AMOSTRAS ALEATÓRIAS E PROBABILIDADE CONDICIONAL

PROBABILIDADE E

ESTATÍSTICA

PROFESSOR: Heleno Pontes Bezerra Neto Eng. Civil, M.Sc.

helenopontes@lccv.ufal.br

Maceió-AL 2014.2

SUMÁRIO DA AULA

AMOSTRAS ALEATÓRIAS E PROBABILIDADE CONDICIONAL

TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL

TEOREMA DE BAYES

AMOSTRAS ALEATÓRIAS E PROBABILIDADE CONDICIONAL

Amostras Aleatórias

Selecionar aleatoriamente implica que, em cada etapa da amostragem, os itens que permanecem na batelada são igualmente prováveis de serem selecionados.

EXEMPLO:

Suponha que existem 10 itens da ferramenta 1 e 40 itens da ferramenta 2.

Se dois itens forem selecionados aleatoriamente, sem reposição, qual é a probabilidade condicional de que 1 item da ferramenta 2 seja selecionado na segunda retirada, dado que 1 item da ferramenta 1 tenha sido selecionado primeiro?

• Existem 50 itens possíveis para selecionar na primeira retirada e 49 para selecionar na segunda. Logo, o espaço amostral tem 50x49 = 2450 resultados

𝑃 𝐸₁ 𝐸₂ = 𝑃(𝐸_𝑃(𝐸1 ∩ 𝐸2)

1)

AMOSTRAS ALEATÓRIAS E PROBABILIDADE CONDICIONAL

EXEMPLO:

• Se 1 item da ferramenta 1 fosse selecionado na primeira retirada, 49 itens restariam: 9 da ferramenta 1 e 40 da ferramenta 2. Eles teriam a mesma probabilidade de ser escolhidos. Consequentemente, a probabilidade de um item da ferramenta 2 ser selecionado na segunda retirada, dada a primeira retirada, é:

AMOSTRAS ALEATÓRIAS E PROBABILIDADE CONDICIONAL

EXEMPLO:

Um armário contém 11 garrafas de vários tipos de óleo cru, que são numeradas de 1 a 11. Retirando-se uma delas ao acaso (para começar um determinado experimento), observa-se que a mesma traz um número ímpar. Determinar a probabilidade de que este número seja menor que 5.

B = { 1, 3, 5, 7, 9, 11}

A = {1, 2, 3, 4}

A∩B = {1, 3}

Já ocorreu

TEORIA DA PROBABILIDADE TOTAL

 A probabilidade de um evento pode ser dada sob várias condições;

 A partir dessa informação podemos recuperar a probabilidade do evento;

 Esse resultado é conhecido como regra da probabilidade total.

 Um conjunto de eventos {E_i}, i = 1,..., n constitui uma partição do espaço amostral 𝐵 quando satisfaz as duas condições a seguir:

Os eventos que compõem uma partição são

- mutuamente exclusivos e,

- quando unidos, englobam todo o espaço amostral

𝐸

∩ 𝐸

= ∅, ∀𝑖, 𝑗 = 1, … , 𝑛(𝑖 ≠ 𝑗)

𝐸

𝑛

𝑖=1

B

PARTIÇÃO DO ESPAÇO AMOSTRAL

𝐸_𝑖 ∩ 𝐸_𝑗 = ∅, ∀𝑖, 𝑗 = 1, … , 𝑛(𝑖 ≠ 𝑗)

𝐸_𝑖

𝑛

𝑖=1

= 𝐵

𝑬

𝑬

𝑬

𝑬

𝑬

𝑬

 Considere um evento B e uma partição do espaço amostral {E_i}, i = 1,..., m.

Para essa partição e esse evento, tem-se que:

ou ainda:

TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL

𝑃 𝐵 = 𝑃(𝐵 ∩ 𝐸

)

𝑚

𝑗=1

𝑃 𝐵 = 𝑃 𝐵 𝐸

𝑃(𝐸

)

𝑚

TEOREMA DE BAYES

 Considere uma partição do espaço amostral {E_j}, j = 1,..., m, com

P(E_j) > 0 para todo j. Seja ainda B um evento com P(B) > 0

 Utilizando a definição de probabilidade condicional:

 Pelo teorema da probabilidade total:

Thomas Bayes (1702-1761)

𝑃 𝐸

𝐵 =

𝑃(𝐸

_𝑃(𝐵)

∩ 𝐵)

𝑃 𝐵 𝐸

=

𝑃(𝐵 ∩ 𝐸

_𝑃(𝐸

)

𝑗

)

𝑃 𝐵 ∩ 𝐸

= 𝑃 𝐵 𝐸

𝑃(𝐸

)

𝑃 𝐵 = 𝑃 𝐵 𝐸

𝑃(𝐸

)

𝑚

 Substituindo (2) e (3) em (1) :

TEOREMA DE BAYES

𝑃 𝐸

𝐵 =

𝑃(𝐸

_𝑃(𝐵)

∩ 𝐵)

𝑃 𝐸

∩ 𝐵 = 𝑃 𝐵 𝐸

𝑃(𝐸

)

𝑃 𝐵 = 𝑃 𝐵 𝐸

𝑃(𝐸

)

𝑚

𝑗=1

𝑃 𝐸

𝐵 =

𝑃 𝐵 𝐸

_{𝑃 𝐵 𝐸}

𝑃(𝐸

)

𝑗

𝑃(𝐸

)

 As probabilidades P(E_j) são conhecidas como probabilidades a priori

 As probabilidades P(E_j|B) são conhecidas como probabilidades a posteriori

 A expressão acima é conhecida como Teorema de de Bayes

TEOREMA DE BAYES

𝑃 𝐸

𝐵 =

𝑃 𝐵 𝐸

_{𝑃 𝐵 𝐸}

𝑃(𝐸

)

𝑗

𝑃(𝐸

)

Exemplo:

Uma fábrica tem três máquinas, A, B e C, que respondem, respectivamente, por 40%, 35% e 25% de sua produção.

A proporção de peças defeituosas na máquina A é de 2%, essa proporção é de 1% para a máquina B e de 3% para a máquina C.

Toma-se uma peça ao acaso. É defeituosa. Qual a probabilidade de ela ter sido produzida pela máquina B?

• Chamemos de B o evento fabricado pela máquina B, e de d o evento defeituosa

• Queremos, dessa forma, a probabilidade P(B|d):

• Mas a peça defeituosa pode provir de qualquer uma das três máquinas (e só

de uma). Logo:

)

(

)

|

(

).

(

)

(

)

(

)

|

(

d

P

B

d

P

B

P

d

P

d

B

P

d

B

P







%

4

,

18

184

,

0

)

03

,

0

)(

25

,

0

(

)

01

,

0

)(

35

,

0

(

)

02

,

0

)(

40

,

0

(

)

01

,

0

)(

35

,

0

(

)

|

(

019

,

0

)

03

,

0

)(

25

,

0

(

)

01

,

0

)(

35

,

0

(

)

02

,

0

)(

40

,

0

(

)

(

)

|

(

)

(

)

|

(

)

(

)

|

(

)

(

)

(

























d

B

P

d

P

C

d

P

C

P

B

d

P

B

P

A

d

P

A

P

d

P

A visualização do problema é facilitada pela utilização do seu correspondente diagrama em árvore

d A B C 0,40 0,35 0,25 d’ d’ d’ d d 0,02 0,98 0,01 0,99 0,03 0,97 ) 03 , 0 )( 25 , 0 ( ) 01 , 0 )( 35 , 0 ( ) 02 , 0 )( 40 , 0 ( ) 01 , 0 )( 35 , 0 ( ) | ( ) 03 , 0 )( 25 , 0 ( ) 01 , 0 )( 35 , 0 ( ) 02 , 0 )( 40 , 0 ( ) ( ) | ( ) ( ) | ( ) ( ) | ( ) ( ) (          d B P d P C d P C P B d P B P A d P A P d P

TEOREMA DE BAYES

•

Seja

M=doença

meningite

S= dor de cabeça

•

Um Doutor sabe:

P(S/M)=0.5

P(M)=1/50000

P(S)=1/20

P

(M/S)=

_P

(S/M)

_P

(M)

_P

(S)

=0,5*(1/50000)=0,002

1/20

 Um experimento é aleatório se não for possível antecipar seu resultado,

apesar de conhecermos todos os resultados possíveis que definem o espaço amostral do experimento

 Cada vez que o experimento for repetido, seu resultado pertencerá a esse

espaço amostral, sendo cada resultado denominando ponto amostral

 Em vez de operar com o espaço amostral, agora utilizaremos um conceito

mais amplo denominado variável aleatória, que adota valores de acordo com os resultados de um experimento aleatório

S

característica

qualitativa

quantitativa

discreta

contínua

A variável aleatória (v.a) associa cada elemento do espaço amostral S a um número real.



v.a.

Ponto amostral

 Variável que assume um valor dado por uma medida em uma escala

contínua, isto é, todos os valores possíveis em um intervalo real



Variável aleatória contínua

Exemplos: Pressão, comprimento, peso, tempo



Variável aleatória discreta

 Variável que assume um número finito ou infinito contável de

valores numéricos

Exemplos: Número de peças defeituosas entre 1000 testadas, número de filhos, ...

 jogar dados

X: ponto obtido no dado X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} X: = 1 se ponto for igual a 6 X: = 0 caso contrário

X = {0, 1}

 jogar 5 moedas (ou uma moeda 5 vezes)

X: número de caras em 5 lances X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

 jogar uma moeda até tirar uma cara

X: número de jogadas até tirar uma cara (incluindo-se a cara) X = {1, 2, 3, ...}

X: número de coroas até tirar uma cara X = {0, 1, 2, ...}

Exemplos:

 X: tamanho de uma peça X = [0,+[

 X: diferença na produção de grãos entre duas safras (peso) X = ]-,+[

 X: resistência à tração do concreto X = [0,1000]

Exemplos

:

S

KK

KC

CK

CC

X: número de caras em 2 lances de moeda

0 1 2

X = 0  CC

X = 1  KC  CK X = 2  KK

(imagem)

Experimento: jogar 2 moedas e observar o resultado (K = cara e C = coroa)

 O passo fundamental para entendermos uma v.a. é associar a cada valor a

sua probabilidade, obtendo o que se chama de uma distribuição de probabilidades

 A distribuição de probabilidades fica caracterizada pelos valores da v.a. X

e pela regra, ou função, que associa a cada valor uma probabilidade

 Essa função, chamada de função de probabilidade, é representada por

f(x). No exemplo anterior, temos:

Valores de X

Probabilidade

0 1 2

1/4 1/2 1/4

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

X = 0  CC

Para estudar situações em que está presente a incerteza, e tomar decisões, temos basicamente que:

 Identificar a v.a. de interesse

 Obter sua distribuição de probabilidade

 Tirar os elementos necessários à tomada de decisão

PROBABILIDADE

PRÓXIMA AULA

Referências: