2 A idéia básica do processo é decompor

(1)

Disciplina: Cálculo Integral Curso: Engenharias

Profa Ilka Rebouças Freire

Métodos de Integração 2

Integração de Funções Racionais – Decomposição em frações parciais

Vamos analisar integrais de funções racionais, ou seja, integrais do tipo

_∫

dx ) x ( Q

) x (

P _{, onde}

P(x) e Q(x) são polinômios.

Já sabemos resolver algumas integrais deste tipo, por exemplo:

_∫

+x2 1

dx _;

∫

+x dx 2

x

2 ;

∫

₁dx₋_x, etc.

O caso que nos interessa mais de perto é quando o grau do polinômio do numerador é menor que o grau do polinômio do denominador (gr(P(x) < gr(Q(x)) pois, caso contrário, efetuamos a divisão indicada e obtemos

) x ( Q

) x ( r ) x ( p ) x ( Q

) x ( P

+

= sendo gr( r(x) ) < gr(Q(x)).

Exemplos: 1)

_∫

+ +

dx 2 x

1

x

P(x) = x + 1; Q(x) = x + 2. O grau do numerador é igual ao do denominador. Dividindo P por Q temos que

2 x

1 1 2 x

1 x

+ − = +

+ _{. Logo,}

∫

₊+ dx 2 x

1

x ₌

∫

= − + +

+

− dx x lnx 2 C

2 x

1 dx

2) dx

1 x

1 x2

∫

₊+

P(x) = x2 + 1; Q(x) = x + 1. O grau do numerador é maior que o grau do denominador. Dividindo x2_{+ 1 por x + 1 obtemos}

1 x

2 ) 1 x ( 1 x

1 x2

+ + − = +

+ _{. Logo,}

dx 1 x

1 x2

∫

₊+ =

∫

= − + + +

+ + − = + +

− lnx 1 C

2 ) 1 x ( dx 1 x

2 dx ) 1 x ( dx ) 1 x

2 1 x

(2)

A idéia básica do processo é decompor ) x ( Q

) x (

P _{em soma de funções racionais mais} simples, as quais podem ser integradas por métodos já vistos. Isto é obtido escrevendo-se

) x ( Q

) x (

P _{como soma de frações parciais cujos denominadores são fatores lineares ou}

quadráticos provenientes da fatoração de Q(x).

Diversos casos se apresentam, a depender da natureza dos fatores de Q(x). Vamos analisar alguns desses casos.

Caso 1: Q(x) é um produto de fatores lineares distintos.

Q(x) = (x −x1)(x − x2)...(x − xn) onde x1, x2, ..., xn são números reais distintos, dois a dois. Neste caso, pode-se provar que existem números A1, A2, ..., An, tais que:

n n 2

2 1

1

x x

A ... x x

A x

x A ) x ( Q

) x ( P

− + + − + − =

Assim, dx

x x

A ... dx x x

A dx x x

A dx ) x ( Q

) x ( P

n n 2

2 1

1

_∫

∫

+ + ₋

− + −

= e o problema se reduz à

determinação dos A_is. Exemplos:

1)

_∫

− 2

2 _a x

dx

Esta integral consta em qualquer tabela de integral. Vamos mostrar como se chegou ao resultado.

a x

B a x

A ) a x )( a x (

1 a

x 1

2

2₋ = ₋ ₊ = ₋ + ₊ ₍_x _a₎₍_x _a₎

) a x ( B ) a x ( A

+ −

− + +

= ⇒

1 = A(x + a ) + B(x − a) ( * )

Neste caso em que as raízes são distintas, para encontrarmos os valores das constantes fazemos nos dois lados da expressão (*) x igual às raízes, que neste caso são x = a e x = −a.

Assim, para x = a em (*) obtemos: 1 = 2aA ⇒

a 2

1 A=

Para x = − a em (*): 1 = −2aB ⇒

a 2

(3)

Poderíamos também ter encontrado os valores de A e B reescrevendo (*) como 1 = (A+B)x + Aa − Ba e por comparação dos coeficientes resolver o sistema

⎩ ⎨ ⎧ = − = + 1 Ba Aa 0 B A

Assim,

_∫

− 2 2 _a x dx ₌

∫

− ₊

− x a

dx a 2 1 a x dx a 2

1 ₌

C a x a x ln a 2 1 C ) a x ln a x (ln a 2 1 C a x ln a 2 1 a x ln a 2 1 ₊ + − = + + − − = + + − −

2)

_∫

− − dx 4 x 2 x 5 2 ) 2 x )( 2 x ( ) 2 x ( B ) 2 x ( A ) 2 x )( 2 x ( 2 x 5 2 x B 2 x A ) 2 x )( 2 x ( 2 x 5 4 x 2 x 5

2 ₋ ₊

− + + = + − − ⇒ + + − = + − − = − − _⇒

5x − 2 = A(x + 2) + B(x − 2 )

Para x = 2 temos: 8 = 4A ⇒ A = 2 Para x = −2 temos: −12 = −4B ⇒ B = 3

Assim,

_∫

− − dx 4 x 2 x 5

2 = _x ₂ 2lnx 2 3lnx 2 C

dx 3 2 x

dx

2 ₌ ₋ ₊ ₊ ₊

+ + −

∫

3)

_∫

+ −5x 6x x dx 2 3 3 x C 2 x B x A ) 3 x )( 2 x ( x 1 ) 6 x 5 x ( x 1 x 6 x 5 x 1 2 2

3 ₋ ₊ = ₋ ₊ = ₋ ₋ = + ₋ + ₋ ⇒

) 3 x )( 2 x ( x ) 2 x ( Cx ) 3 x ( Bx ) 3 x )( 2 x ( A ) 3 x )( 2 x ( x 1 − − − + − + − − = − − ⇒

1 = A(x − 2)( x − 3) + Bx(x − 3) + Cx(x − 2) (*)

Atribuindo os valores x = 0; x = 2 e x = 3 em (*) obtemos 6 1 A= ;

2 1 B=− e

3 1 C=

A integral fica portanto

∫

+ −5x 6x x

dx 2

3 = ₃lnx 3 C

1 2 x ln 2 1 x ln 6 1 3 x dx 3 1 2 x dx 2 1 x dx 6

1 ₌ ₋ ₋ ₊ ₋ ₊

(4)

Caso 2: Q(x) é um produto de fatores lineares, alguns dos quais repetidos

Neste caso, a cada fator ( x − xi ) de multiplicidade k correspondem k frações parciais da forma

k i k 2

i 2 i

1

) x x (

A ... ) x x (

A )

x x (

A

− + + − + −

O processo para o cálculo das constantes A1, A2, ..., Ak é análogo ao do caso anterior. Observemos que vamos recair em integrais do tipo

_∫

−x_i)k x (

dx _{que são imediatas}

Exemplos:

1)

_∫

+ 2

3 ₃_x x

dx

Fatorando o denominador obtemos x3 + 3x2 = x2 ( x + 3 ). Temos que x é um fator linear repetido e de multiplicidade 2. Ao fator x2 correspondem as frações parciais

x A_e

2 x

B _{e ao fator x + 3 a fração} 3 x

C +

3 x

C x

B x A x 3 x

1

2 2

3 ₊ = + + ₊ ⇒ _x ₍_x ₃₎

Cx ) 3 x ( B ) 3 x ( Ax x 3 x

1

2

2 2

3 ₊

+ + + + =

+ ⇒

2 Cx ) 3 x ( B ) 3 x ( Ax

1= + + + + (*)

Podemos ter o mesmo procedimento do caso anterior para encontrarmos os valores de A, B e C mas, como uma raiz é dupla, atribuímos um terceiro valor conveniente para x .

Podemos também agrupar os termos semelhantes e comparar os coeficientes:

Agrupando os termos em (*) ficamos com 1 = (A+ C)x2 + ( 3A+ B)x + 3B. Comparando os coeficientes, nos dois lados da igualdade, ficamos com o seguinte sistema

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧

= = +

= +

1 B 3

0 B A 3

0 C A

Resolvendo o sistema obtemos:

9 1 A=− ;

3 1

B= e 9 1 C=

Temos então que

_∫

+ 2

3 ₃_x x

dx ₌

C 3 x ln 9 1 x 3

1 x ln 9 1 3 x

dx 9 1 x dx 3 1 x dx 9 1

2 + ₊ =− − + + +

+

(5)

2)

_∫

− −1) (x 2) x

( dx

2

) 2 x (

C )

1 x (

B )

1 x (

A ) 2 x ( ) 1 x (

1

2

2 ₋ = ₋ + ₋ + ₋

−

) 2 x ( ) 1 x (

) 1 x ( C ) 2 x ( B ) 2 x )( 1 x ( A ) 2 x ( ) 1 x (

1

2

2 ₋ ₋

− + − + − − = − −

⇒

2

) 1 x ( C ) 2 x ( B ) 2 x )( 1 x ( A

1= − − + − + −

⇒ (*). Vamos resolver este caso atribuindo valores

a x:

Escolhemos inicialmente para facilitar x = 2 e x = 3 que são as raízes. O terceiro valor a ser atribuído pode ser qualquer. Faremos x = 0.

Para x = 1: 1 = −B ⇒ B = − 1 Para x = 2: 1 = C

Para x = 0: 1 = 2A −2B + C ⇒ 1 = 2A +2 + 1 ⇒ A = −1 A integral fica:

∫

− −1) (x 2) x

( dx

2 = −

∫

₋ −

∫

₋ +

∫

₋ =− − + _x₋₁+lnx−2 +C 1

1 x ln 2 x

dx )

1 x (

dx 1

x dx

2

Caso 3: Q(x) contém fatores quadráticos irredutíveis ( raízes complexas) não repetidos

Neste caso, a cada fator quadrático irredutível ax2 +bx+c ( Δ < 0 ) corresponde uma fração parcial da forma

c bx ax

B Ax

2 ₊ ₊

+

Observação: Daremos exemplos, inicialmente, em que o fator quadrático irredutível é do tipo incompleto ax2 + c. O caso mais geral será abordado ( e o estudo completado ) no Caso 5 que veremos posteriormente.

Exemplos:

1)

_∫

+x x 2

dx 3

2x3 + x = x(2x2+1). Ao fator x corresponde a fração x

A_{. Ao fator irredutível 2x}2 _{+ 1}

(irredutível, ou seja, não tem raízes reais) corresponde a fração

1 x 2

C Bx

2 ₊

(6)

Assim,

1 x 2

C Bx x A x x 2

1

2

3 ₊

+ + =

+ ⇒ 1 = A(2x

2_{+1) + x(Bx+C) (*)}

Reagrupando os termos em (*): 1 = (2A +B)x2 + Cx + A que nos leva ao sistema

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧

= =

= +

1 A

0 C

0 B A 2

e portanto, B = − 2

A integral fica

_∫

+x x 2

dx

3 =

∫

−

∫

₂_x ₊₁

xdx 2 x dx

2 = ₂ln2x 1 C

1 x

ln − 2 + +

2)

_∫

+ +

−

) 4 x )( 1 x (

dx ) 7 x 3 (

2

4 x

C Bx 1 x

A ) 4 x )( 1 x (

7 x 3

2

2 ₊

+ + + = + +

− _{⇒ 3x − 7 = A(x}2_{+ 4) + (x + 1 ) ( Bx + C ) (*)}

Rearrumando (*): 3x − 7 = (A + B )x2_{+ ( B + C)x + 4A + C que nos leva ao sistema:}

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧

− = +

= +

7 C A 4

3 C B

0 B A

cuja solução é A = −2; B = 2; C = 1

A integral fica portanto

_∫

+ +

−

) 4 x )( 1 x (

dx ) 7 x 3 (

2 =

C 2 x arctg 2 1 4 x ln 1 x ln 2 4 x

dx dx

4 x

x 2 1 x

dx 2 dx 4 x

1 x 2 1 x

dx

2 2

2 ₊ =− ₊ + ₊ + ₊ =− + + + + +

+ + +

−

_∫

Caso 4: Q(x) contém fatores quadráticos irredutíveis repetidos

Neste caso para cada fator quadrático irredutível ax2 +bx+c de multiplicidade k corresponde a soma de k frações parciais:

k

2k k

2

22 2

21 1 ₍_ax _bx _c₎

B x A ... ) c bx ax (

B x A c bx ax

B x A

+ +

+ + +

+ +

+

(7)

Nos casos 3 e 4 pode surgir como fator uma expressão do tipo

k 2 _bx _c₎ ax

(

1 +

+ .

Para resolver a integral correspondente precisamos completar o quadrado da expressão c

bx ax2 + + .

Vamos analisar com mais detalhe esta situação, como um caso separado

Caso 5: Integrais de funções racionais que contêm o trinômio ax2 + bx + c no denominador

I. Quando o trinômio ax2_{+ bx + c é tal que a equação ax}2_{+ bx + c = 0 tem raízes reais} ( Δ ≥ 0 ), então ele pode ser fatorado como ax2_{+ bx + c = a( x − x}

1 ) ( x − x2 ), sendo x1 e x2 as raízes.

Exemplos:

1) x2_{−5x + 6 = ( x − 2) ( x − 3), pois 2 e 3 são as raízes da equação x}2_{−5x + 6 = 0 (a =1)}

2) )

2 3 x )( 2 1 x ( 2 2 3 x 2 x

2 2 − − = + − , pois

2 3 e 2 1

− são as raízes da equação 0

2 3 x 2 x

2 2 − − = e neste caso a = 2. 3) x2 − 2x + 1 = ( x − 1)2 ; 1 é raiz dupla.

Neste caso, se aparecerem fatores deste tipo no denominador da integral, faz-se a fatoração e depois o método das frações parciais ( Casos 1 e 2 já vistos )

II. Vamos analisar o caso em que o trinômio não tem raízes reais. Neste caso, completamos o quadrado para que a expressão passe a conter uma parte que seja um quadrado perfeito. Exemplos de trinômios que são quadrados perfeitos:

1. x2_{− 2x + 1 = ( x − 1 )}2 2. x2 + 4x + 4 = ( x + 2 )2

3. 2 )2

2 1 x ( 4 1 x

x + + = +

4. 2x2 −12x + 18 = 2( x2_{− 6x + 9 ) = 2( x − 3 )}2

(8)

Exemplos:

1) x2 + 2x + 3. Observemos que o coeficiente de x é 2. Dividindo por 2 é igual a 1.

Elevando ao quadrado dá 1. .Precisamos, portanto de 1 para o quadrado ser perfeito. Somamos e subtraímos 1: x2 + 2x + 3 = x2 + 2x + 1 – 1 + 3 = (x2 + 2x + 1) + 2 = ( x + 1 )2 + 2 . Neste caso, poderíamos também ter tomado “emprestado” 1 de 3, ou seja, escrever x2 + 2x + 3 = x2 + 2x + 1 + 2 = ( x + 1 )2 + 2.

2) x2− 4x + 5. Observemos que o coeficiente de x é −4. Dividindo por 2 é igual a −2.

Elevando ao quadrado dá 4. .Precisamos, portanto de 4 para o quadrado ser perfeito. Somamos e subtraímos 4: x2 − 4x + 5 = x2_{− 4x + 4 – 4 + 5 = (x}2_{− 2x + 4) + 1 =} ( x −2 )2 + 1 . Neste caso, poderíamos também ter tomado “emprestado” 4 de 5, ou seja, escrever x2 − 4x + 5 = x2 − 4x + 4 + 1 = (x2 − 2x + 4) + 1 = ( x −2 )2 + 1.

3) x2 + x + 1. Observemos que o coeficiente de x é 1. Dividindo por 2 é igual a _1/2.

Elevando ao quadrado dá 1/4. Precisamos, portanto de 1/4 para o quadrado ser perfeito. Somamos e subtraímos 1/4:

4 3 ) 2 1 x ( 4 3 ) 4 1 x x ( 1 4 1 4 1 x x 1 x

x2 + + = 2 + + − + = 2+ + + = + 2 +

4) 2x2 + x + 1. É recomendável, inicialmente, colocarmos o coeficiente de x2 em

evidência. Assim, 2x2 + x + 1 = ). 2 1 2 x x (

2 2 + + Trabalhamos com o trinômio entre parênteses da mesma forma que nos exemplos anteriores. O coeficiente do termo em x é 1/2. Dividindo por 2 temos 1/4. Logo, .vamos somar e subtrair (1/4)2 = 1/16:

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ ₊ ₊

= + − + + =

+ + =

+ +

16 7 ) 4 1 x ( 2 ) 2 1 16

1 16

1 2 x x ( 2 ) 2 1 2 x x ( 2 1 x x

2 2 2 2 2

Vamos ver agora alguns exemplos de integrais envolvendo estes trinômios: Exemplos

1)

_∫

+ +2x 3 x

dx

2 . Usando a arrumação feita no exemplo 1) anterior ficamos com

∫

+ +2x 3 x

dx

2 =

∫

₍_x₊₁₎ ₊₂

dx

2 . Fazemos agora uma mudança de variável:

x + 1 = t ⇒ dx = dt. A integral fica portanto:

C 2

1 x arctg 2 1 C 2 t arctg 2 1 ) 2 ( t

dt 2

t dt

2 2

2 +

+ =

+ = +

(9)

2)

_∫

+ −

+ 5 x 4 x

dx ) 1 x (

2 . Pelo exemplo 2) anterior escrevemos:

∫

₋ ₊

+ 5 x 4 x

dx ) 1 x (

2 =

∫

₋ ₊

+ 1 ) 2 x (

dx ) 1 x (

2 .

Fazendo a mudança de variável: ⎩ ⎨ ⎧

=

+ = ⇒ = −

dt dx

2 t x t 2 x

. A integral fica:

∫

+ −

+ 1 ) 2 x (

dx ) 1 x (

2 =

∫

₊

+ +

1 t

dt ) 1 2 t (

2 =

∫

₊ +

∫

_t ₊₁

dt 3 1 t

tdt

2

2 . A 1ª integral é logaritmo (multiplique e

divida por 2 para completar a diferencial) e a 2ª é arcotangente.

∫

+ −

+ 1 ) 2 x (

dx ) 1 x (

2 = ₂ln(x 2) 1 3arctg(x 2) C

1 C arctgt 3 1 t ln 2

1 ₂ ₂

+ − +

+ − =

+ +

+

Referências Bibliográficas e Internet:

1. Cálculo – Um Novo Horizonte – H. Anton (vol 1) 2. Cálculo A – Diva Fleming /Miriam Buss