Sistemas de Segunda Ordem
20 8 20 ) ( ) 16 8 16 ) ( ) 12 8 12 ) ( ) 36 2 , 4 36 ) ( ) 2 2 2 2 + + = + + = + + = + + = s s s G d s s s G c s s s G b s s s G a
• Pólos da FT:
– A equação característica da FT é dada por: – Por se tratar de uma Equação do segundo
grau, aplicando Báskara e simplificando:
– Reescrevendo a FT:
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• Análise para diferentes fatores de amortecimento:
a) Sistemas sub-amortecidos (0<ζ<1): A eq. característica possuirá duas raízes complexas conjugadas.
b) Sistemas Super-amortecidos (ζ>1): A eq. característica possuirá duas raízes reais e distintas.
c) Sistemas criticamente amortecidos (ζ=1): A eq. característica possuirá duas raízes reais e iguais
d) Sistemas sem amortecimento (ζ=0): A eq. Característica possuirá duas raízes complexas com parte real nula.
Sistemas de Segunda Ordem
• Análise para diferentes fatores de amortecimento:
• Exemplo 6.7: Classifique as FT’s abaixo como sub-amortecidas, super-amortecidas, sem
amortecimento ou criticamente amortecidas. Desenhe o mapa de pólos e zeros para cada situação.
Sistemas de Segunda Ordem
9 ) ( 9 ) ( 9 9 9 ) ( ) ( ) 9 6 9 ) ( ) ( ) 2 2 + + = + + = s C s C s s s R s C b s s s R s C a
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• Resposta ao degrau unitário:
– Considerando ganho unitário (K=1):
– Reescrevendo a FT:
– Substituindo a entrada R(s) = 1/s:
• Resposta ao degrau unitário:
– Caso Sub-amortecido (0<ζ<1):
• Se 0<ζ<1 os pólos a malha fechada são complexos
conjugados e se situam no semi-plano esquerdo do plano s. O sistema então é dito subamortecido, e a resposta é
oscilatória. Então os pólos do sistema:
•
Sistemas de Segunda Ordem
43
• Resposta ao degrau unitário:
– Caso Sub-amortecido (0<ζ<1):
• Expandindo em frações parciais (pólos complexos
conjugados) e aplicando a Transformada inversa de Laplace, chega-se em:
• A resposta c(t) para o caso de amortecimento nulo pode ser obtida substituindo-se ζ=0 na equação anterior, resultando:
Sistemas de Segunda Ordem
0
,
cos
1
)
(t
=
−
t
t
≥
c
ω
n• Resposta ao degrau unitário:
– Caso Sub-amortecido (0<ζ<1):
• ωn representa a freqüência natural não-amortecida do sistema: freqüência em que o sistema oscilaria se o amortecimento fosse reduzido a zero.
• Se o sistema linear tiver amortecimento, mesmo que só um pouco, a freqüência natural não-amortecida não poderá ser observada experimentalmente.
• A freqüência que pode ser observada é a freqüência natural amortecida ωd que é igual a ωn√(1- ζ²). Esta freqüência é
sempre menor que a freqüência natural não-amortecida. • Um aumento em ζ irá reduzir a freqüência natural
amortecida ω .
45
• Resposta ao degrau unitário:
– Caso Criticamente Amortecido (ζ=1):
• Se ζ=1 os pólos a malha fechada são reais,
negativos e iguais e se situam no semi-plano
esquerdo do plano s. Então os pólos do sistema:
• Resposta ao degrau unitário:
– Caso Criticamente Amortecido (ζ=1):
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• Resposta ao degrau unitário:
– Caso Super-amortecido (ζ>1):
• Se ζ>1 os pólos a malha fechada são reais,
negativos e distintos e se situam no semi-plano esquerdo do plano s. Então os pólos do sistema continuam desta forma:
• Resposta ao degrau unitário:
– Caso Super-amortecido (ζ>1):
• Expandindo em frações parciais e aplicando a transformada inversa de Laplace:
•
49
• Resposta ao degrau unitário:
– Caso Super-amortecido (ζ>1):
• Quando ζ for consideravelmente maior que a unidade, uma das duas exponenciais
decrescentes decai mais rapidamente que a outra, de tal forma que o termo da exponencial mais
rápida (que corresponde a uma constante de tempo menor) pode ser desprezado.
• Isto é, se –s2, estiver localizado muito mais perto do eixo do que de –s1, (o que significa |s2|≤|s1| ), então para se obter uma solução aproximada
pode-se desprezar –s1. Isto é permissível porque o efeito de –s1, na resposta é muito menor que o de –s2, pois o termo contendo –s1,decai muito mais rapidamente do que o termo contendo –s2.
• Resposta ao degrau unitário:
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• Exemplo 6.8: A figura abaixo descreve as respostas à entrada degrau para cinco sistemas de segunda ordem, cujas funções de transferência são dadas e identificadas com letras de “A” a “E”. A curva
correspondente à função de transferência “A” está indicada na figura.
Sistemas de Segunda Ordem
a) Associar cada uma das curvas, de B a E, a uma das funções de
transferência dadas, justificando e caracterizando cada uma das curvas, de B a E, quanto ao amortecimento (sub, super ou crítico)
b) Localizar os pólos e zeros (quando houver) das funções de transferência de “A” a “E” no plano complexo s, esboçando um plano separado para cada função.
• Exemplo 6.9: Escreva, por inspeção, a forma geral da resposta ao degrau para cada uma das seguintes
funções de transferência. Classifique-as como sub- amortecida, super-amortecida, criticamente
amortecida ou sem amortecimento. Esboce a resposta de cada FT ao degrau unitário.
Sistemas de Segunda Ordem
625 225 30 225 ) ( ) 900 90 900 ) ( ) 400 12 400 ) ( ) 2 2 2 + + = + + = + + = s s s G c s s s G b s s s G a
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• Na pratica, a resposta transitória de um sistema de controle freqüentemente apresenta oscilações
amortecidas antes de alcançar o estado ou regime estacionário. Ao especificar as características de
resposta transitória de um sistema de controle a uma excitação em degrau unitário, é comum especificar-se o seguinte:
– Tempo de subida, tr; – Instante de pico, tp;
– Máxima ultrapassagem, Mp; – Tempo de acomodação, ts.
• Teorema do Valor Final:
– O teorema do valor final é útil para a determinação do limite n→∞ de uma função f(t) através da
transformada de Laplace.
lim t→∞ f(t) = lim s→0 s F(s)
• Dada a expressão que representa um sistema de 2ª ordem e supondo um sistema sub-
amortecido:
• Calcularemos as expressões para:
– Tempo de Subida (tr); – Instante de Pico (t );
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• Tempo de Subida (t
r):
– Tempo necessário para que a resposta
passe de 10% a 90%, de 5% a 95%, ou de 0% a 100% do seu valor final. Para
sistemas de segunda ordem sub-
amortecidos, normalmente se usa o tempo de subida de 0% a 100%. Para sistemas de segunda ordem superamortecidos, o tempo de subida normalmente usado diz respeito ao intervalo de 10% a 90%.
• Tempo de Subida (t
r):
– Pela equação da resposta para ζ<1 e fazendo c(tr)=1 (veja definição de tempo de subida):
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• Tempo de Subida (t
r):
Definições e especificações em regime transitório
Multiplicando por ωn em cima e em baixo:
Onde T=1/σ
t é a constante de tempo do
sistema de 2ª ordem.
Onde β é obtido pelo mapa de pólos e zeros, conforme a figura:
Isolando tr teremos:
*Ou seja, a diminuição do tempo de subida só ocorre com o
• Instante de Pico (t
p):
• Instante de pico, tp:
– tempo necessário para que a resposta alcance o primeiro pico de ultrapassagem.
– Derivando-se a equação da resposta de um sistema sub-amortecido e igualando a zero, encontramos o tempo de pico:
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• Instante de Pico (t
p):
– Igualando a derivada a zero, e substituindo t por tp:
– Logo, teremos:
– Como o instante de pico corresponde ao primeiro pico da ultrapassagem:
Definições e especificações em regime transitório
*O instante do pico tP correspondente ao meio ciclo de freqüência da oscilação amortecida.
• Máximo Valor de Ultrapassagem(M
p):
– Máximo valor de pico da curva de resposta medido a partir do valor unitário.
– O Maximo valor de ultrapassagem ocorre no instante do pico, ou seja, t = tp = π/ω
d;
– Supondo que o valor final da saída seja unitário:
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• Máximo Valor de Ultrapassagem(M
p):
– O valor máximo de ultrapassagem percentual é:
– Caso o valor final (c(∞)) seja diferente de 1, então será necessário a seguinte equação: Definições e especificações em regime transitório
• Tempo de acomodação (t
s):
– Tempo necessário para que a curva de resposta alcance valores dentro de uma
faixa em torno do valor final e aí permaneça. – O intervalo de valores no interior da faixa é
especificado por uma porcentagem absoluta do valor final (normalmente 2% ou 5%).
– Está relacionado com a maior constante de tempo do sistema de controle.
– A escolha de que porcentagem usar no critério de erro pode ser determinada a
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• Tempo de Acomodação(t
s):
– O tempo de acomodação correspondente a uma faixa de tolerância de ±2% ou ±5%
pode ser medido em termos da constante de tempo T=1/σt.
– Para 0<ζ<0,9:
• se for usado o critério de 2%:
• Se for usado o critério de 5%
Definições e especificações em regime transitório
–Note-se que o tempo de acomodação alcança um valor mínimo em torno de ζ = 0,76 (para o critério de 2%) ou ζ = 0,68 (para o
critério de 5%) e depois aumenta quase
linearmente para grandes
65
• Se os valores de tr, tp, ts, Mp forem especificados, é
possível obter, aproximadamente, a forma da curva de resposta do sistema:
• Note-se que nem todas estas especificações se
aplicam necessariamente a qualquer caso dado. Por exemplo, para um, sistema super-amortecido, os
termos instante de pico e máxima ultrapassagem não se aplicam.
• Exceto em certas aplicações, onde não se podem tolerar oscilações, é desejável que a
resposta transitória seja suficientemente rápida e suficientemente amortecida.
• O coeficiente de amortecimento deve estar
situado entre 0,4 e 0,8. Valores menores para ζ
acarretam valores de máxima ultrapassagem
excessivos na resposta transitória, e um sistema
com um valor grande de ζ responderá de forma
lenta.
• A máxima ultrapassagem e o tempo de subida
são especificações conflitantes. Não se pode minimizar a máxima ultrapassagem e o tempo
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• Exemplo 6.10: Seja o sistema visto na figura abaixo, onde ζ=0,6 e ωn=0,5 rad/s. Calcule o tempo de subida (tr), o tempo de pico (tp), o tempo de acomodação (ts) para 2% e 5% e a máxima ultrapassagem, quando o sistema é sujeito a uma entrada degrau unitário.
• Exemplo 6.11: Determinar J e K, mostrados no sistema da figura abaixo para produzir uma
resposta a um degrau de torque na entrada com 30% de ultrapassagem e tempo de
acomodação de 4 s.
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• Exemplo 6.12: A Figura a seguir mostra um sistema mecânico vibratório. Quando uma força (entrada degrau) de 2 lb é aplicada ao sistema, a massa oscila, como mostra a curva de resposta. Determine m, b e k do sistema a partir da curva de resposta.