Resultados para a in´ercia da matriz D - Q-espectro e D-espectro dos grafos aranha

Nessa seção, examinaremos conjecturas que estudam a relação da inércia da matriz D com outros invariantes de um grafo.

Definição 5.3.1. Seja M_{∈ M}n diagonalizável. Definimos por p0(M) a multiplicade de 0

como autovalor de M , p₋(M) denota o n´umero de autovalores negativos (n˜ao necessaria-

mente distintos) de M e p+(M) denota o n´umero de autovalores positivos (n˜ao necessaria-

mente distintos) de M.

Definição 5.3.2. Seja M_{∈ M}ndiagonalizável. Chama-se de inércia de M ao terno

inercia(M) = (p+(M), p−(M), p0(M))

Vamos agora ver os resultados.

CONJECTURA 5.3.1. [10] Seja G_{= G(V, E) um grafo conexo com n ≥ 2 v´ertices. Ent˜ao}

p+(D(G)) ≤ ∑v∈VT p(v), onde p+(D(G)) denota a quantidade de autovalores positivos da

Essa conjectura é falsa em geral. Na classe das aranhas o resultado é verdadeiro, con- forme a proposição abaixo.

Proposic¸˜ao 5.3.1. Para qualquer aranha S= S[k, j, G] temos que p+(D(S)) ≤ ∑v∈VT p(v).

Demonstração. Pelo corolário 4.2.1 tempos que p+(D(S)) ≤ j + 2.

Agora, seja S= Smuma aranha magra qualquer.

Dado um v´ertice v no corpo de Sm, temos que

T p(v) = d(v)

2k_{+ j − d(v)} =

k+ j

Como existem k v´ertices no corpo de Smtemos que:

k. k + j k = k + j ≤

∑

v∈V T p(v) Donde pelo corol´ario 4.2.1

p+(D) ≤ j + 2 ≤ k + j ≤

∑

v∈V

T p(v)

Agora seja S= Sguma aranha gorda e seja v um v´ertice no seu corpo. Como

T p(v) = d(v) n_{− d(v)} = 2k_{+ j − 2} 2 ≥ k+ j k , ent˜ao p+(D) ≤ j + 2 ≤ k + j = k k + j k ≤ k 2k + j − 2₂ ≤

∑

v∈V T p(v)

CONJECTURA 5.3.2. [10] Seja G um grafo conexo com n≥ 2 v´ertices e m arestas. Ent˜ao

√

m_{≤ p}₋(D) + p0(D).

Essa conjectura é falsa em geral. No caso das aranhas temos a seguinte proposição: Proposição 5.3.2. Consideremos as aranhas S[k, j, G] onde G = Kjou G=Kj. Então√m≤

p₋(D) + p0(D).

Demonstrac¸˜ao.

• Consideremos S = Sm[k, j, Kj]

Temos pela proposic¸˜ao 4.1.3 que p₋(D) + p0(D) = 2k + j − 1.

m= ∑v∈Vd(v) 2 = k( k+ j 2 ) + k( 1 2) + j( k+ j−1 2 ) = k2+2k j+k+ j2− j 2 Logo√m_{≤ p}₋(D) + p0(D) ⇔ k2+ 2k j + k + j2− j ≤ 2(2k + j − 1)2 ⇔ k2+ 2k j + k + j2_{− j ≤ 8k}2_{+ 8k j − 8k + 2 j}2_{− 4 j + 2 ⇔ 0 ≤ 7k}2_{+ 6k j − 9k + j}2_{− 3 j + 2 ⇔} 0_{≤ k(7k − 9) + j(6k + j − 3) + 2} O que ´e verdade para todo k_{≥ 2 e j ≥ 1.}

• Consideremos S = Sm[k, j, Kj]

Temos pela proposic¸˜ao 4.1.2 que p₋(D) + p0(D) ≥ 2k + j − 2.

m= ∑v∈Vd(v) 2 = k( k+ j 2 ) + k(12) + j(k2) = k2+2k j+k 2 Logo√m_{≤ 2k + j − 2 ⇔ k}2_{+ 2k j + k ≤ 2(2k + j − 2)}2= 8k2_{+ 8k j − 16k + 2 j}2_{− 8 j + 8} ⇔ 0 ≤ 7k2+ 6k j − 17k + 2 j2− 8 j + 8 ⇔ 0_{≤ k(7k − 17) + j(6k + 2 j − 8) + 8} O que ´e verdade para todo k_{≥ 2 e j ≥ 1.}

Logo√m_{≤ 2k + j − 2 ≤ p}₋(D) + p0(D)

• Consideremos S = Sg[k, j, Kj]

Temos pela proposic¸˜ao 4.1.6 que p₋(D) + p0(D) ≥ 2k + j − 2.

m= ∑v∈Vd(v) 2 = k( 2k+ j−2 2 ) + k(k−12 ) + j( k_{+ j−1} 2 ) = 3k2+2k j−3k+ j2− j 2 Logo√m_{≤ 2k + j − 2 ⇔ 3k}2_{+ 2k j − 3k + j}2_{− j ≤ 2(2k + j − 2)}2= 8k2_{+ 8k j − 16k +} 2 j2_{− 8 j + 8 ⇔ 0 ≤ 5k}2_{+ 6k j − 13k + j}2_{− 7 j + 8 ⇔} 0_{≤ k(5k − 13) + j(6k + j − 7) + 8} O que ´e verdade para todo k_{≥ 2 e j ≥ 1.}

Logo√m_{≤ 2k + j − 2 ≤ p}₋(D) + p0(D)

• Consideremos S = Sg[k, j, Kj]

Temos pela proposic¸˜ao 4.1.5 que p₋(D) + p0(D) ≥ 2k + j − 2.

Logo esse caso ´e direto por q

m(Sg[k, j, Kj]) ≤

m(Sg[k, j, Kj]) ≤ 2k + j − 2 ≤ p−(D) + p0(D)

CONJECTURA 5.3.3. [10] Seja G um grafo conexo com n≥ 3 v´ertices e m ≥ n arestas e com cintura_{≥ 5. Ent˜ao α ≤ p}₋(D) + p0(D).

Essa conjectura é falsa em geral. Apesar das aranhas não satisfazerem a hipótese cintura_{≥ 5, para as aranhas temos a seguinte proposição:}

Proposição 5.3.3. Consideremos as aranhas S[k, j, G] onde G = Kj ou G=Kj. Então

α ≤ p−(D) + p0(D).

Demonstrac¸˜ao. Usando o Lema 5.1.4, temos que

CONJECTURA5.3.4. [10] Seja G um grafo conexo com n≥3 vertices. Ent˜ao m´axnu(G), nu(G) ≤ p₋(D).

Essa conjectura é falsa em geral. No caso das aranhas temos a seguinte proposição: Proposição 5.3.4. Consideremos as aranhas S[k, j, G] onde G = Kj ou G=Kj. Então vale

que m´axnu(S), nu(S) ≤ p₋(D).

Demonstrac¸˜ao. Para todas as quatro aranhas do enunciado temos que p₋_{(D) ≥ 2n − 2 =}

2k_{+ j − 2.}

Tamb´em para qualquer das quatro aranhas, temos que m´axnu(S), nu(S) ≤ ⌊2k+ j₂ ⌋ ≤

2k+ j

2 , pelo Lema 5.1.5. Ent˜ao

m´ax_{nu(S), nu(S) ≤}2k+ j₂ _{≤ 2k + j − 2 ≤ p}₋(D).

OBSERVAÇ ÃO 5.3.1. Também não foi poss´ıvel generalizar essa conjectura e também não

foram encontrados contra exemplos.

CONJECTURA 5.3.5. [10] Seja G um grafo conexo com n≥ 2 v´ertices e seja Ra(G) =

∑u,v∈E d(u)d(v)1 seu´ındice de Randic. Ent˜ao Ra(G) ≤ p−(D).

Essa conjectura é falsa em geral e no caso das aranhas temos o seguinte resultado: Proposição 5.3.5. Seja S_{= S[k, j, G] uma aranha. Então temos que Ra(S) ≤ p}₋(D).

Demonstração. Note que quanto menor o grau dos vértices, maior será o ´ındice de Randic.

Isto ´e, quanto menos arestas um grafo tiver maior ser´a seu ´ındice, portanto temos que para qualquer grafo G vale

Ra_{(S[k, j, G]) ≤ Ra(S}m[k, j, Kj])

Vamos ent˜ao achar Ra(Sm[k, j, Kj]). Sejam:

h1, ...., hjos v´ertices da cabec¸a

c1, ..., ckos v´ertices do corpo

l1, ..., lkos v´ertices da perna de Sm[k, j, Kj]. Ent˜ao:

Ra(Sm[k, j, Kj]) ≤ j(_d_(h 1 1)d(c1)+...+ 1 d(h1)d(ck))+k( 1 d(c1)d(c2)+....+ 1 d(c1)d(ck)+ 1 d(c1)d(l1)) = j(_k_{(k+ j)}k ) + k(_{(k+ j)}k−12+_k_{+ j}1 ) = 1 + k(k−1) (k+ j)2 ≤ 2 Portanto Ra_{(S[k, j, G]) ≤ Ra(S}m[k, j, Kj]) ≤ 2 ≤ 2k − 2 ≤ p−(D(S[k, j, G]))

Cap´ıtulo 6

Conclus˜ao

Nesta dissertação estudamos o espectro da matriz laplaciana sem sinal e da matriz distância dos grafos aranha.

Em relação à matriz laplaciana sem sinal, exibimos duas fam´ılias especiais de grafos nesta classe com exatamente quatro Q-autovalores distintos e quatro fam´ılias especiais de aranhas com seis Q-autovalores distintos. Provamos ainda uma propriedade do tipo Nordhaus-Gaddum para aranhas sobre o segundo maior Q-autovalor. Este resultado foi estendido para a classe dos grafos P4-esparsos. Em relação a este tópico, pretendemos se-

guir na investigac¸˜ao de outras propriedades do tipo Nordhaus-Gaddum, referente a outros Q-autovalores.

Em relação à matriz distância, também encontramos fam´ılias de aranhas com poucos autovalores distintos. Embora não fosse poss´ıvel determinar todo o D-espectro, foram de- terminados os D-autovalores não simples (multiplicidade diferente de um) e a localização dos demais D-autovalores. Desta forma, em muitos casos, é poss´ıvel extrair resultados sobre a inércia da matriz D para estes grafos.

Finalmente, as conjecturas apresentadas em [10] foram examinadas com grafos restri- tos à classe das aranhas. Aqui foram obtidos resultados relacionando parâmetros espec- trais e invariantes de grafos, tais como número clique, número de independência, número cromático, dentre outros. Em especial foram obtidos resultados relativos à inércia da matriz

D, tamb´em refletindo propriedades estruturais do grafo.

Pretendemos continuar a pesquisa nesta linha, buscando resultados entre a in´ercia de D e invariantes de grafos, em outras classes.

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