Análise Linear de Sistemas

Análise Linear de Sistemas

Paulo R. C. Vilela

• Introdução;

• Pólos, Zeros e Respostas do Sistema • Sistemas de Primeira Ordem:

– Equação Padrão;

– Resposta ao Degrau – Resposta à Rampa – Resposta ao Impulso;

• Sistemas de Segunda Ordem:

– Equação Padrão;

– Resposta ao Degrau.

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• Até o momento, analisamos e obtivemos

modelos matemáticos para sistemas

elétricos, mecânicos e eletromecânicos;

• Partiremos para análise de desempenho

dos sistemas:

– Análise da resposta no tempo do sistema a sinais de teste de entrada típicos como:

• Degrau; • Rampa; • Parábola; • Impulso; • Senoidais.

• Sinais de Testes Típicos:

• Com estes sinais de teste, tanto a análise

matemática quanto a análise experimental de sistemas de controle podem ser feitas com

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• Qual destes sinais de entrada típicos devem ser usados para analisar características do

sistema?

– Forma de solicitação a que o sistema será sujeito, mais freqüentemente, sob condições normais de operação.

• Exemplo 6.1:

– Quando as excitações variam gradualmente com o tempo?

– Para sistemas sujeitos a perturbações de transição brusca?

– Para sistemas submetidos a excitações do tipo surto (um buraco, por exemplo)?

• A resposta temporal de um sistema de controle consiste em duas partes:

– Resposta transitória: aquela que vai do estado inicial até o

estado final;

– Resposta estacionária: a maneira como o sinal de saída do

sistema se comporta quando t tende a infinito.

• Também podemos dividir a resposta do sistema entre a colaboração da entrada e a colaboração do próprio

sistema:

– Resposta Natural: resposta gerada devido à própria planta,

influenciada pelos pólos da mesma.

– Resposta Forçada: resposta gerada devido ao tipo de entrada/

Pólos, Zeros e Respostas do Sistema

)

(

)

(

)

(

t

c

t

c

t

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• Estabilidade Absoluta: caracteriza o sistema como estável ou instável.

• Um sistema está em equilíbrio se na ausência de qualquer distúrbio ou sinal de entrada, permanece no mesmo estado;

• Quando submetido a uma entrada/ distúrbio:

– É estável se retorna ao estado de equilíbrio;

– É criticamente estável se as oscilações do sinal de saída se repetirem de maneira contínua;

– É instável se divergir sem limites a partir do equilíbrio

• Zeros de uma Função de Transferência:

– Zeros são os valores da variável s que tornam a função de transferência igual a zero;

• Pólos de uma Função de Transferência:

– Pólos são os valores da variável s que tornam a equação característica igual a zero;

– A equação característica é o denominador da função transferência igualado a zero.

• Um sistema é estável quando os pólos da FT possuem parte real negativa;

• Um sistema é criticamente estável quando a parte real dos pólos da FT é igual a ZERO;

9

• Exemplo 6.2:

– Dada a função G(s) abaixo, identifique os pólos e zeros do sistema. Escreva, em termos genéricos, a saída c(t), se a entrada for um degrau unitário.

– Os pólos da função de entrada determinam a forma da resposta forçada;

– Os pólos da FT determinam a forma da resposta natural. – Pólos sobre o eixo real geram respostas exponenciais

Pólos, Zeros e Respostas do Sistema

• Equação Padrão:

– Um sistema de primeira ordem é

representado por uma EDO do tipo:

11

• Equação Padrão:

• Definindo:

13

• A FT é mostrada abaixo, junto com o

mapa de pólos e zeros:

• Equação padrão:

– Dividindo em frações parciais:

15

• Equação Padrão:

• Equação Padrão:

– A constante de tempo é o tempo necessário para que a resposta ao degrau alcance 63% do seu valor final:

17

• Exemplo 6.3:

• Tempo de Subida (T

) é tempo que

demora para que a forma de onda vá de

10% a 90% do seu valor final. Para o caso

de ganho unitário:

19

• Tempo de Acomodação (T

) tempo

necessário para que a resposta alcance

98% do valor final e aí permaneça. Para o

caso do ganho unitário:

– Resolvendo em função de t:

• Exemplo 6.4: Obter a constante de tempo,

o tempo de subida e o tempo de

acomodação para a FT abaixo.

Sistemas de Primeira Ordem

• Funções de Transferência de Primeira

Ordem obtidas experimentalmente:

– Frequentemente não é possível ou prático obter analiticamente a FT de um sistema;

– A resposta do sistema ao degrau pode levar à obtenção de uma representação, mesmo que não seja conhecida a construção interna.

– Com uma entrada degrau pode-se medir a constante de tempo e o valor de estado

estacionário, calculando assim a FT.

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• Funções de Transferência de Primeira

Ordem obtidas experimentalmente:

– Exemplo 6.5: A resposta ao degrau unitário é dada na figura abaixo. Considere como valor estacionário c(∞) = 0,72. Determine a FT de 1ª ordem que representa este sistema.

• Resposta ao degrau unitário:

23

• Resposta ao degrau unitário:

• Resposta ao degrau unitário:

– Quanto menor a constante de tempo, mais rápida a resposta do sistema:

25

• Resposta à rampa unitária:

• Resposta à rampa unitária:

– Expandindo em frações parciais (pólos múltiplos):

27

• Resposta à rampa unitária:

– Temos:

• Resposta à rampa unitária:

– Note-se que quanto menor a constante de tempo _τ, menor o erro estacionário da resposta do sistema. A Figura mostra várias

curvas para a equação anterior com diferentes constantes de tempo (_τ):

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• Resposta ao impulso unitário:

• Resposta ao impulso unitário:

31

• Resposta ao impulso unitário:

– Note-se que quanto menor a constante de tempo _τ, mais rápida será a resposta do sistema. A Figura a seguir mostra várias

curvas para a equação anterior com diferentes constantes de tempo (τ).

• De uma maneira genérica, sistemas de 2ª ordem são aqueles descritos pela equação diferencial:

Sistemas de Segunda Ordem

equação por

33

•

•

35

•

•

•

– Frequência natural: Frequência de oscilação do sistema no caso de não haver amortecimento.

Sistemas de Segunda Ordem

37

• Exemplo 6.6: Dada a função de

transferência abaixo, determine os valores

de fator de amortecimento e frequência

natural do sistema. Classifique-as como

sub-amortecida, super-amortecida,

criticamente amortecida ou sem

amortecimento.

Sistemas de Segunda Ordem

• Pólos da FT:

– A equação característica da FT é dada por:

– Por se tratar de uma Equação do segundo grau, aplicando Báskara e simplificando:

– Reescrevendo a FT:

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• Análise para diferentes fatores de amortecimento:

a) Sistemas sub-amortecidos (0<_ζ<1): A eq. característica possuirá duas raízes complexas conjugadas.

b) Sistemas Super-amortecidos (ζ>1): A eq. característica possuirá duas raízes reais e distintas.

c) Sistemas criticamente amortecidos (ζ=1): A eq. característica possuirá duas raízes reais e iguais

d) Sistemas sem amortecimento (_ζ=0): A eq. Característica possuirá duas raízes complexas com parte real nula.

Sistemas de Segunda Ordem

• Análise para diferentes fatores de amortecimento:

• Exemplo 6.7: Classifique as FT’s abaixo como sub-amortecidas, super-amortecidas, sem

amortecimento ou criticamente amortecidas. Desenhe o mapa de pólos e zeros para cada situação.

Sistemas de Segunda Ordem

9 ) ( 9 ) ( 9 9 9 ) ( ) ( ) 9 6 9 ) ( ) (

) _{2 2}

41

• Resposta ao degrau unitário:

– Considerando ganho unitário (K=1):

– Reescrevendo a FT:

– Substituindo a entrada R(s) = 1/s:

• Resposta ao degrau unitário:

– Caso Sub-amortecido (0<ζ<1):

• Se 0<ζ<1 os pólos a malha fechada são complexos

conjugados e se situam no semi-plano esquerdo do plano s. O sistema então é dito subamortecido, e a resposta é

oscilatória. Então os pólos do sistema:

•

Sistemas de Segunda Ordem

43

• Resposta ao degrau unitário:

– Caso Sub-amortecido (0<ζ<1):

• Expandindo em frações parciais (pólos complexos

conjugados) e aplicando a Transformada inversa de Laplace, chega-se em:

• A resposta c(t) para o caso de amortecimento nulo pode ser obtida substituindo-se _ζ=0 na equação anterior, resultando:

Sistemas de Segunda Ordem

0

,

cos

1

)

(

t

=

−

t

t

≥

• Resposta ao degrau unitário:

– Caso Sub-amortecido (0<ζ<1):

• ω_n representa a freqüência natural não-amortecida do sistema: freqüência em que o sistema oscilaria se o amortecimento fosse reduzido a zero.

• Se o sistema linear tiver amortecimento, mesmo que só um pouco, a freqüência natural não-amortecida não poderá ser observada experimentalmente.

• A freqüência que pode ser observada é a freqüência natural amortecida ω_d que é igual a ω_n√(1- ζ²). Esta freqüência é

sempre menor que a freqüência natural não-amortecida. • Um aumento em _ζ irá reduzir a freqüência natural

amortecida ω .

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• Resposta ao degrau unitário:

– Caso Criticamente Amortecido (ζ=1):

• Se ζ=1 os pólos a malha fechada são reais,

negativos e iguais e se situam no semi-plano

esquerdo do plano s. Então os pólos do sistema:

• Resposta ao degrau unitário:

– Caso Criticamente Amortecido (ζ=1):

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• Resposta ao degrau unitário:

– Caso Super-amortecido (ζ>1):

• Se ζ>1 os pólos a malha fechada são reais,

negativos e distintos e se situam no semi-plano esquerdo do plano s. Então os pólos do sistema continuam desta forma:

• Resposta ao degrau unitário:

– Caso Super-amortecido (ζ>1):

• Expandindo em frações parciais e aplicando a transformada inversa de Laplace:

•

49

• Resposta ao degrau unitário:

– Caso Super-amortecido (ζ>1):

• Quando ζ for consideravelmente maior que a unidade, uma das duas exponenciais

decrescentes decai mais rapidamente que a outra, de tal forma que o termo da exponencial mais

rápida (que corresponde a uma constante de tempo menor) pode ser desprezado.

• Isto é, se –s₂, estiver localizado muito mais perto do eixo do que de –s₁, (o que significa |s₂|≤|s₁| ), então para se obter uma solução aproximada

pode-se desprezar –s₁. Isto é permissível porque o efeito de –s₁, na resposta é muito menor que o de –s₂, pois o termo contendo –s₁,decai muito mais rapidamente do que o termo contendo –s₂.

• Resposta ao degrau unitário:

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• Exemplo 6.8: A figura abaixo descreve as respostas à entrada degrau para cinco sistemas de segunda ordem, cujas funções de transferência são dadas e identificadas com letras de “A” a “E”. A curva

correspondente à função de transferência “A” está indicada na figura.

Sistemas de Segunda Ordem

a) Associar cada uma das curvas, de B a E, a uma das funções de

transferência dadas, justificando e caracterizando cada uma das curvas, de B a E, quanto ao amortecimento (sub, super ou crítico)

• Exemplo 6.9: Escreva, por inspeção, a forma geral da resposta ao degrau para cada uma das seguintes

funções de transferência. Classifique-as como sub-amortecida, super-sub-amortecida, criticamente

amortecida ou sem amortecimento. Esboce a resposta de cada FT ao degrau unitário.

Sistemas de Segunda Ordem

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• Na pratica, a resposta transitória de um sistema de controle freqüentemente apresenta oscilações

amortecidas antes de alcançar o estado ou regime estacionário. Ao especificar as características de

resposta transitória de um sistema de controle a uma excitação em degrau unitário, é comum especificar-se o seguinte:

– Tempo de subida, t_r; – Instante de pico, t_p;

– Máxima ultrapassagem, M_p; – Tempo de acomodação, t_s.

• Teorema do Valor Final:

– O teorema do valor final é útil para a determinação do limite n_→∞ de uma função f(t) através da

transformada de Laplace.

lim _t→∞ f(t) = lim _s→0 s F(s)

• Dada a expressão que representa um sistema de 2ª ordem e supondo um sistema

sub-amortecido:

• Calcularemos as expressões para:

– Tempo de Subida (t_r); – Instante de Pico (t );

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• Tempo de Subida (t

):

– Tempo necessário para que a resposta

passe de 10% a 90%, de 5% a 95%, ou de 0% a 100% do seu valor final. Para

sistemas de segunda ordem

sub-amortecidos, normalmente se usa o tempo de subida de 0% a 100%. Para sistemas de segunda ordem superamortecidos, o tempo de subida normalmente usado diz respeito ao intervalo de 10% a 90%.

• Tempo de Subida (t

):

– Pela equação da resposta para ζ<1 e fazendo c(t_r)=1 (veja definição de tempo de subida):

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• Tempo de Subida (t

):

Definições e especificações em regime transitório

Multiplicando por _ωn em cima e em baixo:

Onde T=1_/σ

t é a constante de tempo do

sistema de 2ª ordem.

Onde _β é obtido pelo mapa de pólos e zeros, conforme a figura:

Isolando t_r teremos:

*Ou seja, a diminuição do tempo de subida só ocorre com o

• Instante de Pico (t

):

• Instante de pico, t_p:

– tempo necessário para que a resposta alcance o primeiro pico de ultrapassagem.

– Derivando-se a equação da resposta de um sistema sub-amortecido e igualando a zero, encontramos o tempo de pico:

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• Instante de Pico (t

):

– Igualando a derivada a zero, e substituindo t por t_p:

– Logo, teremos:

– Como o instante de pico corresponde ao primeiro

pico da ultrapassagem:

Definições e especificações em regime transitório

• Máximo Valor de Ultrapassagem(M

):

– Máximo valor de pico da curva de resposta medido a partir do valor unitário.

– O Maximo valor de ultrapassagem ocorre no instante do pico, ou seja, t = t_p = π_/ω

d;

– Supondo que o valor final da saída seja unitário:

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• Máximo Valor de Ultrapassagem(M

):

– O valor máximo de ultrapassagem percentual é:

•

Tempo de acomodação (t

):

– Tempo necessário para que a curva de resposta alcance valores dentro de uma

faixa em torno do valor final e aí permaneça. – O intervalo de valores no interior da faixa é

especificado por uma porcentagem absoluta do valor final (normalmente 2% ou 5%).

– Está relacionado com a maior constante de tempo do sistema de controle.

– A escolha de que porcentagem usar no critério de erro pode ser determinada a

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• Tempo de Acomodação(t

):

– O tempo de acomodação correspondente a uma faixa de tolerância de ±2% ou ±5%

pode ser medido em termos da constante de tempo T=1/σ_t.

– Para 0<ζ<0,9:

• se for usado o critério de 2%:

• Se for usado o critério de 5%

Definições e especificações em regime transitório

–Note-se que o tempo de acomodação alcança um valor mínimo em torno de ζ = 0,76 (para o critério de 2%) ou ζ = 0,68 (para o

critério de 5%) e depois aumenta quase

linearmente para grandes

65

• Se os valores de t_r, t_p, t_s, M_p forem especificados, é

possível obter, aproximadamente, a forma da curva de resposta do sistema:

• Note-se que nem todas estas especificações se

aplicam necessariamente a qualquer caso dado. Por exemplo, para um, sistema super-amortecido, os

termos instante de pico e máxima ultrapassagem não se aplicam.

• Exceto em certas aplicações, onde não se podem tolerar oscilações, é desejável que a

resposta transitória seja suficientemente rápida e suficientemente amortecida.

• O coeficiente de amortecimento deve estar

situado entre 0,4 e 0,8. Valores menores para ζ

acarretam valores de máxima ultrapassagem

excessivos na resposta transitória, e um sistema

com um valor grande de ζ responderá de forma

lenta.

• A máxima ultrapassagem e o tempo de subida

são especificações conflitantes. Não se pode minimizar a máxima ultrapassagem e o tempo

67

• Exemplo 6.10: Seja o sistema visto na figura abaixo, onde ζ=0,6 e ω_n=0,5 rad/s. Calcule o tempo de subida (t_r), o tempo de pico (t_p), o tempo de acomodação (t_s) para 2% e 5% e a máxima ultrapassagem, quando o sistema é sujeito a uma entrada degrau unitário.

• Exemplo 6.11: Determinar J e K, mostrados no sistema da figura abaixo para produzir uma

resposta a um degrau de torque na entrada com 30% de ultrapassagem e tempo de

acomodação de 4 s.

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• Exemplo 6.12: A Figura a seguir mostra um sistema mecânico vibratório. Quando uma força (entrada degrau) de 2 lb é aplicada ao sistema, a massa oscila, como mostra a curva de resposta. Determine m, b e k do sistema a partir da curva de resposta.