Q-espectro e D-espectro dos grafos aranha

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Centro de Estudos Gerais

Curso de Mestrado em Matemática

Coordenação de Pós Graduação em Matemática

Lucas Lima Silva Portugal

Q-espectro e D-espectro dos grafos aranha

Orientadora: Renata Raposo Del-Vecchio

NITERÓI Março/2017

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Q-ESPECTRO E D-ESPECTRO DOS GRAFOS ARANHA

Dissertação apresentada por Lucas Lima Silva Portugal ao Curso de Mestrado em Matemática - Universidade Federal Fluminense, como requisito parcial para a obtenção do Grau de Mestre. Linha de Pesquisa: Teoria espectral de grafos.

Orientadora: Renata Raposo Del-Vecchio

Niterói 2017

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P853

S 59 Portugal, Lucas Lima Silva

Q-espectro e D-espectro dos grafos aranha / Lucas Lima Silva Portugal. - Niterói: [s.n.], 2017.

Dissertação (Mestrado em Matemática) - Universidade Federal Fluminense, 2017.

1. Matemática 2. Matemática Discreta. 3. Teoria espectral de grafos

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Q-ESPECTRO E D-ESPECTRO DOS GRAFOS ARANHA

Dissertação apresentada por Lucas Lima Silva Portugal ao Curso de Mestrado em Matemática - da Universidade Federal Fluminense, como requisito parcial para a obtenção do Grau de Mestre. Linha de Pesquisa: Teoria espectral de grafos.

Aprovada em: 30/03/2017

Banca Examinadora

_______________________________________________ Prof. Renata Raposo Del-Vecchio - Orientadora

Doutora – Universidade Federal Fluminense

_______________________________________________ Prof. Celso Marques da Silva Junior - Membro

Doutor – Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca

_______________________________________________ Prof. Leonardo Lima - Membro

Doutor – Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca

_______________________________________________ Prof. Miriam del Milagro Abdón - Membro

Doutora – Universidade Federal Fluminense

NITERÓI 2017

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AGRADECIMENTOS

Agradeço à minha família e namorada pelo suporte, especialmente à minha mãe que continua me ensinando apesar de tudo que está passando. Agradeço ao colega Átila pela ajuda em vários momentos deste trabalho e minha orientadora, a professora Renata Del-Vecchio, por toda sua paciência e compreensão, sua disposição me ajudando e guiando esse trabalho. Finalmente, agradeço a CAPES pelo apoio financeiro a este trabalho.

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RESUMO

Os grafos do tipo aranha tem características interessantes, pois são todos conexos com complementar conexo (mais ainda, o complementar de qualquer grafo aranha também é um grafo aranha). Além disso, são os únicos grafos na classe dos P4-esparsos que são conexos com complementar conexo. Neste trabalho, investigamos o espectro da matriz laplaciana sem sinal e da matriz distância nesta classe de grafos.

Sobre o Q-espectro dos grafos aranha, obtemos resultados sobre quantidades de q-autovalores distintos, além de apresentar um resultado do tipo Nordhaus-Gaddum, resultado que foi estendido para a classe dos P4-esparsos.

Investigando o D-espectro, novamente obtemos resultados sobre a

quantidade de d-autovalores distintos e seus sinais. Além disso, investigamos algumas relações entre parâmetros D-espectrais e invariantes de grafos.

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ABSTRACT

There are some interesting characteristics about the spider graphs, they are all connected and so are their complement graph (even more, the complement of a spider graph is still a spider graph). Furthermore, the spider graphs are the only graphs that belongs to the P4-sparse class that are connected with their

complement still connected. In this work we investigate the signless laplacian and distance matrix spectrum on the spider graphs.

About the Q-espectrum of a spider, we obtained results about the number of distinct q-eigenvalues and a Nordhaus-Gaddum type result, which was extended to the P4-sparse class.

Investigating the D-spectrum, again we obtained results about the number of distinct d-eigenvalues and their signals. Furthermore, we investigated some relationships between D-spectrum parameters and graph invariants.

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Palavras chaves: Grafos, espectro, matriz laplaciana sem sinal, matriz

distância, grafos aranha, q-espectro, d-espectro, Nordhaus-Gaddum, p4-esparso. Key words: Graphs, spectrum, signless laplacian matrix, distance matrix, spider graphs, q-spectrum, d-spectrum, Nordhaus-Gaddum, p4-sparse.

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Lista de Figuras

2.1 Exemplo de um grafo . . . 5 2.2 Complementar do grafo do Exemplo 2.1.1 . . . 6 2.3 Na esquerda um grafo conexo e na direita um grafo desconexo com 2

com-ponentes conexas. . . 6 2.4 Sm[5, 2, K2] e Sg[3, 2, K2], respectivamente. . . 8

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Sum´ario

1 Introduc¸ ˜ao 3

2 Noções Básicas 5

2.1 Grafos . . . 5

2.2 Algebra Linear . . . .´ 9

2.3 Teoria Espectral de grafos . . . 10

2.3.1 Matriz de adjacˆencia . . . 10

2.3.2 Matriz Laplaciana sem Sinal . . . 12

2.3.3 Matriz Distˆancia . . . 13

3 Matriz laplaciana sem sinal 15 3.1 Q-Espectro de aranhas com cabec¸as especiais . . . 15

3.2 Propriedades Q-espectrais para qualquer aranha . . . 32

3.3 Propriedades do tipo Nordhaus-Gaddum para aranhas . . . 33

3.4 Propriedades do tipo Nordhaus-Gaddum para grafos P4-esparsos . . . 34

4 Matriz distˆancia 35 4.1 D-Espectro de algumas aranhas especiais . . . 35

4.2 Propriedades D-espectrais para qualquer aranhas . . . 49

4.3 Cabec¸as r-regulares com diˆametro 2 . . . 49

5 Conjecturas sobre a matriz Distância 51 5.1 Introdução . . . 51

5.2 Resultados Gerais . . . 52

5.3 Resultados para a in´ercia da matriz D . . . 54

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Cap´ıtulo 1

Introduc¸˜ao

Várias matrizes podem ser associadas a grafos. A matriz de adjacência é a mais natural delas e a mais estudada. Muitas outras matrizes podem também ser associadas a grafos. As relações entre autovalores dessas matrizes e propriedades estruturais dos grafos é o foco da teoria espectral de grafos, campo onde se insere esta dissertação.

A matriz laplaciana sem sinal, embora tenha sido definida há bastante tempo, despertou a atenção de pesquisadores mais recentemente, a partir de Cvetkovic em 2007 [11]. A matriz distância também definida há bastante tempo, tem sido abordada em artigos de teoria espectral de grafos mais recentemente, ver [10].

Nesta dissertação trataremos destas duas matrizes em uma classe especial de grafos, os grafos do tipo aranha. Estes grafos têm caracter´ısticas interessantes, pois são todos conexos com complementar conexo (além disso, o complementar de qualquer grafo desta classe também está na classe).

A classe dos grafos P4-esparsos, definida em [4], cont´em os cografos que, por sua vez,

contém os thresholds. São duas classes importantes de grafos e muito estudadas, inclusive do ponto de vista espectral. É sabido que todo grafo P4-esparso conexo com complementar

conexo ´e uma aranha [5]. Da´ı, com o estudo espectral dos grafos aranha, foi poss´ıvel gene-ralizar um importante resultado apresentado por Lima em [9] para todo grafo P4-esparso.

Esta dissertação está estruturada em seis cap´ıtulos que, além desta introdução, estão assim distribu´ıdos.

No segundo cap´ıtulo apresentamos algumas noções básicas de teoria dos grafos, além de alguns resultados de álgebra linear e teoria espectral de grafos, os quais são necessários à compreensão do texto.

No terceiro cap´ıtulo estudamos o espectro da matriz laplaciana sem sinal das aranhas, obtendo resultados acerca da quantidade de autovalores distintos, que ´e um tema rele-vante em teoria espectral de grafos. Apresentamos, explicitamente, autovalores laplacianos sem sinal para a classe dos grafos aranha. Obtemos ainda propriedade do tipo Nordhaus-Gaddum para os grafos aranha e conclu´ımos o cap´ıtulo estendendo o importante resultado apresentado em [9] para a classe dos grafos P4-esparsos.

O quarto cap´ıtulo é dedicado ao estudo do espectro da matriz distância das aranhas. Aqui também encontramos fam´ılias de grafos com poucos autovalores distintos e apresen-tamos explicitamente autovalores da matriz distância para a classe dos grafos aranha.

Em [10] são discutidas várias conjecturas sobre o espectro da matriz distância de um grafo qualquer. Muitas destas conjecturas já foram refutadas em geral. Porém, se chegaram a ser consideradas como conjecturas é porque deviam valer para muitos grafos. Examina-mos no cap´ıtulo cinco a validade delas para os grafos aranha, obtendo assim novos

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resulta-dos nesta classe. Esses resultaresulta-dos relacionam parˆametros espectrais com outros invariantes de grafos.

Finalmente, o cap´ıtulo seis apresenta as conclusões e aponta algumas direções de traba-lhos futuros.

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Cap´ıtulo 2

Noções Básicas

Este cap´ıtulo está dividido em três seções. Na primeira apresentamos as definições e resul-tados da teoria de grafos necessários ao que se segue, além de fixar as notações que serão utilizadas no decorrer do texto. A segunda seção é dedicada à apresentação de resultados de Álgebra linear que serão aplicados às matrizes de grafos estudados. Na terceira seção serão apresentadas as matrizes estudadas nesta dissertação e alguns resultados referentes a elas.

2.1 Grafos

Iniciaremos esta seção apresentando definições gerais de grafos e introduzindo alguns parâ-metros importantes.

Definição 2.1.1. Um grafo G= G(V (G), E(G)) é uma estrutura formada por dois

con-juntos finitos chamados concon-juntos de vértices e de arestas, denotados respectivamente por V(G) e E(G), onde o segundo é formado por pares não ordenados de vértices distintos

u_{, v ∈ V (G), denotado por {u,v} ∈ E(G), ou simplesmente uv. Indicamos por | V | e | E |,} respectivamente, o número de vértices e o número de arestas de G; Quando existir a aresta

{u,v}, dizemos que os vértices u e v são adjacentes. O grau do vértice v ∈ V (G), denotado

por d(v), é o número de vértices adjacentes a v; o menor grau dentre os graus dos vértices

é chamado grau m´ınimo, denotado por δ_{(G) = min{d(v);v ∈ V } e, analogamente, grau} máximo é ∆_{(G) = max{d(v),v ∈ V }. O grau médio do grafo é d(G) =} ∑v∈Vd(v)

|V (G)| , onde ´e

f´acil verificar que d(G) =2_{|V (G)|}|E(G)|.

Exemplo 2.1.1. Considere o grafo H, ilustrado na figura 2.1, onde:

V_{(H) = {v}1, v2, v3, v4, v5} e

E_{(H) = {v}1v2, v1v3, v2v3, v3v4, v4v5}

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Definição 2.1.2. O grafo complementar de um grafo G é o grafo G que tem o mesmo

conjunto de vértices do grafo original G, porém uma aresta_{{u,v} ∈ E(G) se, e somente} se_{{u,v} 6∈ E(G). Na figura abaixo temos o complementar do grafo do Exemplo 2.1.1. É} claro que G= G.

Figura 2.2: Complementar do grafo do Exemplo 2.1.1

Definição 2.1.3. Dizemos que G′(V′, E′) é um subgrafo de G(V, E) quando V′_{⊆ V e E}′_⊆

E, e neste caso escrevemos G′_{⊂ G. No caso em que G}′é subgrafo de G tal que dois vértices em V(G′) são adjacentes em G′se, e somente se, eles são adjacentes em G, dizemos que G′ é subgrafo induzido de G e escrevemos G′ como G[V′], pois trata-se do grafo original G

restrito a um conjunto de v´ertices.

Definição 2.1.4. Uma sequência finita de vértices distintos v1, v2, ..., vk de um grafo G é

dito um caminho de v₁ a v_k quando _{vi, vi+1} ∈ E(G) para todos 1 ≤ i ≤ k − 1. Um

caminho fechado, isto ´e, um caminho acrescido da aresta_{v1, vk}, ´e chamado de ciclo. O

comprimento de um caminho ou de um ciclo ´e o n´umero de arestas que neles ocorrem.

Indicamos por Pne Cn respectivamente o caminho e o ciclo com n v´ertices.

Definição 2.1.5. Se dados quaisquer dois vértices u_{, v ∈ V (G), existe um caminho de u a}

v, então dizemos que o grafo G é conexo, caso contrário o grafo é desconexo. Se G é um grafo desconexo, dizemos que G′_{⊂ G é uma componente de G quando G}′ é conexo e não existe um grafo conexo H_{⊂ G tal que G}′_{⊂ H e G}′_{6= H.}

Figura 2.3: Na esquerda um grafo conexo e na direita um grafo desconexo com 2 compo-nentes conexas.

Definição 2.1.6. Se G é um grafo conexo, definimos a distância entre os vértices v e u,

denotada por d(u, v), como o m´ınimo dos comprimentos dos caminhos entre os v´ertices u

e v. O máximo das distâncias entre dois vértices quaisquer de G é o diâmetro do grafo, e

denotado por diam(G)

Definição 2.1.7. Um subconjunto X _{⊂ V (G) é dito conjunto independente de vértices se}

não há par de vértices adjacentes no conjunto, ou seja, _{∀v,u ∈ X, vu /}_{∈ E(G). Por outro} lado, se vu_{∈ E(G) para todo u,v ∈ X então o conjunto é uma clique (induz um subgrafo} completo).

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Definição 2.1.8. O n úmero de independência de um grafo G, denotado por α= α(G), é o

tamanho do maior conjunto independente de G.

Definição 2.1.9. Uma clique máxima é a maior clique poss´ıvel em um dado grafo. O

número clique ω(G) de um grafo G é o número de vértices de uma clique máxima em G. Definição 2.1.10. O n úmero cromático χ= χ(G) de um grafo G é o menor número de

cores dadas aos v´ertices de G de forma que nenhum par de v´ertices adjacentes tenha a mesma cor.

Apresentamos a seguir alguns tipos especiais de grafos.

• grafo trivial: é um grafo G tal que V (G) consiste em apenas um vértice e E(G) = Ø • grafo r-regular: é qualquer grafo onde todos os vértices de G têm o mesmo grau r. • grafo completo: é um grafos onde quaisquer dois vértices distintos são adjacentes. O grafo completo com n vértices é denotado por Kn

• Caminho: grafo formado por apenas um caminho de vértices. O caminho de n vértices é dontado por Pn.

• Ciclo: grafo onde todas suas arestas e v´ertices fazem parte de um ´unico ciclo. O ciclo de

nv´ertices ´e denotado por Cn.

• Árvore: s ão grafos conexos que não possuem ciclos.

Vamos apresentar agora a definição dos grafos aranha, que serão os grafos estudados nestre trabalho.

Definição 2.1.11. [5] Um grafo G(V, E) é uma aranha se V (G) pode ser particionado em

conjuntos K, L e R ,chamados respectivamente de corpo, pernas e cabec¸a da aranha, tais

que:

• |K| = |L| > 2

• K = {c1, . . . , ck} ´e uma clique;

• L = {l1, . . . , lk} ´e um conjunto independente;

• Todos os vértices de K são adjacentes aos de R e não há arestas entre os vértices de

L e R.

• Entre K e L temos somente um dos casos abaixo:

(i) ci é adjacente a lj⇔ i = j, então o grafo é denominado aranha magra; ou

(ii) ci´e adjacente a lj⇔ i 6= j, ∀ 1≤ i, j ≤ k, o grafo ´e chamado de aranha gorda.

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Um grafo do tipo aranha magra ser´a denotado por Sm[k, j, G], onde seu corpo e suas

pernas possuem k vértices cada um, a cabeça possui j vértices, e G é o subgrafo indu-zido pela cabeça R. Analogamente Sg[k, j, G] representa a aranha gorda e denotaremos por

S[k, j, G] quando quisermos nos referir a ambas. No caso das aranhas sem cabec¸a ( j = 0) denotaremos simplesmente por Sm[k] ou Sg[k].

Para facilitar a compreensão da definição de Aranha Magra e Gorda observe o exemplo abaixo.

Exemplo 2.1.2. Nas figuras abaixo vemos a aranha magra onde o corpo e as pernas tem

cinco vértices (k=5), o subgrafo induzido pela cabeça é o grafo sem arestas com dois vértices(j=2), e uma aranha gorda com k=3 e j=2 onde também temos G= K2.

Figura 2.4: Sm[5, 2, K2] e Sg[3, 2, K2], respectivamente.

Veremos agora algumas propriedades estruturais dos grafos aranha, que seguem direto da definic¸˜ao.

OBSERVAÇ ÃO 2.1.1. Sejam c e l, respectivamente, vértices arbitrários do corpo e da

perna. Podemos concluir direto da definic¸˜ao que todo grafo aranha S= S[k, j, G]

satis-faz um, e somente um, dos casos abaixo:

• d(c) = |V | − |L| = (2k + j) − k = k + j e d(l) = 1, se S ´e aranha magra; ou • d(c) = |V | − 2 = 2k + j − 2 e d(l) = |K| − 1 = k − 1, se S ´e aranha gorda.

OBSERVAÇ ÃO 2.1.2. Todo grafo aranha é conexo, independente do grafo induzido pela

cabec¸a.

OBSERVAÇ ÃO2.1.3. Sm[k, j, G] = Sg[k, j, G] e Sg[k, j, G] = Sm[k, j, G]. Da´ı, se S é aranha,

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OBSERVAÇ ÃO 2.1.4. Toda aranha magra é subgrafo de uma aranha gorda, com mesmo número de vértices nas pernas, cabeça e corpo. Mais especificamente Sm[k, j, G] ⊂ Sg[k, j, G],

para qualquer k_{≥ 2 e j ≥ 0.}

Importantes classes de grafos são definidas por subgrafos proibidos (grafos que nunca aparecem como subgrafos induzidos em certas classes de grafos). A classe dos cografos, por exemplo, são grafos livres de P4, isto é, grafos que não admitem P4 como subgrafo

induzido. Esta classe cont´em os grafos threshold (grafos livres de 2K2, P4e C4).

Estas duas classes possuem caracter´ısticas interessantes e foram bem estudadas, como pode ser visto em [18], [19], [20], [21] e [22].

Em [4], Hoàng propôs uma generalização dos cografos, definindo os grafos P4-esparsos.

Definição 2.1.12. Um grafo G é um P4-esparso se qualquer subconjunto de cinco vértices

induz no m´aximo um subgrafo P4em G.

Em [5], é apresentada uma caracterização dos grafos P4-esparsos, a partir dos grafos

aranha.

Teorema 2.1.1. [5] Seja G um grafo não trivial, então G é um P4-esparso se, e somente se

qualquer subgrafo induzido H de G com ao menos dois vértices satisfaz exatamente uma das condições abaixo:

(i) H ´e desconexo; (ii) H ´e desconexo;

(iii) H ´e uma aranha cuja cabec¸a, caso exista, induz um grafo P4-esparso.

Vale ressaltar que o subgrafo induzido H pode ser tomado como o próprio grafo G, então, em particular, se G é P4-esparso ele deve satisfazer exatamente uma das condições

acima. Esta nova caracterização será de grande importância para o nosso resultado da seção posterior.

• Nordhaus e Gaddum [6] estudaram o número cromático de um grafo G e de seu complementar ao mesmo tempo. Eles provaram cotas superiores e inferiores na soma (e produto) do número cromático de G e G em termos do número de vértices de G.

Desde ent˜ao, qualquer desigualdade envolvendo parˆametros de um grafo G e seu grafo complementar G ficaram conhecidas como Desigualdades do tipo Nordhaus-Gaddum.

Vamos mais adiante ver propriedades deste tipo para grafos aranha e, mais geralmente, grafos P4-esparsos.

2.2 Algebra Linear

´

Os teoremas abaixo serão necessários no decorrer do texto. Denotaremos por Mno espaço

das matrizes reais quadradas de ordem n.

Os próximos três teoremas são conhecidos respectivamente como Teorema de Perron Frobenius, Teorema do Entrelaçamento e Teorema das Partições Equilibradas.

Teorema 2.2.1. [7] Seja M _{∈ M}n com entradas n˜ao negativas, irredut´ıvel e autovalores

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(i)λ1> 0 e tem multiplicidade 1 ;

(ii) existe um autovetor positivo associado aλ1;

(iii)_{| λ}i| ≤ λ1, para todo i∈ {1,2,...,n}.

OBSERVAÇ ÃO2.2.1. As matrizes de adjacência, laplaciana sem sinal e distância (as quais veremos na próxima seção) de um grafo G conexo são irredut´ıveis e portanto satisfazem a hipótese do teorema 2.2.1 acima.

Teorema 2.2.2. [2] Seja M_{∈ M}numa matriz sim´etrica e N∈ Mn− juma submatriz

princi-pal de M. Ent˜ao λi+1(M) ≤ λi(N) ≤ λi(M), para todo i ∈ {1,2,...,n − j}, onde λi(M) s˜ao

os autovalores de M eλi(N) s˜ao os autovalores de N.

Teorema 2.2.3. [2] Seja M_{∈ M}ntal que M ´e da forma:

M=      M1,1 M1,2 . . . M1,k M2,1 M2,2 . . . M2,k .. . ... ... Mk,1 Mk,2 . . . Mk,k      ,

onde Mi, j, 1≤ i, j ≤ k, ´e uma matriz de ni× nj tal que suas linhas tˆem somas constantes

iguais a ci j. Se M′= [ci j]k×k, então seus os autovalores também são autovalores de M.

O pr´oximo resultado est´a relacionado com o teorema 2.2.3 acima e pode ser encontrado em [3].

Proposic¸˜ao 2.2.1. [3] Seja M_{∈ M}numa matriz que pode ser escrita em blocos como no

Teorema 2.2.3. Chamemos a matriz formada pela soma das linhas de cada bloco de M′. Então o maior autovalor de M é também um autovalor de M′.

2.3 Teoria Espectral de grafos

Apresentaremos agora as matrizes que serão estudadas neste trabalho, a saber a matriz laplaciana sem sinal e a matriz distância. Precisaremos antes, introduzir a matriz de ad-jacência.

2.3.1 Matriz de adjacˆencia

Definição 2.3.1. Seja G= G(V, E) um grafo com n vértices. A matriz de adjacência A(G)

de G é a matriz quadrada de ordem n cujas entradas são ai j = 1, se {v_{0, caso contrário.}i, vj} ∈ E(G);

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A matriz de adjacência é a representação matricial mais comum de um grafo. Ela é formada por zeros e uns que indicam, naturalmente, se dois vértices são adjacentes ou não.

Definição 2.3.2. Definimos os autovalores de um grafo G com n vértices como os

autova-lores da matriz A(G), dados pelas ra´ızes do polinˆomio caracter´ıstico pG(x) = det(A(G) −

xI). Denotaremos os n autovalores (n˜ao necessariamente distintos) de A(G) por λ1≥ λ2≥

... ≥ λn.

Definição 2.3.3. O espectro de um grafo G é definido como a matriz 2 x s, onde a primeira

linha ´e formada pelos autovalores distintos de A(G) ordenados de forma crescente e a

segunda linha ´e formada pelas suas respectivas multiplicidades e ´e denotado por:

σ(G) = λs λs₋₁ . . . λ2 λ1 m(λs) m(λs−1) . . . m(λ2) m(λ1) ,

onde s_{∈ {1,2,...,n} é o número de autovalores distintos de A(G).} O maior autovalor do grafo G é chamado de´ındice de G.

Exemplo 2.3.1. A matriz de adjacˆencia, polinˆomio caracter´ıstico e o espectro do grafo G

do Exemplo 2.1.1 s˜ao: A(G) =       0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0       ,

onde seu polinômio caracter´ıstico é pG(x) = −x5+ 5x3+ 2x2− 4x − 2 e seu espectro é

σ(G) = −1,67513 −1 −0,53919 1 2,21432

1 1 1 1 1

.

Veremos agora algumas propriedades, que podemos obter direto da definic¸˜ao desta ma-triz.

OBSERVAÇ ÃO2.3.1. A matriz de adjacência é real e simétrica então ela é diagonalizável,

todos seus autovalores s˜ao reais e admite uma base ortogonal de autovetores.

OBSERVAÇ ÃO2.3.2. Como o traço de A(G) é zero então seus autovalores somam zero.

OBSERVAÇ ÃO 2.3.3. Como A(G) é diagonalizável, então todo autovalor λi possui

mul-tiplicidade algébrica igual à mulmul-tiplicidade geométrica. Sendo as mulmul-tiplicidades iguais, chamaremos apenas demultiplicidade e denotaremos por m(λi).

OBSERVAÇ ÃO 2.3.4. Cada linha (ou coluna) da matriz se refere a um único vértice e a

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• A fim de fixar a notação, daqui em diante Jn denotará a matriz quadrada de ordem n

onde todas as entradas valem 1, j´a a matriz nula ser´a simbolizada porΘne a identidade por

I_n_{. O vetor cujas entradas são 1 será denotado por~1}_n_{∈ R}n_{e o vetor nulo por~0}_n_{∈ R}n_{. Em} casos livres de ambiguidade a dimensão da matriz ou do vetor será omitida.

Proposição 2.3.1. [1] Seja G um grafo r-regular com n vértices.Então:

(i) r ´e um autovalor de G e est´a associado ao autovetor~1n.

(ii) G ´e conexo_{⇔ a multiplicidade de r ´e 1.}

2.3.2 Matriz Laplaciana sem Sinal

Como dito anteriormente, esta matriz despertou interesse de pesquisadores a partir de 2007. Desde ent˜ao muitos artigos sobre ela foram publicados. Por exemplo, [11] e [12].

Definição 2.3.4. A matriz diagonal dos graus de um grafo G com n vértices é definida por

Deg(G) = diagonal(d(v1), d(v2), ..., d(vn)).

Definição 2.3.5. A matriz laplaciana sem sinal de um grafo G é definida por Q(G) =

Deg(G) + A(G). De forma equivalente:

qi j=    1, se_{vivj} ∈ E(G); d(vi), se i= j 0, se_{vivj} /∈ E(G).

O polinˆomio caracter´ıstico da matriz laplaciana sem sinal ´e definido por pQ(x) =

det_{(Q(G) − xI). Os autovalores laplacianos sem sinal de um grafo G com n v´ertices,}

obtidos de Q(G), s˜ao denotados por q1≥ q2≥ ... ≥ qn. Seu espectro laplacino sem sinal

(chamado também de Q-espectro) é definido analogamente ao espectro da matriz de ad-jacência e será denotado porσQ(G).

Exemplo 2.3.2. A matriz laplaciana sem sinal do Exemplo 2.1.1 e seu espectroσQs˜ao:

Q(G) =       2 1 1 0 0 1 2 1 0 0 1 1 3 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 1       ,

onde seu polinˆomio caracter´ıstico ´e pQ(x) = −x5+ 10x4− 34x3+ 48x2− 27x + 4 e seu

espectro ´e

σQ(G) = 0, 22429 1 1, 41078 2, 72374 4, 64119₁ ₁ ₁ ₁ ₁

.

(22)

OBSERVAC¸ ˜AO2.3.5. Pelo teorema 2.2.1, temos que m(q1(G)) = 1 para qualquer grafo G

conexo.

Lema 2.3.1. [1] Para qualquer grafo G temos sempre que q1≥ q2≥ ... ≥ qn≥ 0.

O seguinte resultado será bastante usado no próximo cap´ıtulo e é consequência do Teo-rema do entrelaçamento:

Teorema 2.3.1. [8] Seja G um grafo de n v´ertices e seja H um subgrafo de G obtido

removendo uma aresta em G. Ent˜ao

q₁_{(G) ≥ q}₁_{(H) ≥ q}₂_{(G) ≥ q}₂_{(H)... ≥ q}n₋₁(G) ≥ qn₋₁(H) ≥ qn(g) ≥ qn(H).

2.3.3 Matriz Distˆancia

Esta matriz ser´a o foco principal deste trabalho.

Definição 2.3.6. Seja G = G(V, E) um grafo conexo com n vértices tal que para todos

vi, vj∈ V , d(vi, vj) = di j é a distância entre os vertices vie vj. Amatriz distância D(G) do

grafo G é a matriz quadrada de ordem n em que as linhas e colunas são indexadas pelos vértices de G e cuja entrada correspondente a(vi, vj) é dada pelo valor di j.

O polinômio caracter´ıstico da matriz distância de um grafo G com n vértices é deno-tado por pD(x) = det(D(G) − xI) e seus autovalores são denotados por ∂1≥ ∂2≥ ... ≥ ∂n.

Seu espectro distância (chamado também de D-espectro) é denotado porσD(G) e é

defi-nido de forma an´aloga aos casos anteriores.

Exemplo 2.3.3. A matriz distˆancia e seu espectro σDdo Exemplo 2.1.1 s˜ao:

D(G) =       0 1 1 2 3 1 0 1 2 3 1 1 0 1 2 2 2 1 0 1 3 3 2 1 0       ,

onde seu polinˆomio caracter´ıstico ´e pD(x) = −x5+ 35x3+ 88x2+ 74x + 20 e seu

espec-tro ´e

σD(G) = −4,26261 −1,17742 −1 −0,56858 7,00861₁ ₁ ₁ ₁ ₁

.

OBSERVAÇ ÃO2.3.6. Como o traço de D(G) é zero, existem autovalores positivos e

nega-tivos para qualquer grafo G n˜ao trivial.

(23)

Definição 2.3.7. A transmissão de um vértice v, denotada por Tr(v), é a soma das distâncias

de v para todos os outros v´ertices de G. Em outras palavras: Tr(v) =

∑

u∈V

d(u, v)

Denotaremos por Tr1(G) a maior transmiss˜ao do grafo G.

Agora veremos alguns resultados que serão necessários posteriormente. Primeiro ob-temos um resultado que relaciona os espectros da matriz distância e matriz de adjacência de um grafo r-regular de diamêtro 2. No outro resultado relacionamos∂1(G) com a

trans-miss˜ao m´axima Tr1(G).

Lema 2.3.2. Se G é um grafo conexo, r-regular e de diamêtro 2 com n vértices, então

(2n-r-2) ´e um autovalor de D(G) associado ao autovetor~1n∈ Rn.

Demonstração. Pela definição da matriz distância, temos que se G é um grafo de diamêtro

2 ent˜ao D_{(G) = 2J − A(G) − 2I.}

Como G é um grafo r-regular, temos pela Proposição 2.3.1 que A(G).~1 = r~1 Portanto, D_{(G).~1 = 2J.~1 − A(G).~1 − 2I.~1 = (2n − r − 2)~1.}

(24)

Cap´ıtulo 3

Matriz laplaciana sem sinal

Neste cap´ıtulo vamos estudar o Q-espectro de grafos na classe das aranhas. A partir desses resultados obteremos uma propriedade do tipo Nordhaus-Gaddum para grafos P4-esparsos.

Observe que podemos rotular os vértices de uma aranha qualquer de forma que a matriz laplaciana sem sinal (e distância) de (S[k, j, G]) seja escrita em blocos que expressem as seguintes relações:





corpo x corpo corpo x perna corpo x cabeça perna x corpo perna x perna perna x cabeça cabeça x corpo cabeça x perna cabeça x cabeça





OBSERVAÇ ÃO3.0.1. Toda vez que escrevermos qualquer matriz de uma aranha, ela estará nessa forma. Caso a aranha não tenha cabeça, removemos os blocos da última coluna e da última linha.

3.1 Q-Espectro de aranhas com cabec¸as especiais

Nesta seção estudamos o Q-espectro de aranhas magras e gordas considerando o sub-grafo induzido pela cabeça como Kj, Kje ainda a cabeça vazia.

As proposições 3.1.1, 3.1.2, 3.1.3 a seguir fornecem o Q-espectro das aranhas ma-gras para essas três cabeças. Nos três casos usamos as mesmas técnicas para obtenção do Q-espectro, o Teorema 2.2.3 (Partições Equilibradas). A parte mais trabalhosa das demonstrações refere-se à ordenação dos autovalores.

Proposição 3.1.1. Seja Sm[k], aranha magra sem cabeça (j=0) com k ≥ 2. Então seu

espectro laplaciano sem sinal est´a determinado da seguinte forma:

σ_Q(Sm[k]) =    k−√k2_−4(k−2) 2 k− √ k2_{− 2k + 2} k+ √ k2_−4(k−2) 2 k+ √ k2_{− 2k + 2} k_{− 1} 1 k_{− 1} 1   

Demonstração. Como o grau dos vértices do corpo é k, das pernas é 1, então a matriz

(25)

               k 1 . . . 1 _| 1 0 . . . 0 1 k . . . 1 _| 0 1 . . . 0 .. . ... . .. ... _| ... ... . .. ... 1 1 . . . k _| 0 0 . . . 1 −− −− −− −− −− −− −− −− 1 0 . . . 0 _| 1 0 . . . 0 0 1 . . . 0 _| 0 1 . . . 0 .. . ... . .. ... _| ... ... . .. ... 0 0 . . . 1 _| 0 0 . . . 1               

Esta matriz pode ser reescrita como uma matriz em blocos:

Q= (k − 1)I_I k+ Jk Ik

k Ik

,

Observe que todas as matrizes blocos que comp˜oem a matriz Q somam, em suas linhas, o mesmo valor para cada bloco. Assim consideremos a matriz Q′₂_x₂cujas entradas s˜ao tais somas:

Q′= 2k − 1 1

1 1

. Temos que o polinˆomio caracter´ıstico de Q′ ´e dado por

pQ′(x) = x2− 2kx + 2k − 2,

cujas raizes são k₋√k2_{− 2k + 2 e k +}√_k2_{− 2k + 2, que também são autovalores de Q}

pelo teorema 2.2.3.

Afirmac¸˜ao 01: Temos que k−

√

k2_−4k+8

2 e

k+√k2_−4k+8

2 s˜ao autovalores de Q com

multi-plicidade k-1.

Para não sobrecarregar a escrita faremos a substituição b= k2_{− 4k + 8.}

De fato, pela definição de aranha, seu corpo deve possuir ao menos dois vértices (ou seja, k_{≥ 2) então podemos tomar u ∈ R}k perpendicular a ~1k e considerar o vetor w =

u −k+2+√b 2 u em R2k. Logo Q.w = Q. u −k+2+√b 2 u = " (k − 1)u + (−k+2+2 √b)u u+ (−k+2+₂ √b)u # = = " k+√b 2 u −k+4+√b 2 u # =k+ √ b 2 u −k+2+√b 2 u =k+ √ b 2 .w Portanto k+ √ b 2 = k+ √ k2−4k+8

2 ´e autovalor do grafo com multiplicidade ao menos k− 1

(pois existem k_{− 1 vetores linearmente independentes do R}k perpendiculares a~1k).

Com procedimento semelhante podemos concluir que k−₂√b = k−

√

k2−4k+8

2 ´e autovalor

com multiplicidade ao menos k_{− 1, referente ao autovetor w =}

_u

−k+2−√b_u

(26)

Além disso, como já temos dois autovalores de Q com multiplicidade ao menos k_{− 1,} outros dois com multiplicidade ao menos 1 e a soma das multiplicidades tem que ser 2k, então só podem valer as igualdades. Assim o Q-espectro está determinado, vamos agora ordenar os Q-autovalores.

Afirmac¸˜ao 02: Temos para todo k_{≥ 2 que:} k−

√

k2−4k+8

2 < k −

√

k2_{− 2k + 2.}

De fato, isso vale se, e somente se: ₋√k2_{− 4k + 8 < k − 2}√k2_{− 2k + 2}

⇔ 2√k2_{− 2k + 2 < k +}√k2_{− 4k + 8} ⇔(elevando ao quadrado) 4k2− 8k + 8 < 2k2− 4k + 8 + 2k√k2_{− 4k + 8} ⇔ 2k2< 4k + 2k√k2_{− 4k + 8} ⇔ 2k − 4 < 2√k2_{− 4k + 8} ⇔(elevando ao quadrado) 4k2− 16k + 16 < 4k2− 16k + 32 ⇔ 16 < 32

Afirmac¸˜ao 03: Temos para todo k_{≥ 2 que k −}√k2_{− 2k + 2 <} k+√k2_−4k+8

2 .

De fato, isso vale se, e somente se: k_{− 2}√k2_{− 2k + 2 <}√k2_{− 4k + 8}

⇔ k < 2√k2_{− 2k + 2 +}√_k2_{− 4k + 8}

⇔ (elevando ao quadrado) 0 < 4k2− 12k + 16 + 4p(k2_{− 2k + 2)(k}2_{− 4k + 8),}

O que sempre vale para k_{≥ 2.}

Da´ı, e como temos que k+√k2_{− 2k + 2 é o maior autovalor de Q pela proposição 2.2.1,}

concluimos a demonstrac¸˜ao.

Proposição 3.1.2. Consideremos Sm[k, j, Kj] com k ≥ 2 e j ≥ 1. Então seu espectro

lapla-ciano sem sinal est´a determinado da seguinte forma:

σQ(Sm[k, j, Kj]) =    ϕ3 k+ j− √ (k+ j)2_{−4(k+ j−2)} 2 ϕ2 k k+ j+√(k+ j)2_{−4(k+ j−2)} 2 ϕ1 1 k_{− 1} 1 j_{− 1} k_{− 1} 1    no caso de k_{≤ j;} σQ(Sm[k, j, Kj]) =    k+ j−√(k+ j)2_{−4(k+ j−2)} 2 ϕ3 ϕ2 k k+ j+√(k+ j)2_{−4(k+ j−2)} 2 ϕ1 k_{− 1} 1 1 j_{− 1} k_{− 1} 1    no caso de k> j.

Onde, nos dois casos,ϕ3≤ ϕ2≤ ϕ1s˜ao as ra´ızes do polinˆomio:

pQ′(x) = −x3+ (3k + j)x2+ (−2k2− 2k − j + 2)x + 2k2− 2k.

Demonstração. Como o grau dos vértices do corpo é k+ j, das pernas é 1 e da cabeça é

k, ent˜ao a matriz laplaciana sem sinal Q(Sm[k, j, Kj]), que vamos denotar somente por Q, ´e

(27)

                          k+ j 1 . . . 1 _| 1 0 . . . 0 _| 1 1 . . . 1 1 k+ j . . . 1 _| 0 1 . . . 0 _| 1 1 . . . 1 .. . ... . .. ... _| ... ... . .. ... _| ... ... . .. ... 1 1 . . . k+ j _| 0 0 . . . 1 _| 1 1 . . . 1 −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− 1 0 . . . 0 _| 1 0 . . . 0 _| 0 0 . . . 0 0 1 . . . 0 _| 0 1 . . . 0 _| 0 0 . . . 0 .. . ... . .. ... _| ... ... . .. ... _| ... ... . .. ... 0 0 . . . 1 _| 0 0 . . . 1 _| 0 0 . . . 0 −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− 1 1 . . . 1 _| 0 0 . . . 0 _| k 0 . . . 0 1 1 . . . 1 _| 0 0 . . . 0 _| 0 k . . . 0 .. . ... . .. ... _| ... ... . .. ... _| ... ... . .. ... 1 1 . . . 1 _| 0 0 . . . 0 _| 0 0 . . . k                          

Q=   (k + j − 1)Ik+ Jk Ik Jk, j I_k I_k Θ_k_{, j} J_j_,k _Θ_j_,k _kI_j  ,

Observe que todas as matrizes blocos que comp˜oem a matriz Q somam, em suas linhas, o mesmo valor para cada bloco. Assim consideremos a matriz Q′₃_x₃cujas entradas s˜ao tais somas: Q′=   2k_{+ j − 1 1 j} 1 1 0 k 0 k  .

Então, pelo Teorema 2.2.3, garantimos que os autovalores de Q′ também são autovalores da matriz Q. Denotamos porϕ₃_{≤ ϕ}₂_{≤ ϕ}₁ os três autovalores distintos de Q′, que são as raizes do polinômio caracter´ıstico p_Q′, dado por:

p_Q′(x) = −x3+ (3k + j)x2+ (−2k2− 2k − j + 2)x + 2k2− 2k

Embora não seja poss´ıvel explicitar os valores deϕ3, ϕ2,ϕ1em função de k e j, vamos

achar os outros autovalores explicitamente e orden´a-los, estudando os sinais de p_Q′.

Afirmação 01: Se j_{≥ 2, então k é um autovalor de Q com multiplicidade ao menos j-1.} De fato, se j _{≥ 2 então podemos tomar u ∈ R}j _{ortogonal a ~1}

j e construir o vetor v=   ~0k ~0k u 

∈ R2k+ j. Observe que Q.v = k.v, da´ı temos que k ´e autovalor da matriz Q

correspondente ao autovetor v_{∈ R}2k+ j. Como existem j_{− 1 vetores linearmente} indepen-dentes do Rj _{perpendiculares a ~1}

j, ent˜ao k ´e autovalor de Q com multiplicidade ao menos

j_{− 1. Se a cabeça só tiver um vértice ( j = 1) o vetor u não existe e consequentemente k}

(28)

Afirmação 02: k+ j− √ (k+ j)2_{−4(k+ j−2)} 2 e k+ j+√(k+ j)2_{−4(k+ j−2)} 2 são autovalores de Q

com multiplcidade ao menos k-1.

De fato, pela definição de aranha, seu corpo deve possuir ao menos dois vértices (ou seja, k _{≥ 2) então podemos tomar u ∈ R}k _{perpendicular à ~1 e considerar o vetor w} ₌

   u −(k+ j−2)−√(k+ j)2_{−4(k+ j−2)} 2 u ~0j   em R 2k+ j_.

Para não sobrecarregar a escrita faremos as substituições a_{= k + j − 2 e b = (k + j)}2₋ 4_{(k + j − 2).} Q.w = Q.   u −(a+ √ b 2 )u ~0j  =    (k + j + 1)u − (a+2√b)u +~0k u_{− (}a+₂√b)u +~0k ~0j   = =    a+2−√b 2 u −a+2−√b 2 u ~0j   = a_{+ 2 −}√b 2   u −(a+2√b)u ~0j  = a_{+ 2 −}√b 2 .w Portanto a+2− √ b 2 = k+ j−√(k+ j)2_{−4(k+ j−2)}

2 ´e autovalor do grafo com multiplicidade ao

me-nos k_{− 1.}

Com procedimento semelhante podemos concluir que a+2+

√

b

2 =

k+ j+√(k+ j)2_{−4(k+ j−2)}

2

é autovalor com multiplicidade ao menos k_{− 1, referente ao autovetor w =}   u −a+√b 2 u ~0j  ∈ R2k+ j_. Afirmação 03: m k+ j−√(k+ j)2_{−4(k+ j−2)} 2 = m k+ j+√(k+ j)2_{−4(k+ j−2)} 2 = k−1 e m(k) = j_{− 1}

Considerando as multiplicidades m´ınimas para os autovalores apresentados nas afirmações (1) e (2), além dos três autovalores obtidos incialmente, obtemos todos os 2k+ j autovalo-res procurados (basta notar que 2_{(k − 1) + ( j − 1) + 3 = 2k + j).}

Passaremos agora a ordernação dos autovalores de Q. Afirmação 04:Temosk+ j− √ (k+ j)2_{−4(k+ j−2)} 2 < k < k+ j+√(k+ j)2_{−4(k+ j−2)} 2 < ϕ1para to-dos k_{≥ 2, j ≥ 1.}

A desiguldade da direita vem direto da proposição 2.2.1, que garante queϕ1 é o maior

autovalor de Q. Al´em disto, • k <k+ j+

√

(k+ j)2_{−4(k+ j−2)}

(29)

O que ´e verdade, pois: −k + j +p(k + j)2_{− 4(k + j − 2) = −k + j +}_{p(k + j)}2_{− 4(k + j) + 8 > −k + j +} p(k + j)2_{− 4(k + j) + 4 = −k + j +}_{p[(k + j) − 2]}2_{= −k + j + k + j − 2 = 2 j − 2 ≥ 0,} para todo j_{≥ 1.} • k+ j− √_{(k+ j)}₂ −4(k+ j−2) 2 < k ⇔ 0 < k − j +p(k + j)2− 4(k + j − 2)

O que ´e verdade, pois:

k_{− j+}p(k + j)2− 4(k + j − 2) > k− j+p[(k + j) − 2]2_{= 2k−2 > 0, para todo k ≥ 2.}

Vamos agora ordenar os outros autovalores no caso k_{≤ j.}

Afirmac¸˜ao 05: Existe pelo menos uma raiz de pQ′entre os autovalores

k+ j−√(k+ j)2_{−4(k+ j−2)}

2

e k.

De fato, para isso basta mostrar que pQ′

k_{+ j−}√(k+ j)2_{−4(k+ j−2)} 2 e pQ′(k) tem sinais distintos.

Com uma conta simples, vemos que

p_Q′(k) = k3− k2> 0

Por outro lado,

pQ′ k_{+ j −}p(k + j)2_{− 4(k + j − 2)} 2 ! = p(k + j)2_{− 4(k + j − 2)} 2 (−2k j + k) + k 2_j −k 2 2 + k j 2 −5k j₂ + 2k Logo, pQ′ k_{+ j −}p(k + j)2_{− 4(k + j − 2)} 2 ! < 0 se, e somente se,

k2j₋k 2 2 + k j 2 −5k j₂ + 2k <p(k + j) 2_{− 4(k + j − 2)} 2 (−2k j + k)

Elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos que a desigualdade acima vale se, e somente se,

0_{< −2k j + k + 2 j}2_{+ j − 2 = 2 j( j − k) + j + k − 2}

O que é verdade, pois k_{≤ j e k ≥ 2. Logo, vale a desigualdade e, consequentemente, a} afirmação.

Afirmac¸˜ao 06: Para k_{≤ j, vale que: ϕ}3<

k_{+ j−}√(k+ j)2_{−4(k+ j−2)}

2 < ϕ2< k.

(30)

Temos que p_Q′(0) = 2k2− 2k > 0 ,pois k ≥ 2. Como p_Q′ k_{+ j−}√(k+ j)2_{−4(k+ j−2)} 2

< 0, temos que existe uma raiz entre esses dois valores. Pela afirmac¸˜ao 05, existe outra raiz entre k+ j−

√

(k+ j)2_{−4(k+ j−2)}

2 e k. Disto e das afirmac¸˜oes

(4) e (5), essas raizes s´o podem serϕ3eϕ2, respectivamente, e temos o espectro totalmente

ordenado para o caso k_{≤ j.}

Agora vamos ordenar os autovalores obtidos no caso k> j. Afirmação 07: p_Q′ k+ j−√(k+ j)2_{−4(k+ j−2)} 2 > 0 para k > j Temos pelas mesmas contas da afirmação (5) que:

pQ′ k+ j−√(k+ j)2_{−4(k+ j−2)} 2 > 0 ⇔ 0 < 2k j − k − 2 j2− j + 2

Definimos f_{(k) = 2k j − k − 2 j}2_{− j + 2. Então, f}′_{(k) = 2 j − 1 > 0 para todo j ≥ 1.} Logo f é crescente em relação à variável k. Como k> j é um número inteiro, então o menor valor para k é k= j +1. Portanto basta mostrarmos que f ( j +1) > 0 para mostrarmos que f(k) > 0 para todo k > j. E de fato:

f_{( j + 1) = 2 j( j + 1) − j − 1 − 2 j}2_{− j + 2 = 2 j}2_{+ 2 j − 2 j}2_{− 2 j + 1 = 1 > 0}

Afirmac¸˜ao 08: Para k> j vale que: k+ j− √

(k+ j)2_{−4(k+ j−2)}

2 < ϕ3< ϕ2< k, valendo

as-sim a proposic¸˜ao.

Notemos primeiro que k+ j− √

(k+ j)2_{−4(k+ j−2)}

2 < 1

Al´em disso, como pQ′(0) > 0, pQ′(1) < 0 e pQ′(k) > 0 temos que:

0< ϕ3< 1 < ϕ2< k

Da´ı e pelas afirmações 04 e 07, só podemos ter 0< k+ j −p(k + j)2− 4(k + j − 2)

2 < ϕ3< 1 < ϕ2< k

Conclu´ımos assim a ordenação para o caso k> j e, consequentemente, a proposição.

OBSERVAÇ ÃO3.1.1. Para mostrar a afirmação 02 na Proposição 3.1.2 acima, não usamos

em nenhum momento o bloco cabeça x cabeça da matriz Q. Logo essa afirmação vale para QUALQUER aranha magra, independente da cabeça (pois todos os blocos menos o bloco cabeça x cabeça são iguais em qualquer aranha magra).

(31)

Proposição 3.1.3. Seja Sm[k, j, Kj], com k ≥ 2 e j ≥ 1. Então seu espectro laplaciano sem

sinal est´a determinado da seguinte forma:

σQ(Sm[k, j, Kj]) =    k_{+ j−}√(k+ j)2_{−4(k+ j−2)} 2 ϕ3 k+ j − 2 ϕ2 k+ j+√(k+ j)2_{−4(k+ j−2)} 2 ϕ1 k_{− 1} 1 j_{− 1} 1 k_{− 1} 1   

Ondeϕ3≤ ϕ2≤ ϕ1s˜ao as ra´ızes do polinˆomio:

pQ′(x) = −x3+ (3k + 3 j − 2)x2+ (−2k2− 4k j + 2k − 2 j2+ j + 2)x + 2k2+ 4k j − 6k + 2 j2− 6 j + 4 .

Demonstração. Como o grau dos vértices do corpo é k+ j, das pernas é 1 e da cabeça é

k_{+ j − 1, ent˜ao a matriz laplaciana sem sinal Q(S}m[k, j, Kj]), que vamos denotar somente

por Q, pode ser escrita em bloco, como abaixo.

Q=   (k + j − 1)Ik+ Jk Ik Jk, j I_k I_k _Θ_k_{, j} J_j_,k _Θ_j_,k _{(k + j − 2)I}_j_{+ J}_j  ,

Como as matrizes blocos que comp˜oem a matriz Q somam, em suas linhas, o mesmo valor para cada bloco. Consideremos, como anteriormente, a matriz Q′₃_x₃ cujas entradas s˜ao tais somas:

Q′=   2k_{+ j − 1 1} j 1 1 0 k 0 k_{+ 2 j − 2}  .

Então, pelo Teorema 2.2.3, garantimos que os autovaloresϕ3≤ ϕ2≤ ϕ1de Q′também são

autovalores da matriz Q. Esses s˜ao as raizes do polinˆomio caracter´ıstico de Q′, dado por: pQ′(x) = −x3+ (3k + 3 j − 2)x2+ (−2k2− 4k j + 2k − 2 j2+ j + 2)x + 2k2+ 4k j − 6k + 2 j2− 6 j + 4

Afirmação 01: Se j_{≥ 2, então k + j − 2 é um autovalor de Q com multiplicidade ao} menos j-1.

De fato, se j _{≥ 2 ent˜ao podemos tomar u ∈ R}j _{ortogonal a ~1}

j (logo u.Jjxj = 0) e construir o vetor v=   ~0k ~0k u  ∈ R2k+ j. Observe que Q.v =   ~0k ~0k u_{.[(k + j − 2)I + J]}jxj  = (k + j − 2).v,

da´ı temos que k_{+ j − 2 é autovalor da matriz Q correspondente ao autovetor v ∈ R}2k+ j. Afirmação 02: k+ j− √ (k+ j)2_{−4(k+ j−2)} 2 e k+ j+√(k+ j)2_{−4(k+ j−2)} 2 são autovalores de Q

(32)

Já vimos que isso vale para toda aranha magra (Observação 3.1.1). Afirmação 03: m k_{+ j−}√(k+ j)2_{−4(k+ j−2)} 2 = m k+ j+√(k+ j)2_{−4(k+ j−2)} 2 = k−1 e m(k+ j_{− 2) = j − 1}

A demonstração é igual a da afirmação 03 anterior. Afirmação 04:Temos k+ j− √ (k+ j)2_{−4(k+ j−2)} 2 < k + j − 2 < k+ j+√(k+ j)2_{−4(k+ j−2)} 2 < ϕ1 para todos k_{≥ 2, j ≥ 1.}

• A desiguldade da direita vem direto da proposic¸˜ao 2.2.1. • k + j − 2 < k+ j+

√

(k+ j)2_{−4(k+ j−2)}

2 ⇔ 0 < −k − j + 4 +p(k + j)2− 4(k + j − 2)

−k − j + 4 +p(k + j)2_{− 4(k + j − 2) > −k − j + 4 +}_{p[(k + j) − 2]}2_{= 2 > 0}

• k+ j− √

(k+ j)2_{−4(k+ j−2)}

2 < k + j − 2 ⇔ 0 < k + j − 4 +p(k + j)2− 4(k + j − 2)

k_{+ j − 4 +}p(k + j)2_{− 4(k + j − 2) > k + j − 4 +}p[(k + j) − 2]2_{= 2k + 2 j − 6 ≥ 0}

para todos k_{≥ 2, j ≥ 1.}

Afirmac¸˜ao 05: Existe pelo menos uma raiz de pQ′entre os autovalores k+ j−

√

(k+ j)2_{−4(k+ j−2)}

2

e k_{+ j − 2.}

Com uma conta relativamente simples, vemos que

p_Q′(k + j − 2) = −k j − j2+ 2 j < 0

Por outro lado, temos que

pQ′ k+ j −p(k + j) 2_{− 4(k + j − 2)} 2 ! =p(k + j) 2_{− 4(k + j − 2)} 2 .(−k) + k2 2 + k j 2 Logo p_Q′ k+ j −p(k + j) 2_{− 4(k + j − 2)} 2 ! > 0 se, e somente se,

k 2+ j 2 > p(k + j)2_{− 4(k + j − 2)} 2

Multiplicando por 2 e elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos que a desigual-dade acima vale se, e somente se,

(k + j)2> (k + j)2_{− 4(k + j − 2) ⇔ 4(k + j − 2) > 0,} o que ´e sempre verdade.

(33)

Afirmac¸˜ao 06: Existe pelo menos uma raiz de pQ′ entre os autovalores k+ j − 2 e k+ j+√(k+ j)2_{−4(k+ j−2)}

2 .

J´a vimos que

pQ′(k + j − 2) < 0

J´a por um c´alculo maior, achamos que

pQ′ k+ j +p(k + j) 2_{− 4(k + j − 2)} 2 ! = p(k + j) 2_{− 4(k + j − 2)} 2 (k) + k2 2 + k j 2 , que s´o tem termos positivos, logo ´e sempre maior do que zero.

Como pQ′ só tem 3 autovalores distintos eϕ1 é o maior autovalor de Q, então só

pode-mos terϕ3como o autovalor da afirmação 05 eϕ2o autovalor da afirmação 06.

Apresentamos agora as três proposições para aranhas gordas, análogas às anteriores. OBSERVAÇ ÃO 3.1.2. Note que para k= 2 (e qualquer grafo G) temos que Sm[k, j, G] =

Sg[k, j, G]. Logo, sem perda de generalidade, vamos considerar k ≥ 3 para aranhas gordas.

Proposição 3.1.4. Seja Sg[k], aranha gorda sem cabeça (j=0) e com k ≥ 3. Então seu

espectro laplaciano sem sinal est´a determinado da seguinte forma:

σQ(Sg[k]) =    (2 −√2_{)(k − 1)} 3k−4− √ k2_−4(k−2) 2 3k−4−√k2_−4(k−2) 2 (2 + √ 2_{)(k − 1)} 1 k_{− 1} k_{− 1} 1   

Demonstração. Como o grau dos vértices do corpo é k, das pernas é 1 , então a matriz

laplaciana sem sinal Q(Sm[k]), que vamos denotar somente por Q, ´e dada por:

               2k_{− 2} 1 . . . 1 _| 0 1 . . . 1 1 2k_{− 2 ...} 1 _| 1 0 . . . 1 .. . ... . .. ... _| ... ... . .. ... 1 1 . . . 2k_{− 2} _| 1 1 . . . 0 −− −− −− −− −− −− −− −− 0 1 . . . 1 _| k_{− 1} 0 . . . 0 1 0 . . . 1 _| 0 k_{− 1 ...} 0 .. . ... . .. ... _| ... ... . .. ... 1 1 . . . 0 _| 0 0 . . . k_{− 1}               

Q= (2k − 3)I_J k+ Jk Jk− Ik

k− Ik (k − 1)Ik

,

(34)

Observe que todas as matrizes blocos que comp˜oem a matriz Q somam, em suas linhas, o mesmo valor para cada bloco. Assim consideremos a matriz Q′₂_x₂cujas entradas s˜ao tais somas:

Q′= 3k − 3 k − 1

k_{− 1 k − 1}

. Temos que o polinˆomio caracter´ıstico de Q′ ´e dado por

pQ′(x) = x2+ (−4k + 4)x + 2k2− 4k + 2

cujas raizes são_{(2 −}√2_{)(k − 1) e (2 +}√2_{)(k − 1), que também são autovalores de Q} pelo Teorema 2.2.3.

Afirmac¸˜ao 01: Temos que 3k−4−

√

k2_−4k+8

2 e

3k−4+√k2_−4k+8

2 s˜ao autovalores de Q com

multiplicidade k-1.

Para não sobrecarregar a escrita faremos a substituição b= k2_{− 4k + 8.}

De fato, pela definição de aranha, seu corpo deve possuir ao menos dois vértices (ou seja, k _{≥ 2) então podemos tomar u ∈ R}k perpendicular à ~1 e considerar o vetor w =

_u k−2−√b 2 u em R2k. Logo Q.w = Q. u k−2−√b 2 u = " (2k − 3)u − (k−2−2√b)u −u + (k − 1)(k−2−2√b)u # = = " 3k−4+√b 2 u k2−3k−(k−1)√b 2 u # =3k− 4 + √ b 2 _u k−2−√b 2 u = 3k− 4 + √ b 2 .w Portanto 3k−4+₂ √b = 3k−4+ √ k2_−4k+8

2 ´e autovalor do grafo com multiplicidade ao menos

k_{− 1.}

Com procedimento semelhante podemos concluir que 3k−4−₂ √b = 3k−4−√₂k2−4k+8 ´e au-tovalor com multiplicidade ao menos k_{−1, referente ao autovetor w =}

u k−2+√b 2 u ∈ R2k. Afirmac¸˜ao 02: Temos para todo k_{≥ 3 que (2 −}√2_{)(k − 1) <} 3k−4−

√

k2−4(k−2)

2

De fato, isso vale se, e somente se_{(4 − 2}√2_{)(k − 1) < 3k − 4 −}pk2_{− 4(k − 2)}

⇔pk2_{− 4(k − 2) < (2}√2_{− 1)k − 2}√2

⇔(elevando ao quadrado) 0 < (8 − 4√2)k2+ (4√2_{− 12)k}

Como as ra´ızes do polinˆomio f_{(k) = (8 − 4}√2)k2_{+ (4}√₂_{− 12)k s˜ao 0 e} 3−√2

2−√2, vemos

que f_{(k) > 0 para k ≥ 3 >}3−√2

2−√2.

Valendo assim a afirmação 02 e consequentemente a proposição.

Proposição 3.1.5. Seja Sg[k, j, Kj] com k ≥ 3 e j ≥ 1. Então seu espectro laplaciano sem

(35)

σQ(Sg[k, j, Kj]) =    ϕ3 3k_{+ j−4−}√(k+ j)2_{−4(k+ j−2)} 2 ϕ2 k 3k_{+ j−4+}√(k+ j)2_{−4(k+ j−2)} 2 ϕ1 1 k_{− 1} 1 j_{− 1} k_{− 1} 1   

pQ′(x) = −x3+ (5k + j − 4)x2+ (−6k2− k j + 8k + j − 2)x + 2k3− 4k2+ 2k. Demonstração. Como o grau dos vértices do corpo é 2k_{+ j − 2, das pernas é k − 1 e da}

cabeça é k, então a matriz laplaciana sem sinal Q(Sg[k, j, Kj]), que vamos denotar somente

por Q, ´e dada por:

                           2k+ j − 2 1 . . . 1 | 0 1 . . . 1 | 1 1 . . . 1 1 2k_{+ j − 2 ...} 1 _| 1 0 . . . 1 _| 1 1 . . . 1 .. . ... . .. ... _| ... ... . .. ... _| ... ... . .. ... 1 1 . . . 2k_{+ j − 2} _| 1 1 . . . 0 _| 1 1 . . . 1 −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− 0 1 . . . 1 | k− 1 0 . . . 0 | 0 0 . . . 0 1 0 . . . 1 _| 0 k_{− 1} . . . 0 _| 0 0 . . . 0 .. . ... . .. ... _| ... ... . .. ... _| ... ... . .. ... 1 1 . . . 0 _| 0 0 . . . k_{− 1} _| 0 0 . . . 0 −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− −− 1 1 . . . 1 | 0 0 . . . 0 | k 0 . . . 0 1 1 . . . 1 _| 0 0 . . . 0 _| 0 k . . . 0 .. . ... . .. ... | ... ... . .. ... | ... ... . .. ... 1 1 . . . 1 _| 0 0 . . . 0 _| 0 0 . . . k                           

Q=   (2k + j − 3)Ik+ Jk Jk− Ik Jk, j J_k_{− I}_k _{(k − 1)I}_k _Θ_k_{, j} J_j_,k _Θ_j_,k _kI_j  ,

Novamente consideremos a matriz 3x3 onde cada entrada é o valor da soma da linha de cada bloco, onde pelo Teorema 2.2.3 temos que os autovalores dessa matriz também serão autovalores de Q. Q′=   3k_{+ j − 3 k − 1 j} k_{− 1} k_{− 1 0} k 0 k  .

Denotaremos porϕ₃_{≤ ϕ}₂_{≤ ϕ}₁os 3 autovalores de Q’, que s˜ao as raizes do polinˆomio caracter´ıstico de Q’ dado por:

p_Q_{(x) = −x}3_{+ (5k + j − 4)x}2_{+ (−6k}2_{− k j + 8k + j − 2)x + 2k}3_{− 4k}2+ 2k

(36)

A demonstração é a mesma da proposição 3.1.2, tendo em conta que o bloco cabeça x cabeça é o único usado na prova.

Afirmação 02: 3k+ j−4− √ (k+ j)2_{−4(k+ j−2)} 2 e 3k+ j−4+√(k+ j)2_{−4(k+ j−2)} 2 são autovalores

de Q com multiplcidade ao menos k-1.

De fato, pela definição de aranha, seu corpo deve possuir ao menos dois vértices (ou seja, k _{≥ 2) então podemos tomar u ∈ R}k _{perpendicular à ~1 e considerar o vetor w} ₌

   u (k+ j−2)+√(k+ j)2_{−4(k+ j−2)} 2 u ~0j   em R 2k+ j_.

Para não sobrecarregar a escrita faremos as substituições a_{= k + j − 2, b = (k + j)}2₋ 4_{(k + j − 2).} Q.w = Q.   u a+√b 2 u ~0j  =    (2k + j − 3)u − (a+ √ b 2 )u +~0k −u + (k − 1)(a+ √ b 2 )u +~0k ~0j   = =    3k+ j−4−√b 2 u k2+k j−3k− j+(k−1)√b 2 u ~0j   = 3k_{+ j − 4 −}√b 2   u a+√b 2 u ~0j  = 3k_{+ j − 4 −}√b 2 .w Portanto 3k+ j−4− √ b 2 = 3k+ j−4−√(k+ j)2_{−4(k+ j−2)}

2 ´e autovalor do grafo com multiplicidade

ao menos k_{− 1.}

Com procedimento semelhante podemos concluir que3k+ j−4+

√

b

2 =

3k+ j−4+√(k+ j)2_{−4(k+ j−2)}

2

é autovalor com multiplicidade ao menos k_{− 1, do autovetor w =}   u a−√b 2 u ~0j  ∈ R2k+ j. Afirmação 03: m 3k+ j−4−√(k+ j)2_{−4(k+ j−2)} 2 = m 3k+ j−4+√(k+ j)2_{−4(k+ j−2)} 2 = k − 1 e m_{(k) = j − 1}

Prova igual aos casos anteriores. Afirmac¸˜ao 04:Temos 3k+ j−4− √ (k+ j)2_{−4(k+ j−2)} 2 < k < 3k+ j−4+√(k+ j)2_{−4(k+ j−2)} 2 < ϕ1 para todos k_{≥ 3, j ≥ 1.} De fato: 3k_{+ j − 4 −}p(k + j)2_{− 4(k + j − 2)} 2 < k ⇔ 0_{< −k − j + 4 +} q (k + j)2_{− 4(k + j) + 8)}

e isso vale, pois:

(37)

J´a a desigualdade do meio vale_⇔ 0_{< k + j − 4 +}

q

(k + j)2_{− 4(k + j) + 8)}

o que ´e verdade pelo mesmo argumento usado acima.

Já a desigualdade da direita é verdade pela proposição 2.2.1.

Afirmac¸˜ao 05: Existe pelo menos uma raiz de pQ′ entre os autovalores k e

3k+ j−4−√(k+ j)2_{−4(k+ j−2)}

2 , para k≥ 3 e j ≥ 1.

• Sem dificuldade pode-se confirmar que pQ′(k) = k j, logo temos que pQ′(k) > 0 para k_{≥ 3, j ≥ 1}

• Com maior dificuldade, confirmamos que

pQ′ 3k+ j−4−√(k+ j)2_{−4(k+ j−2)} 2 = √ (k+ j)2_{−4(k+ j)+8)} 2 (−2k2− 2k j + 5k) + k3+ 2k2j− 11 2k2+ k j2−92k j+ 8k

Vamos mostrar que pQ′

3k+ j−4−√(k+ j)2_{−4(k+ j−2)}

2

< 0 para k ≥ 3 e j ≥ 1. Multiplicando a desigualdade acima por 2_k, obtemos:

(i)p(k + j)2_{− 4(k + j) + 8)(−2k − 2 j + 5) + 2k}2_{+ 4k j − 11k + 2 j}2_{− 9 j + 16 < 0}

⇔p(k + j)2_{− 4(k + j) + 8)(2k + 2 j − 5) − 2k}2_{− 4k j + 11k − 2 j}2_{+ 9 j − 16 > 0}

O que de fato ocorre:

p(k + j)2_{− 4(k + j) + 8)(+2k + 2 j − 5) − 2k}2_{− 4k j + 11k − 2 j}2_{+ 9 j − 16 >}

p[(k + j) − 2]2_{(2k +2 j −5)−2k}2_{−4k j +11k −2 j}2_{+9 j −16 = (k + j −2)(2k +2 j −5)−}

2k2_{−4k j +11k −2 j}2_{+ 9 j −16 = (2k}2_{+ 2k j −4k +2k j +2 j}2_{−4 j −5k −5 j +10)−2k}2₋ 4k j_{+ 11k − 2 j}2_{+ 9 j − 16 = 2k − 6 ≥ 0, para k ≥ 3 e j ≥ 1.}

Afirmação 06: A raiz da afirmação 05 éϕ2. Isto é: 3k+ j−4−

√

(k+ j)2_{−4(k+ j−2)}

2 < ϕ2< k.

De fato, pela afirmac¸˜ao 05 e como

pQ′(0) = k(2k2− 4k + 2) > 0 e p_Q′ 3k+ j − 4 −p(k + j) 2_{− 4(k + j − 2)} 2 ! < 0 Temos que ter tamb´em uma raiz de pQ′ entre esses dois valores.

Logo, s´o podemos terϕ₃entre 0 e 3k+ j−4− √

(k+ j)2_{−4(k+ j−2)}

(38)

e s´o podemos terϕ₂entre 3k+ j−4− √

(k+ j)2_{−4(k+ j−2)}

2 e k

Logo pelas afirmac¸˜oes 04,05 e 06 temos que:

ϕ3<3k+ j − 4 −

p(k + j)2_{− 4(k + j − 2)}

2 < ϕ2< k <

3k+ j − 4 +p(k + j)2_{− 4(k + j − 2)}

2 < ϕ1

valendo assim a proposic¸˜ao.

OBSERVAÇ ÃO3.1.3. Para mostrar a afirmação 02 na proposição 3.1.5 acima, não usamos em nenhum momento o bloco cabeça x cabeça da matriz Q. Logo essa afirmação vale para QUALQUER aranha gorda, independente da cabeça (pois todos os blocos menos o bloco cabeça x cabeça são iguais em qualquer aranha gorda).

Proposição 3.1.6. Seja Sg[k, j, Kj] com k ≥ 3 e j ≥ 1. Então seu espectro laplaciano sem

sinal est´a determinado da seguinte forma:

σQ(Sg[k, j, Kj]) =    ϕ3 3k_{+ j−4−}√(k+ j)2_{−4(k+ j−2)} 2 k+ j − 2 ϕ2 3k_{+ j−4+}√(k+ j)2_{−4(k+ j−2)} 2 ϕ1 1 k_{− 1} j_{− 1} 1 k_{− 1} 1   

pQ′(x) = −x3+ (5k + 3 j − 6)x2+ (−6k2− 9k j + 16k − 2 j2+ 11 j − 10)x

+2k3+ 4k2j_{− 8k}2+ 2k j2_{− 10k j + 10k − 2 j}2_{+ 6 j − 4.}

Demonstração. Como o grau dos vértices do corpo é 2k_{+ j − 2, das pernas é k − 1 e da}

cabeça é k_{+ j − 1, então a matriz laplaciana sem sinal Q(S}g[k, j, Kj]), que vamos denotar

somente por Q, pode ser escrita em bloco como abaixo.

Q=   (2k + j − 3)Ik+ Jk Jk− Ik Jk, j J_k_{− I}_k _{(k − 1)I}_k _Θ_k_{, j} J_j_,k Θ_j_,k _{(k + j − 2)I}j+ Jj  .

Novamente consideremos a matriz 3x3 onde cada entrada é o valor da soma da linha de cada bloco, onde pelo Teorema 2.2.3 temos que os autovalores dessa matriz também serão autovalores de Q. Q′=   3k_{+ j − 3 k − 1} j k_{− 1} k_{− 1} 0 k 0 k_{+ 2 j − 2}  .

Denotaremos porϕ₃_{≤ ϕ}₂_{≤ ϕ}₁os 3 autovalores de Q’, que s˜ao as raizes do polinˆomio caracter´ıstico de Q’ dado por:

p_Q′(x) = −x3+ (5k + 3 j − 6)x2+ (−6k2− 9k j + 16k − 2 j2+ 11 j − 10)x