O Método de Galerkin Estocástico e Equação Diferencial de Transporte Linear Estocástica.

(1)

O M´

etodo de Galerkin Estoc´

astico e Equa¸

c˜

ao Diferencial de

Transporte Linear Estoc´

astica.

1,2_{Adson M. Rocha} 1,3_{Fabio A. A. de Campos}

1

Depto de Matem´atica Aplicada, IMECC, UNICAMP, 13083-859, Campinas, SP

2

Centro de Ciˆencias Exatas e Tecnol´ogicas, UFRB, 44380-000, Cruz das Almas, BA

3

Bolsista de Doutorado CNPQ

E-mail: adsonmot@gmail.com, fcampos111@gmail.com,

Maria Cristina de C. Cunha

Departamento de Matem´atica Aplicada, IMECC, UNICAMP 13083-859, Campinas, SP

E-mail: cunha@ime.unicamp.br.

Resumo

Pretendemos apresentar o método de Garlekin estocástico para resolver equa¸cões dife-renciais estocástica. O método de Galerkin estocástico produzido é uma extensão simples do método de Galerkin clássico usado em problemas determin´ısticos. Especificamente, o método consiste em projetar a solu¸cão estat´ıstica sobre o espa¸co gerado pelos Polinômios do Caos generalizados que formam uma base para o espa¸co de fun¸cões aleatórias. Introduziremos o método sobre uma equa¸cão de transporte linear aleatória. Faremos o tratamento numérico e comparamos com as simula¸cões de Monte Carlo.

Palavras-chave: Equa¸cões Diferenciais Estocásticas, Galerkin Estocástico, Polinômios de Caos generalizado

1 Introdu¸

c˜

ao

Atualmente há um interesse crescente em estudar métodos numéricos eficientes para resolver equa¸cões diferenciais com entradas aleatórias. A representa¸cão atual do método de polinômio de caos foi desenvolvido por R. Ghanem [3], inspirado por expansões de polinômios de caos de Wiener [4], onde empregou polinômios de Hermite como uma base ortonormal para representar processos aleatórios. Esta aproxima¸cão foi estendida para polinômios de caos generalizados onde os polinômios ortogonais são usados para melhor representar os processos aleatórias [2]. Representaremos polinômios do caos generalizado pela sigla gPC visto sua origem em inglês generalized Polynomial Chaos. Posteriormente os gPC foram utilizados para aproximar solu¸cões estocásticas de equa¸cões diferenciais. Umas destas técnicas é o método de Galerkin Estocástico. A partir da escolha da base ortogonal gPC, estendemos o método de Galerkin clássico projetando a solu¸cão estocástica sobre o espa¸co gerado pelos gPC. O Galerkin estocástico é usado para transformar uma equa¸cões estocástica em um sistema de equa¸cões determin´ısticas. Uma visão geral do método de Galerkin Estocástico podem ser achadas em [1].

Na Se¸cão 2 apresentamos a Equa¸cão de Transporte Linear Estocástica e sua Formula¸cão Estocástica. Na Se¸cão 4 fizemos uma breve introdu¸cão aos polinômios de caos generalizados e aplicamos o Galerkin Estocástico obtendo uma aproxima¸cão numérica da solu¸cão estocástica escrita como combina¸cão linear dos gPC. Na última Se¸cão mostramos os resultados de uma experimento numérico a um caso espec´ıfico da equa¸cão problema.

(2)

2 Equa¸

c˜

ao do Transporte Linear Estoc´

astica

Neste trabalho consideremos o problema de valor inicial Qt+ AQx= 0, t > 0, x∈ R, Q(x, 0) = Q0(x),

(1) no qual a velocidade A é uma variável aleatória e a condi¸cão inicial Q0(x) é um processo es-tocástico, definidos sobre o mesmo espa¸co amostral Ω. Entendemos o processo estocástico Q0(x) como um processo cont´ınuo (Q0(x, ω), x∈ R, ω ∈ Ω).

Definamos solu¸cão do problema (1) o processo estocástico Q(x, t, ω) : R× [0, ∞) × Ω −→ R. 2.1 Formula¸cão Estocástica do Sistema

Um passo importante na resolu¸cão de um sistema estocástico é a caracteriza¸cão conveniente do espa¸co probabilidade por um conjunto finito e mutuamente independentes de variáveis aleatórias através de uma parametriza¸cão dos dados de entrada aleatórios.

Normalmente as entradas aleatórias da equa¸cão (1), A(ω) e Q0(x, ω), são independentes. De in´ıcio fazemos A(ω) = Z0 como um dos parâmetros aleatórios. Os outros parâmetros dependem do processo inicial Q0(x, ω). Uma forma para parametrizarmos Q0(x, ω) é usando sua expansão de Karhunen-Loeve (KL). Dado a média de Q0(x), µQ0(x), e sua covariância, CQ0(x, y) =

cov (Q0(x), Q0(y)), definimos a expans˜ao KL do processo Q0(x, ω) por

Q0(x, ω) = µQ0(x) + ∞ X i=1 p λiψi(x)Zi(ω) (2)

onde (ψi(x), λi) s˜ao as autofun¸c˜oes e autovalores do problema (3) Z ∞

−∞

CQ0(x, y)ψi(y)dy = λiψi(x), x∈ R (3)

e _{Zi} são variáveis aleatórias mutuamente não correlacionadas, satisfazendo E[Zi] = 0, E[ZiZj] = δij, determinadas por Zi = 1 √ λi Z ∞ −∞ (Q0(x)− µQ0(x)) ψi(x)dx, i = 1, 2, . . . .

Para uma melhor leitura sobre expans˜ao KL ver a referˆencia [3].

Tomando o truncamento da expansão no termo d da série (2), aproxima-se o processo es-tocástico inicial Q0(x, ω) escrito por uma combina¸cão finita das variáveis aleatórias, Z1, . . . , Zd,

Q0(x, ω) ≈ eQ0(x, ω) = µQ0(x) + d X i=1 p λiψi(x)Zi(ω).

Desta forma, escolhendo o conjunto_{Z0, Z1, . . . , Zd} pode-se reescrever (1), Qt+ Z0Qx= 0, t > 0, x∈ R,

Q(x, 0) = eQ0(x, Z1, . . . , Zd),

(4) chamada Formula¸cão Estocástica, cuja solu¸cão agora está definida no parâmetro Z

(3)

3 M´

etodo de Galerkin Estoc´

astico

O método de Galerkin tem sido generalizado para problemas estocásticos pela proje¸cão da solu¸cão em espa¸cos de polinômios ortogonais definidos em variáveis aleatórias. Estes polinômios ortogonais definidos sobre variáveis aleatórias são os denominados Polinômios do Caos genera-lizados (gPC).

3.1 Polinˆomios do Caos generalizado

Nesta subse¸cão, apresentamos os aspectos gerais dos gPC. A teoria de expansão usando gPC é análoga à teoria da aproxima¸cão de fun¸cões por polinômios ortogonais.

Seja Z uma variável aleatória com fun¸cão distribui¸cão FZ(z) = P (Z ≤ z) e momentos finitos, isto é,

E_|Z|2m ₌ Z _|z|2m_dF

Z(z) < ∞ , m = 0, 1, . . . , n.

Definimos uma base de fun¸c˜oes gPC, {Φj(Z)}_0≤j≤n, sendo um conjunto de fun¸c˜oes polino-miais definidas sobre Z, tais que

E [Φi(Z)Φj(Z)] = γjδij, i, j = 0, 1, . . . , n (5)

onde

γj = EΦ2j(Z)

, j = 0, 1, . . . , n (6)

são as constantes de normaliza¸cão e δij é delta de Kronecker.

Quando Z é uma variável cont´ınua com sua fun¸cão densidade de probabilidade (que uti-lizaremos a sigla PDF - Probability Density Functions durante o texto), fZ(z), temos que dFZ(z) = fZ(z)dz e podemos reescrever a condi¸cão de ortogonalidade (5) da forma

E [Φi(Z)Φj(Z)] = Z Φi(z)Φj(z)fZ(z)dz = γjδij, i, j = 0, 1, . . . , n. (7) Denotamos por L2 dFZ(IZ) =

f : IZ −→ R; Ef2<∞ o espa¸co de todas fun¸cões aleatória definidas em IZ integráveis na média-quadrada com norma||f||L2

dFZ, onde IZ ´e o suporte

com-pacto da vari´avel Z. Temos que L2

dFZ(IZ) ´e um espa¸co de Hilbert. Neste espa¸co, tomemos o

subespa¸co finito gerado pela base de fun¸c˜oes gPC,

Pn(Z) = span{Φk(Z), k = 0, 1, . . . , n} ,

e aqui dim (Pn(Z)) = n + 1. Dado g ∈ L2dFZ, definimos a proje¸c˜ao ortogonal de n-´esimo grau

de g sobre Pn(Z), Png = n X k=0 bgkΦk(Z), onde bgk = 1 γk E[g(Z)Φk(Z)].

A convergência da proje¸cão segue diretamente da teoria clássica de aproxima¸cão, i.e., kg − PngkL2

dFZ −→ 0, n −→ ∞.

Podemos estender as defini¸cões acima para um vetor aleatório Z = (Z1, . . . , Zd), com compo-nentes mutuamente independentes e fun¸cão distribui¸cão F_Z(z1, . . . , zd) = P (Z1 ≤ z1, . . . , Zd ≤ zd), conforme foi feito em [1] pp. 64-66.

Exemplo 3.1 (Polinômios de Hermite) A partir de alguns modelos usuais de distribui¸cões de probabilidade, as bases gPC são constru´ıdas. Uma importante é os gPC de Hermite por sua

(4)

rela¸cão com uma variável Gaussiana padrão Z _{∼ N (0, 1). Sabemos que a PDF de uma variável} Gaussiana é dada por

fZ(z) = 1 √ 2πe −z2 /2_.

Pela constru¸cão dos polinômios de Hermite clássico, _{Hk(x)}k∈N0, pode-se obter a rela¸cão de

ortogonalidade (7) dada por

E[Hi(Z)Hj(Z)] = Z ∞

−∞

Hi(z)Hj(z)fZ(z)dz = j!δij.

Desta forma, o conjunto _{Hk(Z)}_k∈N0 forma uma base de fun¸c˜oes gPC que naturalmente

denomina-se gPC de Hermite. Temos que

H0(Z) = 1, H1(Z) = Z, H2(Z) = Z2− 1, H3(Z) = Z3− 3Z, · · · que podem ser obtidos pela f´ormula de recorrˆencia

Hn+1(Z) = ZHn(Z)− nHn−1(Z).

3.2 Aplicando Galerkin Estocástico sobre a Equa¸cão do Transporte Linear Estocástica

O método de Galerkin estocástico é uma extensão do método de Galerkin clássico para calcular solu¸cões aproximadas em equa¸cões determin´ısticas sobre o espa¸co gerado pelos polinômios gPC. Por simplicidade apresentamos uma abordagem para o caso unidimensional, considerando a proje¸cão da solu¸cão e dados do problema, sobre os espa¸cos dos polinômios univariáveis, isto é, a equa¸cão do problema será parametrizada em uma única variável aleatória Z0. No momento, para desenvolvimento teórico, não mencionaremos a distribui¸cão da variável Z0. Desta forma, escrevemos de forma mais simples a formula¸cão estocástica (4) da equa¸cão da onda

∂Q(x, t, Z0) ∂t + Z0 ∂Q(x, t, Z0) ∂x = 0, x∈ R, t > 0, Q(x, 0) = Q0(x, Z0), (8) onde Z0 é a velocidade de transporte aleatório do problema de valor inicial (1) e o processo estocástico inicial, Q0(x, ω), também está parametrizado por Z0.

Consideremos uma base de fun¸cões gPC para a variável aleatória Z0, {φk(Z0)}_k=0,...,n. No método de Galerkin estocástico a solu¸cão, Q(x, t, Z0), é projetada sobre Pn(Z0)

Qn(x, t, Z0) = n X k=0 b Qk(x, t)φk(Z0) (9)

e tomamos o produto escalar entre equa¸c˜ao diferencial (8) e um elemento arbitr´ario de Pn(Z0)

E ∂Qn(x, t, Z0) ∂t φk(Z0) + E Z0 ∂Qn(x, t, Z0) ∂x φk(Z0) = 0. (10)

Usando as express˜oes (9), (10) e a ortogonalidade da base de fun¸c˜oes gPC (propriedades (5) e (6)), para cada k = 0, . . . , n obtemos

E " ∂ ∂t n X i=0 b Qi(x, t)φi(Z0) ! φk(Z0) # + E " Z0 ∂ ∂x n X i=0 b Qi(x, t)φi(Z0) ! φk(Z0) # = 0 n X i=0 ∂ ∂tQbi(x, t)E [φi(Z0)φk(Z0)] + n X i=0 ∂ ∂xQbi(x, t)E [Z0φi(Z0)φk(Z0)] = 0 γk ∂ bQk ∂t (x, t) + n X i=0 eik ∂ bQk ∂x (x, t) = 0 (11)

(5)

onde eik = E [Z0φi(Z0)φ_k(Z0)], i, k = 0, . . . , n. Desta forma, em (11) temos n + 1 equa¸c˜oes lineares, que podemos escrever na forma vetorial

Γ∂ bQ ∂t + B

∂ bQ

∂x = 0, (12)

onde bQ = [ bQ0· · · bQn], Γ = diag(γ0, γ1, . . . , γn) e B = (eik), i, k = 0, . . . , n ´e uma matriz real (n + 1)_{× (n + 1).}

Se a base de fun¸cões gPC está normalizada, γk= 1, ∀k, o sistema (12) terá a forma ∂ bQ

∂t + B ∂ bQ

∂x = 0, onde B = BT _{´e uma matriz hiperb´}_olica.

Para completar o método de Galerkin Estocástico, a condi¸cão inicial também devemos pro-jetar no espa¸co Pn(Z0): Q0_n(x, Z0) = n X k=0 b Q0_k(x)φk(Z0), onde bQ0 k(x) = E [Q0(x, Z0)φk(Z0)]. Notemos que para calcular bQ0

k(x) é necessário uma expressão para Q0 parametrizada em fun¸cão Z0. Caso contrário pode ser usada a expansão KL, que conforme vimos em (3),

Q0(x, Z1, . . . , Z_d) ≈ eQ0(x, Z1, . . . , Z_d) = µQ0(x) + d X i=1 p λiψi(x)Zi.,

e obtemos a parametriza¸cão de cada nova variável aleatória Zi em fun¸cão de Z0. Conhecidos os coeficientes bQ0

k(x), k = 0, . . . , n, da proje¸cão da condi¸cão inicial, o método de Galerkin para (8) reduz-se a resolver um sistema de (n + 1) equa¸cões diferenciais acopladas

determin´ısticas _   ∂ bQ ∂t + B ∂ bQ ∂x = 0, b Q(x, 0) = bQ0 (x), (13) onde bQ0 = [ bQ0 0 . . . bQ 0 n].

Temos um sistema linear hiperbólico, uma maneira de o desacoplarmos é fazendo a diago-naliza¸cão da matriz, B = UTDU , onde D = diag(λ0, λ1, . . . , λn), e tomarmos a mudan¸ca de variável

W = UTQ,b W = [W0 . . . Wn]T (14)

obtendo o sistema desacoplado    ∂W ∂t + D ∂W ∂x = 0 W (x, 0) = UTQ(x, 0) = Ub TQb0 (x), ou ainda, _   ∂Wk ∂t + λk ∂Wk ∂x = 0, ∀k = 0, 1, . . . , n. Wk(x, 0) = Pnj=0UjkQvb j(x) = UkTQb 0 (x), onde Uk= [U0k . . . Unk]T ´e a k-´esima coluna da auto matriz U .

Pelo método das caracter´ısticas, cada equa¸cão tem solu¸cão da forma Wk(x, t) = UkTQb

0

(6)

Portanto W (x, t) =    W0(x, t) .. . Wn(x, t)    =    U0TQb 0 (x_{− λ}0t) .. . U_nTQb0 (x− λnt)  

, e por (14) a solu¸c˜ao para o problema de valor inicial (13) ´e dada por

b Q(x, t) = U W (x, t) = U    U0TQb 0 (x− λ0t) .. . U_nTQb0 (x− λnt)    = n X k=0 UkUkTQb 0 (x_{− λ}kt). (15)

Vimos que é poss´ıvel obter a solu¸cão de uma EDP estocástica através da solu¸cão de um sistema determin´ıstico com o método de Galerkin estocástico. Este método é de fácil imple-menta¸cão computacional e os resultados desta implementa¸cão aplicada a um exemplo simples será visto a seguir.

4 Experimento Num´

erico

Em todas simula¸cões consideramos a variável de transporte A = Z0 com distribui¸cão Gaussiana e o processo estocástico inicial Q0(x) estando parametrizado na variável Z0.

Visto que Z0 ∼ N (0, 1) temos a PDF fZ0(z) = 1 √ 2πexp(−x 2 /2),

então escolhemos a base de polinômios de Hermite gPC,{Hk(Z0)}_{k=0,1,··· ,n}, para fazer a proje¸cão da solu¸cão pelo método de Galerkin. Lembramos que esta base está normalizada, ou seja, γk = E [Hk(Z0)] = 1.

Para facilitar na implementa¸cão dos dados vamos considerar que o processo inicial, Q0(x, Z0), já estejando no espa¸co gerado pelos gPC de Hermite. Supomos que o processo inicial é uma expansão de primeira ordem dos polinômios gPC

Q0(x, Z0) = H0(Z0) + xH1(Z0), (16)

onde os polinômios Hk(Z0) são os polinômios de Hermite.

Para comparar a convergência da solu¸cão de Galerkin estocástico, aplicamos o método de Monte Carlo ao problema com número de simula¸cões m = 100000. Neste caso, a cada (x, t) fixado e a cada simula¸cão para Z0 construimos uma fun¸cão solu¸cão aleatória

Q(x, t, Z0) = Q0(x− Z0t, Z0) = H0(Z0) + (x− Z0t)H1(Z0).

Nas Figuras 1 e 2 apresentamos os gráficos das PDF’s das solu¸cões Qn(x, t, Z0), sendo que as linhas tracejadas (azul) representam o método de Galerkin Estocástico e as linhas preenchidas (vermelho) representam as simula¸cões de Monte Carlo . Na Figura 1 variamos apenas a ordem de precisão da solu¸cão de Galerkin estocástico e na Figura 2 variamos a variável temporal de t = 0.3 para t = 0.8.

Com base na Figura 1 notamos que a solu¸cão de Galerkin atinge um bom resultado com uma ordem de precisão relativamente baixa, justificando assim sua eficiência, apesar de possuir etapas computacionalmente caras, como encontrar autovalores de uma matriz de ordem (n + 1)× (n + 1), onde n é a precisão do método. Na Figura 2, percebemos uma outra caracter´ıstica da convergência da solu¸cão do método de Galerkin estocástico que diz que quanto maior a proximidade da variável t de 0, mais rapidamente o método irá convergir para solu¸cão verdadeira [1].

(7)

x=-5, t=0.5, n=1 −250 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 25 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 x=-5, t=0.5, n=3 −250 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 25 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08

Figura 1: PDF’s da solu¸c~ao da Equa¸c~ao do Transpote Linear Estoc´astica com distribui¸c~ao normal padr~ao da velocidade A e condi¸c~ao inicial dada por (16). Solu¸c~oes quando

fazemos x =_{−5, t = 0.5 e proje¸c~oes com ordem n = 1, 3.}

x=2, t=0.3, n=3 −500 0 50 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 x=2, t=0.8, n=3 −500 0 50 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

Figura 2: PDF’s da solu¸c~ao da Equa¸c~ao do Transpote Linear Estoc´astica com distribui¸c~ao normal padr~ao da velocidade A e condi¸c~ao inicial dada por (16). Solu¸c~oes quando

fazemos x = 2 a proje¸c~ao de ordem n = 2 e variamos o tempo t = 0.5, 0.8.

Referˆ

encias

[1] D. Xiu, ”Numerical Metholds for Stochastic Computations: A Spectral Method Approach”, Princeton University Press, 2010.

[2] D. Xiu and G.E. Karniadakis, The Wienet-Askey Polynomial Chaos for Stochastic Diferen-cial Equations, SIAM J. Sci. Comput. Vol. 24, No _{2 (2002) pp. 619-644.}

[3] R.G. Ghanem and P. Spanos. Stochastic Finite Elements: A Spectral Approach. Springer-Verlag, New York, 1991.

[4] N. Wiener. The homogeneous chaos. Amer. J. Math., No