Cap´ıtulo 3 Provas

3.1 Provas de 2011

1a. Prova

Questão 1. Um pequeno barco a vela, com 7 tripulantes, deve atravessar o oceano em 42 dias. Seu suprimento de água potável permite a cada pessoa dispor de 3,5 litros de água por dia (e é o que os tripulantes fazem). Após 12 dias de viagem, o barco encontra 3 náufragos numa jangada e os acolhe. Pergunta-se:

(1.0) (a) Quantos litros de ´agua por dia caber˜ao agora a cada pessoa se a viagem prosseguir como antes?

(1.0) (b) Se os 10 ocupantes de agora continuarem consumindo 3,5 litros de água cada um, em quantos dias, no máximo, será necessário encontrar uma ilha onde haja água?

UMA RESPOSTA

Uma solu¸c˜ao concisa ´e a seguinte:

(a) O número de pessoas aumentou em 10₇ . Portanto a água dispon´ıvel para cada um deve ser ₁₀7 do que era antes (3,5 litros), isto é, 49₂₀ = 2, 45 litros.

(b) As 7 pessoas teriam água pelos 30 dias restantes, mas agora há 10₇ vezes o número anterior de pessoas. Isso reduz os dias a ₁₀7

_×

30 = 21.

Outra forma de pensar é a seguinte. Primeiro calcula-se a quantidade Q de água que resta após 12 dias. Como restam 30 dias de viagem, com 7 pessoas consumindo 3,5 litros por dia, são Q = 30

_×

3, 5 litros (como a quantidade de água é justa para os 42 dias e os primeiros 12 dias transcorreram como previsto, conclui-se que o que resta para os outros 30 dias também é justo).

(a) Esse total deve ser consumido nos mesmos 30 dias, mas agora por 10 pessoas. Então o consumo diário de cada um é Q dividido por 30

_×

10, que d´a ₁₀7

_×

3, 5 = 2, 45 litros.

(b) Se todos consumirem 3,5 litros por dia, a cada dia transcorrido após o décimo segundo dia serão consumidos 35 litros. Portanto, após n dias restarão Q

₋

35 n litros. Queremos saber o maior n tal que Q

₋

35 n

_≥

0, isto é, o maior n que seja menor ou igual a ₃₅Q. Mas ₃₅Q = 30₁₀7 = 21, então em 21 dias (exatamente) se esgotará o reservatório de água.

Quest˜ao 2.

(1.0) (a) Quais são os valores de y para os quais existe uma fun¸cão quadrática f : R

_→

R tal que f (1) = 3, f (2) = 5 e f (3) = y?

(1.0) (b) Tome y = 9 e determine a fun¸cão quadrática correspondente. Justifique seus argumentos. UMA RESPOSTA

(a) Para que exista uma fun¸c˜ao quadr´atica f : R

_→

R tal que f (1) = 3, f (2) = 5 e f (3) = y é necessário e suficiente que os pontos (1, 3), (2, 5) e (3, y) não sejam colineares, isto é, que 5₂

−



= y

₋

5 3

₋

ou seja, que y

₋

_

= 2, ou ainda, y

_

= 7.

inc´ognitas a, b, c)





a + b + c = 3 4a + 2b + c = 5 9a + 3b + c = 9

Isto ´e feito de modo simples: basta subtrair a primeira equa¸c˜ao das duas seguintes. Tem-se



3a + b = 2 8a + 2b = 6

Por subtra¸c˜ao (segunda menos duas vezes a primeira), fa¸camos com 2a = 2, de onde sai imediatamente a = 1. Substituindo esse valor em 3 a + b = 2, obtemos b =

₋

1, e voltando `a equa¸c˜ao a + b + c = 3 obtemos c = 3. Portanto x2

−

x + 3 é a fun¸cão quadrática procurada.

Comentário: Há diversas outras formas de se resolver o problema. Por exemplo: tome primeiro a fun¸cão g(x) = 1 + 2 x, que é a fun¸cão afim tal que g(1) = 3 e g(2) = 5. Observe que f (x) = g(x) + a(x

₋

1)(x

₋

2) é uma fun¸cão quadrática que assume os mesmos valores que g nos pontos x = 1 e x = 2. Então basta achar a que fa¸ca f (3) = y. Ora,

f (3) = 1 + 2

_·

3 + a(3

₋

1)(3

₋

2) = 7 + 2 a. Ent˜ao 7 + 2 a = y e, portanto, a = y

−

₂7 . Por conseguinte,

f (x) = 1 + 2 x + y

−

2 (x

−

1)(x

−

2) responde o problema para qualquer y. Em particular, para y = 9,

f (x) = 1 + 2 x + (x

₋

1)(x

₋

2) = x2

₋

x + 3. Quest˜ao 3.

(1.0) (a) Seja f : A

_→

B uma fun¸cão. Dê as defini¸cões de f (X ) e f

−

1_{(Y ), para X}

⊂

A e Y

_⊂

B. Se f : R

_→

R ´e dada por f (x) = 2 x2 _{+ 3 x + 4, determine os conjuntos f (}_R_{) e f}

₋

1_(3).

(1.0) (b) Seja f : A

_→

B uma fun¸c˜ao. Prove que f (X

_∪

Y ) = f (X )

_∪

f (Y ), quaisquer que sejam X; Y

_⊂

A. Dˆe um exemplo em que f (X

_∩

Y )

_

= f (X )

_∩

f (Y ).

UMA RESPOSTA

(a) Deﬁni¸c˜ao da imagem de um subconjunto X de A:

f (X ) =

_{

_∈

B : f (x) = y para algum x

_∈

_}

. Defini¸cão da pré-imagem de um subconjunto Y de B:

−

1(Y ) =

_{

_∈

A : f (x)

_∈

_}

Agora consideremos a fun¸c˜ao f : R

_→

R tal que f (x) = 2 x2 + 3 x + 4. Como o coeficiente de x2 _{é positivo, a fun¸cão quadrática assume seu valor m´ınimo f (}

−

34) = 23 8 para x =

−

b 2 a =

−

3 4.

Assim, f (x)

_≥

23₈ para todo x

_∈

R, ou seja, f (R)

_⊂

[23₈ , +

_∞

). Al´em disso, para todo y

_≥

23₈ , a equa¸c˜ao f (x) = y, ou seja, 2 x2 + 3 x + 4 = y, que equivale a 2 x2 + 3 x + 4

₋

y = 0, tem discriminante ∆ = 9

₋

32 + 8 y

_{≥ −}

23 + 23 = 0, logo existe(m) valor(es) de x com f (x) = y. Assim f (R) = [23₈ , +

_∞

−

1_{(3) é o conjunto dos pontos x tais que f (x) = 3, isto é, tais que 2 x}2 _{+ 3 x + 4 = 3. Então é}

o conjunto das solu¸c˜oes de 2 x2 + 3 x + 1 = 0, que ´e igual a

_{−

₋

1₂

_}

Coment´ario: f

−

1_{(3) ´e um abuso de linguagem amplamente aceito para designar f}

₋

1₍

{

_}

(b) z

_∈

f (X

_∪

Y ) se, e somente se, existe w

_∈

_∪

Y tal que f (w) = z , que por sua vez ocorre se, e somente se, existe x

_∈

X tal que f (x) = z ou existe y

_∈

Y tal que f (y) = z , que ocorre se, e somente se, z

_∈

f (X ) ou z

_∈

f (Y ), que ocorre se, e somente se, z

_∪

f (Y ).

Tome f : R

_→

R com f (x) = x2_{, X = [}

−

1, 0] e Y = [0;1]. Neste caso, X

_∩

Y =

_{

_}

e f (X ) = f (Y ) = [0; 1]. Logo f (X

_∩

Y ) =

_{

f (0)

_}

_{

_}

e f (X )

_∩

f (Y ) = [0; 1].

Quest˜ao 4.

(0.5) (a) Se r

_

= 0 ´e um n´umero racional, prove que r

√

2 ´e irracional.

(0.5) (b) Dado qualquer número real  > 0, prove que existe um número irracional α tal que 0 < α < . (1.0) (c) Mostre que todo intervalo [a, b], com a < b, contém algum número irracional.

UMA RESPOSTA

(a) Se r

√

2 ´e racional, ent˜ao r

√

2 = p_q, para p , q

_∈

Z, q

_

= 0. Como r

_

= 0, podemos dividir por r para obter

√

2 = _{r q}p , de que resulta

√

2 racional, contradi¸c˜ao.

(b) Escolha n um n´umero natural maior do que

√

2 . Ent˜ao α =

√

_n2 ´e positivo, irracional (pelo item (a)) e α =

√

₂ n <

√

₂

√

_2/ = 

(c) Se a ou b for irracional, não há o que provar. Se a for racional, subtraindo a de todos os números do intervalo [a, b], ficamos com o intervalo [0, b

₋

a]. Tomando  igual a b

₋

a no item (b), obtemos o irracional α menor do que b

₋

a e maior do que zero. Então a + α é irracional (se não fosse, então α seria a soma de dois racionais e, portanto, um racional, contradizendo (b)) e pertence ao intervalo [a, b].

Quest˜ao 5.

Sejam m e n n´umeros naturais primos entre si.

(1.0) (a) Mostre que m_n é equivalente a uma fra¸cão decimal (isto é, com denominador potência de 10) se, e somente se, n não tem fatores primos diferentes de 2 ou 5.

(1.0) (b) Mostre que se n tem outros fatores primos além de 2 ou 5 então a expansão decimal é infinita e, a partir de um certo ponto, periódica.

UMA RESPOSTA

(a) Sendo m e n primos entre si, uma fra¸c˜ao equivalente a m_n deve ter a forma m p_{n p} (obtida multiplicando- se m e n pelo mesmo n´umero natural p).

Os fatores primos de uma potência de 10 são 2 e 5. Se m p_{n p} é fra¸cão decimal para algum p então n p = 10 r. Logo, n p só admite fatores primos iguais a 2 ou 5, e, portanto, n também.

Reciprocamente, se n possui apenas fatores primos iguais a 2 ou 5, então podemos multiplicar n por p de forma que o resultado seja uma potência de 10 ( p pode ser ou uma potência de 2 ou uma potência de 5). Com esse p, m p_{n p} é uma fra¸cão decimal.

(b) Usando o processo tradicional da divisão continuada para transformar m_n em fra¸cão decimal, como há fatores de n diferentes de 2 ou 5, em nenhuma etapa o resto da divisão é zero, logo a expansão nunca termina, ou seja, é infinita. Além disso, os diferentes restos (diferentes de zero) que ocorrem são todos menores do que n, portanto o número deles é no máximo n

₋

1. Assim, algum resto deve repetir-se e, a partir da´ı, o processo se repete: os restos se sucedem na mesma ordem anterior e, portanto, os quo- cientes tamb´em, o que fornece a periodicidade (observe que o per´ıodo tem, no m´aximo, n

₋

1 n´umeros).

2a. Prova de 2011

Quest˜ao 1. Calcule as seguintes express˜oes: (1,0) (a) log_n



log_n





√

n_n



(1,0) (b) xlog a/ log x_{, onde a > 0, x > 0 e a base dos logaritmos ´e ﬁxada arbitrariamente.}

(a) Como





√

n _n = n1/n3_{, temos}

log_n



log_n





√

n_n



_{= log}



lognn1/n 3



= log_n



1 n3 lognn



= logn 1 n3 =

−

logo o valor da express˜ao dada ´e

₋

(b) Tomando logaritmo na base b que foi ﬁxada, temos log



xlog a/ log x



= log a

log x

·

log x = log a . Como a fun¸c˜ao log ´e injetiva, segue-se que xlog a/ log x = a.

Questão 2. (Como caracterizar a fun¸cão exponencial a partir da fun¸cão logaritmo.) Seja f : R

_→

uma fun¸c˜ao crescente, tal que f (x + y) = f (x)

_·

f (y) para quaisquer x , y

_∈

R. Prove as seguintes aﬁrma¸c˜oes:

(1,0) (a) f (x) > 0 para todo x

_∈

R e f (1) > 1.

(1,0) (b) Pondo a = f (1) a fun¸c˜ao g : R

_→

R deﬁnida por g(x) = log_af (x) ´e linear. (Use o Teorema Fundamental da Proporcionalidade.)

(0,5) (c) Para todo x

_∈

R, g(x) = x, onde g é a fun¸cão definida no item (b). (0,5) (d) f (x) = a x para todo x

_∈

UMA SOLUC¸ ˜AO

O objetivo desta questão é mostrar que é poss´ıvel caracterizar a fun¸cão exponencial a partir da fun¸cão logaritmo, sem usar argumentos geométricos, como está no livro no caso de logaritmos naturais.

(a) Sendo crescente, f n˜ao ´e identicamente nula. Da´ı resulta que f (x)

_

= 0 para todo x

_∈

R, pois se existisse x0

∈

R com f (x0) = 0 ter´ıamos, para qualquer x

∈

f (x) = f (x0 + (x

−

x0)) = f (x0)

·

f (x

−

x0) = 0

e f seria identicamente nula. Em seguida, notamos que

f (x) = f (x 2 + x 2) = f ( x 2)

·

f ( x 2) = [f ( x 2)] 2 _> 0 para todo x

_∈

Vamos mostrar que f (0) = 1. Como f (0) = f (0 + 0) = f (0)

_·

f (0), então f (0) é solu¸cão positiva da equa¸cão x = x2_{. Como essa equa¸cão só tem 1 como solu¸cão positiva, a igualdade está demonstrada.}

(b) O Teorema Fundamental da Proporcionalidade diz que se g : R

_→

R´e crescente e satisfaz g(x+y) = g(x) + g(y) para quaisquer x , y

_∈

R, então g é linear, isto é, g(x) = c x, com c > 0. No nosso caso, temos

g(x + y) = log_af (x + y) = log_a[f (x)

_·

f (y)] = log_af (x) + log_af (y) = g(x) + g(y); para quaisquer x , y

_∈

(d) Como acabamos de ver, log_af (x) = x, para todo x

_∈

R. Como log_aax _{= x e a fun¸c˜ao log} a ´e

injetiva, segue-se que f (x) = ax.

Quest˜ao 3. (a) Usando as f´ormulas para cos(x + y) e sen(x + y), prove que tg (x

₋

y) = tg x

−

tg y

1 + tg x tg y

(b) Levando em conta que um ângulo é máximo num certo intervalo quando sua tangente é máxima, use a fórmula acima para resolver o seguinte problema:

Dentro de um campo de futebol, um jogador corre para a linha de fundo do time adversário ao longo de uma reta paralela á lateral do campo que cruza a linha de fundo fora do gol (ver Figura). Os postes da meta distam a e b (com a < b) da reta percorrida por ele. Mostre que o jogador vê a meta sob ângulo máximo quando sua distância x ao fundo do campo é igual a

√

ab.

                                β α _ a   b  x

Pela ﬁgura temos tg (α) = a

x e tg (β ) = b x. Portanto tg (β

₋

α) = tg β

−

tg α 1 + tg α tg β = b x

−

a x 1 + a b_x2 = b

−

a x + a b_x

Como o numerador b

₋

a ´e constante, tg (β

₋

α) é máxima quando o denominador for m´ınimo. Ou seja, é preciso achar x que minimiza a expressão x + a b_x . Como a média aritmética é sempre maior do que ou igual à média geométrica, então 1₂ (x + a b_x )

_≥



x + a b_x =

√

ab, ou seja, o denominador ´e sempre maior do que ou igual a 2

√

ab. A igualdade vale se e somente se os dois termos da média são iguais, isto é, quando x =

√

ab. Portanto x + a b_x atinge seu menor valor quando x =

√

ab.

Quest˜ao 4.

(1,0) (a) 24h após sua administra¸cão, a quantidade de uma droga no sangue reduz-se a 10% da inicial. Que percentagem resta 12h após a administra¸cão ? Justifique sua resposta, admitindo que o decaimento da quantidade de droga no sangue é exponencial.

(1,0) (b) Em quanto tempo a quantidade de droga no organismo se reduz a 50% da dose inicial? (0,5) (c) Se a mesma droga for administrada em duas doses de 10 mg com um intervalo de 12h, qual ´e a quantidade presente no organismo ap´os 24h da primeira dose?

UMA SOLUC¸ ˜AO

(a) Sendo exponencial, a quantidade de droga no organismo obedece `a lei c0at, onde a ´e um

número entre 0 e 1, c0 é a dose inicial (obtida da expressão para t = 0) e t é medido, por exemplo,

em horas. Ap´os 24h a quantidade se reduz a ₁₀1 da inicial, isto ´e, c0a24 = c₁₀0 .

Portanto a24 ₌ 1

10 . Da´ı segue que a12 = 1

√

₁₀, e que c0a12 =

√

c₁₀0

Então a quantidade de droga após 12h é a quantidade inicial dividida por

√

10.

(b) Para saber o tempo necessário para a redu¸cão da quantidade de droga à metade (isto é, a meia-vida da droga no organismo), basta achar t que cumpra at = 1₂. Como a24 = ₁₀1 implica

a24 s =



1 10



a resposta ´e t = 24 s, onde s ´e tal que 10

−

s _{= 2}

₋

1_{. Da´ı segue que s = log}

10 2 e que t = 24 log10 2.

√

c₁₀0 . Uma nova adminis-

tra¸c˜ao a eleva para c0+ c₁₀0 = c0 (1+

√

1₁₀). Ap´os mais 12h essa quantidade ´e dividida por

√

10, passando

a ser c₀



√

1₁₀ + ₁₀1



, logo, com c0 = 10 mg, restar˜ao, ap´os 24h da primeira dose, (1 +

√

10) mg.

Questão 1. (1,0) (a) Prove isto: Se um número natural não é o quadrado de um outro número natural, sua raiz quadrada é irracional.

(1,0) (b) Mostre que

√

2 +

√

5 é irracional. UMA SOLUÇ ÃO

(a) Seja n

_∈

N. Se p_q

_∈

Q ´e tal que



p_q



2 = n, então p2 = n q 2. Como os fatores primos de p2 e q 2 _{aparecem todos com expoente par, o mesmo deve ocorrer com os fatores primos de n. Então n é o}

quadrado de algum n´umero natural.

(b) Se w =

√

2 +

√

5 fosse racional ent˜ao seu quadrado

w2 = (

√

2 +

√

5)2 = 2 + 2

√

10 + 5 = 7 + 2

√

10 tamb´em seria. Mas w2

−

2 =

√

10 também seria racional, o que não é poss´ıvel, pois 10 não é o quadrado

de um n´umero natural.

Questão 2. (2,0) No instante em que uma pedra caiu (sem sofrer impulso inicial) ao momento em que se ouviu o som de seu choque com a água no fundo do po¸co decorreram S segundos. Calcular a profundidade do po¸co. Dar a resposta em fun¸cão da acelera¸cão g da gravidade e da velocidade v do som. Usar a fórmula s = g₂t2 do espa¸co percorrido no tempo t por um corpo em queda livre que partiu do repouso.

DUAS SOLUC¸ ˜OES

Uma solu¸cão. O tempo S = t₁ + t₂ é a soma do tempo t₁ que a pedra levou para chegar ao fundo mais o tempo t2 que o som levou para vir até o n´ıvel da borda. Chamando de x a profundidade do

po¸co, temos x = g₂t2

1 e, por outro lado, x = v t2 = v(S

−

t1). Logo

g 2 t 2 1 = v(S

−

t1) ou g t2₁ + 2 v t1

−

2 v S = 0,

que é uma equa¸cão quadrática na incógnita t1 . As solu¸cões desta equa¸cão são

−

2 v +



4 v2 _{+ 8 g v S}

2 g ,

−

2 v

₋



4 v2 _{+ 8 g v S}

2 g

A segunda é negativa e neste problema não faz sentido. A primeira é positiva, porque



4 v2 _{+ 8 g v S >}

√

_{4 v}2 _{= 2v. Ent˜ao, dividindo por 2 o numerador e o denominador da fra¸c˜ao ,}

t1 =

−

v +



v2 _{+ 2 g v S} g logo x = v t2 = v(S

−

t1) = S v + v2 g + v g



v2 + 2 g v S .

Outra solu¸cão. A solu¸cão é essencialmente determinada por aquilo que escolhemos como incógnita (t1, t2 ou x). Se equacionarmos diretamente em x iremos pelo seguinte caminho. Observe que

t1 =

√

2 xg e t2 = x_v. Ent˜ao, de t1 + t2 = S resulta uma equa¸c˜ao em x:

v +



2 g

−

√

−

S = 0. Deﬁnamos y =

√

x. Ent˜ao precisamos achar solu¸c˜oes positivas de

−

1y2 +



2 g

−

1_y

A única solu¸cão positiva dessa equa¸cão quadrática é y =

−



2 g

−

1 ₊



_{2 g}

₋

1 _{+ 4 S v}

₋

1 2 v

−

1 . Ent˜ao x = y2 = v 2 4



2 g +



2 g + 4 S v



−



4 g2 + 8 S v g



que equivale à expressão obtida na primeira solu¸cão .

Questão 3 . Percorrendo, ao longo de uma reta horizontal, a distância d = AB em dire¸cão à base inacess´ıvel de um poste CD, nota-se (com o aux´ılio de um teodolito) que os ângulos C ÂD e

C ˆBD medem, respectivamente, α e β radianos. Qual ´e a altura do poste CD?

Temos CD = AC tg α = BC tg β . Como AC = BC + d, vem (BC + d) tg α = BC tg β , e da´ı BC = d tg α tg α

₋

tg β e CD = BC tg β = d tg α tg β tg α

₋

tg β A B C D β α d                         

Questão 4. (2,0) Um reservatório contém uma mistura de água com sal (uma salmoura), que se mantém homogênea gra¸cas a um misturador. Num certo momento, são abertas duas torneiras, com igual capacidade. Uma despeja água no reservatório e a outra escoa. Após 8 horas de funcionamento, verifica-se que a quantidade de sal na salmoura reduziu-se a 80% do que era antes que as torneiras fossem abertas. Que percentagem do sal inicial permanecerá na salmoura após 24h de abertura das torneiras?

UMA SOLUC¸ ˜AO

Seja M 0 a massa de sal existente no in´ıcio da opera¸c˜ao . Decorrido o tempo t, essa massa ser´a

M (t) = M 0at, onde a ´e uma constante (0 < a < 1). Isto se justiﬁca porque, sendo a salmoura da

torneira de sa´ıda uma amostra da salmoura do tanque, supostamente homogênea, a quantidade de sal que sai por unidade de tempo é proporcional à quantidade de sal no tanque, e isto é o princ´ıpio que rege o decaimento exponencial. No entanto, a constante a não precisa ser calculada para se resolver o problema. O enunciado nos diz (supondo o tempo t medido em horas) que M (8) = M 0a8 = 0, 8 M 0,

logo a8 = 0, 8. Ap´os 24 horas, a quantidade de sal ´e M 0a24. Ora, a24 = (a8)3 = 0, 83 = 0, 512.

Portanto a resposta ´e 51, 2%, isto ´e, pouco mais que a metade.

3.2 Provas de 2012

No documento Lista7 (páginas 42-48)