µν_(∂

µφ)(∂νφ) − V (φ), (3.8)

onde ηµν _{= diag(1, −1, −1, −1) ´}_{e a m´}_{etrica de Minkowski e V (φ) ´}_{e o potencial que descreve a}

auto-intera¸cão do campo. Para um campo não interagente de massa m, o potencial é:

V (φ) = 1 2m

2_φ2_.

Para generalizar a densidade lagrangiana (3.8) para espa¸co-tempo curvo, com m´etrica arbitr´aria gµν,

temos que:

(i) Substituir a m´etrica de Minkowski pela m´etrica geral gµν.

(ii) Substituir as derivadas ordin´arias pelas derivadas covariantes. (iii) Usar o elemento de volume d4_x√_{−g, onde g = det(g}

µν).

Portanto, teremos a a¸c˜ao de um espa¸co-tempo curvo representada por:

S = Z d4x√−g 1 2g µν_∇ µφ∇νφ − V (φ) .

A justificativa para (iii) pode se basear no seguinte argumento:

Considere um plano euclidiano bidimensional com coordenadas x0 e y0 cuja m´etrica tem componentes gij(x0) nesse sistema de coordenadas, onde i, j = 1, 2 e essas componentes diferem da m´etrica euclidiana

(35)

elemento de ´area infinitesimal do paralelogramo definido a partir dos vetores ~l1= (dx0, 0) e ~l2= (0, dy0). O tamanho do vetor l1´e: |~l1| = q gijI1iI j 1 = √ g11dx0. Analogamente, |~l2| = √

g22dy0. O produto escalar dos dois vetores que definem o paralelogramo ´e:

~

l1· ~l2= gijI1iI j

2 = g12dx0dy0. (3.9)

Tamb´em podemos representar o produto escalar da seguinte forma:

~l1· ~l2= |~l1| |~l2| cos θ. (3.10)

Comparando (3.9) com (3.10), chegamos na seguinte express˜ao:

cos θ = √g12 g11g22

.

Pela rela¸c˜ao trigonom´etrica cos2_{θ + sen}2_{θ = 1 determinamos o valor de sen θ.} _{Calculamos a ´}_area

infinitesimal dA do paralelogramo como:

dA = |~l1| |~l2| sen θ =

p

g11(g12)2dx0dy0=pdet gijdx0dy0.

Em n dimens˜oes, teremos a generaliza¸c˜ao: dV = dn_{xp|g(x)|. No espa¸co-tempo quadridimensional, com}

a métrica com assinatura (+, −, −, −), o determinante g é negativo, logo, o elemento de volume será dado por: d4_x√_−g.

Vamos, por fim, dar um exemplo que representa a a¸c˜ao para o campo gravitacional, a a¸c˜ao de Einstein-Hilbert :

Sgrav= − 1 16π

Z

d4x√−g (R + 2Λ),

onde R é o escalar de Ricci e Λ é a constante cosmológica. As equa¸cões de campo de Einstein são obtidas extremizando a a¸cão com respeito à gαβ. Fazendo isso, chegamos que:

δSgrav δgαβ = − √ −g 16π Rαβ− 1 2gαβR = 0,

(36)

Cap´ıtulo 4

Teoria Quˆ

antica de Campos

Como queremos estudar a propaga¸cão de campos quânticos escalares em um campo gravitacional clássico de um buraco negro, precisamos entender como podemos quantizar um campo escalar. Usaremos [9] e [10] como textos-base para esse cap´ıtulo. A ideia central é que, para quantizar um campo clássico, devemos tratá-lo como um conjunto infinito de osciladores harmônicos. Sendo assim, entender como quantizamos um oscilador harmônico será essencial para quantizarmos o campo escalar.

4.1 Quantiza¸

c˜

ao canˆ

onica de um campo escalar

4.1.1 Oscilador harmˆ

onico simples

Um oscilador harmˆonico simples tem lagrangiana definida por:

L(t, q, ˙q) = 1 2q˙

2₋1

2w

2_q2_{(massa m = 1).}

O hamiltoniano de um oscilador harmˆonico simples ´e dado por:

H(p, q) = 1 2p˙

2₊1

2w

2_q2_{(massa m = 1).}

As equa¸c˜oes de Hamilton s˜ao:

˙

q = p, p = −w˙ 2q. (4.1)

Na teoria quântica, q(t) e p(t) são quantizados, formando os operadores ˆq(t) e ˆp(t) satisfazendo a rela¸cão de comuta¸cão: [ˆq, ˆp] = i. A partir das equa¸cões de Hamilton, obtemos:

dˆq dt = ˆp,

dˆp dt = −w

2_q._ˆ

Vamos introduzir dois operadores hermitianos:

ˆ a−=r w 2 ˆ q(t) + i ωp(t)ˆ , aˆ+=r w 2 ˆ q(t) − i ωp(t)ˆ .

Esses são os operadores de aniquila¸cão e de cria¸cão respectivamente, satisfazendo a rela¸cão de comuta¸cão:

[ˆa−, ˆa+] = 1. 27

(37)

Isolando os operadores ˆp e ˆq, temos: ˆ q = √1 2ω(ˆa −_{+ ˆ}_a+_), _{p =}_ˆ √ ω i√2(ˆa −_{− ˆ}_a+_). _(4.2)

As equa¸cões de movimento serão dadas usando a rela¸cão (4.1) e substituindo em (4.2), obtendo então: d dtâ −_{= −iωˆ}_a−_. d dtâ +_{= +iωˆ}_a+_.

4.1.2 Osciladores harmˆ

onicos quˆ

anticos

Um campo livre pode ser tratado como um conjunto infinito de osciladores harmônicos. Portanto, nós quantizamos o campo escalar generalizando o método usado para descrever um conjunto finito de oscila-dores.

A a¸c˜ao mais geral descrevendo N osciladores harmˆonicos com coordenadas generalizadas q1, ..., qN

S[qi] = 1 2 Z   N X i=1 ˙ qi− N X i,j=1 Mijqiqj   dt,

onde a matriz Mij ´e sim´etrica. Escolhendo um conjunto normal de coordenadas:

q_α0 =

N

X

i=1

Cαiqi,

a matriz Mij pode ser diagonalizada, Mij −→ Mαβ= δαβωα2de tal forma que os osciladores “desacoplam”

um do outro. Nessas novas coordenadas, a a¸c˜ao toma a forma:

S[qα0] = 1 2 Z N X α=1 ( ˙qα− ωα2qα2) dt,

onde retiramos o s´ımbolo ’ de q para simplificar a nota¸c˜ao.

Os modos qα s˜ao quantizados introduzindo os operadores ˆqα(t) e ˆpα(t) que satisfazem as rela¸c˜oes de

comuta¸c˜ao postuladas para um tempo t fixo:

[ˆqα, ˆpβ] = iδαβ, [ˆqα, ˆqβ] = [ˆpα, ˆpβ] = 0.

Vamos definir os operadores de cria¸c˜ao e aniquila¸c˜ao como sendo:

ˆ a±_α(t) =r ωα 2 ˆ qα(t) ∓ i ωα ˆ pα(t) .

Usando a mesma ideia do oscilador harmˆonico simples, obtemos as equa¸c˜oes de movimento: d

dtˆa

±

α(t) = ±iωαˆa±α(t).

Portanto, a solu¸cão geral para essas equa¸cões será:

ˆ

a±(t) = ˆa±_α(0) e±iωαt_,

onde â±_α(0) são operadores/constantes de integra¸cão que satisfazem a rela¸cão de comuta¸cão: [â−_α, â+_β] = δαβ.

(38)

Abaixo, iremos usar operadores de cria¸cão e aniquila¸cão que não dependem do tempo (â±_α(0)) e não vamos colocar explicitamente o tempo t = 0, ficando apenas â±_α na nova nota¸cão. O espa¸co de Hilbert para um sistema de osciladores harmônicos é constru´ıdo com a ajuda dos operadores â±_α. Particularmente, o estado de vácuo, denotado por: |0, ..., 0i, é o autovetor de todos os operadores de aniquila¸cão â−_α com autovalor 0:

ˆ

a−α|0, ..., 0i = 0, α = 1, ..., N.

O estado |n1, n2, ..., nNi com número de ocupa¸cão nα para cada oscilador qαé definido por:

|n1, ..., nNi = N Y α=1 (ˆaα)nα √ nα! |0, 0, ..., 0i.

4.1.3 Limite do cont´ınuo

Entretanto, estamos interessados no limite do cont´ınuo, que estará relacionado com um campo clássico. Um campo clássico é descrito por uma fun¸cão φ(x, t). Podemos interpretar um campo como um conjunto infinito de osciladores qi(t) ⇐⇒ φx(t). Usando essa analogia, tratamos o campo escalar φ(x, t) como uma

cole¸cão infinita de osciladores harmônicos. Substitu´ımos as somas sobre ´ındices discretos i por integrais sobre o ´ındice cont´ınuo x, portanto, a a¸cão para o campo escalar deve ser:

S[φ] = 1 2 Z dt Z d3x ˙φ2(x, t) − Z d3x d3y φ(x, t) φ(y, t) M (x, y) (4.3)

A a¸cão acima deve ser invariante com respeito às transforma¸cões de Lorentz e transla¸cões espa¸co-temporais (grupo de Poincaré). A a¸cão mais simples que satisfaz essa invariância para um campo escalar real é obtida para o caso em que:

M (x, y) = [−∆x+ m2]δ(x − y),

onde ∆xé o laplaciano em rela¸cão à coordenada x. Assim a a¸cão toma a forma:

S[φ] = 1 2

Z

d4x [ ηµν(∂µφ)(∂νφ) − m2φ2],

que tamb´em pode ser representada da forma:

S[φ] = 1 2 Z

d3x dt [ ˙φ2− (∇φ)2− m2φ], (4.4)

onde estamos usando a m´etrica: ηµν _{= diag (1, −1, −1, −1). Sabemos que a derivada de um funcional ´}_e

dada por: δS δφ = ∂L ∂φ− ∂ ∂t ∂L ∂ ˙φ − ∇ · _∂L ∂(∇φ) .

Obtemos a equa¸c˜ao de movimento: δS δφ(x, t) = ¨φ

2_{(x, t) − ∆φ(x, t) + m}2_{φ(x, t).} _(4.5)

Pela equa¸cão (4.5), observamos que os osciladores φ(x, t) estão acoplados, pois o laplaciano contém derivadas de segunda ordem de φ com respeito à posi¸cão.

Para desacoplarmos os osciladores, iremos usar a transformada de Fourier:

φ(x, t) =

Z _d3_k

(2π)3/2 e ik·x_φ

(39)

Substituindo a transformada de Fourier de (4.6) em (4.5), obtemos:

d2

dt2 φk(t) + (k

2_{+ m}2_{) φ}

k(t) = 0,

onde k ´e o m´odulo de seu valor. Em termos de φk(t), (4.4) toma a forma:

S = 1 2

Z

dt d3k( ˙φkφ˙−k− ω2kφkφ−k),

onde φ−k = φ∗k e ωk2= k2+ m2.

Agora iremos quantizar um campo escalar em espa¸co-tempo plano. Primeiro iremos reformular a teoria cl´assica de campos no formalismo Hamiltoniano. A partir da a¸c˜ao em (4.4), temos que:

L = 1 2η µν_(∂ µφ)(∂νφ) − 1 2m 2_φ2_.

O momento canônico é definido como a derivada funcional da lagrangiana com respeito à velocidade generalizada ∂φ_∂t. Portanto:

π(x, t) = δL

δ ˙φ(x, t)= ˙φ(x, t). Como vimos anteriormente, para um campo escalar:

H = π ˙φ − L(φ, ∂µφ) = π2 2 + (∇φ)2 2 + m2φ2 2 , logo : H = Z d3x π 2 2 + (∇φ)2 2 + m2_φ2 2 . (4.7)

Portanto as equa¸c˜oes de movimento de Hamilton ser˜ao: ∂φ(x, t) ∂t = δH δπ(x, t) = π(x, t). ∂π(x, t) ∂t = − δH δφ(x, t) = ∆φ(x, t) − m 2_{φ(x, t).}

Para quantizarmos o campo escalar, iremos introduzir os operadores ˆφ(x, t) e ˆπ(x, t) e postularemos as seguintes rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao:

[ ˆφ(x, t), ˆπ(y, t)] = i δ(x − y). (4.8)

[ˆπ(x, t), ˆπ(y, t)] = [ ˆφ(x, t), ˆφ(y, t)] = 0.

Usando a transformada de Fourier:

ˆ φ(x, t) = Z _d3_k (2π)3/2 e ik·x_φ_ˆ k(t). (4.9) ˆ π(y, t) = Z _d3_k0 (2π)3/2 e ik·y_π_ˆ k0(t).

Substituindo as transformadas de Fourier nas rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao acima, obtemos:

[ ˆφk(t), ˆπk0(t)] = i δ(k + k0).

Vamos introduzir os operadores de cria¸c˜ao e de aniquila¸c˜ao:

ˆ a−_k(t) =r ωk 2 ˆ φk+ iˆπk ωk , (4.10)