Lista7

(1)

Fun¸

Fun¸c˜

c˜

oes Polinomiais

0.1 0.1 Exerc

Exerc´

´ıcios Recom

ıcios Recomendados - u

endados - unidade 12

nidade 12

1.

1. Sejam Sejam P P ((xx) ) ee pp((xx) polinˆ) polinômios nõmios não identicamente nulos tais que gr [ao identicamente nulos tais que gr [P P ((xx)])] >> gr gr [[ p p((xx)])]. . (e(emm qu

que e gr gr sisignignifica o fica o gragrau u do polido polinˆnômiomio.) o.) ProProve que exive que existe um polinˆste um polinômioomio q q ((xx) tal que gr[) tal que gr[P P ((xx))

₋

p

p((xx))q q ((xx)])] << gr gr [[P P ((xx)]. )]. UsaUsando repetidndo repetidamenamente te este fato, mostreste fato, mostre e que existque existem pem poliolinˆnômiosomios q q ((xx) ) ee rr((xx) tais que) tais que P P ((xx) ) == pp((xx))q q ((xx) +) + r r((xx), com gr [), com gr [rr((xx)])] << gr gr [[ p p((xx)]. )]. Os polOs polinînômiosomios q q ((xx) ) ee rr((xx), tais), tais que

que P P ((xx) ) == p p((xx))q q ((xx)) ++ rr((xx) com gr [) com gr [rr((xx)])] < < gr gr [[ p p((xx)], chamam-se respectivamente o)], chamam-se respectivamente o quociente quociente e e oo

resto

resto da divis˜ da divis˜ao deao de P P ((xx) por) por p p((xx).). Sejam

Sejam

P

P ((xx) ) == a ann++kk x xn+n+kk ++ a ann++kk

₋

11xxnn++kk

−

11 ++

·· ·· ··

++ a a11xx + + a a00

p

p((xx) ) == b bnnxxnn ++ b bnn

₋

11xxnn

−

11 ++

·· ·· ··

+ b+ b11xx + + b b00,,

com

com k k

_≥

1, 1, a ann++kk



= = 00, , bbnn



= 0. Para simplificar a nota¸= 0. Para simplificar a nota¸c˜cão, vamos escreverao, vamos escrever P P ((xx) ) == a ann++kk x xn+n+kk++P P 11((xx),),

ee pp((xx) ) == bbnnxxnn ++ p p11((xx): ): notnotememos quos que gre gr



P P 11((xx))



≤

nn + + k k

−

1 e 1 e ggrr



p p11((xx))



≤

nn

−

1. 1. TTomaomandondo

q q ((xx) ) == aann++kk bbnn x xkk, temos, temos P P ((xx))

₋

q q ((xx)) p p((xx) ) == a ann++kk x xnn++kk ++ P P 11((xx))

−

a ann++kk b bnn bb_n_n xx k k

−

q q ((xx)) p p11((xx)) = = P P 11((xx))

−

q q ((xx)) p p11((xx)) Como gr

Como gr



P P ((xx))

₋

q q ((xx)) p p((xx))



= = grgr



P P 11((xx))

−

q q 11((xx)) p p11((xx))



≤

n n ++kk

−

11 < < gr gr [[P P ((xx)], a primeira afirma¸)], a primeira afirma¸c˜cãoao

est´

est´a provada.a provada. S

Se gre gr [[P P ((xx))

₋

q q ((xx)) p p((xx)])] < < nn, a segunda afirma¸, a segunda afirma¸c˜cão ao tatamb´mbém em esest´tá provada.a provada. S

Se gre gr [[P P ((xx))

₋

q q ((xx)) p p((xx)])]

_≥

nn, denotemos por, denotemos por q q 11((xx) o polinˆ) o polinômioomio q q ((xx) definido acima e) definido acima e rr11((xx) ) ==

P

P ((xx))

₋

q q ((xx)) p p((xx)(=)(= P P 11((xx))

−

q q 11((xx)) p p11((xx)). N´)). N´os vamos repetir o procedimento acima comos vamos repetir o procedimento acima com rr11((xx) ) nono

lugar de

lugar de P P ((xx).). Se gr[

Se gr[rr11((xx)] )] == nn ++ kk

−

1, 1, escrevescrevemosemos rr11((xx) ) == aa



nn++kk

₋

11xxnn++kk

−

11 ++ P P 22((xx). ). TTomaomandondo q q 22((xx) ) ==

a a



_n_n+_+k_k

−

11 bbnn x xkk

−

11, temos, temos rr11((xx))

−

q q 22((xx)) p p((xx) ) == a a



_n_n+_+k_k

₋

₁₁xxnn++kk

−

11 ++ P P 22((xx))

−

a a



_n_n+_+k_k

−

11bbnn bb_n_n xx k k

₋

11

−

q q 22((xx)) p p11((xx)) = = P P 22((xx))

−

q q 22((xx)) p p11((xx)),, portanto portanto gr gr [[rr11((xx))

−

q q 22((xx)) p p((xx)] = gr [)] = gr [P P 22((xx))

−

q q 22((xx)) p p11((xx)])]

≤

n n + + k k

−

22.. Se gr

Se gr



rr11((xx))



< < nn++ kk

−

1, tomamos1, tomamos q q 22((xx) = 0. ) = 0. ComComoo P P ((xx))

−

q q 11((xx)) p p((xx) ) == r r11((xx) temos, em qualquer) temos, em qualquer

um dos dois casos: um dos dois casos:

P

P ((xx))

₋



q q 11((xx) +) + q q 22((xx))



p p((xx) ) == r r22((xx))

e

e grgr

_{{

P P ((xx))

₋



q q 11((xx) +) + q q 22((xx))



p p((xx))

}}

= g = grr [[rr22((xx)])] < < nn ++ k k

−

1.1.

Continuando este processo, obteremos

Continuando este processo, obteremos q q 11((xx)), . . . , q , . . . , q kk((xx) tais que) tais que

gr

_{{

P P ((xx))

₋



q q 11((xx) +) +

·· ·· ··

++ q q kk((xx))



p p((xx))

}}

< < n.n.

Escrevendo

Escrevendo q q ((xx) ) == q q 11((xx) ) ++

· ··· ··

+ + q q kk((xx) ) ee rr((xx) ) == P P ((xx))

−



q q 11((xx) ) ++

· ··· ··

+ q + q kk((xx)], )], temotemoss P P ((xx) ) ==

p

p((xx)) q q ((xx) +) + r r((xx) e gr [) e gr [rr((xx)])] < < gr gr [[ p p((xx)].)]. 2.

2. ProProve a ve a uniunicidcidade ade do do quociquocienente te e e do do restresto, o, ististo o ´´e, e, sese P P ((xx) ) == pp((xx))q q ₁₁((xx) ) ++ r r₁₁((xx) ) ee P P ((xx) ) == p

p((xx))q q 22((xx) +) + rr22((xx), com gr [), com gr [rr11((xx)] e gr [)] e gr [rr22((xx)] ambos menores do que gr [)] ambos menores do que gr [ p p((xx)], ent˜)], ent˜aoao q q 11((xx) ) == q q 22((xx))

(2)

(3)

Se

Se P P ((xx) ) == p p((xx))q q 11((xx) +) + r r11((xx) ) ee P P ((xx) ) == p p((xx))q q 22((xx) +) + r r22((xx), temos,), temos,

p

p((xx)) ((q q 11((xx))

−

q q 22((xx)) )) == r r22((xx))

−

rr11((xx)).. ((

∗∗

))

Se

Se q q ₁₁((xx) fosse diferente de) fosse diferente de q q ₂₂((xx), ), ter´ter´ıamos ıamos gr [gr [ p p((xx)) ((q q ₁₁((xx))

₋

q q ₂₂((xx))]))] >> gr gr [[ p p((xx)] enquanto que)] enquanto que gr

gr



rr11((xx))

−

rr22((xx))



< < gr gr [[ p p((xx)], contrariando a igualdade (*). Logo, devemos ter)], contrariando a igualdade (*). Logo, devemos ter q q 11((xx))

−

q q 22((xx) ) = = 00

ee rr11((xx))

−

rr22((xx) = 0.) = 0.

3.

3. Diz-se que o n´ Diz-se que o número realumero real αα ´ é e uma uma raiz raiz de de multiplicidademultiplicidade mm do polinˆ do polinômioomio pp((xx) quando se) quando se tem

tem pp((xx) ) = = ((xx

₋

α α))mmq q ((xx), com), com q q ((αα))

_

= 0= 0. . (S(See mm = 1 ou = 1 ou mm = = 2,2, αα chama-se respectivamente chama-se respectivamente uma raiz simp

uma raiz simples ou les ou uma raiz duplauma raiz dupla.) .) ProProve queve que αα ´ ´e e uma uma raiz raiz simplesimples s dede pp((xx) se, e somente se,) se, e somente se, tem-se

tem-se pp((αα) = 0 e) = 0 e pp



_((α_α))

_

₌_{= 0.}_{0. Prove tamb´}_{Prove tamb´em}_{em que}_{que α}_α ´_´e_{e uma}_{uma raiz}_{raiz dupla}_{dupla de}_{de pp((x}_{x) se, e somente se,}_{) se, e somente se,}

p

p((αα) ) == p p



_((α_{α) = 0 e}_{) = 0 e pp}



_((α_α))

_

_{= 0. Generalize.}_{= 0. Generalize.}

Se

Se pp((xx) ) = = ((xx

₋

αα)) q q ((xx), com), com q q ((αα))

_

= 0, temos= 0, temos pp



_((x_x)_{) =}_{= q}_q ((x_x)_{) + (}_{+ (x}_x

₋

_α_{α)) q}_q



_((x_{x); portanto}_{); portanto pp}



_((α_α)_{) =}₌

q

q ((αα))= = 0.

_

0.

Reciprocamente, suponhamos

Reciprocamente, suponhamos pp((αα) = 0 e) = 0 e pp



_((α_α))

_

_{= 0}_{= 0.}_{. Co}_Como_{mo pp((α}_{α) = 0, existe}_{) = 0, existe m}_m

_≥

_{1 tal que}_{1 tal que}

p p((xx) ) = = ((xx

₋

α))α mm_q_q ((x_{x), com}_{), com q}_q ((α_α))



= 0. Derivando, temos = 0. Derivando, temos p p



_((x_x)_{) =}_= m_{m ((x}_x

₋

_α))_α mm

₋

11_q_q ((x_{x)) +}_{+ ((x}_x

−

αα))mm_q_q

_

_((x_x)._). Aﬁrmamos:

Aﬁrmamos: mm = 1. = 1. De fatDe fato, seo, se m m >> 1, ent˜ 1, ent˜aoao pp



_((α_{α) = 0, contrariando a hip´}_{) = 0, contrariando a hip´otese.}_otese.

Se

Se αα ´ ´e e uma uma raiz raiz de de multmultipliciiplicidade dade 2 2 do do polinˆpolinˆomioomio pp((xx) quando se tem) quando se tem pp((xx) ) = = ((xx

₋

αα))22_q_q ((x_x),_),

com

com q q ((αα))

_

= 0. Derivando temos= 0. Derivando temos p p



_((x_{x) =}_{) = 22 ((x}_x

₋

_α_{α)) q}_q ((x_{x)) +}_{+ ((x}_x

₋

_α_α))22_q_q

_

_((x_x);_{); substit}_substituindo_uindo x_x =_= α_{α, temos}_{, temos}

p



_((α_{α) = 0. Derivando novamente, temos}_{) = 0. Derivando novamente, temos}

p



_((x_x)_{) =}_{= 22 q}_q ((x_{x) +}_{) + 22 ((x}_x

₋

_α_{α)) q}_q



_((x_x)(_)(x_x

₋

_α_α))22_q_q

_

_((x_{x) substituindo}_{) substituindo x}_x =_= α_{α, temos}_{, temos pp}

_

_((α_α)_{) =}_{= 22 q}_q ((α_α))



= = 0.0. Reciprocame

Reciprocamente, nte, suponhamossuponhamos pp((αα) ) == pp



_((α_{α) = 0 e}_{) = 0 e pp}



_((α_α))

_

_{= 0.}_{= 0.. . Co}_Como_{mo pp((α}_{α) = 0, existe}_{) = 0, existe m}_m

_≥

₁₁

tal que

tal que pp((xx) ) = = ((xx

₋

α))α mm_q_q ((x_{x), com}_{), com q}_q ((α_α))



= 0. Derivando, temos= 0. Derivando, temos pp



_((x_x)_{) =}_= m_{m ((x}_x

₋

_α_α))mm

₋

11_q_q ((x_{x) +}_{) + ((x}_x

−

α α))mmq q



_((x_x)_{) ee p}_p



_((x_x)_{) =}_= m_{m ((m}_m

₋

₁₎_{1) ((x}_x

₋

_α_α))mm

₋

22_q_q ((x_{x)) +}_{+ m}_{m ((x}_x

−

αα))mm

−

11_q_q

_

_((x_{x)) +}_{+ ((x}_x

−

αα))mmq q



_((x_{x). Aﬁrmamos:}_{). Aﬁrmamos:} m

m = 2. De fato, se = 2. De fato, se m m >> 2, ent˜ 2, ent˜aoao pp



_((α_{α) = 0, contrariando a hip´}_{) = 0, contrariando a hip´}_otese._otese.

4.

4. Certo ou errado: Certo ou errado: αα ´ ´e e rairaiz z dupdupla la dede pp((xx) ) se, se, e e somente se, somente se, ´´e e raiz raiz simples dsimples dee pp



_((x_x)._).

Erra

Errado. do. NÑão áo é e verdade verdade que que uma uma raiz raiz simples simples dede pp



_((x_{x) seja raiz dupla de}_{) seja raiz dupla de pp((x}_x)._{). T}_Tomem_{omemos, por}_{os, por}

exemplo,

exemplo, f f ((xx) ) == xx22 _{+ 1; ent˜}_{+ 1; ent˜ao}_{ao pp}

_

_((x_x)_{) =}_{= 22 x}_{x: : ´´e}_{e claro}_{claro que}_{que x}_x =_{= 0}_{0 ´´e}_{e raiz}_{raiz simples}_{simples de}_{de pp}

_

_((x_{x), mas n˜}_{), mas n˜aao}_{o ´´ee}

raiz de

raiz de p p((xx).). 5:

5: Determine o polinˆ Determine o polinˆomioomio pp((xx) ) de de menor menor grau grau possposs´´ıvel tal ıvel tal queque pp(1) = 2(1) = 2, , pp(2) = 1(2) = 1, , pp(3) = 4 e(3) = 4 e p

p(4) = 3.(4) = 3.

usando o sistema:

usando o sistema: ComComo o s˜são dados 4 valores, procuramos um polinâo dados 4 valores, procuramos um polinômio de grauomio de grau

_≤

3 3: : isistoto ´´e,

e, proprocurcuramoamoss pp((xx) ) == aa + + b b xx + + c c xx22 ₊_+ d_{d x}_x33 _{tais que pp(1) = 2}_{tais que} _{(1) = 2, , pp(2) = 1}_{(2) = 1, , pp(3) = 4}_{(3) = 4, , pp(4) = 3.}_{(4) = 3.}

Substituindo os valores acima, temos Substituindo os valores acima, temos

p p((11) ) = = 2 2 ==

_⇒

aa ++ b b + + c c + + d d = = 2 2 ((11)) p p((22) ) = = 1 1 ==

_⇒

aa + 2+ 2 bb + 4 + 4 cc + 8 + 8 dd = = 1 1 ((22)) p p((33) ) = = 4 4 ==

_⇒

aa + 3+ 3 bb + 9 + 9 cc + 27 + 27 dd = = 4 4 ((33)) p p((44) ) = = 3 3 ==

_⇒

aa + 4+ 4 bb + 16 + 16 cc + 64 + 64 dd = = 3 3 ((44)) (2) (2)

₋

((11) ) ==

_⇒

77 dd + 3 + 3 cc + + b b = =

₋

1 1 ((55)) (3) (3)

₋

((22) ) ==

_⇒

1919 dd + 5 + 5 cc + + b b = = 3 3 ((66)) (4) (4)

₋

((33) ) ==

_⇒

37 dd + 737 + 7 cc + + b b = =

₋

1 1 ((77)) (6) (6)

₋

((55) ) ==

_⇒

1212 dd + 2 + 2 cc = = 4 4 ((88)) (7) (7)

₋

((55) ) ==

_⇒

3030 dd + 4 + 4 cc = = 0 0 ((99)) De (8) temos

De (8) temos cc = = 22

₋

6 6 dd. . SubsSubstitutituindindo em (9), obtemoo em (9), obtemoss dd ==

−

44

33 , que substituido em (8), d´ , que substituido em (8), d´aa cc = 10. Substituindo esses valores em (5) temos = 10. Substituindo esses valores em (5) temos bb = =

−

6565

33 . . FinalFinalmente, submente, substituinstituindo esses valdo esses valoresores em (5), temos

(4)

Logo Logo pp((xx) ) ==

₋

4 4 33 xx 3 3 _{+ 10}_{+ 10 x}_x22

−

6 655₃₃ xx + 15. + 15. usando o polinˆ

usando o polinˆomio de interpola¸omio de interpola¸c˜c˜ao de Lagrange:ao de Lagrange: Como Como temos temos 4 pon4 pontos, tos, procuramos procuramos umum polinˆ

polinˆomio de grauomio de grau

_≤

3. O polinˆ 3. O polinˆomioomio p p((xx) tal que) tal que pp((xx00) ) == y y00, , pp((xx11) =) = y y11, , pp((xx22) ) == y y22, , pp((xx33) ) == y y33

´´e e dadado do pporor p p((xx) ) == y y00 ((xx

₋

xx11)) ((xx

−

xx22)) ((xx

−

xx33)) ((xx00

−

xx11)) ((xx00

−

xx22)) ((xx00

−

xx33)) + + y y11 ((xx

₋

xx00)) ((xx

−

xx22)) ((xx

−

xx33)) ((xx11

−

xx00)) ((xx11

−

xx22)) ((xx11

−

xx33)) + + + + y y₂₂ ((xx

−

xx00)) ((xx

−

xx11)) ((xx

−

xx33)) ((xx22

−

xx00)) ((xx22

−

xx11)) ((xx22

−

xx33)) + + y y₃₃ ((xx

−

xx00)) ((xx

−

xx11)) ((xx

−

xx22)) ((xx33

−

xx00)) ((xx33

−

xx11)) ((xx33

−

xx22))

Oberve que todas as parcelas se anulam quando

Oberve que todas as parcelas se anulam quando x x = = x x00 enquanto que a primeira ﬁca enquanto que a primeira ﬁca y y00; da mesma; da mesma

maneira, todas as parcelas se anulam quando

maneira, todas as parcelas se anulam quando xx == xx11 enquanto que a segunda ﬁca enquanto que a segunda ﬁca yy11, todas as, todas as

parcelas se anulam quando

parcelas se anulam quando xx == xx₃₃ enquanto que a terceira ﬁca enquanto que a terceira ﬁca yy₂₂ e todas as parcelas se anulam e todas as parcelas se anulam quando

quando xx = = x x44 enquanto que a quarta ﬁca enquanto que a quarta ﬁca yy33..

Neste exemplo, temos

Neste exemplo, temos xx00 = = 11, , xx11 = 22, , x= x33 = = 33, , xx33 = = 44, , yy00 = = 22, , yy11 = = 11, , yy22 = = 44, , yy33 = = 3.3.

Portanto Portanto p p((xx) ) = = 22 ((xx

−

2)2) ((xx

−

3)3) ((xx

−

4)4) (1 (1

₋

2)(12)(1

₋

3)(13)(1

₋

4)4) + 1+ 1 ((xx

₋

1)1) ((xx

₋

3)3) ((xx

₋

4)4) (2 (2

₋

1)(21)(2

₋

3)(23)(2

₋

4)4) + + + 4 + 4 ((xx

−

1)1) ((xx

−

2)2) ((xx

−

4)4) (3 (3

₋

1)(31)(3

₋

2)(32)(3

₋

4)4) + 3+ 3 ((xx

₋

1)1) ((xx

₋

2)2) ((xx

₋

3)3) (4 (4

₋

1)(41)(4

₋

2)(42)(4

₋

3)3) = =

₋

4 4 33 xx 3 3 _{+ 10}_{+ 10 x}_x22

−

6565₃₃ xx + 15 + 15 Observa¸

Observa¸cc˜˜aaoo:: O polinˆ O polinˆomio dado poromio dado por nn + 1 pontos pode ser de grau menor que + 1 pontos pode ser de grau menor que nn. . DeteDetermirminar onar o polinˆ

polinˆomioomio pp((xx) de grau menor ou igual a 3 tal que) de grau menor ou igual a 3 tal que pp(0) = 3(0) = 3, , pp(1) = 2(1) = 2, , pp((

₋

1) = 51) = 5, , pp(2) = 5.(2) = 5. usando o sistema:

usando o sistema: procuramos procuramos p p((xx) ) == a a xx33++bb xx22++cc xx++dd tais que tais que p p(0) = 3(0) = 3, , pp(1) = 2(1) = 2, , pp((

₋

1) 1) == 55, , pp(2) = 5(2) = 5 p p((00) ) = = 3 3 ==

_⇒

dd = = 33 p p((11) ) = = 2 2 ==

_⇒

aa ++ b b + + c c = = 0 0 ((11)) p p((

₋

11) ) = = 5 5 ==

_⇒

_{⇒ −}

₋

aa ++ b b

₋

cc = = 2 2 ((22)) p p((44) ) = = 3 3 ==

_⇒

44 aa + 2+ 2 bb + + c c = = 1 1 ((33)) Somando (1) e (2) temos 2

Somando (1) e (2) temos 2 bb = 2 e portanto = 2 e portanto b b = 1. Substituindo em (1), temos = 1. Substituindo em (1), temos a a ++ cc = =

₋

1, donde1, donde cc = =

₋

11

₋

aa (4). Substituindo em (3), temos (4). Substituindo em (3), temos a a = 0. Finalmente, substituindo esses valores em (4) = 0. Finalmente, substituindo esses valores em (4) temos

temos c c = =

₋

1. Logo1. Logo pp((xx) ) == x x22

−

xx + 3. + 3. 6.

6. Seja Seja pp((xx) um polinˆ) um polinômio cujo grauomio cujo grau nn ´ é e um um nn´úmero úmero ´ımpar. ımpar. Mostre Mostre que eque existem nxistem n´úmeros reaisumeros reais x

x11, , xx22 tais que tais que p p((xx11)) < < 0 0 ee p p((xx22)) > > 0. 0. Conclua Conclua dada´´ı que ı que todo todo polinˆpolinˆomio de omio de graugrau ´´ımpar admite ımpar admite pelopelo

menos uma raiz real. menos uma raiz real.

Seja

Seja p p((xx) ) == a annxxnn++ aann

₋

11xxnn

−

11++

·· ·· ··

++ aa11xx ++ aa00, com, com a ann



= = 00, , nn ´´ımparımpar; ; vamos vamos supsupor or queque a ann >> 0 0

(o caso

(o caso aann < < 0 0 ´´e e tratado tratado analogamente). analogamente). EscrevemosEscrevemos

p p((xx) ) == x xnn



aann + + a ann

₋

11 x x ++

·· ·· ··

++ a a11 x xnn

₋

11 ++ a a00 x xnn



= = x x n n_((a_a n n + + g g((xx)) )) ((

∗∗

)) em que em que gg((xx) ) == aann

−

11 x x ++

·· ·· ··

++ a a11 x xnn

₋

11 ++ a a00 x xnn.. ´´

E intuitivo que a parcela

_||

gg((xx))

_||

ﬁca arbitrariamente pequena desde que tomemosﬁca arbitrariamente pequena desde que tomemos

_||

xx

_||

suﬁcientementesuﬁcientemente gran

grande. de. VVamoamos tornar ests tornar esta afirmaa afirma¸¸c˜cão mais preao mais precicisasa. . DeDenotnotememos poros por K K o maior dos n´ o maior dos númerosumeros

||

aann

₋

11

||

, . . . ,, . . . ,

||

aa11

||

,,

||

aa00

||

e 1. e 1. AﬁAﬁrmrmamamos queos que

| |

gg((xx))

||

<<

a a_n_n

22 , para todo , para todo xx comcom

| |

xx

||

>>

22 nn K K a ann

(5)

Como

_| |

xx

_||

> > 1 temos 1 temos 11

||

xxkk

|| ≤

≤

11

||

xx

_||

para todo para todo kk

≥

1, portanto 1, portanto

||

gg((xx))

_{| | ≤}

_≤



aann

−

11 x x



++

·· ·· ··

++



a a11 x xnn

₋

11



++



a a00 x xnn



≤

_||

K K _x_x

_||

++

_{·· ·· ··}

++ K K

||

xxnn

₋

11

||

++ K K

||

xxnn

|| ≤

≤

nn K

_||

_x_xK

_||

<< aann 22 e ent˜ e ent˜aoao a

ann + + g g((xx))

≥

a ann

−

− ||

gg((xx))

| ≥

a ann

−

a ann 22 == a ann 22 Levando esta informa¸

Levando esta informa¸c˜c˜ao em (*), temos: seao em (*), temos: se x x >> 22 nn K K a ann ee x x >> 1, ent˜ 1, ent˜aoao p p((xx))

_≥

x xnn aann 22 >> 0 0 e e sese x x <<

₋

22 nn K K a ann

ee x x <<

₋

1, ent˜1, então (lembrando queao (lembrando que nn ´ é é ´ımımpapar r e e pporortatantntoo xxnn _<_< 0)₀₎

p

p((xx))

_≤

x xnn aann

22 << 0 0 .. Como todo polinˆ

Como todo polinômiomio o ´é e uma uma funfun¸¸c˜cão ao cocontnt´´ınuınua a ee pp((xx11)) < < 0 0 ee pp((xx22)) > > 0, existe ao menos um 0, existe ao menos um xx

∗∗

entre

entre xx11 ee xx22 tal que tal que pp((xx

∗∗

) = 0.) = 0.

7.

7. Seja Seja pp((xx) ) == a annxxnn ++ a ann

₋

11xxnn

−

11++

·· ·· ··

++ a a11xx + + a a00, com, com a ann



= = 0.0.

a)

a) Prove que se Prove que se n n ´ ´e e ppaarr,, pp((xx) tem o mesmo sinal que) tem o mesmo sinal que aann, para, para

| |

xx

||

suﬁcientemente grande. suﬁcientemente grande.

b)

b) Prove que se Prove que se nn ´ ´e e ´´ıımmppaarr,, pp((xx) tem o mesmo sinal que) tem o mesmo sinal que aann para valores positivos muito grandes para valores positivos muito grandes

de

de xx e tem sinal oposto de e tem sinal oposto de aann para valores negativos de para valores negativos de xx para os quais para os quais

| |

xx

||

´ ´e e muitmuito o gragrandende..

c)

c) Conclua de (a) e (b) que Conclua de (a) e (b) que

_||

p p((xx))

_||

cresce ilimitadamente, indiferentemente,cresce ilimitadamente, indiferentemente, n n par o par ouu ´´ımpar, ımpar, quandquandoo

||

xx

_||

cresce ilimitadamente. cresce ilimitadamente. Vamos supor que

Vamos supor que a ann >> 0 (o caso 0 (o caso a ann < 0 ´< 0 é e tratatratado do de de modmodo ao anńálogoalogo). ). Como nComo no exero exercc´´ıo anterıo anterior,ior,

temos temos

p

p((xx) ) == x xnn((aann + + g g((xx)) )) ((

∗∗

))

e, denotando por

e, denotando por K K o maior dos n´ o maior dos n´umerosumeros

_| |

aann

₋

11

||

, . . . ,, . . . ,

||

aa11

||

,,

||

aa00

||

e 1, temos e 1, temos

||

gg((xx))

_||

< < aann

22 ,, para para todotodo xx comcom

||

xx

||

> >

22 nn K K a ann

portanto, para todo

portanto, para todo x x c comom

_| |

xx

_||

> > 22 n_a_an K K

n

n , temos, temos

a

ann + + g g((xx))

≥

a ann

−

− ||

gg((xx))

| ≥

a ann

−

a ann 22 == a ann 22 >> 0 0 a)

a) S See nn ´ ´e e papar, r, tetemomoss p

p((xx) ) == x xnn((aann + + g g((xx)) )) == x xnn

a ann

22 >> 0 0,, para para todotodo x x >>

22 nn K K a a_n_n .. Como

Como n n >> 0, temos 0, temos xxnn >> 0, portanto 0, portanto pp((xx)) >> 0 0: : asassisimm pp((xx)) >> 0 0 ee aann tˆ tˆem em o o mesmo mesmo sinal sinal sese

||

xx

_||

> > 22 nn K K a a_n_n .. b)

b) Este Este caso ćaso é e tratado tratado de de modo modo anánálogo. Suponhamosalogo. Suponhamos a a_n_n >> 0. Como em (a), temos 0. Como em (a), temos

||

gg((xx))

_{| | ≤}

_≤

aann

22 ,, para para todotodo x x >>

22 nn K K a a

(6)

e portanto an + g(x)

≥

an

− |

g(x)

| ≥

an 2

−

an 2 = an 2 , que implica p(x) = xn(a_n + g(x)) = xn an 2 > 0, para todo x > 2 n K an . Analogamente, se x <

₋

2 n K an , temos

_|

g(x)

_{| ≤}

an 2 e portanto an + g(x)

≥

an

− |

g(x)

| ≥

a_n 2

−

a_n 2 = a_n 2 , que implica p(x) = xn(an + g(x)) = xn a_n

2 < 0 (note que agora n ´e ´ımpar e x < 0), para todo x < 2 n K

an

.

c) A conclusão é óbvia.

8. Sejam p(x) e q (x) dois polinômios. Se gr [ p(x)] > gr [q (x)], então para todo x com valor absoluto suficientemente grande, tem-se

_|

p(x)

_|

>

_|

q (x)

_|

.

Sejam p(x) = an+r xn+r+

· · ·

+ a1x + a0 e q (x) = anxn+

· · ·

+ a1x + a0, com an+r



= 0 e bn



= 0.

Vamos escrever p(x) = xn+r(an+r + g1(x)) e q (x) = xn(bn + g2(x)) ent˜ao p(x) q (x) = xn+r_(a n+r + g1(x)) xn_(b n + g2(x)) = x r _(a n+r + g1(x)) bn + g2(x)

Procedendo como nos Exerc´ıcios 6 e 7, mostramos que existe T

_∈

R tal que

_|

g1(x)

|

<

|

an+r

|

2 e

|

g2(x)

|

<

|

bn

|

2 , para todo x com

|

x

|

> T . Portanto temos

|

an+r + g1(x))

| ≥ |

an+r

| − |

g1(x))

| ≥ |

an+r

| − |

an+r

|

2

≥ |

an+r

|

2

|

b_n + g2(x)

| ≤ |

bn

|

+

|

g2(x)

| ≤ |

bn

|

+

|

bn

|

2

≤ |

bn

|

2 Portanto

|

p(x)

_|

|

q (x)

_|

=

|

xr (an+r + g1(x))

|

b_n + g2(x)

|

≥ |

xr

_||

an+r

|

2 2

|

b_n

_|

=

|

xr

_{| |}

an+r

|

b_n

_|

Para

_|

x

_|

>



|

bn

|

an+r

|



1/r , temos

|

p(x)

|

q (x)

_|

> 1, ou seja

|

p(x)

|

>

|

q (x)

|

.

9. Mostre que se n é um número par então o polinômio p(x) = xn+ xn

−

1₊

· · ·

+ x + 1 n˜ao possui raiz real.

A expressão de p(x) é a soma de uma PG de razão x; portanto, se x= 1, temos

_

p(x) = 1

−

x

n+1

1

₋

x =

xn+1

₋

1 x

₋

1 .

Como x

_

= 1 e n + 1 ´e ´ımpar, temos xn+1

₋

1

_

= 0; assim, p(x)

_

= 0, para todo x

_

= 1. Além disso, como p(1) = n + 1 temos que x = 1 não é raiz de p. Logo p não possui raiz real.

10. Tomando x₀ = 3, use a rela¸c˜ao de recorrˆencia xn+1 =

1

2



xn + 5 xn



para calcular

√

5 com três algarismos decimais exatos. (Por exemplo: sabemos que 1,414 é uma aproxima¸cão de

√

2 com

(7)

trˆes algarismos decimais exatos porque 1, 4142 _{< 2 < 1, 415}2_:) x1 = 1 2



3 + 5 3



= 7 3 = 2, 3333 . . . x2 = 1 2



7 3 + 5

_×

3 7



= 47 21 = 2, 2380952... x3 = 1 2



47 21 + 5

_×

21 47



= 2207 987 = 2, 2360688 . . .

≈

2, 236 x4 = 1 2



2207 987 + 5

_×

987 2207



= 4870847 2178309 = 2, 2360678 . . .

≈

2, 236

Como 2, 2362 _{< 5 < 2, 2361}2_{, temos que 2,236 ´e uma aproxima¸c˜ao de}

√

_{5 com trˆes algarismos}

decimais exatos.

11. Usando o m´etodo de Newton, estabele¸ca um processo iterativo para calcular

√

3 _{a e aplique-o}

aﬁm de obter um valor aproximado de

√

3

2. (veja a Figura abaixo ilustrando o método de Newton) O método de Newton é xn+1 = xn

−

p(xn)

p



(xn)

. Neste exerc´ıcio p(x) = x3

−

a e portanto p



_{(x) = 3 x}2

e o m´etodo de Newton ﬁca

xn+1 = xn

−

x3 n

−

a 3 x2 n = xn + x3 n

−

a 3 x2 n = 2 3 xn + a 3 x2 n Para calcular

√

3

2, a rela¸cão de recorrência fica xn+1 = 2 3



xn + 1 x2 n



Tomando x₀ = 1, temos x₁ = 2 3



1 + 1 1



= 4 3 = 1, 3333 . . . x2 = 2 3



4 3 + 16 9



= 91 72 = 1, 26388 x3 = 2 3



91 72 + 722 912



= 1, 259933 x4 = 2 3



1, 2599 + 1 1, 2599



= 1, 2599

Como 1, 25993 _{< 2 < 1, 26}3 _{vemos que uma aproxima¸c˜ao procurada ´e 1, 2599.}

M´etodo de Newton

A ﬁgura abaixo ilustra o m´etodo de Newton: o ponto x1 em que a reta tangente intercepta o

eixo Ox ´e dado por x1 = x0

−

p(x0) p



(x0) y = p(x) y = p(x0) + p(x0) (x

−

x0) x0 p(x0) x1

.

(x0 , p(x0)) y _ x 

(8)

0.2 Outros exerc´ıcios

1) a) Mostre que se m, n

_∈

Z s˜ao tais que m + n

√

5 = 0, ent˜ao m = n = 0¿

b) Encontre a, b

_∈

Z de modo que que p(x) = 3x3 + ax2 + bx + 2a seja divis´ıvel por x2

₋

2x

₋

4. a) N˜ao podemos ter n

_

= 0, pois a igualdade m + n

√

5 = 0 implicaria que

√

5 =

₋

m/n, um absurdo pois

√

5 /

_∈

Q.

Se n = 0, ent˜ao substituindo n = 0 na igualdade m + n

√

5 = 0, temosm = 0. b) Para que p(x) = 3x3 _+ ax2 _{+ bx + 2a seja divis´ıvel por x}2

−

2x

₋

4.devemos ter p(x) = (x2

−

2x

₋

4)( px + q ), para p, q

_∈

Z, ou seja 3x3 + ax2 + bx + 2a = mx3 + (

₋

2m + n)x2 + (

₋

4 p

₋

2q ))x

₋

4q portanto





p = 3

−

2 p + q = a

−

4 p

₋

2q = b

−

4q = 2a

Substituindo p = 3 nas outras equa¸c˜oes, temos q = a+6 (1)

₋

2q = b+12 (2) a =

₋

2q (3). Substituindo (3) em (1) e (2), temos a =

₋

4 e b =

₋

16.

outro modo:Como 1 +

√

5 e 1

₋

√

5 s˜ao ra´ızes de p, pois s˜ao ra´ızes de x2

₋

2x

₋

4), temos 0 = p(1 +

√

5) = 16 + 8

√

5 + a(6 + 2

√

5) + b(1 +

√

5) + 2a = 16 + 8a + b +

√

5(8 + 2a + b) que, pela parte (a), implica



16 + 8a + b = 0

8 + 2a + b = 0 portanto a =

₋

4 e b =

₋

16.

Exerc´ıcio Novo 3. adaptado de S Determine a , b e c de tal modo que a fun¸c˜ao polinomial f (x) = x4

₋

3 x3 + ax2 + b x + c seja divis´ıvel por x2 + 1 e x = 1 seja raiz de f .

Como x = 1 seja raiz de f , temos que x

₋

1 ´e fator de f (x). Denotemos por m a outra raiz real de f (x). Temos f (x) = (x2 _{+ 1)(x}

−

1)(x + m). Efetuando o produto, temos f (x) = x4

₋

3 x3 + (m + 1)x2

₋

(m + 1) x + m. Para que f (x) = x4

₋

3 x3 + (m + 1)x2

₋

(m + 1) x + m = x4

₋

3 x3 + ax2 + b x + c devemos ter





m + 1 = 3 =

_⇒

m = 2 a = m + 1 =

_⇒

a = 3 b =

₋

(m + 1) =

_⇒

b =

₋

3 c = m =

_⇒

c = 4 Logo, a = 3, b =

₋

3, c = 2.

Fun¸c˜

oes Exponenciais

0.3 Exerc´ıcios Recomendados - unidade 13

1. Como vocˆe explicaria a um aluno no Ensino Fundamental que a0 _{= 1? E que a}

₋

n ₌ 1 an ?

Explica¸c˜oes do livro do Elon: A igualdade

anam = an+m (1)

foi demonstrada para quaisquer n, m

_∈

N. A fun¸cão exponencial será definida com o objetivo de manter esta igualdade válida quaisquer que sejam x, y

_∈

R.

Como a igualdade (1) continua v´alida para n = 0, temos a0_a = a0_a1 _= a0+1 _= a1 _{= a. Como}

a

_

= 0, temos (cancelando a), a0 _{= 1.}

Como a igualdade (1) continua v´alida para m, n

_≤

0, temos a

−

n_an _{= a}n

₋

n _{= a}0 _{= 1. Logo,}

a

−

n ₌ 1 an.

2. Como vocˆe explicaria a um aluno no Ensino Fundamental que a1/2 ₌

√

_{a ? E que a}n/m ₌

m

(9)

Como a igualdade (1) continua v´alida para r, s

_∈

Q, temos a1/2_a1/2 _{= a}(1/2)+(1/2) _{= a}1 _{= a;}

pela deﬁni¸c˜ao de raiz quadrada, temos a1/2 ₌

√

_a.

Mostremos que an/m =

√

m_a_n _{= (} m

√

_a)n_.

Da igualdade

(an/m)m = an/man/m

_{· · ·}

an/m

  

m fatores

= an/m+n/m+

···

+n/m = an e da defini¸cão de raiz m-ésima, temos an/m = m

√

an_{. A outra igualdade ´e veriﬁcada de modo}

an´alogo.

3. Mostre que para todo p

_∈

N, tem-se que

√

n _a_m ₌ np

√

_a_{m p}_.

Denotemos x =

√

n _a_m_{; ent˜ao x}n _= am_{. Multiplicando sucessivamente o primeiro membro dessa}

igualdade por xn e o segundo por am (que ´e igual a xn), temos xnxn

_{· · ·}

xn

  

=(xn₎p_=xn p

= amam

_{· · ·}

am

  

=(am₎p_=am p

ou seja xn p = am p. Pela defini¸cão de raiz (n p) -ésima, temos x = np

√

_a_{m p}_{, ou seja,}

√

n _a_m ₌ np

√

_a_{m p}

4. Mostre que a fun¸c˜ao f : Q

_→

R deﬁnida por f (r) = ar _{´e crescente se a > 1 e decrescente se}

0 < a < 1.

Suponhamos a > 1. Em primeiro lugar, notemos que ar > 1, para todo r > 0: de fato, como as fun¸c˜oes x

_∈

R

_→

xm

∈

R e z

_∈

[0,

_∞

)

_→

z 1/n

∈

R s˜ao crescentes, temos a1/n _{> 1}1/n _{= 1 e}

portanto am/n _> 1m _{= 1.}

Agora, dados r, s

_∈

Q, com r < s, temos a

s

ar = a

s

₋

r _{> 1, donde concluimos que a}r _{< a}s_{. Logo}

f ´e crescente.

O caso 0 < a < 1 é consequência do caso acima. Se 0 < a < 1, então b = 1/a > 1 e a fun¸cão g(x) = bx _{é crescente: se x < y, temos}

bx < by, ou seja 1 ax <

1

ay, donde a

y _{< a}x_.

5. Uma alga cresce de modo que, em cada dia, ela cobre uma superf´ıcie de área igual ao dobro da coberta no dia anterior. Se esta alga cobre a superf´ıcie de um lago em 100 dias, qual é o número de dias necessários para que duas algas, da mesma espécie da anterior, cubram a superf´ıcie do mesmo lago? E se forem quatro algas? Você consegue responder a esta pergunta para 3 algas?

Se A(t) denota a ´area coberta do lago no dia t, por uma alga, pelos dados do problema temos A(t) = 2t_{A(0) ´e a ´}_{area da superf´ıcie do lago. Como uma alga cobre a superf´ıcie do lago em 100}

dias, temos que A(100) = 2100A(0). Por outro lado, 2 algas cobrem 2 A(t) no dia t. Portanto, 2100_{A(0) = 2}

·

2t_{A(0) .} ₍₁₎

Como A(0)

_

= 0, temos 2t _{= 2}99_{, donde obtemos t = 99. Assim, o n´umero de dias necess´arios para}

que duas algas, de mesma espécie, cubram a superf´ıcie do lago é 99. Analogamente, se forem 4 algas, elas cobrem 4 A(t) no dia t e a equa¸cão (1) fica 2100_{A(0) = 4}

·

2t_{A(0), donde temos t = 98.}

No caso de termos três algas, observamos que (1) não pode ser resolvida apenas com as propri-edades de exponencia¸cão. Vamos precisar da no¸cão de logartimos, que estudaremos na próxima unidade.

0.4 Exerc´ıcios Recomendados - unidade 14

1. Como vimos nesta unidade, a defini¸cão da fun¸cão exponencial real envolve uma no¸cão de convergência, ou de continuidade. Evidentemente, estes conceitos não são adequados para o Ensino Médio. Entretanto, podemos introduzir uma ideia intuitiva do significado de ax, com x

(10)

irracional, com base em uma no¸cão de aproxima¸cão, com o apoio da calculadora ou do computador. Elabore uma atividade para explicar aos seus alunos no Ensino Médio o significado de 2π _(por

exemplo).

2. Esboce os gráficos das fun¸cões f : R

_→

R abaixo (sem usar t´ecnicas de c´alculo diferencial). (a) f (x) = 2x2 , (b) f (x) = 2

−

x2 , (c) f (x) = 21

₋

x2 , (d) f (x) = 21/x_{, (e) f (x) = 2}x

−

3, (f) f (x) = 3

₋



1₂



x. (a) A fun¸c˜ao f (x) = 2x2

´e par, pois f (

₋

x) = 2(

₋

x)2

= 2x2

= f (x): assim, o gráfico é simétrico em rela¸cão ao eixo Oy, f (0) = 20 = 1. Além disso, f é crescente em [0,

_∞

): de fato, 0 < x < y

_⇒

x2 _{< y}2

⇒

2x2

< 2y2

. Analogamente, ela ´e decrescente em (

_−∞

, 0]. Quando

_|

x

_|

´e grande, f (x) ´e grande (

_|

x

_{| → ∞ ⇒}

f (x)

_{→ ∞}

).

(b) A fun¸c˜ao f (x) = 2

−

x2

´e par, pois f (

₋

x) = 2

−

(

₋

x)2

= 2

−

x2

= f (x): assim, o gráfico é simétrico em rela¸cão ao eixo Oy, f (0) = 20 _{= 1. Quando}

|

x

_|

´e grande, f (x) ´e pequeno (

_|

x

_{| → ∞ ⇒}

f (x)

_→

0). Notemos que f (x) = 1/f (x).

(c) Consideremos a fun¸c˜ao f (x) = 21

₋

x2

; como f (x) = 2 g(x), o gráfico de h tem a mesma forma que o gráfico de f : o gráfico é simétrico em rela¸cão ao eixo Oy, f (0) = 2. Quando

_|

x

_|

´e grande, f (x) ´e pequeno (

_|

x

_{| → ∞ ⇒}

f (x)

_→

0).

(d) O dom´ınio da fun¸c˜ao f (x) = 21/x _´e _R

− {

0

_}

e não R. Analisemos o que acontece nas vizinhan¸cas de x = 0: quando x > 0 é pequeno, 1_x é grande, portanto f (x) = 21/x é grande (

_|

x

_{| → ∞ ⇒}

f (x)

_{→ ∞}

); quando x < 0 est´a pr´oximo de 0,



_x1



´e grande, portanto f (x) = 21/x _´e

pequeno (

_|

x

_{| → ∞ ⇒}

f (x)

_→

0). f ´e decrescente em (

_−∞

, 0) e em (0,

_∞

): no intervalo (0,

_∞

) temos 0 < x < y

_⇒

1 y < 1 x

⇒

2 1/y _< 21/x

Quando

_|

x

_|

´e grande,



1

x



é pequeno, portanto f (x) está próximo de 20 (

|

x

| → ∞ ⇒

f (x)

→

1).

(e) A fun¸c˜ao f (x) = 2x

−

3 ´e crescente, f (0) =

₋

2, lim

x

_→

+

_∞

f (x) = +

∞

, limx

_→−∞

f (x) =

−

3.

(f) A fun¸c˜ao f (x) = 3

₋



1₂



x ´e crescente, f (0) = 2, lim

x

_→

+

_∞

f (x) = 3, limx

_→−∞

f (x) =

−∞

. y = 21/x  x y 1  y = 2−x2 y = 21−x2 2 1 1  x  y = 2x2 y _ x 

(11)

y = 3

₋

1 2 x 3 2 y  x  y = 2x

₋

3

−

3

−

2 y  x 

3. Sabendo-se que os gráficos das fun¸cões f (x) = ax _{e g(x) = x}2

−

1 se intersectam em um ponto de abscissa 3, determine o n´umero a.

Temos f (3) = g(3), ou seja, a3 = 32

₋

1, ou a3 = 32

₋

1. Logo, a = 2. 4. Resolva as seguintes inequa¸c˜oes exponenciais:

(a) 32 x+2

−

3x+3 _> 3x

−

3 (b) 2x

−

1 > 21

₋

x _{(c) 4}x+1/2 _{+ 5}

·

2x _{+ 2 > 0}

Em cada um dos itens denotamos por S o conjunto solu¸c˜ao das inequa¸c˜oes propostas. (a) 32 x+2

₋

3x+3 > 3x

₋

3

_⇐⇒

32 x

_·

32

₋

3x

_·

33

₋

3x + 3 > 0

_⇐⇒

9 (3x)2

₋

28

_·

3x + 3 > 0:

Fazendo 3x _{= y, obtemos 9 y}2

−

28 y + 3 > 0, que é equivalente a termos y < 1₉ ou y > 3. Como y = 3x_{, a condi¸cão fica 3}x _< 1

9 ou 3x > 3, isto ´e, 3x < 3

−

2 ou 3x > 3, mostrando que x <

−

2 ou

x > 1. Assim, S = (

_−∞

,

₋

2)

_∪

(1, +

_∞

). (b) 2x

₋

1 > 21

−

x

⇐⇒

2x

₋

1 > ₂2x

⇐⇒

2x(2x

−

1) > 2 (2x)2

−

2x

−

2 > 0:

Fazendo 2x _{= y, obtemos y}2

−

y

₋

2 > 0, que ´e equivalente a termos y <

₋

1 ou y > 2. Mas, y = 2x, logo 2x _<

−

1 ou 2x _{> 2. Lembrando que 2}x _{> 0 para todo x}

∈

R, temos 2x _{> 2, ou seja} x > 1. Assim, S = (1, +

_∞

). (c) 4x+1/2 _{+ 5}

·

2x _{+ 2 > 0}

⇐⇒

4x

·

41/2 _{+ 5}

·

2x _{+ 2 > 0}

⇐⇒

2

_·

(2x₎2 _{+ 5}

·

2x _{+ 2 > 0.}

Fazendo 2x = y, obtemos 2 y2 + 5 y + 2 > 0, que ´e equivalente a termos y <

₋

2 ou y >

₋

1₂. Como y = 2x, segue que 2x <

₋

2 ou 2x >

₋

1₂. Lembrando que 2x > 0 para todo x

_∈

R, temos 2x _>

−

12, ou equivalentemente, x

∈

R. Assim, S = R.

5. Mostre que lim

h

_→

0a

h _{= 1.}

Vamos utilizar o Lema 8.3 do livro N´umeros e Fun¸c˜oes Reais: Fixado o n´ umero real a

_

= 1, em todo intervalo n˜ ao degenerado de R+ existe alguma potˆencia ar_{, com}_r

∈

Q.

Suponhamos a > 1. O caso 0 < a < 1 ´e tratado de modo an´alogo. Fixe 0 < ε < 1. Pelo lema 8.3, existem s

_∈

Qe r

_∈

Qtais que 1

₋

ε < as < 1 < ar < 1 +ε. Como a0 = 1 e a fun¸c˜ao ax, x

_∈

R, ´e crescente, temos que s < 0 e r > 0. Tome δ = min

_{−

s; r

_}

. Note que δ > 0. Seja h

_∈

R tal que

−

δ < h < δ . Ent˜ao, 0

_≤

h < δ ou

₋

δ < h < 0. Se 0

_≤

h < δ , ent˜ao 1 = a0

≤

ah _{< a}δ

≤

ar _{< 1 +ε,}

mostrando que, neste caso, ah

₋

1 < ε. Analisemos o caso

₋

δ < h < 0. Como δ

_{≤ −}

s, ou seja s

_{≤ −}

δ , temos as

≤

a

−

δ_{. Temos ent˜}_{ao 1}

−

ε < as

≤

a

−

δ _{< a}h _{< a}0 _{= 1, mostrando que, neste}

caso, 1

₋

ah _{< ε. Assim, nos dois casos, temos}

|

ah

−

1

_|

< ε. Como 0 < ε < 1 foi tomado de modo arbitr´ario, ﬁca provado que lim

h

_→

0a

h _{= 1.}

0.5 Outros Exerc´ıcios

1. (FGV) A fun¸c˜ao P (t) = 60

_·

(1, 04)t representa a estimativa do Produto Interno Bruto (PIB) em bilhões de dólares de um pa´ıs no ano t adotando-se a seguinte conven¸cão:

t = 0 representa o ano de 1996; t = 1 representa o ano de 1997; t = 2 representa o ano de 1998;

(12)

a) Qual ´e a estimativa do PIB em 2005?

b) Em que ano o PIB ser´a o dobro do que era em 1996? E o triplo?

Em geral, em que ano o PIB ser´a igual ao PIB inicial multiplicado por x? a) A estimativa do PIB em 2005 ´e P (9) = 60

_·

(1, 04)9 _{= 60}

×

1, 423312 = 85, 3986.

b) Para determinar o ano em que o PIB ser´a o dobro, procuramos t tal que P (t) = 2 P (0), ou seja, 60

_·

(1, 04)t _{= 120; ; assim procuramos t tal que (1, 04)}t _{= 2. Por tentativa na calculadora,}

temos (1, 04)17 = 1, 9479 e (1, 04)18 = 2, 0258. Logo, o PIB será o dobro em 1996 + 29 = 2014. Para determinar o ano em que o PIB será o triplo, procedendo de modo análogo, temos (1, 04)28 _{= 2, 9987 e (1, 04)}29 _{= 3, 11865. Logo, o PIB ser´}_{a o triplo em 1996 + 28 = 2025.}

Para determinar o ano em que o PIB ser´a multiplicado por x, precisamos usar logaritmo (assunto que ser´a visto a seguir; para aproveitar o enunciado vamos resolver este exerc´ıcio aqui). Procuramos t tal que P (t) = x P (0), ou seja, 60

_·

(1, 04)t _{= 60 x; simpliﬁcando e usando logaritmo,}

t = log x

log(1, 04) anos. Se T denota o menor n´umero inteiro maior que t, o valor do PIB ser´a multiplicado por x no ano 1996 + T .

2. (FGV) Um autom´ovel vale hoje R$ 20000,00. Estima-se que o seu valor y daqui a x anos seja dado pela fun¸c˜ao exponencial y = a

_·

bx_{. Sabendo que o valor estimado para daqui a 3 anos ´e R$}

15000,00:

a) Qual ´e o valor estimado daqui a 6 anos?

b) um outro autom´ovel tem valor estimado y daqui a x anos dado por y = c(0, 8)x_{. Daqui a}

quantos anos o valor deste ve´ıculo se reduzir´a `a metade?

a) Como y(0) = 20000, temos a = 20000. Como y(3) = 15000, temos 20000

_·

b3 = 15000, donde b3 = 4₅. Portanto y(x) = 20000

_·

(4₅)x/3. Ent˜ao y(6) = 20000

_·

(4₅)2 = 11250.

Procuramos x tal que c (0, 8)x ₌ c

2 , ou seja, (0, 8)x = 1

2 . Usando uma calculadora, obtemos

(0, 8)2 _{= 0, 64, (0, 8)}3 _{= 0, 512 e (0, 8)}4 _{= 0, 4096. Logo, entre 3 e 4 anos o valor do ve´ıculo se}

(13)

Cap´ıtulo 1

Fun¸c˜

oes Logar´ıtmicas e Exponenciais

1.1 Exerc´ıcios Recomendados - unidade 15

1. Use as aproxima¸c˜oes log₁₀ 2

_

0, 301, log₁₀ 3

_

0, 477 e log₁₀ 5

_

0, 699 para obter valores aproximados para:

(a) log₁₀9 (b) log₁₀40 (c) log₁₀200 (d) log₁₀3000 (e) log₁₀ 0, 003 (f) log₁₀ 0, 81. Solu¸c˜oes:

(a) log₁₀ 9 = log₁₀ 32 _{= 2 log}

10 3



0, 954

(b) log₁₀ 40 = log₁₀ 4

_·

10 = log₁₀ 4 + log₁₀ 10 = 2 log₁₀ 2 + 1

_

1, 602 (c) log₁₀ 200 = log₁₀ 2

_·

100 = log₁₀ 2 + 2 log₁₀ 10

_

2, 301

(d) log₁₀ 3000 = log₁₀ 3

_·

103 _{= log}

10 3 + 3 log10 10



3, 477

(e) log₁₀ 0, 003 = log₁₀ 3

_·

10

−

3



0, 477

₋

3 =

₋

2, 523 (f) log₁₀ 0, 81 = log₁₀ 34

_·

10

−

2 _{= 4 log}

10 3

−

2 log10 10



4

·

0, 477

−

2 =

−

0, 092.

2. Uma interpreta¸cão do logaritmo decimal é a sua rela¸cão com a ordem de grandeza, isto é, com o número de algarismos na representa¸cão decimal. As questões a seguir exploram esta rela¸cão. (a) Considere o número x = 58.932, 1503. Qual é a parte inteira de log₁₀x?

(b) Considere x > 1 um n´umero real cuja parte inteira tem k algarismos. Mostre que a parte inteira de log₁₀x ´e igual a k

₋

1.

(c) Generalizando o item anterior, considere o sistema de numera¸c˜ao posicional de base b

_≥

2. Mostre que, se a representa¸cão de um número real x > 1 nesse sistema tem k algarismos, então, a parte inteira de log_bx é igual a k

₋

1.

Solu¸c˜oes:

(a) Como a fun¸c˜ao log₁₀ ´e crescente e 104 _{< x < 10}5_{, temos 4 = log}

10 104 < log10x < log10 105 = 5.

Logo, a parte inteira de log₁₀x ´e 4.

(b) Se a parte inteira de x tem k algarismos, ent˜ao 10k

−

1

≤

x < 10k. Como a fun¸c˜ao log₁₀ ´e crescente, temos k

₋

1 = log₁₀ 10k

₋

1

≤

log₁₀x < log₁₀ 10k _{= k. Logo, a parte inteira de log}

10x ´e

k

₋

1.

(c) Escrevemos a representa¸c˜ao de um n´umero real x nesse sistema de base b como x =

k

₋

1



j=0

a j b j + R ,

em que R ´e a parte decimal de x e a0, . . . , ak

₋

1 s˜ao d´ıgitos entre 0 e b

−

1 e ak

₋

1

≥

1 (s˜ao usados

k d´ıgitos nessa representa¸c˜ao porque, por hip´otese, ela tem k algarismos). Assim bk

−

1

_≤

ak

₋

1bk

−

1

≤

k

₋

1



j=0 a j b j + R = x < bk . Portanto

(14)

Logo, a parte inteira de log_bx ´e k

₋

1.

3. Considere x , y

_∈

R tais que x = 10k _{y, com k}

∈

Z. Qual ´e a rela¸c˜ao entre log₁₀x e log₁₀y? De x = 10ky temos log₁₀x = log₁₀ 10k + log₁₀y = k + log₁₀y.

4. (a) Mostre que uma fun¸cão logar´ıtmica transforma toda progressão geométrica em uma pro-gressão aritmética.

(b) Interprete a propriedade acima com base no crescimento da fun¸c˜ao logar´ıtmica.

(c) A propriedade demonstrada no item (a) pode ser considerada uma caracteriza¸cão para as fun¸cões logar´ıtmicas, isto é, é verdade que uma fun¸cão é logar´ıtmica se, e somente se, transforma toda progressão geométrica em uma progressão aritmética?

Solu¸c˜oes:

(a) Seja a1, a2, .. . , an, . . . uma PG de raz˜ao c > 0. Para todo k = 1, 2, . . . , n , . . . temos

ak+1

ak

= c. Sejam b1 = log a1, b2 = log a2, .. . , bn = log an, . . . . Temos ent˜ao

bk+1

−

bk = log ak+1

−

log ak = log



ak+1

a_k



= log c. Logo, b1, b2, .. . , bn, . . . ´e uma PA de raz˜ao log c.

outro modo: Seja ak = a0rk uma PG de raz˜ao r. Ent˜ao

log a_k = log(a₀rk) = log a₀ + log(rk) = log a₀ + k log r

Sejam b0 = log a0 e s = log r. Ent˜ao log transforma ak na PA bk = b0 + k s = log a0 + k log r =

log(aork) = log ak.

(b) Os termos da PG (q k) crescem exponencialmente enquanto que os logaritmos de seus termos crescem lineamente constante k log_q q .

k k + 1 qk _qk+1 . . . . y  x  . . . . PA . . . . . PG y  x 

(c) Seja f : (0, +

_∞

)

_→

R uma fun¸c˜ao mon´otona injetiva que transforma toda PG em uma PA. Vamos mostrar que existe a > 0, a

_

= 1 tal que f (x) = log_ax + f (1).

A fun¸c˜ao g : (0, +

_∞

)

_→

R, deﬁnida por g(x) = f (x)

₋

f (1), ´e mon´otona injetiva e transforma toda PG em uma PA e satisfaz g(1) = 0.

A fun¸c˜ao h : R

_→

R dada por h(y) = g(2y) transforma toda PA em uma PA: de fato, se y1, y2, . . . , yn é uma PA (de razão r), então 2y1, 2y2, . . . , 2yn é uma PG (de razão 2r) e, como g

transforma PG em PA, temos que g(2y1) , g(2y2) , . . . , g(2yn_{) ´e uma PA.}

Sejam n

_∈

N e y

_∈

R; a PA de raz˜ao y

−

n y , . . . ,

₋

y, 0, y, 2 y,

_{· · ·}

, n y

´e transformada por h na PA de raz˜ao h(y) (lembre que h(0) = g(20_{) = g(1) = 0):}

(15)

Como esta ´e uma PA de raz˜ao h(y), temos

h(2 y) = 2 h(y), . . . , h(n y) = n h(y) e

h(

₋

y) =

₋

h(y), . . . , h(

₋

n y) =

₋

n h(y)

Isto mostra que, para todo m

_∈

Z e todo y

_∈

R, temos h(m y) = m h(y). Pelo Teorema Funda-mental da Proporcionalidade (Teorema 5.8 do livro Números e Fun¸cões Reais, página 98), existe c

_∈

R tal que h(y) = c y, para todo y

_∈

R. Logo h(y_c) = y para todo y

_∈

R. Temos ent˜ao g(2y/c) = y, para todo y

_∈

R, ou seja, denotando a = 21/c, temos g(ay) = y, para todo y

_∈

R: assim, g ´e a inversa da fun¸c˜ao exponencial y

_∈

R

_→

ay

∈

(0, +

_∞

). Logo, g(x) = log_ax e f (x) = g(x) + f (1) = log_ax + f (1).

outro modo:

Sejam g e h como acima. Como a fun¸cão h transforma toda PA de R em uma PA, por uma consequência do Teorema Fundamental da Proporcionalidade (veja a página 104 do livro Números e Fun¸cões Reais), h é uma fun¸cão afim; mas, como h(0) = 0, temos que h é linear: existe uma constante c (c

_

= 0 pois h ´e injetiva) tal que h(y) = c y, para todo y

_∈

R: ent˜ao h(y_c) = y, para todo y

_∈

R. Temos ent˜ao g(2y/c) = y, para todo y

_∈

R, ou seja, denotando a = 21/c, temos g(ay) = y, para todo y

_∈

R: assim, g ´e a inversa da fun¸c˜ao exponencial y

_∈

R

_→

ay

_∈

(0, +

_∞

). Logo, g(x) = log_ax e f (x) = g(x) + f (1) = log_ax + f (1).

5. (UNIRIO/1994) Um explorador descobriu, na selva amazônica, uma espécie nova de planta e, pesquisando-a durante anos, comprovou que o seu crescimento médio variava de acordo com a fórmula A = 40

_·

(1, 1)t_{, em que a altura m´edia A ´e medida em cent´ımetros e o tempo t em anos.}

Sabendo-se que log₁₀ 2

∼

= 0, 30 e log₁₀ 11

∼

= 1, 04, determine:

(a) a altura média, em cent´ımetros, de uma planta dessa espécie aos 3 anos de vida; (b) a idade, em anos, na qual a planta tem uma altura média de 1, 6 m.

Solu¸c˜oes:

(a) A altura m´edia aos 3 anos de vida ser´a A = 40

_·

(1, 1)3 _{= 53, 24 cm .}

(b) Para A = 1, 6 m = 160 cm, temos 40 (1, 1)t _{= 160, ou seja (1, 1)}t _{= 4 ou}

t = log10 4 log₁₀(1, 1) =

0, 60

0, 04 = 15anos.

6. (UERJ/2008) Admita que, em um determinado lago, a cada 40cm de profundidade, a intensi-dade de luz é reduzida em 20%, de acordo com a equa¸cão I = I 0 (0, 8)h/40, em que I é a intensidade

da luz em uma profundidade h, em cent´ımetros, e I 0 ´e a intensidade na superf´ıcie. Um nadador

veriﬁcou, ao mergulhar nesse lago, que a intensidade da luz, em um ponto P, ´e de 32% daquela observada na superf´ıcie. Determine um valor aproximado para a profundidade do ponto P .

Como a intensidade ´e I = 0, 32 I 0, temos I 0 (0, 8)h/40 = 0, 32 I 0. Cancelando I 0, temos

(0, 8)h/40 = 0, 32, donde obtemos ₄₀h log₁₀(0, 8) = log₁₀(0, 32). Agora log₁₀(0, 8) = log₁₀ 23

₋

log₁₀ 10

_{ −}

0, 097 e log₁₀(0, 32) = log₁₀ 25

−

log₁₀ 100

_{ −}

0, 495. Portanto h

_

204, 1 cm.

7. O acidente do reator nuclear de Chernobyl, URSS, em 1986, lan¸cou na atmosfera grande quantidade do isótopo radioativo estrôncio-90, cuja meia-vida é de vinte e oito anos. Supondo ser este isótopo a única contamina¸cão radioativa e sabendo que o local poderá ser considerado seguro quando a quantidade de estrôncio-90 se reduzir, por desintegra¸cão, a 1/16 da quantidade inicialmente presente, em que ano o local poderá ser habitado novamente?

Solu¸c˜ao:

Designando por Q(t) a quantidade de estrˆoncio-90 no instante t e por Q0 a quantidade inicial,

temos Q(t) = Q0 (0, 5)t/28 = Q0/2t/28. Ent˜ao

Q0

(16)

O local poder´a ser habitado no ano 1986+112=2098.

outro modo: Em 2014(= 1986 + 28), haverá 1/2 da quantidade inicial de estrôncio-90, em 2042(= 2014 + 28), haverá metade da quantidade que havia em 2014, portanto 1/4 da quantidade inicial, em 2070(= 2042 + 28), haverá 1/8 da quantidade inicial, em 2098(= 2070 + 28), haverá 1/16 da quantidade inicial.

8. Os gr´aﬁcos a seguir foram desenhados em eixos x



_y



_{com escalas logar´ıtmicas decimais. Isto ´e,}

se xy ´e o sistema de coordenadas cartesianas convencional, ent˜ao x



_{= log}₁₀_{x e y}



_{= log}₁₀_{y. A}

janela gráfica é 0, 1

_≤

x



_≤

_{10 e 0, 1}

_≤

_y



_≤

_10.

(a) O gráfico acima, à esquerda, representa a fam´ılia de curvas y = k x, em que k

_∈

N varia de 1 a 10. Explique por que as curvas tˆem este aspecto.

(b) O gráfico acima, à direita, representa a fam´ılia de curvas y = xk, em que k

_∈

N varia de 1 a 10. Explique por que as curvas tˆem este aspecto.

(c) Observe que os intervalos escolhidos para ambos os eixos nessa escala come¸cam em 0, 1. Como vocˆe justiﬁcaria essa escolha? Faria sentido come¸car os eixos em 0?

(d) Nesses eixos, cada unidade linear corresponde a uma multiplica¸cão por 10. Explique esta afirma¸cão. 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 Solu¸cões:

(a) De y = k x temos log₁₀y = log₁₀k + log₁₀x ou, denotando Y = log₁₀y, K = log₁₀k e X = log₁₀x, temos Y = K + X . Assim as curvas tra¸cadas s˜ao Y = X (K = log1 = 0), Y = X + log 2, . . . , Y = X + log 10 = X + 1.

(b) De y = xk _{temos log}

10y = k log10x ou, denotando Y = log10y e X = log10x, temos Y = k X .

(c) Não pode come¸car os eixos em x = 0, pois não está definido log₁₀ 0.

(d) Porque ´e utilizado o log na base 10: log(10 Z ) = log 10 + log Z = 1 + log Z

9. Em algumas situa¸cões, para expressar certas grandezas, é mais conveniente empregar as cha-madas escalas logar´ıtmicas do que as escalas lineares convencionais. Este é o caso, por exemplo, da escala Richter de terremotos. Na escala Richter, a intensidade I de um terremoto, expressa em graus, é definida da seguinte forma:

I = 2

3 log10



E E ₀



em que E representa a energia liberada pelo terremoto, medida em kW h, e E 0 = 10

−

3kW h.