VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

(1)

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

Dada uma experiência aleatória – Ei – e um conjunto de resultados associado a essa experiência, define-se variável aleatória como uma regra bem definida (ou seja, como uma função) que faz corresponder a cada acontecimento do espaço de resultados um número real (X). As variáveis aleatórias podem ser discretas ou contínuas.

Experiência aleatória: lançamento de uma moeda

Ω = {F, C} (resultados associados ao lançamento)

0 1 R À experiência aleatória associamos uma variável aleatória (X).

X – nº de faces ocorrido Se: C X = 0

F X = 1

A partir daqui torna-se possível calcular probabilidades, não com base nos próprios acontecimentos, mas sim nas suas imagens – valores assumidos pela variável aleatória. Isto porque qualquer valor de uma variável aleatória é um acontecimento. Logo, tem uma probabilidade associada.

Ω F

C

X C 0 F 1

(2)

Esquema do processo de construção do Modelo de Probabilidade

Aplicação:

Considerando a experiência aleatória “controlo de qualidade” extraem-se, de um vasto lote, três peças aleatoriamente e classifica-se cada uma das peças em defeituosa (D) ou não defeituosa (N).

O espaço de resultados é:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

{

^{N N N}^, ^, ^; ^{N N D}^, ^, ^; ^{N D N}^{, ,} ^; ^{N D D}^{, ,} ^; ^{D N N}^, ^, ^; ^{D N D}^{, ,} ^; ^{D D N}^{, ,} ^; ^{D D D}^{, ,}

}

Ω =

Definindo, por exemplo, a variável aleatória:

X – número de peças defeituosas entre as três peças inspeccionadas.

A variável aleatória (V.A.) X tem como domínio Ω e como contradomínio

{

^{0 1 2 3}^{, , ,}

}

. Temos, portanto, uma variável aleatória unidimensional e discreta (o seu contradomínio é um conjunto discreto, isto é, finito ou infinito numerável).

Experiência aleatória

Espaço de resultados

Variável aleatória Listagem de todos

os resultados

Atribuição de um valor a cada

resultado

Determinação da probabilidade de cada valor de X

X f(x)

(3)

Considerando que 5 em cada 100 peças inspeccionadas são defeituosas, podemos calcular as probabilidades:

0

P X^_ = ^_ , P X^_ =1^_ , P X^_ = 2^_ e P X^_ = 3^_.

Ω ℝ Probabilidade

(^{N N N}^, ^, ) 0 0,857375

(^{N N D}^, ^, )

(^{N D N}^, ^, ) 1 0,135375

(^{D N N}^, ^, )

(^{D D N}^, ^, )

(^{D N D}^, ^, ) 2 0,007125

(^{N D D}^, ^, )

(^{D D D}^, ^, ) 3 0,000125

Cálculo da probabilidade condicional recorrendo à árvore de resultados:

N 0,95 x 0,95 x 0,95 = 0,857375 (0,95)

N D

(0,95) (0,05) 0,95 x 0,95 x 0,05 = 0,045125 N

D (0,95) 0,95 x 0,05 x 0,95 = 0,045125

N (0,05)

(0,95) D

(0,05)

0,95 x 0,05 x 0,05 = 0,002375 N 0,05 x 0,95 x 0,95 = 0,045125 (0,95)

D

(0,05) N D

(0,95) (0,05) 0,05 x 0,95 x 0,05 = 0,002375 N

D (0,95) 0,05 x 0,05 x 0,95 = 0,002375

(0,05)

D (0,05)

0,05 x 0,05 x 0,05 = 0,000125

X

(4)

Assim,

0 0 857375,

P X^_ = ^_ = probabilidade da V.A. X assumir o valor zero (probabilidade de ter zero defeituosas) 1 0 135375,

P X^_ = ^_ = 2 0 007125, P X^_ = ^_ =

3 0 000125, P X^_ = ^_ =

A função de probabilidade da V.A. discreta X, que assume valores

1, 2,..., n,...

x x x , é representada por ^{f x}

( )

^:

( )

^{1 2}

0

se

, ,..., ,...

se

j

P X x x x

f x j n

x x

  

 









= =

≠

ou na forma tabular

x x 1 x ₂ _... x_n

( )

f x P X^_ = x₁^_ P X^_ = x₂^_ ^... P X^_ = xn^_

A função de probabilidade tem, pois, domínio ℝe conjunto de chegada 0 1,

 

  e satisfaz as seguintes propriedades:

• ⁰ ^≤ ^{f x}

( )

^≤¹

• sendo uma V.A. discreta finita

1

( )

1

n n

j j

f x P X^__ x ^__

= = = = =

∑ ∑

• sendo uma V.A. discreta infinita

1

( )

1

j j

f x P X^__ x ^__

∞ ∞

= = = =

∑ ∑

será uma série convergente de soma 1

(5)

Pode-se definir uma outra função – função de distribuição¹ de uma variável aleatória – como:

( )

F x = P X^_ ≤ x^_

A função distribuição tem, pois, domínio ℝe conjunto de chegada 0 1^_ , ^_ e satisfaz as seguintes propriedades:

• ⁰^≤ ^{F x}

( )

^≤¹^{, x}^{∀ ∈}^ℝ F corresponde a uma probabilidade

• ^{F x}

( )

² ^≥ ^{F x}

( )

¹ ^,^∀^{x x}¹^, ² ^com ^x² ^> ^x¹F é monótona não decrescente

• _x_→−∞^lim ^{F x}

( )

⁼ ⁰

• _x^lim_→∞^{F x}

( )

⁼¹

• ^{P x}^ ¹ < ^X ≤ ^x²^ = ^{F x}

( )

² −^{F x}

( )

¹ ^,∀x x₁, ₂ com x₂ > x₁

1 Frequentemente a função distribuição é também designada por função de probabilidade acumulada.

(6)

No exemplo das peças defeituosas tem-se:

( )

⁰ ⁰ ⁰ ^{0 857375}^,

F = P X^_ ≤ ^_ = P X^_ = ^_ =

( )

¹ ¹ ⁰ ¹ ^{0 99275}^,

F = P X^_ ≤ ^_ = P X^_ = ^_+ P X^_ = ^_ =

( )

² ² ¹ ² ^{0 999875}^,

F = P X^_ ≤ ^_ = P X^_ ≤ +^_ P X^_ = ^_ =

( )

³ ³ ¹

F = P X^_ ≤ ^_ =

ou

( )

0 0

0 857375 0 1

0 999875 1 2

1 3

, ,

x x F x

x x











<

≤ <

= ≤ <

≥

Representações gráficas das funções de probabilidade e de distribuição de V.A. discretas:

Função de probabilidade: ^Y ⁼ ^{f x}

( )

Função de distribuição: ^y ⁼ ^{F x}

( )

0 1 2 3 x

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 f(x) ,9

0 1 2 3 x

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 F(x)

1

(7)

Nas variáveis aleatórias contínuas X assume um número infinito de valores pelo que não faz sentido falar da função de probabilidade – a probabilidade de um ponto é sempre nula.

Então surge a função densidade de probabilidade (f.d.p.) de X, que tem subjacente as probabilidades não nulas de intervalos ou, então, a taxa instantânea de variação da probabilidade, definida por:

b

( )

P a^_ < ≤x b^_ =

∫

a f x dx ^{o integral}² da f.d.p. entre os valores a e b permite determinar P a^_ < ≤x b^_³

Note-se que a f.d.p., ^{f x}

( )

, corresponde, por analogia, ao polígono de frequências relativas (de uma variável contínua) quando o número de observações e o número de classes aumentam (e, portanto, diminui a amplitude das classes). Desta forma, no limite, o polígono transforma-se numa curva cuja equação define a f.d.p..

2 O integral é representado pelo símbolo ∫ e corresponde a uma função matemática que define a área entre dois pontos de uma função. Como referem Maroco e Bisbo (2003), o integral é equivalente ao somatório para as variáveis discretas e, por abuso, pode interpretar-se como sendo a soma de todos os valores da função num determinado intervalo.

3 ^{P a}[ ≤ ^x ≤ ^b] = ^{P a}[ < ^x < ^b]+ ^{P x}[ = ^a]+ ^{P x}[ = ^b] = ^{P a}[ < ^x < ^b] = ^{P a}[ ≤ ^x < ^b].

(8)

A f.d.p. verifica as propriedades:

• ^{f x}

( )

^≥⁰ não negatividade

•

∫

_−∞^∞ ^{f x dx}

( )

⁼¹ o integral em todo o domínio é 1

A função densidade de probabilidade (f.d.p.) corresponde à derivada da função distribuição - F x , isto é,

( )

^{dF x}

( )

f x = dx , se a função de distribuição for derivável.

A função de distribuição de uma V.A. contínua corresponde a:

( )

^x

( )

F x = P X^_ ≤ x^_ =

∫

_−∞f u du⁴ E verifica as seguintes propriedades:

• É uma função contínua

• Se x < y, então ^{F x}

( )

^≤ ^{F y}

( )

, função crescente (em sentido lato)

• ^F

( )

^{−∞ =} _x_→−∞^lim ^{F x}

( )

⁼ ⁰

• ^F

( )

^{∞ =} _x^lim_→∞^{F x}

( )

⁼ ¹

• ^{P a}^^ ^{< ≤}^x ^b^^ ⁼ ^{F b}

( )

⁻ ^{F a}

^{( )}

⁼

∫

_a^b ^{f x dx}

^{( )}

4 Como no integral o limite superior da integração é x , considera-se uma variável de integração diferente de x , neste caso a variável u .

(9)

Representações gráficas das funções densidade de probabilidade e de distribuição de V.A. contínuas:

Função de distribuição: ^y ⁼ ^{F x}

( )

Função densidade de probabilidade: ^Y ⁼ ^{f x}

( )

Cálculo da probabilidade:

( ) ^{( )}

( )

Recorrendo a Recorrendo a( )

F x f x

b

P a^_ < ≤x b^_ = F b−F a =

∫

a f x dx

1

F(b)

F(a)

(10)

PARÂMETROS DAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

Para se caracterizar, de uma forma reduzida, uma variável aleatória (distribuição associada à população, definida pelas funções de distribuição e de probabilidade, se discreta, e densidade de probabilidade, se contínua) pode-se recorrer a algumas medidas (parâmetros).

Assim, as funções associadas às variáveis aleatórias podem ser consideradas como representações de populações, ou sejam, evidenciam a forma como os elementos de uma população de distribuem. De outra forma, pode-se considerar que a função de probabilidade (ou a função densidade de probabilidade) constitui um modelo para a representação da distribuição dos elementos da população.

Os parâmetros⁵ mais comuns são:

• Valor esperado (ou esperança matemática ou média);

• Variância (ou variância esperada) e desvio-padrão;

• E quando se tem duas variáveis aleatórias, para analisar a relação entre elas recorre-se às medidas de associação:

o Covariância;

o Coeficiente de correlação linear.

5 Recorde-se que as distribuições de frequências podem ser caracterizadas por estatísticas (números que calculados com base em amostras sintetizam a configuração das distribuições e que variam de amostra para amostra). No caso das variáveis aleatórias recorre-se a um conjunto de números (parâmetros, que são fixos) para caracterizar as distribuições associadas às populações.

Podem-se calcular outros parâmetros, como sejam, a mediana e a moda. Verifica-se a existência de uma correspondência entre as designações das estatísticas e dos parâmetros, podendo, em algumas situações, acrescentar-se à designação, no caso das estatísticas, as palavras amostral ou da amostra, e, no caso dos parâmetros, as palavras populacional ou da população.

(11)

VALOR ESPERADO DE X – é um parâmetro de localização, representa- -se por E X^_ ^_ (ou por µ_xou por µ) e, quando existe, define-se por:

• Se X é uma V.A. discreta

1

. ( )

n

i i

i

E X^_ ^_ x f x

=

∑

=

• Se X é uma V.A. contínua E X^_ ^_ ^+∞x f x dx. ( )

=

∫

−∞

VARIÂNCIA DE X – é um parâmetro de dispersão, representa-se por VAR X^_ ^_ (ou por σ²x ou por σ²). A variância corresponde à média do quadrado dos desvios em relação ao valor esperado:

( )

²

2 2

( )

VAR X^_ ^_ E X^_ ^_ E X^_ ^_ E X^_ ^_

   

= − µ = − e define-se por:

• Se X é uma V.A. discreta ²

( )

1

( ) .

n

i i

i

VAR X^_ ^_ x f x

=

∑

= − µ

• Se X é uma V.A. contínua ^{VAR X}^ ^ ⁽^x ^{) .}² ^{f x dx}

( )

+∞

=

∫

−∞ − µ Note-se que E X^_ ²^_

  é dado por:

• Se X é uma V.A. discreta ² ²

( )

1

.

n i i i

E X^_ ^_ x f x

  =

∑

=

• Se X é uma V.A. contínua ^{E X}^ ²^ ^x²^. ^{f x dx}

( )

+∞

=

∫

−∞

DESVIO-PADRÃO DE X – é um parâmetro de dispersão, representa-se por σ (ou por σx). O desvio-padrão corresponde à raiz quadrada positiva da variância, isto é, σ = + VAR X^_ ^_ .

(12)

Propriedades do valor esperado (k a e b, são constantes e X e Ysão duas variáveis aleatórias - V.A.):

• E k^{ }_{ } = k - o valor esperado de uma constante k é a própria constante;

• E kX^_ ^_ ₌ k E X. ^_ ^_ - o valor esperado do produto de uma constante por uma V.A. é igual ao produto da constante pelo valor esperado da V.A.;

• E aX^_ +b^_ = a E X. ^_ ^_+b - o valor esperado do produto de uma constante por uma V.A. mais uma constante é igual ao produto da constante pelo valor esperado da V.A. mais a outra constante (transformação linear);

• E X^_ ±Y^_ = E X^_ ^_± E Y^_ ^_ - o valor esperado da soma algébrica de duas V.A. é igual à soma algébrica dos respectivos valores esperados;

• E X Y^_ . ^_ = E X^_ ^_.E Y^_ ^_ - se X e Y forem independentes, o valor esperado do produto de duas V.A. é igual ao produto dos respectivos valores esperados.

Se X e Y não forem independentes

( )

. . cov ,

E X Y^_ ^_ = E X^_ ^_ E Y^_ ^_+ X Y .

•

( )

( ) ( ) ( ) ( )

+ -

se X discreta

g x se X contínua

i i

i

g x f x E g x

f x dx





  

  



∞

=

∑

∫

- valor esperado de uma função de X

(13)

Propriedades da variância ( ,k a e b são constantes e X e Y são duas V.A.):

• VAR X^_ ^_ ≥ 0;

• Se VAR X^_ ^_ = 0 então P X^__ = E X^_ ^_^__ =1;

• VAR k^{ }_{ } ₌ 0;

• VAR kX^_ ^_ = k².VAR X^_ ^_;

• VAR aX^_ ±b^_ = a².VAR X^_ ^_;

• ^{VAR X}^^ ^±^Y^^ ⁼ ^{VAR X}^^ ^^ ⁺^{VAR Y}^^ ^^^±^{2 . cov}

(

^{X Y}^,

)

^{- Se} X e Y forem independentes, então ^cov

(

^{X Y}^,

)

⁼ ⁰ (o recíproco não é verdadeiro);

Note-se que:

Se X é uma V.A. de média µ e variância σ²então a V.A. X W = σ− µ tem parâmetros: E W^_ ^_ = 0 e VAR W^_ ^_ =1.

Operando com as propriedades do valor esperado verifica-se que a variância

(

^{VAR X}^^ ^^

)

pode ser obtida por:

( )

²

2 2

( ) ou

VAR X^_ ^_ E X^_ ^_ VAR X^_ ^_ E X^_ ^_ E X^_ ^_

   

= − µ = − .

( )

² ² ^{2 .} ^.

( )

²

E^_ X E X^_ ^_ ^_ E X^__ ^__ X E X^_ ^_ E X^_ ^_

 −  = − + =

( )

²

2 2 . .

E X^__ ^__ E^_ E X^_ ^_ ^_ E X^_ ^_ E X^_ ^_

 

= + − =

( )

²

( )

²

2 2 .

E X^ ^ E X  E X 

= + − =

( )

²

E X^__ 2^__ E X^_ ^_

= −

em que:

X – variável; E X  – média;

(

^X ⁻^{E X}^^ ^^

)

– desvio;

(

^X ⁻ ^{E X}^^ ^^

)

² – desvio quadrado; ^E^

(

^X − ^{E X}^^ ^^

)

²^ – média do desvio quadrado e

[ ] ∑

=

= ^k

1 i

2

2 Xi .P(Xi)

X

E .

(14)

COVARIÂNCIA – é uma medida de distribuição conjunta de Xe Y, em termos dos desvios face às respectivas médias. A covariância descreve a relação linear entre duas variáveis e é dada por:

( ) ( ) ( )

cov X Y, E X^_ E X^_ ^_ . Y E Y^_ ^_ ^_ E XY^_ ^_ E X^_ ^_.E Y^_ ^_

 

= − − = −

COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR – descreve a relação linear entre duas variáveis e tem a vantagem, em relação à covariância, de ser independente da unidade de medida em que as variáveis estão expressas.

( )

cov ,

XY .

X Y VAR X VAR Y^_ ^_ ^_ ^_

ρ =

Verifica-se que 1− ≤ ρ ≤1.

O coeficiente de correlação indica o sentido da relação linear, relação directa ou positiva (sinal +) ou inversa ou negativa (sinal -), e a intensidade, quanto mais perto do 1 (relação perfeita), em valor absoluto, for o coeficiente mais forte é a relação e quanto mais perto do 0 (ausência de relação) mais fraca é a relação entre as duas variáveis.

(15)

APLICAÇÃO:

Suponha que temos uma experiência aleatória que consiste no lançamento sucessivo de duas moedas (não viciadas). Pretende-se saber qual o número esperado de faces que irá ocorrer.

Passos a dar:

1º) Definir o espaço de resultados

Experiência aleatória – lançamento sucessivo de 2 moedas Ω = {(F,F); (F,C); (C,F); (C,C)}

2º) Definir a variável aleatória X – número de faces ocorrido

Se tivermos o resultado: (F,F) X = 2

(F,C) ou (C,F) X = 1

(C,C) X = 0

3º) Determinar a probabilidade de cada valor de X. Ou seja, constrói-se um quadro em que a cada valor de X se faz corresponder a sua probabilidade de ocorrência. A este quadro chama-se quadro de distribuição de probabilidade de X, ou função de probabilidade de X, que se representa por ^{P x ou}

( )

ⁱ f x e deve satisfazer duas

( )

ⁱ

condições:

• ^{P x}

( )

ⁱ ^≥⁰^,^∀^xⁱ

• ⁿ _i

i 1

P(x ) 1

= =

∑

(16)

Então, a função de probabilidade ^{P x é:}

( )

ⁱ

x i ^{P x}

( )

ⁱ

0 ¼

1 2/4 = ½

2 ¼

Facilmente se vê que P x satisfaz as duas condições:

( )

ⁱ

• ^{P x}

( )

ⁱ ^≥⁰^paraⁱ ⁼ ^{0 1 2}^{, ,} ^;

• ²

0

1 2 1 1

4 4 4

( _i)

i

P x

= = + + =

∑

4º) Finalmente, pode calcular-se o valor esperado de X, ou seja, o número de faces que, em média, se espera que ocorra.

O valor esperado de uma variável aleatória é uma medida que, de forma sintética, dá informação relevante sobre o seu comportamento.

O valor esperado de uma variável aleatória X, que se representa por E X^_ ^_, define-se como a média dos valores assumidos por X ponderados pela respectiva probabilidade.

i i

n i 1

E X^_ ^_ x .P(x )

=

∑

= ^comP x

_{( )}

i ≥ ⁰, ∀x_i

n i i 1

P(x ) 1

= =

∑

(17)

Calcule-se o número esperado de faces a ocorrer (valor esperado):

x i ^{P x}

( )

ⁱ x .P(x ) i i

0 ¼ 0

1 ½ ½

2 ¼ ½

1

0

1 1 1

0 1 2 1

4 2 4

i i

2 i

E X^_ ^_ x .P(x )

=

∑

= = × + × + × =

Assim, em termos médios, espera-se que no lançamento sucessivo de duas moedas ocorra uma face.

5º) Para além do valor esperado, podemos também calcular, como medida sintetizadora e auxiliar, a variância esperada (média do quadrado dos desvios em relação ao valor esperado).

( )

²

VAR X E X E X

 

     

     

 

= −

Xi P X( _i) X_i. (P X_i) X_i². (P X_i)

0 1/4 0 0

1 1/2 1/2 1/2

2 1/4 1/2 1

1 3/2

então,

( )

²

2 3 2 1

2 1 2

VAR X^_ ^_ = E X^__ ^__− E X^_ ^_ = − =

(18)

VALOR ESPERADO: Outros exemplos

O conceito de valor esperado tem a sua origem nos jogos do acaso.

Exemplo 1:

No lançamento de um dado, não viciado, recebe-se um euro se sair número par, perdem-se dois euros se sair 1 ou 3 e ganham-se três euros se ocorrer o 5.

A questão que se levanta é a de saber se vale a pena participar num jogo com estas condições. De outro modo, quanto é que se pode ganhar?

Sabe-se que o espaço de resultados da experiência aleatória é:

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A probabilidade de cada resultado individual, sendo o dado não viciado será P [W_i] = 1/6

2 1€ se ocorrer 4 6 Ganha-se

3 € se ocorrer 5 Perde-se 2 € se ocorrer 1

3

A questão para a qual se pretende obter resposta é de saber, em termos médios quanto se espera ganhar? Para obter a resposta basta fazer a média ponderada dos valores a perder ou receber. O coeficiente de ponderação é dado pela probabilidade de ocorrência de cada um desses valores.

Representando o ganho por G, tem-se:

P [G = 1] = 3/6 P [G = 3] = 1/6 P [G = -2] = 2/6 Então, o valor esperado do ganho que se representa por E [G] virá:

E [G] = 1 . 1/2 + 3 . 1/6 + (-2) . 1/3 = 0,3(3) euros

(19)

Note-se que este valor não é uma quantia que efectivamente se receba, mas indica se o jogo é ou não favorável ao jogador. Se o valor esperado do ganho fosse negativo o jogador concluiria que em termos médios perdia mais do que se ganhava. Para participar no jogo, o jogador geralmente entra com uma certa quantia. Representando por E a entrada, diz-se que o jogo é equitativo, isto é, que não favorece nenhuma das partes se:

E [E] = E [G] isto é, E [L] = 0

(i.e. o valor esperado do lucro), sendo L = G - E

Exemplo 2:

Suponha que entra numa livraria para comprar um livro que custa 36 euros.

Tem na carteira quatro notas de 10 euros e uma de 50 euros. O livreiro propõe-lhe o pagamento com uma nota tirada ao acaso da carteira. Quem poderia ficar favorecido?

− porque o livro custa 36 euros E [G] = 36

− porque o comprador tem cinco notas, quatro de 10 e uma de 50 euros

E 10 50

Probabilidade 4/5 1/5 E [E] = 10 4

5

 

 

  + 50 1 5

 

 

  = 18 euros

− então, o jogo não é equitativo e favorece o comprador E [E] ≠ E [E] (18 ≠ 36)

E [E] < E [G] (18 < 36)

(20)

DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS MAIS IMPORTANTES

Existem alguns modelos probabilísticos (distribuições teóricas) que são correntemente adaptáveis a um vasto conjunto de fenómenos aleatórios que ocorrem no dia-a-dia.

As distribuições empíricas (ou distribuições de frequências) de variáveis, discretas ou contínuas, com que se deparam frequentemente os investigadores nos estudos empíricos, podem ser, muitas vezes, representadas por distribuições teóricas que se ajustam ao comportamento dessas variáveis aleatórias. Deste modo, também as distribuições teóricas se dividem em distribuições discretas e em distribuições contínuas.

As principais distribuições discretas são:

• Distribuição uniforme; • Distribuição de Bernoulli;

• Distribuição binomial; • Distribuição multinomial;

• Distribuição binomial negativa; • Distribuição geométrica ou de Pascal;

• Distribuição hipergeométrica; • Distribuição de Poisson.

As principais distribuições contínuas são:

• Distribuição uniforme; • Distribuição normal e normal padrão (ou estandardizada);

• Distribuição exponencial; • Distribuição Gama.

Uma vez que são correntemente utilizados e para evitar o contínuo recurso às funções de probabilidade, no caso das distribuições discretas, e às funções densidade de probabilidade, nas distribuições contínuas, ou, ainda, às funções de distribuição foram elaboradas tabelas estatísticas – tabelas probabilísticas – (disponíveis em quase todos os livros de estatística) de forma a facilitar os cálculos das probabilidades (sem ter, portanto, que recorrer-se directamente às referidas funções).

(21)

DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI

Prova de Bernoulli

Admita-se uma experiência aleatória com apenas dois resultados:

• A – sucesso, com P A^_ ^_ = p

• A – insucesso, com P A^_ ^_ 1 p q

  = − =

Este tipo de experiência aleatória designa-se por prova de Bernoulli

Sucessão de provas de Bernoulli: processo caracterizado por repetidas provas nas seguintes condições:

1. Em cada prova só existem dois resultados possíveis (e mutuamente exclusivos): sucesso e insucesso;

2. A probabilidade de sucesso, p , mantém-se constante de prova para prova. A probabilidade de insucesso designa-se por q = −1 p;

3. As provas são independentes, ou seja, os resultados obtidos numa certa prova ou sequência de provas não influenciam os resultados das provas subsequentes.

(22)

Distribuição de Bernoulli

Tem-se uma única prova de Bernoulli e define-se X com apenas dois valores: 0 se insucesso e 1 se sucesso.

E tem-se que P X^_ =1^_ = p e P X^_ = 0^_ = = −q 1 p.

Então, a V.A. X segue uma distribuição de Bernoulli se a sua função de probabilidade for dada por:

( )

^x

(

¹

)

¹ ^x ^, ^0,1

f x = p − p ⁻ x =

E, consequentemente, a função de distribuição ser dada por:

( )

0 0

1 0 1

1 1

x

F x p q x

x











<

= − = ≤ <

≥

E o valor esperado e a variância, são dados por:

• E X^_ ^_ = p

• ^{VAR X}^^ ^^ ⁼ ^p

(

¹⁻ ^p

)

⁼ ^{p q}^.

Diz-se que X, nestas condições, segue uma distribuição de Bernoulli de parâmetro p e escreve-se X Bern p . Note-se que 0( ) ≤ ≤p 1.

(23)

Exemplo 1:

X = número de 6 no lançamento de um dado perfeito, ganhando-se se sair 6. Assim, X representa o número de vitórias obtidas num lançamento do dado.

1

( 6 )

X ∼ Bern p =

( )

¹ ¹₆ ¹^. ¹ ¹₆ ^{1 1} ¹₆

f ^^_ ^{ }^{ }_{ } ^^_

   

= − − = ^F

( )

¹ ⁼¹

1

E X^_ ^_ = 6 1 5 5

6 6 36

VAR X^_ ^_ = × =

Exemplo 2:

Considerando o lançamento aleatório de um dado 10 vezes e uma vitória se sair um número superior 4.

Assim, a probabilidade de sucesso é 2 1

6 3

p = = e, consequentemente, a probabilidade de insucesso é 1 1 1 2

3 3

q = − = −p = .

Está-se, pois, na presença de um processo de Bernoulli em que a prova se repete 10 vezes, cada prova tem dois resultados possíveis (sucesso e insucesso), a probabilidade de sucesso é igual em todas as provas e o resultado de uma prova não vai afectar o resultado da prova seguinte (os lançamentos são independentes).

(24)

DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

DISTRIBUIÇÃO UNIFORME

Uma variável aleatória contínua segue uma distribuição uniforme quando a sua função densidade de probabilidade é constante em todo o intervalo

,

a b

  e nula fora desse intervalo.

Assim, a função densidade de probabilidade é dada por:

( )

1 0

se a x b b a

f x

se x a ou x b











− ≤ ≤

= < >

E a sua função de distribuição por:

( ) ( )

0

1

x

se x a x a

F x f u du se a x b

b a

se x b











−∞

<

= = −− ≤ ≤

>

∫

O valor esperado e a variância, são dados por:

• 2

a b

E X^_ ^_ = + •

( )

²

12 b a VAR X^_ ^_ −

=

Diz-se que a V.A. X, nestas condições, segue uma distribuição uniforme em ^_a b, ^_ e escreve-se ^X ^∩^{U a b}

( )

^, ^.

(25)

Representações gráficas de ^X ^∩^{U a b}

( )

^, ^:

• Função densidade de probabilidade

• Função de distribuição

Exemplo (adaptado de Guimarães e Cabral, 1997, p.195):

Considere que o atraso (expresso em minutos) nas chegadas à estação de uma cidade, dos comboios directos provenientes de outra cidade, segue uma distribuição ^U

(

^{0 12}^,

)

^.

Qual a probabilidade de ocorrer um atraso compreendido entre os 5 e os 10 minutos?

( ) ( ) ¹⁰ ⁰ ⁵ ⁰ ¹⁰ ⁵ ⁵

5 10 10 5 0 416

12 0 12 0 12 12 12 ,

P ≤ ≤x  = F −F = −− − −− = − = =

( )

1 10 5 5

5 10 0 416

12 0 12

. ,

P x  −

≤ ≤ = − = =

Em média, qual o atraso que se espera que ocorra na chegada à estação?

0 12 12

2 2 6

E X  +

µ = = = = minutos

1 b− a

0

( ) f x

b

a x

0

( ) F x

b

a x

1

(26)

DISTRIBUIÇÃO NORMAL

Existe uma grande variedade de fenómenos na vida real que obedecem a uma distribuição normal ou que se aproximam de forma significativa da distribuição normal. Assim, esta distribuição assume especial relevância quando se está na presença variáveis aleatórias contínuas, isto é, que podem assumir um conjunto infinito não numerável de valores.

Realce-se que a importância desta distribuição ainda é mais acrescida pois, mediante a verificação de certas condições, certas distribuições de variáveis aleatórias discretas, tais como a distribuição binomial e a de Poisson, podem ser aproximadas à distribuição normal.

Diz-se que uma V.A. X segue uma distribuição normal⁶ se a sua função densidade de probabilidade for dada por⁷:

( )

₂

1 2

2 . , ] ; [

x

f x e x

 

 

 

− −µσ

= ∈ − ∞ + ∞

πσ

representando µ (miu) a média (−∞ < µ < +∞) e σ (sigma) o desvio- -padrão (σ > 0).

E, consequentemente, se a função de distribuição for dada por⁸:

( )

1 2 2

1 2

x t

F x e dt

 

 

 

− −µσ

= −∞

πσ

∫

6 Também designada por distribuição Gaussiana (ou de Gauss), em homenagem ao matemático alemão Carl Gauss.

7 Recorde-se que e corresponde ao número de Napier e que e = 2 7182818, .... Por sua vez, o π (pi) tem o valor de π = 3 141519265, ....

8 A função de distribuição não é integrável analiticamente, ou seja, não é possível determinar explicitamente a sua primitiva, pelo que não se obtém uma expressão algébrica para os valores desta função, sendo estes calculados por via numérica.

(27)

O valor esperado e a variância são dados por:

• E X^_ ^_ = µ • VAR X^_ ^_ = σ²

Diz-se que a V.A. X, nestas condições, segue uma distribuição normal de parâmetros caracterizadores _µ e σ e escreve-se ^X ^{∩ µ σ}ⁿ

(

^;

)

^.

Representações gráficas de ^X ^{∩ µ σ}ⁿ

(

^,

)

^:

• Função densidade de probabilidade (curva normal)

Fonte: Adaptado de Guimarães e Cabral (1997, p.199)

• Função de distribuição

Fonte: Adaptado de Guimarães e Cabral (1997, p.199) ( )

f x

x

F x ( )

(28)

Propriedades e características:

• É uma das distribuições mais utilizadas;

• A função densidade de probabilidade tem forma de sino e é unimodal (um só máximo, correspondendo a x = µ);

• A função densidade de probabilidade é simétrica em torno da sua média.

Assim, a média é igual à mediana e igual à moda (µ = Me = Mo);

• A função densidade de probabilidade tem pontos de inflexão para x = µ ± σ e aproxima-se assimptoticamente do eixo das abcissas, ou seja, _x_→±∞^lim ^{f x}

( )

⁼ ⁰^;

(29)

• Quaisquer que sejam os parâmetros (_µ e σ) da distribuição normal verifica-se que existe uma proporção de observações constante (área definida pela f.d.p.) entre a média e k± desvios-padrão.

Para os intervalos µ ± σ, µ ± σ2 e µ ± σ3 tem-se:

Fonte: Adaptado de Ramos (2004)

• A distribuição normal é adequada para caracterizar muitos fenómenos físicos (pesos, …) e descreve bem a distribuição dos erros de medição, para além de muitas outras aplicações em que é utilizada.

68,3%

95,5%

99,7%

µ

(30)

• Qualquer transformação linear de uma V.A. com distribuição normal resulta numa variável também com distribuição normal:

Se ^X ^∩^{n x}

(

^{; ;}^{µ σ}

)

^então⁹^X^'^∩^{n x}

(

^' ⁼ âx + µ = µ + σ = σ^b^{; '} â ^b^{; '} â² ²

)

em que ae b são constantes e a ≠ 0;

• Aditividade da distribuição normal:

Tendo k V.A. independentes ^Xⁱ

(

ⁱ ⁼^{1 2 3}^{, , ,...,}^k

)

^, ^em ^que

(

^;

)

i i i

X ∩ µ σn então a variável

1 k

i i i

T a X

=

∑

= segue uma distribuição

normal: ² ²

1 1 1

; .

k k k

i i i i i i

i i i

T a X n a a

 

 

 

= = =

=

∑

∩

∑

µ

∑

σ

Deste modo, conclui-se que:

o ¹ ²

( )

1

... . ; .

k i

k k

i

S X X X X n k k

= + + + =

∑

= ∩ µ σ ^;

o ₁ ₂ ₁ ₂ ² ²

1 2

;

X X n^ ^

 

+ ∩ µ + µ σ + σ e

2 2

1 2 1 2; 1 2

X X n^^ ^^

 

− ∩ µ − µ σ + σ ;

o com ¹ k

i i

X X =

∑

⁼k

se tem X n ; k

 

 

 

∩ µ σ .

9 Recorde-se as propriedades do valor esperado e da variância: ^{E aX}[ + ^b] = ^{a E X}^. [ ]+ ^b^e

[ ] ²^. [ ]

VAR aX + b = a VAR X ^.