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criticamente amortecida ou sem amortecimento.

No documento Análise Linear de Sistemas (páginas 37-69)

Sistemas de Segunda Ordem

20 8 20 ) ( ) 16 8 16 ) ( ) 12 8 12 ) ( ) 36 2 , 4 36 ) ( ) 2 2 2 2 + + = + + = + + = + + = s s s G d s s s G c s s s G b s s s G a

• Pólos da FT:

– A equação característica da FT é dada por: – Por se tratar de uma Equação do segundo

grau, aplicando Báskara e simplificando:

– Reescrevendo a FT:

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Análise para diferentes fatores de amortecimento:

a) Sistemas sub-amortecidos (0<ζ<1): A eq. característica possuirá duas raízes complexas conjugadas.

b) Sistemas Super-amortecidos (ζ>1): A eq. característica possuirá duas raízes reais e distintas.

c) Sistemas criticamente amortecidos (ζ=1): A eq. característica possuirá duas raízes reais e iguais

d) Sistemas sem amortecimento (ζ=0): A eq. Característica possuirá duas raízes complexas com parte real nula.

Sistemas de Segunda Ordem

Análise para diferentes fatores de amortecimento:

• Exemplo 6.7: Classifique as FT’s abaixo como sub-amortecidas, super-amortecidas, sem

amortecimento ou criticamente amortecidas. Desenhe o mapa de pólos e zeros para cada situação.

Sistemas de Segunda Ordem

9 ) ( 9 ) ( 9 9 9 ) ( ) ( ) 9 6 9 ) ( ) ( ) 2 2 + + = + + = s C s C s s s R s C b s s s R s C a

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• Resposta ao degrau unitário:

– Considerando ganho unitário (K=1):

– Reescrevendo a FT:

– Substituindo a entrada R(s) = 1/s:

• Resposta ao degrau unitário:

– Caso Sub-amortecido (0<ζ<1):

• Se 0<ζ<1 os pólos a malha fechada são complexos

conjugados e se situam no semi-plano esquerdo do plano s. O sistema então é dito subamortecido, e a resposta é

oscilatória. Então os pólos do sistema:

Sistemas de Segunda Ordem

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• Resposta ao degrau unitário:

– Caso Sub-amortecido (0<ζ<1):

• Expandindo em frações parciais (pólos complexos

conjugados) e aplicando a Transformada inversa de Laplace, chega-se em:

• A resposta c(t) para o caso de amortecimento nulo pode ser obtida substituindo-se ζ=0 na equação anterior, resultando:

Sistemas de Segunda Ordem

0

,

cos

1

)

(t

=

t

t

c

ω

n

• Resposta ao degrau unitário:

– Caso Sub-amortecido (0<ζ<1):

• ωn representa a freqüência natural não-amortecida do sistema: freqüência em que o sistema oscilaria se o amortecimento fosse reduzido a zero.

• Se o sistema linear tiver amortecimento, mesmo que só um pouco, a freqüência natural não-amortecida não poderá ser observada experimentalmente.

• A freqüência que pode ser observada é a freqüência natural amortecida ωd que é igual a ωn√(1- ζ²). Esta freqüência é

sempre menor que a freqüência natural não-amortecida. • Um aumento em ζ irá reduzir a freqüência natural

amortecida ω .

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• Resposta ao degrau unitário:

– Caso Criticamente Amortecido (ζ=1):

• Se ζ=1 os pólos a malha fechada são reais,

negativos e iguais e se situam no semi-plano

esquerdo do plano s. Então os pólos do sistema:

• Resposta ao degrau unitário:

– Caso Criticamente Amortecido (ζ=1):

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• Resposta ao degrau unitário:

– Caso Super-amortecido (ζ>1):

• Se ζ>1 os pólos a malha fechada são reais,

negativos e distintos e se situam no semi-plano esquerdo do plano s. Então os pólos do sistema continuam desta forma:

• Resposta ao degrau unitário:

– Caso Super-amortecido (ζ>1):

• Expandindo em frações parciais e aplicando a transformada inversa de Laplace:

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• Resposta ao degrau unitário:

– Caso Super-amortecido (ζ>1):

• Quando ζ for consideravelmente maior que a unidade, uma das duas exponenciais

decrescentes decai mais rapidamente que a outra, de tal forma que o termo da exponencial mais

rápida (que corresponde a uma constante de tempo menor) pode ser desprezado.

• Isto é, se –s2, estiver localizado muito mais perto do eixo do que de –s1, (o que significa |s2|≤|s1| ), então para se obter uma solução aproximada

pode-se desprezar –s1. Isto é permissível porque o efeito de –s1, na resposta é muito menor que o de –s2, pois o termo contendo –s1,decai muito mais rapidamente do que o termo contendo –s2.

• Resposta ao degrau unitário:

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• Exemplo 6.8: A figura abaixo descreve as respostas à entrada degrau para cinco sistemas de segunda ordem, cujas funções de transferência são dadas e identificadas com letras de “A” a “E”. A curva

correspondente à função de transferência “A” está indicada na figura.

Sistemas de Segunda Ordem

a) Associar cada uma das curvas, de B a E, a uma das funções de

transferência dadas, justificando e caracterizando cada uma das curvas, de B a E, quanto ao amortecimento (sub, super ou crítico)

b) Localizar os pólos e zeros (quando houver) das funções de transferência de “A” a “E” no plano complexo s, esboçando um plano separado para cada função.

• Exemplo 6.9: Escreva, por inspeção, a forma geral da resposta ao degrau para cada uma das seguintes

funções de transferência. Classifique-as como sub- amortecida, super-amortecida, criticamente

amortecida ou sem amortecimento. Esboce a resposta de cada FT ao degrau unitário.

Sistemas de Segunda Ordem

625 225 30 225 ) ( ) 900 90 900 ) ( ) 400 12 400 ) ( ) 2 2 2 + + = + + = + + = s s s G c s s s G b s s s G a

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• Na pratica, a resposta transitória de um sistema de controle freqüentemente apresenta oscilações

amortecidas antes de alcançar o estado ou regime estacionário. Ao especificar as características de

resposta transitória de um sistema de controle a uma excitação em degrau unitário, é comum especificar-se o seguinte:

– Tempo de subida, tr; – Instante de pico, tp;

– Máxima ultrapassagem, Mp; – Tempo de acomodação, ts.

• Teorema do Valor Final:

– O teorema do valor final é útil para a determinação do limite n→∞ de uma função f(t) através da

transformada de Laplace.

lim t→∞ f(t) = lim s→0 s F(s)

• Dada a expressão que representa um sistema de 2ª ordem e supondo um sistema sub-

amortecido:

• Calcularemos as expressões para:

– Tempo de Subida (tr); – Instante de Pico (t );

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• Tempo de Subida (t

r

):

– Tempo necessário para que a resposta

passe de 10% a 90%, de 5% a 95%, ou de 0% a 100% do seu valor final. Para

sistemas de segunda ordem sub-

amortecidos, normalmente se usa o tempo de subida de 0% a 100%. Para sistemas de segunda ordem superamortecidos, o tempo de subida normalmente usado diz respeito ao intervalo de 10% a 90%.

• Tempo de Subida (t

r

):

– Pela equação da resposta para ζ<1 e fazendo c(tr)=1 (veja definição de tempo de subida):

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• Tempo de Subida (t

r

):

Definições e especificações em regime transitório

Multiplicando por ωn em cima e em baixo:

Onde T=1/σ

t é a constante de tempo do

sistema de 2ª ordem.

Onde β é obtido pelo mapa de pólos e zeros, conforme a figura:

Isolando tr teremos:

*Ou seja, a diminuição do tempo de subida só ocorre com o

• Instante de Pico (t

p

):

• Instante de pico, tp:

– tempo necessário para que a resposta alcance o primeiro pico de ultrapassagem.

– Derivando-se a equação da resposta de um sistema sub-amortecido e igualando a zero, encontramos o tempo de pico:

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• Instante de Pico (t

p

):

– Igualando a derivada a zero, e substituindo t por tp:

– Logo, teremos:

Como o instante de pico corresponde ao primeiro pico da ultrapassagem:

Definições e especificações em regime transitório

*O instante do pico tP correspondente ao meio ciclo de freqüência da oscilação amortecida.

• Máximo Valor de Ultrapassagem(M

p

):

– Máximo valor de pico da curva de resposta medido a partir do valor unitário.

– O Maximo valor de ultrapassagem ocorre no instante do pico, ou seja, t = tp = π/ω

d;

– Supondo que o valor final da saída seja unitário:

61

• Máximo Valor de Ultrapassagem(M

p

):

– O valor máximo de ultrapassagem percentual é:

– Caso o valor final (c(∞)) seja diferente de 1, então será necessário a seguinte equação: Definições e especificações em regime transitório

• Tempo de acomodação (t

s

):

– Tempo necessário para que a curva de resposta alcance valores dentro de uma

faixa em torno do valor final e aí permaneça. – O intervalo de valores no interior da faixa é

especificado por uma porcentagem absoluta do valor final (normalmente 2% ou 5%).

– Está relacionado com a maior constante de tempo do sistema de controle.

– A escolha de que porcentagem usar no critério de erro pode ser determinada a

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• Tempo de Acomodação(t

s

):

– O tempo de acomodação correspondente a uma faixa de tolerância de ±2% ou ±5%

pode ser medido em termos da constante de tempo T=1/σt.

– Para 0<ζ<0,9:

• se for usado o critério de 2%:

• Se for usado o critério de 5%

Definições e especificações em regime transitório

–Note-se que o tempo de acomodação alcança um valor mínimo em torno de ζ = 0,76 (para o critério de 2%) ou ζ = 0,68 (para o

critério de 5%) e depois aumenta quase

linearmente para grandes

65

• Se os valores de tr, tp, ts, Mp forem especificados, é

possível obter, aproximadamente, a forma da curva de resposta do sistema:

• Note-se que nem todas estas especificações se

aplicam necessariamente a qualquer caso dado. Por exemplo, para um, sistema super-amortecido, os

termos instante de pico e máxima ultrapassagem não se aplicam.

• Exceto em certas aplicações, onde não se podem tolerar oscilações, é desejável que a

resposta transitória seja suficientemente rápida e suficientemente amortecida.

• O coeficiente de amortecimento deve estar

situado entre 0,4 e 0,8. Valores menores para ζ

acarretam valores de máxima ultrapassagem

excessivos na resposta transitória, e um sistema

com um valor grande de ζ responderá de forma

lenta.

• A máxima ultrapassagem e o tempo de subida

são especificações conflitantes. Não se pode minimizar a máxima ultrapassagem e o tempo

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• Exemplo 6.10: Seja o sistema visto na figura abaixo, onde ζ=0,6 e ωn=0,5 rad/s. Calcule o tempo de subida (tr), o tempo de pico (tp), o tempo de acomodação (ts) para 2% e 5% e a máxima ultrapassagem, quando o sistema é sujeito a uma entrada degrau unitário.

• Exemplo 6.11: Determinar J e K, mostrados no sistema da figura abaixo para produzir uma

resposta a um degrau de torque na entrada com 30% de ultrapassagem e tempo de

acomodação de 4 s.

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• Exemplo 6.12: A Figura a seguir mostra um sistema mecânico vibratório. Quando uma força (entrada degrau) de 2 lb é aplicada ao sistema, a massa oscila, como mostra a curva de resposta. Determine m, b e k do sistema a partir da curva de resposta.

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