MODELAGEM MATEMÁTICA DE UM PROLEMA DE INTERAÇÃO ESCOAMENTO-DEFLEXÃO
Hudison Loch Haskel (UNICENTRO) Marcia da Costa (UNICENTRO) Afonso Chimanski (UNICENTRO) Márcio André Martins (UNICENTRO) Maria José de Paula Castanho (UNICENTRO) Maria Regina Carvalho Macieira Lopes (UNICENTRO) Resumo
Uma aprendizagem reflexiva de conteúdos de Física requer questionamentos, argumentações, explicações e tomada de decisão. A modelagem matemática, entendida como uma abordagem para resolução de um problema físico, contempla levantamento de hipóteses e representações em termos matemáticos. Com o objetivo de contribuir para um aprendizado reflexivo de fenômenos físicos de interação escoamento-deflexão, considera-se neste trabalho a modelagem matemática de um sistema envolvendo um recipiente, que contém um fluido em escoamento, apoiado sobre uma viga. As hipóteses foram estabelecidas considerando conceitos de elasticidade, leis de Newton e conservação de energia mecânica. As representações matemáticas foram obtidas com o emprego de equações diferenciais. O modelo matemático elaborado descreve o fenômeno abordado e revela-se como uma alternativa viável para o ensino de Física.
Palavras-Chave: Deflexão, Modelagem, Vazão.
Introdução
A modelagem matemática, enquanto estratégia de ensino, envolve as seguintes etapas: definição do problema, formulação de hipóteses, dedução do modelo matemático, resolução e validação do resultado. Neste enfoque, percebe-se sua ligação direta com a resolução de problemas em geral.
Na ciência atual, a elaboração de modelos matemáticos auxilia na compreensão de certos fenômenos, pois ela parte de observações e aproximações, e traz uma descrição aproximada do problema real. Neste sentido, a modelagem contribui de forma significativa para uma visão de ciência adequada à prática científica moderna e pode facilitar a compreensão de diversos fenômenos (BRANDÃO, 2008).
No âmbito do ensino de Física, dentre as competências e habilidades a serem desenvolvidas, segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (1999: 237), podem ser destacadas: compreensão de enunciados que envolvam códigos e símbolos; capacidade de discriminar e traduzir as linguagens matemática e discursiva entre si; expressão da
Considerando a busca de contribuições para ensino e aprendizagem em Física, mais especificamente no que se refere ao estudo de fenômenos de escoamento e deflexão, sugere-se neste trabalho uma forma de descrever um problema de interação entre estes fenômenos considerando o emprego de equações diferenciais. Com isso, torna-se necessário o domínio de conceitos físicos sobre os temas: elasticidade, conservação de energia, estática, dinâmica e leis de Newton.
O emprego de equações diferenciais na modelagem de um problema físico não é apenas a aplicação de uma fórmula matemática, mas sim, algo pleno de significado e de informações sobre o fenômeno que está sendo considerado. Para uma análise adequada do problema é imprescindível ter um conhecimento sobre os conceitos e propriedades envolvidas no estudo.
Nesta perspectiva, propõe-se a modelagem matemática de um sistema composto por uma viga e um recipiente contendo determinado fluido em escoamento. Este recipiente está apoiado sobre a viga ocasionando uma deflexão para baixo. À medida que o fluido escoa a viga retorna ao seu estado inicial. A construção do modelo matemático que representa este sistema requer uma articulação entre as propriedades e conceitos envolvidos no problema. A análise detalhada sobre as variações – escoamento e deflexão – consideradas, traz contribuições significativas para a compreensão dos fenômenos estudados.
Desenvolvimento
Segundo Bassanezi (2002), para se construir uma modelagem matemática, parte-se inicialmente de um problema e baparte-seando-parte-se em conceitos relacionados ao mesmo obtém-se uma série de hipóteses, com as quais pode-se construir um modelo teórico.
Como situação problema, considera-se aqui a investigação sobre a deflexão de uma viga de comprimento 2l presa nas extremidades. Esta deflexão é ocasionada por um peso associado a um recipiente em formato de prisma apoiado sobre a viga. O recipiente contém um fluido de densidade ρ que está escoando por um pequeno orifício circular. Desta forma, tem-se um sistema de interação escoamento-deflexão, ou seja, os fenômenos se inter-relacionam no problema.
Uma força elástica age no sentido de restaurar a deformação sofrida, devido à constante de elasticidade k que a viga apresenta. À medida que o fluido escoa a viga retorna ao seu estado inicial.
Para análise da deflexão, considera-se que a trave (viga) se encontra presa em dois suportes laterais, é constituída de um material flexível, é homogênea quanto a sua composição estrutural e uniforme em relação à forma física. Devido a deformação, as estruturas da parte superior da trave se contraem e da parte inferior são tracionadas, entre estas duas partes há uma superfície neutra a qual não esta sob a ação de nenhum tipo de tensão. Esta superfície assume uma forma curva a qual é denominada curva de deflexão (Figura 1).
Figura 1: Representação do sistema de interação escoamento-deflexão
Este sistema será estudado na superfície terrestre, com temperatura ambiente a 293,15k e aceleração da gravidade g = 9,81 m/s2. A viga apresenta um momento de inércia I, o qual relaciona a tendência que o corpo apresenta a se opor ao movimento.
O modelo matemático a ser construído deve descrever a deflexão da trave em função do escoamento do fluido. Entretanto, o escoamento do fluido determina a variação do volume contido no recipiente em relação à variação do tempo. Com isso, o peso sobre a trave varia em função do tempo.
Por questão didática, considera-se inicialmente uma análise sobre a deflexão da viga. A deflexão máxima (Zmax) que a trave deve suportar, pode ser determinada considerando-se as forças que estão ilustradas na Figura 2.
Figura 2: Representação do diagrama de forças do sistema
Onde Fe representa a força elástica da viga, P o peso do fluido contido no recipiente, e ny o peso por unidade de comprimento da viga. Nos pontos O e B tem-se a reação do apoio denotada por nl+P2.
O momento de deflexão M, que estabelece a tendência que o corpo possui a se opor a deformação, é dado pela seguinte expressão:
R Kl
M = (1)
em que K é a constante elástica da trave, I o momento de inércia e R o raio de curvatura que o material adquire depois da deflexão.
Para confecção do modelo matemático que descreve o problema, considera-se o emprego de operadores diferenciais com o objetivo de representar as variações envolvidas no problema. Tomando a origem dos eixos na extremidade esquerda da trave como é mostrado na Figura 2, pode-se expressar o raio de curvatura no ponto S (y, z) da viga pela seguinte equação (ZILL, 2003):
A inclinação da curva em qualquer ponto, representa uma quantidade muito pequena e, considera-se na literatura (AYRES, 1969) a seguinte aproximação:
,
substituindo este resultado na equação (1), obtém-se:
(3)
Para calcular o momento fletor devido às forças que atuam no sistema, considera-se que as forças que atuam para cima originam momentos positivos. Supõe-considera-se também que
l y< <
0 .
As forças que atuam emOS são: uma reação ao peso no ponto O igual a nl+P2, para cima, e um peso P, para baixo, no ponto médio de OS, assim:
2 2 2 2 1 2 1 2 ) 2 1 (nl P y ny y nly Py ny dy z d Kl M ⎟= + − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + = = (4)
em que y é a distancia do ponto S em relação à origem e 2l é o comprimento da viga.
As forças que atuam em SB são as mesmas que atuam no segmentoOS, mais uma força peso, P, situada em (l – y). Desta forma:
) ( 2 1 2 1 ) ( 2 ) 2 1 ( 2 2 2 y l P ny Py nly y L P y ny y P nl dy z d Kl ⎟− − = + − − − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + = (5) Se l < y < 2l, a força P está situada em (y – l) e a equação (5) torna-se:
) ( 2 1 ) 2 1 ( 2 2 2 l y P ny y P nl dt z d kl m= = + − − − . (6) Para y = l, de (4) e (6) tem-se m nl Pl
2 1 2
1 2 +
= e os dois casos podem ser tratados simultaneamente, isto é, S esta no meio da viga.
Igualando (4) e (6) tem-se: ) ( 2 1 2 1 ( 2 1 2 1 2 2 l y P ny Py nly ny Py nly+ − = + − − − (7)
E igualando (4) e (5): ) ( 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 y l P ny Py nly ny Py nly+ − = + − − − (8) De (7) e de (8) tem-se: Pl y l P ny nly dt z d kl 2 1 ) ( 2 1 2 1 ( 2 2 2 + − ± − = (9)
Sendo o sinal positivo para o intervalo OS e o sinal negativo para o intervalo SB. Integrando (9) duas vezes, tem-se:
Dos valores de contorno y = 0, z = 0 (ponto O), e em y = 2l, z = 0 (ponto B), tem-se:
, Então:
Assim a deflexão máxima, ou seja, quando y = l ocorre no meio da viga e é dado por:
(10)
Tratando-se do escoamento do fluido contido no recipiente, para determinar sua vazão em função do tempo, considera-se que a velocidade do fluxo é igual à velocidade de queda livre que um corpo iria adquirir sob a ação da gravidade, supondo que ele partisse do repouso. Sabe-se que um corpo de massa m suspenso em um campo gravitacional, possui uma quantidade de energia, chamada de energia potencial (U). U depende da posição h que o corpo se encontra, esta relação é dada por: U = mgh (g = 9,81 m/s2) (HALLIDAY, 1996).
Quando o corpo for solto parte de sua energia se transforma em energia relacionada com o movimento a qual é chamada energia cinética dada por: . Aplicando o principio da conservação da energia em um sistema conservativo, onde não atuam forças que dissipam energia, a quantidade permanece constante, isto é a variação das trocas de energia em suas formas permanece constante. Como o corpo (fluido) parte do repouso, sua energia cinética inicial é nula e, então, se obtém a seguinte relação .
Supõe-se que o recipiente sobre a viga esteja preenchido com um fluido, de modo que seu peso fez com que a deflexão da trave fosse máxima. Em seguida, considera-se que o fluido passa a ser drenado por meio de um orifício em uma de suas laterais. Denominando por AO a área do orifício, e por h a altura do fluido remanescente no recipiente no instante t, a velocidade de saída do fluido fica determinada por . O volume por unidade de tempo (fluxo) de líquido que sai do recipiente é . Desta forma, a variação do volume em relação ao tempo, que também é conhecida como vazão, é dada por:
(11)
O sinal negativo indica que o volume esta decrescendo. Neste enfoque, não foi considerada alteração na vazão devido ao atrito com as bordas do orifício.
Considerando-se Ab como sendo a área da superfície do líquido, seu volume em função do tempo pode ser escrito como , e sua variação é dada por .
Substituindo este resultado em (11), obtém-se:
(12)
Como a densidade de um fluido é determinada pela razão entre sua massa e seu volume, o peso (P) fica descrito por:
Substituindo (13) na expressão que descreve a deflexão máxima, equação (10), obtém-se:
(14)
O momento de inércia do sistema I é dado por , em que a e b são as dimensões da superfície da seção transversal da viga, portanto é constante. Assim, da expressão (14) pode-se observar que a deflexão da viga em função do tempo depende de uma única variável, o volume sobre ela.
Para encontrar esta variação basta diferenciar (14) em função do tempo, ou seja: ,
Mas
Portanto,
(15)
Da equação (12), tem-se que gh A A dt dh b o 2 −
= . Resolvendo esta equação de
variáveis separáveis encontra-se
2 0 0 2 2 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − = g h t A A g h b
, em que h é a altura do fluido 0
no recipiente no instante t=0.
Utilizando este resultado, na equação (15) é possível escrever : ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = t A A g h KI A l g dt dz b o 0 0 3 2 2 6 ρ (16)
Considerando z(0)=zmax, isto é, no instante inicial a deflexão é máxima, o
⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = KI l h gA KI nl z t A A g h KI A l g dt dz b b 6 24 5 ) 0 ( 2 6 3 0 4 0 0 0 3 2 ρ ρ (17)
Cuja solução é dada por
KI nl h A t A g A gh t A KI gl z b b 24 5 2 2 6 4 0 2 2 0 0 0 3 − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ρ .
A equação (17) é a equação que descreve a deflexão da trave em função do escoamento do fluido ou, mais especificamente, em função do tempo t. Devido a equação 12, nota-se que, quando não há fluido no recipiente, isto é quando h = 0, a variação da deflexão é nula.
Como continuidade a este trabalho, considerando a modelagem matemática, pretende-se validar o modelo, ou seja, verificar se a solução da equação (17) é consistente com dados experimentais sobre o comportamento do sistema físico.
Considerações
O processo de modelagem matemática considerado neste trabalho visa contribuir para um aprendizado reflexivo de fenômenos de deflexão e escoamento. Atividades desta natureza, interligando os fenômenos, não são encontradas em livros didáticos.
A abordagem adotada instiga a pesquisa sobre conceitos físicos e incentiva uma atitude crítica diante da situação problema. A interpretação do enunciado e a resolução do problema pressupõem o entendimento sobre conceitos de elasticidade, leis de Newton e conservação de energia mecânica. Percebe-se que um enfoque interativo entre fenômenos físicos aponta diferentes caminhos para solucionar problemas, criando-se modelos matemáticos e refletindo-se sobre sua viabilidade.
Neste trabalho, o emprego de equações diferencias mostrou-se adequado ao estudo proposto, uma vez que o modelo desenvolvido descreve a deflexão de uma viga considerando o escoamento de determinado fluido, de uma forma simples e objetiva.
Referências
AYRES, F. J. Equações Diferenciais. 1ª ed., Rio de Janeiro: LTC, 1969.
BASSANEZI, R. C. Ensino-Aprendizagem com Modelagem Matemática. São Paulo: Contexto, 2002.
BRANDÃO, R. V., ARAUJO, I. S., VEIT, E. A. A Modelagem Científica de Fenômenos Físicos e o Ensino de Física, Física na Escola v. 9, nº1, 2008.
HALLIDAY, D., RESNICK, R., KRANE, K. S. Física 1. 4ª ed., Rio de Janeiro: LTC, 1996.
Ministério da Educação e Cultura. Secretaria de Educação Média e Tecnológica, Parâmetros Curriculares Nacionais. (MEC/SENTEC, Brasília, 1999).
ZILL, D. G. Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem. 3ª ed., São Paulo: Makron Books, 2003.
