A INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA E PROGRAMAS DESENVOLVIDOS NO MATHCAD PARA REFINAR RAÍZES DE FUNÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS

DESENVOLVIDOS NO MATHCAD PARA REFINAR RAÍZES DE

FUNÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS

RETZLAFF, Eliani – URI elianir@urisan.tche.br CONTRI, Rozelaine de Fátima Franzin – URI rozelaine@urisan.tche.br PRESTES, Rosangela Ferreira – URI ro.fprestes@yahoo.com.br Eixo Temático: Comunicação e Tecnologia Agência Financiadora: não contou com financiamento Resumo

Este trabalho tem como proposta contribuir ao processo educativo, especificamente, no ensino e aprendizagem de zeros de funções, com ênfase no uso de tecnologias, estudados na disciplina de Cálculo Numérico, do curso de matemática. Para tal, foram efetuadas pesquisas sobre conteúdo de zeros de funções polinomiais e transcendentes, que tinham como base a interpretação geométrica, estudo de procedimentos para posterior construção de algoritmos e elaboração de programas por meio do software Mathcad, cuja linguagem é própria. Com o uso da tecnologia computador pode-se possibilitar os acadêmicos de cursos de graduação desenvolverem a habilidade de organizar sequências de passos para utilização de diferentes métodos numéricos para refinar raízes de funções, tornando possível avaliar a escolha do método a ser utilizado, observando desde a facilidade da construção de gráficos até o processo do programa e seus resultados, que são fornecidos sob a forma de tabela. O objetivo de elaborar algoritmos dos principais métodos estudados, implementá-los em computador e fazer aplicações é fornecer condições para que se possa conhecer, calcular, utilizar e aplicar os métodos numéricos na solução de problemas reais, onde manualmente seria trabalhoso e de difícil visualização gráfica, permitindo desta forma o uso adequado da ferramenta no ensino e melhor análise de resultados calculados.

Palavras-chave: Zeros de funções, MathCad, Algoritmo, Programas, Interpretação Geométrica.

Introdução

Este trabalho justifica-se pelo fato de que o crescente uso e facilitado acesso da ferramenta computador, onde diferentes linguagens de programação e softwares Matemáticos com suas linguagens próprias são capazes de tornar possível resolver alguns entraves de apelo de cálculos exaustivos e repetitivos necessários para resolução de problemas reais contendo zeros de funções polinomiais e transcendentes, em que condições manuais não possibilitariam sua prática e precisões. Cálculos repetitivos e extensos, estes, como os métodos numéricos que são estudados na disciplina de Cálculo Numérico, ministrada no oitavo semestre da graduação em Matemática, da URI campus de Santo Ângelo, usados para resolver problemas aos quais não existem métodos analíticos ou são dados fornecidos por meio de tabelas, que quando não utilizados os recursos computacionais podem diminuir sua aplicabilidade.

Desta forma, por meio do conteúdo zeros de funções, procurou-se entender os métodos numéricos (Bisseção, Iteração Linear e Newton-Raphson) pela interpretação geométrica, elaboração de algoritmos e execução de programas para desenvolver outras habilidades matemáticas e assim permitir o uso adequado do software para o ensino e aprendizagem do conteúdo em questão, bem como proporcionar um maior contato do licenciado em Matemática para a solução de um problema real de forma que se utilize o software Mathcad, que, não requer aprendizado demorado para o início da utilização e dentre outros, é o que apresenta facilidade de plotar gráficos e as equações são apresentadas como se escreve no papel.

Os programas elaborados têm o objetivo de automatizar a manipulação de cálculos matemáticos, expressões, fórmulas e equações. Com relação a facilidade de elaboração de rotinas computacionais, tem uma linguagem matemática associada que torna capaz de o acadêmico relacionar melhor o programa a ser construído com o algoritmo. Também, torna-o ferramenta para o cálculo numérico possibilitando resultar erros devido a suas características intrínsecas, podendo quantificar os erros e encontrar formas de se não eliminá-los, minimizá-los.

A Matemática e a Iteração com o Computador

Sabe-se que apenas conhecimentos gerais de informática não são o suficiente para o uso adequado da tecnologia computador, eles devem ser acompanhados pelo domínio da

informação, ou seja, que o indivíduo tenha a capacidade de reunir informações, avaliá-las e tomar uma decisão fundamentada, pois os computadores representam um papel importante em nossa sociedade, porém, não produzem nada por si sós.

Segundo BASSANEZI (2002);

[...] eles constituem um meio educacional auxiliar para apoiar a aprendizagem dos alunos e permitem criar situações de aprendizagem estimulante. É outra maneira de buscar e viabilizar a construção do conhecimento, de maneira mais autônoma e independente, em um novo ambiente, onde os movimentos e as interações são diferentes e obedecem a modelos. Além disso, abrem um novo leque de possibilidades em função das inúmeras simulações que podem ser realizadas e dos questionamentos que podem ser estabelecidos.

Desta maneira, o uso das ferramentas computacionais pode trazer grandes benefícios ao ensino da matemática, mas para isso é necessário escolher programas e metodologia adequados que tire proveito das características positivas do computador. Um bom exemplo desse benefício, são as interfaces gráficas contidas em softwares matemáticos.

Na matemática, nem todos os problemas podem ser resolvidos através de fórmulas prontas, por isso utilizam-se os métodos numéricos, os quais são técnicas matemáticas usadas na solução de problemas matemáticos que não podem ser resolvidos ou que são difíceis de resolver analiticamente. Assim, uma solução analítica é uma resposta exata na forma de uma expressão matemática escrita em termos das variáveis associadas ao problema que está sendo resolvido. Já uma solução numérica é um valor numérico aproximado para a solução, ou seja, um número.

Embora soluções numéricas sejam uma aproximação, elas podem ser muito precisas. Em muitos métodos numéricos, os cálculos são executados de maneira interativa até que a precisão desejada seja obtida, ou seja, com o grau de precisão requerido. Como os métodos numéricos de aparência fácil e de formulação teórica simples podem se revelar extremamente difíceis quando executados manualmente, o computador revela a sua importância no auxílio destes, por meio de softwares, pela capacidade de aceitar e executar automaticamente um conjunto de instruções registradas internamente.

Porém, o uso do computador como ferramenta do cálculo numérico requer o entendimento dos seus princípios de operação e de como eles interferem nos resultados obtidos. Eles não resolvem todos os problemas, pois as máquinas produzem resultados que determinadas instruções são fornecidas. Estas instruções podem provocar erros, e caso isso

aconteça poderão ser quantificados, excluídos ou minimizados pelo usuário, provocando uma maior análise e avaliação dos resultados esperados.

Segundo BARROS (1981, p. 4):

[…] Devido suas características, os computadores causaram um forte impacto nas técnicas numéricas, provocando o abandono de algumas, reabilitação de outras e o desenvolvimento de novas. O computador é um instrumento e, como tal, a qualidade dos resultados que produz depende diretamente da capacidade e inteligência de quem o usa [...]

Logo, os computadores, que cada vez mais auxiliam o cálculo numérico, são de suma importância na resolução de problemas reais. Um exemplo disso é a previsão do tempo. O problema a ser resolvido é grande, e os métodos numéricos utilizados são muito complicados, pois a simulação numérica da previsão do tempo não pode ir além do período no qual a previsão é necessária.

Os softwares matemáticos disponíveis têm potencialidades pedagógicas bastante diversificadas, advém então a necessidade de escolha. O presente artigo utiliza-se software

Mathcad, pois não requer aprendizado demorado para o início da utilização e porque, dentre

outros, é o que apresenta características singulares: facilidade de elaboração de gráficos; as equações são apresentadas como se escreve no papel, tem o objetivo de automatizar a manipulação de cálculos matemáticos, expressões, fórmulas e equações, inclusive textos e animações e facilidade de elaboração de rotinas computacionais.

Pela facilidade e excelentes ferramentas que este software disponibiliza será utilizado para a elaboração de rotinas computacionais, a fim de resolver problemas envolvendo zeros de funções polinomiais e transcendentes.

Resolução de Equações Algébricas e Transcendentes

Em muitos problemas práticos de aplicação matemática de Ciências e Engenharia, é impossível determinar analiticamente a raiz de uma equação, ou seja, um número xr para o qual: r r) 0 x x ( f = ⇒ é raiz de f(x)

Como a solução numérica de uma equação f(x) = 0 é um valor de x que satisfaz à equação de forma aproximada, significa que quando o x é substituído na equação, o valor de f(x) é próximo de zero, mas não exatamente zero.

Considerando os problemas a seguir:

1) O preço à vista de um carro é de R$ 36.400,00, mas pode ser vendido à prazo em 48

prestações mensais de R$ 1297,95. Nessas condições, qual a taxa de juros mensal que estaria sendo cobrada?

Da matemática financeira tem-se: _

     + − + = _n n i i i PMT PV ) 1 .( 1 ) 1 ( . Logo:f(i) = 0
i..(1 i) (1 i) 1 95 , 1297 36400 ) i ( f 48 48 + + − + = (1)

Pode-se observar que a função (1) acima descreve uma situação real, onde necessita determinar a taxa (i), que dentre as várias, é uma delas a qual seja realmente a taxa utilizada na operação, pois se sabe que como se trata de uma taxa que será cobrada ela não será zero nem negativa, logo é necessário observar o intervalo positivo que contenha a raiz da referida função.

Observando a função acima, pode-se concluir que tem-se uma equação algébrica (ou Polinomial), pois, a variável aparece submetida a operações algébricas, repetidas um número finito de vezes.

Desta forma, se x é esta variável, tem-se uma equação da forma:

0 1 2 2 2 n 2 n 1 n 1 n n n n(x) a x a x a x ... a x a x a P = + + − + + + + − − − onde: n∈Ν e ai∈R

Então, pode-se escrever que e, (2) Se A = 3,6m² e r = 3m, para determinar o ângulo θ, a equação deve ser resolvida para θ. Desta forma, tem-se:

Na equação (2), observa-se que a variável aparece submetida a operações não algébricas em pelo menos um termo da equação, a qual é trigonométrica. Nestas equações, em que pelo menos um termo, aparecem funções como: exponenciais, logarítmicas, trigonométricas, etc., são denominadas equações transcendentes.

Embora esses métodos não determinem as soluções exatas, as raízes podem ser calculadas com a exatidão que o problema requer desde que certas condições da função sejam satisfeitas.

Observa-se que as funções (1) e (2) produzidas acima não possibilitam o procedimento de obtenção de uma solução de forma analítica, e sim é necessário o processo de solução numérica, que começa com a determinação de uma solução aproximada e é seguido de um procedimento numérico no qual se determina uma solução mais precisa. Essa solução numérica inicial pode ser estimada com o traçado de um gráfico, via tabela ou procedimento analítico. Para tanto, à priori, é necessário considerar o teorema que segue.

Teorema de Bolzano e o Refinamento de Soluções Para que uma função contínua y =

f(x) tenha no mínimo uma raiz no intervalo [a, b], é suficiente, que ele tenha valores de sinais opostos nos limites deste intervalo, ou seja, f(x) assume valores de sinais opostos nos pontos extremos do intervalo fechado [a,b].

• Se f(a).f(b)<0, então o intervalo conterá no mínimo uma raiz (ou um n° ímpar de

raízes).

• Se f(a).f(b)>0, então, a f(x) não tem nenhuma raiz real no intervalo ( ou o n° de

raízes será par).

• A raiz x será definida e única se a derivada f`(x) for contínua e conservar o sinal dentro do intervalo [a, b].

y = f(x)  f(a).f(b) < 0  xr∈[a, b] ⇒ f(xr) = 0

Para o refinamento de uma solução, tem-se que Isolar a raiz, ou seja, achar um intervalo [a,b], o menor possível, que contenha uma e somente uma raiz da equação f(x) = 0 e em seguida melhorar o valor da raiz aproximada por meio de métodos iterativos.

Interpretação Geométrica dos Métodos e Procedimentos para Elaboração de Algoritmos para Elaboração de Algoritmos para Refinar Raízes de Função

Refinar a raiz de uma função é melhorar o valor da raiz aproximada, isto é, refiná-la até o grau de exatidão requerido, através de métodos iterativos, que são as sequências de instruções que são executadas passo a passo, algumas repetidas em ciclos (iterações).

Os métodos Iterativos para se obter Zeros de Funções Algébricas e Transcendentes, são métodos numéricos para determinação de raízes. Serão considerados a seguir os métodos da Bisseção, Newton-Raphson e Iteração Linear.

Método da Bisseção (ou Dicotomia) – Método de quebra: Dados f(x) uma função contínua no intervalo [a,b].

b X1 y x3 = xr f(x) x a X0 X2

2 b a x 0 ) b ( f ). a ( f : como 0 + = <
2 b x x 0 ) b ( f ). x ( f 0 1 0 + = <
2 x x x 0 ) x ( f ). x ( f 1 0 2 1 0 + = <
dado. com , x 2 x x x 0 ) x ( f ). x ( f r 2 0 3 2 0 ε = + = < Critério de Parada:

Existem diferentes critérios de parada para assumir um resultado do zero de uma função, basicamente são medidas distâncias sobre o eixo x, sobre o eixo y, determinado número de iterações ou o erro relativo. Considerou-se para todos os métodos a serem utilizados na resolução do problema de zeros de função o critério da medida da distância em y, ou seja, |f(xn)| < ε.

Algoritmo do Método da Bisseção: Dada função f(x):

Se faça

( recebe

)

se

passa a ser )

(

Considerando o problema 2, com precisão de 10-4.

Por meio do software é possível visualizar o intervalo ao qual se encontra o zero da função (a = 1,5 e b = 2). Esses dados, juntamente com a precisão pré-estabelecida e a função, são considerados dados de entrada para os programas desenvolvidos a seguir. Por meio do contador i e mat com seus índices de linha e coluna, é possível incrementar a variável linha, possibilitando mostrar as iterações sob a forma de matriz.

0 0.5 1 1.5 2 2 2 4 f x( ) x

As variáveis que estão entre aspas, fornecem o cabeçalho da tabela, e as demais mostram os resultados de cada iteração.

Métodos de Ponto Fixo

São métodos que começam suas iterações de uma aproximação inicial x0, como Newton-Raphson e Iteração Linear.

Método de Newton-Raphson (ou Método das Tangentes): Graficamente, tem-se:

O método de Newton é equivalente a substituir um pequeno arco da curva y = f(x) por uma reta tangente, traçada a partir de um dos pontos (a ou b) da curvatura.

Neste caso, é traçado a partir de Bo[xo, f(xo)], uma reta tangente a curva y = f(x), que intercepta o eixo x no ponto x1. Do ponto B1 traçamos outra reta tangente a curva e o processo se repete até que se encontre xr = xn, com tolerância requerida.

Geometricamente, pode-se mostrar que:

1 0 0 0 ) ( ) ( ' ) ( x x x f x f tg − = = α , daí tem-se: ) ( ' ) ( 0 0 1 0 x f x f x x − = => ) ( ' ) ( 0 0 0 1 x f x f x x = − 2 1 1 1 ) ( ) ( ' ) ( x x x f x f tg − = = β , onde: ) ( ' ) ( 1 1 1 2 x f x f x x = − Por indução: ) ( ' ) ( 1 n n n n x f x f x x = − ∴ + , para n = 0,1,..

Observe que ao partir do ponto A, o ponto x1₁∉ [a, b], então o método não convergiria por A.

Logo, o método garante convergência desde que:

1. f’(x) e f’’(x) sejam não nulas e preservem o sinal em [a, b]; 2. xo seja tal que f(x).f’’(x) > 0

Dados f(x) uma função contínua no intervalo [a,b].

Programa Básico

Método da Iteração Linear:

Busca-se a intersecção da reta x com a curva g(x), e assim o método transforma o problema de se encontrar uma raiz da equação f(x) = 0 na busca do ponto em que x = g(x).

f x( ):=3.6 4.5 x sin x− ⋅( − ( )) f´ x( ) xf x( ) d d →(−4.5)+4.5 cos x⋅ ( )→ (−4.5)+4.5 cos x⋅ ( ) := f'' x( ) ₂ x f x( ) d d 2 4.5 − ( ) sin x⋅ ( ) → := New a b( , ,erro) xo←a if f a( ) f'' a⋅ ( ) >0 xo←b otherwise f a( ) f b⋅( ) <0 if xn xo f xo( ) f´ xo( ) − ← xo←xn f xo( ) >erro while xn := New 1.5 2( , ,0.0001) = 1.778506

Sendo x0 a primeira aproximação da raiz xr, calcula-se g(x0). Faz-se então, x1 = g(x0), x2 = g(x1), x3 = g(x2) e assim gera-se uma sequência de aproximação para a raiz pelo algoritmo:

) x ( g x_n = _n−1 para n = 0, 1, 2, ... Programa Básico f x( ):=3.6 4.5 x sin x− ⋅( − ( )) g x( ):=0.8+sin x( ) g´ x( ) xg x( ) d d →cos x( ) := MIL a b( , ,erro) xn← a if g´ a( ) < g´ b( ) xn← b otherwise f a( ) f b⋅( ) <0 if x←g xn( ) xn← x f xn( ) >erro while xn := Y2= g(x)

Considerações Finais

Optou-se, para os estudos dos métodos do cálculo numérico, por uma função transcendente e como critério de parada, a medida da distância em função do eixo das ordenadas, ou seja, |f(xn)| < erro.

Para validar os programas desenvolvidos no Mathcad, o mesmo problema foi resolvido manualmente com auxílio de calculadora científica para perceber o processo de cálculo e posterior utilização da Planilha Excel. Desta forma, tornou-se possível o desenvolvimento dos programas e avaliação da matriz de resultados dos métodos estudados para a solução de zeros de funções polinomiais e transcendentes.

Ao término do desenvolvimento desse trabalho, constata-se que a utilização dos programas na solução de problemas que envolvem zeros de funções torna possível, por meio de alterações com relação aos dados de entrada: função, gráfico, intervalo e precisão e também comparações quanto ao número de iterações, convergência, uso de derivadas, entre outros, estudar desde modificações na visualização gráfica do problema bem como nos possíveis resultados como a precisão desejada pertinentes aos cálculos. Seguem então algumas conclusões: Comparando-se o resultado obtido pelos métodos da Bisseção, Iteração Linear e de Newton-Rapshon observa-se que: No método da Bisseção a convergência é garantida, porém, lenta; a aproximação não sai do intervalo inicial, esse intervalo é cada vez dividido por dois; não exige o conhecimento de derivadas. O método de Newton requer o conhecimento da forma analítica da derivada da função, mas sua convergência é extraordinária. Já com relação ao método de Iteração Linear a maior dificuldade neste método é encontrar uma função de iteração que satisfaça à condição de convergência; A velocidade de convergência dependerá de |g'(x)|, quanto menor este valor maior será a convergência.

Assim, utilizando-se dos programas dos métodos numéricos desenvolvidos, pode-se encontrar de maneira fácil as soluções de diferentes funções modificando apenas seus dados de entrada, já na planilha Excel teriam que ser refeitos todos os cálculos.

Considerando as conclusões citadas acima dos diferentes métodos numéricos para encontrar zeros de funções, pode-se, por meio dos programas elaborados no Mathcad produzir os mesmos resultados independente do uso de derivadas ou não, pois são calculadas automaticamente pelo software.

REFERÊNCIAS

BARROS, Ivan de Queiroz. Introdução ao Cálculo Numérico. São Paulo: Editora Edgard Blucher, 1972.

BASSANEZI, Rodney Carlos. Ensino Aprendizagem com Modelagem Matemática. São Paulo: Contexto, 2002.