N9 221
TOPOLOGIA E CÁLCULO NO Rn
Rubens Penha Cysne
Humberto Moreira
PREFÁCIO
Os autores objetivam, com este trabalho preliminar (críticas são
bem-vindas), bem como com aqueles que lhe darão continuidade, registrar as suas experiência ao longo dos últimos anos ministrando cadeiras de matemática nos cursos de pós-graduação em economia da Fundação Getúlio Vargas e da PUC-RJ.Reveste-se de constante repetição em tais cursos a discussão sobre que pontos abordar, bem como com qual grau de profundidade, e em que ordem.
É
neste sentido que os autores esperam trazeralguma
contribuição para o assunto. No texto, demostram-se apenas os resultados mais importantes e específicos, levando-se em consideração o tempo que um curso de pós-graduação em economia pode dedicar ao ensino de matemática. Para os demais resultados há inúmeras referências mais especializadas citadas no apêndice. Em contrapartidaà
omissão dealgumas
formalizações, os autores procuram propiciar ao leitor o domínio das técnicas apresentadas através da apresentação de vários exemplos e/ou exercícios propostos.Rio de Janeiro Setembro de 1993 Rubens Penha Cysne Humberto Moreira
Os autores agradecem a Marcelo Navarro. José Eduardo da Rocha Velho e Guilherme Cortella Maroue pela revisIo de partes do texto.
TÓPICOS ABORDADOS
- Noções de Topologia e o Teorema de Weierstrass - Convexidade, Concavidade e
Quase
Concavidade - Diferenciabilidade e Regra de Cadeia- Fonnas Quadráticas Definidas e Semi-Definidas
- Caracterização de Concavidade no Caso de Funções Diferenciáveis - O Teorema da Função Implícita e Aplicações à Economia
TOPOLOGIA E CÁLCULO NO
9l"1. Noções de Topologia e o Teorema de Weierstrass
Valor Absoluto
Dado o número real a, utiliza-se a simbologia laI para denominar o maior dos valores entre a e - a. Lê-se laI = módulo de a. A regra de correspondência assim definida representa
uma função definida no corpo dos reais e com valores no mesmo. Evidentemente, tem-se
laI
=
max {a, -a} ~a (1.1)laI
=
max{a, -a}
~ -a (1.2)Multiplicando-se (1.2) por -1 e utilizando-se (1.1) segue que
-Ial
S aSlal
(1.3)as duas igualdades valendo se, e somente se a
=
O. De forma alternativa,{
-a se a < O
x= O sea =0
a sea >0
Proposição 1.1: As seguintes propriedades são equivalentes: dados a, b E 91 e E> O a) la-bl <E b)b-E<a<b+E Demonstrago: I 2 la-bl<E++E>a-b e E>-(a-b)++E>a-b e 3 4 -E<a-b++E+b>a e b-E<a++b-E<a<b+E Explicações para as passagem no sentido ( -+ ):
A passagem 1 utiliza a definição de la - bl como o máximo entre a - b e - (a - b). Assim, se E é maior do que o máximo entre
a -
b e -(a -
b) entio E deve ser simultaneamente maior do que ambos. Na passagem 2 multiplica-se a segunda parte da sentença anterior por -1, tomando-se o cuidado de inverter o sentido de desigualdade. Apassagem 3 obtém-se somando-se b a ambos os membros das duas desigualdade. Finalmente a passagem 4 se dá por um simples reordenamento da sentença anterior.
As explicações para as passagens no sentido inverso (+-) devem ficar claras para o leitor. É claro também que a proposição 1.1 vale também para a desigualdade nio estrita S . •
Interpretação Gráfica da Proposição 1.1': Dado a € 91, o sentido de
la!
é a distância de aà origem.~
I I I -3 O 3 (figura 1.1)Assim,
la!
=
la -
01
mede a distância dea
ao ponto O (origem). Da mesma forma, para bE 9t, b :I; O,
la - bl
mede a distância dea
ao ponto b. Assim, dado E> O a sentençala - bl
< Eequivale a dizer que a distância de a ao ponto b é inferior a E
Graficamente, se fixarmos b, isto significa que a pode representar qualquer ponto entre b-E e b+E.
b-E & b(fixo) b+E
(figura 1.2)
Norma Euclidiana
Da forma mais abstrata possíve~ uma norma é uma função real definida num espaço vetorial V real ou complexo, satisfazendo às seguintes propriedades (
II
xII
lê-se norma de x)1)
Ilbcll
=l,tlllxll
para qualquer escalar,t
e qualquer x E V.2) Se x :I; O, ~~I > O
3) Ilx+
JiI
s 11-'11 + ~JiI para quaisquer xe ye V.Usualmente trabalhamos no espaço 9tD com a mesma norma euclidiana,
dada por:
Deixamos ao leitor o encargo de verificar que tal definição de norma (chamada norma euclidiana) satisfaz às três propriedades listadas acima.
Observações:
2) Tal como no caso da função valor absoluto, a idéia da função norma definida no ma e com valores em
m+
é de distância de um ponto à origem.Exemplo: Seja x= (3,5). Então ~~I = (32 +52
)1/2
=
4.x
(figura 1.3)
Observe-se que
Ilxll
é o cumprimento da hipotenusa do triângulo retângulo aqui desenhado, que equivale à distância do ponto (vetor) x à origem.Duas normas em ma,
11.11,11.11'
são ditas equivalentes se existem a> O. b> O tais que aIlxll ~
Ilxll' e b Ilxl!' ~
Ilxll '
'V x e ma.Exemplo: Define-se no ma duas outras normas importantes:
a) norma do máximo
II.IIM: Ilxt =
max~xil ~ i
=
l, ... ,n}, x=
(XI , ... ,xa ) ema.a
b)normadasoma
11-11. :llxll.=
L Ixil, x
=(X~'''''Xa) ema.i=1
Não é dificil mostrar que a norma do máximo e a norma da soma são equivalentes. Basta observar que
Ilxll.
~ nIlxllM
eIlxt
~Ilxt ' "Ix
e maNão há de fato Denhuma particularidade nestas normas devido ao ponto seguinte:
Proposição 1.3: Quaisquer duas normas no 9ta são equivalentes.
Esta proposição é muito importante, pois para questões de limite e topologia Dio
importará com que norma nós vamos trabalhar, utilizando a que for mais conveniente em cada momento.
Topologia
Entre os vários teoremas que iremos ver (pelo menos o enunciado) destaca-se pela sua importância, o teorema de Weierstrass. Este teorema garante, sob certas condições, a existência de ótimo para um problema de maximização (ou minimização). Por exemplo, se quisermos maximizar a utilidade do consumidor sujeito a sua restrição orçamentária, veremos que este problema tem solução desde que a função utilidade seja contínua e o conjunto da restrição orçamentária seja compacto.
Vejamos agora algumas definições:
Definição: Sejam X um conjunto, 't uma coleção de subconjuntos de X que contenha
q,
e XDiz se que 't é uma topologia sobre X se:
i) A() B E T, se A, B E T.
ü)
U
A.t
E T, se A à E T, Ti à E I, I um conjunto de Índices qualquer.ÃEI
Neste caso, diz-se que o par (~ 't) é um espaço topológico e os elementos de 't são chamados de conjuntos abertos. Evidentemente, este nível de abstração não nos interessa no momento, embora seja importante conhecer a definição precisa. Na verdade, estamos interessados na topologia usual do 91 D. Vamos a sua descrição:
A bola aberta de centro num ponto a E 9tD e raio r> O é por definição o conjunto B(a,r) = {XE9tD~lIx-ali < r}, onde
11.1
é a norma euclidiana. Da mesma forma, a bola fechada B [a, ~=
{x E9tD~llx-allsr}e a esfera S [a, lj=
{xE9tD~llx-all=r} ambas comcentro a e raio r.
Um conjunto X c 9lD diz-se aberto quando todos os seus pontos sio interiores, isto é, quando int X
=
XAgora é fácil verificar (segundo a definição dada acima) que a coleção de todos os conjuntos abertos definidos desta forma é uma topologia sobre 9tD, chamada topologia usual
do 9tD• '
Dado um conjunto X c 9tD e um ponto a E 9tD, há três possibilidades mutuamente excludentes: ou a Eint X ou a Eint (9tD - X) ou então toda bola aberta de centro a contém pontos de X e pontos do complementar de X (9tD - X). Neste último caso, diz-se que ]C é um ponto da fronteira deX(fr(X».
Exemplo: Considere A={ x
e!l!:;
t.
P; x; ,;+
Entio in! A={xe!l!:.;t.
p;x; <r}; fr(A)=
-{XE9t!~
xt
= O para algum i=l, ... ,n ou LPi~ = r} e int (9tD - A) = 9tD -(intAU
tTA).1'=1
Dados (X,'t) espaço topológico e Yc X, podemos definir a tQpolQgia relativa (ou
induzida) em Y simplesmente tomando como abertos desta topologia a interseção dos elementos de 't com Y. No caso particular da topologia usual do 91D, temos que se
Yc 91- , Ac Y é aberto em Y se, e somente se existe um aberto Bc 9lD tal que A= SI Y.
Um conjunto X c 91 D diz-se limitado quando existe um número real c> O tal que
I
Ai
~ c,Proposição 1.4: Seja Xc91JJ.Então X é limitado se, e somente se xiX) c 91 é limitado para todo i=l, ... ,n, onde Xi :91n ~ 91 é tal que Xi (Xp ... 'Xi , ... , Xn )
=
Xi' i=
1, ... , n.Demonstração: Suponhamos inicialmente que X seja limitado. Logo existe r>O tal que Xc
B(o,r), isto é, Ixil ~ Ilxll ~ r, V'x
=
(xp- .. ,xn ) eX, i=
1, ... n. PortantoIxd
=
l1l"i(X)1 ~ r, V'x eX,i=
1, ... ,n, ou seja, x(x)c(-r,r), i=l, ... ,n. Por definição temos que xi(X) é limitado, i=l, ... ,n. Reciprocamente se xi(X) c 91 é limitado para todo i=I, ... ,n,significa que x,{x) ~ lj, V' xe X, onde ri > O para cada i=I, ... ,n. Tome r= max{r.;} > O.
llOilOJJ '
D D JJ
Segue-se que 11~12
=
L
~
=
L
(x j (X»2~
L
if
~
nr,
V' x ex,
ou seja,II~I ~
JD
r, V' x e Xi = 1 ; ' 1 i=1
Portanto X é limitado .•
D
Exemplo: Um dos conjuntos muito utilizados em economia A = {x e 91! ~
L
pjAj ~ r} éJi-l
limitado se pj >O, i=l, ... ,n e r~ O (este conjunto representa a restrição orcamentária de um consumidor, onde x e 91: representa uma cesta de n bens da economia, pj é o preço (positivo) do i-ésimo bem e r é a renda do consumidor). De fato, seja p= min {pj} .
llO'lOJJ Dado X E , A 0< _ X j _ <
~
~J2.
Xi _ , <~
\./. = v J 1 , ... , n VIS . t o queJ2.
> - 1i=1 P P P
V'i
=
1, ... ,n onde X = (Xi , ... , xJJ). Pela proposição 1.4 A é limitado.Seja X c 91D
um conjunto. Um ponto a e X chama-se interior a X se existe r> O tal
que IJ(a,r) c
x.
O interior de X é o conjunto int X=
{a e X; a é interior a X}. Quando x e int X dizemos que o conjunto X é uma vizinhança do ponto x.Definição: Seja f:X ~ 91m uma função definida no conjunto X c 91D
• Diz-se que fé contínua
quando a imagem inversa
ri
(A) de todo aberto Ac mm
é um conjunto aberto em X (com a topologia relativa). Equivalentemente a esta definição diz-se que f é contínua se é contínua ema para todo 11 e X e definimos continuidade de f em a da mesma forma: para qualquer & > O,
existe ô> O tal que se Ix - ai < Ô e X e X então If(x) - f(a)1 < &. Intuitivamente isto
significa que se x se aproxima suficientemente de a em
.x:
então a imagem de x por f se aproxima da imagem de a port:
tanto quanto se queira.DefiDição: Dado X
c m
D, uma função f: X ~
mm
diz-se LipschitzilM. quando existe K> O talque, para quaisquer x,y eX, Ilf(x)-f(y)11 ~ Kllx-yll. Neste caso fé contínua. De fato, dado 6>0 tome ô=
rx>O.
Exemplu. As projeções: 1l"i
m
D~ 9t definidas por 1l"j( x) = Aj, i = 1, ... , n, onde x = (Aí,···, x,,),
são contínuas. (Tem-se que
IXi(.t)
-xiCnl
=
Ix,. -
~I s;Ix- A,
ou seja, Xi é uma funçãoLipschitziana (com K
=
1).Exemplu. A função norma euclidiana é contínua, pois III~I - IIJilI ~
Ilx-
JiI,
i.e., é Lipschitziana com K= 1.Teorema1.2: Sejam X c 9tft
e f, g: X ~ 9t m , a: X ~ 9t funções continuas. Então as seguintes funções são contínuas:
i) f+ g ü) a f ili) l/a (definida onde fizer sentido, isto é, em {XE X;a(x) ~O})
Exemplo: f:9t2 ~ 9t tal que f(x,y)=x4y2 é continua pois é a soma dos quadrados das
projeções, isto é, f
=
~ +n;
e pelos resultados anteriores segue-se o afirmado.Teorema 1.3: Sejam X c 9tft
, .tX~9tm tal que J7"x) = (~(x) •... ,fnlx)), onde fj:X~!1i,é
definida como fi
=
1fi of para i=
1, ... m. Então f é continua se, e somente se f i é continua para todo i=l, ...• mObservações:
i) A função
fi
do teorema anterior é dita ser a iésima função coordenada de fii) Todos os teoremas anteriores para continuidade global (em todo domínio de definição da função) podem ser traduzidos para continuidade pontual.
Existe uma outra caracterização de aplicação continua que é bastante útil, principalmente para mostrar que uma aplicação não é contínua em um determinado ponto e para isto precisamos definir o que é uma seqüência de pontos em 9tD
•
Uma següência em 9t D é uma função x: N ~ 9t D
onde N é o conjunto de números naturais. O valor que essa função assume no número keN é indicado por xk e chama-se o k-ésimo termo da seqüência. Usaremos a notação (Xk)(kEN) ou (xx) para indicar a seqüência.
Uma subseqjiência de (Xk)(kà() é a restrição da seqüência (como função) a um
subconjunto infinito~' c~. A subsequência é indicada pela notação (Xk)(kEN").
Diz-se que a seqüência (Xk) é limitada se o conjunto dos seus termos é limitado em 9tD•
Uma seqüência (Xk) em !RI! equivale a n sequências de números reais, a saber
(1fj (xk
»,
\fi=
1, ... , n que são as coordenadas de X k para cada k eN.Diz-se que um ponto a E!RI! é O ~ da seqüência de pontos (Xk) em !RI! se para todo
6 > O , existe
lo
e ~ tal que k > ko=>
IIX
k - ali < 6. Neste caso, diz-se que (xk ) converge para aou tende para a, e escreve-se lim xk
=
a, ou xk ~ a. Quando existe o limite de (xk ) diz se que(xk ) é convergente. Caso contrário, diz-se que (xk ) é divergente. Observamos também que quando o limite existe ele é único e que uma seqüência convergente é limitada.
Uma sequência
(x
k) em 9tD é chamada de Cauchy se \fs> O, 3no eN tal que\f n, m>
4>
=>
11x. - x.11
< s. É fácil ver que toda sequência convergente é de Cauchy. A recíproca é verdadeira e é equivalente ao "axioma da completeza" que veremos abaixo.Exemplo: Seja a e (-1,1) c 9t. Então lim an
=
O. De fato, lar+1 < laln para todo ne K Logo existe L=
limlaln=
inflaln. Assim L=
limlal2n=
limlaln laln=
L2, ou seja, L2=
1, donde L = 1n<:1
ou L
=
O. Como (jaln) é decrescente, tal que laln < 1, V'ne~,
L=
O.Teorema 1.4: Uma seqüência (xk ) em mn converge para o ponto a
=
(aI , ... ,an) se, e somente se para cada i = 1, ... , n tem-se lim 1ti (xk ) = ai.Teorema 1.5: Uma seqüência é convergente se, e somente se toda subseqüência desta seqüência é convergente.
Exemplo: Considere xk = (I/k,(1/2)k) em2
para cada ke ~ então (xk ) é uma seqüência em 912 que converge para (0,0) pois lim XI (Xk)
=
limYx=
O e 1im 1r2(Xk) = lim (~)k =o.
Teorema 1.6: Sejam
(xJ, (yJ
seqüências convergentes em m e a e m. Então: a)(x
n + YJ
é seqüência convergente e lim(x
n + YJ
=
lim ~ + lim y".b)
{a xJ
é seqüência convergente e lim(a xJ =
alim ~.Finalmente podemos enunciar o seguinte:
Teorema 1.7: Uma aplicação f: X ... 91D
, definida num subconjunto X c mn, é contínua no
ponto a e X se, e somente se para toda seqüência (xk ) em X com lim xk = a tem-se
lim f(Xk) = f(a).
Supremo e ínfimo.
Tomemos os conjuntos {1,2} e o intervalo (1,2). É claro que o maior elemento do primeiro conjunto é o elemento 2. O conjunto (1,2), entretanto, não possui um maior elemento. Para contornar este fato, substitui-se usualmente o conceito de maior elemento pelo conceito de menor superior.
Assim, o número 2 não é o maior elemento de (1,2), mas é o seu menor superior. Dá-se a este elemento o nome de supremo (sup) de conjunto. Usualmente, A c m não vazio é
2) se Y ~ X, 'VX E A então y ~ sup A (ou seja, sup A é a menor cota superior de A).
Da mesma, se A é não vazio e limitado inferiormente (i.e., 3 c E fIi tal que
c.:s
x. V XE A. Novamente neste caso c é chamado de cota inferior de A) detine-se ínfimo de A (inf A)
como a maior cota inferior de A:
1) inf A ~ x, 'V x E A (ou seja, inf A é cota inferior)
2) se y~ x, 'V x E A então y ~ inf A (i.e., inf A é a maior cota inferior)
Precisamos de um resultado que será útil agora para demonstrar uma propriedade importante de supremo e ínfimo, embora ele seja útil em outras situações:
Teorema 1.8 (Sandwich): Sejam (xn), (yn)' (Zn) seqüências em 9t tais que xn ~ Yn ~ Zn e lim x"
=
lim z". Então existe lim Yn e lim Yn=
lim xn.Demonstração: Seja a
=
lim xn=
lim Zn. Dado & > O, existe no E N tal que 'V n >no,
Ix" -ai < & e IZn-al < &. Assim, 'V n> no, -&+a < Xn ~ Yn ~ Zn ~ &+a.
Logo -&< Yn-a < &, 'V n > no, ou seja, Iy" -ai < &, 'V n> no' Portanto lim Yn
=
a .•Teorema 1.9: Dado A c fIi limitado, então sup A E A e inf A E A.
Demonstração: Para cada n E N sabemos que sup A -
1/
n não pode ser cota superior de A, pois sup A é a menor cota superior de A. Assim existe, para cada n E ~, xn E A tal quesup A-lIn < xn ~ sup A. Como lim (sup A -I/n) = sup A = lim sup A, tem-se pelo
D-++CIO
teorema do Sandwich que lim xn = sup A, com xn E A, 'ti n E~. Portanto sup A E A. A
prova que inf A EA é análoga e fica a cargo do leitor .•
o
leitor deve perceber uma certa sutileza no que fizemos acima. Não existe necessariamente supremo de um conjunto limitado superiormente, estamos apenas definindo este conceito. Se o conjunto dos racionais fosse o conjunto que estivéssemos trabalhando ao invés dos reais teríamos problema com a existência de supremo. Por exemplo, não é dificilmostrar que (-00,
J2)
embora limitado superiormente em não possui supremo neste conjunto.Na verdade o conjunto dos reais é "construído" a partir das racionais exigindo-se exatamente que todo conjunto limitado superiormente possua supremo. Isto é o que diz:
Axioma da completeza:.
o
leitor atento pode verificar que este axioma é equivalente a um axioma análogo para ínfimo, uma vez que inf A=-sup(-A), para todo A c 9t limitado inferiormente, onde -A=
{-x;x EA}.Vamos agora demonstrar um resultado muito importante: Teorema de Bolzano-Weierstrass. Para isto precisamos de algumas definições e teoremas.
Definição: Seja (xn> seqüência em 9t.
i) (xn> é monótona não-crescente se xn ~ xm quando n > m. ü) (xn> é monótona não-decrescente se xn ~ xm quando n < m.
Diremos simplesmente que a seqüência é monótona caso não queiramos especificar se é
não-crescente ou não-decrescente.
Teorema 1.10 Toda sequência monótona limitada (xn> é convergente.
Demonstração: Suponhamos que (xn> é monótona não-decrescente (o outro caso é análogo). Seja A={ xn; nE ~ }. Sabemos que A é limitado superiormente, então pelo axioma da completeza existe s = sup A E 9t. Afirmamos que lim xn=s. De fato, dado E > O, S -& não
pode ser cota superior de A. Logo existe ~ E N tal que s -& < x"o < s. Como (xn> é
monótona não-decrescente temos que s-& <
x.o
~ xn < s < S + t, "ti n >~, i.e., Is-xnl < E."tIn > ~. como queríamos demonstrar .•
Precisamos ainda de umas propriedades..elementares de supremo e ínfimo:
i) Sejam A c B subconjuntos de 9t nio-vazios limitados superiormente. Então
supA~ supB.
ü) Sejam A c B subconjuntos de 9t não-vazios limitados inferiormente. Então inf A 2! inf B.
A prova dos resultados é pedida nos exercícios.
Teorema 1.11 (Bolzano - Weierstrass): Toda seqüência limitada possui uma subseqüência convergente.
Demonstra@o: Seja (xn> uma seqüência limitada. Para cada k E~. defina Ak = inf {xn;~}. É fácil verificar que {xn; n ~ k} :::> { Xn; n ~ k + I}. logo
4
~4+1'
Temos dois casos possíveis:i) Existe
ko
E ~ tal que A ko = Ak' ';I k~ko.
Neste caso a seqüência deve ser constante apartir do índice
lfo,
i.e., ~ = xko ' ';In ~lfo.
Neste caso é fácil extrair a subseqüência convergente.ü) Existe uma seqüência (kj ) crescente de índices tal que Akj < Akj+l' ';Ij E~. Pela
definição de Akj' para cadaj existe n ~ kj tal que Akj ~ xn < Akj+l. Chame nj ~ kj para cada
j, o menor índice tal que Ak ~ Xn < Ako • Pela definição dos nj's é fácil verificar que
J J ,.1 J
(xnj )(jà() é uma seqüência monótona não decrescente e limitada (por ser subseqüência de uma
seqüência limitada), logo é convergente pelo teorema
1.9.-Séries
Definição: Se (xn) é uma seqüência em 91 então a série gerada por (xn) é a seqüência (~) definida por:
SI =XI
S2. = SI +x2
Se (~) converge, nos referimos a lim~ como a soma da série. Os elementos xn' s são chamados de termos e os elementos ~ de somas parciais ou reduzidas da série.
Notação: Vamos denotar a série da definição acima por
ao
~)xJ; e lim sn
=
LXnn=1
Teorema 1.12:
(a) Se as séries L{xJ e L{yJ convergem, então a série L{xn +yJ converge e
ao ao ao
L
(Xn + y n) =L
Xn +L
y n11=1 n=1 n=1
(b) Se a série L{xn) converge e aE91, então a série L{axn) converge e converge para
Demonstracio:
Imediata a partir do teorema 1.6, uma vez que séries sãoseqüências.-Teorema 1.13: Se L{xJ converge então lim Xn
=
ODemonstracão: Basta observar que Xx = ~ - ~_I . Logo lilmite de (x0 existe pois limite de
0.-Teorem1l 1.14: Seja (xn> uma seqüência de números reais positivos. Então ~)xJ converge se, e somente se a sequência (s0 das reduzidas é limitada. Neste caso
'"
L
Xo=
lim ~=
sup {Xk ~ k ~I}
0=1Demonstra~ão: Como Xo ~ O, 'V n E~ temos que (Sk) é uma sequência monótona não-decrescente. Assim pelo teorema 1. 10 o resultado segue imediatamente .•
Teorema 1.15 (Critério de Cauchy): Seja L{xJ é convergente se, e somente se para cada &> O existe no E ~ tal que se m> n ~ no ISm - sol < &.
Demonstracão: Imediata a partir do fato que uma seqüência é convergente se, e só se é de Cauchy .•
Definição: Seja (Xn) uma seqüência em~. Diremos que a série L{xJ é absolutamente convergente se a série
L
(lxnI)
é convergente. A série é dita ser condicionalmente convergente se ela é convergente mas não é absolutamente convergente.T eorem1l 1.16: Se uma série
L
(xn) é absolutamente convergente então ela é convergente. Demonstrp: Basta observar que IXn+1+ ...+xml~lxn+11+
... + Ixml se m>n e aplicar o critério de Cauchy primeiro para a série convergenteL
(lxnI)
e depois com a desigualdade acimaconcluir a sua validade para a série !: (xn) .•
Exemplos:
(a) (Série geométrica) Seja a E (0,1) e considere a sequência de números reais (an), que gera
k
a série geométrica (St), onde St
=
!: a n. Observe que (1-a) St=
1-ak+1,
assim se lal < 1l_ak+1 1
então lim a k
=
O e portanto lim ~=
lim= --.
Logo a série geométrica convergel-a l-a 1
para--.
l-a
(b) (Série harmônica): Considere a série harmônica !:(l/n). Afirmamos que esta série diverge, embora a sequência dos seus termos convirja a zero. De fato, considere a seguinte
Então 1 ~ =1+-I 2 1 1 1 1 1 (1) ~ =1+-+-+-=~ +-+->Sk +2 - =1+2 2 2 3 4 -1<1 3 4 I 4 Por indução temos:
. t(
I ) I i ~ >Sk +21- - . =~
+-~I+-; H 21 ,-I 2 2
Portanto, a subseqüência
(~;
) iét não é limitada e a série hannônica não converge.Seja X c
m
n. Um ponto a E
m
n é dito de acumulação do conjunto X quando toda bola aberta de centro a contém algum ponto de X diferente de a. O conjunto dos pontos de acumulação de X será representado pela notação.r.
Teorema 1.17: Dados X c
m
ne a E
m
n , as seguintes afinnações são equivalentes: a) a é ponto de acumulação de Xb) Existe uma seqüência (xx) em X com lim xk
=
a e Xx*
a para todo k E~.c) Toda bola de centro a e nuo positivo contém uma infinidade de pontos de X
Exemplo: O é ponto de acumulação do conjunto {I/ n ; n E~}.
Se a E X não é ponto de acumulação de ~ diz-se que a é um ponto isolado de X Quando todo ponto a E X é isolado, dizemos que X é um conjunto discreto.
Seja f: x~mm uma função definida num conjunto
xcm
n ea EX'. Diz-se que b Emm
é o limite de f(x) quando x tende para a (notação lim f(x)=
b) quando 'V & > 0,35 > OX~
tal que "Ix E X, O <Ix - al< 5 =>If(x) - bl< &. Observa-se que por esta definição, não é necessário que a E X.
Nestes termos a continuidade de f em
a
se expressa da seguinte forma: sea
E X éisolado, então toda função f: X ~
m
né contínua no ponto a. Se aE X' então f é contínua no ponto a se, e somente se lim f(x) = f(a).
X~
Um critério bastante útil para examinar a existência de limite é o seguinte: para que
exista lim f(x) é suficiente que exista lim f(xk ) seja qual for a seqüência de pontos
X~
Teorert1Jl 1.18. Sejam X e 9tD
, a E X' , f, g. X -+ 9tDl e
a,p
X -+ 91 tais que existem os limiteslimf(x),limg(x), lima(x) e limAx)*O.
x...
x...
x...
...
Então:i) lim(
z...
f(x)+
g(x» = limz...
f(x)+
limz
...
g(x) Ü)ümCL(X)z...
f(x) =(limCL(x»).(üm f(x»)Jt-+. Jt-+.
ili)lim(a(x) {( »)=lima(x)/limP(X)
x-+a
/P~ xx...
x
...
Um ponto a E 9tn
é dito aderente a um conjunto X e 9tD
quando toda bola aberta de centro a contém algum ponto de ~ ou equivalentemente, existe uma seqüência de pontos em X que converge para a. A coleção de todos estes pontos é chamado de fecho de X é será denotado por X.
Observação: Se X e 9tD então
X e X, pois dado a E
.x:
a = lim Xk onde X k = a 'v'k E~.Também vale X'eX o leitor pode verificar que X= X
U
X'. Exemplos:a) Se X = [1,2], X = [1,2]
b) B(a,r) = B[a,r]
Um conjunto X é dito fechado quando X =
x.
isto é, se lim Xk = a e X k E X para todo k E~,então a E XProposição 1.5: Para todo X e 9tn, X é fechado.
Exemplu. B [a, Jj é
um
conjunto fechado do 91-. pois se Ilxkll S r 'v'k E~ e lim xk = b então~~I
= limllxjoll S r(veja o exercicio resolvido 4 euse
o fato que Illxjoll-11 b III S Ilxjo -~I).
Assim se Xe9tDé limitado então X é limitado.
Exemplu. S(a,r) e 91- é
um
conjunto fechado de 91- provando-se da mesma forma que o exemplo anterior.i) 0 e 9lD são fechados.
k
ü) Se F." ... , Fk são fechados então
!J
F; é fechado.1=1
iü)
n
F é fechado, se F'A. é fechado 'r;j Â. E I, onde I é um conjunto arbitrário de índices.'A. e I
Observe que {x} é fechado com x E
m
D• Todo conjunto X cm
n
é a reunião dos seus pontos, isto é, U {.t}=x. Como há conjuntos em
m
Dque não são fechados então a reunião
..eX
arbitrária de conjuntos fechados não é necessariamente fechada.
Teorema 1.21: Seja Xc 9lD
i) lI( X) = X n(.R" - X) ü) X=
XU
lI(X)Da mesma que definimos aberto relativo podemos definir fechado relativo da seguinte
-forma: Seja X c
m
Dum conjunto e F c X. Diz-se que F é fechado em X se existe F c
m
Dfechado tal que F
=
Fn
X.É racil ver que F é fechado em X se, e somente se X - F é aberto em X
Teorema 1.22. Seja f: X -+ 9I1D uma função, X
C 9lD
, fé continua se, e somente se rI (F) é
fechado em X para todo FC91D fechado.
Conjuntos Conexos
Dados dois conjuntos A e B contidos em
m
D, diz-se que eles são disjuntos se possuem interseção vazia (A
n
B=
0) e que são separáveis se a interseção de cada um deles com o fecho do outro é vazia (A nB=
0) e A nB=0). Conjuntos separáveis sãosempre disjuntos, mas a recíproca não é verdadeira, como se atesta tomando-se, como exemplo: A=(O, 1) e B=(I,2). Um conjunto C c
m
n é dito conexo se não pode ser representado como união de dois conjuntos separáveis ambos não vazios. Em outras palavras, C é conexo se C= AUB com A(1B=0 e Af1B=0, implica A=0 ou B-0. Exemplos óbvios de conjuntos conexos sio os intervalos da reta. Visualmente, um conjunto não conexo E = EI U E2 podem ser apresentado na forma abaixo:Teorema 1.23. Um subconjunto E da reta real é conexo se, e somente se para cada x E E e
y E E, com x < z< Y, Z E E (ou seja, se, e somente se E é um intervalo).
Demonstra@o: Necessidade: Suponhamos, por exemplo, que para x e y pertencentes a E, com x < Z < Y, tivéssemos z E E. Neste caso, E poderia ser escrito com E=E} UE2, onde E} = E n(-oo,z) e E2 = En(z,oo). Tanto E} quanto E2 são não vazios, pois contêm respectivamente x e y Decorre também do fato de E}c(-oo,z) e ~c(~+oo) que E;n~=0 e E;n~=0, ou seja, E} e E2 sio separáveis. Segue que E, não será conexo. Logo, Z E E.
Suficiência: Suponha que E não fosse conexo. Então existiriam dois conjuntos não vazios A e Btaisque AUB=E, com AnB=0 e AnB=0. Tomemos XE Aeye B com x<y
(evidentemente, isto não implica em perda de generalidade). Seja então z= sup (An[x,y]). Decorre do teorema 1.9 que z e A. Logo, z E _B. Pode-se então afirmar que x ~ z < y Se
z ~ A, x < z < y e z E E. Se z e A, z ~ B existe: ~ > z com x <;; < y e ~ E B (pois o complementar de B é um conjunto aberto e ~ E B ~ ~ E B). Então, x <~ < y e
~ E E. Como esta é uma contradição com a hipótese, segue que E é
conexo.-Teorema 1.24:. Seja f: X c 91.11 ~ 9I.IIJ contínua, com X conexo. Então: (X) é conexo. Demonstração: Suponha por absurdo que (X) seja desconexo, ou seja, (X) = AU B com AeBseparáveis e ambosniovazios. Seja c=Xn r-1(A) e D=Xn f-l(B). EntioX= CUD e nenhum dos dois é vazio. Como A c A, Cc f-I (A). Dada a continuidade de fe o
fato de A ser fechado, temos que r-1(A) é um conjunto fechado. Logo Cc C c f-l(A) e f(C) c A. Como ~lJ)=B e AnB é vazio, cnD é vazio. Uma mesma linha de raciocínio, mostra que
cn
D é vazio. Segue que C e D são separáveis. Mas este fato colide com a hipótese de E ser conexo. Segue que (X) éconexo.-Exemplos.
a)
r
é conexoConjuntos Compactos
Diz-se que K c 91° é compacto quando K for limitado e fechado.
A definição acima de conjunto compacto não é geral, isto é, em espaços tológicos genéricos é necessário definir conjunto compacto de outra forma. Muito embora nos espaços euclidianos com a topologia usual estas definições são equivalentes. Isto é o que veremos abaixo.
Definição: Sejam A um subconjunto de 91° e C= {CJ).eI como coleção de subconjuntos de 91 ° , I conjunto de índices.
i) C é uma cobertura de A se Ac U ~
À.el
ü) Dizemos também que C é uma cobertura aberta de A se CÀ. é aberto para todo Âel.
iü) Uma subcobertura de C é uma coleção tB= {C).}).eJ tal que Jd. A subcobertura será finita se J for finito
Teorema 1.25 (Heine-Borol): Um subconjunto K de 91° é compacto se, e somente se toda cobertura aberta de K admite uma subcobertura finita.
Exemplos:
a) B[ a.r]. S(a,r) são compactos.
b)
{xem:~<p,X>ST}
écompactoparapem:+
eT~O.
Teorema 1.26:
a) Xi
u. ..
U
Km
é compacto, desde que Kjc mo
seja compacto, j= l, ... ,lll.b)
n
K À. é compacto,se K). c 9111 é compacto 'v' Â. e I, I conjunto de índices arbitrário.À.E/
c) Seja Xi::::> ... ::::>
K.
::::> ... uma seqüência decrescente de conjuntos compactos emmo
nãoli)
vazios, entio K
=
n
K. é não vazio ..-1
Devido ao teorema de Bolzano-Weierstrass um conjunto Kc9111
é compacto se, e somente se toda seqüência de pontos (xl') possui uma subsequência que converge para um ponto de K O que é importante nesta caracterização é que o conceito de conjunto compacto é intrínseco, ou seja, não depende de onde esteja contido.
De fato, suponhamos que K seja compacto. Dada uma (xn> seqüência em K, pelo teorema de Balzano Weierstrass e pelo fato de K ser limitado, existe (XJ(Dàt) subseqüência de
(xn> tal que lim X.
=
X, logo xe K=K. Reciprocamente, se vale a propriedade acima, dado xel/EN
seqüência convergente é convergente e converge para o mesmo limite, devemos ter que xeX.
Assim K é fechado. Se K fosse ilimitado teríamos para cada n e~, XII e K tal que
lixa
II
~ n. Agora é facil ver que toda subseqüência de (xIJ é ilimitada, logo não convergente, o que é uma contradição.Teorema 1.27: Seja f: X ~ ~m continua no conjunto X C ~n. Se K c X é compacto então
f(K) é compacto.
Demonstração: Seja (Yk) seqüência em f{K). Então existe (x k) seqüência em K tal que f(x k) = Y k , 'v'k e~. Pela observação que antecede o teorema temos que existe (xk )(k~) subseqüência em K tal que lim (xk
)=
xeK. Como f é continua temos que (Yk)k~ é umakeN
subseqüência de f{K) tal que lim (Yk) = ftx) e ftK). Novamente usando a caracterização keN
acima temos que f{K) deve ser compacto, uma vez que dada a seqüência
(y
k) existe uma subseqüência (Yk)(kât.) que converge para um ponto de ftK) .•Corolário 1.28 (Teorema de WeienáasS): Seja f: K ~ 9t uma função continua, K c 9111 compacto, então f atinge seu máximo e seu mínimo em K
Demonstras;ão: Temos pelo teorema 1.27 que f(K) é compacto em 91, ou seja, f(K) é um conjunto limitado e fechado de 91. Assim existe a = inf f(x) e b = SUD f(x),
xeK xet
respectivamente o ínfimo e o supremo de f{K). Além disso, a,b ef(K) pelo teorema 1.9. Portanto aS yS b, ~ye f(K) com a,be f(K) (visto que f(K)
=
f(K)U f(K)'=
f(K». Logo existem AQ, Xi e K tais que f(xo) = a S;; f(x) S;; b=
f(xt ), vx eK.Aplicação à economia
Sejam X c 91! um subconjunto não vazio convexo e fechado e::- uma relação em X
que satisfaz os seguintes axiomas:
i) 'v'~ye X, x>-youy>-x. (completeza)
-
-ü) 'v' X, Y, z e X, x'r Y e Y 'r Z ~x 'r z.( transitividade)
-
-
-fi) 'v' Y e X, {x e X; X 'r y} e {x eX; Do-y} são fechados (continuidade)
-
-iv) x ~ y(Le.,xi ~ Yi,i
=, ...
,n) e x =I; y ~ X 'ry. (monoticidade forte)(onde x 'r y se Do-ye não é o caso que y 'r x)
-
-Neste caso temos a seguinte proposição:
Proposição 1.6: Seja X = ~:. Então existe uma função u 9t: ~ ~ que representa estas preferências, isto é, u (x) ~ u (y) se, e somente se x:: y.
mostra que sob certas condições (axiomas (i), (ü), (iü) e (iv» podemos determinar uma escala numérica para as preferências do consumidor.
Demonstracão: Seja 1
=
(1, ... 1) e9lD• Então, dado xe X, sejam A
=
{I e9l+;ll>-x} eB = {t e 9l + ; x >- ti}. Por ( i ) A e B são não vazios e por (iü) são ambos fechados, visto que a
função qT.I~ll é contínua e neste caso A={yeX;y~x} e B=9'-l({yeX;y::x}). Como X é convexo, então é racil ver que {I e 9l; 11 e X} é convexo e, portanto, conexo (ver exercicio proposto 6). Concluímos que existe le9l tal que 11-x. Usando (iv), temos que este I
é único. Defina u:X ~ 9l tal que u(x)
=
I. Além disso, u-1[lo,oo] = {x eX; u(x) ~ lo}={xeX; x ~u-l (to)} e u-1[0,lol = {x eX,x,:,u-1(lo)} são fechados o que mostra que u é contínua, visto que neste caso todo aberto em [O,ex:) será imagem inversa aberta (porquê?)-o
problema básico do consumidor é o seguinte: seja r a renda do consumidor eP= (Po. ... ·.PD) o vetor de preços dos bens 1, ... ,n. Dentro do contexto acima, definimos o conjunto factível como {x eX; < p, x > ~ r} . Se u: X ~ 9l contínua representa as preferências do consumidor, então o problema de maximização das preferências pode ser escrito como:
max u(x)
s.a<p,x>~r
xeX
Uma primeira observação importante é que se u é contínua e pe9l!+ (o que implicará que o conjunto factível neste caso seja compacto) então o problema acima tem solução pelo teorema de Weierstrass desde que exista uma cesta factível.
Diz-seque x,y€X sãoindiferentes (x-y) quando x~y e y~x. Umacesta x € X é dita ser redundante (veja Simonsen (1989» quando existir y € X tal que x 2 y, Y il
X, e x-y.
Considere ainda os seguintes axiomas:
(v) x,y € X; X il Y, x,y não redundantes tais que x - y ~ (1-t) x + ty >- x, Vt e (0,1) (vi) VxeX,VE>O, 3yeX talque Ilx-yll<E e y>-x.
Definamos agora & função de utilidade indireta v(p,r) =
max
u(x)S.&.< p,x > ~ r, x eX
Verifica-se sem dificuldade que a cesta que resolve o problema de maxirnização acima esgota a renda do consumidor, isto é, < p,x > = r, onde x é a solução do problema desde que (vi) seja satisfeita ou (iv) seja satisfeito para X = 9l:. Temos também que x é não 18
redundante. Com efeito, se x fosse redundante existiria X';t x tal que x' - X. X:J!. X'. Como os preços são todos positivos, <p, X~ < <p, x> = r. Mas então x' seria outro ponto de utilidade máxima e que não esgotaria a renda do consumidor, o que não é possível pelo que vimos acima.
Vamos mostrar agora que se além disso (v) for satisfeito tem-se que x é único. Com efeito, suponhamos que x' seja outra cesta factível com a mesma utilidade (máxima) de x'. Pelo que foi visto x e x' seriam não redundantes. Mas por (v)
X
(X + X') >-x comX
(x + x') factível. Isto contradiz a hipótese de que x seja ponto de utilidade máxima.Neste caso, chamaremos a única solução do problema acima dado P e r de vetor x{p, r) de demanda marshaliana. Mais especificamente, Xi (p, r) é a função demanda
marshaliana do i - ésimo bem.
Teorema 1.29 Suponha que as preferências de um consumidor satisfaçam (i)-(v). Então a função demanda marshaliana xj:9t:+ x 91++ ~ 91 é contínua, \fi
=
1, ... ,n.Demonstracio: Considere n dada pela proposição. Sejam (Pn,rn) e9t::! tais que (p 11' rll ) ~ (p, r). Notemos inicialmente que a seqüência (X(PII , rll
»
II~! é limitada. Com efeito, tomando p' e9t:' tal que p'~ PII' \fn e~, e r'~ rll' \fn e~, é imediato que<p',x(PII,rll»~<PII,x(PII,rll»=rll ~r'. Isto posto para provar que a função demanda marshaliana é contínua basta provar que qualquer subseqüência convergente de (X(PII' ~ »(lIát) converge para x(p, r) .
Seja então (X(Pni ,rn»iát subseqüência que converge para <Pn.,x(Pn.,rn.»=rn. segue-se passando ao limite, que I I 1 I <p, y> =r, isto é,
y. Como y é factível com respeito ao par (p, r) . Para provar que' y = x(p, r) basta então provar que, se y' é factível com respeito ao par (p, r), u(y) ~ u(y') .
SP.ia < p,y'> rn
-.1 J.1n = ,
-< Pn'y > r
Verifi ca-se IlILlatamente que < Pn' J.1nY . ed' , >= < p, y' > rn S rn r
Isso significa que J.1nY' é factível em relação ao par (Pn,rn). Logo, como x(p.,r.) é o ponto de equih'brio do consumidor com respeito ao par (P., r.) tem-se u(x(Pn,rn
»
~ u(J.1ny') e portanto U(X(Pni ,rni»
~ U(J.1niY') e passando ao limite quando i ~ 00 e notando que J.1n ~ 1 quando n ~ 00 temos: u(y) ~ U(y') o que completa a prova .•
Juntando estes resultados obtém-se facilmente que a função de demanda marshaljaoa é contínua quando definida em 91:+ x 91 •.
Exercícios Resolvidos - Seção 1 1) Dados a, b e x reais e E > O prove que
a) la-~ <E-+lal-E<I~ <lal+E
Solução:
lal
=la-
b+~ ~ la-~+I~ -+Ial-I~ ~Ia-~(1)
I~
= Ib-a+al~ Ib-al+lal-+I~-Ial ~Ib-al
=la-~
(2)
De (1) e (2), II~-Iallsla-~. De la-~<E segue que 11~-lall<E e que -E<I~-lal<E. Somando-se I ai a ambas as equações obtém-se a desigualdade procurada.
Solução:
Se x> 5 então f(x) > 2 pois Ix - 31> 2 e o termo Ix-~ é sempre positivo. Da mesma forma, se x< 3, f(x) > 2, pois Ix- 51> 2 e Ix- 31> O. Por último, para 3 s xs S teremos Ix-~
= 5-,0: elx-
31
= x-3 (pela definição da funçãc módulo). Soma..'ldo-se os termos obtém-se f (x)=
5 - x+ x-3=
2. Assim, em qualquer caso, f(x) ~ 2.2) Encontre x e 91 (se existir) que satisfaça:
a) 12x- 21
=
14x+ 31Caso 1: 2x-2~0
-+
x~I 4x+3>012x-21 =2x-2, 14x+31 =4x+3 2x - 2 = 4 x
+
3-+
x = -5/2Solução do caso 1: {-5/2}n[I,+oo) = (2)
Caso 2: 2x-2 <O
-+
x < 14x+3~0
-+
x~ -3/412x-21=-2x+2 14x+31 =4x+3 -2x+2 =4x+3
-+
x =-116Solução do caso 2: {-1I6}n[-3/ 4,1) = {-116}
Caso 3: 2x-2 <O
-+
x < 1 4x+3<0-+
x< -3/414x+31=-4x-3,12x-21 =-2x+2 -4x-3 = -2x+2
-+
x = -5/2Solução do caso 3: {-5/2}n(-oo,-3/ 4)n{-oo, 1)
=
{-5/2}Solução do Problema: {-1 /6, -5 / 2}
3) (Desigualdade de Cauchy - Schwarz) Seja Vum espaço vetorial real com produto interno. Então:
I(
x, y)1~
Ilxllllyll onde II xii =~(x,x)
Solução: Sejam A = Ilx112, B = l(x,y)1 e C = Ily112. Para todo real r, temos que
o
~ < x-ry, x-ry >=
< x,x > -2r< x,y > + r2 < y,y >Portanto, A-2Br+Cr2~O, 'Vregt. Se C=O,A~2Br,'Vregt, logoB=O pois caso contrário teríamos um absurdo fazendo r suficientemente grande (por exemplo r> A/2B).
Se C> O, tome r = B/C na expressão acima e obtendo então
li
S AC. Resumindo,B2 ~ AC se C = O (pois neste caso B = O) e B2 ~ AC se C > O. Em qualquer caso, obtem-se a desigualdade de Cauchy-Schwarz.
4) Sejam (x.J e (y.J sequenClas reais convergentes tais que
x ... ~ Y ... , 'Vk e~. Então lim x ... ~ lim Y ....
... ~.. k~ ..
Solução: Sejam a = lim x... e b = lim y... Suponha por absurdo que pb. Seja
... ~.. ...~
..
s=(b-a)/2>O. Existe kõeN tal que para todo ke~,k~ko,lxt-al<&e IYt-bl<&. Seja k~kõ, então -&<Xj.-a e YJ:-b<&; Como a-s=(a+b)/2=b+& temos que YJ: <
a;
b<~,
o que é absurdo. Portanto concluí-se quea
~
b.5) (a) Se X c F, F é fechado em 9lD, então X c F. Mostre também que X c Y com X e Y subconjuntos em gtD implica X c Y.
(b) Se A e B são conjuntos abertos em gtD então A n B e A u B são conjuntos abertos. (c) Seja
{AJ
lei uma fiunília de conjuntos abertos onde I é um conjunto arbitrário deíndices. Mostre que U Al é sempre um conjunto aberto, embora
n
Al nem sempre seja uml&I lei
conjunto aberto. Dê um exemplo justificando a última afirmaçIo.
(b) Vamos provar que AnB c int(AnB). Se xeAnB então xeA e xeB. Como A e B são conjuntos abertos isso implica que existem e\ > O e e2 > O tais que B(x;e\)cA e B(x;e2)cB. Para e=miD{ep e2} tem-se B(x;e) c A e B(x;e)cB. Logo, B(x;e) cAnB e x e int(MB). Para x e AUB tem-se que x e int(A) ou x e int(B). Se x e int (A) então existe E>O tal que B(x;e) c A c AUB. Neste caso x e int(AUB). Da mesma forma prova-se que x e int (B) implica x e int (AUB). Em quaisquer dos dois casos tem-se xe int (AUB) e portanto, AUB c int (AUB).
(c) X eU Al implica que x eA,. para algum l' ELo Como Al é aberto, \1'ÂeI, existe
leI '"
E>O tal que B(x; e) CAl' . Daí, tem-se que B(x; e) c U Al e, portanto, x e int( U AJ.
l d l d
Exemplo: Seja An =
(-1/
n,1/
n) para cada n e ~. Obviamente, An é um conjunto aberto para todo neK Todavia, {O} = n Ali'IIEN
6) Mostre que int
(xny)
= int(x)nint(Y)
eint(XUY)
~int(X)Uint(Y)
com X e Y subconjuntos de m n. Dê um exemplo onde a inclusão acima não é uma igualdade.Demonstração:
(~) Como int (X) c X e int (Y) c Y tem-se que int(X)nint (Y) c Xny. Da parte (b) do exercício anterior obtém-se que int (X)n int (Y) é um conjunto aberto e, portanto,
int (x)nint
(Y)
c int(xny).
(c) Obviamente,
int(xny)eX
eint(xny)cY.
Comoint(xny)
é aberto vale queint(xny)
c int (X) eint(xny)
c int (Y). Logo,int(xny)c
int (X) nint(Y). A provarque int(XUY)~int(X) U
int(Y).
Comoint(X)cX
eint(Y)cY
vale queint
(X)
U int(Y)
cXUY.
Da parte (b) do exercício anterior tem-se queint(X)Uint(Y)
é um conjunto aberto. Logo,int(X)
Uint(Y)
cint(XUY).
Exemplo: Sejam X=(O,I] e Y=[1,2]. Tem-se que
int
(X)
= (0,1),int(Y)
= (1,2)e
int(XUY)
= (0,2). Obviamente, int(XUY)
~ int(X)U
int(Y),
já que I eint(XUY)
e I Eint(X)
U
int(Y).
7) Para cada um dos conjuntos seguintes determine sua fronteira:
X = [0,1], Y = (O, 1)U(1,2), W
=~
e
A ={x
em!;(p,x)~
m}
Solução: fr (X) = {O, I} , fr (Y) = {0,1,2}, fr
(W)
=~
e fr (A) = {x em:;(p,x) = m}Max Xa XI-a
I 2 S.B.
PI XI + P2 X2 ~ m
onde ae(O,1),p=(PI,P2) e 91:+ e m>O
Justifique a existência de solução ótima para o problema acima. Sob que condições não se pode garantir a existência de solução ótima.
Solução: Seja U:9t: ~9t definidaporU(xl;x2)=xt x~-a com ae(O,l), Uéumafunção
contínua. A provar que para toda seqüência
((XI.,X2
.)).ét
e 91: com(XI.,X2J~(XI,X2)
e 91: tem-seU(XI.,X2J~U(XI,X2).
Det a a l-a l-a D ··dad da
XI ~ XI e x2 ~ x2 em-se que XI ~ XI e X2 ~ x2 . a contmw e
• • • •
multiplicação de números reais tem-se que x~ x~-a ~ x~ x~-a . Seja
A = {(XI,X2) e9t:;PI XI + P2 X2
~
m}. Como (PI,P2) E 91:+tem-~ ~ue
A é um conjuntocompacto. Pelo teorema de Weierstrass, U restrito a A atinge um valor máximo e um valor mínimo. Logo, existe (XI-,x;) EA tal que U(x; ,x;) ~ U(XI ,x2), V(XI ,x2) EA.
Se (PI' P2) E 91: então A não é necessariamente um conjunto compacto e, neste caso, não se pode garantir a existência de solução ótima. De fato, se Pi = O para algum i E{1,2} então A não é um conjunto limitado e o problema do consumidor não tem solução ótima.
9) Considere o problema de maxirnização de lucros da firma dado por:
onde f: 91: ~ 91 é uma função definida por
f(XI,X2) = UI +bx2 com (a,b) E 91:' , (WpW2) E 91:+ e P E9t_. Supondo que os
lucros sejam sempre positivos em qualquer solução ótima, mostre que o problema da firma
assim proposto nio possui solução ótima. Será que o mesmo resultado vale para uma função de produção f qualquer com retornos crescentes de escala?
Seja Y={(y,-xp-x2);f(xpX2)~Y} o conjunto de possibilidades de produção da firma. Supondo que Y seja um conjunto limitado, justifique a existência de solução para o problema de maximização de lucros tanto no caso f(XI,X2) = axl + bX2 quanto no caso
f(
XI' x2 ) uma função de produção com retornos crescentes de escala e contínua. Solução:o
problema de maxirnização de lucros da firma pode ser escrito da seguinte forma alternativa:Max P Y - W I XI - Wl Xl
s.a.
(y, - Xp - Xl) eY
onde Y =
{(y, -
xp - X2)~ a XI +b x2 ~y}
Suponhamos por absurdo que este problema tenha solução, i.e., existe(y',-x:,-X;)eY talque PY·-WIX;-W2X;~Py-WIXI-W2Xz 'v'(Y,-~,-Xz)eY.
Como PY·-WIX;-W2X;>O e (ny·,-nx;,-nx;)eY, 'v'ne~ tem-se que, para n e~ suficientemente grande, pny· - wlnx; - wlnx; > py. - wlx: -w2x;
(Contradição I).
No caso da firma possuir uma tecnologia com retornos crescentes de escala, prova-se por argumento semelhante o mesmo resultado. Supondo que Y seja um conjunto limitado, tem-se tanto no caso f(xp x2 ) = aXI + bX2 quanto no caso em que f(xl'xJ é uma função de produção com retornos crescentes de escala e continua que Y é um conjunto fechado e, portanto, compacto. Pelo Teorema de Weiertrass, em ambos os casos garante-se a existência de solução ótima para o probrema da firma.
Exercícios propostos: Seção 1
1) Prove que, dadosce9l,de9le ee9l,tem-se: a) IC+dlslcl+ldl
b) Icdl
=
Iclldlc) Se d ;é O, Icl di
=
Icl Ildld) Ic-elslc-dl+ld-el e) -Ic-dlslcl-Idlslc-dl
Sugestões:
a) Escreva as desigualdades 1.3 para
c,
para d, e em seguida some as desigualdades membro a membro (o que é permitido). Em seguida observe que, pela proporção 1.1', escrever-se -( 1~+Id!) Sc+
ds(lq+Ia1)
é equivalente a escrever-seIc+a1
S 1~+Ia1·b) Observe que
1001
2= (cd)2e que tanto Icdl quanto Icl.ldl são não negativos. c) Repita b.
d) Ic-el = Ic-d+d-~ e) Icl=lc-d+dl
2) Denomina-se "Princípio da Indução" uma regra de demonstração de propriedades relativas aos números naturais. Este Princípio enuncia-se da seguinte forma: "Dada uma propriedade qualquer relativa aos números naturais verifique a) se ela é válida para o número natural 1; b) se, a partir da hipótese (chamada hipótese de indução) de que ela é válida para o número natural n pode-se provar que ela também é válida para o número natural n + 1. Caso (a) e (b)
se confirmem, então esta propriedade é válida para todos os números naturais".
Demonstre, usando o princípio da indução, que dado .lí,Aí' ... 'XJJ números reais (n e ~).
a) Ix) + ~+ ... +xnl s Ix)1 + I~I + ... + I~I b) Ix) x2 ••• xnl = Ix)II~I ... I~1
3) Seja Sn a soma dos n primeiros números naturais. Demonstre por indução que
s
=
n(n+1) D ...•
4) Demonstre por indução a desigualdade de Beurnoulli: Se x e9l, n e~ e x~ -1, (l
+
X)D ?! 1+
llXa) Ix-31 <2 b) Ix-31+lx-21 < I c) Ix-31+lx-21
=
I d) Ix-31<lx-41 e) Ix-li <3 f) IX-Illx-21>5Ix-21
6) Verifique que a nonna euclidiana definida nesta seção satisfaz as três propriedades listadas abaixo. Utilize em sua demonstração a desigualdade de Cauchy-Schwarz provada no exercício resolvido 3.
a) Se x;t 0, então IIxll >
°
b) para qualquer a e 9t, Ilaxll
=
lal II xiic) para qualquer vetores x e y, Ilx + yll ~ Ilxll + Ilyll
7) Define-se a distância entre dois vetores do 9tD x e y como ~x,j)
=
Ilx - yll. Calcule a distância entre os vetores:a) (1,2,3) e (5,6,7) b) (0,0,0) e (1,2,3)
Faz sentido falar na distância entre x= (0,0,1) e y= (1,0)?
8) Diga se os seguintes conjuntos são: a) aberto: b) fechado; c) limitado; d) compacto~ e) conexo.
D
i) {(x), ... ,xn ) e9t:; Lajxj S b}, onde aj' b e9t.,i = I, ... ,n
j.) ü) 9tD \B(a,r),a e9tD ,r> O. . D ili) B(0,I)U{xe9t!...IIL~<2}. ~l
iv) {(x,j) e9t2;~ +41 S3,x+ yS l,x~O ey~O}
v) {(x,j)e9t!;xySI}
9) Mostre que toda bola
em 91-
é convexa.10) Prove que para todo conjunto X c 9t- , int X é um conjunto aberto.
a) um conjunto A c 91D
é aberto se, e somente se .tr(A)nA
=;.
b) o fecho da união de dois conjuntos é a união dos fechos destes conjuntos. c) o equivalente do item (b) para interseção.
d) um conjunto é convexo se, e somente se seu fecho é convexo. e) a interseção de dois conjuntos conexos é conexo.
t) toda função é contínua nos pontos isolados de seu domínio.
12) Mostre que se f:X ~ 91D
é contínua e Y c X então
!Iv
é contínua.13) Seja {C~h .. EI uma coleção de conjuntos conexos, I conjunto de índices, tal que
n
CÃ:I: O.ÃEI
Então U C Ã é conexo.
ÃEI
14) Um conjunto X c 911: é conexo por caminhos se para todo par de pontos x e y em X
existe a: [a, b] c 91 ~ X contínuo tal que a (a) = x e a (b) = y. Mostre que se X é conexo por caminho então X é conexo. (Sugestão: use o exercício anterior).
15) Mostre que toda transformação linear T: 91D
~ 91M
é Lipschitziana. (Decorre daí que toda transformação linear é contínua).
16) Usando o exercício anterior verifique se os conjuntos do exercício 8 são conexos.
17) Mostre que todo conjunto convexo é conexo. (Este exercício mostra que 91D
, B(a,r),
B[a,r] são de fato conexos como afirmado no texto).
18) Mostre que a norma euclidiana é equivalente à norma da soma e à norma do máximo, dando uma prova direta sem utilizar a proposição do texto.
2) CONVEXIDADE, CONCAVIDADE E QUASE CONCAVIDADE Convexidade e concavidade
a)Conjuntos Convexos
Dado um conjunto D c 1RD
, diz-se que D é convexo quando, dados dois quaisquer de
seus pontos x e y, o segmento que une x a yestá todo ele contido em D. Graficamente, no 912, temos:
conTeXO nio ConTa0
(figura 2.1)
Formalmente D e 1RD
é convexo quando para 'V x,ye D, a x + (1 - a) y e D para todo a tal que O ~ a ~ 1. Definem-se também como convexos o conjunto vazio e os conjuntos com um único ponto.
b) Funções Convexas
Dada uma função f: D-+ 91, De 91- , D convexo, diz-se que [convexa quando, dado quaisquer xcyeD e O~ 8 ~ 1, tem-se [(ax+(l-a) y) ~a [(x) +(1-8) [(y).
Simetricamente, diz-se que f é côncava quando - f é convexa, ou seja, quando dados quaisquer xeye D eOs a SI, f(ax+(I-a)y) ~af(x)+(l-a)f(y).
Observe que o termo convexo aplica-se tanto a conjuntos quanto a funções, embora com sentidos diferentes. O termo conjunto côncavo não é definido para conjuntos.
No que se segue, trabalharemos predominantemente com funções côncavas. A modificação dos resultados para o caso de funções convexas é imediata, ficando a cargo do leitor.
A visualizaçio de uma função côncava f: D -+ 91, D e 91 é apresentada abaixo, onde c = aa + (l-a) b para a e[O, 1].
f(b) f (c) L (c) - oc f(a) +(1 -oc) f(b) f(';' ----1f---~x1 b a c (figura 2.2)
No gráfico 2.1, a imagem do ponto c pela função [situa-se acima (na ordenada) da combinação a f(a)+(l-a) f(b), O que caracteriza a concavidade da função.
Observe ainda que a f (a) + (1-a) f (b) representa a ordenada de c correspondente à reta que passa pelos pontos (a, f(a» e (b, f{b». De fato, esta reta tem por equação:
L(x)=f(a)+ f(b)-f(a) (x-a)
b-a
Fazendo-se x = c = a a + (1-a) b, obtém - se:
L (c) = a f(a)+(I-a) f (b)
O gráfico 2.2 mostra que dados a,b eD e O ~ a'~ 1, se definirmos c = a a+ (l-a) b e f for côncava, teremos sempre:
f (c) = f (aa+ (l-a) b) ~ L (c) = a f(a)+(l-a)f(c)
Geometricamente, isto significa que o gráfico da função ao longo de qualquer segmento no domínio situa-se acima da secante correspondente.
Teorema
2.1: SejamDum
conjunto convexo não vazio do 9111e fi e f2 funções côncavas
fi e f2 definidas em D e com valores em 9t. Sejam ainda ai e ~ números reais não negativos e
f: D ~ 91 uma função definida por f = ai fi + ~
1;.
Então f é uma função côncava.1 2 f(aa+(l-a)b)=(~ t; +~.t;) (aa+(l-a)b) =
~ t; (aa+(1-a)b)+~.t; (aa+(l-a)b)~ 3
4
~ (~(a)+(1-a)t; (b»+~
(a.t;
(a)+(l-a).t;(b»=
s
a(~ t; (a)+~t; (a»+(1-a)(~ t; (b)+~t;(b»=
6
a(~ t; +~t;)(a) + (1-a)(~ t; +~t;) (b)=
af(a)+(l-a)f(b)
Na demonstração acima as passagens 1 e 6 utilizam a definição de fe as passagens 2 e,
5 a definição de (~t; +~.t;) (x) como ~t; (x)+~t; (x).A desigualdade 3 decorre da concavidade de
t;
e.t; e do fato de ~ e ~ serem número reais não negativos. A passagem (4)corresponde a um simples reordenamento dos termos .•
o
teorema acima estende-se facilmente no caso de m números reais não negativos ~ , ~, ... , BlIJ' e m funçõest;
.t;, ... , fm . Se f é definida como ~t;
+ ~ t; + ... + allJ fm e cadauma das funções
t;
(i = 1,2, ... ,m) é côncava, então fé côncava.Quase
concavidade
Definição.{ Quase cOI1cavidade): Seja: f: D ~ 9t, sendo D um conjunto do J('. Diz-se que fé
guase-CÔI1cava quando dado um número real ,a qualquer, o conjunto C = {x E D; f( x) ~ a}
for um conjunto convexo.
Para exemplificar esta definição, tomemos inicialmente a função de apenas uma variável
(D c 9t) f(x) = _x2, cujo gráfico desenhamos abaixo:
c
a
Observa-se facilmente que, qualquer que seja o número real a, o conjunto dos pontos x tais que - X2 ~ a é um conjunto convexo. Na exposição gráfica acima tomamos a < O. Para
a = O o conjunto C se resumiria a um conjunto formado por um único ponto (x= O), que por definição é convexo. Da mesma forma, se tivéssemos a> O o conjunto C seria vazio e, também por definição, convexo.
T ornemos agora a função de duas variáveis definida no 91:, U (XI ' ~) = (XI ~)1\3. Neste caso não desenharemos o gráfico da função (o que exigiria um diagrama em três dimensões, duas para o domínio e uma terceira para os valores assumidos pela função), mas apenas o lugar geométrico dos pontos de seu domínio tal que o valor da função seja igual a uma certa constante (curvas de nível da função):
Conjunto de valorel dafunçio
(figura 2.4)
Neste caso, o sentido da quase concavidade é que, dado Il e 91, O conjunto Z =
{(XI'~) e 9t!; (XI ~)1\3 ~ a} hachureado na parte esquerda da representaçio acima (para a >O)
é um conjunto convexo.
Nos dois exemplos acima apresentados as funções, além de quase côncavas, sIo também côncavas. Isto não precisa necessariamente ocorrer. Por exemplo, a função f: 91 -+ 91
definida por f (x) = x3 é quase côncava mas não é côncava. Observa-se facilmente pelo gráfico desta função que, dado o número real na ordenada, o conjunto {x; X3 ~ a} = [a 113, +00) (hachureado na figura abaixo) é um conjunto convexo.
