a m1 A ou [ A] ou A ou A A = a ij para i = 1 m e j = 1 n A=[ Os elementos da diagonal principal são: a ij para i = j

Cap. 2.- Matrizes e Sistemas Lineares 2.1. Definição

Representações Matriz retangular A, m x n (eme por ene)

linha = rows coluna = columns 2.2. Tipos Matriz linha Matriz coluna Matriz quadrada de ordem n Matriz unitária Matriz diagonal

Matriz é um conjunto organizado de números dispostos em linhas e colunas. A=

[

a₁₁ a₁₂ ⋯ a_1n a₂₁ a_2n ⋮ ⋮ a_m1 a_m2 ⋯ a_mn

]

A ou [ A] ou  A ou ∥A∥

a_ij é o elemento da matriz localizado na linha i e na coluna j

A = a_ij para i = 1m e j = 1 n

m = 1 n = 1

m = n

Os elementos da diagonal principal são: aij para i = j

Os elementos da diagonal secundária são: aij para i + j = n + 1 m = n = 1

Os elementos são: aij=0 para i≠ j

A=

[

1 2 3

]

A=

[

12 3

]

A=

[

1 2 34 5 6 7 8 9

]

[

1 5 9

]

[

3 5 7

]

A=

[

3

]

A=

[

1 0 00 5 0 0 0 9

]

2.2. Tipos(cont.) Matriz identidade Matriz triangular superior (U) (“upper”) Matriz triangular inferior (L) (“lower”) Matriz nula Matriz oposta A = -B Matriz idêntica A = B Matriz cheia Matriz esparsa Matriz de banda Matriz tridiagonal

É a matriz diagonal onde: aij=1 para i= j

a_ij=0 _{para i≠ j}

Os elementos abaixo da diagonal principal são nulos.

Os elementos acima da diagonal principal são nulos.

Todos os elementos são nulos: a_ij=0 V i e j

A é oposta de B se: aij= −bij V i e j

A é idêntica a B se: a_ij= b_ij V i e j

São matrizes com a maior parte dos elementos não nulos. São matrizes com a maior parte dos elementos nulos

São matrizes quadradas esparsas cuja diagonal principal e algumas diagonais paralelas a principal são compostas de elementos não nulos.

[

1 1 0 0 1 2 2 0 0 2 3 3 0 0 3 4

]

U =

[

1 2 30 8 5 0 0 2

]

L=

[

2 0 03 5 0 1 2 1

]

I₃=

[

1 0 0 0 1 0 0 0 1

]

N =

[

0 0 0 0

]

L=

[

2 0 03 5 0 1 2 1

]

L=

[

2 0 03 5 0 1 2 1

]

A=

[

1 −3 7



2

]

B=

[

−1 3 −7 −



2

]

[

a b c d

]

=

[

1 2 5 7

]

a=1 ;b=2 ;c=5 ; d =7

2.3. Operações Adição C = A + B Propriedades Subtração C = A - B Multiplicação por um número k C = k B Propriedades

Obs: a e b podem ser

números complexos

Multiplicação

C = A.B

Definição indicial

Obs: matrizes

quadradas devem ter a mesma ordem para poderem ser multiplicadas

As matrizes são do mesmo tamanho m x n.

c_ij=a_ijb_ij V i e j A + B = B + A comutativa A + (B + C) = (A + B) +C associativa A + 0 = A A+(-A) = 0 C = A - B = A + (-B) c_ij=k b_ij V i e j a (b A) = (a b) A a (A + B) = a A + a B (a +b) A = a A + b A 1.A = A A = (a_ij) m× p B = (b_jk) p×n C = c_ik m×n onde cik = ai1 b1k  ai2 b2k  ai3 b3k   aip bpk c_ik =

∑

j=1 p a_ijb_jk

[

1 2 1 3

]



[

4 7 5 8

]

=

[

5 9 6 11

]

[

2 3 0 1

]



[

7 2 5 3

]

=

[

9 5 5 4

]

[

4 7 2 3 0 5

]

−

[

7 1 3 2 7 0

]

=

[

−3 6 −1 1 −7 5

]

3

[

2 3 1 −4

]

=

[

6 9 3 −12

]

2

[

2 3 5

]

4

[

11 −2

]

=

[

8 10 2

]

2.3. Operações (cont.) Multiplicação C = A.B Definição esquemática Wikipédia, 2009 Propriedades Matriz Transposta At Propriedades Matriz simétrica Matriz anti-simétrica c_ik =

∑

j=1 p a_ijb_jk

A.B ≠ B.A não é comutativa

A.B = 0 ≠ > A = 0 ou B = 0

(A.B).C = A.(B.C) associativa

(A+B).C = A.C+B.C distributiva a direita

C.(A+B) = C.A+C.B distributiva a esquerda

(k.A).B = A.(k.B) = k.(A.B) k = constante real ou imaginária

A.In = Im.A = A A é uma matriz m x n

At _{= (b}

ji) , tipo m x n, é a matriz transposta de A = (aij), tipo n x m onde,

bji = aij V i e j

(A+B)t _{= A}t _{+ B}t (kA)t _{= kA}t (A.B)t _{= B}t_.At

É a matriz quadrada cuja transposta é igual a matriz original:

At _{= A ou seja, a}

ij = aji V i e j

É a matriz quadrada cuja transposta é igual a oposta da matriz original:

At _{= -A ou seja, a} ij = -aji V i e j a_i1 a_i2 a_i3 … a_ip ⋅ b1k b_2k b3k ... b_pk → c_ik

i−ésimalinha de A k−ésima coluna de B elemento ik de C

[

1 1 2 2 3 1

]

.

[

4 0 5

]

=

[

14 13

]

2 x 3 3 x 1 2 x 1 A.B=

[

1 2 3 5

]

.

[

4 6 7 8

]

=

[

18 22 47 58

]

B.A=

[

4 6 7 8

]

.

[

1 2 3 5

]

=

[

22 38 31 54

]

[

1 0 1 0

]

.

[

0 0 1 1

]

=

[

0 0 0 0

]

Bt_{. A}t =

[

3 4 3 4

]

.

[

2 1 4 3

]

=

[

22 15 22 15

]

=A.B t A.B=

[

2 4 1 3

]

.

[

3 3 4 4

]

=

[

22 22 15 15

]

A=

[

1 2 2 3

]

A=

[

0 1 −1 0

]

B=

[

1 5 74 3 2 9 6 8

]

Bt=

[

1 4 9_{5 3 6} 7 2 8

]

A=

[

2 34 1 0 6

]

At=

[

2 4 0 3 1 6

]

2.4. Determinantes Definição Menor complementar do elemento ai1 da matriz M Matriz quadrada de ordem 2 Menor Complementar Determinante 2x2 Regra gráfica Matriz quadrada de ordem 3 Menor Complementar

Seja uma matriz quadrada M=(aij), de ordem n, chamamos determinante

de M, simbolizado por:

a um número calculado por:

a) Para n=1 então M=(a11) e det M = a11

b) Para n ≥ 2 então det M =

∑

i=1 n

(−1)i +1a_i1D_i1 onde,

Di1 é o determinante da matriz que se obtém de M, suprimindo-se a linha i e a coluna 1. det M =

∣

a11 a12 a13 ... a1n a₂₁ a₂₂ a₂₃ ... a_2n : : : : : a_n1 a_n2 a_n3 ... a_nn

∣

det M =a11a22−a21a12 D₁₁=

∣

: : : a₂₂

∣

D21=

∣

: a12 : :

∣

det M =

∣

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃

∣

=(−1)1+1a₁₁D₁₁+(−1)2 +1a₂₁D₂₁+(−1)3 +1a₃₁D₃₁ det M =

∣

a11 a12 a₂₁ a₂₂

∣

=(−1) 1+1_a 11D11+(−1) 2+1_a 21D21 D11=

∣

: : : : a₂₂ a₂₃ : a₃₂ a₃₃

∣

D21=

∣

: a₁₂ a₁₃ : : : : a₃₂ a₃₃

∣

D₃₁=

∣

: a₁₂ a₁₃ : a₂₂ a₂₃ : : :

∣

2.4. Determinantes (cont.)

Determinante 3x3

Regra de Sarrus (regra gráfica)

Pierre Frédéric Sarrus 1798-1861 Matriz quadrada de ordem n>3

Determinante nxn Propriedades

Definindo Cofator do elemento aij de uma matriz quadrada de ordem n, por Aij=(−1)i+ jDij det M =

∑

i=1 n a_i1A_i1 det Mt _{= det M}

Se uma linha ou coluna da matriz M é constituída de elementos nulos, então det M = 0

Se multiplicarmos uma linha ou coluna da matriz M por um número k, gerando uma nova matriz N, então det N = k det M

Se duas linhas ou colunas na matriz M forem iguais ou proporcionais, então det M = 0

Numa matriz triangular superior ou inferior, temos det M =a11a22a33... ann

det M =a₁₁(a₂₂a₃₃−a₃₂a₂₃)−a₂₁(a₁₂a₃₃−a₃₂a₁₃)+a₃₁(a₁₂a₂₃−a₂₂a₁₃) det M =(a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32)−(a13a22a31+a11a23a32+a12a21a33)

2.5. Matrizes inversíveis Matriz Inversa (A-1₎ Obs: Matriz de Cofatores (A') Matriz Adjunta (Ᾱ) Teorema Gabriel Cramer 1704-1752

Matriz inversa A-1 _{da matriz quadrada A, de ordem n, é definida por} A.A−1

= A−1

. A=In

Se existir inversa, então a matriz A é dita inversível ou não singular; Se não existe inversa, então a matriz A é chamada de singular; Se a matriz A é inversível, então a sua inversa é única.

É a matriz composta pelos cofatores de cada elemento da matriz A.

A '=( A_ij)

É a transposta da matriz de cofatores da matriz A. ̄

A=( A' )t

Se A é uma matriz quadrada de ordem n, tal que, D = det A ≠ 0, então a inversa de A é, A−1 = 1 D A pois, A A=A A=D I_n D A−1 = A D A A−1 = A A D In= A A D A−1 = A D A−1 A = A A D In= A A

2.6. Matrizes em Planilhas e no SciLab

2.7. Resolução de Sistemas Lineares 2.7.1. Representação Notação usual Notação indicial Notação matricial Matriz de coeficientes Matriz de termos independentes Matriz de incógnitas 2.7.2. Solução Se D = det A ≠ 0 Método de Cramer a₁₁x₁a₁₂x₂a_1nx_n=b₁ S_n= a₂₁x₁a₂₂x₂a_2nx_n=b₂ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a_n1x₁a_n2x₂a_nnx_n=b_n S_n=

∑

j=1 n a_ijx_j=b_i i = 1..n A.X =B A=

[

a₁₁ a₁₂ ⋯ a_1n a₂₁ a₂₂ ⋯ a_2n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ an1 an2 ⋯ ann

]

B=

[

b₁ b₂ ⋮ b_n

]

X =

[

x₁ x₂ ⋮ x_n

]

A.X =B A−1_{. A.X = A}−1_{. B} A−1_{. A= A}−1_{. B} I_n. X = A−1_{. B} X =_D1 _{A . B}

2.7.3. Classificação Exemplo Sistema linear 2x2 a11x1a12x2=b1 a₂₁x₁a₂₂x₂=b₂ Uma equação inconsistente! Uma equação redundante! Um sistema linear homogêneo sempre admite a solução trivial!

Sistema determinado det A ≠ 0 solução única

Sistema indeterminado det A = 0 múltiplas soluções

Sistema incompatível sem solução

Sistema homogêneo B=(0) Solução trivial X=(0) x₁ x₂ x₁ x₂ x₁ x₂ x₁ x₂

2.7.3. Classificação (cont.) Sistema triangular Exemplo Obs 2.7.4. Operações com Sistemas Lineares Obs 2.7.5. Aplicações

Admite um método de solução simplificado.

O sistema triangular superior é resolvido por substituição retroativa.

A.X =B

[

3 4 −5 1 0 1 1 −2 0 0 4 −5 0 0 0 2

]

.

[

x₁ x₂ x₃ x₄

]

=

[

−10 −1 3 2

]

x₄=2 /2=1 4x₃−5⋅1=3⇒ x₃=2 x₂2−2⋅1=−1⇒ x₂=−1 3x14⋅−1−5⋅21=−10 ⇒ x1=1 Xt=

[

1 −1 2 1

]

O sistema triangular inferior é resolvido por substituição progressiva. Realizando as seguintes operações sobre as linhas de um sistema linear obtém-se uma sistema linear equivalente ao primeiro, ou seja, um novo sistema que possui a mesma solução:

• Trocar a posição de duas equações do sistema;

• Multiplicar uma equação do sistema por uma constante não nula;

• Adicionar duas equações do sistema.

A troca de colunas na matriz de coeficientes somente altera a ordem dos termos na matriz solução X.

• Elétrica e Eletrônica • Economia • Engenharia Civil • Engenharia Térmica • Engenharia Aeronáutica • Engenharia de Estruturas • Otimização • Computação Gráfica

F1 F2 F2 F3 F3 F1 F2 F2 F3 F3 W3 W2 P1 W1 P2 P3 K1 K2 K3 K1 K2 K3 m1 m2 m3 x1 x2 x3 P1 P2 P3 x=0 2.7.5. Aplicações (cont.)

Força de uma mola K é a constante da mola Força devido ao Peso Próprio g é aceleração da gravidade A matriz de coeficientes K é chamada de matriz de rigidez do sistema e é simétrica. O sistema homogêneo P=0 é usado em análise de vibrações naturais.

Modelo de um sistema mecânico

2a _{Lei de Newton no equilíbrio}

∑

_F ext=0

Diagrama de corpo livre

Massa 1:

∑

F_x=2F₁−P₁−2F₂−W₁ Massa 2:

∑

F_x=2F₂−P₂−2F₃−W₂ Massa 3:

∑

F_x=2F₃−P₃−W₃ F₁=K₁x₁ F₂=K₂x₂−x₁ F₃=K₃x₃−x₂ W₁=m₁g W₂=m₂g W3=m3g

O sistema de equações lineares que modelam o problema é: 2  K₁K₂x₁−2K₂x₂=P₁m₁g −2K2x12  K2K3x2−2K3x3=P2m2g −2K₃x₂2K₃X₃=P₃m₃g 2

[

K₁K₂ −K₂ 0 −K₂ K₂K₃ −K₃ 0 −K3 K3

][

x₁ x₂ x3

]

=

[

P₁ P₂ P3

]



[

m₁g m₂g m3g

]

2 K X =P W

● para P = 0 o sistema está em equilíbrio devido ao peso próprio;

● para uma dada carga P os deslocamentos X são únicos;

2.7.5. Aplicações (cont.) Ponte de Wheatstone Ao longo de qualquer circuito envolvendo a fonte. Nós do circuito = pontos A, B, C e D na figura Nó D Nó B Circuito ADC Circuito ABC Circuito ADBC Usar substituição progressiva! Instrumentação:

Uma Ponte de Wheatstone (ao lado) é um circuito elétrico usado para medição de sinais de vários tipos de sensores (de termistores a células de carga). O medidor de tensão, de resistência Rg, fica entre os terminais D e

B da ponte. A fonte fornece uma força eletromotriz E ao circuito. Vamos mostrar que para uma condição de equilíbrio na ponte, temos:

I_g=0 ⇒ R4

R3 =R1

R2 As leis que regem o fenômeno físico são:

Lei de Ohm V =R.I

Lei de Kirchhoff

∑

I_nó=0

O sistema de equações lineares que modelam o sistema é: I₁−I₂−I_g=0 I₃−I₄I_g=0 R₁I₁R₂I₂=E R3I3R4I4=E R₁I₁R₃I₃R_gI_g=E Na notação matricial:

[

1 −1 0 0 −1 0 0 1 −1 1 R1 R2 0 0 0 0 0 R₃ R₄ 0 R1 0 R3 0 Rg

]

[

I₁ I2 I₃ I4 I_g

]

=

[

0 0 E E E

]

ou seja, A X =B

Resolvendo o sistema para Ig = 0 , obtemos,

R₄ R3

=R1 R2

2.7.6. Métodos Numéricos de Solução de Sistemas Lineares Métodos Diretos Exemplos de métodos diretos Métodos Indiretos Exemplos de métodos indiretos (SOR = successive over relaxation) 2.7.6.1.. Métodos Diretos

A solução é encontrada por métodos algébricos com um número fixos de operações. A solução é exata.

Recomendados para:

• Sistemas lineares pequenos (n<=1000).

• Matriz de coeficientes do tipo matriz cheia, onde a maioria dos

elementos são não nulos (aij ≠ 0).

• Método da Eliminação de Gauss

• Método da Eliminação de Gauss-Jordan

• Método da Inversão da Matriz de Coeficientes

• Método da Decomposição LU

A solução é encontrada por tentativa e erro, através de um processo iterativo. Uma solução é assumida e substituída no sistema de equações para o cálculo do erro. Este erro é usado para melhorar a estimativa. O procedimento é repetido até que o erro calculado seja menor que um valor pré-definido. A solução final é aproximada.

Recomendados para:

• Sistemas lineares grandes (n>1000).

• Matriz de coeficientes do tipo matriz esparsa , onde a maioria dos

elementos são nulos (aij =0).

• Método de Iteração de Jacobi

• Método de Iteração de Gauss-Siedel

• Método da Relaxação

• Método da Super-Relaxação Sucessiva (SOR)

[

c11 c12 ⋯ c1n c1 c₂₁ c₂₂ ⋯ c_2n c₂ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c_n1 ⋯ ⋯ c_nn c_n

]

2.7.6.11. Método de Gauss Método da Eliminação de Gauss Método da Triangularização de Gauss

Carl Friedrich Gauss 1777-1855 Fórmula generalizada de transformação: m_ijk −1 =−cij k−1 ck−1_jj para i = k+1 .. n para j = k Li k =mij k−1 Lj k−1 +Li k−1 para i = k+1 .. n para j = k k = índice de iteração; i = índice da linha; j = índice da coluna. Obs.: nenhum elemento da diagonal principal pode ser nulo.

É um método direto de solução de sistemas lineares.

Consiste em transformar um sistema de equações lineares em um outro sistema triangular superior, equivalente ao primeiro, e de solução direta por substituição retroativa.

[

a11 a12 ⋯ a1n b1 a₂₁ a₂₂ ⋯ a_2n b₂ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ an1 ⋯ ⋯ ann bn

]

→

[

1 c12 ⋯ c1n d1 0 1 ⋯ c_2n d₂ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 dn

]

Etapas:

1) Escrever a matriz aumentada C0_{= [A : B]}

2) Pivotamento

• Escolher o pivô (elemento da diagonal principal) c011

• Encontrar os multiplicadores para eliminar os termos c021 e c031 m₂₁0 =−c₂₁0 /c₁₁0 m₃₁0 =−c₃₁0 /c₁₁0

3) Transformar as linhas L para obter a nova matriz aumentada C1

L₁1 =L₁0 L12=m021L10L20 L1₃ =m₃₁0 _L 1 0 L₃0

4) Repetir as operações de pivotamento e transformação para o novo pivô até chegar a última linha da matriz aumentada.

L₁2 =L₁1 L₂2

=L₂1

m321 =−c321 /c221 L32=m321 L21+ L31

2.7.6.1.1. Método de Gauss (cont.) Exemplo A X = B C0 _{= [A : B]} L1 2 = -2*[ 2 3 -1 : 5] + [ 4 4 -3 : 3 ] = [ 0 -2 -1 : -7] Matriz triangular superior Solução por substituição retroativa Solução Final Sistema de ordem 3 2x₁3x₂−x₃=5 4x₁4x₂−3x₃=3 2x1−3x2x3=−1 C0₌

[

2 3 −1 ⋮ 5 4 4 −3 ⋮ 3 2 −3 1 ⋮ −1

]

L₁1_=L 1 0 m0_21=−c 21 0 _/c 11 0_{=−2 L} 2 1_=m 21 0 _L 1 0_+L 2 0 m₃₁0 =−c₃₁0 /c₁₁0 =−1 L₃1 =m₃₁0 _L 1 0 +L₃0 C1₌

[

2 3 −1 ⋮ 5 0 −2 −1 ⋮ −7 0 −6 2 ⋮ −6

]

L₁2 =L₁1 L₂2_=L 2 1 m132=−c321 /c122=−3 L32=m321 L21+L31 C2 =

[

2 3 −1 ⋮ 5 0 −2 −1 ⋮ −7 0 0 5 ⋮ 15

]

5x₃=15 −2x₂−x₃=−7 2x13x2−x3=5 X =

[

12 3

]

ou Xt =

[

1 2 3

]

2.7.6.1.1. Método de Gauss (cont.) Exemplo Matriz triangular superior Solução por substituição retroativa Sistema de ordem 4 C0=

[

3 2 0 1 ⋮ 3 9 8 −3 4 ⋮ 6 −6 4 −8 0 ⋮ −16 3 −8 3 −4 ⋮ 18

]

L₁1_=L 1 0 m₂₁0_=−c 21 0 _/c 11 0_{=−3 L} 2 1_=m 21 0 _L 1 0_+L 2 0 m₃₁0 =−c₃₁0 /c₁₁0 = 2 L₃1 =m₃₁0 _L 1 0 +L₃0 m₄₁0 =−c0₄₁/c₁₁0=−1 L₄1=m₄₁0 L₁0+L₄0 C1=

[

3 2 0 1 ⋮ 3 0 2 −3 1 ⋮ −3 0 8 −8 2 ⋮ 10 0 −10 3 −5 ⋮ 15

]

L₁2_=L 1 1 L₂2 =L1₂ m321=−c321 /c122=−4 L32=m321 L21+L31 m42 1 =−c42 1 /c22 1 = 5 L4 2 =m42 1 L2 1 +L4 1 C2=

[

3 2 0 1 ⋮ 3 0 2 −3 1 ⋮ −3 0 0 4 −2 ⋮ 2 0 0 −12 0 ⋮ 0

]

L₁3 =L₁2 L₂3 =L₂2 L33=L32 m43 0 =−c43 2 /c33 2 = 3 L4 3 =m43 2 L3 2 +L4 2 C3=

[

3 2 0 1 ⋮ 3 0 2 −3 1 ⋮ −3 0 0 4 −2 ⋮ 2 0 0 0 −6 ⋮ 6

]

X =

[

2 −1 0 −1

]

ou Xt=

[

2 −1 0 −1

]

Obs.: n = 4 exige 76 operações aritméticas n = 5 exige 145 operações aritméticas

Exercício: Obter uma equação para calcular o número de operações aritméticas necessárias para a solução de um sistema linear de ordem n pelo método de eliminação de Gauss.

2.7.6.1.1. Método de Gauss (cont.) No SciLab: function x = GaussElim(n,a,b) // Matriz aumentada c = [a b]; // Triangularização da matriz // aumentada for k=1:n-1 for i=k+1:n mik=c(i,k)/c(k,k); c(i,k) = 0; for j = k+1:n+1 c(i,j)=c(i,j)-mik*c(k,j); end end end // Substituição retroativa x=zeros(n,1); x(n)=c(n,n+1)/c(n,n); for i=n-1:-1:1 soma = 0; for j=i+1:n

soma = soma +c(i,j)*x(j); end

x(i)=(c(i,n+1)-soma)/c(i,i); end

endfunction

Algorítimo de Triangularização de Gauss para Sistema Lineares Entradas:

Ordem do sistema linear n

Matriz de coeficientes a[n,n]

Matriz de termos independentes b[n,1]

Saída:

Matriz de incógnitas x[n,1]

Início

// Definir os termos da matriz aumentada c[n,n+1]= a[n,n]:b[n,1];

// Triangularização da Matriz aumentada Para k=1 até n-1 faça

início

Para i=k+1 até n faça início

mik=c(i,k)/c(k,k); c(i,k) = 0;

Para j = k+1 até n+1 faça início c(i,j)=c(i,j)-mik*c(k,j); fim; fim; fim; // Substituição retroativa x(n)=c(n,n+1)/c(n,n); Para i=n-1 até 1 faça início

soma = 0;

Para j=i+1 até n faça início

soma = soma +c(i,j)*x(j); fim;

x(i)=(c(i,n+1)-soma)/c(i,i); fim;

Mostre a matriz x[n,1]; fim.

2.7.6.1.2. Método de Decomposição LU A matriz U é única! Método de solução l_ij=1 se i= j l_ij=0 se i j u_ij=0 se i j Decomposição usando a igualdade LU = A Forma indicial Obs: na fórmula de uij j-1<i significa ignorar os termos do somatório onde k≥i Substituição progressiva Substituição retroativa Solução AX =B A=

[

21 3 −10 2 0 3 −1

]

X =

[

x1 x2 x₃

]

B=

[

34 2

]

A=LU LUX =B LY =B UX =Y LY =B Y  UX =Y  X Xt =

[

1 1 1

]

u₁₁=a₁₁ u₁₂=a₁₂ u₁₃=a₁₃ l₂₁u₁₁=a₂₁ ⇒ l₂₁=a₂₁/u₁₁ l21u12+u22=a22 ⇒ u22=a22−l21u12 l₂₁u₁₃+u₂₃=a₂₃ ⇒ u₂₃=a₂₃−l₂₁u₁₃ l31u11=a31 ⇒ l31=a31/u11 l31u12+l32u22=a32 ⇒ l32=(a32−l31u12)/u22 l₃₁u₁₃+l₃₂u₂₃+u₃₃=a₃₃ ⇒ u₃₃=a₃₃−l₃₁u₁₃−l₃₂u₂₃ para i⩽ j u_ij=a_ij se j=1 e u_ij=a_ij−

∑

k=1 j−1< i l_iku_kj se j> 1 para i> j lij= a_ij ujj se j=1 e lij=(aij−

∑

k=1 j−1 likukj) /ujj se j> 1 LY =B L=

[

11/2 01 00 0 −2 1

]

Y =

[

y1 y₂ y₃

]

B=

[

43 2

]

UX =Y U =

[

_{0 −3/2 5/2}2 3 −1 0 0 4

]

X =

[

x₁ x2 x₃

]

Y =

[

4₁ 4

]

A= LU L=

[

1 0 0 l21 1 0 l₃₁ l₃₂ 1

]

U =

[

u₁₁ u₁₂ u₁₃ 0 u₂₂ u₂₃ 0 0 u₃₃

]

A=

[

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃

]

2.7.6.1.2. Método de Decomposição LU (cont.) Rotina de Decomposição LU em código do SciLab

Obs: O programa para o cálculo dos uij ignora os termos de k≥i

automaticamente, pois estes ainda são nulos até o seu cálculo.

//Rotina de Decomposição LU para Sistema Lineares //entrada Ordem do sistema linear n // Matriz de coeficientes a[n,n] // Matriz de termos independentes b[n,1] //saída Matriz de incógnitas x[n,1] function x = DecoLU(n,a,b)

// Decomposição de A em L(matriz triangular inferior) e U(matriz triangular superior) // LU=A

l = zeros(n,n); // zerar matrizes L e U u = zeros(n,n);

for i=1:n // diagonal de L igual a 1 l(i,i)=1;

end

j=1; // cálculo dos elementos de L e U para j=1 for i=1:n if i<=j then u(i,j)=a(i,j); else l(i,j)=a(i,j)/u(j,j); end end

for i=1:n // cálculo dos elementos de L e U para j>1 for j=2:n SumLU=0; for k=1:j-1 SumLU=SumLU+l(i,k)*u(k,j); end if i<=j then u(i,j)=a(i,j)-SumLU; else l(i,j)=(a(i,j)-SumLU)/u(j,j); end end end

// Substituição progressiva LY=B y=zeros(n,1);

y(1)=b(1); for i=2:n SumLY=0; for j=1:i-1

SumLY = SumLY + l(i,j)*y(j); end

y(i)=b(i)-SumLY; end

// Substituição retroativa UX=Y x=zeros(n,1);

x(n)=y(n)/u(n,n); for i=n-1:-1:1 SumUX = 0; for j=i+1:n

SumUX = SumUX +u(i,j)*x(j); end

x(i)=(y(i)-SumUX)/u(i,i); end

endfunction

2.7.6.2. Métodos Indiretos (Iterativos) Exemplo: AX =B AX −B=0 AX IX −B= IX X = AI  X −B 2.7.6.2.1. Método de Jacobi

Carl Gustav Jakob Jacobi 1804-1851 Obs: aii ≠ 0 V i Senão é necessário reagrupar as equações do sistema original.

Os métodos iterativos consistem em transformar o sistema de equações lineares original para uma outra forma que permita obter novas estimativas de valores do vetor de incógnitas X a partir de uma estimativa anterior de valores do vetor X.

A X =B

para

X =F X D

A partir de uma aproximação inicial:

X0 t_=[x 1 0  _x 2 0 _x 3 0  _{... x} n 0 _]

obtemos a nova estimativa ,

X1_{=F X}0_D

e repete-se até que,

máx∣xi k 1 −xi k ∣≤ ou kM

onde, ε = tolerância na solução

M = número máximo de iterações Seja o sistema de equações lineares (LES),

a11x1a12x2a13x3...a1nxn=b1 a₂₁x₁a₂₂x₂a₂₃x₃...a_2nx_n=b₂

...

a_n1x₁a_n2x₂a_n3x₃...a_nnx_n=b_n explicita-se as incógnitas x da seguinte forma:

x₁=b1−a12x2a13x3...a1nxn a₁₁ x₂=b2−a21x1a23x3...a2nxn a₂₂ ... x_n=bn−an1x1an2x2...an n−1xn −1 ann

2.7.6.2.1. Método de Jacobi (cont.)

Método do Resíduo Ri(k)

É mais atual!

O método iterativo de Jacobi consiste em: a) Partindo-se de uma aproximação inicial

X0_=x 1 0_{, x} 2 0_{, x} 3 0_{,, x} n 0_t

b) Calcula-se a sequência de aproximações X1_,X2_{, X}3_{, ..., X}k utilizando as equações: x1 k1 = 1 a₁₁b1−a12x2 k −a13x3 k −a14x4 k −−a1nxn k  x2 k1 = 1 a₂₂b2−a21x1 k −a23x3 k −a2x4 k −−a2nxn k  x₃k1 = 1 a₃₃b3−a31x1 k −a₃₂x₂k−a₃₄x₄k−−a_3nx_nk            xnk1=_a1 nn bn−an1x1k−an2x2k−−an n −1 xn −1k 

c) Continuar a gerar aproximações até que uma das seguintes condições for satisfeita: máx∣xik 1−xik∣≤ ou kM onde, ε = tolerância

M = número máximo de iterações

x_ik1 =x_ik Ri k  a_ii i=1..n R_ik =b_i−

∑

j =1 n a_ijx_jk i=1..n

2.7.6.2.2. Método de Gauss-Siedel Método do Resíduo Ri(k) É mais atual! Seja o sistema: A X = B

O método iterativo de Gauss-Siedel consiste em: a) Partindo-se de uma aproximação inicial

X0=x10, x02, x30, , xn0t b) Calcula-se a sequência de aproximações

X1_,X2_{, X}3_{, ..., X}k utilizando as equações: x₁k1 = 1 a₁₁b1−a12x2 k −a₁₃x₃k −a₁₄x₄k −−a_1nx_nk  x₂k1 = 1 a₂₂b2−a21x1 k 1 −a₂₃x₃k −a₂x₄k −−a_2nx_nk  x₃k1 = 1 a₃₃b3−a31x1 k 1 −a₃₂x₂k1 −a₃₄x₄k −−a_3nx_nk             xn k1 = 1 ann bn−an1x1 k1 −an2x2 k1 −−ann−1xn−1 k 1 

c) Continuar a gerar aproximações até que uma das seguintes condições for satisfeita: máx∣xik 1−xik∣≤ ou kM onde, ε = tolerância

M = número máximo de iterações

x_ik1 =x_ik Ri k  a_ii i=1..n R_ik =b_i−

∑

j =1 i −1 a_ijx_jk1 −

∑

j =i n a_ijx_jk i=1..n

K X1 E1 X2 E2 Teste 0 0,000 0,000 1 0,500 0,500 1,500 1,500 não 2 1,250 0,750 1,250 0,250 não 3 1,125 0,125 0,875 0,375 não 4 0,938 0,188 0,938 0,063 não 5 0,969 0,031 1,031 0,094 não 6 1,016 0,047 1,016 0,016 não 7 1,008 0,008 0,992 0,023 não 8 0,996 0,012 0,996 0,004 não 9 0,998 0,002 1,002 0,006 convergiu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,000 0,100 0,200 0,300 0,400 0,500 0,600 0,700 0,800 Convergência de x1 - Jacobi x₁k +1 =(1+ x₂k )/2 x₂k +1 =(3− x₁k )/2 2 x1−x2=1 x₁+2 x₂=3 2.7.6.2.3. Super-relaxação Sucessiva (SOR) SOR = successive over-relaxation Método do Resíduo Ri(k) w< 1 sub-relaxado w> 1 super-relaxado Exemplo Método de Jacobi

Alteração do método de Gauss-Siedel para acelerar a convergência.

x_ik1 =x_ik _Ri k aii i=1..n R_ik =b_i−

∑

j =1 i −1 a_ijx_jk1 −

∑

j =i n a_ijx_jk _i=1..n Fator de relaxação (ω) 0 < w < 2 2 x1−x2=1 x₁+2 x₂=3

K X1 E1 X2 E2 Teste 0 0,000 0,000 1 0,500 0,500 1,250 1,250 não 2 1,125 0,625 0,938 0,313 não 3 0,969 0,156 1,016 0,078 não 4 1,008 0,039 0,996 0,020 não 5 0,998 0,010 1,001 0,005 convergiu 1 2 3 4 5 0,000 0,100 0,200 0,300 0,400 0,500 0,600 0,700 Convergência de x1 - Gauss-Siedel Ômega = 0,91 K X1 R1 X2 R2 Teste 0 0,000 0,000 1 0,455 1,000 1,158 2,545 não 2 1,023 1,248 1,004 -0,339 não 3 1,004 -0,042 0,999 -0,011 não 4 1,000 -0,009 1,000 0,003 convergiu 1 2 3 4 5 -0,200 0,000 0,200 0,400 0,600 0,800 1,000 1,200 1,400 Convergência de x1 - SOR R₁k =1−2x₁k +x₂k R₂k =3−x₁k +1 −2 x₂k x₁k +1=x₁k+ω R₁k/2 x₂k +1=x₂k+ω R₂k/2 2 x1−x2=1 x₁+2 x₂=3 2 x1−x2=1 x₁+2 x₂=3 x₁k +1=(1+ x₂k)/2 x₂k +1=(3− x₁k+ 1)/2 2.7.6.2. Métodos Indiretos (cont.) Método de Gauss-Siedel Método SOR

    = + + − = + − = + − 7 4 2 2 4 3 2 4 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x A B C D E F G H 1 k X1 E1 X2 E2 X3 E3 Teste 2 0 0 0 0 3 1 FM1 FM2 FM3 FM4 FM5 FM6 FM7 4 2 5     = + + − = + − = + − 7 4 2 2 4 3 2 4 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x     = + + − = + − = + − 7 4 2 2 4 3 2 4 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x A B C D E F G H I 1 k X1 R1 X2 R2 X3 R3 Teste 1,1 2 0 0 0 0 3 1 FM1 FM2 FM3 FM4 FM5 FM6 FM7 4 2 5 2.7.6.2.4. Métodos Indiretos - Implementação em Planilhas Método de Jacobi Exemplo Erro admitido de 1x10-2 Método de Gauss-Siedel Método SOR Omega de 1,1

(colocado numa célula fixa $I$1)

• Definir as seguintes fórmulas:

FM1 = 1/4*(3 + 2*D2 - F2) FM2 = ABS(B3 - B2) FM3 = 1/4*(2 + B2 + F2) FM4 = ABS(D3 - D2) FM5 = 1/4*(7 - B2 - 2*D2) FM6 = ABS(F3 – F2) FM7 = SE((C3>0,01) E (E3>0,01) E (G3>0,01);”convergiu”;”não”)

• Selecionar as células A2 a A3;

• Estender as definições destas células até o número de iterações

desejadas;

• Selecionar as células B3 a H3;

• Estender as definições destas células até o número de iterações

desejadas.

• Definir as seguintes fórmulas:

FM1 = 1/4*(3 + 2*D2 - F2) FM2 = ABS(B3 - B2) FM3 = 1/4*(2 + B3 + F2) FM4 = ABS(D3 - D2) FM5 = 1/4*(7 - B3 - 2*D3) FM6 = ABS(F3 – F2) FM7 = SE((C3>0,01) E (E3>0,01) E (G3>0,01);”convergiu”;”não”)

• Selecionar e estender as coluna A e a linha 3, colunas B a H, do

mesmo modo anterior.

• Definir as seguintes fórmulas:

FM1 = B2+$I$1*C2/4 FM2 = 3 - 4*B2+ 2*D2 - F2 FM3 = D2+$I$1*E2/(-4) FM4 = -2 - B3 + 4*D2 - F2 FM5 = F2+$I$1*G2/4 FM6 = 7 - B3 – 2*D3 - 4*F2 FM7 = SE((C3>0,01) E (E3>0,01) E (G3>0,01);”convergiu”;”não”)

• Selecionar e estender as coluna A e a linha 3, colunas B a H, do

2.8. Problemas de Autovalor Exemplo ϖ = freqüência natural ϕ = ângulo de fase Xi = amplitude da oscilação da massa i

Seja o sistema de equações lineares:

A X = B

● Se det A ≠ 0

○ Ele admite solução única

● Se: det A = 0

○ Ele pode não admitir solução

○ Ele pode admitir um número infinito de soluções

○ Ele pode admitir ao menos a solução trivial, X = 0, se o

sistema for homogêneo, A X= 0

Para sistemas homogêneos, com det A = 0, só existe a solução trivial se os coeficientes aij forem fixos. Se alguns destes coeficientes for função de uma variável, tal como lambda (λ), existem outras soluções diferentes da trivial. Neste caso, a matriz X é chamada de autovetor e os valores de lambda são chamados de autovalores do sistema de equações lineares.

O sistema da figura acima é constituído de duas massas e duas molas idênticas. As equações diferenciais que descrevem o seu estado (posições das massas) são obtidas a partir do balanço de forças em cada massa do sistema. Do seguinte modo,

Md 2 x1 d t2 =K  x2−x1−K x1=K x2−2 K x1 Md 2 x₂ d t2 =−K  x2−x1=K x1−K x2 As solução isoladas dos sistemas massa-mola são:

x1=X1sen t ˙ x₁=X₁cos t ¨ x₁=−X₁2sen t x₂=X₂sen t  ˙ x₂=X₂ cos t  ¨ x₂=−X₂2sen  t  K K M x x₁ x2 M x₁ x₂ x₁ x₂

2.8. Problemas de Autovalor (cont.) Definição arbitrária Problema de Autovalor Equação característica Solução Numérica do Exemplo Autovalores

Substituindo as soluções nas equações diferenciais, temos, 2− X₁−X₂=0

−X₁1− X₂=0 onde, lambda foi definido como,

= 2 M K Na forma matricial,

[

2− −1 −1 1−

]

[

X₁ X2

]

=0 ou, A− I  X =0

Esta é a forma clássica do Problema de Autovalor.

A equação característica do problema de autovalor é obtida pela condição de múltiplas soluções, não triviais, para o sistema de equações lineares.

det  A− I =0

A solução gera um polinômio da mesma ordem do número de equações do sistema e cujas raízes são os autovalores do sistema de equações lineares homogêneo.

∣

2− −1 −1 1−

∣

=0 2−1−−1=0 2−31=0 Assim, ₁=2,6180 ₂=0,3820

2.8. Problemas de Autovalor (cont.)

Autovetores

Significado físico

Para calcular os autovetores, usamos cada um dos autovalores, Para λ1 = 2,6180

[

−0,6180 −1 −1 −1,6180

]

[

X₁ X₂

]

=0 X₂=−0,6180 X₁ Para λ2 = 0,3820

[

1,6180 −1 −1 0,6180

]

[

X₁ X₂

]

=0 X₂=1,6180 X₁ Considerando X1 = 1 , temos, X1 = 1 e X2 = -0,6180 para λ1 X1= 1 e X2 = 1,6180 para λ2

● Para λ1 as massas estão se movendo em direções opostas e a

amplitude da oscilação da segunda massa é 61,8 % da amplitude de oscilação da primeira massa. A freqüência de oscilação é dada por:

₁=



1K M

● Para λ2 as massas estão se movendo na mesma direção e a

amplitude da oscilação da segunda massa é 161,8 % da amplitude de oscilação da primeira massa. A freqüência de oscilação é dada por:

₂=



2K M

Métodos de solução Solução do problema de autovalor em programas simbólicos Matlab Scilab Obs

O problema é achar os autovalores quando o polinômio gerado é de elevado grau, por exemplo, de ordem 300. Ou seja, possui 300 raízes. A solução do problema de achar os autovalores pode ser feita através dos seguintes métodos:

● Diretos – solução pela definição ou usando uma modificação da

equação característica;

● Indiretos – solução iterativa ou outro método de busca de raízes,

tais como,

○ Método da potência

○ Método do inverso da potência

○ Método do deslocamento de autovalores.

eig(A,X)

[erots,X] = spec(A)

Existem problemas de autovalor que não são lineares: [A−B ] X =0