Regressão Beta Multivariada com Aplicações em Pequenas Áreas

(1)

Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Matem´atica

Regress˜

ao Beta Multivariada com

Aplica¸c˜

oes em Pequenas ´

Areas

Debora Ferreira de Souza

Rio de Janeiro

2011

(2)

Regress˜

ao Beta Multivariada com

Aplica¸c˜

oes em Pequenas ´

Areas

Debora Ferreira de Souza

Tese de Doutorado apresentada ao Programa de Pós-Gradua¸cão em Estat´ıstica, Instituto de Matemática, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obten¸cão do t´ıtulo de Doutor em Estat´ıstica.

Orientador: Fernando A. S. Moura

Rio de Janeiro 2011

(3)

Souza, Débora Ferreira de.

Regressão beta multivariada com aplicações em pequenas áreas/Débora Ferreira de Souza .--Rio de Janeiro:

S729 UFRJ/IM, 2011.

xxi, 167f. :il. ; 30 cm.

Dissertação (mestrado) – UFRJ/IM/Programa de Pós- Graduação em Estatística, 2011.

Orientador: Fernando Antônio da Silva Moura. Referências: f. 134-139

1.Regressão(Estatística). 2.Cópulas (Estatística matemática). 3. Modelos hierárquicos (Estatística). I. Moura, Fernando Antônio da Silva. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro. Instituto de Matemática. III.Título.

(4)

Regress˜

ao Beta Multivariada com

Aplica¸c˜

oes em Pequenas ´

Areas

Debora Ferreira de Souza Orientador: Fernando A. S. Moura

Tese de Doutorado apresentada ao Programa de Pós-Gradua¸cão em Estat´ıstica, Instituto de Matemática, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obten¸cão do t´ıtulo de Doutor em Estat´ıstica.

Aprovada em:

Prof. Fernando Antonio da Silva Moura, Ph.D., UFRJ

Profa_{. Flavia Maria Pinto Ferreira Landim, Ph.D., UFRJ}

Profa_{. Marina Silva Paez, Ph.D., UFRJ}

Profa. Cibele Queiroz da Silva, Ph.D., UNB

Prof. Marcel de Toledo Vieira, Ph.D., UFJF

Profa_{. Silvia Lopes de Paula Ferrari, Ph.D., USP}

Rio de Janeiro 2011

(5)

Agradecimentos

A Deus que me deu sa´ude e persistˆencia para levar este trabalho adiante.

Ao meu orientador, por ter me aceito como aluna, pela ajuda, dedica¸c˜ao e incentivo nesta pesquisa.

Aos professores do Programa de P´os Gradua¸c˜ao em Estat´ıstica da UFRJ por todo conhecimento transmitido.

Ao Comitê de Treinamento do IBGE pela concessão de afastamento integral do trabalho, que permitiu a dedica¸cão exclusiva a esta pesquisa, fato fundamental para sua realiza¸cão.

Aos meus colegas de laborat´orio na UFRJ sempre prestativos e que certamente tornaram minha estada mais alegre.

Aos meus colegas de trabalho no IBGE pelo incentivo e apoio.

Aos meus pais e ao meu irmão por todo carinho, dedica¸cão e paciência, não só durante a elabora¸cão da Tese, como também durante a vida.

A todos aqueles que contribu´ıram direta, ou indiretamente, para a realiza¸c˜ao deste trabalho.

(6)

RESUMO

Regress˜

ao Beta Multivariada com

Aplica¸c˜

oes em Pequenas ´

Areas

Resumo da Tese de Doutorado apresentada ao Programa de Pós-Gradua¸cão em Estat´ıstica, Instituto de Matemática, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obten¸cão do t´ıtulo de Doutor em Estat´ıstica.

Modelos de regressão beta multivariados são propostos para modelagem conjunta de duas ou mais variáveis cujos valores pertencem ao intervalo (0,1), tais como ´ındices, taxas e propor¸cões. A modelagem multivariada pode trazer benef´ıcios ao processo de estima¸cão, aumentando a troca de informa¸cões entre as unidades, de modo a obter estimativas mais precisas, sobretudo para amostras pequenas. Cada variável resposta foi suposta beta distribu´ıda, possibilitando a considera¸cão de dados assimétricos. Fun¸cões cópulas foram utilizadas para construir a distribui¸cão conjunta das variáveis dependentes. As cópulas têm flexibilidade na representa¸cão de diversos tipos de dependência entre as variáveis e no tratamento de rela¸cões não-lineares. Um modelo de regressão e um modelo hierárquico de dois n´ıveis foram propostos. O último assume efeitos fixos e aleatórios correlacionados. Ambos os modelos foram utilizados com sucesso para estima¸cão em pequenas áreas e para imputa¸cão de dados faltantes. Todo o processo de inferência foi realizado sob a abordagem Bayesiana e algumas vantagens em fazer reparametriza¸cões no modelo hierárquico são exploradas em detalhes.

Palavras-chave: Regressão beta univariada, cópulas, modelos hierárquicos, estima¸cão em pequenas áreas.

(7)

ABSTRACT

Multivariate Beta Regression with Applications

in Small Area Estimation

Abstract da Tese de Doutorado apresentada ao Programa de Pós-Gradua¸cão em Estat´ıstica, Instituto de Matemática, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obten¸cão do t´ıtulo de Doutor em Estat´ıstica.

Multivariate beta regression models for jointly modelling two or more variables whose values belong to the interval (0,1), such as indexes, rates and proportions are proposed. The multivariate model can help the estimation process, borrowing information between units and obtaining more precise estimates, especially for small samples. Each response variable was assumed to be beta distributed, allowing dealing with multivariate asymmetric data. Copula functions are used to construct the joint distribution of the dependent variables. Copulas are flexible for representing various types of dependence between variables and for dealing with non-linear relationships. A regression model and a hierarchical model with two levels have been proposed. The later model assumes fixed and correlated random effects. Both models are successfully used to make small area predictions and to impute missing values. The inference process was conducted under a Bayesian approach and some advantages of applying a reparametrization to the hierarchical model is explored in details.

Keywords: Univariate beta regression, copulas, hierarchical models, small area estimation.

(8)

Sum´

ario

Lista de Figuras xi

Lista de Tabelas xvii

Lista de Abreviaturas xxi

1 Introdu¸c˜ao 1

2 Revis˜ao bibliogr´afica 5

2.1 Modelos hier´arquicos . . . 5

2.2 Estima¸c˜ao em pequenas ´areas . . . 7

2.3 Crit´erios de compara¸c˜ao de modelos . . . 13

2.3.1 Verossimilhan¸ca preditiva . . . 13

2.3.2 Crit´erios de informa¸c˜ao baseados no desvio . . . 14

2.4 Diagn´ostico de convergˆencia . . . 15

2.4.1 Inspe¸c˜ao Visual . . . 15

2.4.2 Crit´erio de Geweke . . . 15

2.4.3 Crit´erio de Gelman e Rubin . . . 16

3 Modelo de regress˜ao beta univariado 17 3.1 Regress˜ao beta univariada . . . 17

3.2 Inferˆencia Bayesiana no modelo de regress˜ao beta univariado . . . 19

3.3 Exemplo com dados simulados . . . 22

4 Modelo de regressão beta multivariado utilizando cópulas 25 4.1 Distribui¸cões multivariadas com marginais beta . . . 25

4.2 Constru¸cão de distribui¸cões conjuntas via cópulas . . . 27

4.2.1 Medidas de dependˆencia . . . 30

(9)

4.3 Regressão beta multivariada via aplica¸cão de cópulas . . . 33

4.3.1 Critérios de compara¸cão de modelos envolvendo cópulas . . . 35

4.4 Inferˆencia no modelo de regress˜ao beta multivariado . . . 37

4.5 Exerc´ıcios com dados simulados . . . 39

4.5.1 Ajuste do modelo bivariado . . . 39

4.5.2 Aplica¸cão de diferentes fun¸cões cópula . . . 41

4.5.3 Compara¸c˜ao dos ajustes univariado e bivariado . . . 44

5 Modelo hierárquico multivariado com efeitos aleatórios correlacionados 51 5.1 Modelo hierárquico beta . . . 51

5.1.1 Comentários sobre estima¸cão em pequenas áreas . . . 53

5.1.2 Alguns casos particulares do modelo hier´arquico . . . 55

5.1.3 Modelo hier´arquico multivariado de trˆes n´ıveis . . . 56

5.2 Inferˆencia no modelo hier´arquico . . . 56

5.3 Exemplos com dados simulados . . . 63

5.4 Aplica¸c˜ao com dados reais . . . 78

6 Previsão e estima¸cão em pequenas áreas 84 6.1 Previsão no modelo de regressão multivariado . . . 84

6.1.1 Observa¸c˜oes faltantes em todas as vari´aveis resposta . . . 84

6.1.2 Observa¸c˜oes faltantes em uma vari´avel resposta . . . 87

6.1.3 Aplica¸c˜ao com dados reais . . . 95

6.1.4 Coment´arios finais . . . 99

6.2 Estima¸c˜ao em Pequenas ´Areas . . . 100

6.2.1 Aplica¸c˜ao - Dados da Prova Brasil . . . 101

6.2.2 Aplica¸c˜ao 1 . . . 102

6.2.3 Aplica¸c˜ao 2 . . . 116

6.2.4 Coment´arios Finais . . . 124

7 Conclus˜oes e Trabalhos Futuros 125 7.1 Alguns aspectos computacionais . . . 128

7.2 Modelo dinˆamico hier´arquico multivariado . . . 129

(10)

Referências Bibliográficas 134 A Fun¸cões de distribui¸cão acumuladas e densidades das cópulas

bivariadas utilizadas neste trabalho. 140

B Algoritmos de simula¸cão de observa¸cões das cópulas utilizadas neste

trabalho 142

C Diagn´ostico de convergˆencia 144

C.1 Regressão beta univariada . . . 144 C.2 Modelo minimal com resposta beta bivariada . . . 145 C.3 Regressão beta bivariada nas simula¸cões - amostragem separada dos

parâmetros . . . 147 C.4 Regressão beta bivariada nas simula¸cões - amostragem conjunta dos

parâmetros . . . 155 C.5 Modelo hierárquico multivariado . . . 163 D Sumário da distribui¸cão a posteriori das observa¸cões faltantes do

(11)

Lista de Figuras

3.1 Compara¸cão das densidades a posteriori de φ quando φ ∼ Gama(67, 6; 2, 6) (linha cheia) e φ ∼ Gama(0, 001; 0, 001) (linha tracejada) a priori. . . 24 4.1 Histogramas das amostras dos parâmetros do modelo com a cópula

FGM, misturando-se as duas cadeias geradas. Valores verdadeiros destacados pela linha vertical. . . 40 4.2 Raz˜oes entre as estat´ısticas REQM fornecidas pelos modelos univariado

(denominador) e bivariado(numerador), calculadas para as amostras de tamanho 100 e para cada parˆametro, contra os valores fixos de τ . . . . 50 5.1 Trajet´orias das cadeias dos interceptos, βk, k = 1, 2, fornecidos

pelo Algoritmo 1. Foi utilizada a distribui¸cão a priori Wishart mais informativa para Σ. As linhas tracejadas destacam os valores verdadeiros dos parâmetros. . . 66 5.2 Trajetórias das cadeias dos interceptos, βk, k = 1, 2, fornecidos

pelo Algoritmo 2. Foi utilizada a distribui¸cão a priori Wishart mais informativa para Σ. As linhas tracejadas destacam os valores verdadeiros dos parâmetros. . . 66 5.3 Histogramas dos parâmetros βk, φk, σk2, k = 1, 2, e σ12. Foram utilizados

o Algoritmo 2 para obten¸cão das amostras a posteriori e a distribui¸cão a priori mais informativa para Σ. As linhas verticais destacam os valores verdadeiros dos parâmetros. . . 67 5.4 Trajetórias de duas cadeias simuladas pelo algoritmo de

Metropolis-Hastings, com 300000 itera¸cões, para os parâmetros do modelo hierárquico de regressão beta, com distribui¸cões a priori uniformes para os parâmetros da matriz de variâncias-covariâncias. Os valores verdadeiros aparecem destacados pelas linhas tracejadas. . . 71

(12)

5.5 Médias a posteriori dos parâmetros dos vetores µ₁ e µ₂ contra as médias simuladas de cada resposta. . . 73 5.6 Trajetórias das amostras dos parâmetros do modelo hierárquico de

regressão beta com cópula FGM, uma variável explicativa e interceptos aleatórios. Amostras geradas pelo Algoritmo 2. Os dados utilizados foram simulados e as linhas tracejadas destacam os valores verdadeiros. 76 5.7 Trajetórias das amostras dos interceptos no modelo hierárquico de

regressão beta com cópula FGM e interceptos aleatórios. Amostras geradas pelo Algoritmo 1. Os dados utilizados foram simulados e as linhas tracejadas destacam os valores verdadeiros. . . 77 5.8 Propor¸cões médias de Biologia e F´ısica observadas nas 99 escolas contra

as médias a posteriori das propor¸cões fornecidas pelos três modelos. . . 82 6.1 Distribui¸cão dos v´ıcios relativos absolutos entre os valores verdadeiros e

as médias a posteriori fornecidas pelos modelos bivariado e univariado. Quatro situa¸cões são comparadas: (a) no = 80, nf = 20 e τ = 0, 8; (b)

no = 80, nf = 20 e τ = 0, 5; (c) no = 40, nf = 10 e τ = 0, 8 e (d)

no = 40, nf = 10 e τ = 0, 5. . . 89

6.2 Razão entre os v´ıcios relativos absolutos fornecidos pelos modelos bivariado e univariado. Quatro situa¸cões são comparadas: (a) no = 80,

nf = 20 e τ = 0, 8; (b) no = 80, nf = 20 e τ = 0, 5; (c) no = 40, nf = 10

e τ = 0, 8 e (d) no= 40, nf = 10 e τ = 0, 5. . . 90

6.3 Distribui¸cão das amplitudes dos intervalos de credibilidade 95% fornecidos pelos modelos bivariado e univariado. Quatro situa¸cões são comparadas: (a) no = 80, nf = 20 e τ = 0, 8; (b) no = 80, nf = 20 e

τ = 0, 5; (c) no = 40, nf = 10 e τ = 0, 8 e (d) no = 40, nf = 10 e τ = 0, 5. 91

6.4 Razão entre as amplitudes dos intervalos de credibilidade 95% fornecidos pelos modelos bivariado e univariado. Quatro situa¸cões são comparadas: (a) no = 80, nf = 20 e τ = 0, 8; (b) no = 80, nf = 20 e τ = 0, 5; (c)

(13)

6.5 Posi¸c˜oes das observa¸c˜oes no vetor yf 2contra: os limites dos intervalos de

credibilidade 95% dos modelos univariado (unidos pelas linhas tracejadas e delimitados por colchetes) e bivariado (delimitados por parˆenteses); medianas a posteriori dos modelos univariado (c´ırculo) e bivariado (c´ırculo cheio); e valores verdadeiros (X). . . 94 6.6 Distribui¸c˜ao dos erros encontrados para (a) L´ıngua Portuguesa e (b)

Matemática com os modelos hierárquicos multivariados sem cópula (Mod.1), com cópula Gaussiana (Mod.2) e os modelos individuais (Mod. Ind.). . . 108 6.7 Distribui¸cão dos erros relativos absolutos obtidos para (a) L´ıngua

Portuguesa e (b) Matemática com os modelos hierárquicos multivariados sem cópula (Mod.1), com cópula Gaussiana (Mod.2) e os modelos individuais (Mod. Ind.). . . 108 6.8 Distribui¸cão dos erros quadráticos encontrados para (a) L´ıngua

Portuguesa e (b) Matemática com os modelos hierárquicos multivariados sem cópula (Mod.1), com cópula Gaussiana (Mod.2) e os modelos individuais (Mod. Ind.). . . 109 6.9 Distribui¸cão dos coeficientes de varia¸cão encontrados para (a) L´ıngua

Portuguesa e (b) Matemática com os modelos hierárquicos multivariados sem cópula (Mod.1), com cópula Gaussiana (Mod.2) e os modelos individuais (Mod. Ind.). . . 109 6.10 Res´ıduos (c´ırculos cheios) com intervalos de credibilidade 95%

encontrados pelo ajuste dos modelos separados para as respostas (a) L´ıngua Portuguesa e (b) Matem´atica. . . 113 6.11 Res´ıduos (c´ırculos cheios) com intervalos de credibilidade 95%

encontrados pelo ajuste do modelo hierárquico multivariado sem cópula para (a) L´ıngua Portuguesa e (b) Matemática. . . 114 6.12 Res´ıduos (c´ırculos cheios) com intervalos de credibilidade 95%

encontrados pelo ajuste do modelo hierárquico multivariado com cópula Gaussiana para (a) L´ıngua Portuguesa e (b) Matemática. . . 115

(14)

6.13 Propor¸cões de acertos observadas na Prova Brasil contra as médias estimadas das escolas selecionadas pelo plano amostral fict´ıcio para: (a) variável L´ıngua Portuguesa; (b) variável Matemática. As estimativas são dadas pelas médias a posteriori do parâmetro µijk em cada escola

selecionada. . . 120 6.14 Propor¸c˜oes de acertos observadas na Prova Brasil contra as m´edias

estimadas das escolas não selecionadas pelo plano amostral fict´ıcio para: (a) variável L´ıngua Portuguesa; (b) variável Matemática. As estimativas são dadas pelas médias a posteriori do parâmetro µijk em cada escola

n˜ao selecionada. . . 120 6.15 Propor¸c˜oes de acertos observadas na Prova Brasil contra as estimadas

nas escolas selecionadas pelo plano amostral fict´ıcio: (a) variável L´ıngua Portuguesa; (b) variável Matemática. As estimativas são dadas pelas médias a posteriori do parâmetro yijk em cada escola selecionada. . . . 121

6.16 Compara¸cão dos coeficientes de varia¸cão fornecidos pelo estimador direto e pelo modelo nas escolas amostradas para as disciplinas (a) L´ıngua Portuguesa e (b) Matemática nas escolas amostradas. . . 122 6.17 Res´ıduos (c´ırculos cheios) com intervalos de credibilidade 95%

encontrados pelo ajuste do modelo hierárquico multivariado sem cópula para (a) L´ıngua Portuguesa e (b) Matemática. . . 123 C.1 Modelo de regressão beta univariada do Cap´ıtulo 3: trajetórias,

histogramas e autocorrela¸cões dos parâmetros. Seus valores verdadeiros aparecem destacados. . . 144 C.2 Modelo bivariado utilizando a cópula FGM do Cap´ıtulo 4: trajetórias,

histogramas e autocorrela¸cões dos parâmetros. Seus valores verdadeiros aparecem destacados. . . 145 C.3 Modelo bivariado utilizando a cópula FGM do Cap´ıtulo 4: trajetórias,

histogramas e autocorrela¸cões dos parâmetros. Seus valores verdadeiros aparecem destacados (continua¸cão). . . 146 C.4 Modelo de regressão beta bivariado com cópula Clayton do Cap´ıtulo 4:

trajetórias, histogramas e autocorrela¸cões dos parâmetros. . . 147 C.5 Modelo de regressão beta bivariado com cópula Clayton do Cap´ıtulo 4:

(15)

C.6 Modelo de regressão beta bivariado com cópula FGM do Cap´ıtulo 4: trajetórias, histogramas e autocorrela¸cões dos parâmetros. . . 149 C.7 Modelo de regressão beta bivariado com cópula FGM do Cap´ıtulo 4:

trajetórias, histogramas e autocorrela¸cões dos parâmetros (continua¸cão). 150 C.8 Modelo de regressão beta bivariado com cópula Frank do Cap´ıtulo 4:

trajetórias, histogramas e autocorrela¸cões dos parâmetros. . . 151 C.9 Modelo de regressão beta bivariado com cópula Frank do Cap´ıtulo 4:

trajetórias, histogramas e autocorrela¸cões dos parâmetros (continua¸cão). 152 C.10 Modelo de regressão beta bivariado com cópula Gaussiana do Cap´ıtulo

4: trajetórias, histogramas e autocorrela¸cões dos parâmetros. . . 153 C.11 Modelo de regressão beta bivariado com cópula Gaussiana do Cap´ıtulo 4:

trajetórias, histogramas e autocorrela¸cões dos parâmetros (continua¸cão). 154 C.12 Modelo de regressão beta bivariado com cópula Clayton do Cap´ıtulo 4:

trajetórias, histogramas e autocorrela¸cões dos parâmetros. . . 155 C.13 Modelo de regressão beta bivariado com cópula Clayton do Cap´ıtulo 4:

trajetórias, histogramas e autocorrela¸cões dos parâmetros (continua¸cão). 156 C.14 Modelo de regressão beta bivariado com cópula FGM do Cap´ıtulo 4:

trajetórias, histogramas e autocorrela¸cões dos parâmetros. . . 157 C.15 Modelo de regressão beta bivariado com cópula FGM do Cap´ıtulo 4:

trajetórias, histogramas e autocorrela¸cões dos parâmetros (continua¸cão). 158 C.16 Modelo de regressão beta bivariado com cópula Frank do Cap´ıtulo 4:

trajetórias, histogramas e autocorrela¸cões dos parâmetros. . . 159 C.17 Modelo de regressão beta bivariado com cópula Frank do Cap´ıtulo 4:

trajetórias, histogramas e autocorrela¸cões dos parâmetros (continua¸cão). 160 C.18 Modelo de regressão beta bivariado com cópula Gaussiana do Cap´ıtulo

4: trajetórias, histogramas e autocorrela¸cões dos parâmetros. . . 161 C.19 Modelo de regressão beta bivariado com cópula Gaussiana do Cap´ıtulo 4:

trajetórias, histogramas e autocorrela¸cões dos parâmetros (continua¸cão). 162 C.20 Modelo hierárquico bivariado com σ2

1 = σ22 = 0, 5 e ρ12 = 0, 5 no Cap´ıtulo

5: trajetórias, histogramas e autocorrela¸cões. . . 163 C.21 Modelo hierárquico bivariado com σ2

1 = σ22 = 0, 5 e ρ12 = 0, 5 no Cap´ıtulo

(16)

C.22 Modelo hier´arquico bivariado com σ2

1 = σ22 = 0, 5 e ρ12 = 0, 2 no Cap´ıtulo

5: trajetórias, histogramas e autocorrela¸cões. . . 165 C.23 Modelo hierárquico bivariado com σ2

1 = σ22 = 0, 5 e ρ12 = 0, 2 no Cap´ıtulo

(17)

Lista de Tabelas

3.1 Sumários das distribui¸cões a posteriori, em cada cadeia, quando φ ∼ Gama(67, 62, 6) e φ ∼ Gama(0, 001; 0, 001) a priori. . . 23 4.1 Defini¸cão das cópulas utilizadas neste trabalho, dom´ınio de varia¸cão do

parâmetro das cópulas, θ, a medida de associa¸cão τ de Kendall e sua rela¸cão com θ. . . 35 4.2 Sumário da distribui¸cão a posteriori dos parâmetros do modelo bivariado

com cópula Clayton: valores verdadeiros, limites dos intervalos de credibilidade 95%, mediana e média a posteriori e distribui¸cões a priori de cada parâmetro. . . 42 4.3 Sumário da distribui¸cão a posteriori dos parâmetros do modelo bivariado

com cópula FGM: valores verdadeiros, limites dos intervalos de credibilidade 95%, mediana e média a posteriori e distribui¸cões a priori de cada parâmetro. . . 43 4.4 Sumário da distribui¸cão a posteriori dos parâmetros do modelo bivariado

com cópula Frank: valores verdadeiros, limites dos intervalos de credibilidade 95%, mediana e média a posteriori e distribui¸cões a priori de cada parâmetro. . . 43 4.5 Sumário da distribui¸cão a posteriori dos parâmetros do modelo bivariado

com cópula Gaussiana: valores verdadeiros, limites dos intervalos de credibilidade 95%, mediana e média a posteriori e distribui¸cões a priori de cada parâmetro. . . 43 4.6 Percentual das vezes em que o intervalo de credibilidade 95% contém o

valor verdadeiro do parâmetro e amplitude dos intervalos. Amostras do modelo bivariado com τ = 0, 10. . . 45 4.7 V´ıcio e erro quadrático médio obtido para as amostras do modelo

(18)

4.8 Percentual das vezes em que o intervalo de credibilidade 95% contém o valor verdadeiro do parâmetro e amplitude dos intervalos. Amostras do modelo bivariado com τ = 0, 50. . . 46 4.9 V´ıcio e erro quadrático médio obtido para as amostras do modelo

bivariado com τ = 0, 50. . . 46 4.10 Percentual das vezes em que o intervalo de credibilidade 95% cont´em o

valor verdadeiro do parâmetro e a amplitude dos intervalos. Amostras do modelo bivariado com τ = 0, 80. . . 47 4.11 V´ıcio e erro quadrático médio obtido para as amostras do modelo

bivariado com τ = 0, 80. . . 47 4.12 Percentual das vezes em que o intervalo de credibilidade 95% cont´em o

valor verdadeiro do parâmetro e amplitude dos intervalos. Amostras do modelo univariado. . . 48 4.13 V´ıcio e erro quadrático médio obtido para as amostras do modelo

univariado. . . 48 5.1 Valores verdadeiros dos parˆametros, distribui¸c˜oes a priori e propostas

do MCMC utilizadas no exerc´ıcio. . . 65 5.2 Sum´arios das distribui¸c˜oes a posteriori quando se adota para Σ−1

distribui¸cões a priori Wishart com diferentes parâmetros, correla¸cão dos efeitos aleatórios igual a 0, 50 e variância 0, 50. . . 68 5.3 Sumário da distribui¸cão a posteriori quando se adota para Σ−1

distribui¸cão a priori Wishart vaga (Priori 3), correla¸cão dos efeitos aleatórios igual a 0, 50 e variância 0, 50. . . 69 5.4 Valores verdadeiros dos parâmetros, distribui¸cões a priori e propostas

do MCMC utilizadas no exerc´ıcio. . . 72 5.5 Sum´ario da distribui¸c˜ao a posteriori quando se adota para Σ−1

distribui¸cão a priori Wishart informativa, correla¸cão dos efeitos aleatórios igual a 0, 20 e variância 0, 50. . . 73 5.6 Sumários das distribui¸cões a posteriori quando se adota para Σ−1

distribui¸cões a priori Wishart com diferentes parâmetros, correla¸cão dos efeitos aleatórios igual a 0, 10 e variância 0, 25. . . 74

(19)

5.7 Sumário da distribui¸cão a posteriori quando se adota para Σ−1 distribui¸cão a priori Wishart. Modelo hierárquico de regressão beta com cópulas, uma variável explicativa e efeitos aleatórios nos interceptos. . . 77 5.8 Critérios de compara¸cão DIC, AIC, BIC, número de parâmetros e

logaritmo da verossimilhan¸ca preditiva obtidos pelos ajustes dos modelos hierárquicos com resposta normal (Modelo 1), com resposta beta sem cópulas (Modelo 2) e com resposta beta e cópula Gaussiana (Modelo 3). 80 5.9 Sumários das distribui¸cões a posteriori dos Modelos 2 e 3. . . 81 6.1 Correla¸cões parciais entre as variáveis resposta de acordo com a presen¸ca

das variáveis regressoras no modelo. . . 95 6.2 Sumários das distribui¸cões a posteriori dos modelos que utilizam as

cópulas Clayton e FGM. . . 96 6.3 Sumários das distribui¸cões a posteriori dos modelos que utilizam as

cópulas Frank e Gaussiana. . . 96 6.4 Sumários das distribui¸cões a posteriori obtidas a partir dos modelos

separados. . . 97 6.5 Médias e desvios a posteriori das previsões das observa¸cões faltantes nos

modelos bivariados com diferentes c´opulas e no modelo univariado. . . . 97 6.6 V´ıcios relativos absolutos dos valores verdadeiros das observa¸c˜oes

consideradas desconhecidas e as previsões fornecidas pelos modelos (em %). . . 98 6.7 Razões entre as variâncias e as amplitudes dos intervalos de credibilidade

95% fornecidas pelos modelos bivariados e univariados (em %). . . 98 6.8 Critérios de compara¸cão de modelos considerando as observa¸cões

ausentes como parâmetros. . . 99 6.9 Aplica¸cão 1: Estat´ısticas descritivas das distribui¸cões dos erros, erros

relativos absolutos, erros quadráticos e coeficientes de varia¸cão obtidos pelos modelos hierárquicos multivariado e univariados para as escolas não amostradas nas disciplinas L´ıngua Portuguesa e Matemática. . . . 110 6.10 Sumário da distribui¸cão a posteriori dos parâmetros do Modelo 2. . . . 111

(20)

6.11 Critério de compara¸cão DIC, número de parâmetros e logaritmo da verossimilhan¸ca preditiva obtidos pelos ajustes dos modelos hierárquicos multivariados com respostas beta sem cópula (Modelo 1) e com cópula Gaussiana (Modelo 2), bem como os univariados para L´ıngua Portuguesa e Matemática. . . 112 6.12 Sumário da distribui¸cão a posteriori dos parâmetros do modelo. . . 122 D.1 Sumário da distribui¸cão a posteriori das previsões das observa¸cões

(21)

Lista de Abreviaturas

AIC Critério de Informa¸cão Akaike (Akaike Information Criterion). BIC Critério de Informa¸cão Bayesiano (Bayesian Information Criterion).

DIC Critério de Informa¸cão Baseado no Desvio (Deviance Information Criterion). EBLUP Melhor preditor emp´ırico linear não-viesado (Empirical Best Linear

Unbiased Predictor ).

EPD Desvio Preditivo Esperado (Expected Prediction Deviation). FGM C´opula Farlie-Gumbel-Morgenstern.

IBGE Funda¸c˜ao Instituto Brasileiro de Geografia e Estat´ıstica. IDH ´Indice de Desenvolvimento Humano.

INEP Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais An´ısio Teixeira. IPEA Instituto de Pesquisa Econˆomica Aplicada.

(22)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

Existem situa¸cões nas quais deseja-se explicar o comportamento de uma variável dependente através de um conjunto de p variáveis chamadas explicativas ou regressoras. Quando há mais de uma variável dependente e estas são relacionadas entre si, a análise multivariada torna-se mais apropriada por considerar as associa¸cões entre essas variáveis. Então, espera-se que haja ganho de precisão das estimativas dos parâmetros dos modelos e das previsões que estes possam fornecer.

O objetivo desta tese é contribuir com novas formas de modelagem de variáveis que representam ´ındices, taxas e propor¸cões, comumente estimadas com baixa precisão em amostras pequenas e, por esta razão, consideradas instáveis. Exemplos de variáveis mensuradas no intervalo (0, 1) ou num intervalo (a, b) são a propor¸cão de pobres, taxas de mortalidade, razão entre gasto alimentar e despesa total, razão entre renda dos mais pobres e renda total, taxa de desemprego. Embora a motiva¸cão do trabalho seja a estima¸cão de taxas e propor¸cões em pequenas áreas (ou pequenos dom´ınios), a estratégia para atingir este objetivo parte do desenvolvimento de modelos aplicáveis em contextos mais gerais, com a posterior apresenta¸cão dos estimadores para pequenas áreas. Assim, modelos multivariados são desenvolvidos para a modelagem de taxas e propor¸cões, oferecendo a possibilidade de tratar conjuntamente quantidades relacionadas, aproveitando os benef´ıcios que a abordagem conjunta oferece. A troca de informa¸cões entre as variáveis nos modelos multivariados aqui propostos auxilia a obten¸cão de estimativas mais precisas das quantidades alvo e permitem também que os erros das estimativas sejam calculados.

Nos últimos anos, tem-se desenvolvido grande número de aplica¸cões envolvendo a distribui¸cão beta, apropriada para modelar taxas e propor¸cões, pois está definida no intervalo (0, 1), além de considerar caracter´ısticas de assimetria presentes nesses tipos de variáveis, assumindo diferentes formas dependendo de seus parâmetros. A

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regressão beta permite também que as observa¸cões sejam heterocedásticas. No entanto, as propostas de utiliza¸cão da distribui¸cão beta no contexto de regressão, em sua maioria, tem se restringido aos casos em que há apenas uma variável dependente e sob abordagem Bayesiana, faltam estudos sobre a utiliza¸cão de diferentes distribui¸cões a priori para os coeficientes de regressão e outros parâmetros.

A presente tese desenvolve modelos de regressão multivariada nos quais as variáveis dependentes seguem, marginalmente, uma distribui¸cão beta cuja densidade foi reparametrizada em fun¸cão dos parâmetros de média e precisão, como em Ferrari e Cribari-Neto (2004). Esses modelos foram desenvolvidos para tratar dados em contextos gerais, porém uma aplica¸cão em pequenas áreas mostra que são vantajosos especialmente nesta situa¸cão. Por hipótese, nos modelos constru´ıdos ao longo deste texto, as variáveis resposta não somam um, como em alguns modelos para propor¸cões discutidos, por exemplo, em Melo et al. (2009) e Fabrizi et al. (2011).

A associa¸cão entre as variáveis resposta é considerada através de uma fun¸cão cópula aplicada às densidades marginais. As cópulas são ferramentas úteis para constru¸cão de distribui¸cões multivariadas quando as marginais são dadas ou conhecidas, permitindo que modelos individuais sejam analisados conjuntamente. Além disso, possibilitam a representa¸cão de diversos tipos de dependência entre as variáveis. As cópulas possuem flexibilidade para tratamento de rela¸cões não-lineares entre as variáveis envolvidas, sendo portanto mais gerais que, por exemplo, a distribui¸cão normal multivariada a qual permite apenas rela¸cões lineares.

Fundamentalmente, duas classes de modelos multivariados com resposta beta são constru´ıdas ao longo do trabalho: um modelo de regressão e um modelo hierárquico que admite dois n´ıveis. O segundo considera efeitos fixos e aleatórios que são supostamente correlacionados. Ambos podem ser utilizados em situa¸cões em que o pesquisador precisa analisar dados de variáveis relacionadas, medidas no intervalo (0, 1), e essas rela¸cões auxiliam as previsões de observa¸cões faltantes. O modelo hierárquico pode ser utilizado para melhorar a previsão de observa¸cões e parâmetros populacionais em pequenas áreas, permitindo que estas troquem informa¸cões entre si, possibilitando ainda que as informa¸cões de variáveis auxiliares sejam consideradas no processo de previsão. O modelo hierárquico possui alguns casos particulares interessantes que são analisados no Cap´ıtulo 5.

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disponibilidade de variáveis auxiliares e dados de múltiplas caracter´ısticas, é poss´ıvel aplicar uma modelagem multivariada. Diversos autores argumentam que este tipo de abordagem fornece melhores estimativas, no sentido de aumento de precisão, por considerar as correla¸cões entre as diferentes caracter´ısticas. Fay (1987) modela o comportamento conjunto da renda mediana nos domic´ılios de três, quatro e cinco pessoas, constituindo-se num exemplo de modelagem multivariada em pequenas áreas. Datta et al. (1999) aplicaram um modelo linear misto multivariado e conclu´ıram, a partir de um estudo de simula¸cão, que a modelagem multivariada fornecia melhores resultados que o ajuste de um modelo separado para cada variável. Os métodos mais comuns empregados se baseiam no empréstimo de informa¸cões entre áreas vizinhas ou relacionadas, nas correla¸cões com outras variáveis dependentes e nas informa¸cões de registros administrativos. O modelo hierárquico proposto neste trabalho tem aplica¸cão direta no problema de estima¸cão em pequenas áreas por favorecer a troca de informa¸cões entre as áreas e entre variáveis, particularmente entre suas médias o que ajuda no aumento de precisão de suas estimativas. Uma aplica¸cão deste modelo a dados de pequenas áreas é feita no Cap´ıtulo 6, reservado às previsões.

O processo de inferência sobre os parâmetros dos modelos propostos é feito sob abordagem Bayesiana e alguns aspectos sobre reparametriza¸cões e algoritmos de simula¸cão de amostras das distribui¸cões a posteriori são abordados. Métodos de sele¸cão de modelos foram aplicados nos exemplos.

Alguns temas que aparecem nesta tese são modelos hierárquicos, estima¸cão em pequenas áreas, critérios de compara¸cão de modelos, cópulas e regressão beta, sendo necessário introduz´ı-los, mostrando em que situa¸cões aparecem na literatura. Modelos hierárquicos, estima¸cão em pequenas áreas e critérios de compara¸cão são abordados no Cap´ıtulo 2, no qual se faz uma introdu¸cão desses temas, juntamente com uma revisão bibliográfica de suas aplica¸cões. O Cap´ıtulo 3 tem por finalidade apresentar o modelo de regressão beta univariado utilizado como base para constru¸cão dos modelos multivariados e discutir sobre a abordagem Bayesiana nesse modelo. O Cap´ıtulo 4 propõe um modelo multivariado de regressão beta, fornecendo uma breve descri¸cão sobre a defini¸cão e utiliza¸cão de cópulas na constru¸cão de modelos multivariados. Exerc´ıcios de simula¸cão mostram a vantagem da modelagem conjunta sobre a separada, constituindo-se numa das contribui¸cões desta tese. O referido cap´ıtulo também aborda a inferência sobre os parâmetros, todos considerados desconhecidos. O Cap´ıtulo 5

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contribui com o desenvolvimento do modelo hierárquico multivariado de regressão beta, destacando alguns casos particulares. Reparametriza¸cões que ajudam na amostragem dos parâmetros da distribui¸cão a posteriori são comentadas e implementadas em exemplos com dados simulados. O Cap´ıtulo 6 versa sobre previsão de dados faltantes e contém aplica¸cões em pequenas áreas, onde pode-se destacar a modelagem do parâmetro de precisão da regressão beta como fun¸cão do tamanho de amostra, resultando em mais uma contribui¸cão desta tese. Por fim, no Cap´ıtulo 7 apresentam-se as conclusões, comentários finais e as propostas de trabalhos futuros.

(26)

Cap´ıtulo 2

Revis˜

ao bibliogr´

afica

Neste cap´ıtulo, realiza-se revisão bibliográfica sobre temas abordados nos cap´ıtulos seguintes: modelos hierárquicos, estima¸cão em pequenas áreas, critérios de compara¸cão de modelos e diagnóstico de convergência nos métodos de Monte Carlo via Cadeias de Markov (MCMC). Na Se¸cão inicial, são descritos modelos hierárquicos e suas aplica¸cões. Na Se¸cão 2.2, introduz-se o problema de estima¸cão em pequenas áreas ou pequenos dom´ınios, revisando os conceitos de estimadores diretos e indiretos, com destaque para os modelos em n´ıvel de área e de unidade. Exemplos desses modelos encontrados na literatura são citados, tanto em abordagens univariadas quanto multivariadas. Na Se¸cão 2.3, são descritos alguns critérios de compara¸cão de modelos, que são citados e utilizados ao longo do texto nas se¸cões de aplica¸cões com dados reais. Na última se¸cão, apresentam-se os critérios mais usados para avalia¸cão da convergência nos algoritmos MCMC empregados para simular amostras da distribui¸cão a posteriori quando sua forma é desconhecida. A revisão de regressão beta e de cópulas é realizada na parte introdutória dos cap´ıtulos referentes a estes assuntos.

2.1 Modelos hier´arquicos

Um modelo hierárquico leva em conta a estrutura hierárquica da popula¸cão a ser investigada, no qual as unidades de n´ıvel mais baixo na popula¸cão devem estar organizadas hierarquicamente em n´ıveis superiores. Por exemplo, alunos estão agrupados em turmas, por sua vez organizadas em escolas e estas em munic´ıpios. Podemos, então, descrever os resultados de um aluno como uma soma de efeitos do aluno, da turma, da escola e do munic´ıpio aos quais pertence. Estes efeitos podem ser considerados permutáveis e com uma distribui¸cão descrita por um componente de variância. Também pode haver coeficientes de regressão em alguns ou todos os n´ıveis.

(27)

Um modelo hier´arquico normal muito utilizado tem a forma yij ∼ N (µ + νi, σ2), i = 1, ..., M, j = 1, ..., Ni,

νi ∼ N (0, σ2ν),

onde µ representa uma média global, νi é um efeito aleatório espec´ıfico da área ou

grupo i, σ2 _{se refere `}_{a variˆ}_{ancia das unidades individuais e σ}2

ν ´e a variˆancia associada

aos efeitos aleat´orios.

No modelo acima, dependendo do problema estudado, pode-se supor distribui¸c˜oes para yij diferentes da normal, como distribui¸c˜oes na fam´ılia exponencial e, no caso

deste trabalho, distribui¸cão beta quando a resposta é uma taxa ou propor¸cão. Um ponto importante na estima¸cão dos parâmetros dos modelos hierárquicos refere-se às variâncias, muitas vezes supostas conhecidas pela dificuldade de estimá-las. Gelman (2006) propõe distribui¸cões a priori para os parâmetros de variância em modelos hierárquicos. Modelos hierárquicos mais complexos já foram propostos de modo a contemplar componentes dinâmicas, como em Gamerman e Migon (1993) e Landim e Gamerman (2000).

Modelos hierárquicos são aplicados frequentemente na modelagem de dados de amostras com desenho complexo, que usualmente envolvem estratifica¸cão e conglomera¸cão em vários estágios para investigar popula¸cões com estrutura hierárquica. Tal estrutura é refletida no modelo através de efeitos aleatórios e componentes de variância que diferenciam os n´ıveis hierárquicos.

Uma vez que tal modelo é especificado, a inferência pode ser realizada a partir dos dados dispon´ıveis para os parâmetros populacionais em qualquer n´ıvel. Essa modelagem é útil no problema de estima¸cão em pequenas áreas, ou seja, na estima¸cão para unidades ou dom´ınios nos quais a informa¸cão é bastante limitada, porque favorece a troca de informa¸cão entre as áreas. Mais detalhes na Se¸cão 2.2.

Em Goldstein et al. (2009) propõe-se uma classe de modelos para respostas multivariadas mistas cont´ınuas e categóricas, ordenadas ou não. Cada variável pode ser definida em qualquer n´ıvel de dados hierarquizados em múltiplos n´ıveis. Além disso, procurou-se resolver problemas como de dados faltantes e parcialmente observados. Goldstein et al. (2009) propuseram um modelo bastante geral em que as variáveis cont´ınuas podem seguir qualquer distribui¸cão cont´ınua, não sendo necessariamente normais. No entanto, é preciso utilizar transforma¸cões, como as de Box-Cox, nas variáveis resposta não normais. Por sua vez, esta tese propõe modelos em que as

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variáveis dependentes são mantidas na escala original. 2.2 Estima¸cão em pequenas áreas

Os termos pequena área e pequeno dom´ınio comumente se referem a popula¸cões nas quais não podem ser produzidas estimativas confiáveis para alguma variável de interesse devido a limita¸cões nos dados dispon´ıveis, principalmente em rela¸cão ao tamanho de amostra. Os dom´ınios podem ser regiões geográficas, como os estados e munic´ıpios, ou grupos formados pelo cruzamento de variáveis, tais como idade, sexo e faixa de renda. Estat´ısticas em n´ıveis mais desagregados são necessárias para direcionamento de pol´ıticas públicas e planejamento de pesquisas. No entanto, as limita¸cões mencionadas dificultam a obten¸cão de tais dados.

Estimativas de totais, médias e outras fun¸cões das variáveis de interesse podem ser obtidas a partir de estimadores diretos, derivados do desenho amostral, ou indiretamente, com base em modelos. O estimador direto utiliza apenas os valores da variável de interesse observados nas unidades amostrais do dom´ınio e alguma informa¸cão auxiliar dispon´ıvel. Em geral, as pesquisas por amostragem fornecem estimativas diretas confiáveis para dom´ınios em que o tamanho de amostra é grande. No contexto de pequenas áreas, estimadores diretos apresentam erros elevados devido aos pequenos tamanhos de amostra. Assim, torna-se necessário o desenvolvimento de estimadores indiretos que relacionem as diversas áreas de maneira que estas emprestem informa¸cão entre si, fazendo com que “cres¸cam” os tamanhos efetivos das amostras, reduzindo-se os erros das estimativas.

Exemplos de estimadores indiretos são os estimadores sintético e composto. O estimador sintético obtém as estimativas das pequenas áreas supondo que estas tenham o mesmo comportamento da área maior a qual pertencem. A estimativa direta da área maior é repartida entre as áreas menores. O estimador composto pode ser definido como uma média ponderada de dois estimadores. Por exemplo, sejam ˆYi1 e ˆYi2,

respectivamente, os estimadores direto e sintético da caracter´ıstica Y na pequena área i. Então o estimador composto é ˆYiC = wiYî1+ (1 − wi) ˆYi2, com 0 ≤ wi ≤ 1. Uma

poss´ıvel escolha de wi é aquela que minimiza o erro quadrático médio do estimador

composto. Mais detalhes sobre estes estimadores podem ser vistos em Rao (2003), assim como uma extensa revisão de métodos empregados em pequenas áreas.

Para estima¸cão indireta, destacam-se os modelos em n´ıvel de área e de unidade. Seja θi uma fun¸cão da caracter´ıstica de interesse, como total ou propor¸cão, na i-ésima

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pequena área e ˆθi uma estimativa direta de θi. O modelo básico em n´ıvel de área supõe

que θi esteja relacionado a um conjunto de vari´aveis auxiliares xi = (x1i, ..., xpi) atrav´es

de um modelo linear

θi = xiβ + vi, i = 1, ..., M,

onde M é o número de áreas, β é um vetor p × 1 de coeficientes de regressão e vi é

um efeito aleatório espec´ıfico da área i, normalmente distribu´ıdo, com média zero e variância σ_v2. O modelo em n´ıvel de área se completa com a suposi¸cão de que

ˆ

θi = θi+ ei,

onde ei ´e interpretado como o erro introduzido pelo desenho amostral, tem m´edia zero

e variância ψi, supostamente conhecida. Além disso, ei segue distribui¸cão normal e é

independente de vi. O modelo b´asico em n´ıvel de ´area foi utilizado por Fay e Herriot

(1979) para estima¸c˜ao de renda per capita em dom´ınios cujo tamanho da popula¸c˜ao era inferior a 1000.

No modelo básico em n´ıvel de unidade, supõe-se que existem dados auxiliares xij = (xij1, ..., xijp) dispon´ıveis para cada elemento j da pequena área i. A variável de

interesse se relaciona com xij da seguinte forma

yij = xijβ + vi+ eij, j = 1, ..., Ni, i = 1, ..., M,

onde M é o número de áreas, visão efeitos espec´ıficos de área com média zero e variância

σ2

v. As variáveis aleatórias eij e vi são consideradas independentes e normalmente

distribu´ıdas, ∀i.

Rao (2003) revisa o ajuste de modelos lineares generalizados mistos, especialmente utilizados para respostas bin´arias no n´ıvel de unidade e para contagens no n´ıvel de ´

area. Nestes casos, a propor¸cão ou taxa é a quantidade de interesse e está relacionada a variáveis explicativas através de uma fun¸cão de liga¸cão, tal como a fun¸cão log´ıstica, da seguinte forma

logit (pij) = xTijβ + vi

onde vi ∼ N (0, σ2v) são efeitos aleatórios espec´ıficos das áreas e xij são covariáveis

relativas às unidades. O estimador da propor¸cão Pi da pequena área i é dado por

  X j∈Si yij + X j /∈Si ˆ pij  /N_i

onde Si é a amostra na pequena área i e ˆpij é obtido pela equa¸cão anterior após a

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Pfeffermann (2010) atualiza a revisão de estima¸cão em pequenas áreas cobrindo publica¸cões posteriores ao ano de 2003, enfatizando a predi¸cão das quantidades de interesse nas áreas e o cálculo do erro de predi¸cão, tanto para estimadores diretos baseados no desenho amostral, quanto para aqueles baseados em modelos.

Embora os modelos anteriormente descritos sejam também utilizados na prática para estima¸cão de taxas e propor¸cões, a hipótese de normalidade pode não ser realista devido aos pequenos tamanhos de amostra em alguns dom´ınios e quando os valores são próximos de 0 ou de 1, indicando assimetria da variável resposta. O mesmo ocorre em rela¸cão à hipótese de conhecimento das variâncias ou dos coeficientes de varia¸cão. Por essa razão, alguns autores propuseram modelos espec´ıficos para tratar variáveis no intervalo (0, 1).

Moura e Migon (2002) propõem um modelo hierárquico log´ıstico de dois n´ıveis com estrutura espacial para previsão de propor¸cões em pequenas áreas. Os autores utilizaram os dados do Censo Escolar Brasileiro de Educa¸cão Básica do Estado do Rio de Janeiro em 1996. Os dados consistem nos graus obtidos por 15288 alunos no exame de matemática. As quantidades de interesse eram as propor¸cões de alunos com baixa proficiência em M = 34 regiões, consideradas como pequenas áreas. Uma amostra de 10% dos estudantes de cada região foi retirada com o objetivo de comparar a estimativa obtida em cada pequena área com o respectivo valor verdadeiro da propor¸cão. A abordagem adotada supõe a existência de covariáveis que podem ser obtidas para todos os estudantes a partir dos registros das escolas. O objetivo é inferir sobre a i-ésima propor¸cão, i = 1, . . . , M , que pode ser escrita como

θi = Ni−1   X j∈Si yij + X j /∈Si yij  

onde: yij é variável binária, indicando se o j-ésimo indiv´ıduo da pequena área i

possui a caracter´ıstica de interesse; Si é a amostra da pequena área i; Ni e ni são,

respectivamente, o tamanho da popula¸c˜ao e o n´umero de unidades amostradas da i-´

esima pequena ´area.

Note que a informa¸c˜ao yij ´e conhecida somente para as unidades amostrais (j ∈

Si). A abordagem consiste em construir um modelo que relacione yij ao conjunto de

variáveis dispon´ıveis para todas as unidades populacionais. A distribui¸cão a posteriori para cada propor¸cão θi pode ser obtida a partir da distribui¸cão preditiva de yij para

j /∈ Si, as unidades n˜ao amostradas. Esta abordagem pode ser vista como um caso

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Um modelo hierárquico log´ıstico de dois n´ıveis com estrutura espacial e heterogênea foi considerado para relacionar a resposta yij às covariáveis, sendo o segundo n´ıvel, a

pequena ´area, e o primeiro, a unidade amostral.

Assume-se que as variáveis aleatórias yij são independentes com distribui¸cão de

Bernoulli de parâmetros πij. Além disso, dados o vetor de covariáveis de dimensão

p + 1, x0_ij = (1, x1,ij, . . . , xp,ij) e o vetor de parâmetros de regressão βi = δi+ φi, então

log πij 1 − πij

!

= x0_ijβi

onde o vetor δi tem uma distribui¸c˜ao a priori n˜ao estruturada, enquanto φi tem

uma priori espacialmente estruturada. Neste caso, os autores preferiram modelar as unidades amostrais para depois inferir sobre as propor¸cões. Com os modelos com resposta beta é poss´ıvel modelar as propor¸cões ou taxas diretamente.

Liu et al. (2007) comparam quatro modelos para estima¸cão indireta de propor¸cões em pequenas áreas, sob abordagem Bayesiana, utilizando dados de pesquisas amostrais. O primeiro modelo corresponde àquele de Fay e Herriot (1979), em n´ıvel de área, dado por piw|Pi ∼ N (Pi, ψi) Pi|β, σ2ν ∼ N xiβ, σν2

onde Pi é a propor¸cão de interesse na área i, piw representa uma estimativa direta

de Pi e N (a, b) se refere à distribui¸cão normal com média a e variância b. Neste

modelo, as propor¸cões são supostas normalmente distribu´ıdas. Esta hipótese pode não ser razoável, uma vez que o modelo não garante que a variável resposta perten¸ca ao intervalo (0, 1). O segundo modelo é tal que

piw|Pi ∼ N (Pi, ψi)

g(Pi)|β, σν2 ∼ N

xiβ, σν2

onde piw é estimada diretamente pela pesquisa amostral e g(·) é a fun¸cão de liga¸cão

log´ıstica. Ambos os modelos consideram ψi conhecido. O terceiro modelo ´e idˆentico ao

segundo, mas considera a variˆancia ψi desconhecida. O quarto e ´ultimo modelo atribui

distribui¸c˜ao beta para as propor¸c˜oes, de tal forma que piw|Pi ∼ Beta (ai, bi) logit (Pi)|β, σν2 ∼ N xiβ, σν2 . (2.1)

(32)

A segunda distribui¸c˜ao do modelo (2.1) corresponde a fazer logit (Pi) = xiβ + i, i ∼ N (0, σν2),

diferindo do modelo (3.3), mostrado em detalhe no Cap´ıtulo 3, por considerar uma variável aleatória i no preditor linear. A variância de piw e suposta [P´ i(1−Pi)/ni]epaiw,

onde epaiw é o efeito do plano amostral da i-ésima pequena área, sob amostragem

estratificada simples e pode ser aproximado por epaiw = niPhWih2/nih, com Wih =

Nih/Ni, Ni =PhNih, em que Nih e nih s˜ao respectivamente, os n´umeros de unidades

total e na amostra da ´area i do estrato h. Assim, ai e bi em (2.1) s˜ao tais que

ai = Pi ni epaiw − 1 ! e bi = (1 − Pi) ni epaiw − 1 ! .

Liu et al. (2007) relatam problemas com o algoritmo MCMC quando piw = 0.

Para contorn´a-los, os valores de piw foram perturbados de forma que tivessem valores

positivos pr´oximos de zero. Os autores ainda estudam formas de considerar os zeros das estimativas diretas.

Jiang e Lahiri (2006) utilizam um modelo em n´ıvel de ´area em que piw segue

distribui¸cão beta com média Pi e variância Pi(1 − Pi)δiw, com δiw =Pnj=1i w2ij onde wij

´

e o peso amostral da j-ésima observa¸cão da pequena área i, definido como o inverso da probabilidade de inclusão sob o plano amostral utilizado. A especifica¸cão do modelo se completa com a equa¸cão logit (Pi) = xiβ + vi, com vi ∼ N (0, σ2v). Os autores estimam

os parâmetros a partir do melhor preditor emp´ırico linear não-viesado (EBLUP), sigla em inglês para Empirical Best Linear Unbiased Predictor.

Os modelos propostos em Liu et al. (2007) e Jiang e Lahiri (2006) levam em conta algumas informa¸cões provenientes da amostra e de seu desenho, pois incluem os tamanhos e pesos amostrais. Ambas as abordagens levam a simplifica¸cões da variância, de forma que apenas um parâmetro da regressão beta seja estimado. Nos modelos propostos pelos autores citados, ocorre dificuldade na estima¸cão da variância σ2

v do

efeito aleatório das áreas. O modelo hierárquico no qual a variável resposta possui distribui¸cão beta será visto mais adiante no Cap´ıtulo 5, com variâncias supostamente desconhecidas.

Em muitas pesquisas por amostragem, existem informa¸cões para um conjunto de caracter´ısticas e informa¸cões auxiliares. Dependendo do grau de associa¸cão entre essas caracter´ısticas, uma análise multivariada pode trazer benef´ıcios ao processo de estima¸cão, pois pode ocorrer maior empréstimo de informa¸cão entre as áreas,

(33)

melhorando a qualidade das estimativas. A vers˜ao multivariada do modelo Fay-Herriot faz uso das seguintes equa¸c˜oes

ˆ

θi = θi+ ei, i = 1, ..., M (2.2)

θi = Zβ + vi, (2.3)

onde ˆθi = (ˆθi1, ..., ˆθiK)T ´e um vetor K × 1 de estimadores das caracter´ısticas θi =

(θi1, ..., θiK)T, ei ∼ NK(0, Ψ), vi ∼ NK(0, Σv) e NK(a, B) denota a distribui¸c˜ao

normal multivariada de ordem K com vetor de médias a e matriz de variˆ ancias-covariâncias B. Assim, o modelo de Fay-Herriot relaciona estimadores diretos de pequenas áreas de K caracter´ısticas a covariáveis auxiliares.

Datta et al. (1999) utilizaram um modelo linear misto multivariado e, a partir de simula¸cões, conclu´ıram que houve um ganho de precisão das estimativas obtidas com o modelo multivariado quando comparados aos modelos univariados ajustados em separado. A estima¸cão foi feita com base no EBLUP. O trabalho de Datta et al. (1998) utilizou abordagem Bayesiana para ajustar o mesmo modelo.

Fabrizi et al. (2011) modelam taxas de pobreza, que representam propor¸cões de pobres computadas em limiares crescentes. O objetivo é prever as taxas em pequenos dom´ınios não selecionados para amostra de uma pesquisa. Dentro de cada área, sup˜ oe-se que as diferen¸cas entre as taxas sucessivas oe-seguem condicionalmente distribui¸cão beta e são permutáveis. A modelagem das diferen¸cas se justifica devido ao fato dos estimadores das taxas com limiares crescentes não serem independentes, enquanto diferen¸cas sucessivas possuem correla¸cão muito baixa. Os autores argumentam que esta hipótese evita a generaliza¸cão da distribui¸cão beta para o caso multivariado. Sua proposta de modelagem refere-se a um modelo hierárquico de dois n´ıveis, com fun¸cão de liga¸cão log´ıstica para as médias das distribui¸cões beta. No modelo, a diferen¸ca δijké tal

que δijk = exp(ζijk)/[1 +Pkexp(ζijk)], com ζij ∼ NK(µij, Σ) e µijk = αjk+ xiβjk onde

αjk e βjk são coeficientes de regressão. O modelo de Fabrizi et al. (2011) é semelhante

a um dos casos particulares do modelo descrito no Cap´ıtulo 5. No referido cap´ıtulo, as variáveis resposta, que podem ser taxas ou propor¸cões, não necessariamente somam um, como em Fabrizi et al. (2011). Além disso, no modelo do Cap´ıtulo 5, as marginais são fixadas como beta e unidas por uma fun¸cão cópula, permitindo que seja tratado um caso ainda mais geral, no qual existe associa¸cão entre as respostas no n´ıvel mais desagregado do modelo hierárquico.

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resultados que os modelos separados, especialmente na estima¸cão em pequenas áreas. Este trabalho se insere no contexto de modelagem de dados multivariados nos quais as respostas pertencem ao intervalo (0, 1). A abordagem multivariada ainda não foi tratada na literatura de pequenas áreas quando as variáveis resposta seguem distribui¸cões beta e sua distribui¸cão conjunta é obtida pela aplica¸cão de fun¸cões cópula. Da´ı, a relevância da proposta realizada por este trabalho.

2.3 Crit´erios de compara¸c˜ao de modelos

No processo de modelagem, frequentemente ocorrem situa¸cões em que é necessário decidir sobre a inclusão e/ou exclusão de parâmetros ou mesmo sobre a forma da distribui¸cão adotada para as observa¸cões. Tais situa¸cões criam a necessidade de compara¸cão de modelos alternativos através da utiliza¸cão de critérios que permitam avaliar a qualidade do ajuste proporcionada pelo modelo, bem como sua complexidade. Nesta se¸cão, são descritos os critérios de sele¸cão de modelos utilizados neste trabalho.

2.3.1 Verossimilhan¸ca preditiva

Este crit´erio compara as capacidades preditivas de diferentes modelos atrav´es da verossimilhan¸ca preditiva, dada por,

p(yr|y, M ) =

Z

p(yr, Ψ|y, M )dΨ (2.4)

onde Ψ é o conjunto de todos os parâmetros do modelo M , y = (y1, ..., yN)T é o vetor

N × 1 de observa¸cões e yr = (y1r, ..., yHr)T é um vetor H × 1 de dados não observados

ou que não foram utilizados na obten¸cão da distribui¸cão a posteriori de Ψ. O modelo escolhido será aquele que apresentar o maior valor da verossimilhan¸ca preditiva. Do desenvolvimento de (2.4), obtém-se

Se temos uma amostra da distribui¸c˜ao a posteriori de Ψ formada pornΨ(1)_{, ..., Ψ}(L)o_,

então uma aproxima¸cão para (2.5) é dada por ˆ EΨ|y,M[p(yr|Ψ, y, M )] = 1 L L X l=1 H Y i=1 p(yir|Ψ(l), y, M ).

No caso multivariado, a aproxima¸c˜ao tem a mesma forma com yir substitu´ıdo pelo vetor

yir = (yi1r, ..., yiKr)T onde K é o número de variáveis observadas e com dependência

(35)

2.3.2 Crit´erios de informa¸c˜ao baseados no desvio

Seja L(y|Ψk, Mk) a fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca para o modelo MK, onde Ψk

reúne todos os parâmetros do modelo. Defina a fun¸cão desvio como D(Ψk) =

−2 log L(y|Ψk, Mk). Os crit´erios DIC (Deviance Information Criterion), definido em

Spiegelhalter et al. (2002), e os crit´erios AIC (Akaike Information Criterion), em Akaike (1973), e BIC (Bayesian Information Criterion), em Schwarz (1978) s˜ao dados por

AIC(Mk) = D(E[Ψk|y, Mk]) + 2dk;

BIC(Mk) = D(E[Ψk|y, Mk]) + log(n)dk;

DIC(Mk) = 2E[D(Ψk)|y, Mk] − D(E[Ψk|y, Mk]).

onde dk representa o n´umero de parˆametros do modelo Mk. Quanto menor o valor dos

critérios, melhor o modelo. O critério DIC também pode ser escrito como DIC(Mk) = E[D(Ψk)|y, Mk] + pD(Mk)

onde pD(Mk) = E[D(Ψk)|y, Mk] − D(E[Ψk|y, Mk]) é o número efetivo de parâmetros.

Note que os três critérios conjugam qualidade de ajuste e complexidade, através das parcelas envolvendo a fun¸cão desvio e o número de parâmetros.

Suponha que {Ψ(1)_k , ..., Ψ(L)_k } corresponda a uma amostra da distribui¸cão a posteriori. Então, as seguintes aproxima¸cões de Monte Carlo podem ser aplicadas, de acordo com Silva e Lopes (2008): E[D(Ψk)|y, Mk] ≈ L−1 L X l D(Ψ(l)_k ) e E[Ψk|y, Mk] ≈ L−1 L X l Ψ(l)_k . (2.6) Os critérios definidos nesta se¸cão podem apresentar valores negativos. No entanto, a parcela pD deve ser positiva. Caso não seja, pode haver indica¸cão de má especifica¸cão

do modelo. As equa¸cões dos três critérios valem diretamente para o caso multivariado, pois dependem da fun¸cão de verossimilhan¸ca que incorpora a estrutura dependência entre as variáveis observadas.

(36)

2.4 Diagn´ostico de convergˆencia

Nesta tese, utiliza-se inferência Bayesiana para obten¸cão de estimativas dos parâmetros dos modelos propostos, bem como daqueles empregados em algumas compara¸cões. Na maioria dos exemplos, as densidades a posteriori não possuem forma conhecida e recorre-se a métodos de simula¸cão indireta para amostrar os parâmetros dos modelos. Os métodos de simula¸cão aplicados em todo o trabalho foram o Amostrador de Gibbs e algoritmo de Metropolis-Hastings, que se baseiam em algoritmos de Monte Carlo via Cadeias de Markov (MCMC). Suas descri¸cões podem ser vistas em Gamerman e Lopes (2006). Quando há convergência da cadeia, se atinge a distribui¸cão alvo (posteriori), após uma fase de aquecimento. Para verificar se de fato houve convergência, existem métodos para diagnosticar ou monitorar tal convergência, descritos a seguir.

2.4.1 Inspe¸c˜ao Visual

A inspe¸cão visual de gráficos das cadeias dos algoritmos MCMC consiste numa forma simples de monitoramento da convergência. A observa¸cão das trajetórias de diferentes cadeias partindo de valores iniciais distintos permite que se verifique se há mistura das cadeias à medida em que aumenta o número de itera¸cões, indicando convergência em distribui¸cão. A partir dos gráficos das autocorrela¸cões, verifica-se se as amostras geradas podem ser consideradas independentes dos valores iniciais. Os histogramas possibilitam a análise da forma da densidade a posteriori, identificando bimodadidade, por exemplo.

2.4.2 Crit´erio de Geweke

Geweke (1992) sugere um critério para verifica¸cão de convergência com base na compara¸cão de médias, em intervalos diferentes, após o per´ıodo de aquecimento do algoritmo. Se a convergência foi alcan¸cada, os comportamentos nesses intervalos devem ser semelhantes.

Considere ψ = h(θ) uma fun¸cão real de um parâmetro de interesse θ, para o qual foi obtida uma amostra a partir de algoritmo MCMC. Seja t o número de itera¸cões correspondente à fase de aquecimento e t + n o total de itera¸cões. Construa as médias

¯

ψa e ¯ψb com base nos grupos de itera¸c˜oes na< n e nb < n. Segue que

zG = ¯ ψa− ¯ψb q V ar( ¯ψa) + V ar( ¯ψb) → N (0, 1) em distribui¸c˜ao, (2.7)

(37)

Dessa forma, valores grandes de zG indicam falta de convergˆencia. No entanto,

valores pequenos desta estat´ıstica não significam que houve convergência. A decisão deve ser tomada juntamente com outros critérios e com a inspe¸cão visual. Para realizar o critério de Geweke, basta apenas uma cadeia longa do algoritmo MCMC.

2.4.3 Crit´erio de Gelman e Rubin

Após a convergência, espera-se uma mistura entre cadeias paralelas com diferentes pontos de partida. Gelman e Rubin (1992) propuseram um critério que consiste na compara¸cão das variâncias entre e dentro das cadeias. Para desenvolver o critério são necessárias I ≥ 2 cadeias, observando que I não deve ser muito grande para evitar desperd´ıcio de tempo computacional. Sejam: θ o parâmetro de interesse; θ_ij o j-ésimo valor amostrado na i-ésima cadeia, para i = 1, ..., I e j = 1, ..., J ; ¯θi, a média das

observa¸cões da cadeia i; ¯θ, a média global. Então as variâncias entre cadeias ˆB e dentro das cadeias ˆW são dadas por

ˆ B = J (I − 1)−1 I X i=1 (¯θi− ¯θ)2 e ˆ W = I(J − 1)−1 I X i=1 J X j=1 (θj_i − ¯θi)2.

Após a convergência, todos os IJ valores de θ foram amostrados de sua distribui¸cão a posteriori e a variância de θ pode ser estimada por ˆB, ˆW e pela média ponderada ˆ

σ2 _{= (1 − 1/J ) ˆ}_{W + (1/J ) ˆ}_B.

Enquanto as cadeias não convergem, as trajetórias dos parâmetros ainda são influenciadas pelos valores iniciais. Até que a convergência seja alcan¸cada, σ2 _ser´_a

superestimada por ˆσ2 e subestimada por ˆW . Seguindo este racioc´ınio, Brooks e Gelman (1998) propuseram uma análise gráfica que objetiva verificar se: as variâncias ˆσ2 _{e ˆ}_W

estabilizam-se como fun¸c˜ao de J ; o fator ˆR = ˆσ2_{/ ˆ}_{W se aproxima de 1. Assim, ocorre}

(38)

Cap´ıtulo 3

Modelo de regress˜

ao beta univariado

Este cap´ıtulo revisa a regressão beta univariada, destacando os principais aspectos envolvidos na estima¸cão Bayesiana de seus parâmetros.

3.1 Regress˜ao beta univariada

O modelo de regressão linear normal é comumente usado em situa¸cões nas quais se deseja analisar o comportamento de uma variável relacionando-a com um conjunto de variáveis ditas explicativas. Tal modelo não é apropriado quando a variável resposta está restrita ao intervalo (0, 1). Além disso, uma resposta que represente uma taxa ou propor¸cão pode apresentar caracter´ısticas de assimetria, o que não condiz com o comportamento esperado de uma variável com distribui¸cão normal. Para tratar de casos como esses, Ferrari e Cribari-Neto (2004) propuseram um modelo de regressão para situa¸cões nas quais a variável dependente é medida continuamente em (0, 1). Assim a variável dependente (y) segue uma distribui¸cão beta de parâmetros a e b, cuja densidade é dada por

f (y|a, b) = Γ(a + b) Γ(a)Γ(b)y

a−1

(1 − y)b−1, 0 < y < 1, (3.1) onde a > 0, b > 0 e Γ(·) denota a fun¸cão gama. Os autores utilizam uma parametriza¸cão da fun¸cão de densidade da distribui¸cão beta de forma que esta tenha como parâmetros a média µ e a precisão φ. Na nova parametriza¸cão, a densidade da distribui¸cão beta é reescrita como

f (y|µ, φ) = Γ(φ)

Γ(µφ)Γ((1 − µ)φ)y

µφ−1_{(1 − y)}(1−µ)φ−1_, _{0 < y < 1,} _(3.2)

onde a = µφ, b = (1 − µ)φ, 0 < µ < 1 e φ > 0. O parˆametro φ est´a relacionado `

a variância da distribui¸cão beta, pois V ar(Y ) = µ(1 − µ)/(1 + φ). Com esta parametriza¸cão, foi poss´ıvel associar uma estrutura de regressão à média da distribui¸cão beta. Assim, o modelo proposto em Ferrari e Cribari-Neto (2004) é dado por

(39)

yi|µi, φ ∼ Beta(µi, φ), i = 1, ..., n (3.3) g(µi) = ηi = p X k=1 xikβk, p < n

onde n é o número de observa¸cões, p é o número de coeficientes de regressão, g(·) é uma fun¸cão estritamente monótona e duas vezes diferenciável que mapeia o intervalo (0, 1) em IR, βT = (β1, ..., βp) é um vetor de coeficientes de regressão e xi1, ..., xip

são as observa¸cões de p covariáveis, i = 1, ..., n. Uma vantagem do modelo (3.3) é a manuten¸cão da variável na escala original, o que facilita a interpreta¸cão dos parâmetros do modelo.

As escolhas mais comuns de g(µ), 0 < µ < 1, s˜ao

g(µ) =                    log_1−µµ log´ıstica

Φ−1(µ) inversa da fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao

acumulada da distribui¸c˜ao normal padr˜ao log(− log(1 − µ)) complemento log-log.

No caso particular da fun¸cão log´ıstica, para cada unidade acrescentada à variável xk,

mantendo-se as demais constantes, tem-se que a raz˜ao de chances ´e dada por exp(βk).

A fun¸cão log´ıstica corresponde a uma escolha comum nas aplica¸cões e será utilizada em todo este trabalho. Kieschnick e McCullough (2003) propuseram a regressão beta mantendo-se o parâmetro a e fazendo b(xi) = a exp(−xiβ), na parametriza¸cão usual

da densidade da distribui¸c˜ao beta dada pela f´ormula (3.1).

Aplica¸cões da regressão beta em diferentes contextos podem ser vistas em Korhonen et al. (2007) e Branscum et al. (2007). O último artigo apresenta aplica¸cões da regressão beta em que havia interesse em duas variáveis resposta, porém os ajustes dos modelos foram realizados separadamente. Em Espinheira et al. (2008a) e Espinheira et al. (2008b) encontram-se propostas de medidas de diagnóstico de influência e de res´ıduos para avalia¸cão dos ajustes de modelos de regressão beta.

Extensões do modelo (3.3) podem ser encontradas, por exemplo, em Smithson e Verkuilen (2006), que propõem a modelagem do parâmetro φ, permitindo que seu valor varie de acordo com as observa¸cões e, para tanto, supõem

h(φi) = wiδ

onde h é uma fun¸cão de liga¸cão, δ é um vetor de coeficientes e wi é um vetor

(40)

estritamente positivo. Huang e Oosterlee (2008) apresentam um modelo de regress˜ao beta generalizado misto no qual inserem um efeito aleat´orio no preditor linear, da seguinte forma

g(µ) = xβ + ν.

Rydlewski (2007) considera a variável resposta, Y , beta distribu´ıda variando no tempo e descreve a dependência temporal como combina¸cão de uma fun¸cão c´ıclica e linear. Assim, E(yi) = µ(ti) = θ(ti) + β0+ p X k=1 αksen 2πk T ti+ βkcos 2πk T ti ! ,

i = 1, ..., n onde θ(·) é cont´ınua e diferenciável, sendo responsável por modelar a tendência e T é o per´ıodo. Rydlewski (2007) define estat´ısticas de diagnóstico de ajuste e res´ıduos para este caso espec´ıfico. Da-Silva et al. (2011) desenvolvem um modelo beta dinâmico Bayesiano para modelagem de séries temporais de taxas e propor¸cões.

O valor y observado no intervalo (c, d) pode ser transformado para o intervalo (0, 1), fazendo-se y0 = (y − c)/(d − c). Com o objetivo de tratar dados que contˆem valores iguais a zero ou um, Smithson e Verkuilen (2006) propuseram transformar o conjunto de dados de tal forma que

y00 = [y0(n − 1) + 1/2]/n (3.4)

onde n ´e o tamanho da amostra.

Cook et al. (2008) e Ospina e Ferrari (2010) propõem modelos de regressão beta para dados inflacionados (ou com pontos de massa) de zeros ou uns. Os artigos citados mostram modifica¸cões do modelo (3.3) e a importância prática de modelar dados no intervalo (0, 1) com distribui¸cão beta.

3.2 Inferˆencia Bayesiana no modelo de regress˜ao beta univariado

Para estimar os parâmetros do modelo (3.3), Ferrari e Cribari-Neto (2004) adotaram uma abordagem frequentista. Neste trabalho, que segue abordagem Bayesiana, a especifica¸cão do modelo é conclu´ıda atribuindo-se distribui¸cões a priori, p(β, φ), para β e φ. Para fazer inferência Bayesiana sobre estes parâmetros, suponha que dispomos da informa¸cão de Y1, ..., Yn variáveis aleatórias cujos valores perten¸cam ao intervalo

(0, 1), ou equivalentemente, ao intervalo (c, d), transformando-se as vari´aveis em (Y1 − c/(d − c), ..., Yn − c/(d − c)). Suponha, ainda, que haja a informa¸c˜ao de p

vari´aveis explicativas. Seja β = (β1, ..., βp)T e suponha que g(µi) = logit (µi). Com

(41)

em (3.2), para a i-ésima observa¸cão é dada por f (yi|β, φ) = Γ(φ) Γ(µi(β)φ)Γ((1 − µi(β))φ) yµi(β)φ−1 i (1 − yi)[1−µi(β)]φ−1

∝ exp {log Γ(φ) − [log Γ(µi(β)φ) + log Γ((1 − µi(β))φ)] +

+µi(β)φlogit (yi) + φ log(1 − yi)} .

Segue que a fun¸cão de verossimilhan¸ca L(β, φ) para uma amostra de n observa¸cões independentes é L(β, φ) = n Y i=1 f (yi|β, φ) = Γ(φ)n n Y i=1 1 Γ(µi(β)φ)Γ((1 − µi(β))φ) yµi(β)φ−1 i (1 − yi)[1−µi(β)]φ−1.

Então, considerando uma densidade a priori p(β, φ), tem-se que a densidade a posteriori destes parâmetros é tal que

p(β, φ|y) ∝ L(β, φ)p(β, φ) ∝ [Γ(φ)]n n Y i=1 1 Γ(µi(β)φ)Γ((1 − µi(β))φ) yµi(β)φ−1 i (1 − yi)[1−µi(β)]φ−1p(β, φ).

A densidade a priori p(β, φ) pode ser escolhida de v´arias formas. Uma delas considera p(β, φ) = p(β)p(φ), o que equivale a φ e β independentes a priori. Por exemplo, pode-se adotar βk ∼ N (mk, σ2k) e φ ∼ Gama(a, b), pois βk ∈ (−∞, ∞),

k = 1, ..., p e φ > 0, resultando no modelo de regress˜ao beta univariada, dado por yi|µi, φ ∼ Beta(µi(β), φ), i = 1, ..., n g(µi) = ηi = p X k=1 xikβk (3.5) βk ∼ N (mk, σk2) φ ∼ Gama(a, b),

com distribui¸c˜oes a priori independentes para φ e βk, k = 1, ..., p.

Os termos envolvendo Γ(µi(β)φ) e Γ(φ) indicam que a densidade a posteriori de

φ e β não possui forma fechada. Para gerar amostras dessa distribui¸cão, utilizou-se o método de Monte Carlo via Cadeias de Markov (MCMC, em inglês). O uso das distribui¸cões a priori mencionadas, bem como daquelas citadas mais adiante, leva `

a obten¸cão de distribui¸cões condicionais completas a posteriori para φ e β também de forma desconhecida. Portanto, um método de simula¸cão apropriado para gerar amostras da distribui¸cão a posteriori é o algoritmo de Metropolis-Hastings. Detalhes sobre o algoritmo podem ser vistos em Gamerman e Lopes (2006).