TEMA DE PROPORCIONALIDADE

para K

mayores de 0 para K _{menores de 0}

TEMA DE PROPORCIONALIDADE

PROPORCIONALIDADE

A proporcionalidade é a relación en canto a magnitudes,

cantidades ou graos dun obxecto con outro, ou a relación dunha parte co todo (dun obxecto).

RAZÓN: É o valor da relación entre as magnitudes de dous segmentos. É dicir, dous segmentos de lonxitudes a e b,

considerando nesta orde o segmento b non nulo, a razón é o cociente entre a e b, a/b (proporcionalidade directa), ou a multiplicación a.b (proporcionalidade inversa).

Cando dúas razóns son iguais chámase proporción. Así, dicimos que catro segmentos de lonxitudes a, b, c e d son proporcionais cando tomados de dous en dous estes segmentos as súas razóns é a mesma:

a/b = c/d (proporcionalidade directa). Nunha proporción cúmprese que o produto dos extremos é igual ao produto dos medios:

a.d =b .c Clases de proporcionalidade:

□

□

Proporcionalidade directa.

□

□

Proporcionalidade inversa.

PROPORCIONALIDADE DIRECTA:

Dúas magnitudes X e Y, son directamente proporcionais cando a razón

de cada par de valores é constante K. Así tendo os valores x1,x2,x3....xn de magnitude X e os valores y1,y2,y3....yn da magnitude Y, tense que cumprir:

X1/y1=x2/y2=x3/y3...xn/yn= k, de onde xn=k.yn

Onde K é a constante de proporcionalidade directa ou a razón directa.

Se queremos representar mediante un sistema de coordenadas cartesianas os valores das dúas magnitudes X e Y, obteremos unha

y para valores de K menores de 0 para valores de K mayores de 0 x y x

PROPORCIONALIDADE INVERSA

Dicimos que dúas magnitudes son inversamente proporcionais, cando o produto de cada par de valores é constante, así os valores

x1,x2,x3...xn da magnitude X e os valores y1,y2,y3...yn da magnitude Y, cumpre que x1.y1=x2.y2=x3.y3=...=xn.yn= K Onde a constante K chamase constante de proporcionalidade inversa ou razón inversa.

Se queremos representar nun sistema de coordenadas os valores de X e de Y, obteremos unha curva, con dúas ramas chamadas hipérboles.

APLICACIÓNS DA PROPORCIONALIDADE DIRECTA

THALES DE MILETO:

Naceu entre os séculos VII- VI a. De C. Filósofo-matemático foi uns dos sete sabios de Grecia, o seu discípulo foi Pitágoras.

Aplicou os seus coñecementos da proporcionalidade directa, medindo a altura dunha pirámide relacionando a lonxitude da pirámide coa lonxitude da sombra proxectada pola devandita pirámide.

TEOREMA DE THALES:

Os segmentos resultantes da intersección de rectas paralelas con dúas rectas concorrentes (que se cortan) son sempre proporcionais:

1.1División dun segmento en cinco partes iguais: ver figura anterior. 1.2 División dunha circunferencia en partes iguais: apuntamentos posteriores. a/f=b/g=c/h=d/i=e/j c a g f h b Dividir el segmento AB en 5 partes iguales. d i j e A B

a=35mm. b=45 mm.

35/45=45/x de dónde se deduce:

a/b= b/x

X=45.45/35=2025/35=57,85mm.

a b b a b b X 1.3 Cuarta proporcional:

Chámase cuarta proporcional de tres segmentos a,b,c, a un cuarto

segmento x que cumpre a/b=c/x. De onde se deduce que a.x=b.c X= a.c/b

1.4 Terceira proporcional:

Chámase terceira proporcional de dous segmentos a,b a un terceiro X que

cumpre a/b=b/X Dónde dedúcese que: a.X=b.b X=b2_/a

1.5 Media proporcional:

Chámase media proporcional de dous segmentos a, b a un terceiro X que cumpre que: a/X=X/b, onde X2_=a.b

Hai tres procedementos para a realización da media proporcional: 1.- Teorema de Euclides ou o teorema da altura: a altura dun

triángulo rectángulo respecto da hipotenusa é media proporcional das proxeccións dos catetos sobre a hipotenusa.

Datos:

- Dados a, b poñen estes segmentos sobre unha recta. - Trázase o arco capaz.

- Levántase polo extremo da unha perpendicular.

- Esa perpendicular é o segmento X media proporcional. b= 35 mm. a =20 mm. c=25mm. a/b=c/x 20/35=25/x x=20.25/35 X=14,28 x b

x

a=40mm.

x

X2_=a.b X2_{= 25.40} X= 31,62

2.- Teorema dos catetos: dise que un cateto é media proporcional

entre a hipotenusa e a súa proxección sobre ela. X2= a.b

X2= 40.70 X= 52,91

3.- Aplicación da potencia dun punto con respecto a unha

circunferencia:

A media proporcional sería o cadrado da tanxente trazada dende o punto á Circunferencia.

Potencia = PA . PB

Potencia = PT . PT Dónde PA.PB=PT2 _{por lo tanto X}2 _{= a.b}

a=65mm. m A B O M N E 40.172 2 24.827 8 65

4) DIVISIÓN AUREA DUN SEGMENTO (tamén chámase a divina

proporción ou Extrema e media razón): Se dividimos un segmento

en duas partes "a" e "b", sendo a>b e que verifican que

a+b/a=a/b, se establece unha terceira proporcional moi particular, pois a súa razón sempre é a mesma, (phi)= (1 + 5) /2

=1,618 esta proporción obtida está presente nas formas naturais, empezando pola propia figura. O número de ouro chamado por Leonardo dá Vince, foi calculado matematicamente por un franciscano chamado Luca Pacioli.

Obtención da sección áurea, dous casos:

□

□

Caso 1:Dado o segmento a, debemos atopar un punto E que divida ao

segmento de modo que cumpra: a/x= x/b X2 _{=a. b,}

osea AB/AE = AE/EB

Pasos:

1. Dado a áchase a mediadriz e danos m.

2. Trázase unha perpendicular por B.

3. (B,Am) danos O.

4. (O,OB) circunferencia.

5. Trazar unha recta que pase por O centro e curta á circunf.en M e N.

6. (A, AN) que corta a AB en E (punto aureo o de oro).

24.7214

64.7214

E

a= 40mm

.

a M

40

A

_C

_b

B

□

□

Caso 2: Coñecido o segmento AC de lonxitude a= 40 mm. Obter un segmento b que sumado ao “a“estea en proporción áurea

AB/AC=AC/CB

64,72140/40=40/ 24,7214 1,618=1,618

Que es el valor del punto aureo. Pasos:

- Dado a=40mm

- Trazar un cadrado de lado 40 mm. - Trazar a mediatriz dá M

- (M, ME) que corta á prolongación AC en B. - AC=a, CB= b

□

□

Caso 2: Dado un segmento achar outra parte para que sexa aureo. Outra forma.

Pasos:

-Dado o segmento AB, por B trázase unha perpendicular. - Trázase a mediatriz de AB que é C.

- (B, CB, ) que corta á recta perpendicular "r" en D. - Trázase unha circunferencia de centro D e radio DB.

- Únese e prolóngase AD, a recta curta á Circunferencia en E. - (A, AE) que corta á prolongación AB en F.

□

□

Construír un rectángulo áureo.

Chámase rectángulo áureo a aquel os lados do cal están relacionados

segundo a proporción áurea. Pasos:

- Dado AB trázase perpendiculares polos seus extremos. - Áchase a súa mediatriz que nos dá M.

- (B, BA) que corta á perpendicular en C. - (A, BA) que corta á perpendicular enD. - prolongar B.

- (M, MC) que corta á recta AB en E.

- AE é o outro lado do rectángulo buscado.

□

□

Nun pentágono hai dúas medidas que teñen relación áurea:

- A diagonal e o lado do pentágono cumpran que d/ l =1,6180 - As dúas alturas do pentágono h/a =1,6180.

a= 30mm

b=15mm

10

15

a

_x

b

10mm. se toma como unidad decimal

45

30

Exercicios de aplicación. Resoltos.

1.Multiplicar entre si dous segmentos.: Dado a=30mm e

b=15mm alla o segmento a.b. 30 .15=45mm. É dicir 4,5cm.; a/c=x/b; 30/10= x/15; despéxase e dá 30/10.15 =x; x=45mm.

Trazar dúas rectas que se cortan, transportando a partir do vértice a unidade e un dos segmentos a continuación. Sobre o outro lado levar o outro segmento dado.

Unir o segmento unidade co segmento a e trazar polo extremo b unha paralela á recta última dándonos deste modo x segmento da multiplicación.

2. División dun número racional, ou división de dous segmentos.

Dado o segmento a= 50 mm e b= 20 mm achar a/b, é dicir 5/2.

a= 50mm.

b=20mm.

aplicar la cuarta proporcional dónde

a/b= c/d ; 50/20=c/10 ;

c= 50/20; c= 2.5

a

b

c

50

25

20

10

10

AB

u

A

B

22.3607

AB=50mm

3.Dividir un segmento n=20mm. Por ¾: n/3/4.

é o mesmo que 4 n/3 (o que está a dividir pasa multiplicando) 4 n/3; 4.20/3= 26,66.

Imos realizar o exercicio de dúas formas:

- Realizando primeiro a escala gráfica e logo medir o segmento. - Buscar primeiro a multiplicación 4n (4.2). Buscar logo a división 4.n/3.

- Realizando a escala gráfica e logo medir o segmento: Nunha recta trasládase o segmento "n" catro veces, divídese o segmento

resultante en tres partes iguais polo teorema de tales, cada parte equivale a 4 n/3 ou o que é o mesmo n/3/4.

-Buscar primeiro a multiplicación 4n (4.2). Buscar logo a división 4.n/3.

4. - Achar a raiz cadrada dun segmento dado: AB. Sexa o segmento AB de 50 mm. Utilízase a media proporcional onde temos dous segmentos AB=50mm e o segmeto unidade u=10mm.

Pódese utilizar calquera dos procedementos da media proporcional. U/x= x/AB; onde x2=u. AB; x= 1.AB; x= AB

X= 10. 50 ; x= 1.50; x=22,36

20

80

n= 4.20

26.6667

4n/3

n= 30mm

10

90 = b =n

2

30

n= 30mm

30

90

10

30

n

X=

n

2

n

5. -Dado un segmento n= 30 mm, achar o segmento n2_{: Pódese}

trazar con dous procedementos.

1) Pola media proporcional: Recordemos que a media proporcional sería n2=a.b, onde a=10mm a unidade. Recordemos que n é o segmento media proporcional que vale:

n= a.b. O exercicio resólvese igual que o anterior, pero empezando polo final.

Recordemos que a mediatriz dunha corda pasa sempre polo centro da circunferencia buscada.

2Pasos:

- Colócase nunha recta a unidade 10 mm no extremo transpórtase perpendicularmente o segmento n=30mm.

- Únense os extremos dos dous segmentos e trázase a mediatriz, onde corte a mediatriz é o centro da semicircunferencia da media proporcional.

-O segmento n2 =90 mm.

2). - Pola terceira proporcional: Recordamos que a terceira proporcional

sería: n/1=x/n; n2 =x

Pasos:

- Nas rectas concorrentes trasládase o segmento n nunha e na outra a unidade e outra vez o segmento n.

2

2 2

d= l +l

2

d= 2.l

d= 2 . l

l

l

l

-Únese o extremo da unidade coa de n. Trázase unha paralela a esta última recta polo outro extremo de n e dános x.

6. -Dado un segmento l= 30 mm, achar o segmento l 2 :

Hai que aplicar o teorema de Pitágoras onde o cadrado da Hipotenusa é igual á suma dos cadrados dos seus catetos.

7. -Dado un segmento l= 30 mm, achar o segmento l 3 :

según el teorema de Pitágoras a2 _{= l 2}2_{+ l}2

según vimos no exercicio anterior l 22_{= l}2_{+ l}2 _sustitúes

a2 = l2+ l2 + l2 , a2= 3. l2

a= 3. l2 a= l . ₃

8. -Dividir un número irracional: Achar s / 2, sendo "s"= 40 mm.

Para achar esta operación multiplícase todo pola raiz cadrada de dous

9. - Achar graficamente o produto de q pola raiz cadrada de 5 +1 partido por 2.

Pasos:

- Áchase graficamente a raiz cadrada de 5.q como vimos no exercicio anterior coa raiz cadrada de tres por "l" do exercicio anterior..

-Trázase a mediatriz do devandito segmento,y dános o segmento raíz cadrada de 5.q partido por 2.

- Áchase a mediatriz do segmento q para obter q/2. Súmanse os dous segmentos.

10. - Dividir un segmento de 60 mm en partes proporcionais a outros tres dados: a=20mm, b=10mm, c=25mm.

A

_B

a

b

c

A

B

a b c

11. - Achar dous segmento a e b que son proporcionais a m e n de 15 e 20 mm. Respectivamente. Coñecendo outro segmento p= 60 mm., e sabendo que a+b=p.

12. -Dados tres segmentos AB =3cm, CD =4cm e EF =6cm, calcula o segmento cuarta proporcional.

13. -Dados dous segmentos AB= 4 cm, e CD=5cm, calcula un segmento terceira proporcional.

14. - Dados dous segmentos AB=3cm e CD=7cm, calcula o segmento media proporcional.

15. - Utiliza o teorema de Pitágoras para demostrar o

procedemento realizado no calculo da media proporcional de dous segmentos dados.

A media proporcional ten que cumprir que x2= a.b

Se aplicamos o teorema de Pitágoras en cada un dos rectángulos da figura dada:

C2_{= a}2 _+x2

Y2 _{= b}2 _{+ x}2

Sumamos as devanditas ecuacións: c2 _+y2_=a2 _+b2 _+2x2_;

c2 +y2 =a2+ b2 +2x2

Hai que recordar que existe outro triángulo rectángulo formado polos lados (a+b), c e y, segundo Pitágoras

(a+b)2 _=c2 _+y2 _.

Se substituímos quedaría (a+b)2 _{= a}2 _+b2 _+2x2

***(a+b)2 recorda que o cadrado dunha suma se resolve: como o cadrado do primeiro máis o cadrado do segundo máis o dobre produto do primeiro polo segundo***

a2_+b2_{+2ab =a}2 _+b2 _+2x2 2ab = 2x2 _a.b=x2 y x a b c

16. - Debuxar o segmento c=a.b, sendo a e b segmentos dados e considerando como unidade o centímetro.

17. - Debuxar o segmento m=a/b, sendo a=3cm, b=2 e considerando o centímetro como unidade.

19. - Debuxar o segmento n2, sendo n =25mm e considerando a unidade o centímetro.

20. - Debuxar o segmento n, sendo n=3 cm e considerando como unidade

o centímetro.

21. -Achar un segmento b, sendo b<a, tal que a/b=  (phi) Dado a=3cm.

a=9.7 X=20

b=40.3

22. -Realiza a segmentación áurea do segmento (a+b)=5cm, de modo que a/b=  (phi)

23. - Debuxar un rectángulo de ouro o lado maior do cal sexa m=6.

24. - Achar dous segmentos coñecida a súa suma e o seu media proporcional. Suma=5 cm. media proporcional=2cm.

-Trázase unha semicircunferencia co segmento suma.

-Leva o segmento media

Proporcional perpendicularmente ao segmento suma.

-Dito segmento dividiranos ao segmento suma nos dous segmentos buscados.

Mp=35

23

53

30

25. - Achar dous segmentos coñecendo o seu segmento diferenza e o segmento media proporcional. Diferencia=3cm Mp=3,5.

Resólvese mediante a potencia: -Trázase unha circunferencia con diámetro o segmento diferenza -Trázase unha recta tanxente de 35 mm, únese o último punto co centro da

circunferencia ata que corte a devandita circunferencia. -O resultado final será un

segmento con 23 mm e o outro con 53 mm.

26. -¿ A que distancia do centro dunha circunferencia de radio 3 CMatopa o punto a potencia do cal é de 16 cm?

-Búscase a raiz cadrada de 16: Potencia: a.b=PT2 16= PT2 16=PT

-Segundo paso é realizar unha circunferencia co radio 3 cm. -Trazar unha recta tanxente

á circunferencia co segmento raiz cadrada de 16.

-Únese co centro e danos a solución do problema: a

distancia do centro da circunferencia ata o punto P é de 5 cm.

16

10

160

50

30

16

P

o

27. - Debuxar o rectángulo de lados l1 e l2 coñecendo o perímetro do rectángulo P=8cm, que cumpre l1 /l2 =m/n

sendo m=3.5cm e n=2cm.

-Áchase a mediatriz do segmento perímetro (xa que p/2=l1+l2. -Divídese proporcionalmente o devandito segmento segundo a proporción l1

/l2 =m/n, deste xeito acharemos os segmentos l1 ,l2. -Cos devanditos segmentos realízase o rectángulo.

28. - Dados dous segmento a suma da cal a+b=9cm, e o seu produto é a.b=16cm. Achar segméntoos a e b.

-Búscase primeiro co produto coa media proporcional xa que -O segundo paso é realizar a media

proporcional coñecendo o segmento suma e o segmento raiz cadrada de 16 mm, asi obteremos os segménto a=2.46cm e b=6.53. perimetro=80mm p/2=l1 +l2 14.5455 25.4545 35 20 L1 L2 m n L2 L1 10 16 16 a.b= 16 a b a.b

50

30

resultado =83mm.

o

a

b

x

10

15

a.b=

15

29. - Dados dous segmento a diferenza da cal é a-b=5cm, e o seu produtoa. b=15cm. Acha os segméntoos “a e b”.

-Como no outro exercicio, faise primeiro a media proporcional do produto de a.b -o segundo paso é

como temos o segmento diferenza e segmento media

proporcional sacado do paso anterior, para achar os segmentos a e b

tense que facer o exercicio da potencia.

-Trázase unha circunferencia de diámetro o segmento diferenza. -Trasládase tanxente o segmento raíz cadrada

de 15 cm á circunferencia.

-Únese o último punto co centro da circunferencia e prolóngase. Achando os segmentos buscados.

30. - Determinar graficamente un segmento sabendo que a “media proporciona”l con outro segmento “a” é de 5 cm. segmento a=3cm.

Pódese realizar de dúas formas: 1º Caso

-Trázase o segmento a=3cm. -Trázase perpendicular ao

segmento a, o segmento x=5cm.

-Únense os dous segmentos. Trázase a mediatriz que corta á prolongación do segmento a, da o punto O.

-Trázase a semicircunferencia con centro O, que nos dará o segmento b.

21

50

15

10

A

50

B

X

22.3

A

B

C

a

c

b

56

40

40

X

2º Caso

É case igual ao exercicio anterior -Trázase a mediatriz do

que vai ser a corda da semicircunferencia.

31. - Construír un triángulo coñecendo o lado AB sendo AB=5cm, o ángulo oposto C= 75º e a altura do lado=10cm. Escala 2:1

- X2= 1.AB - X= 1.AB AB =22.3mm

- Datos do triángulo a construír a escala 2:1

32. -Construír un octógono a diagonal do cal entre os vértices máispróximos é a cuarta cuarta proporcional de tres

segmentos dados a=1cm, b= 2, c= 4 cm.

1/ 2=4/X X = 4. 2

30

resultado=83

50

mm.

0

a

x

56

-Primeiro hai que buscar 4 por raiz cadrada de dous. -Segundo os apuntamentos de proporcionalidade este resultado sae de construír un triángulo rectángulo isóscele, os catetos do cal son 4 cm. -O segundo paso é

construír un octógono regular Buscar as diagonais dun vértice, e por semellanza trasladar 5.6 cm que é o que é “4. 2”

-Trazamos paralelas a os lados do polígono auxiliar.

33. - Debuxar o trapecio rectángulo de altura h=30mm, as bases da cal miden h. 5 e h. 7. Obtén graficamente estas magnitudes.

34. - Construír un Pentágono, o lado do cal é a terceira proporcional de dous segmentos dados a=80mm e b=70mm.

35. - Acha un Pentágono dado a diagonal AC= 60 mm.

(recorda que a diagonal dun pentágono é un segmento aureo).

36. - Achar o segmeto b, coñecendo os segmentos a=60mm, a/b=35mm e considerando como unidade o centímetro.

a/b

= a/b 1

Utilizase a cuarta proporcional, e utilizando a/b como un segmento individual.

37. -Construír un heptágono regular, o lado do cal é a terceira

proporcional de dous segmentos que miden a=80 e b=70mm. Escala ½.

35

60

10

17.1429

a/b

a

b



36º

100

36º

36º

36º

72º

72º

24

38

C

A

B

39. - Debuxar un triángulo isóscele de perímetro 10 cm e no que a base é

o segmento áureo dun dos lados laterais

-Primeiro temos que conseguir un triángulo isóscele áureo calquera, para ter o ángulo  que será igual en todos os triángulos isósceles áureos. Para isto constrúese un rectángulo áureo calquera, co lado menor e co maior se

realiza o triángulo. Ver imaxes. -Sabemos que as relacións angulares dun triángulo calquera co seu perímetro son as seguintes e máis

cando é un triángulo isóscele.

Pasos: - trazamos o rectángulo áureo. -Buscamos o triángulo isóscele áureo. -Conseguimos o ángulo  = 72º

-Buscamos a súa mediatriz para lograr  = 36º -No segmento perímetro trazamos

dous ángulos de 36º ditos ángulos córtanse en C.

-Trazamos outros dous ángulos 36º a cada lado do vértice C. Os devanditos ángulos cortarán á recta de 10 cm en A e B. -O resultado final é o triángulo A,B,C.















º



º