PROBABILIDADE CONDICIONAL INDEPENDÊNCIA DE EVENTOS

PROBABILIDADE E

ESTATÍSTICA

PROFESSOR: Heleno Pontes Bezerra Neto Eng. Civil, M.Sc.

[email protected]

Maceió-AL 2014.2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS

SUMÁRIO DA AULA

PROBABILIDADE CONDICIONAL

INDEPENDÊNCIA DE EVENTOS

 Como será que a probabilidade de um evento muda após

sabermos que um outro evento ocorreu?

 A ideia de probabilidade condicional está intimamente

relacionada ao fato da ocorrência de um evento afetar ou não a probabilidade de ocorrência de outro evento

 Uma probabilidade condicional nada mais é do que uma probabilidade calculada não mais a partir do espaço amostral

inteiro E, e sim a partir de um subconjunto de E

PROBABILIDADE CONDICIONAL

Função de distribuição de probabilidade conjunta dos parâmetros ambientais da onda

Resposta extrema crítica da estrutura condicionada à ação de

PROBABILIDADE CONDICIONAL

• Probabilidade condicional: Dados dois eventos A e B, a probabilidade condicional de A dado que ocorreu B é denotada por P(A|B) e definida por

.

0

P(B)

,

P(B)

B)

P(A

B)

|

P(A







Da definição de probabilidade condicional, obtemos a regra do produto de probabilidades

B).

|

P(A

P(B)

B)

P(A







Analogamente, se P(A) >0,

.

A)

|

P(B

P(A)

B)

PROBABILIDADE CONDICIONAL

Diretamente da tabela

• Qual é a probabilidade de um jovem escolhido ser alfabetizado sabendo-se que é do sexo masculino?

Sexo Alfabetizada Total Sim Não

Masc. 39.577 8.672 48.249 Fem. 46.304 7.297 56.601 Total 85.881 15.969 101.85

𝑃 𝑆 𝑀 = 𝑃(𝑆 ∩ 𝑀)_{𝑃(𝑀) =}

39.577 101.85 48.249 101.85

PROBABILIDADE CONDICIONAL

A: 2ª bola sorteada é branca C: 1ª bola sorteada é branca P(A) = ???

Para representar todas as possibilidades, utilizamos, um diagrama conhecido como diagrama de árvores ou árvore de probabilidades.

5 3 5 2 B V 4 2 4 2 V B 4 3 4 1 V B 1 Total V V VB BV BB Probabilidades Resultados 20 2 4 1 5 2   20 6 4 3 5 2   20 6 4 2 5 3   20 6 4 2 5 3   5 2 20 6 20 2 )

(A   

P Temos 4 1 2 5 20 2 ) |

(A C    P

PROBABILIDADE CONDICIONAL

1 Total VV VB BV BB Probabilidade Resultados 25 4 5 2 5 2   25 6 5 3 5 2   25 6 5 2 5 3   25 9 5 3 5 3  

Considere agora que as extrações são feitas com reposição, ou

seja, a 1a _{bola sorteada é reposta na urna antes da 2}a _extração.

Nesta situação, temos

ou seja, o resultado na 2a _{extração independe do que ocorre na}

1a _extração.

e 5 2 25 6 25 4  

P(A) = P(branca na 2ª) =

Neste caso,

P(A|C) = P( branca na 2ª | branca na 1ª) = P(A) 5 2  ) A ( P 5 2 

P(A|Cc) = P(branca na 2ª | vermelha na 1ª) =

• Independência de eventos: Dois eventos A e B são independentes se a informação da ocorrência (ou não) de B não altera a probabilidade de ocorrência de A, isto é,

P(B).

P(A)

B)

P(A







• Temos a seguinte forma equivalente:

P(A),

B)

|

P(A



P(B)



0.

Exemplo: A probabilidade de Jonas ser aprovado no vestibular é 1/3 e a de Madalena é 2/3. Qual é a probabilidade de ambos serem aprovados?

A: Jonas é aprovado

B: Madalena é aprovada

P(A  B) = P(A) x P(B) = 1/3 x 2/3 = 2/9

 Qual foi a suposição feita?

A

B

A ∩ B

Espaço amostral E

A

B

A ∩ _B

Na probabilidade condicional, B faz o papel do espaço amostral

E

( ) ( | )

( )

  P A B

P A B

P B

Se A e B são disjuntos:

A _B

( | ) 0

P A B

Se B A :

A

Caso geral:

Se A B :

B

A ( )

( | )

( )

 P A

P A B

P B

B

A

(

)

( | )

( )





P A

B

P A B

P B

Uma vez que: _{( | )} ( )

( )

  P A B

P A B

P B

( ) ( | )

( )

  P A B

P B A

P A

e

(  )  ( ). ( | )

P A B P B P A B _e P A(  )B  P A P B A( ). ( | )

Uma vez que:

(



)



( ). ( | )



( ). ( | )

P A

B

P B P A B

P A P B A

Temos:

Logo:

Esse resultado é também conhecido como Teorema da multiplicação

Este teorema nos permite escrever uma probabilidade condicional em termos da probabilidade condicional “inversa”, o que é útil quando uma delas for difícil de calcular

Em particular:

(



)



( ). ( | )



( ). ( | )

P A

B

P B P A B

P A P B A

( ). ( | )

( | )

( )



P A P B A

P A B

P B

Exemplo:

Um grupo de pessoas inclui:

• 40 com diploma de curso superior, • 20 microempresários e

• 10 que são, ao mesmo tempo, portadores de diploma do curso superior e microempresários.

Calcule a probabilidade de alguém ser microempresário sabendo que ele tem diploma de curso superior.

Sejam os eventos:

A = { pessoa tem diploma de curso superior } B = { pessoa é um microempresário }

Seleciona-se uma das 50 pessoas aleatoriamente. Então:

P( A ) = 40/50 P( B ) = 20/50

P( A ∩ B ) = 10/50

• Considere o seguinte evento: a pessoa é microempresária e sabe-se que ela tem diploma de curso superior

• A probabilidade deste evento é diferente da probabilidade da pessoa ser microempresária, visto que agora o espaço amostral não consiste mais nas 50 pessoas originais, mas apenas naquelas que possuem diploma de curso superior

A probabilidade condicional de que uma pessoa seja microempresária sabendo-se que ela tem diploma de curso superior é dada por:

10

(

)

₅₀

10

( | )

40

( )

40

50





P A

B





P B A

P A

( | ) 0,25



P B A

• O exemplo mostra que devemos olhar para as 10 pessoas na interseção dentre as 40 pessoas com diploma de curso superior

• O nosso espaço amostral, ao calcular a probabilidade condicional, restringe-se às 40 pessoas que têm curso superior, e não mais às 50 pessoas do grupo original

Observações:

Exemplo:

Em uma amostra de 100 funcionários de uma empresa:

 35 são homens e fumantes,

 28 são homens e não fumantes,

 17 são mulheres e fumantes,

 20 são mulheres e não fumantes.

Qual a probabilidade de um funcionário escolhido ao acaso ser fumante, considerando que ele seja homem?

Sejam os eventos:

Note que, quando definimos que o evento B ocorreu (o funcionário é homem), restringimos o espaço amostral à ocorrência do evento A (o funcionário é fumante)

O novo universo passa a ser o próprio evento B

Utilizando o número de elementos de cada conjunto: P(A | B) = 35/63 = 0.556

Ou empregando a expressão da definição:

P(B) = 63/100 = 0.63

P(A ∩ B) = 35/100 = 0.35

P(A | B) = P(A ∩ B)/P(B) = 0.35/0.63 = 0.556

Exemplo:

Ao serem lançados dois dados equilibrados sobre uma mesa, calcule a probabilidade de a soma das duas faces ser 8, sabendo que ocorre face 3 no primeiro dado.

Sejam os eventos:

A = { a soma das duas faces é 8 }

B = { ocorre face 3 no primeiro dado }

Total de resultados possíveis no lançamento dos dois dados: 6 x 6 = 36

A = { (2;6), (3;5), (4;4), (4;4), (5;3), (6;2) } B = { (3;1), (3;2), (3;3), (3;4), (3;5), (3;6) }

(



) 1/ 36



P A

B

(

)

1/ 36

( | )

( )

6 / 36





P A

B



P A B

P B

(3;5)

( ) 6 / 36



P B

( | ) 1/ 6



P A B

PROBABILIDADE CONDICIONAL

Dois eventos A e B são independentes quando se verifica:

( | )



( )

P A B

P A

P B A

( | )



P B

( )

(

)

( | )

(

)

( )

( )

( )





P A

B









P A B

P A

B

P A

P B

P B

Portanto, se A e B são eventos

 Se P(A) = 0,35 , P(B) = 0,8 e P(A∩B) = 0,28, A e B são

independentes?

Exemplo 1:

P(A).P(B) = (0,35).(0,8) = 0,28

Como P(A).P(B) = P(A∩B), A e B são independentes

Exemplo 2:

 Se P(A|B) = 0,4 , P(B) = 0,8 e P(A) = 0,6, os eventos A e B

são independentes?

Uma vez que P(A|B) ≠ P(A), os eventos não são independentes

 Se P(A) = 0,2 e P(B) = 0,2 e se os eventos A e B forem

mutuamente excludentes, eles serão independentes?

Exemplo 3:

Se A e B são mutuamente excludentes, e admitimos que eles são independentes, então:

P(A).P(B) = P(A∩B) = 0

Como P(A).P(B) = 0,04 ≠ 0, os eventos A e B não são independentes

Exemplo 4:

 Tomou-se uma amostra com 1000 pessoas em um

shopping-center com o objetivo de investigar a relação entre a renda familiar e a posse de cartões de crédito.

 A partir dos dados da próxima tabela pergunta-se:

existe independência entre “renda” e “posse de cartões de crédito”?

 Se existe independência entre as duas variáveis, então:

P(A_i∩B_j) = P(A_i).P(B_j) para todos i e j

 Onde A_i indica o nível de renda e B_j o número de cartões de

crédito

 Logo, basta provar que a igualdade acima não é válida para

ALGUMA célula na tabela para concluir que as duas variáveis são dependentes.

Se olharmos para a célula superior esquerda vemos que:

P(renda abaixo de R$500 E nenhum cartão) = 260/1000 = 0,26

Mas:

P(renda abaixo de R$500) = 330/1000 = 0,33

P(nenhum cartão) = 530/1000 = 0,53

Ora, como 0,33.0,53 = 0,17 (≠0,26), segue-se que as variáveis renda

familiar e número de cartões de crédito são dependentes.

PROBABILIDADE