Ensaio sobre o fluxo de Ricci e os buracos negros: fundamentação e estudo computacional

(1)

Instituto de Biociˆencias, Letras e Ciˆencias Exatas

Claudia Maria G. Gon¸calves Franchi

Orientador: Prof. Dr. Manoel Ferreira Borges Neto

Ensaio sobre o Fluxo de Ricci e os Buracos Negros: Fundamenta¸c˜ao e Estudo Computacional

(2)

Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas Programa de Pós-Gradua¸cão em Ciência da Computa¸cão

Departamento de Ciˆencia da Computa¸c˜ao e Estat´ıstica

Claudia Maria G. Gon¸calves Franchi

Orientador: Prof. Dr. Manoel Ferreira Borges Neto

Disserta¸cão como parte dos requisitos para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Ciência da Computa¸cão, junto ao Programa de Pós-Gradua¸cão em Ciência da Computa¸cão, Área de Concentra¸cão - Computa¸cão Cient´ıfica, do Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas da Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Campus de São

Jos´e do Rio Preto.

(3)

Ensaio sobre o fluxo de Ricci e os buracos negros: fundamenta¸cão e estudo Computacional / Claudia Maria. G. Gon¸calves Franchi. - São José do Rio Preto: [s.n.], 2013.

126 f. : il. ; 30 cm.

Orientador: Manoel Ferreira Borges Neto

Disserta¸cão (mestrado) - Universidade Estadual Paulista, Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas

1. Computa¸cão - Matemática. 2. Relatividade geral (F´ısica) 3. Bu-racos Negros (Astronomia) 4. Fluxo de Ricci. I. Ferreira Neto, Manoel Borges. II. Universidade Estadual Paulista, Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas. III. T´ıtulo.

CDU - 519.67

(4)

Disserta¸cão apresentada como parte dos requisitos para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Ciência da Computa¸cão, área de Com-puta¸cão Cient´ıfica junto ao Programa de Pós-Gradua¸cão em Ciência da Computa¸cão do Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas da Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Campus de São

Jos´e do Rio Preto.

BANCA EXAMINADORA

Prof. Dr. Manoel Ferreira Borges Neto UNESP - S˜ao Jos´e do Rio Preto - SP Orientador

Prof. Dr. Carlos Roberto Valêncio UNESP - São José do Rio Preto - SP

Prof. Dr. Wladimir Seixas

UFSCAR - Universidade Federal de S˜ao Carlos - SP

(5)

por quˆe.

“Somente nas misteriosas equa¸cões do amor é que alguma lógica ou razão pode ser encon-trada”. Só estou aqui agora por sua causa. Você é a razão de eu existir. “Você é toda a minha razão”.

(6)

Agradecimentos

`

A Deus, que me carregou quando me faltaram for¸cas.

Ao querido Vander Franchi, meu grande parceiro e incentivador, o qual n˜ao tenho palavras para agradecer tudo o que abdicou por mim.

Aos meus filhos adorados, Ana Jéssica e Raul Cézar, pelo carinho, paciência e compreensão, nunca se esque¸cam de que vocês sempre serão a minha maior cria¸cão e o meu mais perfeito projeto.

Ao Prof. Dr. Borges, por ser minha inspira¸c˜ao, pela orienta¸c˜ao, pela oportunidade de trabalhar ao seu lado e pela confian¸ca em mim depositada, a qual guardarei com carinho pelo resto dos meus dias, jamais me esquecerei das nossas conversas.

Ao Renato Gomes dos Reis, meu grande amigo, pela contribui¸cão no desenvolvi-mento deste trabalho, por não me deixar desistir e por acreditar em mim quando eu mesma não acreditei.

Aos meus alunos, por me permitirem partilhar da sua jornada e por me ensinarem tanto, quando deveriam apenas aprender.

Aos funcionários, docentes e discentes do Departamento de de Pós Gradua¸cão em Ciência da Computa¸cão da Unesp; À Grazielle, à Kelly e à Maria Angélica, do Depar-tamento de Engenharia de Alimentos, pelas revisões, pelas sugestões e por todo o apoio durante o desenvolvimento do trabalho.

(7)

Então Einstein estava errado quando disse: “Deus não Joga Dados”. Considerando os bu-racos negros, sugere não só que Deus joga da-dos, mas que às vezes nos confunde jogando-os onde eles não podem ser vistjogando-os.

(8)

Resumo

A curvatura de Ricci desempenha um papel importante em relatividade geral, em que é o termo dominante nas equa¸cões de campo de Einstein. Sendo assim, no presente trabalho pretende-se: (i) Desenvolver e aplicar técnicas de fluxo de Ricci à Teoria da Relatividade Geral (TRG); (ii) Discorrer sobre as propriedades do espa¸co-tempo utilizando superf´ıcies mergulhadas; (iii) Utilizar simula¸cões computacionais em assuntos pertinentes à teoria da Relatividade Geral, particularmente ao estudo dos Buracos Negros e sua evolu¸cão. Para tal, utilizar-se-á a plataforma Maple R para simula¸cões utilizando elementos geométricos

do fluxo de Ricci, pois esta consiste numa importante ferramenta, já que é uma plataforma integrada, que pode realizar computa¸cão simbólica, numérica e visualiza¸cões no mesmo ambiente. Pode-se assim realizar todos os passos necessários para as simula¸cões numéricas no fluxo de Ricci utilizando o software Maple R. Esta aplica¸cão pode se tornar uma

op¸c˜ao importante a ser adotada, constituindo assim numa base confi´avel para outros fu-turos trabalhos.

Palavras-chave: Computa¸c˜ao Matem´atica, Relatividade Geral, Fluxo de Ricci,

(9)

Abstract

The Ricci curvature plays an important role in general relativity, where is the dominant

term in Einstein’s field equations. Thus, the present work aims to : (i)Develop and apply Ricci flow techniques to the General Theory of Relativity (TRG); (ii) Discuss the pro-perties of spacetime using layered surfaces; (iii) Using computer simulations in matters pertaining to the theory of General Relativity, particularly the study of black holes and

their evolution. To this end, It will use the platform Maple R for simulations using

geometric elements of the Ricci flow, because this is an important tool, since it is an

inte-grated platform, that can perform symbolic computation, numerical and views in the same

environment. One can thus carry out all the steps necessary for numerical simulations in

Ricci flow using software Maple R . This application can become an important option

to be adopted, thus providing a reliable basis for other future work.

(10)

Sum´

ario

Lista de Figuras x

1 Introdu¸c˜ao Geral 1

1.1 Objetivos . . . 2

1.2 Descri¸c˜ao dos Cap´ıtulos . . . 2

2 Defini¸cão e histórico dos Buracos Negros 4 3 Estrutura matemática dos buracos negros 14 3.1 Introdu¸cão . . . 14

3.2 Buraco negro de Schwarzschild . . . 15

3.3 Buraco negro de Kerr . . . 17

3.4 Espa¸co Tempo de Minkowski . . . 18

4 Termodinˆamica dos Buracos Negros 25 4.1 A mecˆanica dos buracos negros . . . 28

4.2 As leis da mecˆanica dos buracos negros . . . 28

4.2.1 Lei Zero . . . 28

4.2.2 Primeira Lei . . . 29

4.2.3 Segunda Lei . . . 30

4.2.4 Terceira Lei . . . 31

4.3 Conjectura da Censura C´osmica . . . 35

4.3.1 Vers˜ao F´ısica da Conjectura da Censura C´osmica . . . 36

4.3.2 Formula¸c˜ao F´ısica da Conjectura da Censura C´osmica . . . 36

4.4 Topologia dos Buracos Negros . . . 37

4.5 Teorema da ´Area . . . 37

(11)

4.5.1 Demonstra¸c˜ao do Teorema da ´Area dos Buracos Negros . . . 39

5 Aspectos quˆanticos dos buracos negros 42 5.1 Radia¸c˜ao de Hawking . . . 45

5.1.1 Processo de Emiss˜ao de Radia¸c˜ao . . . 47

6 O Fluxo de Ricci 52 6.1 Introdu¸c˜ao . . . 52

6.2 O Fluxo de Ricci e outros Fluxos Geom´etricos . . . 53

6.3 Teorema de Gage-Hamilton . . . 54

6.4 Defini¸c˜ao matem´atica do fluxo de Ricci . . . 57

6.5 Fluxo de Ricci normalizado . . . 58

6.6 Exemplos de solu¸c˜oes exatas do Fluxo de Ricci - Variedades de Einstein . . 58

6.7 Fluxo de Ricci de forma geom´etrica . . . 60

6.7.1 Caso bidimensional . . . 60

6.7.2 Caso tridimensional: Neck Pinch . . . 60

6.7.3 Neck Pinch degenerado . . . 62

6.7.4 Defini¸c˜ao de ε-Neck . . . 64

6.7.5 S´oliton . . . 66

6.8 Generaliza¸c˜ao do fluxo de Ricci . . . 67

7 Visualiza¸c˜oes com o Maple R 70 7.1 Software Maple R . . . 70

7.2 Utiliza¸c˜ao do Maple R para visualiza¸c˜ao de variedades regulares . . . 71

7.2.1 Variedades regulares . . . 71

7.3 Visualiza¸c˜oes com o fluxo de Ricci . . . 75

8 Resultados e discuss˜oes 80 8.1 Buraco Negro de Schwarzschild . . . 80

8.1.1 M´etricas: Codifica¸c˜ao por Vierbein . . . 82

8.1.2 M´etricas Codificadas por Vierbein . . . 82

8.2 Exemplo de Solu¸c˜ao e Plotagem dos Gr´aficos . . . 84

(12)

8.3 Buraco Negro de Kerr . . . 90 8.3.1 Exemplo de Solu¸c˜ao e Plotagem dos Gr´aficos - Buraco Negro de Kerr 90 8.4 A esfera colapsante . . . 94

9 Considera¸c˜oes Finais 98

9.1 Sugest˜ao para Trabalhos Futuros . . . 99 9.2 Produ¸c˜ao de trabalhos . . . 99

(13)

Lista de Figuras

2.1 Diagrama HR teórico mostrando as diversas fases da evolu¸cão de uma estrela de 5 massas solares, a partir da seqüência principal (SP), no extremo esquerdo inferior, e quanto tempo

a estrela leva em cada fase, segundo os c´alculos de Icko Iben Jr. (1931-) [19]. . . 8

2.2 Esquema de evolu¸cão estelar, não em escala, para massas diferentes. A classifica¸cão espec-tral de uma estrela na sequência principal com 0,45 MSolé M1V, 8MSolé B2V, 10 MSol é B1V e 25MSolé O7V [19]. . . 9

2.3 Ilustra¸cão da Nasa mostra um buraco negro supermassivo no centro da galáxia em espiral NGC 1365. Este buraco tem 2 milhões de vezes a massa do Sol. [19]. . . 13

3.1 Diagrama Carter-Penrose do espa¸co tempo de Minkowski de [41]. . . 19

3.2 Representa¸c˜ao de um espa¸co tempo resultante do completo colapso gravitacional de um corpo esf´erico de [25], [33]. . . 20

3.3 Um diagrama de acordo com o mesmo espa¸co-tempo figura 3.2. Neste caso a regi˜aoαdo espa¸co tempo f´ısico est´a do lado de fora deJ−₍_I₊_{) [43]. . . .} ₂₀

3.4 Outra poss´ıvel representa¸cão do fecho de M do espa¸co tempo f´ısico que fora represen-tado pictoricamente na figura anterior. Como na figura 3.3, as dimensões angulares são suprimidas, desta forma um ponto determinado deste diagrama representa uma 2-esfera (excetuando-ser= 0 ei0) - Diagrama de Penrose [45]. . . 21

3.5 Ilustra¸cão: Em (a) :y≪xcurvas do tipo temporal. Em (b), pontos no cojunto aberto de b também estão emI+_{+ (}_x₎_∩_I−₍_y_{), em (}_c_{) de acordo com teorema 3.1 [43]. . . .} ₂₃

4.1 Ilustra¸c˜ao de uma singularidade nua e uma singularidade oculta por um horizonte de eventos (adaptada de [41]). . . 37

4.2 Ilustra¸c˜ao das hipersuperf´ıcies de Cauchy. . . 38

4.3 Representa¸c˜ao esquem´atica de pontos conjugados, de [25]. . . 39

4.4 Ilustra¸c˜ao dos pontos conjugados em um espa¸co-tempo bibimensional de [34]. . . 39

4.5 Ilustra¸cão da forma¸cão de um buraco Negro de colapso gravitacional esfericamente simétrico - diagrama de Finkelstein [25], [41], [58]. . . 40

4.6 Diagrama de Finkelstein ilustrando a colis˜ao de dois buracos negros [58]. . . 41

(14)

5.1 Ilustra¸c˜ao onde se observa que em (A) o par forma-se e desaparece sem atravessar o hori-zonte, em (B) o par forma-se do lado de fora e ambas as part´ıculas atravessam o horizonte e em (C) o par forma-se do lado de fora mas apenas uma das part´ıculas atravessa o horizonte. 46

5.2 Ilustra¸c˜ao representando a Linha de Corte no Plano-v Complexo. . . 49

6.1 Ilustra¸c˜ao de uma curva fechada parametrizada e seus respectivos vetores de curvatura (curvatura de Gauss) [79]. . . 54

6.2 Ilustra¸cão que mostra um c´ırculo encolhendo sob o fluxo de redu¸cão da curva (todos os c´ırculos são concêntricos mas, estão dispostos paralelamente para facilitar a visualiza¸cão de [79]). . . 55

6.3 Ilustra¸c˜ao que mostra uma el´ıpse encolhendo sob o fluxo de encurtamento da curva e por fim, se tornando cada vez mais semelhante a um circulo de [79]. . . 55

6.4 Caso bidimensional da esfera S2, com uma ilustra¸cão demonstrando que, regiões onde K <0, tendem à se expandir e regiões ondeK >0, tendem à colapsar [73]. . . 60

6.5 Caso tridimensional da esfera S2_{, com uma ilustra¸c˜}_{ao demonstrando que, regi˜}_{oes onde} K <0, tendem à se expandir e regiões ondeK >0, tendem à colapsar [73]. . . 61

6.6 Ilustra¸cão de como a métrica evolui contraindo assim a seçcão transversalS2 _{[73]. . . . .} ₆₂

6.7 Ilustra¸c˜ao da amplia¸c˜ao da curvatura, em que se pode observar oneck pinch se alongando e limitado por uma esfera S2 [73]. . . 62

6.8 Ilustra¸cão apresentando uma 3-esfera assimétrica em que, em L, a região tende a se ex-pandir e emR, a região tende a colapsar [73]. . . 62

6.9 Representa¸cão de uma 3-esfera assimétrica, ilustrando que R colapsou até se tornar um pequeno ponto que no fluxo do tempo tende a desvanecer [73]. . . 63

6.10 Ilustra¸c˜ao onde se pode observar a forma¸c˜ao de uma singularidade [73]. . . 63

6.11 Ilustra¸c˜ao onde se pode observar a forma¸c˜ao de um neck pinch degenerado [73]. . . 63

6.12 Ilustra¸c˜ao da amplia¸c˜ao do neck pinch degenerado, onde se pode observar um soliton de Bryant [73]. . . 64

6.13 Ilustra¸cão da seçcão transversal de uma 2-esfera com curvatura escalar próxima a 1 [2]. . 65

6.14 Ilustra¸c˜ao onde observa-se a evolu¸c˜ao doε-neck[2]. . . 65

7.1 Ilustra¸c˜ao da tela de abertura do MapleR - vers˜ao 13. . . 71

7.2 Gr´afico de uma semicircunferˆencia constru´ıda utilizando-se o software Maple. . . 72

7.3 Gr´afico uma esfera constru´ıda utilizando-se o software Maple. . . 73

7.4 Curva Espacial constru´ıda utilizando-se o software Maple. . . 73

7.5 Gr´afico de um paraboloide constru´ıdo utilizando-se o software Maple. . . 74

7.6 Gr´afico de uma circunferˆencia constru´ıda utilizando o software Maple. . . 75

7.7 Gr´afico de um toro constru´ıdo utilizando-se o software Maple . . . 75

(15)

8.2 Paraboloide de Flamm, com a topologia com topologia R×S1, (cilindro topológico). O buraco negro de Schwarzschild é um reflexo da geometria de Schwarzschild normal. Não

h´a buraco branco, apenas um buraco negro e seu reflexo [95]. . . 89

8.3 Gr´afico do Buraco negro de Schwarzschild, gerado pelo software Maple. . . 89

8.4 Gr´afico do buraco negro de Kerr, gerado pelo software Maple. . . 94

8.5 Gr´afico ilustrando uma 2-Esfera Colapsante, vista em corte [93]. . . 96

(16)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸c˜

ao Geral

Richard Hamilton, nascido em 1943, investigava a natureza intr´ınseca de variedades em três dimensões, desenvolveu o fluxo de Ricci, que é utilizado pelos matemáticos para entender a topologia de variedades em dimensão três [1], [2], e pode ser aplicado no estudo de teorias geométricas, como a Teoria da Relatividade Geral. Hamilton, utilizou os trabalhos de Eells e Sampson [3] sob os quais se edifica um estudo sobre problemas pertinentes às Conjecturas de Poincaré e Smith, culminando posteriormente na completa elabora¸cão do programa de Geometriza¸cão de Thurston [4], utilizada para descrever os modelos cosmológicos.

Este trabalho tem como objetivo o desenvolvimento de um método quantitativo, a partir de simula¸cões utilizando métodos geométricos aproveitando as caracter´ısticas geométricas do fluxo de Ricci, realizadas com adjutório do software MapleR, que relacione

o fluxo de Ricci à teoria da Relatividade Geral, particularmente ao estudo dos buracos negros e sua evolu¸cão. Definida uma variedade riemanniana com tensor métrico gij,

(M, gij) pode-se calcular o tensor de Ricci Rij, que contém informa¸cões sobre as médias

das curvaturas seccionais em uma espécie de ”tra¸co” do tensor de curvatura de Riemann. Considerando-se o tensor métrico e o tensor de Ricci associados, fun¸cões da variável tempo, o fluxo de Ricci pode ser definido pela equa¸cão de evolu¸cão geométrica.

∂tgij =−2Rij. (1.1)

O fluxo de Ricci normalizado faz sentido para variedades compactas e ´e dado pela equa¸c˜ao:

∂tgij =−2Rij +

2

(17)

1.1 Objetivos

Visando evidenciar a aplicabilidade ao estudo dos buracos negros, considera-se a variedade riemanniana assintoticamente plana e tridimensional. Definem-se os buracos negros como as regiões do espa¸co-tempo a partir da qual escapar para o infinito é impos-s´ıvel e, portanto, referem-se a uma estrutura assintótica. Exige-se que a métrica tenda a uma métrica plana fixaδij no infinito,

gij → δij + 0 (1/r). (1.3)

Dada a m´etrica inicial gij, o fluxo de Ricci evolui com a m´etrica, consoante ao

seu tensor de Ricci. A evolu¸cão do parâmetro t e da fam´ılia de métricas em (M, gij(t))

satisfazem a equa¸cão de fluxo de Ricci, Equa¸cão 1.1. O problema de simula¸cões utilizando métodos geométricos e visualiza¸cões com o fluxo de Ricci em variedades de dimensões três decorrem naturalmente da natureza geométrica deste fluxo, que atua diretamente sobre a métrica da superf´ıcie, tendendo a não preservar o mergulho. Joachim Hyam Rubinstein e Robert Sinclair [5] obtiveram uma série de resultados através da restri¸cão às classes das métricas de revolu¸cão, pois tais simetrias são preservadas sob a a¸cão do fluxo de Ricci e a métrica depende consideravelmente de um número menor de parâmetros em tais casos. Estas superf´ıcies tendem a permanecer mergulhadas emR3 _{tornando a visualiza¸cão direta}

poss´ıvel. ´

E poss´ıvel também utilizar simula¸cões numéricas já constante em outros traba-lhos e realizadas com adjutório de softwares, fazer uso de mecanismos já utilizados na Relatividade Numérica, uma vez que as simula¸cões numéricas para o fluxo de Ricci são análogas.

1.2 Descri¸c˜

ao dos Cap´ıtulos

Objetivando clareza na exposi¸c˜ao dos assuntos, o presente trabalho encontra-se dividido em nove cap´ıtulos.

No segundo cap´ıtulo, sucintamente, serão expostos alguns conceitos sobre a história dos buracos negros, desde as primeiras teorias até os trabalhos finais envoltos nesta teoria tão fascinante.

(18)

o buraco negro de Schwarzschild, o buraco negro de Kerr, cujas métricas serão posterior-mente utilizadas para a visualiza¸cão.

O quarto cap´ıtulo é dedicado à termodinâmica dos buracos negros, as lei da mecânica dos buracos negros e sua analogia com a termodinâmica são o principal en-foque do cap´ıtulo.

Em seguida, no quinto cap´ıtulo, serão tratados os aspectos quânticos dos buracos negros e a radia¸cão de Hawking.

O sexto cap´ıtulo será dedicado ao fluxo de Ricci, inicialmente será tratado do fluxo de Ricci e demais fluxos geométricos, defini¸cão do fluxo de Ricci e exemplos de solu¸cões exatas do fluxo de Ricci, finalizando com as variedades de Einstein em seguida o fluxo de Ricci será tratado em sua forma geométrica. Serão tratados os casos bidimensional e tridimensional, Neck Pinch,ε-Neck, e sobre os sólitrons; culminando com a generaliza¸cão do fluxo de Ricci.

No cap´ıtulo sete faz-se uma introdu¸c˜ao sobre o software Maple R e sua utiliza¸c˜ao

para visualiza¸c˜ao de superf´ıcies mergulhadas.

O cap´ıtulo oito é reservado aos resultados e discussões sobre as métricas dos buracos negros de Schwarzchild e de Kerr.

(19)

Cap´ıtulo 2

Defini¸c˜

ao e hist´

orico dos Buracos

Negros

Segundo Laplace (1798),“Inúmeras estrelas apresentam em sua colora¸cão e em seu brilho varia¸cões periódicas muito notáveis; existem algumas que aparecem de súbito

e outras que desaparecem, depois de terem, durante algum tempo, emitido uma luz muito

viva. Que prodigiosas mudan¸cas devem se operar na superf´ıcie desses corpos, para que eles

sejam tão sens´ıveis à distância que nos separa; de quanto eles devem ultrapassar

aque-las que n´os observamos na superf´ıcie do Sol! Todos esses corpos se tornam invis´ıveis no

mesmo lugar onde foram observados, pois eles em nada mudaram durante o seu

apareci-mento; existem, portanto, nos espa¸cos celestes, corpos obscuros t˜ao consider´aveis, e talvez

t˜ao grandes em n´umero, como as estrelas. Um astro luminoso de mesma densidade que a

Terra, e cujo diâmetro fosse o do Sol, não deixaria, em virtude de sua atra¸cão, que

nen-hum de seus raios luminosos nos atingissem; ´e poss´ıvel que os maiores corpos luminosos

do universo sejam por isso mesmo invis´ıveis. Uma estrela que, sem possuir tal grandeza,

ultrapasse consideravelmente o Sol, provocaria uma sens´ıvel redu¸c˜ao na velocidade da luz

e aumentaria assim a extens˜ao de sua aberra¸c˜ao”. [6]

(20)

corretas, sendo que, a luz pode ser considerada tanto onda como part´ıcula. Segundo a teoria de que a luz é formada por ondas, não fica estabelecido o fato de ela responder à gravidade. Mas se a luz é composta por part´ıculas, pode-se esperar que ela seja afetada pela gravidade. Inicialmente, acreditava-se que as part´ıculas da luz se deslocavam em velocidade infinita, de tal modo que a gravidade jamais seria capaz de atra´ı-las. Porém, a descoberta de Ole Roemer, um astrônomo dinamarquês, de que a luz se propaga em velocidade finita, implica num efeito importante [7].

Com base nessa suposi¸c˜ao em 1783, John Michell, postulou que,“uma estrela com massa suficientemente compacta poderia ter um campo gravitacional t˜ao forte que a luz

n˜ao poderia escapar. Qualquer luz emitida pela superf´ıcie da estrela seria puxada de volta

por uma atra¸cão gravitacional antes que conseguisse se afastar”. Michell sugeriu ainda que deveria haver um grande número de estrelas nessa situa¸cão. Ainda que não fosse poss´ıvel observá-las, pois sua luz não atingiria os olhos humanos, poder´ıa-se sofrer uma atra¸cão gravitacional [7]. Esses objetos são os chamados atualmente de buracos negros, pois são vácuos escuros no espa¸co. Decerto não é consistente tratar a luz com a teoria de Newton sobre a gravidade, uma vez que a velocidade da luz é fixa. No entanto, uma teoria adequada que justifique como a gravidade atua sobre a luz só foi sugerida por Einstein [8, 9, 10] em 25 de novembro de 1915, em um seminário onde, comunicou as equa¸cões finais da Teoria da Relatividade Geral para a Academia de Berlim. Mesmo assim, decorreu um longo per´ıodo antes que as implica¸cões da teoria para estrelas compactas fossem compreendidas.

Em 1915, Karl Schwarzschild [11] encontrou entre 08 de novembro e o fim do ano, um mês após a publica¸cão da “Teoria da Relatividade Geral” de Einstein, a ”Solu¸cão de Schwarzschild”. Foi a primeira solu¸cão exata para as equa¸cões de campo de Einstein executando-se a solu¸cão trivial para o espa¸co plano. Nas coordenadas de Schwarzschild, a métrica poderia ser expressa como [11]:

ds2 ₌_c2

1₋2GM

c2_r

dt2₋

1₋ 2GM

c2_r

−1

dr2₋_r2_d_Ω2_, _(2.1)

em que, Gcorresponde a constante de gravita¸cão universal,M é entendida como a massa do objeto e, dΩ2 ₌ _dε2 _{+ sin}2_ε2_dφ_{, corresponde a um elemento de ângulo sólido. A}

(21)

importante na solu¸c˜ao de Schwarzschild.

A métrica de Schwarzschild é a solu¸cão para as equa¸cões de campo gravitacional no vácuo, válida apenas externamente ao corpo em questão. Portanto, em um corpo esférico de raio R, a solu¸cão é válida para r > R. Se R for menor que o raio de Schwarzschildrs,

então a solu¸cão descreve o que seria um buraco negro. Para determinar o campo gravita-cional dentro ou fora do corpo em questão, deve-se descobrir a solu¸cão de Schwarzschild parar =R.

Adotando-se M _→0 ou r _{→ ∞}, obt´em-se a m´etrica de Minkowski [12],

ds2 =c2dt2₋dr2₋r2dΩ2. (2.2) Em 1917, Willem de Sitter [13] encontrou a ”Solu¸c˜ao de Sitter”,

gtt−1−

Λr2

3

. (2.3)

Einstein ent˜ao, estudou a m´etrica sob a forma: dS2 ₌ ₋_cos2_¯_r

R

dt2 ₊_d_¯_r2 ₊

sen2_r_¯

R

dΩ22 para que

Λ

3r = sen

_r_¯

R

com R _≡

Λ

3, em que r ´e a coordenada radial

padrão. Verificou também que a origem, ¯r = 0, é uma singularidade de coordenadas, e que r¯

R =

πR

2 , isto ´e, r =

Λ

3 também é uma singularidade, mas falha na inten¸cão de

encontrar uma transforma¸c˜ao que a elimine. Em 1922, Cornelius Lanczos [14] eliminou a singularidade de Sitter em

r =

Λ

3, (2.4)

escrevendo a m´etrica como [14]:

ds2 =₋dt2+ cosh2HtdΩ2₃. (2.5) Em 1924, Sir Arthur Stanley Eddington [15] introduziu as coordenadas de Edding-ton e reescreveu a m´etrica de Schwarzschild como [15]:

ds2 =ds2_M₄ +

2m r

(dt₋dr)2. (2.6)

Em 1925, George Lame´ıtre em Cambridge, escreveu a m´etrica de Sitter [13], como

ds2 =₋d˜t2+e2˜Rtdx2. (2.7)

(22)

maior que a observada anteriormente. Então, Wilhem Anderson [17], postulou que os elétrons são relativistas e que a densidade é consideravelmente pequena. Em verdade, Anderson encontrou uma massa cr´ıtica, quando a densidade tornou-se infinita. Stoner descreveu então, o que é conhecido agora, como a equa¸cão de estado de Anderson-Stoner para anãs brancas, uma equa¸cão relativista de estado para um gás de elétrons degenerado (zero de temperatura), cuja expressão para o ´ındice adiabáticoγ(δ), varia de 5/3 - limite não relativista - a 4/3. Stoner confirmou então, a existência de uma massa limitante, ou seja, 1,7 vezes a massa solar [7].

No entanto, Chandrasekhar [18] postulou que havia um limite para a repulsão que o princ´ıpio da exclusão pode prover. A teoria da relatividade limita a diferen¸ca máxima nas velocidades das part´ıculas de matéria da estrela à velocidade da luz. Isto significa que, quando a estrela se torna suficientemente densa, a repulsão causada pelo princ´ıpio da exclusão será menor que a atra¸cão da gravidade - “Limite de Chadrasekhar” [18]

MCh=

ω0 3

√

3π

2

c G

3₂ 1 (μemH)2

, (2.8)

em que, _{é a constante de Planck reduzida,} _c _{é a velocidade da luz,} _G _{é a constante}

gravitacional universal, mH é a massa do átomo de hidrogênio, μe é a massa molecular

m´edia do el´etron e Ω0

3 ∼= 2.018236 é a constante matemática relacionada à equa¸cão de

Lane-Emden [20].

Surgiram assim, algumas implica¸cões sobre o destino final das estrelas compactas. Se a massa de uma estrela for menor que o limite de Chandrasekhar ela pode, eventual-mente parar de se contrair, e se estabelecer num poss´ıvel estado final, como por exemplo, uma ”anã branca”, com raio de alguns milhares de quilômetros e densidade de milhares de toneladas por cent´ımetro cúbico. Uma anã branca é sustentada pela repulsão do princ´ıpio da exclusão entre os elétrons de sua massa, pode-se observar nas figuras 2.1 e 2.2.

(23)

Figura 2.1: Diagrama HR teórico mostrando as diversas fases da evolu¸cão de uma estrela de 5 massas solares, a partir da seqüência principal (SP), no extremo esquerdo inferior, e quanto tempo a estrela leva em cada fase, segundo os cálculos de Icko Iben Jr. (1931-) [19].

poss´ıvel de observa¸cão das estrelas de nêutrons, que só foram detectadas muito mais tarde. Estrelas com massa acima do limite de Chandrasekhar enfrentam um grande pro-blema quando esgotam seu combust´ıvel. Em alguns casos, elas podem explodir; ou então se orientar de forma a se livrar de matéria suficiente a fim de reduzir sua massa até abaixo do limite e, assim, evitar o colapso gravitacional. Isto contrariava as opiniões de vários cientistas, inclusive Einstein que, anos antes escrevera um trabalho em que afirmava que as estrelas não deveriam se contrair até o ponto zero. Chandrasekhar demonstrou que o princ´ıpio da exclusão pode não sustar o colapso de uma estrela cuja massa ultrapasse o limite que estabelecera, o problema da compreensão do que aconteceria com tal estrela, de acordo com a relatividade geral, foi resolvido pela primeira vez por Robert Oppenheimer [23], em 1939. Seus resultados, entretanto, sugeriram que não deveria haver consequên-cias emp´ıricas pass´ıveis de serem detectadas pelos telescópios da época, pode-se observar o destino final de estrelas de diferentes massas na figura 2.2.

(24)

extremi-Figura 2.2: Esquema de evolu¸cão estelar, não em escala, para massas diferentes. A classifica¸cão espectral de uma estrela na sequência principal com 0,45MSolé M1V, 8MSolé B2V, 10MSolé B1V e 25MSolé O7V [19].

dades s˜ao curvados ligeiramente para dentro, perto da superf´ıcie da estrela. Isto pode ser visto nas curvaturas de luz das estrelas distantes observadas durante um eclipse do Sol.

`

A medida que a estrela se contrai, o campo gravitacional em sua superf´ıcie se torna mais forte e os prismas de luz se curvam mais para dentro. Consequentemente torna-se mais dif´ıcil o mecanismo de escape da luz da estrela, fazendo com que ela pare¸ca mais opaca e avermelhada a um observador que se encontre à distância. Quando a estrela se encolher até um determinado raio cr´ıtico, o campo gravitacional de sua superf´ıcie se torna tão forte que os prismas de luz se curvam para dentro, de tal modo que a luz não pode mais escapar. De acordo com a teoria da relatividade, nada pode se deslocar mais rapidamente do que a luz. Assim, tem-se um conjunto de eventos e uma região de espa¸co-tempo, da qual não é poss´ıvel escapar para atingir um observador distante. Esta região é chamada de buraco negro. Seu limite é chamado de horizonte de eventos e coincide com as trajetórias dos raios de luz que não conseguem escapar do buraco negro [24].

(25)

buraco negro, é importante lembrar que na teoria da relatividade não existe o tempo absoluto e que cada observador tem sua própria medida. O tempo para alguém na estrela será diferente daquele de alguém à distância, devido ao campo gravitacional da estrela. A gravidade se torna mais fraca quanto mais afastado se estiver da estrela.

Roger Penrose e Stephen Hawking [25], demonstraram que, de acordo com a rela-tividade geral, deve haver uma singularidade de densidade infinita e curvatura do espa¸co tempo dentro de um buraco negro. Isto é quase igual à grande explosão no come¸co do tempo; seria apenas um fim do tempo para o corpo em colapso. Nessa singularidade, as leis cient´ıficas falhariam. Entretanto, qualquer observador que permanecesse fora do buraco negro não seria afetado por esta falha de previsibilidade, porque nem a luz, nem qualquer outro sinal poderia atingi-lo a partir da singularidade. As singularidades pro-duzidas pelo colapso gravitacional ocorrem apenas em lugares como os buracos negros, onde elas podem ser escondidas da visão externa por um horizonte de eventos [7].

O horizonte de eventos, limite da região do espa¸co-tempo do qual não é poss´ıvel escapar, age quase como uma membrana de dire¸cão única em volta do buraco negro; em que objetos podem cair dentro dele, mas nada, jamais, poderá sair de lá pelo mesmo caminho. O horizonte de eventos é a trajetória, através do espa¸co-tempo, percorrida pela luz que está tentando escapar do buraco negro.

Em 1967, o estudo dos buracos negros foi revolucionado por Werner Israel [26]. Israel demonstrou que, de acordo com a relatividade geral, buracos negros estáticos de-veriam ser muito simples: perfeitamente esféricos, seu tamanho dependendo apenas de sua massa. Sugeriu também que quaisquer dois buracos negros com massas equivalentes seriam idênticos. Poderiam na verdade ser descritos por uma determinada solu¸cão das equa¸cões de Einstein conhecida desde 1917, encontrada por Karl Schawrzschild pouco depois da descoberta da relatividade geral.

(26)

perfeitamente esférico, cujo tamanho dependeria apenas da massa da estrela em questão. Cálculos posteriores sustentaram este argumento, que passou, em pouco tempo a ser ado-tado genericamente.

O resultado de Israel dizia respeito apenas aos buracos negros formados exclusi-vamente por corpos estacionários. Em 1963, Roy Kerr [28], encontrou um conjunto de solu¸cões para as equa¸cões da relatividade geral que descreviam buracos negros rotativos. Estes buracos negros giravam a uma razão constante, sua forma e tamanho dependeriam apenas de sua massa e dessa razão de rota¸cão. Se a rota¸cão for zero, o buraco negro é perfeitamente redondo e a solu¸cão é idêntica à de Schwarzschild. Se a rota¸cão for não-zero, o buraco negro se arqueia extremamente na dire¸cão de seu equador e quanto mais aceleradamente ele girar, mais se arqueará. Assim, para aplicar o resultado de Israel incluindo os corpos rotativos, foi conjeturado que, qualquer corpo rotativo, que tivesse sofrido um colapso e formado um buraco negro, poderia eventualmente se estabelecer no estado estacionário descrito pela solu¸cão de Kerr [28, 26, 27].

Em 1970, Brandon Carter [29] demonstrou que, desde que um buraco negro rotativo estacionário tenha um eixo de simetria, como um ponto de rota¸cão, seu tamanho e forma só dependerão de sua massa e da razão de rota¸cão. Então, em 1970, Hawking [7] provou que qualquer buraco negro rotativo estacionário tem, de fato, tal eixo de simetria. Finalmente em 1973, David Robinson [30] utilizando resultados de Hawking e Carter demonstrou que a conjetura era correta: um buraco negro deste tipo seria de fato a solu¸cão de Kerr. Assim, depois de um colapso gravitacional, um buraco negro deve se estabelecer num estado no qual ele pode girar mas não pulsar. Mas ainda, seu tamanho e forma vão depender apenas de sua massa e da razão de rota¸cão e não da natureza do corpo que teria entrado em colapso para forma-lo. John Wheeler [6, 7] referindo-se a esse resultado disse que “Um buraco negro não tem cabelo”. O Teorema da ausência de cabelos é de grande importância prática porque restringe amplamente os tipos poss´ıveis de buracos negros. Pode-se portanto, construir modelos detalhados de objetos que possam conter buracos negros, e comparar as previsões destes modelos com as observa¸cões. Também implica que uma quantidade de informa¸cões sobre o corpo que entrou em colapso deve se perder quando o buraco negro se forma, porque posteriormente tudo o que será poss´ıvel medir do corpo é sua massa e a razão de sua rota¸cão.

(27)

desenvolvida detalhadamente enquanto modelo matemático antes que houvesse qualquer evidência observável indicando que estivesse correta. Na verdade, este foi o argumento principal utilizado pelos contestadores dos buracos negros; não era poss´ıvel de se acreditar em objetos cuja única evidência eram cálculos baseados na teoria da relatividade geral. Em 1963, Marten Schmidt [31], mediu o desvio para o vermelho de um pálido objeto, semelhante a uma estrela, na dire¸cão das fontes de ondas de radio chamada 3C273. Ele descobriu que era muito grande para ser provocada por um campo gravitacional; se fosse um desvio gravitacional para o vermelho, o objeto teria que ser tão compacto e estar tão próximo da Terra que afetaria as órbitas dos planetas do Sistema Solar.

Isso sugeriu que o desvio para o vermelho era, ao contrário, provocado pela expan-são do universo, o que, por sua vez, indicaria que o objeto estava muito distante. E, para ser vis´ıvel a tamanha distância, o objeto deveria ser muito brilhante; estaria emitindo uma imensa quantidade de energia. O único mecanismo que se podia pensar ser capaz de produzir tamanha quantidade de energia parecia ser o colapso gravitacional não de uma simples estrela, mas de toda a região central de uma galáxia. Inúmeros outros objetos equivalentes foram descobertos, sempre com um grande desvio para o vermelho. Mas todos estavam distantes, apresentando portanto, grande dificuldade de observa¸cão para prover evidência conclusiva dos buracos negros.

Em 1967, Jocelyn Bell e seu orientador Antony Hewish [32] observaram objetos celestes que emitiam ondas de rádio, concluindo-se que estes objetos eram, de fato, estrelas de nêutrons rotativas, emitindo vibra¸cões de ondas de rádio devido a uma complexa intera¸cão entre seus campos magnéticos e a matéria à sua volta. Tratava-se da primeira evidência positiva da existência das estrelas de nêutrons. Uma estrela de nêutrons tem um raio de aproximadamente 16 km, apenas um pouco maior que o raio cr´ıtico no qual uma estrela se transforma em buraco negro. Se uma estrela poderia se contrair até este tamanho tão pequeno, não seria irracional esperar que outras estrelas pudessem fazê-lo até tamanhos ainda menores e se transformar em buraco negro [7].

(28)

é provavelmente muito maior do que se imagina; podendo ser muito maior do que o de estrelas vis´ıveis, que chegam aproximadamente a cem bilhões, apenas em nossa galáxia, na figura 2.3 a ilustra¸cão de um buraco negro supermassivo.

(29)

Cap´ıtulo 3

Estrutura matem´

atica dos buracos

negros

3.1 Introdu¸

c˜

ao

A forma¸cão de um buraco negro está relacionada ao ciclo de vida de uma estrela. Forma-se uma estrela quando uma grande quantidade de gás, geralmente hidrogênio, come¸ca a colapsar devido à sua atra¸cão gravitacional. À medida que se contraem, os átomos do gás colidem entre si com frequência e velocidade crescentes causando o aque-cimento do gás. O gás poderá estar tão quente que, quando os átomos de hidrogênio colidirem, não irão mais chocar-se uns nos outros mas, se amalgamar formando o hélio. Esse calor adicional também causa o aumento na pressão do gás, até que seja suficiente para equilibrar a atra¸cão gravitacional e pare de se contrair. Assim, as estrelas per-manecerão estáveis por muito tempo, com a energia das rea¸cões nucleares equilibrando a atra¸cão gravitacional. Eventualmente, a estrela poderá esgotar seu hidrogênio e out-ros combust´ıveis nucleares. Quanto maior a quantidade de combust´ıvel que dá origem à estrela, mais rapidamente ela será consumida. Isso ocorre pois quanto mais compacta a estrela estiver, mais calor necessitará para equilibrar sua atra¸cão gravitacional. E quanto mais aquecida, mais rapidamente gastará seu combust´ıvel [7, 33, 34, 35, 36].

(30)

3.2 Buraco negro de Schwarzschild

O buraco negro mais simples ´e descrito pela geometria do espa¸co-tempo de Sch-warzschild que corresponde ao elemento de linha e que pode ser observada na equa¸c˜ao 3.1 abaixo,

ds2 =₋x2dt2+ 1

x2dr

2₊_r2₍_dε_{+ sin}2_εdφ2₎_, _(3.1)

em que, x = 1₋2M/r é denominado de fator de deslocamento gravitacional para o vermelho e M é a massa do buraco negro. Trata-se da solu¸cão das equa¸cões de Einstein no vácuoRab = 0, em queRabé o tensor de Ricci sob condi¸cões de estaticidade e simetria

esférica que, fisicamente descreve o estado final de uma estrela colapsada anteriormente sem rota¸cão e sem carga elétrica [36].

As condi¸cões mencionadas para se obter tal solu¸cão merecem algumas considera-¸cões. Inicialmente, este espa¸co-tempo é estacionário, já que é invariante por transla¸cões temporais, fato que decorre da existência de um campo vetorial de Killing 1 _tipo-tempo

ta_{= (}_∂

t)a, de componentes (1,0,0,0) no sistema particular de coordenadas de

Schwarzs-child. Em adi¸cão a esta caracter´ıstica, inclui-se a invariância rotacional daquele elemento de linha. Pelas coordenadas de Schwarzschild, isso implica na existência de um campo vetorial de Killing tipo-espa¸co φa _{= (}_∂

φ)a, cujo as componentes s˜ao (0,0,0,1) [36].

O fato do espa¸co-tempo de Schwarzschild possuir tais campos vetoriais, permite a defini¸c˜ao da conserva¸c˜ao de energia, vinculada a ta_{, e de momento angular vinculada a}

φa _{[34]. O elemento de linha acima ´e singular sobre o raio de Schwarzschild} _r_{= 2}_M_{, pois}

os dois primeiros termos desta m´etrica assumem os seguintes valores: gtt = 0 e grr =∞.

Esta singularidade não reflete um erro do espa¸co-tempo em questão, e sim do sistema de coordenadas de Schwarzschild empregado. Tal fato pode ser entendido imaginando-se que quando um observador a uma distância finita do buraco negro, por exemplo em r = r0,

move-se geodesicamente e radialmente em sua dire¸c˜ao a partir do repouso, pode alcan¸car o raio de Schwarzschild (r = 2M) num tempo pr´oprio finito [37],

τ = 4M 3

r

0

2M

3₂

−₂r_M 3 2

, (3.2)

que ´e a quantidade fisicamente relevante [33].

1_{Campo vetorial de Killing: nome devido `a Wilhelm Killing, ´e um campo vetorial em uma variedade}

(31)

O raio de Schwarzschild é essencial para a caracteriza¸cão do buraco negro. Ele de-fine uma superf´ıcie bidimensional denominada horizonte de eventos - limite de um buraco negro. O horizonte de eventos, é formado pelas trajetórias, no espa¸co-tempo, dos raios de luz que não conseguem se afastar dele, flutuando para sempre em sua margem. As trajetórias desses raios de luz não podem jamais se aproximar umas das outras [38]. Se o fizessem, entrariam eventualmente em colisão. Tudo o que passa além dessa fronteira não pode retornar ao mundo exterior2 _[36].

Se os raios de luz que formam o horizonte de eventos, limita¸cão do buraco negro, jamais se aproximam uns dos outros, sua área pode permanecer a mesma, ou aumentar com o tempo, mas jamais poderá diminuir, porque isto significaria que pelo menos alguns raios de luz da periferia teriam se aproximado uns dos outros. De fato, a área aumen-taria sempre que a matéria ou radia¸cão ca´ısse no buraco negro. Se dois buracos negros colidissem e se fundissem num único, a área do horizonte de eventos, ou do buraco negro final, seria igual ou maior do que a soma das áreas dos horizontes de eventos dos buracos negros originais [7].

Esta propriedade não decrescente da área do horizonte de eventos apresenta uma importante restri¸cão no poss´ıvel comportamento do buraco negro, cujas periferias de acordo com as duas defini¸cões, seriam as mesmas, e assim também suas áreas, uma vez que o buraco negro tivesse se estabelecido num estado em que não mudaria ao longo do tempo. A área do horizonte de eventos que pode ser associdada à área de um buraco negro, é dada pela equa¸cão 3.3 [36],

As=

r=2M,t=cte

|gθθgφφ|dεdφ, (3.3)

ou seja,

As = 16πM2, (3.4)

em que, as vari´aveis εeφs˜ao definidas nos respectivos intervalos: 0< ε < πe 0 < φ <2π

[36].

De acordo com a equa¸cão (3.1), o espa¸co-tempo de Schwarzschild possui um caráter assintoticamente plano, quando a mesma se aproxima da métrica do espa¸co-tempo de Minkowski [12] em coordenadas esférico-polares para uma distância radial suficentemente

2_{O raio de Schwarzschild de um buraco negro com uma massa igual a da Terra ´e de apenas 1 cm,}

(32)

grande. A no¸cão de buracos negros depende da existência do conceito de região-assintótica, sem o qual afirma¸cões do tipo “nada pode escapar” seriam mal definidas [39].

3.3 Buraco negro de Kerr

O colapso gravitacional de uma estrela com momento angular (relativistica) e carga elétrica, produz um burago negro diferente daquele tratado até o momento. Este buraco negro emerge como a solu¸cão mais geral das equa¸cões de Einstein sob condi¸cões de estacionariedade, simetria axial e ausência de matéria, sendo completamente caracterizado pela sua massa (energia) M, momento angular J e carga elétrica Q. Somente estes parâmetros possuem significado f´ısico, pois podem ser medidos à distância. Dois buracos que possuam o mesmo valor para os parâmetros M, J e Q serão considerados iguais segundo observadores externos. O elemento de linha associado, nas coordenadas de Boyer-Lindquist, é

ds2 =₋

∆₋j2_sen2_ε

dt2₋

2jsen2_ε₍_r2₊_j2₋_∆)

dtdφ+

+

(r2₊_j2₎2 ₋_∆_j2_sen2_ε

sen2_εdφ2₊

∆dr

2₊

dε2_, _(3.5)

em que,

=r2₊_j2_cos2_ε_{, ∆ =}_r2₊_j2₊_Q2₋₂_M

rej =J/M. A equa¸c˜ao (3.5) representa

a geometria do espa¸co-tempo de Kerr-Newman (KN)3_{. No limite em que}_Q₌_J _{= 0,}

reca´ı-se na solu¸c˜ao de Schwarzschild [36].

Este espa¸co-tempo tamb´em possui a propriedade de ser assintoticamente plano, no entanto, aparentemente ele possui duas singularidades:

= 0 e ∆ = 0. A primeira delas é a singularidade f´ısica deste espa¸co-tempo, enquanto que a segunda é fict´ıcia e de mesma natureza daquela representada porr = 2M no espa¸co-tempo de Schwarzschild. As ra´ızes da equa¸cão ∆ = 0 são:

3_{Buraco negro de Kerr-Newman (KN), refere-se a um buraco negro com massa, momento angular e}

(33)

r_±=M2₋_j2₋_Q2_, _(3.6)

sendo que a superf´ıcie bidimensional caracterizada porr=r+et=cte, define o horizonte

de eventos do buraco negro de KN. Observa-se que no limite j,Q_→0, tem-se r+→2M,

como esperado.

A ´area deste horizonte ´e calculada da seguinte maneira [36], [37]:

AKN =

r=r+,t=cte

|gθθgφφ|dεdφ = 4π (r+2 +j2) =

= 4π (2M2₋Q2+ 2MM2₋_j2 ₋_Q2₎_. _(3.7)

A existência de um horizonte de eventos no espa¸co-tempo deKN fica condicionada à satisfa¸cão da hipótese adicionalM2 _≥_j2₊_Q2_{. Caso contrário, teria-se uma singularidade}

“nua”, isto é, não “vestida” por um horizonte de eventos. O fato de singularidades nuas levarem à impredictabilidade dos eventos de seu futuro causal, levou Penrose a conjecturar aquilo que ficou conhecido comocensura cósmica [40], que em sua versão f´ısica afirma que o completo colapso gravitacional de um corpo sempre resulta num buraco negro em vez de uma singularidade nua [34]. O quadrado da norma do campo de Killing ta_, _ta_t

a=gu,

torna-se positivo na regi˜ao denominada ergosfera,r+ < r < r(ε), em que

r(ε) = M +M2₋_Q2₋_j2_cos2_ε _(3.8)

define a superf´ıcie de limite estacionário. A denomina¸cão ergosfera provém da mudan¸ca de orienta¸cão deta_{, de tipo-tempo para tipo-espa¸co, implicando numa não estacionariedade}

intr´ınseca de qualquer observador situado nesta região, que é obrigado a rodar na mesma dire¸cão do buraco negro conforme visto por observadores assintóticos4 _[36].

3.4 Espa¸co Tempo de Minkowski

O espa¸co-tempo de Minkowski apresenta um diagrama de Carter/Penrose, com uma forma triangular, conforme ilustrado na figura 3.1. Correspondem os dois lados da diagonal ao passado e o futuro nulo infinitos.

(34)

Estão realmente no infinito, então, todas as distâncias são reduzidas por um fator con-forme quando se aproxima do infinito nulo - passado ou futuro. Cada ponto deste triângulo corresponde a uma 2-esfera de raio r. Na linha vertical à esquerda, r = 0 no que repre-senta o centro de simetria e r _{→ ∞} na direita do diagrama. Pode-se facilmente avistar a partir do diagrama que cada ponto no espa¸co-tempo de Minkowski está no passado do infinito nulo futuro I+_{, significando que não há buraco negro e nem horizonte de eventos}

[41].

Figura 3.1: Diagrama Carter-Penrose do espa¸co tempo de Minkowski de [41].

Entretanto, se existir um corpo esférico em colapso o diagrama irá diferir [25], [41]. Parece o mesmo no passado, mas agora o topo do triângulo foi cortado como pode ser visualizado na figura 3.2, e é substitu´ıdo pelo limite horizontal. Esta é a singularidade que prevê o teorema de Hawking-Penrose 5_.

Em seguida, pode-se verificar que existem pontos no ˆambito desta linha horizontal

5_{Teorema (Hawking e Penrose (1970)) [42] Incisos:}

I.RabKaKb ≥ 0 para todo vetor do tipo n˜ao-espacial K;

II. M n˜ao cont´em curvas fechadas do tipo temporalRabKaKb<0;

III. Cada geodésica do tipo não-espacial, com vetor tangente K, contém um ponto em que

K[a Rb] [cd] [e Kf]Kc Kd= 0;

IV. Existe pelo menos uma das seguintes op¸c˜oes: (i) um conjunto compacto atemporal sem bordo; (ii) uma superf´ıcie fechada confinada;

(35)

que n˜ao est˜ao no passado do infinito nulo futuro I+_{, conforme se observa na figura 3.1.}

Expressando-se de outra maneira, existe um buraco negro. O horizonte de eventos é uma linha diagonal que desce a partir do canto superior direito e intercepta a linha vertical correspondente ao centro de simetria, como observado na figura 3.2. Pode ser evidenciado também na figura 3.3 [25]. Na figura 3.4, pode-se observar uma descri¸cão com outra poss´ıvel representa¸cão do fecho de ˜M [43].

Figura 3.2: Representa¸c˜ao de um espa¸co tempo resultante do completo colapso gravitacional de um corpo esf´erico de [25], [33].

Figura 3.3: Um diagrama de acordo com o mesmo espa¸co-tempo figura 3.2. Neste caso a regi˜aoαdo espa¸co tempo f´ısico est´a do lado de fora de J−₍_I

+) [43].

De acordo com as ilustra¸cões das figuras 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, o passado causal do futuro nulo infinito, J− ₍_I+_{), é não singular e não inclui todo o espa¸co-tempo f´ısico. A}

(36)

J− ₍_I+_{), que inclui todo o espa¸co-tempo f´ısico. A ideia do comportamento adequado de}

J−₍_I+_{), não inclui todo o espa¸co-tempo, remetendo-se à defini¸cão de buracos negros [44].}

Figura 3.4: Outra poss´ıvel representa¸cão do fecho deM do espa¸co tempo f´ısico que fora representado pictoricamente na figura anterior. Como na figura 3.3, as dimensões angulares são suprimidas, desta forma um ponto determinado deste diagrama representa uma 2-esfera (excetuando-ser= 0 ei0_{) - Diagrama de}

Penrose [45].

Defini¸c˜ao: Espa¸co-tempo fortemente previs´ıvel assintoticamente

Seja, (M, gij), um tempo assintoticamente plano associado a um

espa¸co-tempo n˜ao-f´ısico ( ˜M ,g˜ij). Diz-se que (M, gij) ´e fortemente previs´ıvel assintoticamente se,

no espa¸co-tempo n˜ao-f´ısico existe uma regi˜ao aberta ˜V _⊂ M˜ com M _∩J−₍_I+₎ _⊂ _V˜ _tal

que, ( ˜V ,g˜ij) ´e globalmente hiperb´olica 6 [41, 40].

Defini¸c˜ao Topol´ogica: Horizonte de eventos do buraco negro

A regi˜ao do buraco negro B, deste espa¸co-tempo, define-se comoB = [M₋J−₍_I+_)].

Denomina-se a fronteira de B em M, H =J−₍_I+₎_∩_M _{como horizonte de eventos [44],}

[43]. Assim, de acordo com os trabalhos de Chandrasekhar [44] e Penrose [43], é necessário que ( ˜V ,g˜ij) seja uma região globalmente hiperbólica de um espa¸co-tempo não-f´ısico e

im-plica que, (M _∩V , g˜ ij) seja uma regi˜ao globalmente hiperb´olica do espa¸co-tempo f´ısico.

6_{Toma-se aqui o fecho de}_M_∩_{V , g}_˜

(37)

Escolhendo-se ent˜ao, coordenadas normais de Minkowski para N com origem em

p e ε > 0, suficientemente pequeno para que todas as coordenadas normais da bola B

dadas por t2 ₊_x2 ₊_y2 ₊_z2 _≤ _ǫ2 _{estejam contidas em} _Q _{e uma curva tipo temporal}

suficientemente pequena seja tamb´em “temporal” com respeito a m´etrica “planificada de Minkowski” 4dt2₋_dx2₋_dy2₋_dz2_{, sendo} _u _{em (}₋1

2 ǫ,0,0,0) ev em ( 1

2 ǫ,0,0,0). Ent˜ao,

qualquer geodésica do tipo temporalγ de um estende-se ao futuro deN até que encontre o “hemisfério” definido port2₊_x2₊_y2₊_z2 ₌ _ε2_{, t >}_0.

Deve-se, portanto, cruzar o cone de luz de geod´esicas nulas com ponto limite futuro

v, sendo esta a descri¸cão de uma hipersuperf´ıcie e que se estende ao passado em B até que se encontre o hemisfério oposto por t2₊_x2 ₊_y2₊_z2 ₌ _ε2_{, t}_≤ _{0. Se} _q _{é um ponto}

de interseçcão deγ com este cone, então, qvé um futuro nulo, assim, não há pontos r no futuro deq sobreγ, pode-se ter rvno futuro tipo temporal. Supondo-se queaw ǫ u, vN.

Então, as geodésicas uw e wv são futuro do tipo temporal. Denotando-se uw, por γ, pode-se verificar pelo supra argumento que w não pode estar no futuro de q sobre γ, da´ı

w ǫ B. Ent˜ao,u, vN ⊂B ⊂Q.

´

E denominado espa¸co topológico Hausdorff se quaisquer dois pontos dados pos-sam ser isolados uns dos outros por conjuntos disjuntos. Mais precipos-samente, um espa¸co topológicoXé de Hausdorff se houver dois conjuntos abertosU1,U2 comp1 ǫ U1 ep2 ǫ U2,

com U1 ∩ U2 = ⊘ [43].

Pode-se ainda, introduzir o seguinte teorema mostrando que a Topologia de Alexan-drov ´e Hausdorﬀ:

3.1 Teorema

As três seguintes restri¸cões em um espa¸co-tempo M são equivalentes:

(a) M ´e fortemente causal; [34]

(b) A topologia de Alexandrov concorda com a topologia da variedade; (c) A topologia de Alexandrov ´e Hausdorﬀ [43].

(38)

Figura 3.5: Ilustra¸c˜ao: Em (a) :y_≪xcurvas do tipo temporal. Em (b), pontos no cojunto aberto de

b tamb´em est˜ao emI+_{+ (}_x₎_∩_I−₍_y_{), em (}_c_{) de acordo com teorema 3.1 [43].}

causalidade forte em p e P ´e um conjunto aberto, na topologia de variedade, contendo

p. Tem-se que mostrar que uma vizinhan¸ca de Alexandrov contendo p existe emP. Seja

N uma regi˜ao simples em P contendo p e seja Q_∋ p um conjunto convexo causalmente aberto, contido emN, que existe por causa da causalidade forte. Da proposi¸c˜ao,

3.2 Proposi¸c˜ao

Os conjuntosx, y s˜ao abertos; d´a-se o mesmo com x, yQ seQ for aberto, com

x, y ǫ Q[43].

tem-se u, v ǫ Q, tal queP ǫu, vN ⊂Q. Mas, seu, vN =u, v, isso s´o pode ser devido

à existência de uma viagem de u para v, que deixa e reentra N. Assim, teria também que sair e reentrar Q, violando a convexidade causal de Q. Assim, p ǫ u, vQ ⊂Q ⊂P,

conforme necess´ario [43].

O fato de que (b)_⇒(c) ´e evidente, uma vez que assumindo-seM Haursdorﬀ, resta mostrar que (c)_⇒(a) [43].

Assim, supondo-se que, (a) ´e falsa e a causalidade forte ´e violada em p. Sejaq _≺p

como no lema abaixo, [40]

3.3 Lema

Seja p ǫ M, ent˜ao, falha a causalidade forte emq, se e somente se, existe q _≺ p,

(39)

assim, deve-se mostrar que uma vizinhan¸ca de Alexandrov qualquer dep deve intersectar todas as vizinhan¸cas de Alexandrov deq, de modo que a topologia de Alexandrov deixa de ser Hausdorﬀ, conforme dito inicialmente. Seja,p ǫu, v e q ǫv, w. Tem-se q_≺p_≪u, assim q ǫ I−₍_u_{). Escolhendo-se} _y _{apenas para o futuro de} _q_{, dando} _q

≪ y, y ǫ I−₍_u_{) e}

y ǫv, w. Tem-se pelo lema 3.3, x_≪y, assim y ǫx, utamb´em, ent˜ao x, u_∩v, w =

⊘.

A estrutura topológica do espa¸co-tempo, é de uso comum em relatividade geral pois, a teoria da gravidade tem como modelo uma variedade de Lorentz e os conceitos de topologia, assim, tornam-se importantes na análise local, bem como aspectos globais do espa¸co-tempo. O estudo da topologia do espa¸co-tempo é especialmente importante em cosmologia.

Os cosmologos e os astrˆonomos descrevem a geometria do universo que inclui a geo-metria local e a geogeo-metria global. A geogeo-metria global descreve o espa¸co-tempo completo, contempla a curvatura e a topologia inclusive, ainda que estritamente falando, perten¸ca a ambos.

(40)

Cap´ıtulo 4

Termodinˆ

amica dos Buracos Negros

As rela¸cões termodinâmicas apresentadas estarão restritas apenas àquelas que con-cernem a um buraco negro de Schwarzchild. A razão desta escolha se deve ao fato deste ser um buraco negro com carga, massa e momento angular nulos.

Neste caso particular, a primeira lei da Termodinˆamica dos buracos negros (4.23), assume inicialmente a seguinte forma

δM =T(bn)δS(bn), (4.1)

em queM ´e a massa do buraco negro [36].

A temperatura do buraco negro ´e definida como sendo

T(bn) =

k

2π =

1

8πM, (4.2)

que, pela restaura¸c˜ao das constantes fundamentais, pode-se reescrever como

T(bn) ≈6×10−8

M⊙

M

K, (4.3)

em que, M⊙ = 2×1033g representa a massa solar. A temperatura do centro do Sol ´e

aproximadamente 2_×107_K_{, enquanto que, a temperatura superficial ´e aproximadamente}

5,7 _×103_K_{. Um buraco negro de massa solar teria, segundo a equa¸c˜ao acima, uma}

temperatura de aproximadamente 6_×10−8_K_{, algo muito pequeno para ser detect´avel}

com as tecnologias atuais [36].

(41)

S(bn)=

As

4 = 4πM

2_, _(4.4)

em queAs = 16πM2. Pode-se verificar dessa forma que, o buraco negro mais entr´opico ´e

o de Schwarzschild.

Reintroduzindo as constantes fundamentais, esta equa¸c˜ao pode ser reescrita como,

S(bn)=≈1061

M M⊙

2

ergK−1_, _(4.5)

logo, um buraco negro de uma massa solar teria uma entropia associada de 1061_ergK−1_{. A}

t´ıtulo de estimativa, pode-se dizer que a entropia associada ao Sol é da ordem do número de part´ıculas de que ele é composto. Este número é algo comoM⊙/mp, em que se designa

demp a massa do pr´oton (1,67×10−24g). Ent˜ao S⊙ ≈1041ergK−1 1 [36].

Uma conclusão que pode ser obtida a partir desses resultados é que a origem da entropia associada aos buracos negros não deve possuir uma natureza térmica. Além disso, não se conhece qualquer processo dissipativo que possa gerar entropia o bastante, durante o colapso, de modo a multiplicar a entropia da matéria por um fator 1020 _{[47]. A}

origem dessa discrepância poderá ser melhor entendida quando um tratamento quântico adequado dos “graus de liberdade do campo gravitacional” for efetuado [34, 36].

Outra grandeza f´ısica associada ao buraco negro de Schwarzchild, que pode ser obtida deste tratamento, ´e a capacidade t´ermica,

C(bn) =T(bn)

∂S(bn)

∂T(bn)

,

j=Q=0

=₋8πM2, (4.6)

conforme as equa¸cões (4.2) e (4.3). O fato de a capacidade térmica do buraco negro de Schwarzschild ser negativa está relacionado ao fato de uma estrela auto-gravitante arbitrária também possuir uma capacidade térmica negativa, segundo a gravita¸cão new-toniana. Fisicamente, este resultado afirma que a remo¸cão de energia de uma estrela produz uma contra¸cão e posteriormente o aquecimento da mesma. Este é exatamente o caso para um buraco negro de Schwarzschild, que devido a emissão de part´ıculas via radia¸cão Hawking perde massa, o que proporciona um aquecimento do mesmo, como pode ser observado pela simples inspe¸cão da equa¸cão (4.2) com (∂T(bn)/∂M(bn)<0) [48].

(42)

A manipula¸cão das equa¸cões (4.2) e (4.3) permite obter uma rela¸cão termodinâmica entre as quantidades M, S e T do buraco negro, conhecida como rela¸cão de Euler 2_,

1

2M =T(bn)S(bn). (4.7)

Este resultado difere daquele da termodinâmica usual pelo fato de a massa do buraco negro ser uma fun¸cão homogênea da entropia de grau 1/2. Em outras palavras, sendoS1

(bn) →λS(bn), entãoM1 →λ1/2M, onde λé um parâmetro de escala.

Para um sistema isolado consistindo de uma caixa de volumeV e paredes perfeita-mente refletoras contendo uma energia total E na forma de um gás de várias part´ıculas (bósons e férmions, massivos ou não), obtem-se a seguinte rela¸cão

4

3E =T S, (4.8)

para E = aV T4_{, em que} _a ₌ π2

15(nb + 7

8nf) est´a relacionado `a constante de

Stefan-Boltzmann por σ =ac/4, e as vari´aveis nb e nf representam, respectivamente, o n´umero

de campos massivos e não massivos de bósons e férminos. Portanto, assumindo para este sistema e o buraco negro as rela¸cões do tipoS _∝Tm _e _E _∝_Tn_{, tem-se}

n

mE =T S, (4.9)

em que n e m são números inteiros não nulos. Isto é verificado tanto para um buraco negro quanto para a radia¸cão de corpo negro ordinária [36].

Por fim, para que o buraco negro seja completamente caracterizado como um sis-tema termodinâmico, é necessário que, como resultado de uma intera¸cão puramente tér-mica, ele possa trocar energia com um outro sistema de modo que exista a possibilidade de se encontrar um estado de equil´ıbrio térmico entre eles.

Esta situa¸cão é melhor descrita ao considerar-se um buraco negro imerso num banho térmico provido pela radia¸cão de corpo negro numa dada temperatura diferente de zero. A análise completa desta questão aponta para a existência de um estado de equil´ıbrio estável entre um buraco negro e a radia¸cão, quando satisfeitas certas condi¸cões espec´ıficas [36].

(43)

4.1 A mecˆ

anica dos buracos negros

Em 1972, Jacob Bekesntein [47] propôs a ideia de que o horizonte de eventos seria uma medida da entropia de um buraco negro. Porém, se isso fosse verdadeiro, ele deveria emitir radia¸cão, o que é inadmiss´ıvel para um buraco negro, uma vez que nada escapa a ele [49].

No entanto, Stephen Hawking verificou que de fato haveria a possibilidade de o horizonte de eventos ser uma medida da entropia de um buraco negro. De acordo com Hawking, como não existe um vácuo absoluto, haja visto, os limites impostos pelo “Princ´ıpio da Incerteza de Heisenberg”, então existem vários pares de part´ıculas virtuais interagindo entre si em torno de um buraco negro, nos quais a energia positiva de uma part´ıcula cancela a energia negativa da outra, e vice-versa. A part´ıcula de energia negativa seria atra´ıda pela gravidade fort´ıssima do buraco negro e cairia dentro dele, liberando sua parceira de energia positiva para o espa¸co exterior. A energia negativa da part´ıcula dentro do buraco negro diminuiria parte de sua massa, já que cancelaria parte de sua energia positiva, pois seria aniquilada. A part´ıcula de energia positiva liberada não viria diretamente do buraco negro, como pensado pelo observador externo, mas do espa¸co exterior a ele mesmo. Desse modo, a ideia de vácuo quântico resolve esse problema, admitindo assim que o horizonte de eventos seja uma medida da entropia de um buraco negro.

4.2 As leis da mecˆ

anica dos buracos negros

As quatro leis da mecânica dos buracos negros são propriedades f´ısicas às quais, acreditam-se, os buracos negros satisfa¸cam. As leis, análogas às leis da termodinâmica, foram descobertas por Brandon Carter, Stephen Hawking e James Bardeen [29, 50,?].

4.2.1 Lei Zero

Defini¸c˜ao:

Se, Tμν obedece `a condi¸c˜ao de energia dominante, em seguida, a superf´ıcie de

gravidade ´e constante no horizonte de eventos futuros [47, 24, 50]. Sejaξo vetor normal de Killing a_H+_{. Ent˜ao, sendo}_R

μνξμξν = 0 emH+, implicam

(44)

0 = ₋Tμνξμξν|H+ ≡ J_μξμ|_H− (4.10)

ou seja, J = (_−Tνμξν) ∂μ ´e tangente a H+. Segue-se que J pode ser expandida em uma

base de vetores tangentes a _H+_,

J =αξ+b(1)₁_η +b(2)₁_η (4.11) sobre_H+_.

Mas, sendo ξ_×ν(i) _{= 0 do tipo espacial ou nulo (quando} _b

1 =b2 = 0), enquanto

que deve ser do tipo temporal ou nulo pela condi¸cão de energia dominante. Assim, a energia dominante_⇒∝ξ é então,

0 =ξ[σJp]|H+ =−ξ λ

[σTp]ξλ|H+

=ξλ

[σRp]ξλ|

+

H

=ξ[p∂σ]k|H+

⇒∂σk ∝ξσ ⇒t.∂k= 0 para qualquer vetor t tangente a H+⇒k sobre H+.

4.2.2 Primeira Lei

Defini¸c˜ao:

Se um buraco negro estacionário de massaM, cargaQ e momento angularJ, com horizonte de eventos futuro da superf´ıcie de gravidade k, potencial elétrico de superf´ıcie ΦH, e velocidade angular ωH, é perturbado de tal forma que se estabelece outro buraco

negro com massaM +δM, cargaQ+δQ e momento angularJ +δJ, ent˜ao [36]

dM = k

8πdA+ ΩHdJ+ ΦHdQ. (4.12)

ParaQ= 0, o Teorema da Unicidade implica que,

M =M(A, J) (4.13)

Ae J possuem dimensões deM2₍_G₌_c_{= 1) para a fun¸cão}_M₍_{A, J}_{) deve ser homogênea}

de grau 1

2. Por intermédio do Teorema de Euler de fun¸cões homogêneas,

A∂M ∂A +J

∂M

∂J =

1

2M (4.14)

portanto,

= k

(45)

pela f´ormula de Smarr. Ent˜ao, A ∂M ∂A − k 8π +J ∂M ∂J −ωH

= 0, (4.16)

mas, A eJ s˜ao parˆametros livres, assim

∂M

∂A =

k

8π, ∂M

∂J =ωH. (4.17)

4.2.3 Segunda Lei

Defini¸c˜ao:

Se Tμν satisfaz a condi¸c˜ao de energia fraca e assumindo a conjectura da censura

cósmica como verdadeira, então a área do horizonte de eventos de um espa¸co-tempo assintoticamente plano é uma fun¸cão não-decrescente do tempo, como demonstrada na se¸cão que descreve o Teorema da Área, mais adiante.

Bekenstein propôs que um múltiploηA /_G _{da área do buraco negro, medido em}

unidades do quadrado comprimento de Planck L2

p = G/c3, ´e atualmente a entropia e

conjectura uma segunda lei generalizada (SLG) que afirma que a soma da entropia fora do buraco negro e a entropia do buraco negro em si nunca diminuir´a [47]:

δ(Sf ora+ηA/G)≥0 (4.18)

Classicamente, parece poss´ıvel violar a SLG, utilizando processos como por exem-plo, uma caixa contendo entropia sob a forma de radia¸cão pode ser atirada para o hor-izonte de eventos de um buraco negro e cair. Para uma caixa infintesimal ideal, toda a energia pode ser extraida ao infinito, por isso, quando a caixa é jogada não adiciona nenhuma massa ao buraco negro. Assim, a área do horizonte de eventos não se altera, mas a entropia do exterior diminuiu, violando a SLG. Isso pode ser considerada como outra analogia termodinâmica: a GSL pode ser violada pela adi¸cão de entropia de um buraco negro sem alterar a sua área 3_.

3_{Falhas na analogia termodinˆamica - Viola¸c˜}_{oes da SLG:}

i) A temperatura de um buraco negro desvanece.

ii) A entropia é adimensional, enquanto área do horizonte de eventos é um comprimento ao quadrado. iii) A área de cada buraco negro é separadamente não decrescente, enquanto que apenas a entropia total é não-decrescente em termodinâmica.