QUADRO DE DADOS GENÉRICO

QUADRO DE DADOS GENÉRICO

Cada amostra i está localizada no ponto com coordenadas xi e é caracterizada por p atributos ou

variáveis zij(xi).

zij(xi) - Variável regionalizada

Exemplos: Teores químicos em amostras de solos

Porosidades

Intensidade de fracturação Litologia

ESTATÍSTICA ESPACIAL

Objectivo

Estudo estatístico de dados que apresentam distribuição espacial - Processos espaciais. D

x x

z( ) : ∈

Tipo de dados

• Dados geoestatísticos (Geostatistical data)

Ex.: Teor de um poluente no solo de uma região. Cota topográfica.

Variável Indicatriz

• Dados entreliçados (Lattice data)

Ex.: Níveis de cinzentos de uma imagem de detecção remota. Nº de habitantes por concelho.

• Padrões espaciais (Point patterns)

GEOESTATÍSTICA

• Estudo estatístico de variáveis relacionadas com as Ciências da Terra

• Aplicação do formalismo das Funções Aleatórias ao tratamento (caracterização, estimação / previsão e simulação) de Variáveis Regionalizadas. Iniciou-se com os trabalhos de G. Matheron (Centre de Geostatistique et Morphologie Mathématique de Fontainebleau) na década de 60.

OBJECTIVOS DA GEOESTATÍSTICA

• Descrição do comportamento espacial dos dados

• Estimação de um valor médio da(s) variáveis (VR) numa área ou volume de grandes dimensões • Estimação de um valor desconhecido num determinado ponto do espaço

• Determinação do grau de incerteza associado às estimações

• Utilização dos valores conhecidos de uma variável na estimação de outra variável

• Estimação da distribuição dos valores da variável numa área ou volume de grandes dimensões • Estimação da distribuição dos valores da variável numa área ou volume de pequenas dimensões • Estimação da distribuição de valores médios por bloco

ESTATÍSTICA DESCRITIVA ESPACIAL

MAPAS DE SÍMBOLAS MAPAS DE CORES

MAPAS DE CURVAS DE ISOVALOR MAPAS DE INDICATRIZES

REPRESENTAÇÃO EM PERFIS

REGRESSÕES EM FUNÇÃO DAS COORDENADAS ESTATÍSTICAS LOCAIS

• EM JANELAS MÓVEIS

ESTATÍSTICA DESCRITIVA ESPACIAL

ESTATÍSTICA DESCRITIVA ESPACIAL

ESTATÍSTICA DESCRITIVA ESPACIAL

ESTATÍSTICA DESCRITIVA ESPACIAL

















X Y h Z(x) Z(x+h) Médias Variâncias

∑

= = n i i Z n m 1 ) ( 1 x

∑

[

]

= − = n i i m Z n ₁ 2 2 1 _{(x )} σ

∑

= = − ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( h N i i Z h N m h x

∑

[

]

= − − = − ) ( 1 2 2 _{( ) ( )} ) ( 1 ) ( h N i i m Z h N x h h σ

∑

= + = + ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( h N i i Z h N m h x h

∑

[

]

= + − = + ) ( 1 2 2 _{( ) ( )} ) ( 1 ) ( h N i i m Z h N x h h σ

ESTATÍSTICA DESCRITIVA ESPACIAL

















X Y h Z(x) Z(x+h)

Medidas de continuidade e variabilidade espacial

• Covariância Espacial ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 h h h x x h =

∑

+ − − + = m m Z Z h N C h N i i i • Variograma

[

]

∑

= + − = ) ( 1 2 ) ( ) ( ) ( 2 1 ) ( h N i i i Z Z N h x x h h γ

• Correlação Espacial (Correlograma)

∑

= − + = ) ( 1 2( ) 2( ) ) ( ) ( 1 ) ( h N i C h N _{h h} h h σ σ ρ

CÁLCULO DOS VARIOGRAMAS EXPERIMENTAIS Variograma Experimental

[

]

∑

= + − = ) ( 1 2 ) ( ) ( ) ( 2 1 ) ( h N i i i Z Z h N x x h h γ

Malha regular de amostragem

1 Dimensão 








Dado inexistente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Z(x)

CÁLCULO DOS VARIOGRAMAS EXPERIMENTAIS

Malha regular de amostragem

CÁLCULO DOS VARIOGRAMAS EXPERIMENTAIS

Malha irregular de amostragem

Z(x) h ∆L θ −δ(θ) +δ(θ)

VARIÁVEL REGIONALIZADA

Variável regionalizada (VR)

Variável cujos valores dependem da localização espacial com características intermédias entre as variáveis puramente aleatórias e as variáveis determinísticas.

h(m) 35 37 39 41 43 45 S(%)

Estas variáveis apresentam um comportamento, aparentemente algo contraditório: • localmente, comportamento errático

VARIÁVEL REGIONALIZADA

Outras características

• Suporte • Anisotropia • Escalas

• Sobreposição de escalas genéticas

CARACTERÍSTICAS DAS VARIÁVEIS REGIONALIZADAS

Suporte

b l o c o s

c a r o t e s

CARACTERÍSTICAS DAS VARIÁVEIS REGIONALIZADAS Anisotropia 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 35.00 40.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 35.00 40.00

CARACTERÍSTICAS DAS VARIÁVEIS REGIONALIZADAS

Escalas

CARACTERÍSTICAS DAS VARIÁVEIS REGIONALIZADAS

Escalas

Escalas de trabalho - Estacionaridade

x Z(x)

Estacionário Deriva

MODELO DA GEOESTATÍSTICA

V.R. ⇒ F.A. ⇓ ⇓ z(x) ⇒ Z(x)

• Em cada ponto do espaço com coordenadas x, z(x) é uma variável aleatória.

• Globalmente, estas variáveis estão relacionadas entre si (apresentam estruturação espacial) caracterizada pela covariância espacial C(xi ; xi’).

ADEQUABILIDADE AOS DADOS Estacionaridade de 2ª ordem m(x)=m m(x)=Cte=m C(h)=existe e só depende de h

ADEQUABILIDADE AOS DADOS

Estacionaridade intrínseca (hipótese intrínseca)

m(x)≠Cte

m(x) depende de x Não existe covariância

FUNÇÕES ESTRUTURAIS Covariância espacial

{

_{( ) ( )} 2

}

) ( E Z x Z x m C h = +h − Correlação Espacial

{

}

{

}

{

( )

}

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x Z Var C x Z Var x Z Var C h h h h = + = ρ Variograma

[

]

{

( ) ( )

}

2 1 ) (h = E Z x − Z x +h 2 γ

PROPRIEDADES DO VARIOGRAMA Função simétrica ) (-) (h γ h γ =

Função não negativa

0 h h 0 h h = = ≠ ≥ 0 ) ( 0 ) ( γ γ

Função definida positiva condicional - γ(h)

0 0 ) ( ≥ = −

∑∑

∑

i i j i j iλ γ λ λ h

PROPRIEDADES DA COVARIÂNCIA ESPACIAL Função simétrica C(h)=C(-h) Desigualdade de Schwartz h h) ≤ (0) ∀ ( C C

Função definida positiva

h h) 0 , e ( _{i j} j i j iλ C λ λ λ ≥ ∀

∑ ∑

RELAÇÃO VARIOGRAMA / COVARIÂNCIA

Quando existe estacionaridade de 2ª ordem o variograma e a covariância espacial são funções equivalentes:

[

]

{

( ) ( )

}

2 1 ) (h = E Z x − Z x + h 2 γ

{

} {

}

{

}

{

( ) ( )

}

2 ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 2 2 _{h h} h = E Z x + E Z x + − E Z x Z x + x Z E 4 43 4 42 1 γ

{

( )

}

2

{

( ) ( )

}

2 ) ( 2γ h = E Z2 x − E Z x Z x +h

{

( )

}

{

( ) ( )

}

) (h = E Z2 x − E Z x Z x +h γ Somando e subtraindo m2, vem:

{

2_{( )} 2

} {

_{( ) ( )} 2

}

) (h = E Z x − m − E Z x Z x +h − m γ

{

( )

}

( ) ) (h =Var Z x −C h γ ) ( ) 0 ( ) (h =C −C h γ

RELAÇÃO VARIOGRAMA / CORRELAÇÃO

{

( )

}

( ) ) (h =Var Z x −C h γ

{

}

{

( )

}

) ( 1 ) ( ) ( x Z Var C x Z Var h h − = γ

{

( )

}

1 ( ) ) ( h h ρ γ − = x Z Var

em queρ( )h é o coeficiente de correlação espacial:

{

}

{

( )

}

{

( )

}

) ( ) ( ) ( ) ( h h h h + = = x Z Var x Z Var C x Z Var C ρ

VARIÂNCIA DE UMA COMBINAÇÃO LINEAR DE UMA V.R.

Seja Y uma VR definida como ( _i)

i

i Z x

Y =

∑

λ

A variância de Y é dada por:

{ }

Y Var Z x E

{ }

Y E

{ }

Y Var _i i i ( ) = 2 − 2       =

∑

λ

{ }

∑

=

{

}

∑

=

∑

      = i i i i i i i i Z x E Z x m E Y E λ ( ) ( ) λ λ

⇒

{ }

_j i i j j i i m m Y E2 = 2

∑

λ

∑

λ = 2

∑

λ λ

{ }

              =

∑

2 2 _{( )} i i i Z x E Y E λ

⇒

{ }

∑∑

∑∑

{

}

+ − =         = i j j i j i j i i j i j j i m x x C x Z x Z E x Z x Z E Y E 4 4 3 4 4 2 1 2 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( λ λ λ λ

{ }

=

∑ ∑

− +

∑ ∑

i j j i i j j i j i C x x m Y E 2 λ λ ( ) 2 λ λ

{ }

=

∑ ∑

− +

∑ ∑

−

∑ ∑

i j j i i j j i i j j i j i C x x m m Y Var λ λ ( ) 2 λ λ 2 λ λ

{ }

=

∑∑

( − ) ≥ 0 i j j i j i C x x Y Var λ λ

MODELOS TEÓRICOS DE VARIOGRAMAS

Modelos com patamar (estacionários de 2ª ordem) Esférico      ≤         − = c a h a h a h c h) 1.5 0.5 ( 3 3 γ a c γ(h) h Exponencial _{( ) =}

[

_1- -(h/a)

]

e c h γ c a a'= 3a → γ( ') = 0.95 a’ c γ(h) h Gaussiano       _{-( / )}2 -1 = ) (h c e h a γ c a a'= 3a → γ( ') = 0.95 a’ c γ(h) h

MODELOS TEÓRICOS DE VARIOGRAMAS

Modelos sem patamar (intrínsecos)

Parabólico (em hα) 2 < < 0 = ) ( α γ h whα 1<α<2 0<α<1 α=1