A CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DO CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
Guilherme Elci Tamiozzo ¹, Lucia Menoncini ², Josiane M. M. de Mello ² ¹ Aluno do curso de Matemática/UNOCHAPECÓ ² Professoras Mestres/ACEA/UNOCHAPECÓ
RESUMO: As equações diferenciais tem grande aplicabilidade nas Engenharias, Física e Matemática. O estudo realizado abrange uma aplicação das equações diferenciais, especificamente, no que se refere a um problema que envolve a condução do calor em regime estacionário. Os conceitos que fundamentam o estudo são compilados a partir do estudo teórico. Por meio destes realizou-se o balanço de energia térmica em volume de controle, obtendo assim, algumas equações originadas a partir de certas considerações geométricas e físicas adotadas. Em vista disso, contemplou-se os processos físicos da condução e da convecção natural visando determinar o perfil de temperatura ao longo de barras de secção circular uniforme, verificando ainda a transferência de calor entre as barras e o meio, através da obtenção do coeficiente convectivo natural. A partir disso, foram realizados diversos cálculos que contemplam inúmeras “especificidades” físicas e propriedades termodinâmicas dos materiais utilizados, necessárias para o referente estudo. Através dos dados obtidos, considerou-se e analisou-se o estudo, contemplando possíveis erros obtidos durante a realização do experimento. Aproveitando o estudo teórico e os dados experimentais obtidos, descreveu-se analiticamente a distribuição de temperatura ao longo das barras, obtendo assim, o campo de temperatura T(x), solução do problema proposto. Com a obtenção da curva de temperatura fornecida pelos dados experimentais comparou-se a curva de temperatura experimental e as curvas descritas pela solução analítica encontrada, onde apenas uma das correlações empíricas foi adotada para o cálculo do coeficiente convectivo de transferência de calor por convecção natural. Por fim, analisou-se o comportamento dos gráficos obtidos, considerando o perfil da curva de temperatura ao longo das barras, assim como, as propriedades que fundamentam os processos físicos durante a transferência de calor entre dois sistemas. Através dos resultados comparativos encontrados infere-se que a solução analítica do problema da condução do calor condiz com os resultados da pesquisa experimental.
Palavras-chave: Equações diferenciais. Convecção natural. Barras metálicas.
1. Introdução
Uma equação diferencial relaciona uma função incógnita a uma ou mais de suas derivadas. As equações diferenciais são expressões matemáticas presentes em diversos modelos físicos, químicos, biológicos, econômicos além de modelos da engenharia. Compreendendo que o estudo das equações diferenciais é de suma importância para descrever e solucionar diversas situações do cotidiano, e objetivando destacar a aplicabilidade destas equações, buscou-se neste estudo tratar da transferência de calor por condução, que envolve a equação da difusão do calor, descoberta pelo matemático Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 - 1830), mais comumente conhecido como Fourier.
Utilizando a teoria das equações diferenciais associada aos aspectos físicos da condução do calor, foi modelado e resolvido analiticamente o problema unidimensional da condução do calor em regime estacionário, envolvendo duas
barras metálicas de secção uniforme, denominadas aletas, a saber, a barra de cobre puro e a barra de aço inoxidável AISI 302. Nosso objetivo aqui é a realização de uma comparação analítica/experimental de um problema clássico da condução unidimensional do calor em barras de secção reta uniforme em regime estacionário.
O mecanismo físico da condução está associado à atividade atômica e molecular, uma vez que a condução de calor acontece na direção das partículas mais energéticas para as partículas de menor energia. A lei de Fourier que define a equação da taxa de transferência de calor por condução é da forma
A transferência de calor no interior de um sólido e por convecção entre as fronteiras de um sólido e sua vizinhança é apresentado em superfícies estendidas ou aletas. Nesse caso, a distribuição de temperatura é representada pela equação:
Por outro lado, a equação da energia para uma aleta com área de secção reta uniforme é dada por:
Considerando e realizando alguns cálculos algébricos juntamente com a teoria das equações diferenciais, chega-se a equação:
onde , é o comprimento da barra, é a posição dos
termopares e é o coeficiente angular da reta.
A equação (3) fornece o perfil de temperatura ao longo da aleta e, portanto representa a solução analítica para o problema da condução unidimensional do calor em regime estacionário, com secção circular uniforme.
Para se obter o coeficiente convectivo, também conhecido como teórico, partiu-se de duas correlações empíricas. A primeira, utilizada para cilindros horizontais isotérmicos, foi descrita por Morgan, o qual sugere uma expressão do tipo:
onde e são tabelados, conforme Tabela 1 e o valor da condutividade térmica é tabelado para cada material.
Tabela 1. Constantes para a convecção livre sobre um cilindro circular horizontal. 0, 675 0, 058 1, 020 0, 148 0, 850 0, 188 0, 480 0, 250 0, 125 0, 333 Fonte: (INCROPERA, DEWITT, 2003, p.385.)
A segunda correlação, de acordo com Bejan (1996), foi sugerida por Churchill e Chu, os quais recomendam uma única correlação para uma ampla faixa do número de Rayleigh:
A equação acima é valida sempre que Rayleigh e para qualquer número de Prandtl ( ), Rayleigh ( ) e Nusselt ( ) são fornecidos de acordo com o diâmetro do cilindro. E ainda Prandtl é um valor tabelado e Rayleigh é obtido através da seguinte equação:
Onde a difusividade térmica e a viscosidade cinemática são valores tabelados, é a aceleração da gravidade, o diâmetro da secção e é o coeficiente de expansão, .
Para calcular o erro experimental, para ambas as correlações utilizou-se a equação:
onde representa o coeficiente convectivo encontrado via dados da pesquisa experimental.
2. Materiais e métodos
As barras de cobre puro e aço inoxidável AISI 302 utilizadas neste estudo apresentam ambas 0.4 polegadas de diâmetro e comprimento de 1 metro. Uma de suas extremidades estava isolada com isopor e a outra extremidade em contato com o banho termostático de água, onde a temperatura podia ser regulada, o que
caracterizou as barras como aletas. Os instrumentos experimentais estavam dispostos em uma espécie de caixa fechada com uma tampa de vidro, a fim de que não houvesse contato com o meio, evitando desta forma, possíveis erros no calculo do coeficiente convectivo experimental, bem como, alterações nas temperaturas das barras.
O experimento apresentava oito termopares fixos nas barras, dispostos da seguinte forma: entre o banho e o primeiro termopar 2 cm, entre o primeiro e o segundo termopar 5 cm, entre o segundo e o terceiro, o terceiro e quarto, o quarto e quinto, o quinto e sexto, o sexto e o sétimo intervalos de 7 cm e por fim, o oitavo no final da barra. A Figura 1 dispõe a visualização do aparato experimental utilizado.
Figura 1. Aparato Experimental. 1-8: termopares; 9: banho termostático com resistência; 10: termômetro 11: medidores de temperatura; 12: termostato; 13: barra de aço inoxidável; 14: barra de
alumínio; 15: barra de cobre.
O experimento iniciou-se com a leitura das temperaturas dos termopares antes que o banho fosse ligado. Após isso, regulou-se a temperatura do banho termostático a 58°C e realizou-se a monitoração das temperaturas das barras através dos termopares, aguardando a estabilização das mesmas até que entrassem em regime estacionário. A temperatura do banho registrada no momento em que as barras entraram em regime estacionário foi de 55°C.
De forma análoga, regulou-se a temperatura a 88°C e leu-se a temperatura no momento que as barras atingiram o estado estacionário, a saber, 85º C, conforme Tabela 2.
Tabela 2. Dados experimentais.
Posição dos termopares (m) 0,02 0,07 0,14 0,21 0,28 0,35 0,42 1,00 Temperatura barra A (°C) 47,50 45,00 42,00 38,00 36,00 35,00 33,00 28,00 Temperatura barra B (°C) 44,00 37,00 31,50 29,00 28,00 28,00 28,00 28,00
Temperatura barra A (°C) 73,00 65,00 58,00 52,00 48,00 44,00 41,00 33,00 Temperatura barra B (°C) 60,00 45,00 35,00 32,00 30,00 30,00 30,00 30,00
A presente pesquisa foi realizada no período de 4 de março de 2011 à 20 de junho de 2011 na cidade de Chapecó.
3. Resultados e discussão
3.1. Perfil de temperatura ao longo das barras
Esta subseção objetiva determinar o perfil de temperatura ao longo das barras de cobre puro (Barra A) e aço inoxidável AISI 302 (Barra B), visto que há um gradiente de temperatura, de acordo com os dados da Tabela 2. Para tal, plotou-se o gráfico da temperatura versus posição dos termopares, conforme os dados da Tabela 2, para a temperatura inicial C (ou em Kelvin).
Figura 2. Perfil de temperatura ao longo das barras com .
Também plotou-se o gráfico de temperatura versus posição dos termopares
com os dados da Tabela 2 para °C (ou em Kelvin).
Figura 3. Perfil de temperatura ao longo das barras com .
Observando a Figura 2 e a Figura 3, percebe-se que o cobre puro e o aço inoxidável apresentaram perfis de temperaturas distintos à medida que o calor se distribuiu ao longo das barras. Este “comportamento” pode ser caracterizado devido
à diferença do coeficiente de condutividade térmica do cobre e do aço inoxidável, o qual está relacionado à estrutura física da matéria, atômica e molecular, que depende do estado no qual a matéria se encontra (INCROPERA e DEWITT, 2003). Os valores dos coeficientes de condutividade térmica para o cobre puro e para o aço inoxidável estão dispostos na Tabela 3.
Tabela 3. Valores da condutividade térmica
Barra de cobre puro 400, 66550 Barra de aço inoxidável AISI 302 15, 16510
Barra de cobre puro 400, 11800 Barra de aço inoxidável AISI 302 15, 21850
Este coeficiente foi encontrado utilizando a temperatura do filme e interpolação por meio de tabelas, como a encontrada em Incropera e DeWitt (2003, p. 643 e 644).
3.2. Obtenção do coeficiente angular da reta
O coeficiente angular da reta ( ) é utilizado para o cálculo do coeficiente convectivo experimental ( ) de transferência de calor. Para obter o coeficiente angular da reta utilizou-se a linearização da equação (1), ou seja:
Os valores obtidos via equação (8) estão dispostos nas Tabelas 4 e 5, sendo
e .
Tabela 4. Dados para a obtenção do coeficiente angular da reta para =55°C=328,15K. Posição dos termopares (m) Temperatura da Barra A (°C) Temperatura da Barra B (°C) 0,02 47,5 0, 276986783 44,0 0, 521661643 0,07 45,0 0, 389464766 37,0 1, 094003986 0,14 42,0 0, 543615446 31,5 2, 027686460 0,21 38,0 0, 794929874 29,0 3, 237524384 0,28 36,0 0, 949080554 28,0 6, 070737728 0,35 35,0 1, 036091932 28,0 6, 070737728 0,42 33,0 1, 236762627 28,0 6, 070737728 1,00 28,0 2, 047692843 28,0 6, 070737728
Tabela 5. Dados para a obtenção do coeficiente angular da reta para =85°C=358,15K. Posição dos termopares (m) Temperatura da Barra A (°C) Temperatura da Barra B (°C) 0,02 73 0, 219053566 60 0, 576460035 0,07 65 0, 397301797 45 1, 207264085 0,14 58 0, 584513339 35 2, 089348062 0,21 52 0, 778669354 32 2, 642348611 0,28 48 0, 932820033 30 3, 320228319 0,35 44 1, 115141591 30 3, 320228319 0,42 41 1, 277660520 30 3, 320228319 1,00 33 1, 913649287 30 3, 320228319
Utilizando os dados da Tabela 4 foram construídos os gráficos de
versus posição dos termopares, obtendo-se assim o coeficiente angular, conforme
Figura 4 e Figura 5.
Figura 4. Curva para obtenção do coeficiente angular da reta para a barra de cobre, para
C.
Figura 5. Curva para obtenção do coeficiente angular da reta para a barra de aço inoxidável AISI 302, para C.
De acordo com os dados da Tabela 5 obteve-se o coeficiente angular, conforme visualização nas Figuras 6 e 7.
Figura 6. Curva para obtenção do coeficiente angular da reta para a barra de cobre, para C
Figura 7. Curva para obtenção do coeficiente angular da reta para a barra de aço inoxidável AISI 302, para C.
Os gráficos da Figura 5 e 7 foram construídos com apenas os 5 primeiros valores obtidos via equação (8). Isso porque os valores encontrados para
indica que, não houve transferência de calor da barra para o meio.
3.3 Determinações do coeficiente convectivo experimental e teórico
Com o coeficiente angular ( ) obtido, e a partir das magnitudes da condutividade térmica, pode-se encontrar o coeficiente convectivo experimental ( ) através da equação:
sendo o perímetro da seção circular, a área da seção circular e a condutividade térmica do material.
Para o cálculo do coeficiente convectivo teórico ( ) de transferência de calor por convecção natural utilizou-se algumas propriedades físicas do ar obtidas através da temperatura do filme e da interpolação de valores por meio de tabelas, como a encontrada em Incropera e DeWitt (2003, p. 654).
Com os valores da difusividade térmica e da viscosidade cinemática do ar , calculou-se o número de Rayleigh de acordo com a equação (6). Realizou-se ainda o cálculo do número de Nusselt, utilizando as correlações de Morgan e de Churchill e Chu via equações (4) e (5) respectivamente. Com os valores de obtidos pelas duas correlações anteriores, obteve-se pela correlação de Morgan e
para Churchill e Chu e seus respectivos erros, como sintetizam as Tabelas 6 e 7.
Tabela 6. Valores experimentais e teóricos do coeficiente convectivo natural e erros.
Material Cobre Aço 3, 2899 15, 7953
7, 1775747 5, 48434793
8, 5119916 6, 46470059 54, 164 188, 007 61, 386 137, 630
Tabela 7. Valores experimentais e teóricos do coeficiente convectivo natural e erros.
Material Cobre Aço 2, 8924 4, 2124
8, 2779781 6, 46582986
9, 6700411 7, 75941048 65, 059 34, 851 70, 089 84, 204
Observando as Tabelas 6 e 7 percebe-se que o coeficiente convectivo teórico aumenta com a temperatura e que este coeficiente é maior para o cobre do que para
o aço inoxidável. Isso acontece por que ele depende das condições da camada limite e de uma série de propriedades termodinâmicas e de transporte do fluido (INCROPERA e DEWITT, 2003).
De acordo com Bejan (1996), na convecção natural o fluido escoa “naturalmente”, pois o movimento é devido às forças de empuxo no interior do fluido. Contudo a diferença de temperatura gera diferença de densidade no interior do fluido, garantido que um gradiente de massa específica é devido a um gradiente de temperatura e a força gravitacional (INCROPERA e DEWITT, 2003).
Percebe-se ainda que por meio dos coeficientes convectivos obtidos para , os erros obtidos são relativamente altos. A calibração inadequada dos termopares assim como, a não estabilização das temperaturas com o passar do tempo são fatores que podem ter influenciado o experimento e, portanto este resultado.
3.4 Resolução da solução analítica
A partir da solução particular do problema da condução do calor em aletas com área de secção reta, dada pela equação (3), determinou-se o perfil de temperatura das barras.
Usando os valores dos coeficientes convectivos experimentais ( ) e o teórico de Churchill e Chu ( ), obteve-se o perfil de temperatura do cobre puro, conforme Figura 8.
Figura 8. Perfil de temperatura ao longo da barra de cobre puro, . Temperatura experimental.
Temperatura obtida pela equação (3) com h experimental ( ). Temperatura obtida pela equação (3) com de Churchill e Chu.
A Figura 8 foi criada via dados da Tabelas 8.
Tabela 8. Valores de para a Barra A quando e . Posição dos Termopares (m) Temperatura (°C) barra A C (°C) com (°C) com 0,02 47,5 53, 96458796 53, 41260057 0,07 45,0 51, 54279173 49, 79798474 0,14 42,0 48, 52245789 45, 49008633 0,21 38,0 45, 89109098 41, 92699991 0,28 36,0 43, 60695314 38, 98523462 0,35 35,0 41, 63381415 36, 56283357 0,42 33,0 39, 94037675 34, 57584022 1,00 28,0 33, 99485736 28, 33403642
De forma semelhante, usando os valores dos coeficientes convectivos experimentais ( ) e o teórico de Churchill e Chu ( ), obteve-se o perfil de temperatura do aço inoxidável AISI 302, conforme Figura 9.
Figura 9. Perfil de temperatura ao longo da barra de aço inoxidável AISI 302, . Temperatura experimental.
Temperatura obtida pela equação (3) com h experimental ( ). Temperatura obtida pela equação (3) com de Churchill e Chu.
Os dados utilizados na construção da Figura 9 estão contidos na Tabelas 9.
Tabela 9. Valores de para a barra B quando e Posição dos Termopares (m) Temperatura (°C) barra B C (°C) com (°C) com 0,02 44,0 45, 98755994 49, 25447373 0,07 37,0 34, 49525951 39, 67619019 0,14 31,5 29, 52657011 33, 02930037
0,21 29,0 28, 32256197 30, 14613067
0,28 28,0 28, 03080785 28, 89552058
0,35 28,0 27, 96011027 28, 35305320
0,42 28,0 27, 94297890 28, 11775142
1,00 28,0 27, 93750009 27, 93785586
Também foram construídos os gráficos do perfil da temperatura das barras de cobre puro e aço inoxidável com temperatura inicial .
A Figura 10 mostra o perfil de temperatura para o cobre puro.
Figura 10. Perfil de temperatura ao longo da barra de cobre puro, . Temperatura experimental.
Temperatura obtida pela equação (3) com h experimental ( ). Temperatura obtida pela equação (3) com de Churchill e Chu.
Os dados utilizados para a construção da Figura 10 estão dispostos na Tabela 10.
Tabela 10. Valores de para a Barra A quando e . Posição dos Termopares (m) Temperatura (°C) barra A C (°C) com (°C) com 0,02 73 83, 11254236 81, 63870106 0,07 65 78, 68382035 74, 03480146 0,14 58 73, 13110676 65, 07321988 0,21 52 68, 26433521 57, 75639349 0,28 48 64, 01555848 51, 79132389 0,35 44 60, 32545743 46, 93914304 0,42 41 57, 14251285 43, 00554794 1,00 33 45, 83124592 31, 00570686
Já a Figura 11 traz o perfil da temperatura para o aço inoxidável, com base nos dados da Tabela 11.
Figura 11. Perfil de temperatura ao longo da barra de aço inoxidável AISI 302, . Temperatura experimental.
Temperatura obtida pela equação (3) com h experimental ( ). Temperatura obtida pela equação (3) com de Churchill e Chu. Tabela 11. Valores de para a barra B quando e .
Posição dos Termopares (m) Temperatura (°C) barra B C (°C) com (°C) com 0,02 60 74, 24700163 71, 99436373 0,07 45 55, 41444148 51, 01403161 0,14 35 41, 16829641 37, 26982404 0,21 32 34, 30844128 31, 71157057 0,28 30 31, 00525939 29, 46376435 0,35 30 29, 41470004 28, 55473354 0,42 30 28, 64880971 28, 18711425 1,00 30 27, 94083692 27, 93777575
Analisando as Figuras 8 e 10, conclui-se que a solução analítica encontrada condiz com as proximidades da curva de temperatura experimental. No entanto, usando o teórico, percebe-se que o perfil de temperatura obtido via equação (3), está mais adjacente aos dados experimentais fornecidos pela Tabela 2 quando comparado com o uso do . Analogamente pode-se basear esta conclusão para a Figura 9 e a Figura 11.
4. Considerações
A busca pelo conhecimento científico e a ânsia de comprovar a teoria com a prática pode ser considerado um dos suportes para o desenvolvimento deste estudo. Conhecer um pouco da vasta gama de aplicações das equações diferenciais envolvida no processo de condução do calor foi um diferencial da vida acadêmica
que se levará para a vida profissional.
Analisando o desenrolar da pesquisa, os cálculos efetuados e os resultados comparativos, infere-se que a solução analítica para o problema proposto da condução do calor unidimensional em regime estacionário para aletas, dada pela equação (3) está em conformidade com os dados da pesquisa experimental. Desta forma, pode-se garantir que o modelo matemático foi bem estruturado e que a solução analítica descreve satisfatoriamente o modelo proposto.
As diferenças entre os dados experimentais e os dados obtidos pela solução analítica via coeficiente convectivo teórico de Churchill e Chu e via coeficiente experimental podem ser justificadas por dois aspectos. O primeiro diz respeito ao fato de que a pesquisa experimental leva em conta a existência de um gradiente de temperatura, o que não ocorre para o cálculo do coeficiente convectivo teórico. O segundo aspecto pode estar relacionado ao aparato experimental, mais especificamente ao fato de que os termopares podiam estar descalibrados.
5. Cálculos realizados via dados experimentais
5.1 Temperatura Ambiente
A temperatura ambiente é resultado da média aritmética de temperatura de todos os pontos da barra, obtidos durante a primeira leitura dos termopares.
Tabela 12. Dados experimentais. Temperatura do ar = 24°C
Posição dos termopares (m) 0,02 0,07 0,14 0,21 0,28 0,35 0,42 1,00 Temperatura barra A (°C) 24,00 24,00 24,00 24,00 24,00 24,00 24,00 24,00 Temperatura barra B (°C) 28,00 28,00 27,50 28,00 28,00 28,00 28,00 28,00
Logo e .
5.2 Obtenção da temperatura média de superfície e temperatura de filme
Barra de Cobre (A), e :
Analogamente encontraram-se a e para ambas as barras, de acordo com os dados da Tabela 2. A partir da obteve-se o coeficiente de condutividade térmica usando interpolação linear e a temperatura do filme. Os resultados são fornecidos pela Tabela 13:
Tabela 13: Valores de .
Barra de cobre puro 311, 2125 304, 18125 400, 66550 Barra de aço inoxidável AISI 302 304, 8375 302, 96250 15, 16510
Barra de cobre puro 324, 9000 311, 02500 400, 11800 Barra de aço inoxidável AISI 302 309, 6500 305, 36875 15, 21850
5.3 Cálculo de de transferência de calor por convecção natural
Com obtido a partir dos gráficos das Figuras 4, 5, 6 e 7, determinou-se o valor do coeficiente convectivo experimental via equação:
Os resultados encontram-se na Tabela 14.
Tabela 14: Valores dos coeficientes conectivos experimentais.
Para Para
Materiais Cobre Aço inoxidável Cobre Aço inoxidável (W/m²K) 3, 2899 15, 7953 2, 8924 4, 2124
5.4 Obtenção de teórico de transferência de calor por convecção natural
Cálculo do número de Rayleigh
Para obter o número de Rayleigh utilizamos a equação (6).
A Tabela 15 dispõe os valores de obtidos para .
Tabela 15. Valores calculados para .
Para Para
Material Cobre Aço inoxidável Cobre Aço inoxidável
Cálculo de pela correlação de Churchill e Chu e por Morgan
Para calcular o número de Nusselt pela correlação de Churchill e Chu, partiu-se da equação (5), onde Rayleigh . Por outro lado, para calcular pela correlação de Morgan, usou-se a equação (4), onde e . Com o valor de encontrado calculou-se teórico via equação (4), fazendo . A Tabela 16 traz os valores de e teórico pela correlação de Churchill e Chu e por Morgan.
Tabela 16. Valores calculados para teórico pela correlação de Churchill e Chu e por Morgan.
Para Para
Material Cobre Aço inoxidável Cobre Aço inoxidável 2, 740540000 2, 101153975 3, 101664085 2, 460655654 7, 177574737 5, 484347935 8, 277978157 6, 465829865 3, 253072720 2, 546589530 3, 623254229 2, 952944584 8, 519916728 6, 647005976 9, 670041161 7, 759410486
6. Referências
BEJAN, Adrian. Transferência de Calor. São Paulo: E. Blücher, 1996.
INCROPERA, Frank P.; DEWITT, David P. Fundamentos de transferência de calor e de massa. 5ª Ed. Rio de Janeiro: LTC, 2003.
