Uma aplicação da algebra geometrica a mecanica classica = a transformação de Kustaanheimo-Stiefel

Computação Cientíca - IMECC

Uma Aplicação da Álgebra

Geométrica à Mecânica Clássica: a

Transformação de

Kustaanheimo-Stiefel.

José Vicente Cipriano de Souza

jvcsouza@uol.com.br

Dissertaçãode Mestrado

Orientador: Prof. Dr. Jayme Vaz Jr.

Fevereiro de 2010

So89a

Bibliotecária: Crisllene Queiroz Custódio -

CRB8

I

7966

Souza

,

José

Vicente Cipriano

Uma aplicação da álgebra geométrica

à mecânica clássica : a

transfonnação

de Kustaanbeimo-Stiefel

I

José

Vicente Cipriano

Souza--Campinas

,

[S.P.:

s.n.)

,

2010.

Orientador

:

Jayme

Vaz

Junior

Dissertação

(Mestrado

Profissional)

- Universidade Estadual de

Campinas

,

Instituto

de Matemática

,

Estatística e Computação Científica

.

I.

Álgebra

geométrica. 2. Transfonnação (Matemática). 3.

Mecânica

clássica.

4

.

Clifford, Álgebra

de

.

I.

Vaz Junior

,

Jayme

.

11.

Universidade Estadual

de

Campinas.

Instituto de Matemática,

Estatística

e Computação Científica.

!Il.

Título.

Título em inglê

s

:

An

application o

f

the geometric algebra to

lhe

classical

me

c

hanics

:

the

Kustaanheimo-Stiefel transfonnation.

Palavras-chave em inglês (Keywords):

I.

Geometric algebra. 2

.

Transfonnation

(Mathematics)

.

3

.

Classical

mechanics

.

4

.

Clifford algebras

.

Área de concentração: Física-matemática

Titulação: Mestre em Matemática

Banca examinadora: Pro f.

Dr.

Jayme

Vaz Júnior

(IMECC)

Pro f. Dr. Edmundo Capelas de Oliveira (IMECC)

Prof.

Dr.

Roldão da Rocha Júnior

(UFABC)

Data da def

e

sa: 26

/

02

/

20

1

O

Dissertação de Mestrado Profissional defendida em 26 de fevereiro de 201 O

e aprovada pela Banca Examinadora composta pelos Profs. Drs.

IOR

..

/

Agradeço, inicialmente, a Deus, que permitiu que eu chegasse até este ponto, da

vidae dos estudos.

Agradeço aos meus pais, Joaquim e Marly, pelaeducação que meproporcionaram,

àsminhas irmãs,Rosaly, Rosângelae Rosana,pelaconsideração eamizade eaos meus

lhos,Carlos Henrique, Daniele Lucas os quaisamo de todocoração.

Sou grato, também, à minhaquerida Verônica,por seu amor e incentivo.

Queroagradecer,ainda,aoProf. Dr. JaymeVazJr.,pelagentileza deter me

orien-tadonestetrabalho,compaciênciaeboavontade. Agradeço,também,aoscomponentes

dabanca examinadora,porterem aceitadofazer parteda mesma.

Nãopoderiadeixar de agradecera todos osprofessores edoutorandosmonitores do

Mestrado Prossional do convênio AMAN/UNICAMP, em especial à Professora

Dou-toraSueli Irene RodriguesCosta,ao Prof. Dr. Edmundo Capelas de Oliveira,ao Prof.

Dr. Waldyr AlvesRodriguesJr. e ao monitor,agora Doutor e Professor da Unicamp,

Cristiano.

Gostaria, também, de apresentar meus agradecimentos a todos os amigos da

Ca-deiradeMatemática/AMAN,quesempresemostraramdispostos acolaborarde várias

maneiraspara que este trabalhochegasse abomtermo.

Por último, gostaria de apresentar meus sinceros agradecimentos à UNICAMP e à

Nessa dissertação apresentamos a Álgebra Geométrica do Espaço Euclidiano e

es-tudamosalgumas de suas propriedades. Para exemplicar suas aplicações, estudamos

a Transformação Kustaanheimo-Stiefel em termos de Álgebra Geométrica. Para isso

apresentamos inicialmenteaTransformaçãoKS, queregulariza omovimentode Kepler

em três dimensões removendo uma singularidade na origem, da forma como foi

origi-nalmenteformulada,baseando-se em álgebrade matrizes. Feito isso, a Transformação

KS é apresentada com Álgebra Geométrica, o que torna o seu entendimento

geomé-tricomais claroeseu desenvolvimentomais simplicado. Para talouso doconceito de

InthisdissertationwepresentedtheGeometricAlgebraofEuclideanSpaceand

stu-diedsomeofitsproperties. Toexemplifyitsapplications,westudiedthe

Kustaanheimo-StiefelTransformation in terms of Geometric Algebra. This purpose we presented

ini-tiallythe KS Transformation which regularizes the Keplermotion inthree dimensions

byremovingasingularityattheorigin,asitwasoriginallyformulated,basedonmatrix

algebra. Done, the KS transformation is presented with Geometric Algebra, making

clearer its geometric understanding and its development more simplied. With this

Resumo vii

Abstract viii

1 Introdução 1

2 A álgebra geométrica ou álgebra de Cliord 3

2.1 Introdução . . . 3

2.2 Breve históriada álgebrageométrica . . . 4

2.3 Os quatérnions . . . 6

2.4 A álgebra de extensão oude Grassmann . . . 9

2.5 A álgebra geométricaou álgebrade Cliord . . . 10

3 A transformação KS 40 3.1 Introdução . . . 40 3.2 A regularizaçãode Levi-Civita . . . 41 3.3 A transformação KS . . . 43 3.3.1 Propriedades da TransformaçãoKS . . . 45 3.4 As equaçõesdo movimento . . . 49 3.5 Regularização . . . 52 3.6 O problema de Kepler . . . 53

3.7 O problema de valorinicial. . . 56

4 A transformação KS com álgebra geométrica 57 4.1 Introdução . . . 57

4.2 Rotação edilatação . . . 58

4.4 Vetor e espinorvelocidade . . . 59

4.5 A equação espinoraldo movimento . . . 66

4.6 Sistema livrede forças perturbadoras . . . 67

2.1 WilliamK.Cliord . . . 3 2.2 Bivetor

e

1

e

2

. . . 12 2.3 Bivetor

e

2

e

1

. . . 12 2.4 Bivetor

W =

u

∧

v . . . 12 2.5 Bivetor

−W =

v

∧

u . . . 12 2.6 Trivetor T . . . 13 2.7 Trivetor -T . . . 13 2.8 u

×

v. . . 26 3.1 Kustaanheimo . . . 40 3.2 Stiefel . . . 40 3.3 TullioLevi-Civita . . . 41 3.4 A regularizaçãode Levi-Civita . . . 43

Introdução

Neste trabalhoapresentamos a álgebrageométrica, ou de Cliord, e uma de suas

apli-cações emMecânica Clássica: a Transformação de Kustaanheimo-Stielfel,ou

transfor-maçãoKS, como é mais conhecida.

A Álgebra Geométrica, assim denominadapelomatemático inglês William

King-don Cliord (1845-1879), é hoje tambémconhecida como Álgebra de Cliord, em sua

homenagem.

A Álgebra Geométrica tem o grande mérito de integrar, de forma coerente,

algu-mas álgebras de matrizes, a álgebra vetorial e ados números complexos, mantendo as

vantagensde cada umae possibilitando outrastalcomo uma interpretação geométrica

mais clara dos fenômenos, tornando-se, assim, uma linguagem matemática bastante

adequadae naturalpara a física.

AÁlgebra Geométricatemaplicaçãoemdiversos ramosdafísica,desdeamecânica

clássica,passando pela eletrodinâmica,até arelatividade ea teoria quântica. É lícito,

portanto, almejar, com esta álgebra, a unicação da Matemática para o seu uso na

Física.

AÁlgebraGeométrica,noentanto,couporalgumtempo"esquecida",sendopouco

utilizada. Entretanto, o trabalho de alguns pesquisadores, entre eles David Hestenes,

vem impulsionando e divulgandoo seu uso. Hestenes introduziu a utilização dos

spi-nors operatoriais,com osquais reformulou a teoria de Dirac.

[6],autilizaçãodespinorsemteoriade mecânicaclássicadiminuiofossodaformulação

matemáticadasmecânicasclássicaequântica,possibilitandoaoestudanteavançarmais

rapidamentenos estudos.

Para ilustrar o potencial da Álgebra Geométrica de ser aplicada à mecânica

clás-sica,mostramos nestetrabalhoatransformação KSque, costumeiramenteexpressaem

linguagemde álgebrade matrizes, carecendo de uma interpretaçãogeométrica, é

inter-pretada,naÁlgebraGeométrica,porumespinorquereúneemsiasquatrocoordenadas

KS, ecom clara interpretação geométrica.

Nocapítulo2 apresentamos aÁlgebraGeométricadoEspaço Euclidiano,suas

prin-cipais propriedades, em particular o produto geométrico, as relações com a álgebra de

Grassmann, com a álgebra vetorial de Gibbs e Heaviside e com os quatérnions, bem

como mostramos o isomorsmo com a álgebrade matrizes e falamossobre rotações e,

ainda,sobre spinors.

No capítulo 3 apresentamos a Transformação de Kustaanheimo e Stiefel que, de

maneirasimilar à regularizaçãodo movimentode Kepler emduas dimensões proposta

porTullio Levi-Civita, efetua a regularizaçãodo movimento de Kepler emtrês

dimen-sões, baseando-se emuma aplicaçãodo

R

4

no

R

3

,a m de remover uma singularidade

daequação de movimento naorigem. Este métodofoi desenvolvido para resolver

pro-blemas em mecânica celeste mas tem se tornado uma ferramenta útil em estudos de

mecânica quântica. Podemos citar, como exemplo, queo métodotorna possível

trans-formaraequaçãodeSchrödingerparaoátomodehidrogênioemtrêsdimensões(emum

campo eletromagnético) em uma equação de Schrödinger para o oscilador harmônico

isotrópicoemquatro dimensões.

No capítulo 4, nalmente, mostramos como expressar a transformação KS em

ter-mos da álgebra de Cliord, que propicia uma interpretação geométrica mais clara, o

A álgebra geométrica ou álgebra

de Clifford

2.1 Introdução

Figura2.1: WilliamK.Cliord

A álgebra geométrica, também conhecida como álgebra de Cliord permite

repre-sentar certas grandezas físicascom outros objetos além de vetores e escalares.

Quando queremos representar grandezas angulares, como o momento angular ou

o torque produzido por uma força, é conveniente usarmos os bivetores, que veremos

adiante, e que representam, naverdade, fragmentosde um plano (ou plaquetas).

ori-entação interna, que pode ser conforme o sentido horário ou o anti-horárioem que se

percorreo seu perímetro edireção, queé a doplano quelhe dásuporte.

A álgebrageométricasuporta osescalares, osvetores,os bivetorese, secarmosno

espaçotridimensional, ostrivetores,que são elementosde volume e que têm, também,

duas orientaçõespossíveis, segundo aregra da mão direitaou daesquerda.

Aálgebrageométricatemmuitasaplicaçõesnafísica,principalmenteemproblemasque

envolvamrotação enúmerosimaginários. Pode descrever fenômenosemfísica clássica,

mecânica quântica, eletromagnetismoe relatividade.

Nestecapítulofaremosumabreveexplanaçãosobreoassunto. Paraumestudomais

detalhadosobre oassunto recomendamos a leitura de Vaz[14].

2.2 Breve história da álgebra geométrica

A relação entre álgebra e geometria era algo que Euclidesjá utilizava no séculoIII

a.C., quandoassociavaum númeroà dimensão de um segmentode reta.

No século XVII René Descartes estabeleceu a relação entre posição e números, no

sistemaqueaté hojeé conhecidocomo cartesiano,emsua homenagem. Descartes

ado-tava acongruência para determinara equivalência entre os segmentosde linha.

Mais tarde, já no século XIX, Hermann Grassmann, no artigo denominado

"Álge-bradasExtensõesLineares", propôsobjetosgeométricosorientadospararepresentaras

grandezas físicas. Nasciam, assim, os vetores. Entretanto, por complexo demais para

sua época, seu trabalhocou parcialmenteesquecido.

Ao mesmo tempo, e com o intuito de generalizar a noção de número complexo e

estendendo-os ao espaço tridimensional foi introduzidoo conceito de quatérnions, que

estudaremosadiante.

Costuma-se a creditar a William Rowan Hamilton (1805-1865) a introdução dos

quatérnions namatemática

Entretanto, Simon L. Altman [1] apresenta as contribuições que Benjamin Olinde

No desenvolvimento e divulgação da teoria dos quatérnions podemos citar Peter

GuthrieTait(1831-1901). Ele também teve a preocupação de encontrar aplicações

fí-sicas para osquatérnions.

WilliamKingdon Cliord, em 1878, teve a felicidade de formular uma álgebra

ca-paz de englobar a de Grassman e a a estrutura dos quatérnions na chamada "álgebra

geométrica",que hoje tambémé conhecida como "álgebrade Cliord", emsua

home-nagem. Aálgebrade Cliordunicouasduas estruturasemumasó,de formaelegante

ecomgrandealcance. Entretanto,devidoàmorteprematuradeCliordeàinsuciente

divulgaçãodoseu trabalhoà época, a álgebrageométricacou muito poucoconhecida

eutilizada.

MaistardeomatemáticoJosiahWillardGibbs(1839-19030)criouaconhecida,

bas-tante difundida e utilizada "álgebra vetorial", mais simples e que consegue descrever

satisfatoriamente vários fenômenos físicos. Esta álgebra nada mais é que uma

sim-plicação da álgebra de Grassmann e que aproveita a parte vetorial dos quatérnions.

Entretanto não consegue generalizar estes sistemas.

OliverHeaviside (1850-1925),telegrasta inglês,tambémdesenvolveu a álgebra

ve-torial,de formaindependente, chegandoessencialmenteaomesmosistemadesenvolvido

porGibbs [3] . Heavise dedicava-se ao estudo daeletricidade e não primava pelorigor

matemáticoemseus estudos.

Aálgebrageométrica,apesardemaisecienteecompletaqueadeGibbs/Heaviside,

foisendoesquecidaecaiuemdesusoemfunçãodograndesucessoalcançadoporesta, e

pelafalta danecessária divulgação. Entretanto aálgebra geométricavemsendo usada

edifundida,principalmentedevido aos esforços de físicos ematemáticos,que nos

mos-tram o seu alcance, a sua simplicidade e a descrição da natureza de que ela é capaz e

de como não possui as deciências presentes naálgebravetorial de Gibbs.

Podemos citar como estudiosos da álgebra de Cliord: David Hestenes (Arizona,

USA), Anthony Lasenby e Chris Doran (Cambridge), Pierre Angles (Toulouse),

Jac-ques Helmstetter e Artibano Micali (Grenoble), William Baylis (Windsor, Canadá),

2.3 Os quatérnions

Osquatérnions surgiramcom o objetivo de estender aideia de números complexos

aoespaço tridimensional,visando àsua aplicaçãoemmecânica.

O propósito foi introduzir novas unidades imaginárias, à semelhança da unidade

i

dos complexos. Foram elas

j

e

k

. Os quatérnions caram, portanto, com a forma

q = a + bi + cj + dk

, onde

a, b, c, d ∈ R

e

i

2

_{= j}

2

_{= k}

2

_{= ijk = −1}

.

Os quatérnions, assim como os números complexos, têm duas partes: a parte real,

R(q) = a

e a parte imaginária pura, ou somente pura,

P (q) = bi + cj + dk

.

Pode-se ainda, considerar, respectivamente parte escalar e parte vetorial do quatérnion, ou

seja,

R(q) = a

correspondeaumescalare

P (q) = bi+cj +dk

,aumvetortridimensional. Nosquatérnionsconsideramosasoperaçõesdesomaemultiplicaçãocomoseseguem:

Soma

Para somarmosdois oumais quatérnions devemos, talqual oscomplexos,somar os

termossemelhantes.

Por exemplo: sendo

q = a + bi + cj + dk

e

p = e + f i + gj + hk

, então teremos

q + p = (a + e) + (b + f )i + (c + g)j + (d + h)k

.

Multiplicação

Paraefetuarmosoprodutodedoisquatérnionslevamosemcontaaregradistributiva

doproduto eas seguintes relações entre as unidades imaginárias:

ij = k; ji = −k;

jk = i; kj = −i;

ki = j; ik = −j;

ijk = −1.

dondeconcluímos que oproduto entre as unidades imagináriasé não comutativa.

Setemososquatérnions

q = a+bi+cj+dk

e

p = e+f i+gj+hk

teremosoquatérnion

qp = (ae−bf −cg −dh)+(af +be+ch−dg)i+(ag −bh+ce+df)j +(ah+bg −cf +de)k

.

Devemos observarque a parteescalar é amesma em

qp

e em

pq

.

Tendoemvistaasomaeoprodutodosquatérnions comoforamapresentados acima

podemos vericarque asseguintes regras são válidas para os mesmos:

Sendo

p

,

q

e

r

quatérnions, temos: Em relação à soma:

a)associatividade:

(p + q) + r = p + (q + r)

.

b)Existênciade elementoneutro:

q + o = o + q = q

;

o

éoelementoneutroparaasoma. c)Existência de elementoinverso:

q + (−q) = (−q) + q = o

; (

−p

) é inverso de

p

, para asoma.

d)Comutatividade:

p + q = q + p.

Em relação à multiplicação:

a)associatividade:

p(qr) = (pq)r

.

b) Existência de elemento neutro:

1q = q1 = q

, onde 1 é o elemento neutro para a multiplicação.

c)Existênciade elementoinverso:

q

−1

_{q = qq}

−1

_{= 1}

,onde

q

−1

éoinverso multiplicativo

de

q

(veja abaixo aexpressão de

q

−1

).

Em relação à soma e multiplicação:

-Distributividade:

p(q + r) = pq + qr

.

Chamamosatenção aofato de que amultiplicaçãodos quatérnions énão-comutativa.

Conjugação

A conjugação de um quatérnion é uma operação semelhante à conjugação de um

complexo,ouseja,se

q = a+bi+cj +dk

entãooseuconjugadoserá:

q

∗

= a−bi−cj−dk

.

Oquatérnion conjugado do

q

denota-se por

q

∗

ou

q

¯

.

a)

(q + r)

∗

_{= q}

∗

_{+ r}

∗

b)

(qr)

∗

_{= r}

∗

_q

∗

c)

(q

∗

₎

∗

_{= q}

. Por esta propriedade dizemos que a conjugação é uma involuçãopara os

quatérnions.

A conjugação dos quatérnions nos permite separar a parte escalar (real) e a parte

vetorial (pura) domesmo,da seguinte forma:

a)

R(q) =

q + q

∗

2

. b)

P (q) =

q − q

∗

2

. Norma

A norma de um quatérnion nada mais é do que a raiz quadrada do produto deste

quatérnion eo seu conjugado. Ou seja:

kqk =

√

qq

∗

₌

√

_a

2

_{+ b}

2

_{+ c}

2

_{+ d}

2

. Inverso multiplicativo Oinverso multiplicativo

q

−1

do quatérnion

q

é obtido daformaabaixo:

qq

−1

_{= 1 ⇒ q}

∗

_qq

−1

_{= q}

∗

⇒| q |

2

_q

−1

_{= q}

∗

⇒ q

−1

₌

q

∗

| q |

2

. Rotação

Comocitamos anteriormente, OlindeRodrigues foipioneirono estudodas rotações

de vetores,que aqui apresentamos.

Osquatérnions são ferramentasmatemáticasúteis para descrever rotaçõesde

veto-res noespaço tridimensional.

Seja

q

um quatérnion tal que

q

∗

_{= q}

−1

e

q = cos θ + sen θ

u , onde u é unitário. Seja,ainda, vum vetor, v

∈ R

3

.

Então v'

= q

v

q

∗

correspondeaovetorqueresultadarotaçãode vemtornodoeixo

cujadireção édada por u, porum ângulo

2θ

.

Exemplo: Qual o quatérnion que representa uma rotação de

π

3

de um vetor v em tornodo eixocuja direçãoé dada por

k = (0, 0, 1)

?

Resp:

q = cos

π

6

+ sin

π

6

k ⇒ q =

√

3

2

+

1

2

k

. Se temos o vetor v'

= q

v

q

∗

, com

q

∗

_{= q}

−1

e aplicarmos a operação

q

∗

_(q

v

q

∗

_)q

obteremos v, pois

q

∗

_(q

v

q

∗

_{)q = (q}

∗

_q)

v

(q

∗

_{q) =}

v, ou seja, desfazemos assim a operação

v'

= q

v

q

∗

.

Efetuaraoperaçãode rotaçãode umvetorvpeloquatérnion

pq

temomesmoefeito de efetuar a rotaçãopor

q

e depois por

p

, pois

(pq)

v

(pq)

∗

_{= (pq)}

v

(q

∗

_p

∗

_{) = p(q}

v

q

∗

_)p

∗

.

A vantagem de se tratar rotações de vetores com quatérnions reside no fato de ser

mais simplesque o tratamento com matrizesou porângulos de Euler.

Outra representação dos quatérnions

Osquatérnions podemser representados, emanalogiaà representação dos números

complexos,por pares de reais. Nos números complexos temos

z = (a, b)

representando o complexo

z = a + bi

. Da mesma forma,o quatérnion

q = a + bi + cj + dk

pode ser representado pela quádrupla

(a, b, c, d)

. Temos, portanto, as seguintes representações correspondentes:

1 = (1, 0, 0, 0)

;

i = (0, 1, 0, 0)

;

j = (0, 0, 1, 0)

; e

k = (0, 0, 0, 1)

.

Tal representação deixa claro que

H

é um espaço vetorial de dimensão 4sobre

R

.

2.4 A álgebra de extensão ou de Grassmann

HermannGrassmannfoiomatemáticoqueteveafelicidadedeintroduziroconceito

de vetores na matemática, com o qual conseguiu fazer uma ligação entre geometria e

álgebra,algoquesemprefoitentado pormatemáticoscomoEuclideseRenéDescartes.

Os vetores, como sabemos, possuem uma magnitude (módulo), direção e sentido

(orientação).

Para representar planosGrassmann elaborouochamadoprodutoexternoentre dois

por uma letra maiúscula. O bivetor é, portanto, um elemento de plano orientado, da

mesma forma que um vetor é um elemento de linha orientado. A magnitude de um

bivetor é um escalar que corresponde à área compreendida entre osdois vetores que o

determinam. Então, a magnitude dobivetor B éo escalar denotado por

|

B

|

.

A representação do produto exterior entre os vetores a e b é a

∧

b. A orientação de a

∧

b é oposta à de b

∧

a , portanto a

∧

b =

−

b

∧

a , ou seja, o produto exterior é anti-comutativo. Abaixo vemos as representações geométricas do produto exterior

entre dois vetores.

Sendo dados e

1

= (1, 0, 0);

e

2

= (0, 1, 0);

e

3

= (0, 0, 1)

elementos da base canônica do espaço cartesiano

R

3

, e sendo u

= u

1

e

1

+ u

2

e

2

+ u

3

e

3

e v

= v

1

e

1

+ v

2

e

2

+ v

3

e

3

, o produtoexterior entre u ev será :

u

∧

v

= (u

1

v

2

− u

2

v

1

)(

e

1

∧

e

2

) + (u

1

v

3

− u

3

v

1

)(

e

1

∧

e

3

) + (u

2

v

3

− u

3

v

2

)(

e

2

∧

e

3

)

. Umavez denida umarepresentação paraoplano,fez-se necessáriaa representação

paraoespaço. Paraissobastaefetuarumprodutoexteriorentreumbivetoreumvetor,

gerando um trivetor que é um segmentode volume orientado. Assimcomo um bivetor

encerra uma áreade um paralelogramoemseu interior, otrivetor englobao volume de

um paralelepípedo.

Na álgebra de Grassmann podemos representar objetos geométricos em quaisquer

dimensões, e não apenas até 3 dimensões, ou seja, temos

n

-vetores para representar objetos

n

-dimensionais.

2.5 A álgebra geométrica ou álgebra de Cliord

Introdução

A álgebra geométrica foi criada pelo matemático inglês William Cliord por volta

de 1880 e tem a vantagem de aglutinar as vantagens da álgebra de Grassmann e dos

quatérnions de Hamilton, além de ser capaz de representar os fenômenos físicos nas

A álgebra geométrica do espaço euclideano

Aindaqueaálgebrageométricapossaser empregadaemoutrossistemas,opresente

trabalhoater-se-áapenas aoespaço euclidianotridimensional,onde éválido oteorema

de Pitágoras. Nestas condiçõesnos referimos à álgebrade Cliord como

C`

3

Vamosconsiderar a base doespaço tridimensionalcomos elementosunitários

(ver-sores) e

1

,

e

2

e e

3

. Portanto, um vetor ca descritocomo v

= x

1

e

1

+ x

2

e

2

+ x

3

e

3

nesta base, com

x

i

∈ R

. O seu módulo

|

v

|

é talque

|

v

|

2

_{= x}

2

1

+ x

2

2

+ x

2

3

.

Para o produto entre dois vetores consideramos a regra distributiva e, também as

seguintes regras namultiplicaçãodos elementos e

1

,

e

2

ee

3

:

e

i

e

i

=

e

2

i

= 1,

para

(i = 1, 2, 3),

e

i

e

j +

e

j

e

i

= 0,

para

i 6= j.

Taisregrassejusticampeloseguinte: noespaçoeuclidiano,considerandoo

R

2

,por

exemplo,aomultiplicarmosum vetor porelemesmodevemos obter oquadrado doseu

módulo,ou seja,vv

=|

v

|

2

_{= x}

2

1

+ x

2

2

.

Sendo v

= x

1

e

1

+ x

2

e

2

+ x

3

e

3

, temos, usandoa distributividade:

vv

= (x

1

e

1

+ x

2

e

2

+ x

3

e

3

)(x

1

e

1

+ x

2

e

2

+ x

3

e

3

) = x

1

x

1

e

1

e

1

+ x

2

x

2

e

2

e

2

+ x

1

x

2

e

1

e

2

+

x

2

x

1

e

2

e

1

, mas devemos ter

|

v

|

2

_{= x}

2

1

+ x

2

2

. Para isso, faz-se necessário que tenhamos: (i) e

1

e

1

=

e

2

e

2

= 1

, emais ainda:

(iia)e

1

e

2

=

e

2

e

1

= 0

, ou: (iib)e

1

e

2

+

e

2

e

1

= 0

.

Naálgebrageométricautiliza-seaopção(iib),ouseja,e

1

e

2

+

e

2

e

1

= 0

. Naálgebra vetorial, todavia, éutilizadaa opção (iia), e

1

e

2

=

e

2

e

1

= 0

.

Esta é uma das diferenças fundamentaisentre a álgebra de Cliord ea vetorial.

Ao admitir que e

1

e

2

=

e

2

e

1

= 0

parte-se do princípio que e

i

e

j

será sempre um escalar.

Ao adotar e

1

e

2

+

e

2

e

1

= 0

, a álgebra geométrica admite a existência de um novo objeto, o bivetor, que permite melhor representar certas grandezas físicas e que será

Bivetores

Naálgebrageométricasurgeobivetor,ou2-vetor,queseoriginadoprodutoexterno

entre dois vetores, como na álgebra de Grassmann. Portanto,o bivetor

W

, resultante do produto externo entre os vetores u e v , nesta ordem, será o bivetor

W =

u

∧

v , quepossuimagnitude,dadapelaáreadoparalelogramoformadopelaáreageradapelos

dois vetores, direção, dada pelo plano que contém os dois vetores e sentido que neste

caso será o que se obtém percorrendo a borda de u para v. Por outro lado, o bivetor

−W =

v

∧

u possui a mesma magnitude, a mesma direção, porém sentido oposto ao dobivetor

W

.

Um bivetor unitárioé aquele que possui magnitude 1.

O conjunto dos bivetores forma um espaço vetorial cuja base são os bivetores

uni-tários e

1

e

2

, e

1

e

3

e e

2

e

3

, obtidos pelos produtos externos entre os vetores e

1

, e

2

e e

3

.

Podemos denotar um bivetor e

i

e

j

como e

ij

.

e

e

2

1

Figura 2.2: Bivetor

e

1

e

2

e

e

2

1

Figura 2.3: Bivetor

e

2

e

1

Um bivetor é, portanto, uma combinação linear dos elementos desta base, ou seja

W = w

12

e

1

e

2

+ w

13

e

1

e

3

+ w

23

e

2

e

3

.

u

v

Figura 2.4: Bivetor

W =

u

∧

v

u

v

Figura 2.5: Bivetor

−W =

v

∧

u

Trivetores

O trivetor, ou 3-vetor, é outro objeto que surge na álgebra geométrica

C`

3

. Ele é o resultado do produto externo entre três vetores. Por exemplo, sejam os vetores

u

= u

1

e

1

+ u

2

e

2

+ u

3

e

3

,

v = v

1

e

1

+ v

2

e

2

+ v

3

e

3

ew

= w

1

e

1

+ w

2

e

2

+ w

3

e

3

. Se zermos u

∧

v

∧

wobteremosotrivetor

T

,ouseja,

T =

u

∧

v

∧

w ,quetemsuaexpressãodadapor:

T =

















u

1

u

2

u

3

v

1

v

2

v

3

w

1

w

2

w

3

















e

1

∧

e

2

∧

e

3

.

Otrivetorpossuimagnitude,quecorrespondeaovolumedoparalelepípedoformado

pelos três vetores, direção, que é a mesma do espaço que lhe suporta e sentido, de

acordocomosentidodos vetores. Paraexemplicarmososentido queumtrivetorpode

ter, considere o trivetor

T =

u

∧

v

∧

w. O trivetor

−T =

u

∧

v

∧ (−

w

)

, em que u e vmantiveram os seus sentidos e wteve o seu sentido invertido, tem sentido oposto ao

trivetor

T

.

Figura2.6: Trivetor T Figura2.7: Trivetor -T

O trivetor é objeto de um espaço unidimensional, cuja base canônica tem como

elemento: e

1

e

2

e

3

=

e

1

∧

e

2

∧

e

3

. O objeto e

1

e

2

e

3

é, portanto,um elementode volume orientado em

C`

3

.

Podemos,também, denotarum trivetor e

i

e

j

e

k

como e

ijk

.

Oproduto vetorial de três vetores obedece àsseguintes propriedades:

a)é associativo: u

∧ (

v

∧

w

) =

u

∧ (

v

∧

w

)

;

b)éantisimétrico: u

∧

v

∧

w=w

∧

u

∧

v=v

∧

w

∧

u =

−

w

∧

v

∧

u =

−

u

∧

w

∧

v=

para u, v, w

∈ R

3

_.

Ovolumedotrivetor

T =

u

∧

v

∧

wéigualaovalorabsolutododeterminanteusado para calculara expressãodo trivetor e mostrada acima.

Espaços vetoriais e graduação

SejaB

∈ R

3

umbivetor. Elepode serinterpretadocomoumaclassede equivalência

de fragmentos do plano de mesma magnitude (área), direção e orientação, dentro de

um espaçoam

A

3

[13]. Osbivetorestambémpodem ser chamadosde 2-vetores. Os bivetores formam um espaço vetorial associado a um espaço tridimensional por

satisfazerem todas as propriedadesnecessárias para isto.

O espaço vetorial dos bivetores em

R

3

é denotado, na álgebrageométrica, pela

no-tação

∧

2

_(R

3

₎

.

De forma análogaaos bivetores, podemos chamar osvetores de 1-vetores, os

trive-tores de 3-vetores e osescalares, de 0-vetores.

O espaço vetorial dos escalares é denotado por

∧

0

_(R

3

_{) = R}

e o dos vetores por

∧

1

_(R

3

_{) = R}

. Quanto aos trivetores, ou 3-vetores, estes constituem um espaço vetorial

denotado por

∧

3

_(R

3

₎

.

Temos, portanto, associados aum espaçotridimensional,os seguintes espaços

veto-riais:

∧

0

_(R

3

₎

;

∧

1

_(R

3

₎

;

∧

2

_(R

3

₎

; e

∧

3

_(R

3

_).

Se zermos a soma direta

∧(R

3

_{) = ⊕}

3

k=0

∧

k

(R

3

)

teremos uma estrutura coerente [14] eum elementodesta estrutura chama-semultivetor.

Graduação

Dizemos que os trivetores têm graduação

3

. Da mesma forma, os escalares, os vetores e osbivetores têm, respectivamente, asgraduações

0

,

1

e

2

.

Multivetores

O multivetor é oelemento presente naálgebra geométrica ecompõe-se da soma de

escalar,vetor, bivetor e trivetor, na sua formamais completa.

Um multivetor M

∈ ∧(R

3

₎

tem a forma:

A norma

|

M

|

deste multivetor é talque

|

M

|

2

_{= m}

2

_{+ m}

2

1

+ m

2

2

+ m

2

3

+ m

2

12

+ m

2

23

+ m

2

13

+ m

2

123

.

Seconsiderarmosummultivetordotipo

M

+

= (m)+(m

12

e

1

e

2

+m

23

e

2

e

3+m

13

e

1

e

3

)

, ouseja, quepossua somenteescalar ebivetor (ou somente um desses dois objetos),

es-taremos usando o que se chama subálgebra par, representada por

C`

+

3

, que é uma

subálgebradaálgebra

C`

3

,pois éfechada comrelaçãoàsoperaçõesde somae multipli-cação.

Nocasodeconsiderarmosummultivetor

M

−

= (m

1

e

1

+m

2

e

2

+m

3

e

3

)+(m

123

e

1

e

2

e

3

)

, que possui apenas vetor e trivetor (ou somente um deles), estaremos usando o que se

chama

C`

−

3

, que no entanto não é fechada para a multiplicação, não se constituindo, portanto, emuma subálgebra.

Seja omultivetor:

M

= (m) + (m

1

e

1

+ m

2

e

2

+ m

3

e

3

) + (m

12

e

1

e

2

+ m

13

e

1

e

3

+ m

23

e

2

e

3

) + (m

123

e

1

e

2

e

3

).

Sequisermosnosreferiraoobjetodegraduação

k

destemultivetordiremos

M

k

. Por exemplo,nos referiremosaobivetor queo constituicomo:

M

2

= m

12

e

1

e

2

+ m

13

e

1

e

3

+ m

23

e

2

e

3

.

Produto geométrico

Dadodois multivetoresu

= u

1

e

1

+ u

2

e

2

+ u

3

e

3

ev

= v

1

e

1

+ v

2

e

2

+ v

3

e

3

, o produto geométricoente eles é uma operaçãotípica da álgebrageométrica denida por:

uv

=

u

·

v

+

v

∧

v

.

A primeira parcela do segundo membro, u

·

v, é conhecida como produto interno. À outra,u

∧

v , damoso nome de produto externo.

u

·

v

= u

1

v

1

+ u

2

v

2

+ u

3

v

3

. O produto interno de vetores é, portanto, comutativo, constituindo-se na parte simétrica do produto geométrico. Podemos notar que o

pro-duto interno de dois vetores resulta em um escalar, ou seja, ocorre a redução de uma

unidade na gradução em relação aos objetos envolvidos na operação. Esse produto

interno obedece,ainda, àseguinteregra: u

·

v

=|

u

||

v

| cos θ

, onde

θ

é oângulo entre osdois vetores que semultiplicaminternamente.

O produto externo, também conhecido como produto cunha ou produto de

Grass-mann,u

∧

v, écalculado por:

u

∧

v

= (u

2

v

3

− u

3

v

2

)

e

2

e

3

+ (u

3

v

1

− u

1

v

3

)

e

3

e

1

+ (u

1

v

2

− u

2

v

1

)

e

1

e

2

fórmula que pode ser escrita sob forma de determinante, de maneira semelhante ao

produtovetorial de Gibbs.

u

∧

v

=

















e

2

e

3

e

3

e

1

e

1

e

2

u

1

u

2

u

3

v

1

v

2

v

3

















.

Oproduto externode vetores é,portanto,anticomutativo, constituindo-senaparte

antisimétricadoproduto geométrico.

Oprodutoexternodedoisvetoresgeraumbivetor,ocasionando,portantooaumento

de uma unidade nagraduação. Logo, o produto geométrico entre dois vetores afeta os

mesmos de modo a diminuir um grau, pelo produto interno, e aumentar um grau na

graduação,devido ao produto externo.

Omódulodobivetorgeradopeloprodutoexternodos doisvetores énumericamente

igualàáreadoparalelogramodeterminadopelosdois vetorese,seconhecemosoângulo

θ

,

0 ≤ θ ≤ 180

o

, entre oseles podemos calculá-loutilizandoafórmula:

|

u

∧

v

|=|

u

||

v

| sen θ

.

Podemos efetuar o produto externo entre um bivetor e um vetor. Esta operação

gera um paralelepípedo cuja base corresponde à área gerada pelo bivetor e a altura

corresponde ao vetor. O objeto gerado é, portanto, um trivetor, dotado de magnitude

(correspondeaovolume),direçãoesentido(dado pelaregradamão direita,oudamão

esquerda). A dimensão de um trivetor é 1. O produto externo entre o vetor u e o

É importante notarque u

∧ V = V ∧

u, ouseja, o produto externo entre um vetor eumbivetorécomutativopois: u

∧ V =

u

∧

v

∧

w

= −

v

∧

u

∧

w

=

v

∧

w

∧

u

= V ∧

u.

Propriedades do produto geométrico

Abaixoapresentamos as principaispropriedadesdo Produto Geométrico:

a)Não Comutatividade

Oproduto geométricoentre dois vetoresquaisquer, u ev, é nãocomutativo. A sua

partesimétricaé composta peloprodutointerno,u

·

v, e oproduto externo,u

∧

v ,é a parteanti-simétrica do mesmo.

Considerando os vetores u e v, temos:

uv

=

u

·

v

+

u

∧

ve vu

=

v

·

u

+

v

∧

u

=

u

·

v

−

u

∧

v, logo, uv

6=

vu. Podemos observar, contudo que:

- se u

·

v

= 0

, ou seja, se os vetores forem ortogonais, teremos uv

= −

vu, pois neste caso, uv

=

u

∧

v

= −

v

∧

u

= −

vu

.

- se u

∧

v

= 0

, ou seja, se os vetores forem paralelos, teremos uv

=

vu , pois aqui, uv

=

u

·

v

=

v

·

u

=

vu

.

b)Distributividade

Oprodutogeométricoédistributivoàdireitaeàesquerda, ouseja,considerandoos

vetores

u

,

v

e

w

,temos: u

(

v

+

w

) =

uv

+

uw, e

(

u

+

v

)

w

=

uw

+

vw

.

c)Multiplicação por escalar

Sendo u ev vetores e

λ

um escalar, temos:

λ(

uv

) =

u

(λ

v

) = (λ

u

)

v

.

Tendo visto as propriedades acima, podemos chegar a uma relação entre produto

geométricoeprodutointernoetambémauma relaçãoentre produto geométricoe

pro-duto externo. Ambas são úteis no caso de se querer chegar ao produto interno ou ao

produtoexterno se seconhecem os produtos geométricos.

-Relação entre produto interno e produto geométrico:

u

·

v

=

1

-Relação entre produto externo e produto geométrico:

u

∧

v

=

1

2

(

uv

−

vu

).

Mostraremos comochegar àprimeiradestas fórmulas. A outra é análoga:

uv

+

vu

= (

u

·

v

+

u

∧

v

) + (

v

·

u

+

v

∧

u

) =

u

·

v

+

u

∧

v

+

u

·

v

−

u

∧

v

= 2

u

·

v

⇒

u

·

v

=

1

2

(

uv

+

vu

).

- Produto geométrico entre três vetores.

Por denição temos que o produto geométrico entre três vetores,

u

,

v

e

w

, por exemplo,obedece à regra associativa,ou seja:

u(vw)

=

(uv)w

=

uvw

.

- Produto Geométrico entre um vetor e um bivetor.

Podemosefetuar oprodutoentre um vetor u eum bivetor

V =

v

∧

w. Tal produto pode ser expresso como asoma das partes simétricae anti-simétrica, como sesegue:

u

V =

1

2

(

u

V +

u

V ) +

1

2

(V

u

− V

u

) =

1

2

(

u

V − V

u

) +

1

2

(

u

V + V

u

).

Comovimosanteriormente, oprodutoexternoentre um vetor eumbivetoré

comu-tativo,ou seja,u

∧ V = V ∧

u. Logo, devemos fazer: Parte simétrica: u

∧ V =

1

2

(

u

V + V

u

) = V ∧

u ; e Parte anti-simétrica: u

· V =

1

2

(

u

V − V

u

) = −V ·

u.

Com isso podemos escrever a expressão para o produto geométrico entre um vetor

eum bivetor:

u

V =

u

· V +

u

∧ V.

Está demonstrado em[6]que:

Isso signica que o produto interno de um vetor com um bivetor resulta em um

vetor. Combinandoessas duas expressões temos:

u

V =

u

· V +

u

∧ V = [(

u

·

v

)

w

− (

u

·

w

)

v

] +

u

∧ (

v

∧

w

).

ouseja,oprodutogeométricoentre umvetoreum bivetorresultanasomade um vetor

eum trivetor.

Podemosgeneralizar uv

=

u

·

v

+

u

∧

v parao caso de u V

k

,onde V

k

é um

k

-vetor eu é um vetor.

Neste caso, temos: uV

k

=

u

y

V

k

+

u

∧

V

k

.

O símbolo

”y”

signica contração pelaesquerda, ou seja, u

y

V

k

signica contração deV

k

pelaesquerda, poru. Neste caso,ainda,temosqueu

y

V

k

resultaemum

(k − 1)

-vetor.

Se tivermosu

y

V

k

,emque

k = 1

, ouseja, u

y

v, teremos comoresultado um escalar e,neste caso, representamos aoperaçãocomo u

·

v.

No caso de u

y

V

2

, ouseja, o produto interno de um vetor com um bivetor, o resul-tado será um vetor, como era de se esperar.

Segundo Lounesto [9], podemos escrever, no caso em que x é um vetor e v é um

k-vetor em

V

k

_R

3

: x

y

v

=

1

2

(

xv

− (−1)

k

vx

) ∈

V

k−1

_R

3

_.

x

∧

v

=

1

2

(

xv

+ (−1)

k

vx

) ∈

V

k+1

_R

3

_.

Temos, ainda, aseguintepropriedade:

x

y

(

uv

) = (

x

y

u

)

v

+ ˆ

u

(

x

y

v

)

, para x

∈ R

3

, u,v

∈ C`

3

No caso do produto geométrico entre dois vetores, ou seja, uv

=

u

·

v

+

u

∧

v, o resultado éuma soma entre um escalar eum bivetor.

jetodiminuia graduaçãodeste de umaunidade enquantoque oprodutoexterno tem o

efeitooposto, ouseja, aumenta asua graduação de uma unidade.

Em se tratando de

C`

3

, se zermos o produto geométrico entre um vetor e um 3-vetor oprodutoexterno anular-se-ápoiso4-vetorqueseria geradonão éobjetodo

C`

3

.

O projetor

h i

k

Dene-se

h i

k

:

∧(R)

3

_{→ ∧}

k

_(R)

3

como sendo:

h

M

i

k

=

M

k

,

(k = 0, 1, 2, 3)

, ou seja,

h i

k

"extrai"oobjeto de grau

k

domultivetor a que serefere.

Porexemplo: seM

= (m)+(m

1

e

1

+m

2

e

2

+m

3

e

3

)+(m

12

e

1

e

2

+m

13

e

1

e

3

+m

23

e

2

e

3

)+

(m

123

e

1

e

2

e

3

)

, então

h

M

i

3

=

M

3

= m

123

e

1

e

2

e

3

.

Para um multivetor M, temos: M

= h

M

i

0

+ h

M

i

1

+ h

M

i

2

+ h

M

i

3

.

Involuções

Dadoum multivetor MemCl

3

, ouseja, M

= h

M

i

0

+ h

M

i

1

+ h

M

i

2

+ h

M

i

3

,temos as seguintes involuções:

InvoluçãoGraduada ouGraduação:

M = h

ˆ

M

i

0

− h

M

i

1

+ h

M

i

2

− h

M

i

3

; Reversão:

M = h

˜

M

i

0

+ h

M

i

1

− h

M

i

2

− h

M

i

3

; e

Conjugação:

M = h

¯

M

i

0

− h

M

i

1

− h

M

i

2

+ h

M

i

3

AConjugação podeser obtidapelacomposiçãodas outrasduasinvoluções, ouseja,

¯

M =

M = ˆ˜

˜ˆ

M

.

Porsereminvoluções, qualqueruma dastrês operaçõesédesfeitacaso sejaefetuada

emduplicidade.

Para obtermosagraduaçãoeareversãopodemoslançarmãodas seguintesrelações,

segundo Vaz[14] : Graduação:

M

ˆ

k

= (−1)

k

_M

k

; Reversão:

M

˜

k

= (−1)

k

(k − 1)

2

M

k

.

Por exemplo, para calcularmos uma reversão em

C`

4

, faremos:

M

˜

0

= (−1)

0

_hMi

0

=

hMi

0

;

M

˜

1

= (−1)

0

_hMi

1

= hMi

1

;

M

˜

2

= (−1)

1

_hMi

2

= −hMi

2

;

M

˜

3

= (−1)

3

_hMi

3

=

−hMi

3

;

M

˜

4

= (−1)

6

_hMi

4

= hMi

4

.

Portanto, neste caso teremos:

M = h

˜

M

i

0

+ h

M

i

1

− h

M

i

2

− h

M

i

3

+ h

M

i

4

.

Segundo Lounesto [9]agraduação é umautomorsmo,istoé, uv

c

= ˆ

uˆ

v

, enquanto a reversão e aconjugação são antiautomorsmos, ouseja,

f

uv = ˜

v˜

u

e

uv = ¯

v¯

u

.

Ainda segundo Lounesto [9], página 57,temos:

-A reversão pode ser usada para estender a normado

R

3

para todos de

C`

3

, por:

| u |

2

_{= hu˜ui}

0

;

-A conjugação pode ser usada para determinaro inverso de

u ∈ C`

3

: 1

u

−1

₌

u

¯

u¯

u

,

u¯

u 6= 0

.

-A involução graduada pode ser utilizadapara obtermos asoma direta:

C`

3

= C`

+

3

⊕ C`

−

3

, pois

M

±

=

1

2

(M ± ˆ

M )

O inverso multiplicativo

O inverso multiplicativo do multivetor

M

, denotado por

M

−1

, é o multivetor que

obedeceà seguinte equação:

MM

−1

_{= M}

−1

_{M = 1}

.

Quando se trata de um vetor, u, por exemplo,o seu inverso é dado pela fórmula

u

−1

₌

u

|

u

|

2

, pois uu

−1

_{= 1 ⇒}

uuu

−1

₌

u

⇒|

u

|

2

u

−1

₌

u

⇒

u

−1

₌

u

|

u

|

2

.

Existem multivetores que não admitem inverso. Com efeito, o multivetor

M =

1

2

(1 +

e

1

)

pode ser citado como exemplo, pois não existe um multivetor

M

−1

com a

propriedade

MM

−1

_{= M}

−1

_{M = 1}

.

A utilização doinverso multiplicativo sedá quando temos a necessidade de dividir

um multivetor por outro.

Para dividirmos omultivetor

U

pelomultivetor

M

temos duas opções: peladireita ou pela esquerda. Isto porque não podemos garantir que

U

e

M

−1

comutem. Temos,

portanto: [6]

- Divisãode

U

por

M

pelaesquerda:

M

−1

_U

, e 2

- Divisãode

U

por

M

peladireita:

UM

−1

.

1

Todovetornãonulopossuiinverso. Entretanto,istonem sempreocorrecomosmultivetores.

2

Adivisãopelaesquerdanãoéequivalenteàdivisãopeladireita,amenosque

U

comutecom

M

−1

Dualidade

Dado um

k

-vetor

U

k

denimos o seu dual

?U

k

através de:

?U

k

= ˜

U

k

I

, onde

I =

e

1

e

2

e

3

.

Se considerarmos um 3-vetor o seu dual será um escalar(0-vetor) e vice-versa. Por

estemotivo,o3-vetor échamadopseudo-escalar. Porsua vez, odualde um vetor éum

bivetor e vice-versa e por issochamamosum bivetor de pseudo-vetor.

Uma propriedade importantea se notar é que um objeto e seu dual têm o mesmo

númerode componentes (mesma dimensão), ouseja:

OEscalareo3-vetortêmambos1componente. Exemplo: Escalar,

N = u

e3-vetor,

T = u

123

e

1

e

2

e

3

.

OVetor eobivetor têm ambos3componentes. Exemplo: Vetor, v

= v

1

e

1

+ v

2

e

2

+

v

3

e

3

e Bivetor,

U = u

12

e

1

e

2

+ u

13

e

1

e

3

+ u

23

e

2

e

3

.

Vamos calcular,como exemplo,o dual de e

1

e

2

. Temos:

?(

e

1

e

2

) = (

e

g

1

e

2

)I = (−

e

1

e

2

)(

e

1

e

2

e

3

) = −

e

1

e

2

e

1

e

2

e

3

=

e

1

e

1

e

2

e

2

e

3

=

e

3

, ou seja,

?(

e

1

e

2

) =

e

3

. De modo semelhante calculam-se osoutros duais. Assim, temos:

?1 =

e

1

e

2

e

3

= I

;

?

e

1

=

e

2

e

3

;

?

e

2

= −

e

1

e

3

=

e

3

e

1

;

?

e

3

=

e

1

e

2

;

?(

e

1

e

2

) =

e

3

;

?(

e

3

e

1

) =

e

2

;

?(

e

2

e

3

) =

e

1

;

?I = 1

.

O dual de um objeto pode representar a mesma grandeza representada por este

objeto. Omomentumangular,porexemplo,é denido pelo2-vetor L

=

r

∧

p. Ovetor momentum angularlé o dual de L , ou seja,l

= ?

L.

Como dissemos anteriormente, devido à operação de dualidade, como o dual de

Entretantoemálgebrasgeométricasdiferentes da

C`

3

istonão ocorre. Se tomarmos a

C`

4

, por exemplo, temos que tanto os vetores quanto os 3-vetores são representados por 4 componentes. Logo, em

C`

4

o dual de um 3-vetor é um vetor e vice-versa. Já em

C`

2

um bivetor édualde um escalare vice-versa, poisambossão representados por apenas 1componente nesta álgebra.

Podemos determinar a quantidade de componentes de um

k

-vetor em

C`

n

. Ele é

dadopelonúmerobinomial





n

k



 =

n!

(n − k)!k!

. Então,porexemplo,em

C`

4

onúmero de componentes de um 3-vetor é

4!

(4 − 3)!3!

= 4

eo de um vetor é

4!

(4 − 1)!1!

= 4

. A álgebra geométrica e os quatérnions

Mostraremosaquiqueaálgebrageométricapar

(C`

+

3

)

éisormorfaadosQuatérnions

(H)

.

Jádissemos acima queos quatérnions são elementosque têm aforma

q = a + bi + cj + dk ∈ H,

onde

a, b, c, d ∈ R

e

i

2

_{= j}

2

_{= k}

2

_{= ijk = −1}

. Temos ainda, nos quatérnions, as

seguintes relações:

ij = −ji = k

;

jk = −kj = i

e

ki = −ik = j

. Seja omultivetor

M = m + m

12

e

1

e

2

+ m

31

e

3

e

1

+ m

23

e

2

e

3

∈ C`

+

3

. Façamosser i

=

e

3

e

2

,j

=

e

1

e

3

, ek

=

e

2

e

1

.

Com issopodemosreescrever

M

como

M = m − m

23

i

− m

31

j

− m

12

k . É fácil ver que i

2

_{= (}

e

3

e

2

)

2

₌

e

3

e

2

e

3

e

2

= −

e

3

e

3

e

2

e

2

= −1

. Podemos vericar, ainda,que: j

2

= −1;

k

2

= −1;

ijk

= −1;

ij

= −

ji

=

k

;

jk

= −

k j

=

i

;

ki

= −

ik

=

j

Com issoca claro que é possível fazeras associações:

deonde seconcluiser lícitoidenticar asunidadesquaterniônicas

{i, j, k}

comos bive-tores

{

e

3

e

2

,

e

1

e

3

,

e

2

e

1

}

da álgebra geométrica, estabelecendo-se, assim, o isomorsmo

C`

+

3

' H

.

Utilizandoos duais, podemos vericar que:

i ↔ −(?

e

1

) = −(

e

2

e

3

) =

e

3

e

2

e, damesma forma,

j ↔ −(?

e

2

)

e, ainda,

k ↔ −(?

e

3

)

.

Com isso, podemosescrever:

M = m +

I

(m

23

e

1

+ m

31

e

2

+ m

12

e

3

) ∈ C`

+

3

' H

.

Oisomorsmoentre osquatérnions eaálgebrageométricadá-secom aidenticação

entre as unidades quaterniônicas (

i, j, k

) e os bivetores (ou pseudovetores) da álgebra geométrica. Já aálgebra vetorial tratou de identicar as unidades quaterniônicas com

osvetores ortonormais(

~i,~j,~k

),base destaálgebra.

A álgebra geométrica, isomorfa à dos quatérnions, é mais abrangente que esta por

nãoserestringiraoespaçotridimensional,podendoserutilizadaemdimensõesmaiores.

A álgebra geométrica

Cl

3

e a álgebra vetorial

O produto vetorial entre os vetores u

= (u

1

, u

3

, u

3

)

e v

= (v

1

, v

2

, v

3

)

é, na álgebra vetorial de Gibbs, considerado um vetor ortogonalao plano formado pelos vetores u e

v, sendo calculado por:

w

=

u

×

v

=

















~i

~j

~k

u

1

u

2

u

3

v

1

v

2

v

3

















= (u

2

v

3

− u

3

v

2

)~i + (u

3

v

1

− u

1

v

3

)~j + (u

1

v

2

− u

2

v

1

)~k

.

Esta operação possui uma incoerência que se observa ao se inverter o sentido dos

vetores envolvidos. Como resultado, era de se esperar que o vetor resultante tivesse o

seu sentido também invertido o que, na realidade, não ocorre. Se zermos o produto

w

0

_{= (−}

u

) × (−

v

) =

















~i

~j

~k

−u

1

−u

2

−u

3

−v

1

−v

2

−v

3

















=

(u

2

v

3

− u

3

v

2

)~i + (u

3

v

1

− u

1

v

3

)~j + (u

1

v

2

− u

2

v

1

)~k =

u

×

v

=

w. Logo, vemos que o sentido de w ede w

0

é omesmo, o quese constitui numa grave

incoerência. O resultado de u

×

v não pode ser considerado, portanto, um vetor, por não secomportar comotal.

Oresultadodochamadoprodutomistoentreosvetoresu ,vex,denotado

(

u

×

v

)·

x possui,também, umaincoerência. Aoseinverteremossentidos dos vetoresnão deveria

haver mudançano resultado, que é um escalar, o que no entanto, não ocorre, ou seja,

mudando-se os sentidos dos vetores envolvidos muda o sinal do escalar, o quese

cons-titui numa outra incoerêncianaálgebra vetorial.

Na álgebra de Cliord tais incoerências não ocorrem ao calcularmos o produto

ve-torialentre vetores. Em találgebrao produto vetorial édenido como:

u

×

v

= ?(

u

∧

v

) = −I(

u

∧

v

) = −(

u

∧

v

)I

3

ou, equivalentemente, u

∧

v

= I(

u

×

v

)

, ouseja, u

×

vé ovetor dual do bivetor u

∧

v.

Sequadrarmosarelaçãou

×

v

= −I(

u

∧

v

)

,teremos:

(

u

×

v

)

2

_{= −(}

u

∧

v

)

2

_=|

u

∧

v

|

2

,

ouseja,amagnitudede u

×

véigual àárea doparalelogramoformadopelos vetoresu ev eque compõemu

∧

v.

Calculando,agora, u

∧

v, obtemos:

u

∧

v

= (u

2

v

3

− u

3

v

2

)

e

2

e

3

+ (u

3

v

1

− u

1

v

3

)

e

3

e

1

+ (u

1

v

2

− u

2

v

1

)

e

1

e

2

.

Usando as relações de dualidade

?(

e

2

e

3

) =

e

1

;

?(

e

3

e

1

) =

e

2

; e

?(

e

1

e

2

) =

e

3

no resultado obtido,camos com:

?(

u

∧

v

) =

u

×

v

= (u

2

v

3

− u

3

v

2

)

e

1

+ (u

3

v

1

− u

1

v

3

)

e

2

+ (u

1

v

2

− u

2

v

1

)

e

3

,

um vetor.

Vamos vericar se, mudando o sentido dos vetores u e v, o sentido do produto

vetorial na álgebra geométrica também muda de sentido. Temos, portanto, u

7→ −

u, v

7→ −

v . Como cada e

i

muda de sentido, ou seja, e

i

7→ −

e

i

, verica-se que

I =

3

Como é arbitráriousarmos a regrada mão direita ou a regrada mão esquerda para determinar

o sentido de

u

× v

, é arbitrário usar

I

ou

−I

na determinação de um dual. Podemos arbitar:

u

v

u v

(u v) = u

x

v

Figura 2.8: u

×

v e

1

e

2

e

3

7→ −I

.

Ficamos, portanto,com:

u

×

v

= −I(

u

∧

v

) 7→ −(−I)[(−

u

) ∧ (−

v

)] = I[

u

∧

v

] = −(

u

×

v

)

.

Conclusão: quando fazemos uma inversão nos vetores que compõem o produto

ve-torial(comodenido naálgebrageométrica),bemcomodose

i

,ovetorresultantesofre,

também, uma inversão,ou seja,o produto vetorialé, neste caso, coerente.

Conformepodemoslerem[6]cabeaqui umaadvertência: livrosde álgebravetorial

normalmente fazem uma distinção entre vetores polares e vetores axiais, sendo

u × v

identicado comovetor axial eu ev, como vetores polares.

Estaidenticaçãoédesnecessárianaálgebrageométrica. O"vetoraxial" nadamais

éque um bivetor dissimulado emvetor.

O produto vetorial de u ev, denido como u

×

v

= −I(

u

∧

v

)

, é um vetor, exata-mente damesma formaque u ev são vetores.

Concluímos,portanto,queaálgebrageométricaenglobaasdeGrassmannea

estru-turados quatérnionsde formasatisfatóriaeconsistente, não apresentandoincoerências

internas.

Aálgebra geométrica

C`

3

e a álgebra das matrizes complexas

2×2

As matrizes

σ

1

,

σ

2

e

σ

3

abaixosão conhecidas como matrizesde Pauli:

σ

1

=





0 1

1 0





;

σ

2

=





0 −i

i

0





;

σ

3

=





1

0

0 −1





.

Estas matrizes têm grande aplicação em mecânica quântica: são os ingredientes

com aálgebra de Cliord.

As matrizesde Pauliobedecem àsseguintes regras 4

:

σ

2

i

= 1

,para

i = 1, 2, 3

, e

σ

i

σ

j

= −σ

j

σ

i

, para

i 6= j

.

Estas regras são semelhantes às propriedades satisfeitas por e

1

, e

2

e e

3

na álgebra

geométrica. Podemos,então, fazeras associações:

σ

1

↔

e

1

,

σ

2

↔

e

2

, e

σ

3

↔

e

3

eestabelecer, assim, um isomorsmo entre uma particular álgebra de Cliord (

C`

3

) e adas matrizescomplexas

2 × 2

.

Efetuando oproduto

σ

1

σ

2

σ

3

obtemos





i 0

0 i





=

i





1 0

0 1



 ↔ I =

e

1

e

2

e

3

Seja omultivetor

M = m + m

1

e

1

+ m

2

e

2

+ m

3

e

3

+ m

12

e

1

e

2

+ m

13

e

1

e

3

+ m

23

e

2

e

3

+ m

123

e

1

e

2

e

3

,quepode ser reescrito, utilizandoduais, como:

M = m + m

1

e

1

+ m

2

e

2

+ m

3

e

3

+ m

12

?

e

3

− m

13

?

e

2

+ m

23

?

e

1

+ m

123

I

.

Escrevendo este multivetor com as correspondentes matrizesde Pauliobteremos:

(M) = m





1 0

0 1



 + m

1





0 1

1 0



 + m

2





0 −i

i

0



 + m

3





1

0

0 −1



 +

m

12





i 0

0 i









1

0

0 −1



 − m

13





i 0

0 i









0 −i

i

0



 + m

23





i 0

0 i









0 1

1 0



 +

m

123





i 0

0 i





.

Efetuandoas operaçõesacima, obtemos:

(M) =





(m + m

3

) + i(m

12

+ m

123

) (m

1

− m

13

) − i(m

2

− m

23

)

(m

1

+ m

13

) + i(m

2

+ m

23

) (m − m

3

) − i(m

12

− m

123

)





. 4 Quandoescrevemos

σ

2

i

= 1

,osegundomembrodaigualdadesignica

I

2

=



1 0

0 1



.