Faculdade de Engenharia. FRVV diferenciabilidade e aplicações

Faculdade de Engenharia

FRVV – diferenciabilidade e

aplicações





2 2

,

y

y

x

x

z





Faculdade de Engenharia

Aproximação linear de FRVR – diferencial

 

x

g

x

g









:

Seja com diferenciável em

x

₀

 

x

g

0

x

g

x

 

x x g' ₀  x x₀ 



x

x



g

 

x

g

 

x

x

g

₀







₀



'

₀



É possível aproximar na vizinhança de pela reta que passa por e tem o declive da tangente à curva em . Assim

 

x

g

x

₀



x

₀

,

g

 

x

₀



0

x



x0 x



g

 

x0 g    onde

g

'

 

x

₀



x



g



x

₀





x





g

 

x

₀ é o diferencial de em

g

x

₀

Faculdade de Engenharia

Aproximação linear de FRVR – diferencial

Exemplo

001

.

1

Calcule um valor aproximado de



x x



g

 

x g

 

x x g ₀   ₀  ' ₀ 

Faculdade de Engenharia

é o diferencial de em

Aproximação linear de FRVV – diferencial

2.

1. Existem derivadas parciais em

X

₀

Para funções diferenciáveis,

Então,



X





X



Df ₀  aproxima

com um erro que tende para zero mais rapidamente do que



X0 X



f



X0



f  



X X



f



X



D



X





X



f ₀   ₀  _{f 0}  f



X₀ X



 f



X₀



f



X₀



X



X



X f    ₀ f



X





X



Df ₀  0

X

X 

Faculdade de Engenharia

Aproximação linear de FRVV – diferencial

Exemplo

Considere um contentor cilíndrico com altura h=1m e raio de base r=1m. O aumento de volume será maior quando se aumenta 10% o raio ou a altura?



X X



f



X



D



X





X



f 0  0  f 0 

X X fX  fX  X

Faculdade de Engenharia

Aproximação linear de FRVR – reta tangente e reta normal

 

x

g

0

x

_x

 

x x g' ₀  x x₀ 





 

 





0 0 0



2

'

:

,

y

y

g

x

g

x

x

x

x











Reta tangente a em :

_g

 

_x

x

₀



x0 x



g

 

x0 g  

 



g

'

x

₀

,



1







x



x

₀

,

y



g

 

x

₀





0

Direção normal ao gráfico em :

x

₀



g

'

 

x

₀

,



1



Reta normal ao gráfico em :

x

₀





_,



_

_

_:



_,



_



_,

 



_

_



_'

 

_,

_

₁



_,

_

_

_



0 0 0 2

x

g

x

g

x

y

x

y

x

Faculdade de Engenharia

Hiperplano tangente

Aproximação linear de FRVV – hiperplano tangente e reta

normal









f

X

₀

,



1







X



X

₀

,

z



f



X

₀







0

Reta tangente: Direção normal





f



X

₀



,



1



Reta normal :





x, y



2 :



x,y







x₀,g

 

x₀







g'

 

x₀ ,1



,



FRVR FRVV f



X0 X



 f



X0



f



X0



X



x

x



g

 

x

g

 

x

x

g

₀







₀



'

₀







 

 





0 0 0



2 ' : ,y y g x g x x x x    











 





0 0 0



1

:

,

0

X

z

z

f

X

f

X

X

X

T

_Xf







n











Reta normal







,







1

:



,







₀

,



₀















₀



,



1



,









0

X

z

X

z

X

f

X

f

X

r

_Xf n

Faculdade de Engenharia

Aproximação linear de FRVV – hiperplano tangente e reta

normal

Exemplo

Hiperplano tangente:













 





0 0 0 1 : , 0 X z z f X f X X X T_Xf  n     Reta normal: 





,



 1:



,







₀,



₀













₀



,1



,



0 X z X z X f X f X r_Xf n

Faculdade de Engenharia

Regras de derivação

Faculdade de Engenharia

Regras de derivação – composição de funções (regra da

cadeia)

A composição de funções que envolvem FRVV incluem os casos

1. FRVV+FRVR 2. FVVR+FRVV 1. FRVV+FRVR Seja

 

X

f

X

f

n









:

 

y h y h     :



h f

 

X :n  X f

 

X f y  h

 

y h



f

 

X



h  f h 



h

f



X

₀



h

'



f



X

₀





Df



X

₀



D





Faculdade de Engenharia

Regras de derivação – composição de funções (regra da

cadeia)

2. FVVR+FRVV Seja

 

X

f

X

f

n









:

 

t X t X n     :



f  X

 

t : 

 

t X f

 

X f X f 



f



X

  

'

t

0



Df



X

 

t

0





X

'

 

t

0



t X



f



X

  

'

t

0





f



X

 

t

0





X

'

 

t

0

Faculdade de Engenharia

, diferenciável em

Consequências da regra da cadeia

Seja

A

 

t X tu X  ₀  









n

A

f :

, aberto

A

X 

₀

f

X

₀

1. GRADIENTE E DERIVADA DIRECIONAL

1



u



, n

u









X₀

 

f X

  

' 0 u f     



X



u f    ₀



X



f



X



u u f       0 0 se diferenciável em

f

X

0



f X

  

' t0 f



X

 

t0



X'

 

t0



X₀



X'

 

0 f   

Faculdade de Engenharia

Consequências da regra da cadeia

Exemplo

diferenciável em

f

X

₀



X



f



X



u u f       0 0

derivada de f em (0,0) segundo o vetor (1,1)

não é a derivada direcional de f em (0,0) segundo a direção do vetor (1,1)

Faculdade de Engenharia

A que corresponde o valor máximo de ?

Consequências da regra da cadeia

Estando em , qual é a direção de maior crescimento de ?

f

2. DIREÇÃO DE MAIOR CRESCIMENTO

1



u



, n

u









f  X

  

' t₀ f



X

 

t₀



X'

 

t₀ desde que diferenciável em e

f

0

X

,



X0



u f   



X



f



X



u u f       0 0



X



f



X



u u f       0 0 f



X





f



X



u



 , cos ₀ 0   



X0



u f    max _u_//f

_

_X0

_







₀



0

X

f

X

f

u









0

X



₀



0 f X

Faculdade de Engenharia

Consequências da regra da cadeia

Exemplo

Determine a direção de maior crescimento de nos pontos a) b)



 



2





2

2

1

,

y



x





y



x

f



0

,

0





1 

,

2



Faculdade de Engenharia

Consequências da regra da cadeia

3. DIREÇÃO ORTOGONAL AO CONJUNTO DE NÍVEL



f  X

  

' t0 f



X

 

t0



X'

 

t0

, diferenciável em Seja

A

n I X : 









n

A

f :

, aberto

A

X 

₀

f

X

₀



X



c

f

₀



c

N

X 

₀

a parametrização da curva de nível

N

_c

 

₀ 0

X

t

X 



f



X

 

t

 ,

c



t



I



f



X

 

t



c



f 

X

  

'

t



0

_

_f



_X

 

_t



_

_X

_'

 

_t

_

₀

se



X

₀



X

' t

 

₀

f







₀



0 f X

Faculdade de Engenharia

Consequências da regra da cadeia

3. DIREÇÃO ORTOGONAL AO CONJUNTO DE NÍVEL – HIPERPLANO TANGENTE E RETA NORMAL AO

CONJUNTO DE NÍVEL Hiperplano tangente: Reta normal:



 





:

_{0 0}

0



0



X







f

X



X



X



T

_Xc n

























:

₀



₀

,



0

X

X

X

f

X

r

_Xc n











 





0 0 0



1

:

,

0

X

z

z

f

X

f

X

X

X

T

_Xf







n

























































X

,

z

1

:

X

,

z

X

₀

,

f

X

₀



f

X

₀

,

1

,



r

_Xf n NOTA: (ao conjunto de nível) (ao gráfico)

Faculdade de Engenharia

Consequências da regra da cadeia

Exemplo

Hiperplano tangente a N_C: Reta normal a N_C:



 





: _{0 0} 0



0  X  f X  X  X  T_Xc n







    



 : ₀  ₀ , 0 X X X f X r_Xc n Hiperplano tangente:













 





0 0 0 1 : , 0 X z z f X f X X X T_Xf  n     Reta normal: 





,



 1:



,







₀,



₀













₀



,1



,



0 X z X z X f X f X r_Xf n

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Diferenciabilidade e aplicações – exercícios

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